Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Transcript

1 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=<,, 7 >. Δίνονται τα διανύσματα Α=<,4> και C=<-,6>. Να βρείτε και να σχεδιάσετε τα διανύσματα Α+C, C-A, A+/C A+ C =< + ( ), >=<,0 > C A=<, 6 4 >=< 3, > A+ C =<,8 >+<, 3 >=<, > 3. Δίνονται τα διανύσματα Α=i+6j και C=3i-j. Να βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση του A+C A+ C =< 5, 4 > A+ C = = 4 A+ C 5 4 =<, > A+ C Αναλύστε το διάνυσμα Α=<5,> σε μία διάνυσμα κάθετο και ένα παράλληλο προς το διάνυσμα Β=<6,3>

2 A = = 36 = + = A 36 4 = = A A A = + A parallel to normal to 4 4 A = < 6,3 >+ < 5, > < 6,3 > A =<, >+<, > Δείξτε ότι το διάνυσμα A=<a,b> είναι κάθετο στην ευθεία με εξίσωση: a x+b y+c=0 Σε παραμετρική μορφή η εξίσωση της ευθείας μπορεί να γραφεί ως x= t c a y = t b b a Έτσι ένα διάνυσμα παράλληλο προς την ευθεία είναι το v =, b Είναι,, a a Av = ab = a+ b = a a= 0 b b Επομένως το διάνυσμα A είναι κάθετο στο v και συνεπώς και προς την ευθεία με εξίσωση ax + by + c = 0 6. Χρησιμοποιώντας διανύσματα, βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία P(,5) και Q(6,-). PQ =< 6, 5 >=< 4, 6 > x y 5 = Χρησιμοποιώντας διανύσματα αποδείξτε ότι η εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο γωνία είναι ορθή.

3 Πρέπει να δείξουμε ότι AC C = 0 AC = u + v C = v u Υπολογίζοντας το εσωτερικό γινόμενο παίρνουμε: AC C = ( u+ v) ( v u) = u v u u+ v v v u = u v u u+ v v u v = = u u+ v v = u + v ή AC C = r + r = 0 επειδή το μήκος των διανυσμάτων u και v ισούται με την ακτίνα r του κύκλου. Άρα τα διανύσματα AC και C είναι κάθετα, και επομένως AC ˆ = 90 o 8. Βρείτε ένα διάνυσμα κάθετο στο διάνυσμα Α=<3,5> 5 x = t < xy, > < 3,5 >= 0 3x+ 5y = 0 => 3, t y = t Έτσι για π.χ. t = παίρνουμε το διάνυσμα A 5, 3, το οποίο είναι κάθετο προς το 9. Βρείτε τα δύο μοναδιαία διανύσματα στην κατεύθυνση του C=3i-4j C = 3 + ( 4) = 5 C 3 4 =<, > C 5 5 C 3 4 =<, > C 5 5 3

4 0. Βρείτε τα παράλληλα και κάθετα μοναδιαία διανύσματα στο σημείο (,π/4) της καμπύλης y=tan - x y'( x) = + x y '() = Ένα διάνυσμα παράλληλο στην εφαπτομένη είναι το v =<, > 5 v = + = v uˆ = =<, > v 5 5 uˆ =<, > 5 5 nˆ =<, > 5 5 nˆ =<, > 5 5. Χρησιμοποιώντας διανύσματα αποδείξτε ότι το ευθύγραμμο τμήμα, που ενώνει τα μέσα πλευρών ενός τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. Από το σχήμα έχουμε AC + C = A ή b + a = c Έστω DE = d το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των πλευρών AC και C. Τότε d = DC + CE = b + a = ( b + a) = c Άρα το d είναι παράλληλο προς το c και ίσο με το μισό του.. Αποδείξτε την ανισότητα του Cauchy A A, A, 0 Έστω u Τότε = A A, v και C = u va = A 4

5 C C = u uv A + v A A = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = u uv + uv = u uv = u u v Επειδή A 0 u > 0 Επιπλέον είναι C C 0 Έτσι θα είναι και u v 0 u v u v A A ( ) ( ) 3. Αποδείξτε την τριγωνική ανισότητα A+ A+, A, 0. Πότε ισχύει η ισότητα; Από την ανισότητα του Cauchy έχουμε: A+ = A+ A+ = A A+ A + A + A + = A + Επομένως A+ A + ( ) ( ) ( ) H ισότητα ισχύει όταν το ένα διάνυσμα είναι θετικό πολλαπλάσιο του άλλου. 4. Αν A = AC και A 0 μπορούμε να συμπεράνουμε ότι = C ; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. Όχι δεν μπορούμε να συμπεράνουμε πως = C γιατί A = AC A AC = 0 A ( C) = 0 Δηλαδή το διάνυσμα C μπορεί να είναι οποιοδήποτε διάνυσμα κάθετο στο A και όχι αναγκαστικά το 0 5. Βρείτε την απόσταση του σημείου (4,7) από την ευθεία με εξίσωση 8x-3y+4=0 Έστω το σημείο P (4,7) και το σημείο A,0 που ανήκει στην ευθεία 8x 3y+ 4= 0. To διάνυσμα =< 8, 3 > είναι κάθετο στην ευθεία. Επομένως AP ( 3) d = = = 8 + ( 3) Βρείτε την τιμή του k ώστε τα διανύσματα A=<3,k> και =<4,> να είναι α) παράλληλα και β) κάθετα μεταξύ τους a) Πρέπει = λ A δηλ. 5

6 4 λ = 4= 3λ 3 4, = λ 3, k = kλ = k k = = 3 4 b) Πρέπει A = 0 4, 3, k = 0 + k = 0 k= 6 7. Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης F=<4,7> κατά την μετατόπιση PQ με P(,) και Q(5,3). PQ =< 5,3 >=< 3, > W = F PQ = 4, 7 5,3 = + 4 = 6 8. Βρείτε την απόσταση μεταξύ των σημείων P(3,4,6) και Q(-,6,0). Επίσης υπολογίστε το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος PQ. PQ =< 3,6 4,0 6 >=< 5,, 6 > PQ = = ( ) M = (,, ) = (,5,3) 9. Δείξτε ότι τα σημεία P(,,3), Q(4,-5,) και R(0,0,0) είναι οι κορυφές ενός ορθογώνιου τριγώνου. Δημιουργούμε τα διανύσματα: PQ = 4, 5, 3 = 3, 7, QR = 0 4, 0 ( 5), 0 3 = 4,5, 3 PR = 0, 0, 0 3 =,, 3 Υπολογίζουμε τα εσωτερικά γινόμενα: PQ QR = 3, 7, 4,5, 3 = 3( 4) + ( 7)5 + ( )( 3) = = 44 PQ PR = 3, 7,,, 3 = 3( ) + ( 7)( ) + ( )( 3) = = 4 QR PR = 4,5, 3,, 3 = ( 4)( ) + 5( ) + ( 3)( 3) = = 0 Επομένως η ορθή γωνία βρίσκεται ανάμεσα στις πλευρές QR και PR 0. Αν η ευθεία L διέρχεται από το σημείο (,,3) και είναι κάθετη στο επίπεδο xy, να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων της L που απέχουν απόσταση 7 από το σημείο P(3,-,5) Τα σημεία πάνω στην L έχουν συντεταγμένες: (,,z). Η απόσταση τους από το P είναι (3 ) + ( ) + (5 z) = 3 + (5 z) Εξισώνοντας με 7 έχουμε: 3 + (5 z) = (5 z) = 49 (5 z) = 36 5 z =± 6 z = ήz= Έτσι τα ζητούμενα σημεία έχουν συντεταγμένες (,,-) και (,,) 6

7 . Δείξτε ότι τα σημεία P(,-,5), Q(6,0,6), R(4,,8) είναι συγγραμμικά. PQ = = 8 = 3 QR = = 7 = 6 PR = = 6 = 9 Προφανώς PR = PQ + QR Αν τα σημεία δεν είναι συγγραμικά τότε δημιουργούν κορυφές τριγώνου. Σε μια τέτοια περίπτωση όμως θα έπρεπε PR < PQ + QR. Έτσι τα δοσμένα σημεία είναι συγγραμικά.. Βρείτε το σημείο του άξονα y που ισαπέχει από τα σημεία (,5,-3) και (-3,6,) 0, y,0 Το ζητούμενο σημείο θα πρέπει να έχει την μορφή: ( ) Έτσι ( 0) ( 5 y) ( 3 0) ( 3 0) ( 6 y) ( 0) + + = + + ( ) ( ) Επομένως το σημείο είναι το ( 0, 4,0 ) 3+ 5 y = y y 0y+ 38 = y y+ 46 y = 8 y = 4 3. Βρείτε τα συνημίτονα κατεύθυνσης του Α=5i+4j-k Είναι A= A, A, A3 = 5, 4, και A = = 605 = 5 cos a cos β cosγ A A = = A A = = A A 3 = = Βρείτε τη διανυσματική προβολή του A=<3,6,> πάνω στο =<-,7,-4> Η διανυσματική προβολή δίνεται του A πάνω στο είναι A A proj A = = Όμως A = 3, 6,, 7, 4 = 3 =, 7, 4, 7, 4 = 69 Έτσι proj A = =,7, 4 =,,

8 5. Βρείτε και σχεδιάστε την αριθμητική και διανυσματική προβολή του Α=<-3,4> πάνω στο Β=<5,> A 3, 4 5, H αριθμητική προβολή είναι = = 5, 5, 6 και η διανυσματική είναι A 55 proj A = = 5, =, Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων Α=<9,,> και Β=<5,,-3> A θ = cos A Όμως A = 9,, 5,, 3 = 44 A = A A = 9,, 9,, = 86 = = 5,, 3 5,, 3 = 35 Επομένως θ = cos = cos = cos 0.80 θ = 0.64 ακτίνια ή θ Αναλύστε το διάνυσμα Α=<5,,-> σε ένα διάνυσμα κάθετο και ένα παράλληλο προς στο διάνυσμα Β=<,-,5> Έστω u το παράλληλο διάνυσμα προς το και v το κάθετο διάνυσμα προς το, τότε: A u v proj A = + = + ( A proj A ) A u = proj A = 8

9 όμως A = 5,,,,5 = 3 =,, 5,, 5 = 30 Έτσι 3 u =,, 5 =,, και 4 3 v = A u = 5,,,, =,, Χρησιμοποιώντας τα διανύσματα A=<4,,-3> και =<-4,,6>, δείξτε ότι το διάνυσμα Αx είναι κάθετο και με το διάνυσμα Α και με το διάνυσμα Β A = ab ab, ab ab, ab ab = ()(6) ( 3)(),( 3)( 4) (4)(6),(4)() ()( 4) = = 8,,6 A ( A ) = 4,, 3 8,,6 = (4)(8) + ()( ) + ( 3)(6) = 0 A = 4,, 6 8,,6 = ( 4)(8) + ()( ) + (6)(6) = 0 ( ) Επομένως A A και A 9. Βρείτε ένα διάνυσμα N το οποίο είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζεται από τα σημεία P(,-3,), Q(3,4,-) και R(,,). Επίσης υπολογίστε το εμβαδό του τριγώνου με κορυφές τα P,Q,R. PQ = 3,4 ( 3), =,7, 3 PR =, ( 3), =, 4, Τότε N = PQ PR = 5,, Το εμβαδό του παραλληλογράμμου που ορίζεται από τα PQ και PR είναι ίσο με PQ PR = 5,, 5,, = 7 = 3 3 Επομένως το ζητούμενο εμβαδό του τριγώνου θα είναι ίσο με το μισό του παραλληλογράμμου, δηλ Βρείτε τον όγκο του παραλληλεπιπέδου που καθορίζεται από τα τμήματα PQ, PR, PS όπου P(3,,5), Q(-,-,0), R(4,,0), S(,,-3). Αν A = PQ = 3,,0 5 = 5,, 5 = PR = 4 3,, 0 5 =, 0, 5 C = PS = 3,, 3 5 =, 0, 8 τότε το ζητούμενο εμβαδό είναι ίσο με 9

10 A ( C) Αλλά C = 0,8, 0 A C = = = επομένως ( ) 5,, 5 0,8, A = A A 3. Αποδείξτε την ταυτότητα ( ) Αν θ η γωνία μεταξύ των A και, έχουμε A A = A A cosθ = A A cos θ = ( ) ( ) ( cos θ) sin θ ( sinθ) = A = A = A = A 3. Δείξτε ότι ισχύει η σχέση: ΒxA=-(Ax) Έστω A= a, a, a3 = b, b, b 3 Τότε είναι A = ab ab, ab ab, ab ab και A= ba ba, ba ba, ba ba = A ( ) 33. Δείξτε ότι AxA=0 Από την προηγούμενη άσκηση θα έχουμε: A A= A A A A = 0 A A= 0 ( ) ( ) 34. Δείξτε ότι (A-)x(A+)=(Ax) A A + = A A + A A = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( A ) ( A) = ( A ) ( A ) = A ( ) ( ) 35. Αν το Α=<,-3,> είναι κάθετο στο επίπεδο P και το =<-,4,-> είναι κάθετο σε ένα άλλο επίπεδο P, δείξτε ότι τα επίπεδα P και P τέμνονται και βρείτε ένα διάνυσμα παράλληλο προς την ευθεία τομής τους. Για να είναι τα P,P παράλληλα θα πρέπει και τα A, να είναι παράλληλα. Αυτό όμως δεν ισχύει καθώς το ένα δεν είναι πολλαπλάσιο του άλλου. Επομένως τα P,P τέμνονται. Ένα διάνυσμα παράλληλο προς την ευθεία τομής τους θα είναι το A =,3,5 0

11 36. Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία P(,-,4) και Q(4,5,). Σε ποιο σημείο αυτή τέμνει τα επίπεδα xy και yz; Για να βρούμε την εξίσωση μιας ευθείας χρειαζόμαστε ένα σημείο από το οποίο διέρχεται και ένα διάνυσμα παράλληλο προς αυτή. Ως σημείο παίρνουμε έστω το P(,-,4) και ως παράλληλο διάνυσμα το PQ = 4,5 ( ), 4 = 3, 7, Επομένως οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας είναι οι x= + 3t y = + 7t z = 4 t Για να βρούμε την τομή της ευθείας με το επίπεδο xy θέτουμε z=0 Έτσι 0= 4 t t = και x= + 3() = 7, y = + 7() = Άρα το σημείο τομής της ευθείας με το επίπεδο xy είναι το (7,,0) Αντίστοιχα, για να βρούμε την τομή της ευθείας με το επίπεδο yz θέτουμε x=0 3 4 Έτσι 0= + 3t t = και y = + 7 =, z = 4 = Άρα το σημείο τομής της ευθείας με το επίπεδο yz είναι το 0,, Δείξτε ότι οι ευθείες L: x=x 0+at, y=y 0+bt, z=z 0+ct και L: x=x 0+At, y=y 0+t, z=z 0+Ct είναι κάθετες μεταξύ τους αν και μόνο αν ισχύει aa+b+cc=0 Από την μορφή των παραμετρικών εξισώσεων γίνεται φανερό πως ένα διάνυσμα παράλληλο προς την L είναι το <a,b,c> και ένα διάνυσμα παράλληλο προς την L είναι το <A,,C>. Επίσης και οι δύο ευθείες διέρχονται από ένα κοινό σημείο, το (x 0,y 0,z 0). Επομένως οι L και L είναι κάθετες μεταξύ τους αν και μόνο αν τα διανύσματα <a,b,c> και <A,,C> είναι κάθετα, δηλ αν και μόνο αν το εσωτερικό τους γινόμενο είναι ίσο με 0: <a,b,c>.<a,,c>=0 ή aa+b+cc=0 38. Βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που περιέχει το σημείο P(3,4,-) και είναι κάθετο στο διάνυσμα <5,-,> Το ζητούμενο επίπεδο θα έχει εξίσωση της μορφής: 5x y+ z = D Επειδή το σημείο P ανήκει στο επίπεδο, πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωσή του: 5(3) (4) + ( ) = D D= 6 Άρα η εξίσωση του ζητούμενου επιπέδου είναι η 5x y+ z = Βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων 4x+8y-3x= και 5x-y+z=-3

12 H γωνία μεταξύ των επιπέδων είναι η γωνία μεταξύ των κάθετων διανυσμάτων τους: A= 4,8, 3, = 5,,. Ισχύει η σχέση: A θ = cos A Είναι A =, A= 89, = 30 Έτσι θ = = 670 = o cos cos Εκφράστε διανυσματικά την απόσταση από την αρχή των αξόνων έως την τομή επιπέδων. Έστω A ένα κοινό σημείο των επιπέδων (βρίσκεται πάνω στην ευθεία της τομής τους) και ότι τα κάθετα διανύσματα προς τα δύο επίπεδα είναι N και N αντίστοιχα. Τότε ένα διάνυσμα παράλληλο προς την ευθεία τομής τους είναι το N = N N. Αν X το τυχαίο σημείο της ευθείας τότε η διανυσματική εξίσωσή της είναι η X = A + tn. Αν το P είναι το σημείο της ευθείας που βρίσκεται πιο κοντά στην αρχή των αξόνων, τότε πρέπει το P να είναι κάθετο στην ευθεία, δηλ. πρέπει P N = 0. Επίσης για κάποιο t, έστω το t P, θα είναι P= A+ tpn. P N = 0 A+ t N N = 0 Έτσι ( P ) Από την τελευταία σχέση μπορούμε να υπολογίσουμε το t : P A N ( A+ tpn) N = 0 A N + tpn N = 0 tp = N N Επομένως A N P= A N N N Η ζητούμενη απόσταση είναι d = P 4. Βρείτε την απόσταση D από το σημείο (4,-,5) έως το επίπεδο 4x-y+z=3 Έστω n το κάθετο στο επίπεδο διάνυσμα. Επίσης έστω Ss (, s, s 3) ένα τυχαίο σημείο του επιπέδου, τότε η ζητούμενη απόσταση του σημείου P(4,-,5) από το επίπεδο δίνεται από τη σχέση n d = PS n Είναι PS = s 4, s ( ), s3 5 = s 4, s +, s3 5 και n = 4,,

13 Επίσης, επειδή το S ανήκει στο επίπεδο θα ικανοποιεί την εξίσωσή του δηλ: 4s s + s = 3 3 Έχουμε λοιπόν n PS n PS n s 4, s +, s3 5 4,, 4( s 4) ( s + ) + s3 5 d = PS = = = = = n n n n 4,, 4,, 4 + ( ) + 4s s + s 6 5 4s s + s = = = = = 4 + ( ) + 4. Δείξτε ότι το επίπεδο x-4y+4z=5 είναι παράλληλο προς το επίπεδο x-y+z= και υπολογίστε την μεταξύ τους απόσταση. Τα κάθετα διανύσματα προς τα δύο επίπεδα είναι n =, 4, 4 και n =,, Προφανώς είναι n = n, δηλαδή τα διανύσματα είναι παράλληλα και αφού τα επίπεδα είναι κάθετα προς αυτά, θα είναι μεταξύ τους παράλληλα. Έστω P( p, p, p 3) ένα τυχαίο σημείο του πρώτου επιπέδου και Ss (, s, s 3) ένα τυχαίο σημείο του δεύτερου επιπέδου, τότε η ζητούμενη απόσταση μεταξύ των δύο επιπέδων θα είναι n d = PS n Είναι PS = s p, s p, s3 p3 Επίσης, επειδή τα σημεία P και S ανήκουν αντίστοιχα στα δύο επίπεδα θα ικανοποιούν τις εξισώσεις τους δηλ: p 4p + 4p3 = 5 s s + s3 = Έχουμε λοιπόν n PS n PS n s p, s p, s3 p3,, d = PS = = = = n n n n,,,, s p ( s p) + ( s3 p3) = + ( ) + 5 s p s + p + s3 p s 3 s + s3 ( p p + p3) = = = = = = 3 6 3

14 43. Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών x=t+, y=3t+, z=4t+3 και x=s+, y=s+4, z=-4s-. Στη συνέχεια να βρείτε το επίπεδο που ορίζουν οι ευθείες αυτές. Στο χώρο των τριών διαστάσεων, οι ευθείες μπορεί να είναι ασύμβατες δηλαδή να μην τέμνονται. Αν τέμνονται τότε θα πρέπει το σύστημα των εξισώσεων που προκύπτει αν εξισώσουμε τα x, y, z των δύο ευθειών να έχει λύση για κάποια t και s. Έχουμε το σύστημα: t+ = s+ 3t + = s + 4 4t + 3 = 4s s + Λύνοντας την πρώτη εξίσωση ως προς t παίρνουμε: t = Αντικαθιστούμε το t στην δεύτερη εξίσωση και παίρνουμε: s = s + 4 3( s + ) + 4 = 4s + 8 s = + Επομένως t = = 0 Έχουμε τις τιμές των t και s, αλλά θα πρέπει να ελέγξουμε αν ικανοποιούν και την τρίτη εξίσωση: = 4 ( ) 3= 3 Έτσι τελικά το σύστημα έχει μοναδική λύση και οι δύο ευθείες τέμνονται στο σημείο: P=( 0 +, 3 0 +, ) = (,, 3) Για να βρούμε την εξίσωση του επιπέδου που ορίζεται από τις δύο ευθείες, εκτός από το σημείο P χρειαζόμαστε και ένα κάθετο διάνυσμα στο επίπεδο. Το διάνυσμα αυτό θα προκύψει ως το εξωτερικό γινόμενο των δύο παράλληλων διανυσμάτων προς τις ευθείες. Όπως προκύπτει άμεσα από τις παραμετρικές εξισώσεις των ευθειών, η πρώτη έχει παράλληλο διάνυσμα το v =,3, 4 ενώ η δεύτερη το v =,, 4. Το εξωτερικό γινόμενό τους είναι το w = v u =,3, 4,, 4 =... = 0,, Επομένως η εξίσωση του ζητούμενου επίπεδου θα είναι η: 0 x + y + z 3 = 0 0x+ y+ z = 7 ( ) ( ) ( ) 44. Βρείτε την τιμή του k ώστε τα επίπεδα 3x-5y+3z-=0 και 5x+3y-kz+3=0 να είναι κάθετα μεταξύ τους. Δύο επίπεδα είναι κάθετα αν-ν τα κάθετά τους διανύσματα είναι μεταξύ τους κάθετα, δηλ. το εσωτερικό τους γινόμενο είναι ίσο με 0. Έτσι πρέπει: 3, 5,3 5,3, k = ( 5) ( k) = 0 k = 0 4

15 x 4 y 6 z Δείξτε ότι οι εξισώσεις = = και x y z 3 = = εκφράζουν την ίδια ευθεία. Ένας τρόπος να το δείξουμε αυτό είναι ο ακόλουθος: 4,6, 9 που είναι ένα σημείο της πρώτης ευθείας, ανήκει και στην Το σημείο ( ) δεύτερη ευθεία καθώς ικανοποιεί τις εξισώσεις της: = = = = = = Επίσης ένα διάνυσμα παράλληλο στην πρώτη ευθεία είναι το 3, 4,, ενώ ένα διάνυσμα παράλληλο στην δεύτερη ευθεία είναι το 6, 8, 4. Εύκολα διακρίνουμε πως ισχύει 6, 8, 4 = 3, 4,, επομένως τα διανύσματα είναι παράλληλα. Δηλαδή οι δύο ευθείες διέρχονται από το ίδιο σημείο και είναι παράλληλες σε παράλληλα μεταξύ τους διανύσματα, άρα αυτές πρέπει να ταυτίζονται. 46. Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο P(3,4,-) και είναι κάθετη στο επίπεδο 4x+3y-z=4 H ζητούμενη ευθεία θα είναι παράλληλη προς το κάθετο διάνυσμα του επιπέδου 4,3,, επομένως οι παραμετρικές της εξισώσεις θα είναι οι ακόλουθες: x= 3+ 4t y = 4+ 3t z = t Βρείτε την απόσταση μεταξύ των ευθειών: x + y z + = = και x + y = = z Η πρώτη ευθεία διέρχεται από το σημείο P (,3, 3) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα,,. Η δεύτερη ευθεία διέρχεται από το σημείο P (,, 0) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα 4, 3, 5. Έστω το επίπεδο το οποίο διέρχεται από την πρώτη ευθεία και ταυτόχρονα είναι παράλληλο προς τη δεύτερη ευθεία, τότε το κάθετό του διάνυσμα θα δίνεται ως το εξωτερικό γινόμενο των δύο παράλληλων προς τις ευθείες διανυσμάτων: n =,, 4, 3, 5 =... =,, Τότε η απόσταση d μεταξύ των δύο ευθειών θα ισούται με την απόσταση ενός σημείου της δεύτερης ευθείας από αυτό το επίπεδο. Έτσι 5

16 PP n ( ), 3, 0 ( 3),,,,3,, = = = = =,,,, n d PP n n 6 9 = = =