Λύσεις θεμάτων επαναληπτικών πανελληνίων εξετάσεων 2014 Στο μάθημα: «Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής» Γενικής Παιδείας ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΓΕ.Λ.

Transcript

1 Λύσεις των θεμάτων επαναληπτικών πανελλαδικών εξετάσεων 04, Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Ημερησίων ΓΕ.Λ. Λύσεις θεμάτων επαναληπτικών πανελληνίων εξετάσεων 04 Στο μάθημα: «Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής» Γενικής Παιδείας ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΓΕ.Λ. Γ Λυκείου, Παρασκευή, 0 Ιουνίου 04 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη σελίδα σχολικό βιβλίο. Α. Θεωρία-ορισμός σελίδα 4 σχολικό βιβλίο. Α3. Θεωρία-ορισμός σελίδα 6 σχολικό βιβλίο. Α4. α) Λάθος, β) Λάθος, γ) Σωστό, δ) Σωστό, ε) Λάθος 3 ΘΕΜΑ Β Β. Κλάσεις Κεντρικές τιμές x Σχετική f % Αθροιστική N [0,) [,4) [4,6) [6,8) [8, 0) ΣΥΝΟΛΟ Αθροιστική Σχετική Η η στήλη των κλάσεων: Επειδή οι κλάσεις είναι ισοπλατείς θα έχουμε ότι η κάθε μία θα έχει εύρος 0 0, και άρα θα είναι κάθε φορά με προσθεση στο αριστερό άκρο κατά. Η η στήλη : συμπληρώνεται από την περιγραφή των δεδομένων ( η η κλάση και η η κλάση περιγράφονται άμεσα, ενώ η η και η 4 η κλάση συμπεραίνονται με αφαίρεση της Βρίσκεται στο ( x 3 s, x 3 s)...είναι πάντοτε ίσο με το άθροισμα των συχνοτήτων δηλαδή το μέγεθοςτου δείγματος ν. 3 Είναι μέτρο θέσης. F %

2 Λύσεις των θεμάτων επαναληπτικών πανελλαδικών εξετάσεων 04, Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Ημερησίων ΓΕ.Λ. προηγούμενης και της επόμενης αντίστοιχα, από αυτά που περιγράφονται 8-6=).Η κλάση [4,6) είναι το υπόλοιπο της αφαίρεσης =4) Η 3 η στήλη: f % 00,,,3, 4, Η 4 η και η στήλη: από τον ορισμό της Αθροιστικής ς και της Αθροιστικής Σχετικής ς. Β. x 900 Η μέση βαθμολογία των μαθητών είναι: x ( ή x x f ) 60 Για την διάμεσο 4 : Η διάμεσος δ έχει την ιδιότητα: να έχει το 0% των παρατηρήσεων με τιμές μεγαλύτερη ή ίσες από αυτήν και το άλλο 0% των παρατηρήσεων να έχει τιμές μικρότερες ή ίσες από αυτήν. Άρα, από την στήλη των f % (και επειδή οι τιμές των κλάσεων είναι ομοιόμορφα κατανεμημενές), προκύπτει ότι δηλαδή το μέσο της 3 ης κλάσης [4,6). Β3. Αφού οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης θεωρούνται ομοιόμορφα κατανεμημένες, θα έχουμε ότι στην τελευταία κλάση [8,0) που περιέχει το 0% θα είναι % στο [8,9) και % στο[9,0). Άρα θα δοθεί έπαινος σε αυτούς που είχαν βαθμολογία 9. ΘΕΜΑ Γ Γ. Έχουμε:,0,, P( ),, με 0 4 Μπορεί να γίνει και με την κατασκευή του πολυγώνου σχετικών συχνοτήτων, σε συνδυασμό με την χρήση της ομοιότητας των τριγώνων. Κανονικά συμπεριλαμβάνεται και η βαθμολογία 0

3 Λύσεις των θεμάτων επαναληπτικών πανελλαδικών εξετάσεων 04, Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Ημερησίων ΓΕ.Λ. P( ) P(0) P() P() Πρέπει να ισχύει: P( ) P( ) P(0) P() P() 0 Και έτσι οι ζητούμενες πιθανότητες είναι: P( ) P(0) P() P() Γ 6. Το ενδεχόμενο Α είναι : A διότι: ή 0 P( A) P() Το ενδεχόμενο Β είναι : B,, διότι ή 0 ή 4 0 ή ή 6 P( B) P( ) P() P() Για τα ενδεχόμενα Γ και Δ, όπως περιγράφονται στην εκφώνηση της άσκησης, έχουμε: 6 Η εύρεση τωνπιθανοτήτων σε αυτό το ερώτημα μπορεί να γίνει και με την εύρεση των αντίστοιχων ενδεχομένων με αναγραφή.

4 Λύσεις των θεμάτων επαναληπτικών πανελλαδικών εξετάσεων 04, Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Ημερησίων ΓΕ.Λ. ( ) με A B 6 P( A B) P() και έτσι έχουμε: P( ) P( B A) P( B) P( ) 0 και P( ) P(( ) P( A B) Γ3. 9 f ( x) x x, x, 3 4 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (ως πολυωνυμική) με παράγωγο: f ( x) x x, x, 4 Για να πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Ε θα πρέπει: 9 f ( x) 0x x 0, x, και 9 0, με,0,, 4 ά f ( x) 0 ά x ή f ( x) ί 9 ί ύ έ ό ί ά, ά ί έ ό ΘΕΜΑ Δ Δ. ) Το ζητούμενο εμβαδόν είναι : Άρα A ( ) , (0,00). E x x x x E( x) E x (00 x) x x x ) H συνάρτηση E( x) x 00x 0000, x (0,00) είναι παραγωγίσιμη (ως πολυωνυμική) με παράγωγο: E ( x) 4x 00, x (0,00) E ( x) 04x 00 0 x 0 Έχουμε: 0 x 0 E ( x) 0 E( x) ί φθίνουσα (0,0] 0 x 00 E ( x) 0 E( x) ί ύ [0,00) Άρα η συνάρτηση E( x) έχει ελάχιστο στο x 0

5 Λύσεις των θεμάτων επαναληπτικών πανελλαδικών εξετάσεων 04, Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Ημερησίων ΓΕ.Λ. Δ. x 0 x x x Δ3. ( 0) Τα εμβαδά των τετραγώνων που κατασκευάζονται με πλευρές τα διαδοχικά τμήματα l με αντίστοιχα μήκη x (,,... ), είναι αντίστοιχα E x,,,.... Η μέση τιμή z των E,,,... είναι : z x í. Τώρα έχουμε: x s ( x) s z ( x) (0, ) z 4 z 4,04 m Δ4. Έχουμε : N( ) και έτσι ( ). Για το ενδεχόμενο Λ έχουμε: l, 3, 4, 6,8,9,,,6,8, 0,, 4 Άρα, αφού η επιλογή είναι τυχαία (δηλαδή τα P( ) ( ) N( ) l,,... είναι ισοπίθανα), θα έχουμε: Επιμέλεια λύσεων: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών