ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος. Κωνσταντίνος Βελλίδης ΕΚΠΑ, ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, Στυλιάρης

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος. Κωνσταντίνος Βελλίδης ΕΚΠΑ, ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, Στυλιάρης"

Ὀδυσσεύς Τρικούπη
4 χρόνια πριν
Προβολές:

ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης Κωνσταντίνος Βελλίδης ΕΚΠΑ, ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, 08-9 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 06 0 07 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Πολικές Συντεταγμένες Κυλινδρικές Συντεταγμένες Σφαιρικές

1 ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης Κωνσταντίνος Βελλίδης ΕΚΠΑ, ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, 08-9 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Πολικές Συντεταγμένες Κυλινδρικές Συντεταγμένες Σφαιρικές Συντεταγμένες Στοιχειώδεις Όγκοι ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Ιδιότητες της Παραγώγου Συνάρτηση Πολλών Μεταβλητών Μερική Παράγωγος ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Καμπύλες και Ταχύτητα Παράγωγος κατά Κατεύθυνση Παραγώγιση στον Τρισδιάστατο Χώρο Ο Τελεστής Stthis Costs STILIARIS, Vellidis, UoA

2 ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης Κωνσταντίνος Βελλίδης ΕΚΠΑ, ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΕΙΑΣ, 08-9 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Τα εισαγωγικά κεφάλαια των παρακάτω βιβλίων αποτελούν μέρος μόνο της πλούσιας διαθέσιμης βιβλιογραφίας που υπάρχει για τα θέματα που θίγονται στα επόμενα. J. Mdsen & A. Tomb: ιανυσματικός Λογισμός (Vecto Clculus), 3 d Edition, Απόδοση στα Ελληνικά Α. Γιαννόπουλος, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης (99) ISBN: Susn J. Colle: Vecto Clculus, Peson 4 th Edition (0) ISBN: Adin Bnne: The Clculus Lifese, Pinceton Uniesit Pess, st (007) ISBN: Edition Stthis Costs STILIARIS, Vellidis, UoA

3 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Πολικές Συντεταγμένες Επιπέδου Το σημείο P του επιπέδου προσδιορίζεται μέσω της ακτίνας και της γωνίας θ: P(,θ) cosθ sinθ όπου 0 < 0 θ < π Stthis STILIARIS, UoA Costs Vellidis, UoA 08-9

4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Σχέση Πολικών & Καρτεσιανών Συντεταγμένων cosθ sinθ όπου 0 < 0 θ < π θ tn d cosθ d sinθ dθ Ο γεωμετρικός d sinθ d cosθ dθ γεωμετρικός τόπος const. στις πολικές συντεταγμένες είναι ένας κύκλος. Stthis STILIARIS, UoA Costs Vellidis, UoA 08-9

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Κυλινδρικές Συντεταγμένες Κυλινδρικές συντεταγμένες σε Καρτεσιανές cosθ sinθ Καρτεσιανές συντεταγμένες σε Κυλινδρικές Ο γεωμετρικός τόπος const.

5 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Κυλινδρικές Συντεταγμένες Κυλινδρικές συντεταγμένες σε Καρτεσιανές cosθ sinθ Καρτεσιανές συντεταγμένες σε Κυλινδρικές Ο γεωμετρικός τόπος const. στις κυλινδρικές συντεταγμένες είναι η επιφάνεια κυλίνδρου. θ tn Το σημείο P του χώρου προσδιορίζεται μέσω της ακτίνας, της γωνίας θ και της καρτεσιανής συντεταγμένης : P(, θ,, ) Stthis STILIARIS, UoA Costs Vellidis, UoA 08-9

6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Σφαιρικές Συντεταγμένες Ο γεωμετρικός τόπος ρconst. στις σφαιρικές συντεταγμένες είναι η επιφάνεια σφαίρας. ρsinφ cosθ ρsinφsinθ ρcosφ όπου 0 ρ < 0 θ < π 0 φ π Το σημείο P του χώρου προσδιορίζεται μέσω της ακτίνας ρ και των γωνιών θ και φ: P(ρ, θ, φ) Stthis STILIARIS, UoA Costs Vellidis, UoA 08-9

7 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Σφαιρικές Συντεταγμένες Σφαιρικές συντεταγμένες σε Καρτεσιανές ρsinφ cosθ ρsinφsinθ ρcosφ Καρτεσιανές συντεταγμένες σε Σφαιρικές ρ θ tn φ tn cos ( ρ) Stthis STILIARIS, UoA Costs Vellidis, UoA 08-9

8 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Σχέση Κυλινδρικών & Σφαιρικών Συντεταγμένων P(, θ,, ) ρsinφ θ θ ρcosφ ρ θ θ φ P(ρ, θ, φ) ( ) tn Stthis STILIARIS, UoA Costs Vellidis, UoA 08-9

9 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Παράδειγμα Το σημείο του χώρου P με Καρτεσιανές Συντεταγμένες (,, ) έχει: Κυλινδρικές Συντεταγμένες P θ tn ( ) (- ) 7π 4 Σφαιρικές Συντεταγμένες ρ φ θ ρ θ tn ( ) (- ) cos(/ 7π 4 3) 54.7 o 3 Stthis STILIARIS, UoA Costs Vellidis, UoA 08-9

10 ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Παράγωγος Συνάρτησης Μιας Μεταβλητής df f () lim d 0 f( ) f() Μερική Παράγωγος Συνάρτησης Πολλών Μεταβλητών Εάν η συνάρτηση έχει περισσότερες μεταβλητές {,, i n }, τότε η μερική παράγωγος της συνάρτησης αυτής ως προς μια μεταβλητή i ορίζεται ως το όριο: f i lim 0 f(,,... i... n ) f(,,... i... n ) ηλαδή, ελέγχεται η μεταβολή της συνάρτησης f μόνο ως προς την μεταβλητή i, θεωρώντας όλες τις άλλες μεταβλητές της σταθερές. Παράδειγμα f f(, ) f, 3 3 Stthis STILIARIS, UoA Costs Vellidis, UoA 08-9

11 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Παράγωγος Σύνθετης Συνάρτησης Πολλών Μεταβήτών Ηπαράγωγοςτηςσύνθετηςσυνάρτησηςf (, ) ως προς την μεταβλητή t, όταν (t) και (t) δίνεται από τον κανόνα της αλυσίδας: df df((t), (t)) f d f d Αντίστοιχα το διαφορικό df δίνεται από τη σχέση: df f f d d Παράδειγμα f(, ) (t) t (t) t df f d f d d Επαλήθευση d t (t )t t 4 5t 4 4t 3 df f(t) (t ) (t ) t t 5t 4t 3 Stthis STILIARIS, UoA Costs Vellidis, UoA 08-9

12 ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ ιάνυσμα Θέσης î ĵ kˆ ( î ( î ĵ kˆ ) ( î ĵ kˆ ) )î ( ĵ Μετατόπιση kˆ )ĵ ( )kˆ t î Μέση Ταχύτητα ĵ t kˆ t î t ĵ kˆ t d lim t 0 t d Ταχύτητα ( î ĵ kˆ ) Stthis STILIARIS, UoA Costs Vellidis, UoA 08-9 d î d ĵ d kˆ

13 ΙΑΝΥΣΜΑ ΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ kˆ d ĵ d î d ) kˆ ĵ ( î d d Ταχύτητα Ταχύτητα kˆ ĵ î t t Μέση Μέση Επιτάχυνση Επιτάχυνση kˆ d ĵ d î d ) kˆ ĵ î ( d d t lim 0 t Επιτάχυνση Επιτάχυνση kˆ ĵ î Stthis STILIARIS, UoA Costs Vellidis, UoA 08-9

14 ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑΣ T Κατά τη κίνηση του σώματος από το Α στο Β η μετατόπιση s πάνω στην καμπύλη δίνεται από το τόξο ΑΒ. s lim lim t 0 t t 0 s t s lim lim s 0 s t 0 t Στο όριο αυτό το s γίνεται ίσο με το μέτρο, οπότε ο πρώτος όρος αντιπροσωπεύει ένα μοναδιαίο διάνυσμα, εφαπτόμενο στη διαδρομή (καμπύλη) που περιγράφει την κίνηση του σώματος. d lim ut s 0 s ds ut ut s ds lim t 0 t Stthis Costs STILIARIS, Vellidis, UoA

15 ΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ T N C Σώμα κινείται στην τροχιά C και τη χρονική στιγμή t έχει ταχύτητα και επιτάχυνση. Η επιτάχυνση έχει πάντα κατεύθυνση προς τα κοίλα της τροχιάς. Μπορούμε να αναλύσουμε την επιτάχυνση σε δύο κάθετες συνιστώσες: Σε μια εφαπτομενική στην τροχιά και σε μια κάθετη συνιστώσα. T Εφαπτομενική Επιτάχυνση: Αλλαγή στο μέτρο της ταχύτητας N Κάθετη Επιτάχυνση: Αλλαγή στη διεύθυνση της ταχύτητας Stthis STILIARIS, UoA Costs Vellidis, UoA 08-9

16 ΙΑΝΥΣΜΑ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ u T u T ' d d (u T ) u T d du T u N dφ u T u T ' du T Όταν η τροχιά δεν είναι ευθύγραμμη, τότε το μοναδιαίο διάνυσμα u T αλλάζει κατεύθυνση, οπότε χρειάζεται να υπολογισθεί η παράγωγός του ως προς τον χρόνο. Στο αντίστοιχο κεφάλαιο της Κινηματικής θα αποδειχθεί πως du T u N ρ όπου το μοναδιαίο διάνυσμα u N είναι κάθετο στην εφαπτομενική διεύθυνση της τροχιάς και ρ ηακτίνακαμπυλότητας. Stthis STILIARIS, UoA Costs Vellidis, UoA 08-9

Σχετικά έγγραφα

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,,

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 06 0 07 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Πολικές Συντεταγμένες Κυλινδρικές Συντεταγμένες Σφαιρικές Συντεταγμένες Στοιχειώδεις Όγκοι ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Ιδιότητες