Homework #6, #7, #8 & #9 Analytic Geometry (Study Guide for Final Test) 1. Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου Κ του κύκλου, και την ακτίνα r του κύκλου: 1. Κ (, ) 2. r= 2. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών (1), (2), (3), και (4): 3. (1): 4. (2): 5. (3): 6. (4):
3. Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου Κ, των κορυφών Α1, Α2, Β1, Β2, και των εστιών F1, F2 της έλλειψης: 7. Κ (, ) 8. Α1 (, ) 9. Α2 (, ) 10. Β1 (, ) 11. Β2 (, ) 12. F1 (, ) 13. F2 (, ) 4. Να βρείτε το μήκος του μεγάλου άξονα της έλλειψης (Α1Α2), να βρείτε το μήκος του μικρού άξονα της έλλειψης (Β1Β2), και να βρείτε την εστιακή απόσταση της έλλειψης (F1F2):
14. d(α1,α2)= 15. d(β1,β2)= 16. d(f1,f2)= 5. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (1) της έλλειψης στο σημείο Ζ: 17. (1): 6. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Η, που είναι το σημείο τομής της ευθείας (1) και του άξονα y, και τις συντεταγμένες του σημείου Θ, που είναι το σημείο τομής της ευθείας (1) και του άξονα x: 18. H (, ) 19. Θ (, ) 7. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Ζ από το σημείο Η, την απόσταση του σημείου Ζ από το σημείο Θ, την απόσταση του σημείου Η από το σημείο Κ, και την απόσταση του σημείου Θ από το σημείο Κ: 20. d(ζ,η)= 21. d(ζ,θ)= 22. d(η,κ)= 23. d(θ,κ)= 8. Να βρείτε το εμβαδό του τριγώνου ΗΚΘ: 24. (Εμβαδό ΗΚΘ) = 9. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Ζ από τον άξονα x: 25. d(z, άξονας x) 10. Να βρείτε τo εμβαδό του τριγώνου ΚΖΘ: 26. (Εμβαδό ΚΖΘ) =
11. Να βρείτε τις συντεταγμένες του κοινού σημείου (Α) του κύκλου με τον άξονα x, και να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής (Β και Γ) του κύκλου με τον άξονα y: 27. Α (, ) 28. Β (, ) 29. Γ (, ) 12. Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής (Μ και Ν) της παραβολής με τον άξονα y: 30. Μ (, ) 31. Ν (, )
13. Να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής (Κ) και τις συντεταγμένες της εστίας (F) της παραβολής: 32. Κ (, ) 33. F (, ) 14. Να βρείτε την εξίσωση της διευθετούσας (1) της παραβολής: 34. (1): 15. Να βρείτε τις εξισώσεις των ασύμπτωτων (1) και (2) της υπερβολής: 35. (1): 36. (2): 16. Να βρείτε την εκκεντρότητα e της υπερβολής: 37. e=
17. Να βρείτε την τιμή του a, του b και του c: 38. a= 39. b= 40. c= 18. Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου Κ, των κορυφών Α1, Α2, Β1, και Β2, των εστιών F1, F2 της έλλειψης: 41. Κ (, ) 42. Α1 (, ) 43. Α2 (, ) 44. Β1 (, )
45. Β2 (, ) 46. F1 (, ) 47. F2 (, ) 19. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), και (8): 48. (1): 49. (2): 50. (3): 51. (4): 52. (5): 53. (6): 54. (7): 55. (8): 20. Να βρείτε το μήκος του μεγάλου άξονα της έλλειψης (Α1Α2), να βρείτε το μήκος του μικρού άξονα της έλλειψης (Β1Β2), και να βρείτε την εστιακή απόσταση της έλλειψης (F1F2): 56. d(α1,α2)= 57. d(β1,β2)= 58. d(f1,f2)= 21. Να βρείτε την εκκεντρότητα e της έλλειψης: 59. e=
22. Αν F1, F2 είναι οι εστίες της υπερβολής, και Ε1, Ε2 είναι οι εστίες της έλλειψης, να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων: 60. F1 (, ) 61. F2 (, ) 62. Κ (, ) 63. Ζ (, ) 64. Η (, ) 65. Ε1 (, ) 66. Ε2 (, ) 23. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών (1), (2), (3), και (4): 67. (1):
68. (2): 69. (3): 70. (4): 24. Να βρείτε τις εξισώσεις των ασύμπτωτων (5) και (6) της υπερβολής: 71. (5): 72. (6): 25. Να βρείτε την εκκεντρότητα e1 της υπερβολής: 73. e1= 26. Να βρείτε την εκκεντρότητα e2 της έλλειψης: 74. e2=
27. Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου Κ του κύκλου, και την ακτίνα r του κύκλου: 1. Κ (, ) 2. r= 28. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών (1), (2), (3), και (4): 3. (1): 4. (2): 5. (3): 6. (4):
29. Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου Κ, των κορυφών Α1, Α2, Β1, Β2, και των εστιών F1, F2 της έλλειψης: 7. Κ (, ) 8. Α1 (, ) 9. Α2 (, ) 10. Β1 (, ) 11. Β2 (, ) 12. F1 (, ) 13. F2 (, ) 30. Να βρείτε το μήκος του μεγάλου άξονα της έλλειψης (Α1Α2), να βρείτε το μήκος του μικρού άξονα της έλλειψης (Β1Β2), και να βρείτε την εστιακή απόσταση της έλλειψης (F1F2): 14. d(α1,α2)=
15. d(β1,β2)= 16. d(f1,f2)= 31. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (1) της έλλειψης στο σημείο M: 17. (1): 32. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (2) της έλλειψης στο σημείο Λ: 18. (2): 33. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Η, που είναι το σημείο τομής της ευθείας (1) και του άξονα x, και τις συντεταγμένες του σημείου Θ, που είναι το σημείο τομής της ευθείας (1) και του άξονα y: 19. H (, ) 20. Θ (, ) 34. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Z, που είναι το σημείο τομής της ευθείας (2) και του άξονα x: 21. Z (, ) 35. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Ζ από το σημείο Η, και την απόσταση του σημείου Θ από το σημείο Κ: 22. d(ζ,η)= 23. d(θ,κ)= 36. Να βρείτε το εμβαδό του τριγώνου ΖΗΘ: 24. (Εμβαδό ΖΗΘ) = 37. Να βρείτε την εκκεντρότητα e της έλλειψης: 25. e=
38. Να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής (Κ) και τις συντεταγμένες της εστίας (F) της παραβολής: 26. Κ (, ) 27. F (, ) 39. Να βρείτε τις εξισώσεις της διευθετούσας (1) της παραβολής: 28. (1): 40. Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής (Β και Γ) της παραβολής με τον άξονα x:
29. Β (, ) 30. Γ (, ) 41. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής (Α) της ευθείας (1) με τον άξονα y: 31. Α (, ) 42. Να βρείτε τις συντεταγμένες των εστιών F1, F2 της υπερβολής: 32. F1 (, ) 33. F2 (, ) 43. Να βρείτε τις εξισώσεις των ασύμπτωτων (1) και (2) της υπερβολής: 34. (1):
35. (2): 44. Να βρείτε την εκκεντρότητα e της υπερβολής: 36. e= 45. Να βρείτε τις συντεταγμένες του κοινού σημείου (Α) του κύκλου με τον άξονα x, και να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής (Β και Γ) του κύκλου με τον άξονα y: 37. Α (, ) 38. Β (, ) 39. Γ (, )
46. Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής (Μ και Ν) της παραβολής με τον άξονα y: 40. Μ (, ) 41. Ν (, ) 47. Να βρείτε τις συντεταγμένες της κορυφής (Κ) και τις συντεταγμένες της εστίας (F) της παραβολής: 42. Κ (, ) 43. F (, ) 48. Να βρείτε την εξίσωση της διευθετούσας (1) της παραβολής: 44. (1):
49. Να βρείτε την τιμή του a, του b, και του c: 45. a= 46. b= 47. c= 50. Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου Κ, των κορυφών Α1, Α2, Β1, και Β2, και των εστιών F1, F2 της έλλειψης: 48. Κ (, ) 49. Α1 (, ) 50. Α2 (, ) 51. Β1 (, ) 52. Β2 (, )
53. F1 (, ) 54. F2 (, ) 51. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης (1), (2), (3), (4): 55. (1): 56. (2): 57. (3): 58. (4): 52. Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής (Α και Β) του κύκλου με τον άξονα x, και τις συντεταγμένες των σημείων τομής (Γ και Δ) του κύκλου με τον άξονα y: 59. Α (, ) 60. Β (, ) 61. Γ (, ) 62. Δ (, )
53. Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου Κ του κύκλου, και την ακτίνα r του κύκλου: 63. Κ (, ) 64. r= 54. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (1) του κύκλου στο σημείο M: 65. (1): 55. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Α, που είναι το σημείο τομής της ευθείας (1) και του άξονα y, και τις συντεταγμένες του σημείου B, που είναι το σημείο τομής της ευθείας (1) και του άξονα x: 66. A (, ) 67. B (, )
56. Να βρείτε την απόσταση του σημείου A από την αρχή των αξόνων O, και την απόσταση του σημείου Β από την αρχή των αξόνων O: 68. d(α,ο)= 69. d(β,ο)= 57. Να υπολογίσετε τη γωνία ΟΒΑ: 70. Γωνία ΟΒΑ= 58. Αν η ευθεία (2) είναι κάθετη στην ευθεία (1) και διέρχεται από το Β να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (2): 71. (2): 59. Αν η ευθεία (1) είναι η διευθετούσα της παραβολής, να βρείτε την εξίσωση της παραβολής: 72-73. Εξίσωση παραβολής: 60. Να βρείτε τις συντεταγμένες της εστίας (F) της παραβολής: 74. F (, )
61. Να βρείτε την τιμή του a, του b, και του c: 75. a= 76. b= 77. c= 62. Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου Κ, των κορυφών Α1, Α2, Β1, και Β2, και των εστιών F1, F2 της έλλειψης: 78. Κ (, ) 79. Α1 (, ) 80. Α2 (, ) 81. Β1 (, )
82. Β2 (, ) 83. F1 (, ) 84. F2 (, ) 63. Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), και (8): 85. (1): 86. (2): 87. (3): 88. (4): 89. (5): 90. (6): 91. (7): 92. (8): 64. Να βρείτε το μήκος του μεγάλου άξονα της έλλειψης (Α1Α2), να βρείτε το μήκος του μικρού άξονα της έλλειψης (Β1Β2), και να βρείτε την εστιακή απόσταση της έλλειψης (F1F2): 93. d(α1,α2)= 94. d(β1,β2)= 95. d(f1,f2)= 65. Να βρείτε την εκκεντρότητα e της έλλειψης: 96. e= 66. Να υπολογίσετε το άθροισμα των αποστάσεων (F1,Β2) και (Β2,F2): 97. d(f1,β2)+ d(β2,f2)=
67. Να βρείτε τις εξισώσεις των ασύμπτωτων (1) και (2) της υπερβολής: 98. (1): 99. (2):
68. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου: 100-101. Εξίσωση κύκλου: 69. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (1) του κύκλου στο σημείο M: 102. (1): 70. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (2) του κύκλου, που είναι παράλληλη στην ευθεία (1), και τις εξισώσεις των εφαπτομένων (3) και (4), που είναι κάθετες στην ευθεία (1): 103. (2): 104. (3): 105. (4):
71. Να βρείτε τις πολικές εξισώσεις των κύκλων (1), (2), (3), και (4): 1-2. (1): 3-4. (2): 5-6. (3): 7-8. (4):
72. Να γράψετε το όνομα της πολικής καμπύλης, να βρείτε τον άξονα συμμετρίας της καμπύλης, και να γράψετε τη γενική μορφή της εξίσωσης της πολικής καμπύλης. Να υπολογίσετε το a και το b. Να βρείτε την πολική εξίσωση της καμπύλης: 9. Όνομα: 10. Άξονας συμμετρίας: 11. Γενική μορφή: 12-3. a= 1 14-5. b= 1 16. Εξίσωση:
73. Η καμπύλη (2) είναι η καμπύλη (1) μετά από περιστροφή σύμφωνα με τους δείκτες του ρολογιού. Να βρείτε την εξίσωση της καμπύλης (2) και την πολική εξίσωση της ημιευθείας (3): 17-8. (2): 19-20. (3): 74. Να βρείτε τις πολικές συντεταγμένες του σημείου Α: 21-2. Α (, )
75. Να γράψετε το όνομα των πολικής καμπύλης (1), να βρείτε τον άξονα συμμετρίας της, να γράψετε τη γενική μορφή της εξίσωσης της πολικής καμπύλης, να υπολογίσετε το a και να βρείτε την εξίσωσή της: 23. Όνομα: 24. Άξονας συμμετρίας: 25. Γενική μορφή: 26-7. a= 28. Εξίσωση: 76. Αν α=β, να γράψετε το όνομα των πολικής καμπύλης (2), να βρείτε τον άξονα συμμετρίας της, να γράψετε τη γενική μορφή της εξίσωσης της πολικής καμπύλης, να υπολογίσετε το a και να βρείτε την εξίσωσή της: 29. Όνομα: 30-1. Άξονας συμμετρίας (3):
32. Γενική μορφή: 33-34. a= 1 35. Εξίσωση: 77. Να βρείτε τις πολικές συντεταγμένες των σημείων Α και Β: 36-7. Α (, ) 38-9. Β (, ) 78. Ο κύκλος (2) είναι ο κύκλος (1) μετά από περιστροφή αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού. Να βρείτε τις πολικές εξισώσεις των κύκλων (1) και (2), και την πολική εξίσωση της ημιευθείας (3): 40-1. (1): 42-3. (2): 44-5. (3):
79. Να βρείτε τις πολικές συντεταγμένες του κέντρου Κ του κύκλου (1): 46-7. Κ (, ) 80. Να βρείτε την εξίσωση της καμπύλης: 48-9.
81. Να βρείτε την εξίσωση της καμπύλης: 50-1. 82. Να βρείτε την εξίσωση της καμπύλης: 52-3.
83. Να βρείτε την εξίσωση της καμπύλης: 54-5.
84. Η καμπύλη (2) είναι η καμπύλη (1) μετά από περιστροφή σύμφωνα με τους δείκτες του ρολογιού. Να βρείτε τις εξισώσεις των καμπυλών (1) και (2), και την πολική εξίσωση της ημιευθείας (3): 56-7. (1): 58. (2): 59-60. (3): 85. Να μετατρέψετε την πολική εξίσωση r = 12 εξίσωση: 2 sinθ σε ορθογώνια 61-2. Ορθογώνια εξίσωση: 86. Να βρείτε τα a, b, και c της καμπύλης r = 12 2 sinθ : 63-4. a=
65-6. b= 67-8. c= 87. Να βρείτε την εκκεντρότητα e της καμπύλης: 69-70. e=
88. Να βρείτε ποιά καμπύλη αντιστοιχεί σε ποιά εξίσωση: 71. r = 9 + 5cosθ 72. r = 7 + 7sinθ 73. r = 9 7sinθ 74. r = 7 11cosθ 75. r = 7 13sinθ 76. r = 11 11sinθ 89. Να αποδείξετε πως η εξίσωση της ευθείας με συντελεστή διεύθυνσης m που διέρχεται από σημείο A(x a, y a ) είναι: y y a = m(x x a ).
90. Να γράψετε τον ορισμό του κύκλου. 91. Να αποδείξετε πως η εξίσωση του κύκλου με κέντρο K(x 0, y 0 ) και ακτίνα r είναι (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2. 92. Να αποδείξετε πως η εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας του κύκλου με κέντρο O(0, 0) στο σημείο του κύκλου A(x 1, y 1 ) είναι: x 1 x + y 1 y = r 2.
93. Να γράψετε τον ορισμό της έλλειψης. 94. Να αποδείξετε πως η εξίσωση της έλλειψης με κέντρο Ο(0,0) είναι: x2 y2 a2 + b 2 = 1.
95. Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου που έχει διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα με άκρα A( 3, 1) και B( 5, 5). 96. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της έλλειψης 3x 2 + y 2 = 4 που είναι κάθετες στην ευθεία y = 1 x + 6. 2
97. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x 2 + y 2 = 5 που είναι παράλληλη στην ευθεία y = 2x + 3. 98. Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες ευθείες του κύκλου x 2 + y 2 = 2 στα σημεία A(1, 1), B( 1, 1), Γ( 1, 1) και Δ(1, 1) σχηματίζουν τετράγωνο. Να βρείτε τις εξισώσεις των διαγώνιων του τετραγώνου.
99. Να βρείτε για κάθε μία από τις παρακάτω εξισώσεις αν είναι εξίσωση κύκλου ή εξίσωση έλλειψης. Αν είναι εξίσωση κύκλου να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου Κ και την ακτίνα r. Αν είναι εξίσωση έλλειψης να βρείτε το α, το β, και το γ, να βρείτε την εκκεντρότητα e, τις συντεταγμένες του κέντρου Κ, τις συντεταγμένες των εστιών Ε 1 και Ε 2, τις συντεταγμένες των κορυφών A 1 και A 2, και τις συντεταγμένες των Β 1 και Β 2 : 1. 8x 2 + 9y 2 + 18y 63 = 0
2. 5x 2 + 5y 2 10x + 20y 20 = 0 100. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων δ 1, δ 2 της έλλειψης C: x2 + y2 = 1 στα άκρα του μεγάλου άξονα. 3 9
101. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης ε της έλλειψης C: x2 + y2 = 1 στο 4 6 σημείο Α( 2, 3). Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων δ 1, δ 2 της έλλειψης C: x2 + y2 = 1 που είναι κάθετες στην ευθεία ε. 4 6
102. Να γράψετε τον ορισμό της παραβολής. 103. Έστω παραβολή με κορυφή το σημείο Ο(0, 0), με άξονα συμμετρίας τον άξονα x, και απόσταση μεταξύ εστίας E και διευθετούσας δ ίση με d(e, δ) = p, p < 0. Να βρείτε την εξίσωση της παραβολής.
104. Να αποδείξετε την ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής.
105. Αν η εφαπτομένη της υπερβολής x 2 y2 α2 β 2 = 1 στην κορυφή Α(α, 0) τέμνει την ασύμπτωτη y = β x στο σημείο Γ, να αποδείξετε ότι ΟΕ = α ΟΓ.
106. i) Να βρείτε το p, την εστία E, την κορυφή Κ, και τη διευθετούσα δ, της παραβολής με εξίσωση (x 5) 2 = 1 5 y. ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση y 2 + 6x 6y + 39 = 0 είναι εξίσωση παραβολής, και να βρείτε το p, την εστία E, την κορυφή Κ, και τη διευθετούσα δ.
107. Έστω η παραβολή y 2 = 2px και η εφαπτομένη της ε σε ένα σημείο Α(x 1, y 1 ) της παραβολής. Αν η ευθεία ΟΑ τέμνει τη διευθετούσα της παραβολής στο σημείο Β, να αποδείξετε ότι ΒΕ//ε. 108. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της υπερβολής x 2 2y 2 = 10 που: i) είναι κάθετες στην ευθεία y = x + 10, ii) διέρχονται από το σημείο (0, 5).
109. Να μετατρέψετε τις πολικές εξισώσεις σε ορθογώνιες εξισώσεις: r = 10 θ = 2π 3 r = 3sin(θ) r = 3cos(θ) r = 4csc(θ) r = sec(θ)
2 r = 1 + sin(θ) r = 1 1 cos(θ)