Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγική Σχολή Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης Εργασία: Επίλυση προβλήματος Καθηγητής : Χαράλαμπος Λεμονίδης Όνομα φοιτήτριας: Μπεσικιώτη Ζωή, Α.Ε.Μ. 4385 από το σχολικό βιβλίο: Το πρόβλημα βρίσκεται στο βιβλίο της ΣΤ Δημοτικού στο κεφάλαιο 44 με τίτλο Λύνω προβλήματα με ποσοστά, βρίσκω το ποσοστό στα 100. Πρόβλημα: Ένα βιβλιοπωλείο αγοράζει ένα βιβλίο 8 και το πουλάει 14. Πόσο στα 100 (%) είναι το κέρδος του; Ανάλυση του προβλήματος: i. Ποιο είναι το κέρδος του βιβλιοπώλη σε ; β) Στο πρόβλημα υπάρχει κάποιο σημαντικό ή σημείο κλειδί για την επίλυσή του; Το πρόβλημα εξετάζει την εύρεση ποσοστού. Επομένως, ως σημείο κλειδί μπορεί να θεωρηθεί η λέξη κέρδος επί τοις εκατό, η οποία διακρίνεται στην εκφώνηση. γ) Με πόσους τρόπους λύνεται το πρόβλημα; Ποιοι είναι οι διαφορετικοί τρόποι λύσης του; Το πρόβλημα λύνεται με δύο τρόπους: με αναλογία και με την απλή μέθοδο των τριών, μιας και τα ποσά επί τοις εκατό είναι ανάλογα (π.χ. εάν έχει κέρδος 30% δηλαδή στα 100 θα έχει κέρδος 30, στα 300 θα έχει κέρδος 90 κ.ο.κ). 1ος τρόπος με αναλογία: Απαραίτητο βήμα αποτελεί να βρούμε το κέρδος του βιβλιοπώλη σε ευρώ, δηλαδή τελική τιμήαρχική τιμή 14-8=6 κέρδος. ποσά τιμές Κέρδος 6 Χ; Αρχική τιμή 8 100 Άρα 6/8=χ/100, όπου μπορούμε να το λύσουμε με τα σταυρωτά γινόμενα βρίσκοντας το αποτέλεσμα 75. Επομένως το κέρδος είναι 75 στα 100 ή 75%. 2ος τρόπος με απλή μέθοδο των τριών: Αρχική τιμή 8 6 100 Χ; Κέρδος
Επομένως 8χ=6*100 8χ=600 χ=600/8 χ=75. Επομένως εάν η αρχική τιμή ήταν 100, το κέρδος του θα ήταν 75 ή το κέρδος του είναι 75%. Το παραπάνω πρόβλημα θεωρείται μέτριο προς δύσκολο πρόβλημα διότι ναι μεν χρησιμοποιεί εργαλεία τα οποία είναι αρκετά οικεία στο μαθητή (απλή μέθοδος των τριών, αναλογία) αλλά από την άλλη ο μαθητής ίσως δυσκολευτεί στο σημείο της τοποθέτησης των ποσών στα πινακάκια, διότι πιθανόν αντί να επιλέξει την αρχική τιμή, πιθανόν να προτιμήσει την τελική τιμή. Πρόβλημα από το διαγωνισμό των Μαθηματικών της Φύσης και της Ζωής: Το πρόβλημα αυτό εμφανίζεται στο διαγωνισμό του έτους 2009, της Ε τάξης δημοτικού. Πρόβλημα: Τα παιδιά της Πέμπτης τάξης αποφάσισαν να βάψουν έναν τοίχο της τάξης τους. Ο τοίχος έχει σχήμα ορθογώνιο με μήκος 8 μ. και ύψος 4μ. και 3 παράθυρα που το καθένα έχει εμβαδό 1 τετραγωνικό μέτρο. Στο χρωματοπωλείο ο κ. Μηνάς τους είπε ότι ένα κουτί μπογιά φτάνει για να βαφτούν 5 τετραγωνικά μέτρα τοίχου και κοστίζει 3,5 ευρώ. Πόσο θα πληρώσουν για να βάψουν τον τοίχο; Ανάλυση προβλήματος: i. Ποιο είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου; ii. Πόσα είναι συνολικά τα τ.μ. των παραθύρων; iii. Πόσα τ.μ. είναι η επιφάνεια η οποία θα βαφτεί; iv. Πόσα κουτιά μπογιάς θα χρειαστούν συνολικά; β)στο πρόβλημα υπάρχει κάποιο σημαντικό ή σημείο κλειδί για την επίλυσή του; Στο συγκεκριμένο πρόβλημα θα μπορούσαν να θεωρηθούν ως λέξεις κλειδιά οι εξής λέξεις: εμβαδόν ορθογωνίου, τετραγωνικά μέτρα και 3,5 η κάθε μπογιά. γ)με πόσους τρόπους λύνεται το πρόβλημα; Ποιοι είναι οι διαφορετικοί τρόποι λύσης του; Υπάρχει μία λογική σειρά επίλυσης του προβλήματος, ωστόσο ο λύτης μπορεί να επιλέξει για την επίλυσή του είτε την αναλογία είτε την απλή μέθοδο των τριών εφόσον τα ποσά είναι ανάλογα δηλαδή όσο αυξάνεται η μπογιά άλλο τόσο αυξάνεται και η τιμή ( 1 κουτί 3.5, τα 2 κουτιά 7, τα 3 κουτιά 10.5 κ.ο.κ). Αρχικά για να το λύσουμε θα πρέπει να βρούμε πόσο είναι ολόκληρο το εμβαδόν του τοίχου. Επομένως Ε=β*υ σύμφωνα με τον τύπο δηλαδή Ε=4*8=32τ.μ. όμως από την εκφώνηση αναφέρεται ότι ο τοίχος έχει τρία παράθυρα, οπότε θα πρέπει να αφαιρέσουμε το εμβαδόν τους. Άρα, Επαραθύρων=Ε1+Ε2+Ε3=1+1+1=3τ.μ. αυτό σημαίνει ότι η επιφάνεια του τοίχου που θα βαφτεί θα είναι Ετελ=Ε-Επαραθύρων=32-3=29τ.μ. 1ος τρόπος με αναλογία: κουτί 1 Χ; τ.μ. 5 29
Επομένως: 1/5=χ/29 5χ=29 χ=29/5 χ=5.8 κουτιά. Επειδή είναι αδύνατον να αγοράσει 5.8 κουτιά, τελικά θα αγοράσει 6. κουτιά 1 6 Ευρώ 3.50 Χ; χ=3,50*6=21 ευρώ. Επομένως, θα πληρώσει 21ευρώ. 2ος τρόπος με απλή μέθοδο των τριών: Κουτιά 1 5 Χ; 29 Επομένως, 1/5=χ/29 5χ=29 χ=29/5 χ=5.8 κουτιά. Επειδή είναι αδύνατον να αγοράσει 5.8 κουτιά, τελικά θα αγοράσει 6. τ.μ. κουτιά 1 6 Ευρώ 3.50 Χ; Επομένως: χ=3,50*6=21 ευρώ. Το πρόβλημα είναι εύκολο, ωστόσο ο μαθητής μπορεί να δυσκολευτεί και να υπολογίσει πόσα χρήματα χρειάζονται για να βάψει όλο τον τοίχο χωρίς να αφαιρέσει τα εμβαδά των παραθύρων. Ακόμη, άλλο ένα σημείο στο οποίο ενδέχεται να κάνουν λάθος είναι στη διαίρεση εύρεσης των κουτιών μπογιάς. Πολλά παιδιά μπορεί να δώσουν την απάντηση 5.8 κουτιά, απάντηση η οποία είναι αδύνατη, δηλαδή να μην κάνουν τη στρογγυλοποίηση, ενώ κάποια άλλα αντί για 6 κουτιά να γράψουν 5. Ελεύθερο πρόβλημα Πρόβλημα: Ο Μανώλης από τα κάλαντα των Χριστουγέννων συγκέντρωσε συνολικά 300. Τα 5/6 τα ξόδεψε σε ρούχα ενώ τα 3/20 τα ξόδεψε για να πάρει ένα video game. Αυτό που του λείπει όμως είναι και ένα ποδήλατο το οποίο κοστίζει 50. Του φτάνουν τα χρήματα για να το αγοράσει; Αν όχι πόσα χρήματα θα πρέπει να συμπληρώσουν οι γονείς του; i. Πόσα χρήματα ξόδεψε για να πάρει τα ρούχα; ii. Πόσα χρήματα ξόδεψε για να πάρει το video game; iii. Πόσα χρήματα έκαναν συνολικά και τα δύο μαζί; iv. Πόσα χρήματα του έμειναν;
β) Στο πρόβλημα υπάρχει κάποιο σημαντικό ή σημείο κλειδί για την επίλυσή του; Μία λέξη κλειδί για την επίλυση του προβλήματος είναι τα 5/6 του 300, δηλαδή πώς υπολογίζεται ένα μέρος μιας ποσότητας. γ) Με πόσους τρόπους λύνεται το πρόβλημα; Ποιοι είναι οι διαφορετικοί τρόποι λύσης του; Το πρόβλημα λύνεται με έναν τρόπο εφόσον υπάρχει λογική ακολουθία μεταξύ των πράξεων. Ο λύτης ωστόσο μπορεί να το λύσει απευθείας από τον τύπο: μέρος ενός συνόλου π.χ. 5/6 του 300=(5/6)*300. τα 5/6 του 300 είναι 5/6*300=250. τα 3/20 του 300 είναι 3/20*300=45. Τα χρήματα που ξόδεψε συνολικά είναι 250+45=295. Άρα τα χρήματα που του έμειναν είναι 300-295=5. Επομένως, τα χρήματα δεν επαρκούν για την αγορά ενός ποδηλάτου και οι γονείς του θα πρέπει να του δώσουν 50-5= 45. Σημείωση: ακόμη και αν τύχει να μη γνωρίζουν τα παιδιά τον παραπάνω τύπο, το πρόβλημα μπορούν να το λύσουν και με την απλή μέθοδο των τριών ή και με τον πίνακα των αναλογιών. Ακολουθεί ένα παράδειγμα: 5/6 Χ; 6/6=1 300 Το πρόβλημα είναι ελάχιστα δύσκολο για έναν μαθητή ο οποίος δεν γνωρίζει πώς βρίσκουμε το μέρος ενός συνόλου. Από την άλλη, εάν γνωρίζει τον τρόπο εύρεσης του ποσού ενός συνόλου και ακολουθώντας με λογική σειρά τις πράξεις, μπορεί να οδηγηθεί με επιτυχία στο αποτέλεσμα. B ΦΑΣΗ: ΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΠΟ ΦΟΙΤΗΤΗ 1) Πώς σκέφτηκε και πώς ανέπτυξε τη λύση του προβλήματος; Εργάστηκε με την απλή μέθοδο των τριών. Βρήκε από την αρχή το κέρδος του βιβλιοπώλη στα 8 και στη συνέχεια έκανε το πινακάκι με τα ποσά προκειμένου να βρει το ποσοστό στα 100. Αρχικά, έκανε ένα σχήμα προκειμένου να αποφύγει τυχόν λάθη. Στη συνέχεια, ακολούθησε τον μοναδικό τρόπο επίλυσης του προβλήματος, τον τρόπο δηλαδή που έλυσα και εγώ το πρόβλημα αυτό. Κατέγραψε στην αριστερή μεριά της κόλλας τα δεδομένα και στη συνέχεια ακολουθώντας βήμαβήμα τα ερωτήματα, πραγματοποιούσε και τις αντίστοιχες απαιτούμενες πράξεις. Ο τρόπος που επέλεξε ήταν ίδιος με τον δικό μου, εφόσον προτείνεται μία λύση. 2) Σε ποιο σημείο είχε δυσκολίες; Το σημείο το οποίο δυσκολεύτηκε ήταν το σημείο όπου θα κάνει τα πινακάκια με τα αντίστοιχα ποσά. Στην αρχή, αντί για την αρχική τιμή επέλεξε την τελική τιμή στο πινακάκι και κάνοντας τη
διαίρεση κατέληξε σε ένα αποτέλεσμα το οποίο θεωρητικά ήταν αδύνατο. Στη συνέχεια, ξαναδιάβασε την εκφώνηση, σκέφτηκε καλύτερα, κατανοώντας τις έννοιες και τους αριθμούς και στη συνέχεια προχώρησε ξανά στην λύση του, χωρίς βοήθεια. Δεν αντιμετώπισε καμία δυσκολία. Δεν αντιμετώπισε δυσκολίες. 3) Έλυσε σωστά το πρόβλημα; Χρειάστηκε πολύς χρόνος; Το πρόβλημα τελικά το έλυσε σωστά, αν και στην αρχή αντιμετώπισε μία δυσκολία ως προς την τιμή που θα επέλεγε στο πινακάκι. Χρειάστηκε περισσότερος χρόνος απ ότι χρειάστηκε για να λύσει τα υπόλοιπα προβλήματα. Το έλυσε σωστά, χωρίς να χρειαστεί περισσότερο χρόνο ή κάποια βοήθεια. Το έλυσε σωστά, χωρίς να χρειαστεί περισσότερο χρόνο ή κάποια βοήθεια. 4) Ο λύτης πώς αξιολογεί τη δυσκολία του προβλήματος;- Άλλες παρατηρήσεις Το πρόβλημα το αξιολόγησε πολύ δύσκολο για έναν μαθητή Ε ή ΣΤ Δημοτικού. Θεωρεί πως τα παιδιά θα δυσκολευτούν να επιλέξουν την αρχική τιμή για το πινακάκι. Το έκρινε πως είναι εύκολο για αυτήν αλλά για έναν μαθητή Δημοτικού θεωρείται μέτριο έως δύσκολο. Τα σημεία που επισυνάπτει ως δύσκολα είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης, το οποίο θα πρέπει να στρογγυλοποιηθεί αλλά και ότι μερικοί μαθητές ίσως υπολογίσουν τα χρήματα που θα χρειαστεί όλος ο τοίχος για να βαφτεί, δίχως να αφαιρέσουν τα παράθυρα. Το έκρινε πως είναι εύκολο για έναν μαθητή Δημοτικού. Ωστόσο τόνισε ότι τα ζητούμενα είναι αρκετά και ο μαθητής αν δεν ακολουθήσει σωστά τα βήματα, είναι πολύ πιθανόν να οδηγηθεί σε λάθος αποτέλεσμα.