ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Μαθηματικών Α Γυμνασίου
ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο είναι μια καλώς ορισμένη συλλογή διαφορετικών μεταξύ τους αντικειμένων. Τα αντικείμενα που αποτελούν ένα σύνολο λέγονται στοιχεία ή μέλη του συνόλου. Για να παραστήσουμε ένα σύνολο, χρησιμοποιούμε έναν από τους πιο κάτω τρόπους: Περιγραφή των στοιχείων του. Π.χ. : : τα φωνήεντα του ελληνικού αλφαβήτου Αναγραφή των στοιχείων του. Π.χ.:,,,,,, Βέννειο διάγραμμα Αν το στοιχείο ανήκει στο σύνολο γράφουμε. Αν ένα στοιχείο δεν ανήκει στο σύνολο Α, τότε γράφουμε. Π.χ. Το είναι φωνήεν και επομένως ανήκει στο, ενώ το είναι σύμφωνο και επομένως δεν ανήκει στο σύνολο. Το πλήθος των στοιχείων ενός συνόλου λέγεται πληθικός αριθμός του συνόλου και συμβολίζεται ως. Π.χ. : τα φωνήεντα του ελληνικού αλφαβήτου, 7 Ένα σύνολο το οποίο δεν έχει κανένα στοιχείο, δηλαδή ο πληθικός αριθμός του είναι μηδέν, λέγεται κενό σύνολο. Το κενό σύνολο συμβολίζεται με ή. Αν ένα σύνολο περιέχει άπειρα στοιχεία λέγεται απειροσύνολο. Αν ένα σύνολο έχει συγκεκριμένο πλήθος στοιχείων λέγεται πεπερασμένο σύνολο. Ένα σύνολο ονομάζεται υποσύνολο ενός συνόλου, όταν κάθε στοιχείο του συνόλου είναι και στοιχείο του συνόλου. Γράφουμε. Το σύνολο λέγεται υπερσύνολο ή σύνολο αναφοράς του. Ένωση δύο συνόλων και λέγεται το σύνολο που αποτελείται από όλα τα στοιχεία, τα οποία ανήκουν είτε στο σύνολο είτε στο σύνολο. Το σύνολο αυτό το συμβολίζουμε. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 2,4,8 Το σύνολο περιέχει όλα τα στοιχεία των συνόλων και. Δηλαδή, 1,2,3,4,5,6,8 Τομή δύο συνόλων και λέγεται το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των δύο αυτών συνόλων. Το σύνολο αυτό το συμβολίζουμε. 1, 2, 3,,5,,,,7 Το σύνολο περιέχει μόνο τα κοινά στοιχεία των συνόλων Α και. Δηλαδή, 4, 6 Δύο σύνολα και ονομάζονται ξένα μεταξύ τους όταν δεν έχουν κοινά στοιχεία. Δηλαδή,. : οι άρτιοι αριθμοί, : οι περιττοί αριθμοί, Τα σύνολα και δεν έχουν κοινά στοιχεία, δηλαδή. Άρα, τα σύνολα είναι ξένα μεταξύ τους. Αν είναι ένα σύνολο αναφοράς και ένα υποσύνολο του, τότε το σύνολο των στοιχείων του τα οποία δεν ανήκουν στο λέγεται συμπλήρωμα του (ως προς ). Το σύνολο αυτό το συμβολίζουμε με. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 2,3,6 Το σύνολο περιέχει τα στοιχεία του που δεν περιέχονται στο Α. Άρα, 1, 4, 5. Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών είναι 1,2,3,4, Το σύνολο των Φυσικών Αριθμών συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός είναι: 0, 1, 2, 3, 4,
Άρτιος αριθμός είναι κάθε αριθμός που είναι πολλαπλάσιο του 2. Δηλαδή, όπου. Το σύνολο των άρτιων αριθμών είναι: 0, 2, 4, 6, Περιττός αριθμός είναι κάθε αριθμός που δεν είναι πολλαπλάσιο του 2, δηλαδή κάθε αριθμός που διαιρούμενος με το 2 αφήνει υπόλοιπο 1. Δηλαδή, όπου. Το σύνολο των περιττών φυσικών αριθμών είναι: 1,3, 5, 7, Το δυαδικό σύστημα χρησιμοποιεί μόνο 2 ψηφία το 0 και το 1. Κάθε ψηφίο ενός αριθμού του δυαδικού συστήματος έχει αξία θέσης δυνάμεις του 2. Δηλώνουμε ότι ένας αριθμός είναι γραμμένος στο δυαδικό σύστημα, γράφοντας στη θέση δείκτη, τον αριθμό 2. 1011 Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δυνάμεων του. Στο ανάπτυγμα αυτό κάθε δύναμη του 2 χρησιμοποιείται το πολύ μια φορά. 11821 Αφού κάθε αριθμός του δεκαδικού συστήματος αρίθμησης μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δυνάμεων του 2, μπορεί να μετατραπεί σε αριθμό του δυαδικού συστήματος αρίθμησης. Άρα, 118021 2 2 2 2 1011 Δεκαεξάδα Οκτάδα Τετράδα Δυάδα Μονάδα 2 2 2 2 2 2 2 1 0 1 1 Αντίστροφα, 1011 2 2 2 2 1 801 21 1 11 Δεκαεξάδα Οκτάδα Τετράδα Δυάδα Μονάδα 1 0 1 1 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ο αριθμός, διαιρεί τον αριθμό,, και συμβολίζεται με, αν υπάρχει ένας αριθμός, έτσι ώστε να ισχύει: Ο λέγεται διαιρέτης ή παράγοντας του. Ο λέγεται πολλαπλάσιο του (. ). 7 21 21 7 3, δηλαδή το 7 διαιρεί το 21. Για κάθε φυσικό αριθμό ισχύει: Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού είναι όλοι οι φυσικοί αριθμοί οι οποίοι τον διαιρούν. Οι διαιρέτες του 16 είναι: 1, 2, 4, 8,16 Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού είναι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς και το μηδέν. Τα πολλαπλάσια του 6 είναι: 0, 6, 12, 18, 24, 30, Όταν δοθούν δύο αριθμοί,, τότε υπάρχουν δύο μοναδικοί αριθμοί, (,, και ), έτσι ώστε να ισχύει:, Η πιο πάνω διαδικασία λέγεται Ευκλείδεια Διαίρεση.... Ιδιότητα 1: Αν ένας φυσικός αριθμός διαιρεί έναν άλλο φυσικό αριθμό, θα διαιρεί και τα πολλαπλάσιά του. Δηλαδή, αν,,, τότε για οποιαδήποτε τιμή του αριθμού. 3 12 τότε 3 4 12, δηλαδή το 3 διαιρεί το 48 που είναι πολλαπλάσιο του 12.
Ιδιότητα 2: Σχολική Χρονιά 2016 17 Αν ένας φυσικός αριθμός διαιρεί δύο άλλους φυσικούς αριθμούς, θα διαιρεί το άθροισμα και τη διαφορά τους. Δηλαδή, αν α, β, γ, βγ, τέτοιοι ώστε α β και α γ, τότε α β γ και α β γ 2 14 και 2 8 τότε 2 14 8 και 2 14 8 δηλαδή το 2 διαιρεί το 22 και το 6, αντίστοιχα. Ιδιότητα 3: Αν ένας φυσικός αριθμός διαιρεί έναν δεύτερο φυσικό αριθμό και ο δεύτερος αριθμός διαιρεί έναν τρίτο, τότε ο πρώτος αριθμός θα διαιρεί και τον τρίτο (Μεταβατική ιδιότητα). Δηλαδή, αν,, τέτοιοι ώστε και, τότε. 5 15 και 15 60, τότε 5 60 Ένας φυσικός αριθμός, διάφορος από το 1, που έχει διαιρέτες μόνο τον εαυτό του και το 1, λέγεται πρώτος αριθμός, διαφορετικά λέγεται σύνθετος. Ο αριθμός δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος. Οι αριθμοί 2, 7, 11, 79 διαιρούνται μόνο με το 1 και με τον εαυτό τους, άρα είναι πρώτοι. Οι αριθμοί 4, 9, 32, 45 έχουν και άλλους διαιρέτες εκτός από το 1 και τον εαυτό τους, άρα είναι σύνθετοι. Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών ονομάζεται ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης των αριθμών αυτών. Οι διαιρέτες των αριθμών 12 και 16 είναι: 1, 2,3,4,6,12 1, 2, 4,8,16 Άρα, 12,16 4. Για τον ΜΚΔ σχηματίζουμε το γινόμενο των κοινών πρώτων παραγόντων τους με εκθέτη καθενός τον μικρότερο από τους εκθέτες του. Αναλύουμε τους αριθμούς 84 και 120 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ως εξής: 84 2 3 7 120 2 3 5 84,120 2 312 Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων φυσικών αριθμών ονομάζεται το μικρότερο, μη μηδενικό, κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών αυτών. Τα μη μηδενικά πολλαπλάσια των αριθμών 6 και 8 είναι: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, Άρα, 6,8 24. Για το ΕΚΠ σχηματίζουμε το γινόμενο όλων των πρώτων παραγόντων τους με εκθέτη καθενός τον μεγαλύτερο από τους εκθέτες του. Αναλύουμε τους αριθμούς 6 και 8 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων ως εξής: 62 3 82 6,8 2 38 324 Δύο φυσικοί αριθμοί και λέγονται πρώτοι μεταξύ τους (ή σχετικά πρώτοι), αν ο ΜΚΔ τους είναι το 1. Οι αριθμοί 8 και 9 είναι πρώτοι μεταξύ τους, αφού 82 93 8,9 1
Κριτήριο διαιρετότητας με το : Έστω ο φυσικός αριθμός Αρκεί να εξετάσω το τελευταίο ψηφίο γιατί ο αριθμός μπορεί να αναλυθεί ως εξής: 0 10 5 2.2 Άρα, αρκεί να εξετάσω κατά πόσο ο αριθμός είναι πολλάπλάσιο του 2. Κριτήριο διαιρετότητας με το : Έστω ο φυσικός αριθμός Αρκεί να εξετάσω το τελευταίο ψηφίο γιατί ο αριθμός μπορεί να αναλυθεί ως εξής: 0 10 2 5.5 Άρα, αρκεί να εξετάσω κατά πόσο ο αριθμός είναι πολλάπλάσιο του 5. Κριτήριο διαιρετότητας με το : Έστω ο φυσικός αριθμός Αρκεί να εξετάσω το τελευταίο διψήφιο τμήμα του γιατί ο αριθμός μπορεί να αναλυθεί ως εξής: 00 100 25 4.4 Απόδειξη διαιρετότητας Ο αριθμός 8466 διαιρείται με το 2, γιατί το τελευταίο ψηφίο του είναι 6. Αποδεικνύεται ως εξής: 8466 846 10 6 846 5 23 2. 2. 2 Άρα, ο αριθμός 8466 διαιρείται με το 2. Ο αριθμός 8465 διαιρείται με το 5, γιατί το τελευταίο ψηφίο του είναι 5. Αποδεικνύεται ως εξής: 8465 846 10 5 846 2 51 5. 5. 5 Άρα, ο αριθμός 8465 διαιρείται με το 5. Άρα, αρκεί να εξετάσω κατά πόσο ο αριθμός είναι πολλάπλάσιο του 4. Ο αριθμός 8464 διαιρείται με το 4, γιατί ο αριθμός 64 που σχηματίζεται από τα τελευταία δύο ψηφία του διαιρείται με το 4. Αποδεικνύεται ως εξής: 8464 84 100 64 84 25 416 4. 4. 4 Ο αριθμός 64 διαιρείται με το 4, άρα ο αριθμός 8464 διαιρείται με το 4. Κριτήριο διαιρετότητας με το : Έστω ο φυσικός αριθμός Αρκεί να εξετάσω το τελευταίο διψήφιο τμήμα του γιατί ο αριθμός μπορεί να αναλυθεί ως εξής: 00 100 4 25. 25 Άρα, αρκεί να εξετάσω κατά πόσο ο αριθμός είναι πολλάπλάσιο του 25. Κριτήριο διαιρετότητας με το : Ο αριθμός 8475 διαιρείται με το 25, γιατί ο αριθμός 75 που σχηματίζεται από τα τελευταία δύο ψηφία του διαιρείται με το 25. Αποδεικνύεται ως εξής: 8475 84 100 75 84 4 253 25.25.25 Ο αριθμός 75 διαιρείται με το 25, άρα ο αριθμός 8475 διαιρείται με το 25. Έστω ο φυσικός αριθμός. Αρκεί να εξετάσω το άθροισμα των ψηφίων γιατί ο αριθμός μπορεί να αναλυθεί ως εξής: Μπορούμε να γράψουμε το 10, 100, 1000 ως 10 9 1, 100 99 1, 1000 999 1 1000 100 10 999 1 99 1 9 1 999 99 9.9.9.9.9.9.9 Άρα, αρκεί να εξετάσω κατά πόσο ο αριθμός: είναι πολλάπλάσιο του 9. Ο αριθμός 8451 διαιρείται με το 9, γιατί το άθροισμα των ψηφίων του 845 118 διαιρείται με το 9. Αποδεικνύεται ως εξής: 8451 8 1000 4 100 5 10 1 8 999 1 4 9915 911 8 999 8 4 99 4 5 9 5 1 8 999 4 99 5 98451. 9. 9. 9 8451 Ο αριθμός 845118 διαιρείται με το 9, άρα ο αριθμός 8451 διαιρείται με το 9.
Κριτήριο διαιρετότητας με το : Έστω ο φυσικός αριθμός. Αρκεί να εξετάσω το άθροισμα των ψηφίων γιατί ο αριθμός μπορεί να αναλυθεί ως εξής: Μπορούμε να γράψουμε το 10, 100, 1000 ως 10 9 1, 100 99 1, 1000 999 1 1000 100 10 999 1 99 1 9 1 999 99 9.9.9.9.3.3.3 Άρα, αρκεί να εξετάσω κατά πόσο ο αριθμός: είναι πολλάπλάσιο του 3. Ο αριθμός 8451 διαιρείται με το 3, γιατί το άθροισμα των ψηφίων του 845 118 διαιρείται με το 3. Αποδεικνύεται ως εξής: 8451 8 1000 4 100 5 10 1 8 999 1 4 9915 911 8 999 8 4 99 4 5 9 5 1 8 999 4 99 5 98451.9.9.98451.3.3.38451 Ο αριθμός 845118 διαιρείται με το 3, άρα ο αριθμός 8451 διαιρείται με το 3. ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ακέραιοι αριθμοί είναι το σύνολο που περιλαμβάνει τους φυσικούς αριθμούς, τους αντίστοιχους αρνητικούς και το μηδέν. Συμβολίζεται με. Δηλαδή,,4,3,2,1,0,1,2,3, 4, Ρητοί είναι οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν στη μορφή κλάσματος, με αριθμητή και παρονομαστή ακέραιους αριθμούς και παρονομαστή διαφορετικό από το μηδέν. Το σύνολο των Ρητών αριθμών συμβολίζεται με Q. Δηλαδή, Q /,, 0 Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να γραφεί ως δεκαδικός με πεπερασμένο πλήθος ψηφίων ή ως περιοδικός δεκαδικός. Aντίστροφα, κάθε δεκαδικός με πεπερασμένο πλήθος ή κάθε περιοδικός δεκαδικός μπορεί να πάρει κλασματική μορφή. 2,666 2 0,25 Ρητοί είναι οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν στη μορφή κλάσματος, με αριθμητή και παρονομαστή ακέραιους αριθμούς και παρονομαστή διαφορετικό από το μηδέν. Το σύνολο των Ρητών αριθμών συμβολίζεται με Q. Δηλαδή, Q /,, 0 Η απόσταση ενός αριθμού από το μηδέν πάνω στην ευθεία των αριθμών ονομάζεται απόλυτη τιμή ή μέτρο του αριθμού. Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού συμβολίζεται με. Το 7 βρίσκεται 7 μονάδες αριστερά του μηδενός. Άρα, η απόλυτη τιμή του είναι 7 7
ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ: Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους ρητούς αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμα βάζουμε το πρόσημό τους. 2 5 25 7 4 9 49 13 Για να προσθέσουμε δύο ετερόσημους ρητούς αριθμούς, αφαιρούμε από τη μεγαλύτερη, τη μικρότερη απόλυτη τιμή των αριθμών και στη διαφορά βάζουμε το πρόσημο του αριθμού με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή. 3 7 73 4 8 1 81 7 Στην πρόσθεση ρητών αριθμών ισχύουν οι ιδιότητες: Αν,, Q, τότε: Αντιμεταθετική Προσεταιριστική Το μηδέν είναι το ουδέτερο στοιχείο στην πρόσθεση, γιατί σε όποιο αριθμό προστεθεί δεν τον διαφοροποιεί. Δηλαδή, Αντίθετος ενός αριθμού είναι ο ρητός αριθμός, που όταν προστεθεί στο το άθροισμα είναι μηδέν. Δηλαδή, 4 40 Για να αφαιρέσουμε από τον ρητό αριθμό α τον ρητό αριθμό β, προσθέτουμε στον αριθμό α τον αντίθετο αριθμό του β. Δηλαδή, 12,5 2,3 12,5 2,3 10,2 Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το (ή δεν έχει πρόσημο), μπορούμε να την απαλείψουμε γράφοντας τους όρους που περιέχει με το ίδιο πρόσημο. 421 4213 Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το, μπορούμε να την απαλείψουμε γράφοντας τους όρους που περιέχει με αντίθετο πρόσημο. 421 4213 Το γινόμενο δυο ομόσημων αριθμών είναι θετικός αριθμός. 3 7 7 3 21 81 8 1 8 Το γινόμενο δυο ετερόσημων αριθμών είναι αρνητικός αριθμός. 37 7 3 21 Στον πολλαπλασιασμό ρητών αριθμών ισχύουν οι ιδιότητες: Αν,, Q, τότε: Αντιμεταθετική Προσεταιριστική και Επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση και την αφαίρεση. Το είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, έτσι με όποιο αριθμό πολλαπλασιαστεί δεν τον διαφοροποιεί. Δηλαδή, 31 3 Ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού
Το γινόμενο δύο ή περισσότερων μη μηδενικών παραγόντων είναι: Αρνητικό, αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι περιττός αριθμός. Θετικό, αν το πλήθος των αρνητικών παραγόντων είναι άρτιος αριθμός. 312 6 1542 40 Για κάθε ρητό αριθμό, 0, υπάρχει μοναδικός ρητός αριθμός που ονομάζεται αντίστροφός του. Το γινόμενο δυο αντίστροφων αριθμών είναι η μονάδα. Δηλαδή, Οι αριθμοί 4 και είναι αντίστροφοι. Το πηλίκο δυο ομόσημων ρητών αριθμών είναι θετικό. 12 2 12 2 6 30 5 30 5 6 Το πηλίκο δυο ετερόσημων ρητών αριθμών είναι αρνητικό. 45 5 45 5 9 2,1 7 2,1 7 0,3 Η διαίρεση μπορεί να γραφεί ως γινόμενο του επί τον αντίστροφο του αριθμού. Δηλαδή,, 0 5 2 5 Ισχύει ότι: και 5 Σύνθετο κλάσμα ονομάζεται το κλάσμα, του οποίου ένας τουλάχιστον από τους δύο όρους (αριθμητής παρονομαστής) είναι κλάσμα. Ένα σύνθετο κλάσμα μετατρέπεται σε απλό διαιρώντας τον αριθμητή με τον παρονομαστή. α β γ δ α β γ α δ δ β γ β 0, γ 0, δ 0 Στη διαίρεση ρητών αριθμών ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα: Επιμεριστική ιδιότητα της διαίρεσης ως προς την πρόσθεση και την αφαίρεση. Δηλαδή, αν,, Q και α0, τότε: και ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ: Κάθε δύναμη με βάση θετικό αριθμό είναι θετικός αριθμός. Aν, τότε όπου Q,. 7 343, 1 3 1 81
Κάθε δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό είναι: Θετικός αριθμός, αν ο εκθέτης είναι άρτιος. 3 81, 0,2 0,04 Ορίζεται:, όπου, όπου 2 1, 5 5 Αρνητικός αριθμός, αν ο εκθέτης είναι περιττός. 2 8, 1 1 Η σειρά με την οποία πρέπει να κάνουμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση (προτεραιότητα πράξεων) είναι η ακόλουθη: Πρώτα υπολογίζουμε τις δυνάμεις. Στη συνέχεια, εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις. Τέλος, κάνουμε τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις. Αν υπάρχουν στην παράσταση παρενθέσεις, τότε με βάση την προηγούμενη σειρά εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Μια μαθηματική έκφραση που περιλαμβάνει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές ονομάζεται αλγεβρική παράσταση. 3 1 Αλγεβρική παράσταση, με μεταβλητή το 2 5: Αλγεβρική παράσταση, με μεταβλητές τις και Για να γράψουμε μια αλγεβρική παράσταση σε πιο απλή μορφή χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες των πράξεων (επιμεριστική, προσεταιριστική, αντιμεταθετική). Αν αντικαταστήσουμε σε μια αλγεβρική παράσταση όλες τις μεταβλητές με αριθμούς και κάνουμε τις πράξεις, τότε το αποτέλεσμα που θα προκύψει, λέγεται αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης. Αν έχουμε την αλγεβρική παράσταση 53 και δώσουμε στη μεταβλητή την τιμή 3, τότε 5353 3 59 14 Ο αριθμός 14 ονομάζεται αριθμητική τιμή της αλγεβρικής παράστασης για 3. Η έκφραση είναι μια ισότητα. Το και το είναι μαθηματικές παραστάσεις. 4 235 2 1 22 Μια ισότητα χαρακτηρίζεται ως: ΑΛΗΘΗΣ, αν το πρώτο μέλος της είναι ίσο με το δεύτερο μέλος της. ΨΕΥΔΗΣ, αν το πρώτο μέλος της δεν είναι ίσο με το δεύτερο μέλος της. 4 235 αληθής ισότητα 4 236 ψευδής ισότητα, δηλαδή 4 236 Εξίσωση είναι μια ισότητα που περιέχει τουλάχιστον μία μεταβλητή. Η μεταβλητή της εξίσωσης ονομάζεται και άγνωστος της εξίσωσης.
Αν αντικαταστήσουμε τη μεταβλητή μιας εξίσωσης με έναν αριθμό, και προκύπτει αληθής ισότητα, τότε λέμε ότι ο αριθμός αυτός επαληθεύει την εξίσωση. Ο αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση λέγεται λύση ή ρίζα της εξίσωσης. 2 είναι λύση της εξίσωσης 4 3 11, επειδή 4 2311 11 11 Επίλυση εξίσωσης είναι η διαδικασία που εφαρμόζουμε, για να βρούμε τη λύση της εξίσωσης. Για να λύσουμε μια εξίσωση α βαθμού με έναν άγνωστο, μπορούμε να ακολουθήσουμε τα πιο κάτω στάδια: Απαλείφουμε τους παρονομαστές, αν υπάρχουν. Απαλείφουμε τις παρενθέσεις, αν υπάρχουν. Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. Κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων. Διαιρούμε και τα δύο μέλη με τον συντελεστή του αγνώστου. 1 Βρίσκουμε το 3,2,1 6 και μετατρέπουμε σε ομώνυμα και απαλείφουμε τους παρονομαστές 46323 Απαλείφουμε τις παρενθέσεις. 46326 Χωρίζουμε τους γνωστούς από τους άγνωστους όρους. 43266 312 3 12 3 3 4 Κάνουμε αναγωγή όμοιων όρων. Διαιρούμε με τον συντελεστή του άγνωστου όρου. Βρίσκουμε τη λύση της εξίσωσης Αλγεβρική ταυτότητα είναι κάθε ισότητα ανάμεσα σε δύο αλγεβρικές παραστάσεις, η οποία αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών που περιέχει. Για να αποδείξουμε μια ταυτότητα μπορούμε: να ξεκινήσουμε από το ένα μέλος και να καταλήξουμε στο άλλο. έ έ ή έ έ να προχωρήσουμε και τα δύο μέλη έως ένα σημείο και να διαπιστώσουμε την ισότητά τους, δηλαδή: έ έ έ έ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Ακολουθία είναι μια διατεταγμένη λίστα αντικειμένων. 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, Κάθε αντικείμενο στην ακολουθία ονομάζεται όρος της ακολουθίας και συνήθως συμβολίζεται με ό 1,2,3,4,.. Στις ακολουθίες υπάρχει μια αντιστοιχία των φυσικών αριθμών και του όρου της ακολουθίας, ο φυσικός αριθμός δηλώνει τη θέση του όρου στην ακολουθία. Στην ακολουθία 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, Ο πρώτος όρος είναι το 2, ο δεύτερος όρος είναι το 5, ο τρίτος όρος είναι το 8 κ.ο.κ. όπως φαίνεται στον πιο κάτω πίνακα. Θέση (v) στην ακολουθία 1 ος 2 ος 3 ος 4 ος 5 ος 6 ος 7 ος Συμβολισμός όρου Όρος 2 5 8 11 14 17 20
Οι ακολουθίες βασίζονται σε κάποιο τύπο ή κανόνα. Για να καταγραφούν οι όροι μιας ακολουθίας, θα πρέπει να είναι γνωστός ο κανόνας ή ο τύπος. Κάθε ακολουθία μπορεί να αναπαρασταθεί με διάφορους τρόπους. (α) Λεκτική μορφή, περιγραφή της ακολουθίας Ο πρώτος όρος είναι 4 και κάθε επόμενος όρος αυξάνεται κατά 5 (β) Διατεταγμένη μορφή, καταγραφή των όρων τις ακολουθίας 4, 9, 14, 19, (γ) Αναγωγικός τύπος, Ο όρος εκφράζεται συναρτήσει του προηγούμενου ή του επόμενου του όρου. 4, 5 όπου 4, 5 όπου (δ) Γενικός τύπος της μορφής. Το καθορίζει την θέση του όρου 54, όπου ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορθογώνιο σύστημα αξόνων ονομάζουμε δύο κάθετους αριθμημένους άξονες, έναν οριζόντιο και έναν κατακόρυφο, με σημείο τομής τους το μηδέν του κάθε άξονα. Ο οριζόντιος άξονας ονομάζεται άξονας των τετμημένων και ο κατακόρυφος άξονας των τεταγμένων. Άξονας των τεταγμένων Άξονας των τετμημένων Η θέση ενός σημείου στο επίπεδο μπορεί να οριστεί από ένα διατεταγμένο ζεύγος αριθμών, που ονομάζονται συντεταγμένες του σημείου. Ο αριθμός είναι η τετμημένη και ο αριθμός είναι η τεταγμένη. Στο πιο πάνω ορθοκανονικό σύστημα αξόνων είναι σημειωμένη η θέση του σημείου 2,4. Τετμημένη: 2 Τεταγμένη: 4 Ο άξονας των τετμημένων και ο άξονας των τεταγμένων χωρίζουν το επίπεδο των συνταγμένων σε 4 περιοχές που ονομάζονται τεταρτημόρια. Κάθε σημείο του επιπέδου αντιστοιχεί σε ένα μόνο ζεύγος συντεταγμένων και αντιστρόφως κάθε διατεταγμένο ζεύγος αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο του επιπέδου. Αντιστοιχία λέγεται μια σχέση (κανόνας) που συνδέει τα στοιχεία ενός συνόλου (σύνολο εισόδου) με τα στοιχεία ενός συνόλου (σύνολο εξόδου). 2 ο τεταρτημόριο 3 ο τεταρτημόριο 1 ο τεταρτημόριο 4 ο τεταρτημόριο Αρχή των αξόνων (0,0)
Συνάρτηση ονομάζουμε την ειδική περίπτωση αντιστοιχίας που σε κάθε στοιχείο του συνόλου εισόδου αντιστοιχεί μόνο ένα στοιχείο του συνόλου εξόδου. Αν τα στοιχεία του συνόλου των τιμών εισόδου και τα στοιχεία του συνόλου των τιμών εξόδου είναι αριθμοί και συνδέονται μεταξύ τους, μέσω μιας ισότητας στην οποία η τιμή του εξαρτάται από την τιμή του, τότε η ισότητα αυτή ονομάζεται τύπος της συνάρτησης. 23, 23 Η αναπαράσταση σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων του συνόλου των διατεταγμένων ζευγών,, που προκύπτουν μέσω του τύπου της συνάρτησης, ονομάζεται γραφική παράσταση της συνάρτησης. Ειδικά τα σημεία που δημιουργούνται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο ανήκουν σε μια ευθεία γραμμή. Η γραφική παράσταση της 21. ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Λόγος δύο ομοειδών μεγεθών και, που εκφράζονται με την ίδια μονάδα μέτρησης, είναι το πηλίκο των μέτρων τους. Ο λόγος του προς το μπορεί να γραφεί ως: προς ή ή. Σε ένα τμήμα φοιτούν 12 αγόρια και 10 κορίτσια. Ο λόγος των αγοριών προς τα κορίτσια είναι 12 10 ή 12 10 ή ή πιο απλά Αναλογία ονομάζεται η ισότητα δύο λόγων, Οι,, και λέγονται όροι της αναλογίας. Οι και λέγονται άκροι όροι της αναλογίας. Οι και λέγονται μέσοι όροι της αναλογίας. Οι και λέγονται ηγούμενοι όροι της αναλογίας. Οι και λέγονται επόμενοι όροι της αναλογίας. Iδιότητες των αναλογιών. Αν Αν Ισχύει: 2 6 3 4 και
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών που εμβαθύνει σε μεθόδους συλλογής δεδομένων, οργάνωσης, παρουσίασης των δεδομένων και εξαγωγής συμπερασμάτων από τα δεδομένα αυτά. Τα δεδομένα που συλλέγονται αφορούν ένα συγκεκριμένο σύνολο αναφοράς, το οποίο ονομάζεται πληθυσμός. Το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο μελετάμε τα στοιχεία ενός πληθυσμού, ονομάζεται μεταβλητή. Οι τιμές των μεταβλητών που καταγράφουμε για καθένα από τα μέλη του πληθυσμού, όταν συλλέγουμε δεδομένα ονομάζονται και παρατηρήσεις. Οι μεταβλητές διακρίνονται, ανάλογα με το είδος των τιμών που μπορούν να πάρουν, σε ποιοτικές και σε ποσοτικές. Οι ποιοτικές μεταβλητές παίρνουν τιμές που δεν είναι αριθμοί και ταξινομούν τον πληθυσμό σε κατηγορίες. φύλο, θρήσκευμα, επίπεδο σπουδών, ομάδα αίματος, οικογενειακή κατάσταση, ποδοσφαιρική ομάδα που υποστηρίζει κάποιος κ.λπ. Οι ποσοτικές μεταβλητές παίρνουν μόνο αριθμητικές τιμές. αριθμός παιδιών σε μια οικογένεια, αριθμός υπολογιστών που έχει μια οικογένεια στο σπίτι, ύψος, βάρος, ταχύτητα, χρόνος προπόνησης ενός ποδηλάτη, κ.λπ.. Συχνότητα μιας τιμής ονομάζεται ο φυσικός αριθμός που εκφράζει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή αυτή. Ο πίνακας συχνοτήτων παρουσιάζει τις αντίστοιχες συχνότητες όλων των τιμών μιας μεταβλητής. Άθλημα Αριθμός Ατόμων Ποδόσφαιρο 8 Κολύμπι 5 Άλλο 6 Ραβδόγραμμα Στο ραβδόγραμμα, οι τιμές της μεταβλητής παριστάνονται στον οριζόντιο άξονα, με κενά μεταξύ τους, ενώ η συχνότητα στον κατακόρυφο. Το ραβδόγραμμα αποτελείται από ξεχωριστά ορθογώνια για κάθε τιμή της μεταβλητής, τα οποία έχουν ύψος ίσο με την αντίστοιχη συχνότητα. Ιστόγραμμα Για να κάνουμε γραφική παρουσίαση μεταβλητών όπως το ύψος, το βάρος κ.λπ., στις οποίες χρειάζεται ομαδοποίηση παρατηρήσεων χρησιμοποιούμε το ιστόγραμμα. Το ιστόγραμμα στην απλοποιημένη του μορφή αποτελείται από συνεχόμενα ορθογώνια, τα οποία έχουν βάση ίση με κάθε υποδιάστημα και ύψος ίσο με τη συχνότητα της αντίστοιχης κατηγορίας. Κυκλικό Διάγραμμα Στο κυκλικό διάγραμμα το σύνολο των δεδομένων παριστάνεται με έναν κυκλικό δίσκο και οι τιμές της μεταβλητής σε κυκλικούς τομείς (συνήθως διαφορετικού χρώματος). Κάθε τομέας αναφέρεται σε μία τιμή ή κατηγορία τιμών της μεταβλητής. Δηλαδή παρουσιάζει το μέρος του συνόλου που αντιπροσωπεύει η κάθε συγκεκριμένη τιμή ή κατηγορία τιμών της μεταβλητής.
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ: Το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης ονομάζεται δυνατό ενδεχόμενο ή γεγονός. Στη ρίψη ενός ζαριού, : έ ί ά ό, 2, 4, 6 : έ ί ύ ή 5, 5, 6 : έ ί ό 2, 2 Όταν το αποτέλεσμα ενός πειράματος, σε μια συγκεκριμένη εκτέλεσή του είναι στοιχείο ενός ενδεχομένου, τότε λέμε ότι το ενδεχόμενο αυτό πραγματοποιείται ή συμβαίνει. Aπό τα ενδεχόμενα,, που αναφέραμε πιο πάνω, αν η ένδειξη είναι 6 τότε λέμε ότι: τα ενδεχόμενα και πραγματοποιούνται, ενώ το δεν πραγματοποιείται. Tα στοιχεία ενός ενδεχομένου ονομάζονται και ευνοϊκές περιπτώσεις για την πραγματοποίησή του. το ενδεχόμενο 5, 6 έχει δύο ευνοϊκές περιπτώσεις ( 2) για την πραγματοποίησή του, όταν φέρουμε 5 ή 6. Αν όλα τα δυνατά αποτελέσματα ενός δειγματικού χώρου έχουν την ίδια δυνατότητα επιλογής, τότε τα αποτελέσματα του δειγματικού χώρου είναι ισοπίθανα. Σε ένα πείραμα τύχης, με ισοπίθανα αποτελέσματα, ο λόγος του πλήθους των ευνοϊκών περιπτώσεων ενός ενδεχομένου Α προς το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων, ονομάζεται πιθανότητα του ενδεχόμενου Α. Δηλαδή: ΡΑ ή ϊώ ά ή ώ έ Στη ρίψη ενός ζαριού, το ενδεχόμενο 2, 4, 6 έχει πιθανότητα πραγματοποίησης: 3 6 1 2 Δηλαδή, η πιθανότητα να φέρω άρτια ένδειξη είναι 50%. Ένα ενδεχόμενο που περιλαμβάνει όλα τα δυνατά αποτελέσματα του πειράματος τύχης, ονομάζεται βέβαιο ενδεχόμενο. Η πιθανότητα πραγματοποίησης ενός βέβαιου ενδεχομένου είναι ίση με 1. Το ενδεχόμενο αυτό είναι ίσο με τον δειγματικό χώρο. Στη ρίψη ενός ζαριού, το ενδεχόμενο : έ έ ό 7, ( 1, 2, 3, 4, 5, 6 έχει πιθανότητα πραγματοποίησης: 1 Το ενδεχόμενο που δεν περιλαμβάνει κανένα δυνατό αποτελέσματα του πειράματος τύχης (το κενό σύνολο), ονομάζεται αδύνατο ενδεχόμενο. Η πιθανότητα πραγματοποίησης ενός αδύνατου ενδεχομένου είναι ίση με 0. Στη ρίψη ενός ζαριού, το ενδεχόμενο : έ έ 7, ( έχει πιθανότητα πραγματοποίησης: 0 Οποιοδήποτε άλλο ενδεχόμενο έχει πιθανότητα πραγματοποίησης μεγαλύτερη από 0 και μικρότερη από 1. Άρα για κάθε ενδεχόμενο Α ισχύει
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Η μέτρηση των γωνιών γίνεται με το μοιρογνωμόνιο (γεωμετρικό όργανο). Ο αριθμός που προκύπτει από τη μέτρηση ονομάζεται μέτρο γωνίας. Η μονάδα μέτρησης γωνίας είναι η μοίρα και συμβολίζεται με. Η μοίρα αντιστοιχεί στο τόξο που είναι ίσο με του κύκλου και υποδιαιρείται σε 60 λεπτά (60 ) και κάθε λεπτό σε 60 δευτερόλεπτα (60 ). Ορθή γωνία λέγεται η γωνία που έχει μέτρο. 90 Οξεία γωνία λέγεται η γωνία που είναι μεγαλύτερη από 0 και μικρότερη των 90. 0 90 Αμβλεία γωνία λέγεται η γωνία που είναι μεγαλύτερη των 90 και μικρότερη των 180. 90 180 Μηδενική είναι η γωνία της οποίας οι πλευρές συμπίπτουν και το μέτρο της είναι ίσο με. Ευθεία γωνία είναι η γωνία που έχει μέτρο ίσο με 180. 180 Πλήρης γωνία είναι η γωνία που έχει μέτρο ίσο με. 360 Κυρτή γωνία λέγεται κάθε γωνία που είναι μικρότερη των 180. 0 180 A Μη κυρτή γωνία λέγεται κάθε γωνία που έχει μέτρο μεγαλύτερο των 180 και μικρότερο των 360. 180 ΒΓ 360 Εφεξής γωνίες είναι δύο γωνίες που έχουν την ίδια κορυφή, μία κοινή πλευρά και δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο. Οι ί ή ί ύ είναι κοινή κορυφή, η είναι η κοινή πλευρά και δεν έχουν κανένα άλλο κοινό σημείο. Συμπληρωματικές είναι δύο γωνίες με άθροισμα ίσο με μια ορθή γωνία (90 ). Οι γωνίες και είναι συμπληρωματικές: B A A A B A B Γ Δ B Γ
Παραπληρωματικές είναι δύο γωνίες με άθροισμα μια ευθεία γωνία (180 ). Οι γωνίες και είναι παραπληρωματικές: Κατακορυφήν είναι δύο γωνίες που έχουν την κορυφή τους κοινή και τις πλευρές τους αντικείμενες ημιευθείες. Οι γωνίες αυτές είναι ίσες μεταξύ τους. Οι και είναι κατακορυφήν γωνίες: Διχοτόμος γωνίας είναι η ημιευθεία, η οποία έχει ως αρχή την κορυφή της γωνίας και χωρίζει τη γωνία αυτή σε δύο ίσες γωνίες. διχοτόμος της Κάθετες ονομάζονται δύο ευθείες που τέμνονται και σχηματίζουν μεταξύ τους ορθή γωνία. Ο συμβολισμός δηλώνει ότι οι ευθείες και τέμνονται κάθετα. Το διαβάζεται «η ευθεία είναι κάθετη με την ευθεία» ή «οι και είναι κάθετες μεταξύ τους». Μεσοκάθετος ευθύγραμμου τμήματος ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη στο ευθύγραμμο τμήμα και περνά από το μέσο του. Αν μέσο και, τότε μεσοκάθετος του. Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός ευθύγραμμου τμήματος, ισαπέχει από τα άκρα του. Αν μεσοκάθετος του, τότε και. Η απόσταση σημείου από ευθεία είναι ίση με το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που ξεκινά από το σημείο και είναι κάθετο στην ευθεία. Η απόσταση του σημείου από την ευθεία είναι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που είναι κάθετο στην ευθεία. Αν και είναι δύο παράλληλες ευθείες οι οποίες τέμνονται από μία τρίτη ευθεία, τότε: οι «εντός εναλλάξ» γωνίες είναι ίσες, και οι «εντός εκτός και επί τα αυτά» γωνίες είναι ίσες. και οι «εντός και επί τα αυτά» γωνίες είναι παραπληρωματικές, 180 και 180 Αντίστροφα: Αν δύο ευθείες και που τέμνονται από τρίτη ευθεία σχηματίζουν τις «εντός εναλλάξ» γωνίες ίσες, τότε οι ευθείες και είναι παράλληλες. Αν τότε.
Αν δύο ευθείες και που τέμνονται από τρίτη ευθεία σχηματίζουν τις «εντός και επί τα αυτά» γωνίες παραπληρωματικές, τότε οι δύο ευθείες και είναι παράλληλες. Αν 180 τότε. Αν δύο ευθείες και που τέμνονται από τρίτη ευθεία σχηματίζουν τις «εντός εκτός και επί τα αυτά» γωνίες ίσες, τότε οι ευθείες και είναι παράλληλες. Αν τότε. Αν δύο ευθείες και είναι παράλληλες με μία τρίτη ευθεία, τότε είναι μεταξύ τους παράλληλες. Aν και τότε Δύο ευθείες είναι παράλληλες, αν είναι και οι δύο κάθετες σε μια τρίτη ευθεία. ΤΡΙΓΩΝΑ Ορθογώνιο είναι το τρίγωνο που έχει μια ορθή γωνία. 90 Αμβλυγώνιο είναι το τρίγωνο που έχει μία αμβλεία γωνία. 90 Οξυγώνιο είναι το τρίγωνο που έχει όλες τις γωνίες του οξείες. 90, 90 και 90 Σε κάθε τρίγωνο το άθροισμα των γωνιών του είναι ίσο με 180. Στο τρίγωνο : 180 Η γωνία που σχηματίζεται από τη μια πλευρά του τριγώνου και την προέκταση της άλλης, ονομάζεται εξωτερική γωνία του τριγώνου. είναι εξωτερική γωνία του τριγώνου Σε οποιοδήποτε τρίγωνο η κάθε εξωτερική γωνία είναι ίση με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών γωνιών.
Διάμεσος τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει μια κορυφή ενός τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Κέντρο βάρους ή Βαρύκεντρο ενός τριγώνου είναι το σημείο τομής των διαμέσων του. Στο τρίγωνο το σημείο είναι το βαρύκεντρό του. Ύψος τριγώνου ονομάζεται το κάθετο ευθύγραμμο τμήμα που φέρεται από μια κορυφή του τριγώνου προς την ευθεία που περιέχει την απέναντι πλευρά του. Η πλευρά αυτή ονομάζεται βάση του τριγώνου ως προς το συγκεκριμένο ύψος. Ορθόκεντρο είναι το σημείο τομής των υψών του τριγώνου. Στο τρίγωνο το σημείο είναι το ορθόκεντρό του. Διχοτόμος τριγώνου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα που διχοτομεί μια γωνιά του τριγώνου, ξεκινά από μια κορυφή του και καταλήγει στην απέναντι πλευρά. Έγκεντρο είναι το σημείο τομής των διχοτόμων ενός τριγώνου. Στο τρίγωνο το σημείο είναι το έγκεντρό του. Σκαληνό είναι το τρίγωνο που έχει τις πλευρές του άνισες. Σε ισοσκελές τρίγωνο ισχύει: Οι δύο του πλευρές είναι ίσες. Οι δύο του γωνίες (γωνίες βάσης) είναι ίσες. Το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση είναι και διχοτόμος και διάμεσος. Σε ισόπλευρο τρίγωνο ισχύει: Όλες οι πλευρές του είναι ίσες. Όλες οι γωνίες του είναι ίσες. Κάθε ύψος είναι και διάμεσος και διχοτόμος. ΜΕΤΡΗΣΗ ώ ώ
ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΑ Το άθροισμα των γωνιών ενός τετραπλεύρου είναι ίσο με 360. Στο τρίγωνο : 360 ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ (#) λέγεται το τετράπλευρο που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες. ά ά ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ λέγεται το τετράπλευρο που έχει όλες του τις γωνίες ορθές. ί ί ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ λέγεται το τετράπλευρο που έχει όλες του τις πλευρές ίσες και όλες του τις γωνίες ορθές. ώ ώ ΚΥΚΛΟΣ ονομάζεται το σύνολο των σημείων του επιπέδου που απέχουν την ίδια απόσταση (ακτίνα) από ένα σταθερό σημείο (κέντρο) του επιπέδου. Γράφουμε για συντομία κύκλος, και εννοούμε τον κύκλο με κέντρο το και ακτίνα. Χορδή κύκλου ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα με τα άκρα του πάνω στον κύκλο. η είναι χορδή του κύκλου. Διάμετρος κύκλου είναι η χορδή που περνά από το κέντρο του κύκλου. Το κέντρο του κύκλου είναι το μέσο κάθε διαμέτρου. η είναι διάμετρος του κύκλου. Κάθε διάμετρος είναι η μεγαλύτερη χορδή κύκλου και έχει μήκος διπλάσιο από την ακτίνα, δηλαδή 2. Δύο σημεία και του κύκλου χωρίζουν τον κύκλο σε δύο μέρη, που το καθένα ονομάζεται τόξο AB του κύκλου με άκρα και. Τα δύο τόξα συμβολίζονται AMB και ANB, όπου Μ και Ν είναι ενδιάμεσα σημεία των αντίστοιχων τόξων.
Επίκεντρη γωνία είναι η γωνία, της οποίας η κορυφή συμπίπτει με το κέντρο του κύκλου, π.χ.. Το τόξο, που βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας ονομάζεται αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης. Το AB είναι το αντίστοιχο τόξο της επίκεντρης και η ΚΒ βαίνει στο τόξο AB. Σε τόξο μοιρών (συμβολικά ) βαίνει επίκεντρη γωνία επίσης. το τόξο AB έχει μέτρο ίσο με το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας του 50 H ευθεία ε είναι εξωτερική του κύκλου, αν d. Η ευθεία και ο κύκλος δεν έχουν κοινά σημεία. (To συμβολίζει την απόσταση κέντρου από την ευθεία και το συμβολίζει την ακτίνα του κύκλου) H ευθεία ε είναι εφαπτομένη του κύκλου, αν d R Η ευθεία και ο κύκλος έχουν ένα κοινό σημείο. H ευθεία ε τέμνει τον κύκλο, αν d R Η ευθεία και ο κύκλος έχουν δύο κοινά σημεία. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Μονόμετρο μέγεθος λέγεται κάθε μέγεθος που χαρακτηρίζεται μόνο από το μέτρο του. Το μήκος, η μάζα, η θερμοκρασία είναι μονόμετρα μεγέθη. Διανυσματικό μέγεθος λέγεται κάθε μέγεθος που έχει μέτρο και κατεύθυνση. Η ταχύτητα, η δύναμη είναι διανυσματικά μεγέθη. Τα διανυσματικά μεγέθη παριστάνονται με διανύσματα τα οποία συμβολίζονται με βέλη έχοντας ένα σημείο που είναι η αρχή και λέγεται σημείο εφαρμογής του διανύσματος και ένα σημείο το τέλος του διανύσματος. Το διάνυσμα το συμβολίζουμε με ή με. Ένα διάνυσμα έχει τα εξής στοιχεία: τη διεύθυνση, που είναι η ευθεία που ορίζουν τα άκρα, ή οποιαδήποτε άλλη ευθεία παράλληλη προς αυτή. τη φορά, που καθορίζεται από το αν το διάνυσμα έχει αρχή το και τέλος το ή αρχή το και τέλος το. το μέτρο, που είναι το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος, το οποίο συμβολίζουμε με. Το μέτρο είναι πάντοτε θετικός αριθμός ή μηδέν. Η διεύθυνση μαζί με τη φορά καθορίζουν την κατεύθυνση ενός διανύσματος.
Ένα διάνυσμα λέγεται μηδενικό, όταν η αρχή και το τέλος του συμπίπτουν. Το συμβολίζουμε με και έχει μέτρο μηδέν. Παράλληλα ή συγγραμμικά ονομάζονται τα μη-μηδενικά διανύσματα τα οποία έχουν την ίδια διεύθυνση. Τα παράλληλα διανύσματα διακρίνονται σε δύο κατηγορίες: Τα ομόρροπα τα οποία έχουν την ίδια φορά. Τα διανύσματα και είναι ομόρροπα. Τα αντίρροπα τα οποία έχουν αντίθετη φορά. Τα διανύσματα και είναι αντίρροπα. Ίσα είναι τα διανύσματα τα οποία έχουν την ίδια διεύθυνση (δηλαδή ανήκουν στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλη), την ίδια φορά και το ίδιο μέτρο. Αν, είναι δύο ίσα διανύσματα, τότε γράφουμε. Στο σχήμα τα διανύσματα έχουν όλα το ίδιο μέτρο. Ισχύει: Τα διανύσματα και είναι ίσα, δηλαδή. Τα διανύσματα και είναι ίσα, δηλαδή Αντίθετα είναι δύο διανύσματα που έχουν την ίδια διεύθυνση, το ίδιο μέτρο, αλλά αντίθετη φορά. Στο σχήμα τα διανύσματα έχουν όλα το ίδιο μέτρο. Ισχύει: Τα διανύσματα και είναι αντίθετα, δηλαδή. Τα διανύσματα και είναι αντίθετα, δηλαδή. Τα διανύσματα και είναι αντίθετα, δηλαδή. Δύο διανύσματα λέγονται διαδοχικά διανύσματα, όταν το τέλος του πρώτου διανύσματος είναι η αρχή του δεύτερου. Τα διανύσματα και είναι διαδοχικά. Άθροισμα δύο διαδοχικών διανυσμάτων είναι το διάνυσμα που έχει αρχή την αρχή του πρώτου διανύσματος και τέλος το τέλος του δεύτερου διανύσματος. Το άθροισμα των διανυσμάτων και είναι το διάνυσμα και γράφεται. Αν έχουμε να προσθέσουμε περισσότερα από δύο διανύσματα, τα οποία είναι ανά δύο διαδοχικά, όπως φαίνεται στο σχήμα, τότε το άθροισμά τους έχει αρχή την αρχή του πρώτου διανύσματος και τέλος το τέλος του τελευταίου. Το άθροισμα των διανυσμάτων, και είναι το διάνυσμα και γράφεται:
Σχολική Χρονιά 2016 17 Για να προσθέσουμε δύο διανύσματα και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο του παραλληλογράμμου και εργαζόμαστε ως εξής: c. s e il d u o s u Σχεδιάζουμε τα διανύσματα και, τα οποία έχουν κοινή αρχή. Σχηματίζουμε το παραλληλόγραμμο που έχει πλευρές τα ευθύγραμμα τμήματα και. Το διάνυσμα το οποίο έχει ως αρχή την κοινή αρχή των δύο διανυσμάτων, και τέλος την απέναντι κορυφή του παραλληλογράμμου,, είναι το άθροισμα των δύο διανυσμάτων. Για να προσθέσουμε δύο μη διαδοχικά διανύσματα και διανύσματα και τα οποία είναι διαδοχικά. Το άθροισμα των διανυσμάτων και H T ορίζεται ως το άθροισμα του A Δηλαδή,. M Σημείωση: t a m e Διαφορά δύο διανυσμάτων Η διαφορά του διανύσματος από το διάνυσμα συμβολίζεται με με το αντίθετο διάνυσμα του. 0 m. s ic είναι:. o σχεδιάζουμε τα και m o