ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ α σ ί α η Συνδυαστική-Σχέσεις-Συναρτήσεις Ε ρ ω τ ή µ α τ α Ερώτηµα. Θεωρείστε τις συναρτήσεις f,g,h:z Z (Z το σύνολο των ακέραιων αριθµών που ορίζονται ως εξής: f ( g(, αν ο είναι άρτιος h(,αν ο είναι περιτός Να εξετάσετε αν κάθε µία από τις παραπάνω συναρτήσεις είναι - ή/και επί και να προσδιορίσετε τις συναρτήσεις που προκύπτουν από τις παρακάτω συνθέσεις: a f ο g, g ο f, g οh, h οg, f ο( g οh, ( f οg οh b f ο f, f ο f ο f, g οg, g οg οg, h οh, h οh οh Η συνάρτηση f ( είναι - διότι αν f ( f ( ' δηλαδή ' τότε προφανώς ισχύει ότι '. Παρόµοια η g( είναι - διότι αν ' τότε και '. Όµως η h(δεν είναι - διότι h ( h( 5 και 5. Η συνάρτηση f ( από το Ζ στο Ζ είναι επί διότι το πεδίο τιµών της είναι όλο το Ζ. Πράγµατι για κάθε y Z υπάρχει Z έτσι ώστε y. Αντίθετα η g : Z Z δεν είναι επί διότι π.χ. το δεν είναι εικόνα κανενός Z. Παρόµοια η h : Z Z δεν είναι επί διότι οι µόνες τιµές που παίρνει είναι και. η εργασία, ΠΛΗ
Α Έχουµε ( f ο g(,( g ο f ( (. Επίσης, αν ο είναι άρτιος ( g ο h(,αν ο είναι περιττός Η ( h οg( ισούται µε την h διότι η εφαρµογή της g σε κάθε περιττό δίδει περιττό αριθµό ενώ σε άρτιο, άρτιο. Έχοντας υπολογίσει τις εσωτερικές συνθέσεις βρίσκουµε εύκολα ότι:, αν ο είναι άρτιος ( f ο ( g οh(,αν ο είναι περιττός Τέλος έχουµε ότι:, αν ο είναι άρτιος (( f ο g οh(,αν ο είναι περιτός β Η ( f ο f ( (. Η ( f ο f ο f ( (. Η ( g ο g( ( 9. Η (g ο g οg( (9 7. Η h τέλος επιστρέφει (ένα άρτιο αριθµό αν το είναι άρτιο και (ένα περιττό αν είναι περιττό. Άρα έχουµε ότι h οh h και h ο h οh h. Ερώτηµα. Θεωρείστε το σύνολο Χ που αποτελείται από όλες τις δυνατές ακολουθίες τεσσάρων δυαδικών αριθµών (παράδειγµα, κλπ. Ορίζουµε µια διµελή σχέση Σ επί του συνόλου X, έτσι ώστε (,y Σ αν µια ακολουθία ψηφιών στο ταυτίζεται µε µια ακολουθία ψηφίων στο y, όχι απαραίτητα στην ίδια θέση (για παράδειγµα το ζεύγος {, } ανήκει στο Σ αφού και στα δύο υπάρχει η ακολουθία, ενώ το ζεύγος {, } προφανώς δεν ανήκει στη Σ. Να υπολογιστεί ο αριθµός των στοιχείων του συνόλου Χ. Να εξεταστεί αν η σχέση Σ είναι ανακλαστική, συµµετρική, αντισυµµετρική, µεταβατική, σχέση µερικής διάταξης. Ο αριθµός των στοιχείων του Χ είναι ο αριθµός των διατάξεων µε επανάληψη στοιχείων από το σύνολο {,} δηλαδή. η εργασία, ΠΛΗ
Για να είναι η Σ ανακλαστική θα πρέπει X, (, Σ. Όµως αυτό ισχύει διότι και τα δύο µέλη του ζεύγους περιέχουν βέβαια την ίδια υπακολουθία µια και είναι ίσα. Παρόµοια η Σ είναι συµµετρική διότι,y Χ, αν (,y Σ, τότε τα και y περιέχουν την ίδια υπακολουθία και άρα και (y, Σ. Επειδή λοιπόν η Σ είναι συµµετρική δεν είναι και αντισυµµετρική διότι κάθε αντισυµµετρική σχέση είναι µη συµµετρική (δες ραστηριότητα. από το βιβλίο των «ιακριτών». Η Σ επίσης είναι µη µεταβατική διότι έχουµε ότι (, Σ και (, Σ, όµως (, Σ. Τέλος, επειδή η Σ δεν είναι ούτε αντισυµµετρική ούτε µεταβατική δεν είναι και σχέση µερικής διάταξης. Ερώτηµα. Το ΤΖΟΚΕΡ είναι ένα παιχνίδι όπου κληρώνονται πέντε διαφορετικοί µεταξύ τους αριθµοί από το έως το 5 (δεν παίζει ρόλο η σειρά κλήρωσης των αριθµών και ένας ακόµη αριθµός τζόκερ από το έως το (ο αριθµός τζόκερ µπορεί να συµπίπτει µε κάποιον από τους 5 αρχικούς αριθµούς. Οι αριθµοί που κληρώνονται αποτελούν τη νικήτρια στήλη του παιχνιδιού. Όταν λέµε ότι «ο παίκτης συµπληρώνει µία στήλη», αυτό σηµαίνει ότι επιλέγει επίσης πέντε διαφορετικούς µεταξύ τους αριθµούς από το έως το 5 και έναν ακόµη αριθµό τζόκερ από το έως το ευελπιστώντας ότι αυτοί θα συµπίπτουν µε τους αριθµούς της νικήτριας στήλης. Να υπολογιστούν τα ακόλουθα: Ο αριθµός των στηλών που πρέπει να συµπληρώσει κάποιος παίκτης ώστε να είναι απόλυτα σίγουρος ότι θα πετύχει τη νικήτρια στήλη σε κάθε περίπτωση. Τον αριθµό των στηλών που πρέπει να συµπληρώσει κάποιος παίκτης ώστε να είναι απόλυτα σίγουρος ότι θα πετύχει τη νικήτρια στήλη στην περίπτωση όπου στην κλήρωση συµβούν ταυτόχρονα τα εξής: - Από τους 5 αρχικούς αριθµούς ο ένας είναι µεταξύ του και του, ο δεύτερος µεταξύ του και του, ο τρίτος µεταξύ του και του, ο τέταρτος µεταξύ του και του και ο πέµπτος µεταξύ του και του 5 - Ο αριθµός τζόκερ είναι άρτιος. Ας θεωρήσετε ότι κάποιος συµπληρώνει όλες τις στήλες που υπολογίστηκαν στο ερώτηµα και η κλήρωση τον ευνοεί, δηλαδή ικανοποιούνται όλες οι υποθέσεις του προηγούµενου ερωτήµατος. Πόσες είναι οι στήλες που είναι απόλυτα επιτυχείς; Πόσες είναι οι στήλες που πετυχαίνουν τους 5 αρχικούς αριθµούς όχι όµως και τον αριθµό τζόκερ; Πόσες είναι οι στήλες που πετυχαίνουν τους από τους 5 αρχικούς αριθµούς και τον αριθµό τζόκερ; η εργασία, ΠΛΗ
Το ζητούµενο είναι ισοδύναµο µε την εύρεση του συνολικού αριθµού των στηλών που µπορεί να συµπληρωθούν σε ένα δελτίο ΤΖΟΚΕΡ. Αυτό γιατί αν συµπληρωθούν όλες οι δυνατές στήλες, τότε σε αυτές θα συµπεριλαµβάνεται ασφαλώς και η νικήτρια. Υπάρχουν 5 δυνατότητες για τον πρώτο αριθµό, που επιλέγεται µεταξύ και 5. Στην συνέχεια και για κάθε επιλογή του πρώτου, υπάρχουν δυνατότητες για τον δεύτερο επειδή η επιλογή είναι τώρα µεταξύ του και του 5, χωρίς να επιτρέπεται η επιλογή του πρώτου αριθµού µια και από τους κανόνες του παιγνιδιού, οι αριθµοί πρέπει να διαφέρουν. Παρόµοια, και για κάθε µία επιλογή του πρώτου και του δεύτερου, υπάρχουν δυνατότητες για τον τρίτο αριθµό, στην συνέχεια για τον τέταρτο και για τον πέµπτο. Τέλος και για κάθε µία επιλογή των πέντε πρώτων αριθµών, υπάρχουν και δυνατότητες για τον αριθµό ΤΖΟΚΕΡ. Επειδή ακριβώς ο αριθµός των επιλογών που προσδιορίσαµε είναι δυνατός για «κάθε άλλη δυνατή επιλογή», εφαρµόζοντας τον κανόνα του γινοµένου παίρνουµε ότι ο συνολικός αριθµός στηλών είναι: 5*****. Όµως από τους κανόνες του παιχνιδιού η σειρά εµφάνισης των αριθµών δεν έχει σηµασία. Το γινόµενο που υπολογίσαµε µετρά τον αριθµό επιλογής 5 αριθµών όταν η σειρά (η µετάθεση έχει σηµασία. Για να το διορθώσουµε σκεφτόµαστε ως εξής: όλες οι µεταθέσεις που προκύπτουν από µία όταν ο πρώτος αριθµός µετακινηθεί σε άλλη θέση (αφήνοντας τις σχετικές θέσεις των υπολοίπων τεσσάρων άθικτες θεωρούνται ταυτόσηµες. Συνεπώς ο αριθµός των στηλών πρέπει να διαιρεθεί µε το 5. Στην συνέχεια για τον δεύτερο αριθµό υπάρχουν δυνατότητες µετακίνησης (οι υπόλοιπες θέσεις άρα ο αριθµός των στηλών διαιρείται περαιτέρω µε το. Συνεχίζοντας έτσι βρίσκουµε ότι ο συνολικός αριθµός των στηλών είναι 5*****/(5****58. Αλλιώς το πρόβληµα µπορεί να λυθεί παρατηρώντας ότι η επιλογή των 5 αριθµών είναι επιλογή ενός πενταµελούς υποσυνόλου του {,,...,5} και άρα οι τρόποι επιλογής είναι C(5,5. Στην συνέχεια η επιλογή του αριθµού ΤΖΟΚΕΡ γίνεται ανεξάρτητα από ένα σύνολο επιλογών. Εφαρµόζοντας τον κανόνα του γινοµένου παίρνουµε για τον αριθµό των τρόπων επιλογής C(5,5*. Αν συµβούν τα παραπάνω τότε οι δυνατότητες επιλογών έχουν περιοριστεί ως εξής: Οι πρώτοι αριθµοί επιλέγονται κάθε ένας µέσα από µία δεκάδα επιλογών ενώ ο πέµπτος από µία πεντάδα. Όλες οι δεκάδες και η πεντάδα είναι ξένες µεταξύ τους. Τέλος οι δυνατότητες για τον αριθµό ΤΖΟΚΕΡ είναι, όσοι είναι οι άρτιοι αριθµοί µεταξύ και. Εφαρµόζουµε και πάλι τον κανόνα του γινοµένου και παίρνουµε ****5*5. Αν συµβούν τα παραπάνω και οι στήλες συµπληρώθηκαν µε τους ίδιους περιορισµούς του ερωτήµατος, τότε µόνο µία στήλη είναι απόλυτα επιτυχής µια κάθε µία από τις στήλες που µετρήσαµε είναι διαφορετική από όλες τις άλλες. Οι στήλες που συµφωνούν στους 5 πρώτους αριθµούς είναι µια και τώρα η µοναδική δυνατότητα επιλογής αφορά τον αριθµό ΤΖΟΚΕΡ. Από αυτές µία είναι η η εργασία, ΠΛΗ
απόλυτα επιτυχής στήλη (που συµφωνεί και στον αριθµό ΤΖΟΚΕΡ. Συνεπώς ο αριθµός των στηλών που συµφωνούν στους 5 πρώτους αριθµούς αλλά όχι και στον αριθµό ΤΖΟΚΕΡ είναι 9. Οι στήλες που (κάτω από τις προϋποθέσεις του ερωτήµατος διαφέρουν στον πρώτο αριθµό, αλλά πετυχαίνουν τους επόµενους και τον αριθµό ΤΖΟΚΕΡ είναι 9 µια και τώρα έχουµε 9 επιλογές για τον πρώτο αριθµό και καµία για τους υπόλοιπους. Παρόµοια οι στήλες που διαφέρουν σε ένα µόνο από τους υπόλοιπους τρεις είναι επίσης 9. Για τον πέµπτο µια και παίρνει 5 τιµές µόνο έχουµε ότι οι στήλες που διαφέρουν σε αυτόν είναι. Τα ενδεχόµενα αυτά είναι διαφορετικά µεταξύ τους και δεν µπορούν να συµβούν ταυτόχρονα. Συνεπώς εφαρµόζοντας τον κανόνα του αθροίσµατος έχουµε ότι οι στήλες που συµφωνούν σε τέσσερις από τους 5 αριθµούς είναι 9999. Ερώτηµα. Υπολογίστε τον αριθµό των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους µπορούµε να τοποθετήσουµε φοιτητές σε θέσεις σε σειρά µε την προϋπόθεση ότι για δύο συγκεκριµένους από αυτούς πρέπει να κάθονται υποχρεωτικά ακριβώς k φοιτητές ανάµεσά τους. Ποιό το αποτέλεσµα της άσκησης για, k ; Η πρώτη µας επιλογή αφορά το ποιοι k από τους φοιτητές και µε ποια σειρά θα καθίσουν µεταξύ των δύο συγκεκριµένων φοιτητών. Αυτό είναι µετάθεση k πραγµάτων από - (εφόσον δύο φοιτητές δεν είναι µεταξύ των επιλεγοµένων. Ο αριθµός αυτός είναι P(-,k. Στην συνέχεια αν θεωρήσουµε την οµάδα των k φοιτητών σαν ένα αντικείµενο, αποµένει να επιλέξουµε την µετάθεση -(kk- αντικειµένων. Οι δυνατότητες είναι (-k-! Συνολικά λοιπόν οι τρόποι είναι *P(-,k*(-k-!*(-k-*(-!. Το αρχικό οφείλεται στις επιλογές που έχουµε για τους συγκεκριµένους φοιτητές (ποιος δηλαδή θα είναι στην αρχή της οµάδας και ποιος στο τέλος. Για τις συγκεκριµένες τιµές των και k έχουµε **8!88. Ερώτηµα 5. Σε µια εκλογική αναµέτρηση και σε ένα εκλογικό τµήµα το ψηφοδέλτιο ενός συγκεκριµένου κόµµατος µε υποψήφιους βουλευτές ψήφισαν ψηφοφόροι και κάθε ένας από αυτούς είχε τη δυνατότητα είτε να µη βάλει η εργασία, ΠΛΗ 5
κανένα σταυρό είτε να βάλει έναν µόνο σταυρό σε ακριβώς έναν υποψήφιο. Σε κάποιο σηµείο στη διάρκεια της καταµέτρησης υπολογίζεται ότι κάθε υποψήφιος βουλευτής έχει λάβει ακριβώς σταυρούς, ενώ επίσης έχουν βρεθεί ψηφοδέλτια του συγκεκριµένου κόµµατος χωρίς να περιέχουν σταυρό. Να υπολογιστεί ο αριθµός των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους µπορούν να κατανεµηθούν οι υπόλοιποι σταυροί στους υποψήφιους βουλευτές. Σε ένα τµήµα µιας αίθουσας που αποτελείται από θέσεις στη σειρά πρόκειται να καθίσουν k φοιτητές για να εξεταστούν σε ένα µάθηµα. Οι επιτηρητές θέλουν να φροντίσουν ώστε να µην κάθεται κάποιος φοιτητής ακριβώς δίπλα σε κάποιον άλλο. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορούν να το επιτύχουν; Ποιό το αποτέλεσµα της άσκησης για, k ; Εφόσον κάθε βουλευτής έχει στο σηµείο αυτό της καταµέτρησης σταυρούς έχουν καταµετρηθεί συνολικά σταυροί ενώ έχουν εξεταστεί ψηφοδέλτια. Αποµένουν λοιπόν να εξεταστούν 9 ψηφοδέλτια. Η βασική παρατήρηση είναι να θεωρήσουµε ότι το λευκό ψηφοδέλτιο πηγαίνει σε ένα ακόµη ο «βουλευτή». Τα λοιπόν καταµετρηθέντα µέχρι στιγµής λευκά ψηφοδέλτια έχουν πάει σε αυτό τον υποθετικό βουλευτή. Το πρόβληµα λοιπόν είναι ισοδύναµο µε την εύρεση του αριθµού των τρόπων τοποθέτησης 9 αντικειµένων σε υποδοχές. Στο προηγούµενο ερώτηµα χρησιµοποιήσαµε τον τύπο.7 του βιβλίου που δίνει τον αριθµό των τρόπων C(r-,r. Στο παρόν ερώτηµα έχουµε και r9 και άρα η απάντηση είναι C(,9. Εναλλακτικά µπορούµε να δούµε το πρόβληµα σαν «ανάθεση» µιας υποδοχής από τις σε κάθε ένα από τα 9 αντικείµενα. Πρόκειται δηλαδή για συνδυασµούς µε επανάληψη (µια και µια υποδοχή µπορεί να ανατεθεί σε πολλά αντικείµενα 9 αντικειµένων από. Ο τύπος είναι και πάλι C(,9 (παρ.. του βιβλίου. Η λύση µας βασίζεται στην παρατήρηση ότι το πρόβληµα µπορεί να λυθεί ευκολότερα αν πρώτα υπολογίσουµε τον αριθµό των τρόπων που µπορούµε να επιλέξουµε k από τις θέσεις µε τον περιορισµό να µην υπάρχουν στην επιλογή µας δύο γειτονικές. Στην συνέχεια και για κάθε «νόµιµη» επιλογή πρέπει να βρούµε τους διαφορετικούς τρόπους που οι k φοιτητές µπορούν να κάτσουν στις επιλεγµένες θέσεις. Ας θεωρήσουµε ότι έχουµε επιλέξει τις k θέσεις των φοιτητών και στην συνέχεια τοποθετούµε ανάµεσα τους καθώς και «αριστερά» της πρώτης και «δεξιά» της τελευταίας τις ελεύθερες θέσεις. Πρέπει όµως να βάλουµε οπωσδήποτε κατ αρχήν µία κενή θέση µεταξύ δύο διαδοχικών φοιτητών ώστε να αποφύγουµε το ενδεχόµενο να τοποθετηθούν κενές θέσεις µεταξύ τους και άρα να πάρουµε µη νόµιµη επιλογή. η εργασία, ΠΛΗ
εσµεύουµε λοιπόν k- θέσεις (k των φοιτητών και k- οι κενές µεταξύ κάθε διαδοχικού ζευγαριού φοιτητών. Αποµένουν λοιπόν προς διανοµή -k θέσεις σε k «υποδοχές» δηλαδή στους χώρους µεταξύ κάθε φοιτητή και του επόµενου του καθώς και αριστερά του πρώτου και δεξιά του τελευταίου. Χρησιµοποιώντας τον τύπο.7 του βιβλίου ο οποίος µας δίνει τον αριθµό των τρόπων που διανέµουµε ένα αριθµό (στην περίπτωση µας -k µη διακεκριµένων αντικειµένων σε κάποιες διακεκριµένες υποδοχές (στην περίπτωση µας σε k υποδοχές παίρνουµε C(- kk-,-kc(-k,-kc(-k,k. Όπως είπαµε όµως πρέπει αυτός ο αριθµός να πολλαπλασιαστεί µε k! όσες είναι οι δυνατές µεταθέσεις των k φοιτητών στις επιλεγµένες θέσεις. Το αποτέλεσµα είναι τελικά C(-k,k*k!. Όταν και k το αποτέλεσµα είναι C(8,*!. Ερώτηµα. Έχουµε 5 µπλε µπάλες των 5 κιλών, πράσινες των κιλών και απεριόριστες κόκκινες µπάλες του κιλού. Να γραφούν γεννήτριες συναρτήσεις που να υπολογίζουν τα ακόλουθα: Τους διαφορετικούς τρόπους µε τους οποίους µπορούµε να επιλέξουµε µπάλες. Τους διαφορετικούς τρόπους µε τους οποίους µπορούµε να επιλέξουµε µπάλες που το συνολικό τους βάρος είναι. α Εφόσον η επιλογή µας µπορεί να γίνει χωρίς κανένα περιορισµό (πλην του διαθέσιµου αριθµού µπαλών η γεννήτρια συνάρτηση είναι: ( 5 ( ( Οι παραπάνω παράγοντες αντιστοιχούν στις επιλογές µπλε, πράσινων και κόκκινων µπαλών. Οι µπλε είναι µέχρι 5 άρα ο εκθέτης του φτάνει µέχρι το 5, αντίστοιχα µέχρι το για τις πράσινες και δεν υπάρχει περιορισµός για τις κόκκινες. Ζητείται ο συντελεστής του. Β Σε αυτή την περίπτωση ο κάθε εκθέτης πολλαπλασιάζεται µε το αντίστοιχο βάρος της µπάλας. Το άθροισµα των πολλαπλασιασµένων εκθετών θα πρέπει να είναι πάλι. Έχουµε λοιπόν: ( 5 5 5 ( ( Ο ζητούµενος συντελεστής είναι και πάλι του. η εργασία, ΠΛΗ 7
Ερώτηµα 7. Μια οµάδα στη διάρκεια του πρωταθλήµατος δίνει αγώνες, όπου σε κάθε αγώνα αν κερδίσει παίρνει τρεις βαθµούς, αν φέρει ισοπαλία παίρνει ένα βαθµό και αν χάσει παίρνει βαθµούς. Χρησιµοποιώντας γεννήτριες συναρτήσεις να υπολογίσετε τα ακόλουθα: Τον αριθµό των δυνατών διαφορετικών συνολικών αποτελεσµάτων αν ο συνολικός αριθµός των νικών είναι περιττός, ο συνολικός αριθµός των ηττών είναι άρτιος, ενώ οι ισοπαλίες είναι τουλάχιστον (ένα αποδεκτό συνολικό αποτέλεσµα είναι για παράδειγµα 7 νίκες, ήττες και 7 ισοπαλίες. Τον αριθµό των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους η συνολική βαθµολογία της οµάδας στο τέλος του πρωταθλήµατος θα είναι 5 βαθµοί, µε την προϋπόθεση οι νίκες να είναι περισσότερες από τις ήττες. Έστω w, d και e οι αριθµοί των νικών, ηττών και ισοπαλιών αντίστοιχα της οµάδας στο πρωτάθληµα. Τότε βέβαια ισχύει wde. Αν τώρα θεωρήσουµε το γινόµενο τριών πολυωνύµων (απαριθµητών ως προς και τις τρεις προηγούµενες µεταβλητές σαν την συνεισφορά του κάθε πολυωνύµου στον συνολικό εκθέτη του, έχουµε ότι ο απαριθµητής για τις νίκες πρέπει να έχει την µορφή: ( 5... µια και έτσι η συνεισφορά αυτού του όρου στο συνολικό εκθέτη είναι περιττός αριθµός. Ο απαριθµητής για τις ήττες την µορφή: (... διότι έτσι συνεισφέρει άρτιο αριθµό. Και τέλος για τις ισοπαλίες την µορφή: ( 5... ιότι έτσι συνεισφέρει αριθµό µεγαλύτερο ή ίσο του. Η συνολική γεννήτρια συνάρτηση είναι συνεπώς: ( ( 5...(... (...(... και ο ζητούµενος συντελεστής είναι του. 5.... Προχωράµε στην συνέχεια στον υπολογισµό αυτού του συντελεστή. η εργασία, ΠΛΗ 8
(... (... ( ( ( ( ( ( ( ( Χρησιµοποιώντας τώρα το γενικευµένο δυωνυµικό ανάπτυγµα (δηλ. και για αρνητικό, δες Σχέση. παίρνουµε: ( r ( r r r r ( ( ( ( r r r r r r ( ( ( r r r ( Παρατηρούµε ότι το πρώτο άθροισµα δεν είναι δυνατό να δώσει εκθέτη του ίσο µε. Το δεύτερο όµως δίνει για r. Ο συντελεστής λοιπόν του είναι Αυτό ισούται µε ( ( ( 5 5. r r. ( Με τους παραπάνω συµβολισµούς όπως στο ( οι απαιτήσεις τώρα είναι w>d, we5 και wde. Για να εξασφαλίσουµε την απαίτηση w>d, εισάγουµε µια καινούργια µεταβλητή kw-d, οπότε τώρα οι απαιτήσεις µας διαµορφώνονται ως εξής: k>, dke5 και kde. Αντικαθιστούµε το αριστερό µέλος της τελευταίας εξίσωσης στην πρώτη και έχουµε για τους περιορισµούς: k> και dk5. Γράφουµε συνεπώς γεννήτρια συνάρτηση για τους τρόπους που µπορεί τα d και k να πληρούν αυτές τις προϋποθέσεις που είναι: (...(... Αυτό γιατί για το d δεν υπάρχουν περιορισµοί, για το k όµως υπάρχει ο περιορισµός να είναι µεγαλύτερο του και άρα το διπλάσιο του µεγαλύτερο ή ίσο του και βέβαια άρτιο. Ο ζητούµενος συντελεστής είναι του 5. Σηµειώστε ότι ο αριθµός των τρόπων επιλογής των d και k που δίνει η παραπάνω γεννήτρια συνάρτηση, είναι ακριβώς ο αριθµός των τρόπων επιλογής των αρχικών µεταβλητών w,d και e. Αυτό γιατί δύο διαφορετικοί τρόποι επιλογής των d και k έχουν οπωσδήποτε διαφορετικό το d και συνεπώς και η τριάδα w,d,e θα είναι διαφορετική. Για την εύρεση του συντελεστή µπορούµε ασφαλώς να ακολουθήσουµε την µεθοδολογία του (. Όµως στην περίπτωση µας ο αριθµός των τρόπων µπορεί να βρεθεί απλούστερα, χωρίς την χρήση της γεννήτριας συνάρτησης, παρατηρώντας ότι η σχέση dk5 ικανοποιείται για 7 τιµές του k> από k έως k7. Ερώτηµα 8. η εργασία, ΠΛΗ 9
Να γραφεί εκθετική γεννήτρια συνάρτηση που να υπολογίζει τον αριθµό των διαφορετικών διατάξεων µήκους που µπορούν να δηµιουργηθούν από τα γράµµατα A, B, Γ, µε τον περιορισµό ο αριθµός εµφανίσεων του Α να είναι περιττός και επίσης ο αριθµός εµφανίσεων του Β να είναι περιττός. Να βρεθεί ο αριθµός των διατάξεων για 8. Εφόσον ζητάµε αριθµό διαφορετικών διατάξεων (δηλ. η σειρά επιλογής των γραµµάτων έχει και αυτή σηµασία, και όχι µόνο ο αριθµός κάθε γράµµατος στη λέξη θα χρησιµοποιήσουµε εκθετική γεννήτρια συνάρτηση. Οι απαριθµητές για τις εµφανίσεις των Α και Β είναι: (! 5 5!... Για το Γ δεν έχουµε περιορισµό, οπότε ο απαριθµητής είναι: (...!! Η γεννήτρια συνάρτηση είναι λοιπόν η: (! 5!!! 5... (... Ο ζητούµενος συντελεστής είναι του. Μπορούµε να βρούµε τον συντελεστή! χρησιµοποιώντας το γνωστό ανάπτυγµα του e... Με βάση αυτό η!! γεννήτρια συνάρτηση µας γίνεται: ( e e e e! e ( e! ( e e! e ( (! Ο συντελεστής λοιπόν του είναι ο! (. Για 8 παίρνουµε. Ερώτηµα 9. η εργασία, ΠΛΗ
Η θεωρία µέτρησης Polya αναπτύχθηκε µε σκοπό τον υπολογισµό των διαφορετικών µορφών (ισοµερών µε τις οποίες µπορεί να υπάρξει στη φύση µια χηµική ένωση. Στο ερώτηµα αυτό καλείστε να εφαρµόσετε τη θεωρία Polya σε ένα τέτοιο πρόβληµα, που περιγράφεται στη συνέχεια: Το βενζόλιο είναι η χηµική ένωση CH που αποτελείται από άτοµα άνθρακα και άτοµα υδρογόνου. Τα άτοµα του υδρογόνου µπορούν να αντικατασταθούν από άλλα άτοµα, δηµιουργώντας έτσι καινούριες ενώσεις. Για παράδειγµα η ένωση C H Br προκύπτει µε αντικατάσταση ατόµων υδρογόνου µε άτοµα βρωµίου. Ενώ όµως το βενζόλιο εµφανίζεται σε µία µόνο µορφή, η ένωση C H Br εµφανίζεται σε τρεις διαφορετικές µορφές ανάλογα µε τη θέση των ατόµων βρωµίου. Αυτές είναι οι ακόλουθες: H H B H H B B H B H HB H HB H H H H H H Σηµειώστε ότι περιστροφή του µορίου κατά µοίρες (µετακίνηση δηλαδή όλων των ατόµων κατά µία θέση ή αναποδογύρισµα (καθρέφτισµα γύρω από οποιονδήποτε άξονα συµµετρίας δεν αντιστοιχεί σε καινούρια µορφή του µορίου. Στο ερώτηµα αυτό θα πρέπει να εφαρµόσετε τη θεωρία µέτρησης Polya για τον υπολογισµό των διαφορετικών µορφών µε τις οποίες µπορούν να εµφανιστούν στη φύση οι ακόλουθες χηµικές ενώσεις: H ClBr ( άτοµα υδρογόνου έχουν αντικατασταθεί από ένα άτοµο C χλωρίου και ένα άτοµο βρωµίου CH ClBr ( άτοµα υδρογόνου έχουν αντικατασταθεί από δύο άτοµα χλωρίου και δύο άτοµα βρωµίου CH IClBr ( άτοµα υδρογόνου έχουν αντικατασταθεί από ένα άτοµο ιωδίου, ένα άτοµο χλωρίου και δύο άτοµα βρωµίου Για το σκοπό αυτό θα πρέπει να δηµιουργήσετε πίνακα αντίστοιχο µε εκείνον της σελίδας 97 του βιβλίου των Κυρούση-Μπούρα-Σπυράκη, όπου να φαίνονται όλες οι δυνατές αντιµεταθέσεις που αφήνουν αναλλοίωτο το µόριο η εργασία, ΠΛΗ
(λαµβάνοντας υπόψη τις συµµετρίες που αναφέρηκαν πιο πάνω, δηλαδή τις στροφές και τους καθρεφτισµούς και οι αντίστοιχες κυκλικές αναπαραστάσεις και δείκτριες συναρτήσεις. Στη συνέχεια για κάθε µία από τις τρεις χηµικές ενώσεις θα πρέπει να προσδιορίσετε το δείκτη κύκλων P G και επίσης το µονώνυµο του οποίου ο συντελεστής µας δίνει τον αριθµό των διαφορετικών µορφών της ένωσης. εν είναι απαραίτητος ο υπολογισµός των συντελεστών αυτών. Το πρόβληµα είναι ισοδύναµο µε την εύρεση των διαφορετικών τρόπων χρωµατισµού ενός εξαγώνου µε τις συµµετρίες που επιτρέπει το πρόβληµα (δηλαδή αναλλοίωτο ως προς στροφές και καθρεφτισµούς και επίσης µε τους συγκεκριµένους περιορισµούς ως προς την χρήση των χρωµάτων. Έτσι στο ( πρέπει να βρεθούν οι χρωµατισµοί µε χρώµατα όπου το πρώτο χρώµα χρησιµοποιείται σε κόµβους και τα άλλα δύο σε ένα το καθένα. Στο ( κάθε ένα από τα τρία χρώµατα χρησιµοποιείται σε δύο κόµβους και στο ( χρησιµοποιούνται χρώµατα όπου τα δύο χρησιµοποιούνται καθένα σε δύο κόµβους και τα άλλα δύο σε ένα. e e 5 e Εξετάζουµε τώρα τις διαφορετικές συµµετρίες που παρουσιάζει το εξάγωνο. Υπάρχουν συµµετρίες π i, i,... 5 οι οποίες αντιστοιχούν σε στροφή που είναι πολλαπλάσιο των ο. ηλαδή η o π συµµετρία αντιστοιχεί σε στροφή i. i Υπάρχουν επίσης οι καθρεφτισµοί ως προς τους άξονες e,e και e και οι καθρεφτισµοί ως προς τους άξονες -, -5 και -. Στον παρακάτω πίνακα η εργασία, ΠΛΗ
συνοψίζονται οι συµµετρίες, η κυκλική τους αναπαράσταση και η δείκτρια συνάρτηση τους. Αντιµετάθεση Κυκλική αναπαράσταση π (((((5( είκτρια συνάρτηση π (5 π (5( π ((5( π (5( π 5 (5 π (άξονας e (((5 π 7(άξονας e (((5 π 8(άξονας e ((5( π 9(άξονας - (((5( π (άξονας -5 ((((5 π (άξονας - (5((( Η δείκτρια κύκλων συνάρτηση είναι λοιπόν: P G (,..., ( i i i Οι κλάσεις ισοδυναµίας βρίσκονται όταν θέσουµε i, i,...,για τις περιπτώσεις όπου το πρόβληµα αφορά χρώµατα (περιπτώσεις ( και ( και i i i i i, i,..., όταν το ερώτηµα αφορά χρώµατα (περίπτωση (. Στις δύο πρώτες η δείκτρια γίνεται: P G ( (( ( ( ( ( Στο πολυώνυµο αυτό για το ερώτηµα (α πρέπει να βρούµε τον συντελεστή του µονώνυµου µια και το ένα χρώµα χρησιµοποιείται σε κόµβους και κάθε ένα από τα άλλα δύο χρώµατα σε ένα κόµβο. Αναπτύσσοντας το πολυώνυµο (αν και κάτι η εργασία, ΠΛΗ
τέτοιο δεν ζητείται παίρνουµε για τον συντελεστή το. Για το ερώτηµα ( πρέπει να βρούµε τον συντελεστή του µονώνυµου εφόσον κάθε χρώµα χρησιµοποιείται σε δύο κόµβους. Ο ζητούµενος συντελεστή είναι το. ( Για το (γ η δείκτρια γίνεται: ( ( ( ( (( P G Στο πολυώνυµο αυτό πρέπει να βρούµε τον συντελεστή του. Αναπτύσσοντας βρίσκουµε για τον συντελεστή το. η εργασία, ΠΛΗ