Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας και αντίστροφα. α α. σε ορθογώνιο τρίγωνο η διάµεσος στην α υποτείνουσα είναι το µισό της υποτείνουσας α α. Β Γ εγγεγραµµένη γωνία σε ηµικύκλιο ΒΓ είναι ορθή 3. εγγεγραµµένες γωνίες σε ίσα ή στο ίδιο τόξο είναι ίσες µε το µισό της επίκεντρης γωνίας που βαίνει στο ίδιο τόξο. κάθε τόξο έχει το ίδιο µέτρο µε την αντίστοιχη επίκεντρη γωνία 5. σε αµβλυγώνιο τρίγωνο τα δύο ύψη είναι έξω από το τρίγωνο 6. για τις πλευρές α, β, γ ενός τριγώνου πρέπει να ισχύει: α < β + γ όπου α η µεγαλύτερη πλευρά. 7. σε ένα τρίγωνο, απέναντι από µεγαλύτερη γωνία βρίσκεται και µεγαλύτερη πλευρά και αντίστροφα 8. ιδιότητες αναλογιών: α γ αδ = βγ = και β δ β γ β = αγ = α β
Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1. ΕΙΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Ελέγχω το τετράγωνο της µεγαλύτερης πλευράς µε το άθροισµα των τετραγώνων των άλλων δύο. και: αν είναι µεγαλύτερο τότε είναι αµβλυγώνιο, αν είναι µικρότερο είναι οξυγώνιο. Π.χ. αν α=5 β=7, γ= έχω: β =9>α +γ =1 άρα αµβλυγώνιο στη Β.. ΠΡΟΒΟΛΗ ΠΛΕΥΡΣ ΣΕ ΛΛΗ ΠΛΕΥΡ Υπολογίζω από Γ.Π.Θ. το τετράγωνο της τρίτης πλευράς προσέχοντας αν η απέναντί της γωνία είναι αµβλεία ή οξεία. Π.χ. αν α=5 β=7, γ= για την προβολή χ της α πάνω στη β έχω: Γ<90 ο άρα: γ = α + β - βχ άρα χ= (αν είχα Γ>90 ο θα ήταν: γ = α + β + βχ ) 3. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΜΕΣΟΥ ή ΤΗΣ ΠΡΟΒΟΛΗΣ ΤΗΣ χ, ΣΕ ΠΛΕΥΡ ΤΟΥ ΤΡΙΓ. πό το 1 ο και ο θεώρ. διαµέσων: β + γ = µ α + α / και α - β = γ χ. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΓΩΝΙΣ πό το νόµο των συνηµιτόνων : α = β + γ - βγσυν πό τον τύπο του εµβαδού: ( ΒΓ ) = βγηµ 5. ΤΥΠΟΙ ΕΜΒΟΥ Ε ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΒΓ α υ β υ α β γ υγ E= = = β γ ηµ α γ ηµ α β ηµ E= = Β = Γ α + β + γ E= τ( τ α)( τ β)( τ γ) ( οπου τ = ) E α β γ R = (R η ακτίνα του περιγεγραµµένου κύκλου) Ε = τ ρ ( ρ η ακτίνα του εγγεγραµµένου κύκλου Οι παραπάνω τύποι αποτελούν ένα σύστηµα εξισώσεων από το οποίο αν ξέρω ορισµένα στοιχεία µπορώ να βρίσκω τα υπόλοιπα. 3 εµβαδόν ισόπλευρου πλευράς α: Ε = α 6. Σε ένα τρίγωνο κάθε διάµεσος το χωρίζει σε δύο ισεµβαδικά αλλά όχι απαραίτητα ίσα τρίγωνα.
Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 3 Κ Ν Ο Ν Ι Κ Ο Π Ο Λ Υ Γ Ω Ν Ο ( ίσες πλευρές και ίσες γωνίες ).. ν φ ν Ο R 3 ω ν λ ν R α ν R λ ν λ ν / λ ν / 1 Μ Ο : κέντρο πολυγώνου : σηµείο τοµής των διχοτόµων των γωνιών και των µεσοκαθέτων των πλευρών R: ακτίνα πολυγώνου : απόσταση του Ο από τις κορυφές, κέντρο του εγγεγραµµένου και του περιγεγραµµένου κύκλου του πολυγώνου. α ν : απόστηµα πολυγώνου : η απόσταση του Ο από κάθε πλευρά λ ν : κάθε µία από τις ν ίσες πλευρές του πολυγώνου ω ν : κεντρική γωνία : ω ν = 360 ο /ν φ ν : γωνία πολυγώνου : φ ν + ω ν = 180 ο άρα φ ν =180 ο - 360 ν 0 Ρ ν : περίµετρος πολυγώνου : Ρ ν =νλ ν λα R ν ν Ε ν : εµβαδόν πολυγώνου : Ε ν = ν ( 1 Ο ) = ν ή Ε ν = ν ηµων * Ισχύει από Π.Θ. : λ ν + αν = R από τον οποίο υπολογίζω το α ν αν ξέρω το λ ν Πλευρές και αποστήµατα κανονικών πολυγώνων ακτίνας R. τρίγωνο τετράγωνο εξάγωνο απόστηµα : α R 1 ν R R 3 πλευρά : λ ν R 3 R R 1
Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου ΚΥΚΛΟΣ Μήκος κύκλου: L = πr = π δ (δ=r διάµετρος) R R Εµβαδόν κύκλου: Ε = πr = πδ ΚΥΚΛΙΚΟΣ ΤΟΜΕΣ : ΟΒ R Μήκος τόξου: Ο µ ο R Β Εµβαδόν κ.τοµέα: R l = π µ ar Β 180 = R 1 π µ ( ΟΒ )= = ar 360 ( µ το µέτρο της γωνίας ΟΒ σε µοίρες και α το µέτρο της σε ακτίνια ) ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜ : ΓΒ A O Εµβαδόν κυκλ. τµήµ. = εµβαδόν τοµέα εµβαδόν τριγώνου δηλ. Ε κ. τµ.( ΓΒ) = ( ΟΒ) ( ΟΒ ) B Γ ΜΗΝΙΣΚΟΣ : ΓΒ Γ Εµβαδόν µηνίσκου = διαφορά κυκλικών τµηµάτων δηλ. Ε (ΓΒ) = Ε κ.τµ.(γβ) Ε κ.τµ.(β) Β
Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 5 ΘΕΩΡΙ (αποδείξεις) Κεφ. 9 1. ν σε ορθ. τρίγωνο ΒΓ (=90 ο ) το ύψος, ν.δ.ο. Β i) Β = Β ΒΓ και Γ =Γ ΒΓ ii) Β + Γ = ΒΓ iii) = Β Γ αποδείξεις Γ i) Έχω: Β = Β ΒΓ Β Β = Β ΒΓ AB B Γ = B AB άρα αρκεί ν.δ.ο. ΒΓ Β. ( για να έχω όµοια τρίγωνα αρκεί να έχουν δύο γωνίες ίσες ) τα τρίγωνα είναι ορθογώνια και έχουν τη B κοινή, άρα όµοια. ii) Ισχύει: Β = Β ΒΓ (1) όµοια έχω : Γ = Γ ΒΓ () άρα (1)+() => Β + Γ = Β ΒΓ +Γ ΒΓ=(Β+Γ) ΒΓ =ΒΓ ΒΓ =ΒΓ iii) Έχω: = Β Γ = Β Γ A Γ = Β A (1) άρα αρκεί ν.δ.ο. Γ Β. τα τρίγωνα είναι ορθογώνια και έχουν ˆ ˆ Γ=Β ( συµπληρωµατικές της Γ ).. ν σε τρίγωνο ΒΓ ισχύει: Β + Γ = ΒΓ (1), τότε =90 ο ψ Γ Ε Ο=Β και ΟΕ=Γ (). Στις πλευρές Οχ,Οψ µιας ορθής χοψ παίρνω τα τµήµατα στο ορθ. ΟΕ εχω: Ο επισης ισχυει: Β +ΟΕ =Ε () +Γ =ΒΓ Ε=ΒΓ Β Ο χ Τελικά τα τρίγωνα ΒΓ και ΟΕ είναι ίσα ( τρείς πλευρές ίσες ) άρα =Ο= ˆ ˆ 90 0 3. ν σε τρίγωνο ΒΓ η γωνία είναι οξεία, ν.δ.ο. α = β + γ -β όπου η προβολή της γ πάνω στη β. πόδειξη: 1 ο σχήµα ο σχήµα γ β γ β Β α Γ Β α Γ
Έχω: Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 6. ΒΓ. Β = = a ορϑ Β +Γ ορϑ ( γ ) +Γ (1) Στο 1 ο σχήµα η γωνία Γ είναι οξεία και έχω: Γ = β Στο ο σχήµα η Γ είναι αµβλεία και έχω: Γ = β. Όµως και στις δύο περιπτώσεις είναι : Γ = (β-) = (-β) = β + -β. Άρα η (1) γίνεται: α = (γ ) + ( β + -β ) = γ + β -β ν η Γ είναι ορθή τότε το ΒΓ είναι ορθογώνιο το ταυτίζεται µε το Γ, η µε τη β και η Β µε τη ΒΓ. Άρα θα έχω: α = γ + β -β = γ + β -β β = γ + β -β = γ - β σχέση η οποία ισχύει από το Π.Θ. στο ορθ. ΒΓ.. ν δύο χορδές Β,Γ ή οι προεκτάσεις τους τέµνονται στο Ρ, ν.δ.ο. Ρ ΡΒ = ΡΓ Ρ 1 ο σχήµα ο σχήµα Β Ρ Γ Β Γ Ρ Θ.δ.ο. Ρ ΡΒ = ΡΓ Ρ Ρ Ρ = ΡΓ ΡΒ, αρκεί ν.δ.ο. Ρ ΡΒΓ. Τα τρίγωνα έχουν: 1 ο σχήµα: i) ˆ ˆ Ρ=ΒΡΓ σαν κατακορυφή ii) ˆ ˆ =Γ εγγεγραµµένες στο ίδιο τόξο Β ο σχήµα: i) ˆΡ κοινή ii) ˆ ˆ =Γ εγγεγραµµένες στο ίδιο τόξο Β 5. ν από εξωτερικό σηµείο Ρ ενός κύκλου (Ο,R) φέρουµε το εφαπτόµενο τµήµα ΡΕ και τυχαία τέµνουσα ΡΒ, ν.δ.ο. Ρ ΡΒ = ΡΟ ΟΕ = ΡΕ Ε ν η ΡΟ τέµνει τον κύκλο στα Γ, τότε από R γνωστό θεώρηµα έχω: R O R Γ Ρ Ρ ΡΒ = ΡΓ Ρ = (ΟΡ-R) (OP+R) A = OP R = ΡE (Π.Θ. στο ορθ. ΟΕΡ * ) Β ( * η ΡΕ εφαπτόµενη άρα η γωνία ΟΕΡ=90 ο )
Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 7 7. ύναµη σηµείου Ρ ως προς κύκλο (Ο, R) λέγεται η διαφορά: ΟΡ R και συµβολίζεται µε: Ρ (Ο, R) δηλ. Ρ (Ο, R) = ΟΡ R i) ν το Ρ είναι εξωτερικό σηµείο του κύκλου τότε: Ρ (Ο, R) > 0 (διότι ΟΡ>R) ιι) ν το Ρ είναι εσωτερικό σηµείο του κύκλου τότε: Ρ (Ο, R) < 0 (διότι ΟΡ>R) iii) Aν το Ρ είναι σηµείο του κύκλου τότε: Ρ (Ο, R) = 0 (διότι ΟΡ=R) Κεφ. 10 1. Ν.δ.ο. το εµβαδόν ενός ορθογωνίου µε πλευρές α,β ισούται µε: α β. Κ α Ζ β Η Έστω το ορθ. ΒΓ µε πλευρές α,β και εµβαδόν Ε. Προεκτείνω την Β κατά β και κατά α. Έτσι σχηµατίζεται το α α Ε α τετράγωνο ΙΗΚ µε πλευρά α+β, το τετράγωνο ΚΖΓ µε πλευρά α, Γ Θ το τετράγωνο ΓΘΙΒ µε πλευρά β και το ορθ. ΖΗΘΓ µε πλευρές α,β. β Ε β α Β β Ι πό το σχήµα έχω: (ΚΗΙ) = (ΒΓ) + (ΓΚΖ) + (ΓΖΗΘ) + (ΒΓΘΙ) δηλ. (α+β) = Ε + α + Ε + β α +αβ + β = Ε + α + Ε + β αβ = Ε Ε = αβ.. Ν.δ.ο. το εµβαδόν ενός παρ/µου ισούται µε το γινόµενο µιας πλευράς του επί το ύψος που αντιστοιχεί σαυτή. Έστω το παρ/µο ΒΓ και το ύψος Ε, θ.δ.ο. (ΒΓ) = ΒΓ Ε Φέρνω το Ζ ΒΓ τότε ΒΕ = ΓΖ (ορθ., Β=Γ Β Ε Γ Ζ και Ε=Ζ) άρα και (ΒΕ) = (ΓΖ) (1) πό το σχήµα έχω: (ΒΓ) = (ΒΕ) + (ΕΓ) (1) = (ΓΖ) + (ΕΓ) = (ΕΖ) = Ε = ΒΓ Ε 3. Ν.δ.ο. το εµβαδόν ενός τριγώνου ισούται µε το ηµιγινόµενο µιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος Έστω το ΒΓ και το ύψος του Η,θ.δ.ο. (ΒΓ)= 1 ΒΓ Η Με τις πλευρές Β και ΒΓ σχηµατίζω το παρ/µο ΒΓ άρα έχω: Β Η Γ ΒΓ = Γ άρα και (ΒΓ) = (ΒΓ)= ( ΒΓ ) ΒΓ Ε =
Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 8. Ν.δ.ο. το εµβαδόν ενός τραπεζίου ισούται µε το γινόµενο του ηµιαθροίσµατος των βάσεών του επί το ύψος του. Β Έστω το τραπέζιο ΒΓ µε βάσεις Β και Γ και ύψος υ. Τα τρίγωνα ΒΓ και Γ έχουν βάσεις τις Β και Γ και υ 1 υ ίσα αντίστοιχα ύψη υ 1 = υ = υ, άρα θα έχω: Β υ Γ υ ( Β+Γ) Γ (ΒΓ) = (ΒΓ) + (Γ) = + = υ 8. ν σε δύο τρίγωνα ΒΓ και Β Γ είναι: = ή + =180 ο τότε για τα εµβαδά τους Ε β γ Ε και Ε ισχύει: = Ε β γ 1 β γ ηµ Ε και στις δύο περιπτώσεις έχω: ηµ = ηµ άρα έχω: β γ = = Ε 1 β γ β γ ηµ
Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 9 Κεφ 11 1. Να εγγράψετε σε κύκλο τετράγωνο και να υπολογίσετε την πλευρά του και το απόστηµά του σε συνάρτηση της ακτίνας R του κύκλου. Σε κύκλο (Ο, R) φέρνουµε δύο κάθετες διαµέτρους Γ και Β R λ άρα ˆΟΒ = Β ˆΟΓ = Γ ˆΟ = ˆΟ = 90 ο άρα και Β=ΒΓ=Γ= εποµένως Ο R Γ το ΒΓ είναι τετράγωνο µε πλευρά λ. Β Στο ορθ. ΓΟ έχω: λ =R + R =R άρα λ = R Επίσης από τον τύπο: λ ν + αν = R βρίσκω το α.. Να εγγράψετε σε κύκλο κανονικό εξάγωνο και να υπολογίσετε την πλευρά του και το απόστηµά του σε συνάρτηση της ακτίνας R του κύκλου. Ε Για την κεντρική του γωνία ω 6 έχω: ω 6 = ˆ ΟΒ =360 ο /6 =60 ο Άρα το ισοσκελές ΟΒ τελικά είναι ισόπλευρο µε πλευρά R Εποµένως λ 6 =Β=R,άρα για να εγγράψω το κανονικό εξάγωνο Ζ Ο Γ αρκεί να πάρω έξι διαδοχικά τόξα R R έχουν το καθένα χορδή R. λ 6 Β Β, ΒΓ, Γ, Ε, ΕΖ, Ζ που Επίσης από τον τύπο: λ ν + αν = R βρίσκω το α 6. 3. Να εγγράψετε σε κύκλο ισόπλευρο τρίγωνο και να υπολογίσετε την πλευρά του και το απόστηµά του σε συνάρτηση της ακτίνας R του κύκλου. Ε Χωρίζω τον κύκλο σε έξι ίσα τόξα Β= ΒΓ= Γ=Ε=ΕΖ=Ζ άρα το ΓΕ είναι ισόπλευρο τρίγωνο διότι 0 Γ=ΓΕ=Ε= 10. Ζ Ο Γ Η είναι διάµετρος διότι 0 Γ= 180 το Γ είναι ορθ. στη Γ Β και από Π.Θ. έχω: Άρα λ 3 = R 3 λ 3 =Γ = -Γ =(R) -R = 3R Επίσης από τον τύπο: λ + α3 = R βρίσκω το α 3. 3