ΜΙΑ ΑΣΚΗΣΗ ΔΥΟ ΛΥΣΕΙΣ Το ιδανικό αέριο θερµικής µηχανής εκτελεί την παρακάτω αντιστρεπτή κυκλική µεταβολή: Ι) ραµµική µεταβολή από την κατάσταση Α(o,o) στην κατάσταση Β (o,o) ΙΙ) ραµµική µεταβολή από την κατάσταση Β (o,o) στην κατάσταση (o,3o) ΙΙΙ) Ισοβαρή ψύξη από την (o,3o) στην Α(o,o) Αν ΔU AB =4,5W όπου W το έργο κατά τη διάρκεια της κυκλικής µεταβολής: Α) Να σχεδιάσετε την κυκλική µεταβολή σε άξονες - Β) Να υπολογίσετε την ειδική γραµµοµοριακή θερµότητα υπό σταθερό όγκο Cv του αερίου ) Να υπολογίσετε το συντελεστή απόδοσης της θερµικής µηχανής ΑΠΑΝΤΗΣΗ Από την καταστατική εξίσωση στις καταστάσεις ισορροπίας Α, Β, έχουµε: (Α) = nrt (Β) = nrtb () 3 = nrt Από τις πιο πάνω σχέσεις προκύπτει: TB = 4T και T = 3Τ Α) Η κυκλική µεταβολή παριστάνεται στο επόµενο διάγραµµα -: Α B 3 Β) Το έργο κατά την παραπάνω κυκλική µεταβολή είναι θετικό αφού η κυκλική µεταβολή διαγράφεται δεξιόστροφα και αριθµητικά ίσο µε το εµβαδό του τριγώνου ΑΒ: W = ( )(3 ) W = Όµως: U = 4,5 W nc (4 T T ) = 4, 5 nc 3T = 4, 5 () AB v v
Επιπλέον: = nrt nt = R Αντικαθιστώντας στην () έχουµε: 4,5 3 3 C v = 4,5 C R C R v = v = R 3 ) Το έργο κατά τη µεταβολή ΑΒ υπολογίζεται από το εµβαδό του τραπεζίου: + 3 ( ) WAB = WAB = Η θερµότητα που ανταλλάσσει το αέριο µε το περιβάλλον κατά τη µεταβολή ΑΒ υπολογίζεται από το ο ΘΔΝ: = W + U =,5 + 4,5 = 6 () AB AB AB AB AB Το έργο κατά τη µεταβολή Β υπολογίζεται από το εµβαδό του τραπεζίου: + 3 WB = (3 ) WB = Η µεταβολή εσωτερικής ενέργειας του αερίου κατά τη µεταβολή Β υπολογίζεται από τη σχέση: 3 3 U B = ncv(3t 4 T ) = n R( T ) U B = Η θερµότητα που ανταλλάσσει το αέριο µε το περιβάλλον κατά τη µεταβολή Β υπολογίζεται από το ο ΘΔΝ: = W + U =,5,5 = (3) B B B B B Η θερµότητα που ανταλλάσσει το αέριο µε το περιβάλλον κατά τη µεταβολή Α υπολογίζεται από τη σχέση: 5 A = nc ( T 3 T ) A = n R( T ) A = 5nRT A = 5 (4) Σύµφωνα µε τα πιο πάνω, η προσφερόµενη θερµότητα στο αέριο κατά τη διάρκεια της κυκλικής µεταβολής είναι ίση µε: = = 6 (5) AB
= W = 6 = 6 Ισοδύναµα η αποβαλλόµενη θερµότητα από το αέριο κατά τη διάρκεια της κυκλικής µεταβολής είναι ίση µε: = = 5 c A 5 5 6 6 6 = c = = = Το παραπάνω αποτέλεσµα για το συντελεστή απόδοσης το συνάντησα σε εξωσχολικό βιβλίο Φυσικής από την εποχή των δεσµών. Συµφωνείτε µε το αποτέλεσµα αυτό;;; η λύση (προτεινόµενη) Τι σηµαίνει B = ; Είναι η µεταβολή αδιαβατική ώστε σε κάθε στοιχειώδες τµήµα της d= ; Προφανώς και όχι. Άρα τι γίνεται; Πολύ απλά κατά τη διάρκεια ενός τµήµατος ΒΖ, >, ενώ κατά τη διάρκεια του τµήµατος Ζ, Z <, ώστε συνολικά = + =. B Z Αυτό διαφοροποιεί την τιµή του συντελεστή απόδοσης; Προφανώς ναι, αφού διαφοροποιεί την προσφερόµενη θερµότητα κατά τη διάρκεια της κυκλικής µεταβολής: = AB+ > AB ενώ το παραγόµενο έργο κατά τη διάρκεια της κυκλικής µεταβολής παραµένει σταθερό. Η γραµµική µεταβολή Β ικανοποιεί τη σχέση: =a+b όπου: ( B) : = a + b ( ) : = a3 + b Επιλύοντας το σύστηµα προκύπτει: a= και b= 4 Άρα η γραµµική µεταβολή Β ικανοποιεί τη σχέση: = ( ) + 4 (6) Έστω Ζ κατάσταση ισορροπίας πάνω στη Β µέχρι την οποία: > και µετά <. Z
Εφαρµόζουµε το ο ΘΔΝ για τη ΒΖ: 3 + = U + W = n R ( T 4 T ) + ( ) = 3( 4 ) + 4 + = 4 6 + Αντικαθιστούµε την από την (6) και µετά από πράξεις: + + = (7) 4 (4 ) Η διακρίνουσα της βαθµιας ως προς όγκο εξίσωση πρέπει να είναι: = 6 3 = (8) (max) Αντικαθιστώντας την (8) στην (7) βρίσκουµε Z =,5 Αντικαθιστώντας στην (6) βρίσκουµε: Z =,5 και από την καταστατική: = 3,75T TZ Β,5 Α Z,5 3 Εφαρµόζουµε το ο ΘΔΝ για τη Ζ: 3 3,5 + Z = U Z+ WZ Z = n R( T ) + 4... Z = Επαληθεύουµε δηλαδή ότι: B = + Z = + ( ) =
Η προσφερόµενη θερµότητα στο αέριο είναι: = + = 6 +, 5 = 6,5 (9) AB Η αποβαλλόµενη θερµότητα από το αέριο είναι: = + = ( 5 ) + (, 5 ) = 5,5 () c A Z c = W = 6, 5 = 6,5 = 3 ή ισοδύναµα: 5,5 5, 5 6,5 6,5 6, 5 3 = c = = = = Θοδωρής Παπασγουρίδης aasgou@gmail.com