Σημειώσεις για το μάθημα "Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM)"

ΑΤΕΙ ΧΑΛΚΙ ΑΣ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για το μάθημα "Σχεδίαση με υπολογιστές και δίκτυα παραγωγής (CAD/CAM" Εαρινό εξάμηνο 5 Χ. Οικονομάκος

. Γενικά Χρήση γεωμετρικών μετασχηματισμών στα προγράμματα CAD Η χρήση των μαθηματικών και ειδικώτερα της γεωμετρίας για την εσωτερική παράσταση και διαχείριση των σχημάτων, που περιλαμβάνει ένα σχέδιο, είναι μια πολύ δυναμική τεχνική, που χρησιμοποιείται ευρύτατα στα προγράμματα CAD. Κατά τη μέθοδο αυτή, ένα σύνθετο σχέδιο χτίζεται από απλά γεωμετρικά αντικείμενα όπως ευθύγραμμα τμήματα, κύκλοι, πολύγωνα, κ.λ.π. Το καθένα από τα αντικείμενα αυτά προσδιορίζεται πλήρως όταν δώσουμε τις θέσεις κάποιων χαρακτηριστικών σημείων του ως προς ένα σύστημα συντεταγμένων. Για παράδειγμα, ένα ευθύγραμμο τμήμα προσδιορίζεται από τις θέσεις των άκρων του, ένας κύκλος από τη θέση του κέντρου και ενός σημείου της περιφέρειας, μια πολυγωνική γραμμή (ανοικτή ή κλειστή από τις θέσεις των κορυφών της κλπ. Συνήθως χρησιμοποιούνται συστήματα καρτεσιανών ή πολικών συντεταγμένων στο επίπεδο ή στο χώρο, ανάλογα με το αν πρόκειται για σχέδιο δύο ή τριών διαστάσεων. Σε κάθε σχέδιο ορίζεται κατ' αρχήν ένα γενικό σύστημα συντεταγμένων, με τη βοήθεια του οποίου μπορούμε να προσδιορίσουμε επακριβώς τη θέση και τον προσανατολισμό οποιουδήποτε σχήματος. Οι ιδιότητες των αξόνων του συστήματος αυτού (θέση, προσανατολισμός, κλίμακα είναι προκαθορισμένες για κάθε πρόγραμμα σχεδίασης ή ορίζονται από το χρήστη μια φορά για ολόκληρο το σχέδιο (συνήθως στην αρχή της εργασίας. Το γενικό αυτό σύστημα συντεταγμένων του κάθε σχεδίου αναφέρεται συχνά και ως παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων (World Coordte Sstem WCS. Πολλές φορές είναι βολικό, αντί για το παγκόσμιο σύστημα συντεταγμένων, να χρησιμοποιούμε προσωρινά κάποια άλλα συστήματα συντεταγμένων, που μας εξυπηρετούν καλύτερα για κάποια συγκεκριμένη εργασία. Τα συστήματα αυτά αναφέρονται συχνά με τη συντομογραφία UCS (User Coordte Sstem. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι σε ένα σχέδιο δύο διαστάσεων το WCS είναι το συνηθισμένο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, που η αρχή του βρίσκεται στην κάτω αριστερή γωνία, ο άξονας έχει θετική κατεύθυνση προς τα δεξιά και ο άξονας έχει θετική κατεύθυνση προς τα πάνω. Στo σχέδιο αυτό ας θεωρήσουμε ένα τετράγωνο με πλευρά μια μονάδα μήκους, που οι πλευρές του σχηματίζουν γωνία 45 με τους άξονες συντεταγμένων και η κάτω αριστερή κορυφή του βρίσκεται μια μονάδα πάνω και μια μονάδα δεξιά από την αρχή των αξόνων (βλ. σχήμα. Σχήμα (, Oι συντεταγμένες των κορυφών του τετραγώνου αυτού ως προς το WCS είναι (,, (,, (,, (,. Αντίθετα, ως προς ένα UCS, που προκύπτει αν μετατοπίσουμε τους άξονες του WCS στο σημείο (, και τους στρέψουμε κατά 45 προς τα αριστερά, οι συντεταγμένες των ίδιων κορυφών είναι (,, (,, (, και (,. Οι συντεταγμένες αυτές είναι σαφώς πιό βολικές για τις πράξεις ενώ κάνουν ευκολώτερη και την κατανόηση του σχήματος, αφού δείχνουν ξεκάθαρα ότι πρόκειται για τετράγωνο. Έτσι αυτό το UCS μας εξυπηρετεί καλύτερα από το Και γενικώτερα στις εφαρμογές των ηλεκτρονικών υπολογιστών, που περιλαμβάνουν γραφικά. -

WCS όταν εργαζόμαστε με το συγκεκριμένο τετράγωνο. Γενικά κάθε UCS μπορεί να προέλθει από το WCS με ένα κατάλληλο συνδυασμό των παρακάτω ενεργειών: Μεταφορά της αρχής των αξόνων σε ένα νέο σημείο του επιπέδου (περίπτωση D ή του χώρου (περίπτωση D. Περιστροφή των αξόνων κατά δεδομένη γωνία γύρω από την αρχή του συστήματος συντεταγμένων (περίπτωση D ή γύρω από μια συγκεκριμένη ευθεία, που περνάει από την αρχή του συστήματος συντεταγμένων (περίπτωση D. Στην πρώτη περίπτωση, το μέτρο και η φορά της γωνίας περιστροφής αρκούν για τον πλήρη προσδιορισμό της νέας θέσης του συστήματος συντεταγμένων. Στη δεύτερη περίπτωση χρειαζόμαστε επιπλέον και τη διεύθυνση στο χώρο του άξονα περιστροφής. Αλλαγή της κλίμακας σε έναν ή περισσότερους άξονες του συστήματος συντεταγμένων. Η δυνατότητα του χρήστη να εργάζεται με περισσότερα από ένα συστήματα συντεταγμένων στο ίδιο σχέδιο δημιουργεί συχνά την ανάγκη της μετατροπής των συντεταγμένων ενός σημείου από το ένα σύστημα στο άλλο. Τα προγράμματα CAD μπορούν να κάνουν τέτοιες μετατροπές αυτόματα, χρησιμοποιώντας τις τεχνικές, που θα παρουσιάσουμε στις επόμενες ενότητες. Το πρόβλημα της μετατροπής των συντεταγμένων ενός σημείου από ένα καρτεσιανό σύστημα σε ένα άλλο σχετίζεται άμεσα και με μια άλλη βασική λειτουργία των προγραμμάτων CAD. Η λειτουργία αυτή είναι η δυνατότητα εφαρμογής γεωμετρικών μετασχηματισμών στο σχέδιο ή σε επιλεγμένα κομμάτια του. Οι μετασχηματισμοί αυτοί μπορεί να περιλαμβάνουν: Παράλληλη μετατόπιση σχημάτων σε άλλη θέση. Περιστροφή γύρω από ένα σημείο (περίπτωση D ή γύρω από μια ευθεία (περίπτωση D. Μεγέθυνση ή σμίκρυνση κατά ένα ποσοστό, που μπορεί να διαφέρει από κατεύθυνση σε κατεύθυνση (π.χ. σμίκρυνση 5% κατά την οριζόντια διεύθυνση και 4% κατά την κατακόρυφη. Αν ένας μετασχηματισμός δεν περιλαμβάνει αλλαγή μεγέθους (μεγέθυνση ή σμίκρυνση τότε τα σχήματα, που παράγει, είναι όμοια με τα αρχικά αλλά βρίσκονται σε διαφορετικές θέσεις και έχουν διαφορετικό προσανατολισμό. Σε αντίθετη περίπτωση ο μετασχηματισμός προκαλεί και παραμόρφωση των αρχικών σχημάτων. Στην περίπτωση εφαρμογής ενός μετασχηματισμού το πρόβλημα, που καλείται να επιλύσει το πρόγραμμα CAD, είναι ο υπολογισμός των νέων θέσεων των χαρακτηριστικών σημείων των σχημάτων, στα οποία εφαρμόζεται ο μετασχηματισμός. Για παράδειγμα, αν ο μετασχηματισμός εφαρμόζεται σε ένα ευθύγραμμο τμήμα, τότε το πρόγραμμα θα πρέπει να υπολογίσει τις νέες θέσεις των άκρων του ευθύγραμμου τμήματος. Αν εφαρμόζεται σε ένα τρίγωνο, θα πρέπει να υπολογίσει τις νέες θέσεις των κορυφών του, κ.λ.π. Γενικά ισχύει η ακόλουθη ιδιότητα: -

Οι συντεταγμένες νέας θέσης του ενός σημείου σε ένα γεωμετρικό μετασχηματισμό είναι οι ίδιες με τις συντεταγμένες της παλιάς θέσης ως προς ένα UCS, που προκύπτει αν εφαρμόσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό στο σύστημα συντεταγμένων, που χρησιμοποιούμε. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι ο μετασχηματισμός είναι μετακίνηση του σχήματος κατά cm προς τα δεξιά. Οι συντεταγμένες των νέων θέσεων των σημείων είναι ίδιες με αυτές, που θα βρίσκαμε αν κρατάγαμε το σχήμα στη θέση του και μετακινούσαμε τους άξονες κατά cm προς τα αριστερά. Αν ο μετασχηματισμός είναι σμίκρυνση κατά 5% στην οριζόντια διεύθυνση τότε οι συντεταγμένες των νέων θέσεων είναι ίδιες με τις συντεταγμένες, που θα είχαν οι παλιές θέσεις, αν η μονάδα μέτρησης του οριζόντιου άξονα είχε διπλάσιο μήκος, κ.λ.π. Επομένως από μαθηματικής απόψεως το πρόβλημα του γεωμετρικού μετασχηματισμού ενός τμήματος του σχεδίου και το πρόβλημα της μετατροπής των συντεταγμένων από ένα σύστημα σε ένα άλλο είναι ισοδύναμα.. Απλοί μετασχηματισμοί καρτεσιανών συντεταγμένων Κάθε γεωμετρικός μετασχηματισμός μπορεί να θεωρηθεί ως σύνθεση παράλληλων μετατοπίσεων, περιστροφών και αλλαγών μεγέθους. Στην ενότητα αυτή θα δούμε τις εξισώσεις, που μας επιτρέπουν να υπολογίζουμε τις συντεταγμένες των νέων θέσεων των σημείων του σχεδίου όταν εφαρμόζεται κάποιος από τους στοιχειώδεις αυτούς μετασχηματισμούς. Οι αντίστοιχες εξισώσεις για πιο σύνθετους μετασχηματισμούς θα παρουσιαστούν στις επόμενες παραγράφους. Στις εξισώσεις, που ακολουθούν, τα σύμβολα, και z παριστάνουν την αρχική θέση ενός σημείου πριν την εφαρμογή κάποιου μετασχηματισμού ενώ τα σύμβολα ', ' και z ' παριστάνουν τη νέα θέση του ίδιου σημείου μετά την εφαρμογή του μετασχηματισμού. (α Παράλληλη μετατόπιση Μια παράλληλη μετατόπιση στο επίπεδο είναι πλήρως προσδιορισμένη όταν γνωρίζουμε τις συνιστώσες της t και t κατά την οριζόντια και κατά την κατακόρυφη διεύθυνση, αντίστοιχα. Με ανάλογο τρόπο, μια παράλληλη μετατόπιση στον τρισδιάστατο χώρο προσδιορίζεται πλήρως από τις συνιστώσες της t, t και t z κατά μήκος των τριών αξόνων του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων. Στη δισδιάστατη περίπτωση οι εξισώσεις μετασχηματισμού των συντεταγμένων των σημείων του σχεδίου σε μια παράλληλη μετατόπιση έχουν τη μορφή ' t ' t Στην τρισδιάστατη περίπτωση, οι αντίστοιχες εξισώσεις μετασχηματισμού είναι οι ' t z' z t ' t z Οι ίδιες εξισώσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για τη μετατροπή των συντεταγμένων ενός σημείου από το WCS σε ένα UCS, που προκύπτει αν -4

μετατοπίσουμε τους άξονες του WCS κατά t μονάδες στη διεύθυνση, κατά t μονάδες στη διεύθυνση και (στην τρισδιάστατη περίπτωση κατά t z μονάδες στη διεύθυνση z. (β Περιστροφή Στην περίπτωση των δύο διαστάσεων οι εξισώσεις μετασχηματισμού για περιστροφή κατά γωνία γύρω από την αρχή των αξόνων (με θετική φορά περιστροφής την προς τα αριστερά είναι οι εξής: ' cos s ' s cos (. Οι ίδιες εξισώσεις δίνουν και τη μετατροπή των συντεταγμένων από το WCS στο UCS, που προκύπτει αν περιστρέψουμε τους άξονες του WCS κατά γωνία προς τα δεξιά (ή προς τα αριστερά. Στην τρισδιάστατη περίπτωση θα δώσουμε μόνο τους τύπους μετασχηματισμού για περιστροφές γύρω από τους άξονες συντεταγμένων. Ο τύπος για γενική περιστροφή γύρω από μια τυχούσα ευθεία του χώρου θα παρουσιαστεί σε επόμενη παράγραφο. Στις παρακάτω εξισώσεις το παριστάνει τη γωνία περιστροφής. Ως θετική φορά περιστροφής θα θεωρούμε πάντα την προς τα αριστερά κοιτώντας προς την αρχή των αξόνων από ένα σημείο του θετικού ημιάξονα του άξονα περιστροφής (για παράδειγμα, όταν κάνουμε περιστροφή στο επίπεδο -, θεωρούμε ως θετική φορά περιστροφής την προς τα αριστερά, βλέποντας το επίπεδο - από πάνω. ( Περιστροφή γύρω από τον άξονα z ' cos s ' s cos z' z ( Περιστροφή γύρω από τον άξονα ' cos z s ' z' s z cos ( Περιστροφή γύρω από τον άξονα ' ' cos z s z' s z cos Όπως προηγουμένως, οι ίδιες εξισώσεις δίνουν και τη μετατροπή των συντεταγμένων από το WCS στο UCS, που προκύπτει αν εφαρμόσουμε την αντίθετη περιστροφή στους άξονες του WCS. (γ Αλλαγή μεγέθους -5

Ένας μετασχηματισμός αλλαγής μεγέθους χαρακτηρίζεται από τους συντελεστές s, s και (στην τρισδιάστατη περίπτωση s z, που εκφράζουν το ποσοστό μεγέθυνσης ή σμίκρυνσης των σχημάτων στις διευθύνσεις των αξόνων του συστήματος συντεταγμένων. Οι αντίστοιχες εξισώσεις μετασχηματισμού για το επίπεδο είναι ' s ' s Στην περίπτωση των τριών διαστάσεων έχουμε επιπλέον και την εξίσωση z' s z z Οι ίδιες εξισώσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν και για μετατροπή των συντεταγμένων από το WCS στο UCS, που προκύπτει από το WCS αν αλλάξουμε την κλίμακα του άξονα κατά / s, του άξονα κατά / s και του άξονα z κατά / s z.. Ομογενείς συντεταγμένες Όπως είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο, όλοι οι στοιχειώδεις γεωμετρικοί μετασχηματισμοί (μετατοπίσεις, περιστροφές, αλλαγές μεγέθους εκφράζονται με εξισώσεις της μορφής ' ' c c στη δισδιάστατη περίπτωση, ή της μορφής ' ' z' z c z c z c στην τρισδιάστατη περίπτωση. Οι σταθεροί όροι c αντιστοιχούν σε παράλληλη μετατόπιση ενώ οι συντελεστές j έχουν να κάνουν με την περιστροφή ή την αλλαγή μεγέθους. Οι παραπάνω εξισώσεις μετατροπής των συντεταγμένων μπορούν προφανώς να γραφούν και με τη μορφή πινάκων, ως εξής: ' ' c c (. για τη δισδιάστατη περίπτωση και ' ' z' c c z c (. -6

για την τρισδιάστατη περίπτωση. Αν παραστήσουμε τον πίνακα των συντελεστών j της κάθε περίπτωσης με το γράμμα A, το διάνυσμα των σταθερών όρων c j με το γράμμα c, το διάνυσμα των συντεταγμένων πρίν τη μετατροπή με το και το διάνυσμα των συντεταγμένων μετά τη μετατροπή με το ' τότε μπορούμε να γράψουμε τις εξισώσεις (. και (. στη συμπαγή μορφή ' A c (. Ας υποθέσουμε τώρα ότι εκτελούμε διαδοχικά δύο μετασχηματισμούς. Ο πρώτος περιγράφεται από την εξίσωση (. και ο δεύτερος από μια παρόμοια εξίσωση ' ' B' d (.4 για κάποιο πίνακα συντελεστών B και κάποιο διάνυσμα σταθερών όρων d. Αν αντικαταστήσουμε το ' από την εξίσωση (. στην (.4 βρίσκουμε ' ' BA Bc d (.5 Επομένως ο σύνθετος μετασχηματισμός, που αποτελείται από τη διαδοχική εφαρμογή των (. και (.4 περιγράφεται από μιά εξίσωση της ίδιας μορφής με πίνακα συντελεστών τον BA και διάνυσμα σταθερών όρων το Bc d. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να δούμε ότι οποιοσδήποτε σύνθετος μετασχηματισμός, που αποτελείται από συνδυασμό μετατοπίσεων, περιστροφών και αλλαγών μεγέθους, θα παριστάνεται από εξισώσεις της μορφής (.. Ας δούμε τώρα τις εξισώσεις του αντίστροφου μετασχηματισμού, δηλαδή του μετασχηματισμού, που μεταφέρει το σημείο ' στο σημείο. Λύνοντας την (. ως προς βρίσκουμε A A c (.6 ' Βλέπουμε δηλαδή ότι και ο αντίστροφος μετασχηματισμός περιγράφεται από εξίσωση της μορφής (. με πίνακα συντελεστών τον A και διάνυσμα σταθερών όρων το A c. Αν οι μετασχηματισμοί, που χρησιμοποιούμε, δεν περιλαμβάνουν μετατοπίσεις τότε οι εξίσωση (. του καθενός από αυτούς έχει μηδενικό διάνυσμα σταθερών όρων c και εκφράζει μια απλή γραμμική σχέση μεταξύ διανυσμάτων του επιπέδου ή του χώρου, αντίστοιχα. Στην περίπτωση αυτή, οι τύποι της σύνθεσης μετασχηματισμών και του αντίστροφου μετασχηματισμού είναι ιδιαίτερα απλοί. Σύμφωνα με την (.5, αν τα διανύσματα σταθερών όρων c και d είναι, τότε ο σύνθετος μετασχηματισμός παίρνει τη μορφή ' ' BA Με άλλα λόγια αποτελεί και αυτός μια απλή γραμμική σχέση χωρίς σταθερό όρο, της οποίας ο πίνακας συντελεστών είναι το γινόμενο των πινάκων συντελεστών των στοιχειωδών μετασχηματισμών. Γενικώτερα, αν έχουμε μια σειρά γραμμικών μετασχηματισμών (χωρίς σταθερούς όρους με πίνακες συντελεστών A, A,.., A και τους εφαρμόσουμε διαδοχικά τον ένα μετά τον άλλο τότε ο συνολικός μετασχηματισμός θα είναι και αυτός γραμμικός με πίνακα συντελεστών το γινόμενο A A A. Επίσης, σύμφωνα με την (.6, όταν το σταθερό διάνυσμα c είναι A -7

, τότε ο αντίστροφος μετασχηματισμός είναι γραμμικός (χωρίς σταθερό όρο και ο πίνακας συντελεστών του είναι ο A (δηλαδή ο αντίστροφος του πίνακα συντελεστών του αρχικού μετασχηματισμού. Η απλότητα των τύπων της σύνθεσης και της αντιστροφής μετασχηματισμών στη γραμμική περίπτωση κάνει τους γραμμικούς μετασχηματισμούς ιδιαίτερα ελκυστικούς για τις υπολογιστικές εφαρμογές. υστυχώς πολλοί από τους μετασχηματισμούς, που χρησιμοποιούμε στην πράξη, περιλαμβάνουν και μετατοπίσεις. Οι μετασχηματισμοί αυτοί δεν είναι γραμμικοί, καθώς περιγράφονται από εξισώσεις της μορφής (. με μη μηδενικό διάνυσμα σταθερών όρων c. Για να μπορέσουν να εφαρμόσουν και στη γενική περίπτωση τους απλούς τύπους των γραμμικών μετασχηματισμών, τα προγράμματα σχεδίασης χρησιμοποιούν συνήθως ένα απλό μαθηματικό τέχνασμα, το οποίο θα παρουσιάσουμε ευθύς αμέσως. Ξεκινώντας από τη δισδιάστατη περίπτωση, αν παραστήσουμε το σημείο (, του επιπέδου με το διάνυσμα αντί για το συνηθισμένο παίρνουν την απλή (γραμμική μορφή, τότε οι εξισώσεις (. ' ' c c (.7 Με όμοιο τρόπο, αν παραστήσουμε το σημείο (,, z του επιπέδου με το διάνυσμα, τότε οι εξισώσεις (. γίνονται z ' ' z' c c c z (.8 Η διατεταγμένη τριάδα αριθμών (,, ονομάζεται ομογενείς συντεταγμένες του σημείου (, του επιπέδου. Αντίστοιχα, η διατεταγμένη τετράδα (,, z, ονομάζεται ομογενείς συντεταγμένες του σημείου (,, z του χώρου. Όπως μας δείχνουν οι εξισώσεις (.7 και (.8, η χρήση των ομογενών συντεταγμένων μας επιτρέπει να εκφράζουμε τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς με ενιαίο τρόπο. Πιο συγκεκριμένα, όλοι οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί (συμπεριλαμβάνοντας και τις μετατοπίσεις εκφράζονται ως γραμμικές σχέσης της μορφής ' A (.9 Ο αριθμός των γραμμών της εξίσωσης (.9 ισούται με τον αριθμό των διαστάσεων του χώρου, στον οποίο εργαζόμαστε, συν ένα. Αν δηλαδή εργαζόμαστε στο επίπεδο -8

-9 η (.9 έχει τρείς γραμμές ενώ αν εργαζόμαστε στο χώρο έχει τέσσερεις. Η γραμμική μορφή των εξισώσεων (.9 μας επιτρέπει να εφαρμόσουμε τα όσα είπαμε προηγουμένως για την απλή μορφή, που έχουν οι εξισώσεις της σύνθεσης μετασχηματισμών και της αντιστροφής ενός μετασχηματισμού. Έτσι αν θεωρήσουμε μια σειρά διαδοχικών μετασχηματισμών, που σε ομογενείς συντεταγμένες έχουν τη μορφή A A A τότε ο συνολικός μετασχηματισμός θα είναι + - = A A A. Επίσης, ο αντίστροφος ενός μετασχηματισμού A σε ομογενείς συντεταγμένες είναι ο A. Θα πρέπει τέλος να σημειώσουμε ότι αντί για τους αριθμούς, και θα μπορούσαμε να είχαμε χρησιμοποιήσει ως ομογενείς συντεταγμένες του σημείου (, οποιαδήποτε διατεταγμένη τριάδα της μορφής ( w, w, w, όπου w είναι μια σταθερά (η ίδια για όλα τα σημεία του επιπεδου. Ανάλογη πρόταση ισχύει και για την τετράδα ομογενών συντεταγμένων ενός σημείου (,, z του χώρου. 4. Οι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί σε ομογενείς συντεταγμένες Στην παράγραφο αυτή θα δώσουμε τις εκφράσεις των στοιχειωδών μετασχηματισμών της ενότητας, στην περίπτωση, που χρησιμοποιούμε ομογενείς συντεταγμένες. Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε μια εφαρμογή, που δείχνει πώς μπορούμε να βρούμε τις εξισώσεις ενός σύνθετου μετασχηματισμού εφαρμόζοντας διαδοχικά μια σειρά από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς. (α Παράλληλη μετατόπιση Σε ομογενείς συντεταγμένες, οι εξισώσεις της παράλληλης μετατόπισης παίρνουν τη μορφή ' ' t t στην περίπτωση του επιπέδου και ' ' ' z t t t z z στην περίπτωση του χώρου.

- (β Περιστροφή Για περιστροφές στο επίπεδο, οι εξισώσεις μετασχηματισμού σε ομογενείς συντεταγμένες είναι cos s s cos ' ' Παρατηρούμε ότι ο πίνακας του μετασχηματισμού έχει τη μορφή A (4. όπου Ρ είναι ο πίνακας των συντελεστών του μετασχηματισμού στις καρτεσιανές συντεταγμένες (βλ. εξίσωση.. Η σχέση (4. ισχύει και για τρισδιάστατες περιστροφές γύρω από τους άξονες του συστήματος συντεταγμένων. Πιο συγκεκριμένα, οι εξισώσεις μετασχηματισμού στην περίπτωση αυτή παίρνουν τη μορφή ' ' ' z z A όπου ο πίνακας συντελεστών A έχει τη μορφή (4. με τον πίνακα να δίνεται από τις παρακάτω σχέσεις. Για περιστροφή γύρω από τον άξονα z έχουμε cos s s cos Για περιστροφή γύρω από τον άξονα έχουμε cos s s cos Τέλος για περιστροφή γύρω από τον άξονα έχουμε cos s s cos. (γ Αλλαγή μεγέθους Στην περίπτωση αλλαγής μεγέθους οι εξισώσεις μετασχηματισμού σε ομογενείς συντεταγμένες είναι

' s ' s στη δισδιάστατη περίπτωση και ' s ' z' s s z z στην τρισδιάστατη περίπτωση. Εφαρμογή: Περιστροφή γύρω από τυχούσα ευθεία του χώρου Ας θεωρήσουμε την ευθεία Ε, που περνάει από ένα δεδομένο σημείο του χώρου και είναι παράλληλη προς ένα διάνυσμα d. Θέλουμε να βρούμε τις εξισώσεις μετασχηματισμού για περιστροφή κατά γωνία ψ γύρω από την ευθεία αυτή. Ας θεωρήσουμε ένα σημείο Σ του σχήματός μας, που βρίσκεται στη θέση (,, z του χώρου. Για να βρούμε τις συντεταγμένες του σημείου Σ μετά την περιστροφή, θα εργαστούμε ως εξής: Βήμα : Θα βρούμε το μετασχηματισμό, που μας εκφράζει τη θέση του σημείου Σ ως προς ένα νέο σύστημα αξόνων που έχει αρχή το σημείο και άξονα z κατά την κατεύθυνση της ευθείας E (με θετικό ημιάξονα αυτόν, που αντιστοιχεί στη φορά του διανύσματος d. Βήμα : Θα εφαρμόσουμε τον τύπο περιστροφής κατά γωνία ψ γύρω από τον άξονα z για να βρούμε τη θέση του σημείου Σ μετά την περιστροφή ως προς το νέο σύστημα συντεταγμένων. Βήμα : Θα εφαρμόσουμε τον αντίστροφο του μετασχηματισμού, που βρήκαμε στο σχήμα, για να βρούμε τις συντεταγμένες της νέας θέσης του σημείου Σ ως προς το αρχικό σύστημα συντεταγμένων. Ας ξεκινήσουμε από το βήμα. Παρατηρούμε ότι το νέο σύστημα συντεταγμένων μπορεί να προκύψει από το αρχικό αν κάνουμε διαδοχικά τις εξής αλλαγές αξόνων. ( Μετατόπιση της αρχής των αξόνων στο σημείο. ( Στροφή του συστήματος αξόνων γύρω από τον άξονα z έως ότου επιτύχουμε το διάνυσμα d να ανήκει στο επίπεδο -z. ( Στροφή του συστήματος αξόνων στο επίπεδο -z έως ότου ο άξονας z φτάσει να ταυτιστεί με την κατεύθυνση του διανύσματος d. Όπως έχουμε ήδη πεί, σε καθεμιά από τις περιπτώσεις αυτές, οι συντεταγμένες της θέσης του σημείου Σ ως προς τους νέους άξονες είναι αυτές, που θα βρίσκαμε αν δεν κάναμε αλλαγή αξόνων αλλά εφαρμόζαμε στις συντεταγμένες του σημείου Σ τον αντίστροφο μετασχηματισμό. Αναλυτικώτερα: -

( Ας ονομάσουμε S το σύστημα αξόνων, που προκύπτει από τη μετατόπιση της αρχής των συντεταγμένων στο σημείο. Ως προς το σύστημα S το σημείο Σ έχει συντεταγμένες (,, z, που συνδέονται με τις (,, z με τη σχέση z z z (4. όπου (,, z είναι οι συντεταγμένες της θέσης του σημείου ως προς το αρχικό σύστημα. Η σχέση (4. ισοδυναμεί με μετακίνηση του σημείου Σ κατά (,, z στο αρχικό σύστημα συντεταγμένων και μπορεί να γραφτεί σε συμπαγή μορφή ως T (4. ( Έστω ότι η απαιτούμενη γωνία στροφής των αξόνων γύρω από τον άξονα z είναι. Εφαρμόζοντας στοιχειώδη τριγωνομετρία μπορούμε να βρούμε ότι αν οι συνιστώσες του διανύσματος d ως προς τους αρχικούς άξονες είναι ( d, d, d z τότε η γωνία προσδιορίζεται από τις σχέσεις d cos και d d d s. (4.4 d d Έστω ότι το σύστημα, που προκύπτει από την περιστροφή των αξόνων κατά τη γωνία είναι το S. Το διάνυσμα ομογενών συντεταγμένων του σημείου Σ ως προς το S δίνεται από τη σχέση R, z (4.5 όπου R z, είναι ο πίνακας μετασχηματισμού για στροφή του σχήματος γύρω από τον άξονα z κατά την αντίθετη γωνία : R z, cos s s cos ( Ας ονομάσουμε την απαιτούμενη γωνία περιστροφής στο επίπεδο -z. Η προσδιορίζεται από τις σχέσεις d z cos και d d d z d d s. d d d z -

Έστω ότι το σύστημα αξόνων, που προκύπτει από την περιστροφή κατά είναι το S. Οι ομογενείς συντεταγμένες του σημείου Σ ως προς το S είναι R, (4.6 όπου R, είναι ο πίνακας μετασχηματισμού για στροφή του σχήματος γύρω από τον άξονα κατά την αντίθετη γωνία : cos s R,. s cos To σύστημα S είναι το νέο σύστημα αξόνων του βήματος. Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (4., (4.5 και (4.6 βρίσκουμε οτι ο μετασχηματισμός, συντεταγμένων, που αναζητούσαμε, είναι ο A (4.7 όπου A, R, R z T. (4.8 To βήμα είναι πολύ πιο απλό. Oι συντεταγμένες του σημείου Σ μετά την περιστροφή δίνονται στο σύστημα S από την εξίσωση ' R (4.9 z, όπου R z, είναι ο πίνακας μετασχηματισμού για στροφή του σχήματος γύρω από τον άξονα z κατά γωνία : R z, cos s s cos Τέλος στο βήμα, για να επιστρέψουμε στο αρχικό σύστημα συντεταγμένων αρκεί να εφαρμόσουμε τον αντίστροφο του μετασχηματισμού (4.7. Έτσι οι συντεταγμένες του σημείου Σ μετά την περιστροφή, δίνονται στο αρχικό σύστημα συντεταγμένων από τη σχέση ' A (4. Συνδυάζοντας τις (4.7, (4.9 και (4. βρίσκουμε ότι ο συνολικός μετασχηματισμός δίνεται από τη σχέση ' A R z, A -

-4 ή ισοδύναμα, λαμβάνοντας υπόψιν και τη μορφή του πίνακα A από την (4.8, από τη σχέση T R R R R R T,,,,, ' z z z 5. Παραδείγματα Παράδειγμα : Να βρεθούν οι πίνακες, που αντιστοιχούν στους παρακάτω επίπεδους μετασχηματισμούς: (α Μετατόπιση δύο μονάδες μήκους προς τα δεξιά και τρεις μονάδες μήκους προς τα κάτω. (β Στροφή 9 γύρω από την αρχή των αξόνων κατά τη φορά των δεικτών του ρολογιού. (γ Στροφή προς τα αριστερά γύρω από την αρχή των αξόνων. (δ Σμίκρυνση 5% κατά την οριζόντια διεύθυνση. Λύση: (α Το διάνυσμα μετατόπισης είναι το (,- και ο αντίστοιχος πίνακας μετασχηματισμού έχει τη μορφή (, T (β Ο πίνακας στροφής για γωνία είναι ο cos( s( s( cos( R (γ Ο πίνακας στροφής για γωνία 6 είναι ο 6 cos( 6 s( 6 s( 6 cos( 6 R

-5 (δ Ο πίνακας μετασχηματισμού για οριζόντια σμίκρυνση κατά 5% (συντελεστής.5 s, συντελεστής s είναι ο.5.5, S Παράδειγμα : Στο τετράγωνο με κορυφές τα σημεία (,, (,, (, και (, του επιπεδου εκτελούμε διαδοχικά τους μετασχηματισμούς: (α Μεταφορά κατά τρείς μονάδες προς τα δεξιά. (β Στροφή 8 γύρω από την αρχή των αξόνων (γ Μεταφορά κατά δύο μονάδες προς τα αριστερά και κατά μια μονάδα προς τα πάνω. (δ Στροφή γύρω από την αρχή των αξόνων κατά 45 προς τα δεξιά. Να βρεθεί ο συνολικός πίνακας μετασχηματισμού και οι τελικές θέσεις των κορυφών του τετραγώνου. Λύση: Οι πίνακες των επιμέρους μετασχηματισμών είναι (α (, T (β cos( s( s( cos( R (γ, ( T (δ 4 cos( 4 s( 4 s( 4 cos( 4 R

-6 Ο συνολικός πίνακας μετασχηματισμού είναι ο (,, ( 4 T R T R M Για να βρούμε τις νέες θέσεις των κορυφών του τετραγώνου πρέπει να πολλαπλασιάσουμε καθένα από τα τέσσερα διανύσματα α, β, γ και δ, που περιέχουν τις ομογενείς συντεταγμένες των παλιών θέσεων, επί τον πίνακα μετασχηματισμού. Για να έχουμε μια πιο συμπαγή μορφή των εξισώσεων μπορούμε να συγκεντρώσουμε τα τέσσερα διανύσματα σε έναν πίνακα 44 ως εξής: δ γ β α Οι νέες θέσεις των κορυφών του τετραγώνου θα είναι τότε οι στήλες του πίνακα δ γ β α M M M M M. δηλαδή του πίνακα 7 5 5 5 Άρα οι νέες θέσεις των κορυφών είναι τα σημεία (,, ( 5, 5, (, και ( 5, 7. Παράδειγμα :

Θεωρούμε το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία A με συντεταγμένες (,, Β με συντεταγμένες (, και Γ με συντεταγμένες (,. Εκτελούμε διαδοχικά τους εξής επίπεδους μετασχηματισμούς: (α Περιστροφή γύρω από το σημείο A κατά γωνία προς τα αριστερά. (β Μετακίνηση κατά δύο μονάδες μήκους προς τα αριστερά και κατά μια μονάδα μήκους προς τα πάνω. Να βρεθεί ο συνολικός πίνακας μετασχηματισμού και οι νέες θέσεις των κορυφών του τριγώνου. Λύση: Όπως κάναμε και στο προηγούμενο παράδειγμα, ξεκινάμε υπολογίζοντας τους πίνακες των επιμέρους μετασχηματισμών. (α Για να βρούμε τον πίνακα περιστροφής γύρω από το σημείο A θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ένα σύστημα αξόνων με αρχή το A. Με άλλα λόγια, θα κάνουμε παράλληλη μεταφορά των αξόνων του συστήματος συντεταγμένων κατά το διάνυσμα (,. Σύμφωνα με τα όσα έχουμε αναφέρει παραπάνω, αυτό ισοδυναμεί με μεταφορά των σημείων του σχήματος κατά το διάνυσμα (-,-. Επομένως για να βρούμε τις συντεταγμένες ενός σημείου ως προς τους νέους άξονες θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα μετασχηματισμού T (,. Στη συνέχεια μπορούμε να εφαρμόσουμε τον πίνακα στροφής R 6 cos( 6 s( 6 s( 6 cos( 6 για να βρούμε τις συντεταγμένες των σημείων μετά τη στροφή, ως προς το νέο σύστημα αξόνων. Τέλος για να επιστρέψουμε στο αρχικό σύστημα αξόνων θα εφαρμόσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό T (, T (, Αρα συνολικά ο πίνακας μετασχηματισμού για περιστροφή γύρω από το σημείο A είναι ο -7

-8, ( 6, ( T R T Q (β Ο πίνακας για τη μετακίνηση είναι κατά τα γνωστά ο, ( T Αρα ο συνολικός πίνακας του μετασχηματισμού είναι ο, T ( Q M Για να βρούμε τις νέες συντεταγμένες των κορυφών θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τις αρχικές τους συντεταγμένες επί τον πίνακα M. Όπως κάναμε και στο παράδειγμα, σχηματίζουμε έναν πίνακα, του οποίου οι στήλες είναι τα διανύσματα ομογενών συντεταγμένων των τριών κορυφών. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τον πίνακα από αριστερά με τον πίνακα μετασχηματισμού M. 5 4 Ο τελικός πίνακας, που βρήκαμε, έχει για στήλες τις νέες ομογενείς συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου. Με άλλα λόγια, οι θέσεις των κορυφών μετά το μετασχηματισμό είναι τα σημεία (-,, ( 4, και ( 5,.

Παράσταση καμπυλών και επιφανειών στα προγράμματα CAD. Εισαγωγή Συχνά, όταν ακούμε για γραφικά με υπολογιστές, ο νους μας πηγαίνει στη δημιουργία ρεαλιστικών σκηνών και κινούμενων εικόνων. Τις τελευταίες όμως δεκαετίες, χάρη στην ανάπτυξη τόσο της τεχνολογίας των υπολογιστών όσο και των εφηρμοσμένων μαθηματικών, τα γραφικά με υπολογιστές βρήκαν εφαρμογή σε πάρα πολλούς τομείς της επιστήμης και της καθημερινής ζωής. Ειδικώτερα στο χώρο της βιομηχανίας η σχεδίαση και η παραγωγή με τη βοήθεια υπολογιστών (CAD/CAM βασίζονται σε μεγάλο βαθμό στην επιτυχημένη χρήση των γραφικών. Στην περίπτωση αυτή πολύ σημαντικό ρόλο παίζει η γεωμετρική σχεδίαση με τη βοήθεια υπολογιστών (compter-ded geometrc desg - CAGD, δηλαδή οι τεχνικές αναπαράστασης και επεξεργασίας των γεωμετρικών σχημάτων και των πληροφοριών, που σχετίζονται με αυτά. Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τις κυριώτερες μαθηματικές μεθόδους, που χρησιμοποιούνται από τα προγράμματα σχεδίασης για την παράσταση καμπυλών και επιφανειών. Η αποτύπωση καμπύλων σχημάτων με σκοπό τη χρησιμοποίησή τους σε κατασκευές είναι μια τεχνική γνωστή ήδη από τη ρωμαϊκή εποχή. Συγκεκριμένα αναφέρεται ότι στα πρώτα μεταχριστιανικά χρόνια οι τεχνίτες των ναυπηγείων κατασκεύαζαν ξύλινα πρότυπα, τα οποία στη συνέχεια χρησιμοποιούσαν ως οδηγούς για να δίνουν ομοιόμορφο σχήμα στα πλευρά των πλοίων. Οι τεχνικές αυτές τελειοποιήθηκαν από τους Ενετούς κατά τον ο -6 ο αιώνα. Το σχήμα των πλευρών των πλοίων οριζόταν ενώνοντας διαδοχικά έναν αριθμό από τόξα κύκλων έτσι ώστε η συνολική καμπύλη, που προέκυπτε να έχει συνεχή εφαπτομένη. Αξίζει να σημειωθεί ότι την εποχή εκείνη δεν χρησιμοποιούσαν ακόμη σχέδια. Τα σχέδια καθιερώθηκαν στην Αγγλία κατά το 7 ο αιώνα. Αργότερα, κατά το 8 ο αιώνα άρχισαν να χρησιμοποιούνται τεχνικές γεωμετρικών κατασκευών για την περιγραφή του σχήματος καμπυλών, που χαράζονταν ελεύθερα, με το χέρι και όχι με βάση κάποιο προκαθορισμένο γεωμετρικό σχήμα. Η χρήση της γεωμετρίας στη σχεδίαση καμπυλών και επιφανειών πήρε νέα ώθηση στον εικοστό αιώνα με την ανάπτυξη της αεροναυπηγικής, όπου για πρώτη φορά άρχισαν να χρησιμοποιούνται υπολογιστικές τεχνικές. Οι βασικές καμπύλες, από τις οποίες κατασκευάζονταν τα πιο πολύπλοκα σχήματα, καταχωρούνταν με τη μορφή πινάκων από αριθμούς και όχι ως γραμμές χαραγμένες με το χέρι σε κάποια σχεδιαστικά πρότυπα. Ένα άλλο σημαντικό βήμα στην ιστορία του CAGD πραγματοποιήθηκε με την εμφάνιση του αριθμητικού ελέγχου εργαλειομηχανών στη δεκαετία του '5. Οι υπολογιστές της εποχής εκείνης είχαν τη δυνατότητα να οδηγούν εργαλειομηχανές (φρέζες, οι οποίες κατασκεύαζαν τις μήτρες και τα καλούπια, που έδιναν το σχήμα στις μεταλλικές επιφάνειες των προιόντων της κάθε βιομηχανίας. Το πρόβλημα, που εμφανίστηκε επιτακτικό τότε, ήταν να βρεθεί ένας τρόπος για να εισάγονται με ακρίβεια στον υπολογιστή τα σχήματα, που εμφανίζονταν στα διάφορα σχέδια. Για τη λύση του προβλήματος αυτού αναπτύχθηκαν διάφορες μαθηματικές τεχνικές και αλγόριθμοι, τους κυριώτερους από τους οποίους θα παρουσιάσουμε συνοπτικά στις επόμενες ενότητες. Θα ολοκληρώσουμε την εισαγωγή αυτή με μια αναφορά στον τρόπο, με τον οποίο παριστάνονται οι καμπύλες και οι επιφάνειες στα προγράμματα σχεδίασης. Ο συνηθισμένος τρόπος των μαθηματικών, δηλαδή η χρήση εξισώσεων της μορφής f ( (. -9

για τις καμπύλες και z f (, για τις επιφάνειες δεν είναι κατάλληλος για σχέδια, για πολλούς λόγους. Για παράδειγμα, δεν μας επιτρέπει να παραστήσουμε σχήματα, που έχουν περισσότερα από ένα σημεία στην ίδια κατακόρυφο (π.χ. κύκλους ή ελλείψεις. Έτσι τα προγράμματα σχεδίασης χρησιμοποιούν άλλους τρόπους παράστασης. Έχει βρεθεί ότι ο τρόπος, που έχει τα περισσότερα πλεονεκτήματα και γι αυτό χρησιμοποιείται σχεδόν αποκλειστικά, είναι αυτός, που βασίζεται σε παραμετρικές εξισώσεις. Έτσι, μια καμπύλη του επιπέδου παριστάνεται με δύο εξισώσεις της μορφής ( ( (. όπου (, ( είναι συναρτήσεις, που εξαρτώνται από μιά παράμετρο, που παίρνει τιμές σε ένα συγκεκριμένο διάστημα I. Αντίστοιχα, μια καμπύλη του χώρου παριστάνεται με τρείς εξισώσεις ( ( z z( (. ενώ μια επιφάνεια με τρείς εξισώσεις της μορφής (, v (, v z z(, v (.4 που εξαρτώνται από δύο παραμέτρους και v. Πολλές φορές, και ιδίως στην περίπτωση των ελεύθερα οριζόμενων καμπυλών και επιφανειών (δηλαδή αυτών, που η μορφή τους δεν αντιστοιχεί σε κάποιο από τα γνωστά γεωμετρικά σχήματα, χρησιμοποιούμε τμηματική παραμετρική περιγραφή. Αυτό σημαίνει ότι οι εξισώσεις (., (. ή (.4 παίρνουν διαφορετική μορφή σε διαφορετικά τμήματα της καμπύλης ή της επιφάνειας, που περιγράφουν. Η παραμετρική περιγραφή με τη βοήθεια πολυωνυμικών συναρτήσεων είναι ο καθιερωμένος τρόπος για την παράσταση καμπυλών και επιφανειών, που χρησιμοποιούν τα συστήματα CAD. Αυτό οφείλεται στην ευκολία, με την οποία ο υπολογιστής μπορεί να χειριστεί τα πολυώνυμα. Πράγματι, το πολυώνυμο βαθμού p ( μπορεί να παρασταθεί πολύ εύκολα με ένα διάνυσμα p -

Αυτός ο τρόπος παράστασης μας επιτρέπει να κάνουμε πολύ εύκολα πράξεις με πολυώνυμα. Έτσι, αν τα διανύσματα p και q αντιστοιχούν στα πολυώνυμα p ( και q (, αντίστοιχα, τότε το διάνυσμα, που αντιστοιχεί στο άθροισμα των δύο πολυωνύμων είναι το p q. Το πολυώνυμο p(, όπου είναι ένας αριθμός, παριστάνεται με το διάνυσμα p. Η παράγωγος του p ( είναι το πολυώνυμο, που παριστάνεται από το διάνυσμα ( p ' ενώ ανάλογος τύπος ισχύει και για το αόριστο ολοκλήρωμα p ( d. Τέλος ο υπολογισμός της τιμής του πολυωνύμου μπορεί να γίνει πολύ οικονομικά με τη βοήθεια του κανόνα του Horer p( ( (( (. Για παράδειγμα, αν (πολυώνυμο τρίτου βαθμού ο κανόνας του Horer μας δίνει p( (( Η μεθοδος αυτή μας επιτρέπει να υπολογίζουμε την τιμή ενός πολυωνύμου κάνοντας μόνο πολλαπλασιασμούς και προσθέσεις. Ένα πρόβλημα, που καλούνται συχνά να λύσουν τα προγράμματα γραφικών είναι η εύρεση μιας καμπύλης (δηλαδή των παραμετρικών της εξισώσεων όταν γνωρίζουμε σημεία, που περιγράφουν με κάποιο τρόπο το σχήμα της. Τα σημεία αυτά ονομάζονται σημεία ελέγχου της καμπύλης και μπορεί να προσδιορίζουν διάφορα χαρακτηριστικά τις καμπύλης. Για παράδειγμα, μπορεί να ζητάμε μια καμπύλη, που να περνάει από ορισμένα σημεία και/ή να κατευθύνεται προς ορισμένα άλλα σημεία. Άλλες φορές μπορεί να θέλουμε να βρούμε μια λεία καμπύλη, που να προσεγγίζει μια δεδομένη πολυγωνική γραμμή με γνωστές κορυφές. Σε κάθε περίπτωση τα σημεία ορίζουν έναν αριθμό από συνθήκες (συνήθως, τις οποίες πρέπει να ικανοποιούν οι εξισώσεις της καμπύλης, που ζητάμε να βρούμε. Για τους λόγους, που αναφέραμε παραπάνω, σχεδόν πάντα υποθέτουμε ότι οι εξισώσεις αυτές έχουν πολυωνυμική μορφή. Έτσι το πρόβλημα της εύρεσης της καμπύλης ανάγεται στο πρόβλημα του υπολογισμού των συντελεστών κάποιων πολυωνύμων χρησιμοποιώντας τις συνθήκες, που ορίζουν τα σημεία. Γενικά υπάρχουν δύο εναλλακτικοί τρόποι προσέγγισης. Ο ένας είναι να αναζητήσουμε ένα πολυώνυμο, που να περιγράφει ολόκληρη την καμπύλη. Ο άλλος είναι να χωρίσουμε την καμπύλη σε τμήματα και να υπολογίσουμε ένα ξεχωριστό πολυώνυμο για το κάθε τμήμα (τμηματικός τρόπος παράστασης. Στην πρώτη περίπτωση ο βαθμός του άγνωστου πολυωνύμου πρέπει να είναι τέτοιος ώστε το πλήθος των συντελεστών του να ισούται με το πλήθος των συνθηκών, που έχουμε στη διάθεσή μας. Έτσι, αν τα σημεία ορίζουν συνθήκες, (όπως συνήθως συμβαίνει, τότε θα πρέπει να θεωρήσουμε ότι το ζητούμενο πολυώνυμο είναι βαθμού (έχει δηλαδή άγνωστους συντελεστές. Επομένως όσο περισσότερα σημεία έχουμε τόσο μεγαλύτερος είναι και ο βαθμός του πολυωνύμου, που θα βρούμε. Το γεγονός αυτό -

ενδέχεται να μας δημιουργήσει προβλήματα. Πρώτα πρώτα, όταν αυξάνει ο βαθμός του πολυωνύμου αυξάνει και ο αριθμός των πράξεων, που απαιτούνται για τον υπολογισμό των τιμών του. Έπειτα, ένα πολυώνυμο μεγάλου βαθμού έχει έναν αντίστοιχα μεγάλο αριθμό από ακρότατα και η τιμή του παρουσιάζει έντονες διακυμάνσεις, που μπορεί να επηρεάσουν με ανεπιθύμητο τρόπο τη μορφή της καμπύλης. Τέλος, όταν προσπαθούμε να περιγράψουμε ολόκληρη την καμπύλη με ένα μόνο πολυώνυμο δεν έχουμε τη δυνατότητα να κάνουμε τοπική διαμόρφωση (δεν μπορούμε δηλαδή να καθορίσουμε τις λεπτομέρειες της μορφής της καμπύλης στην περιοχή ενός συγκεκριμένου σημείου. Στον τμηματικό τρόπο παράστασης, από την άλλη μεριά, χωρίζουμε τα σημεία σε ομάδες, καθεμιά από τις οποίες περιλαμβάνει ένα μικρό αριθμό γειτονικών σημείων. Στη συνέχεια βρίσκουμε ένα πολυώνυμο για κάθε ομάδα σημείων. Τα πολυώνυμα αυτά είναι μικρού βαθμού και επομένως είναι πολύ εύκολο να υπολογιστούν. Η μορφή τους είναι απλή και κατανοητή, χωρίς πολλές διακυμάνσεις. Το πρόβλημα της τμηματικής παράστασης είναι ότι απαιτεί έναν επιπλέον αριθμό από συνθήκες, οι οποίες πρέπει να ισχύουν στα σημεία σύνδεσης των τμημάτων για να μας εξασφαλίσουν ότι η συνολική καμπύλη ικανοποιεί κάποια κριτήρια ομαλότητας (π.χ. είναι συνεχής, έχει συνεχή παράγωγο, κ.λ.π. Ο αριθμός των συνθηκών αυτών αυξάνει όσο αυξάνουν τα τμήματα, που χρησιμοποιούμε. Έτσι, αν χρησιμοποιήσουμε λίγα τμήματα θα έχουμε περισσότερα σημεία σε κάθε τμήμα, άρα πολυώνυμα μεγαλύτερου βαθμού, αλλά λιγώτερα σημεία σύνδεσης, άρα λιγώτερες επιπλέον συνθήκες. Αντίθετα, αν χρησιμοποιήσουμε πολλά τμήματα θα έχουμε πολυώνυμα μικρότερου βαθμού αλλά περισσότερες επιπλέον συνθήκες. Έχει βρεθεί ότι μια επιλογή, που αποτελεί έναν καλό συμβιβασμό στις περισσότερες περιπτώσεις, είναι η τμηματική παράσταση της καμπύλης με πολυώνυμα ου βαθμού. Στις επόμενες ενότητες θα εξετάσουμε αναλυτικά συγκεκριμένες μεθόδους τμηματικής παράστασης καμπυλών με πολυώνυμα. Επίσης θα δούμε πώς μπορούμε να γενικεύσουμε τις μεθόδους αυτές για να παραστήσουμε επιφάνειες του τρισδιάστατου χώρου.. Καμπύλες Fergso Οι καμπύλες Fergso είναι πολυωνυμικές καμπύλες ου βαθμού, που περνούν από συγκεκριμένα σημεία του επιπέδου (ή του χώρου έχοντας συγκεκριμένη κατεύθυνση. Για να γίνουμε σαφέστεροι, ας υποθέσουμε ότι μας έχουν δοθεί δύο σημεία r και r και δύο διανύσματα r' και r '. Η καμπύλη Fergso, που ορίζουν, είναι μια καμπύλη, η οποία ξεκινάει από το σημείο r έχοντας την κατεύθυνση του διανύσματος r', καταλήγει στο σημείο r έχοντας την κατεύθυνση του διανύσματος r ' και περιγράφεται παραμετρικά από μια πολυωνυμική εξίσωση ου βαθμού (βλ. σχ.. Ονομάζονται έτσι από τον Αμερικανό Jmes Fergso, ο οποίος τις χρησιμοποίησε γύρω στο 96 στη Boeg, όπου εργαζόταν, για το σχεδιασμό των φτερών των αεροπλάνων. -

Σχήμα : Ορισμός μιας καμπύλης Fergso Για να βρούμε την εξίσωση της καμπύλης Fergso ξεκινάμε υποθέτοντας ότι το τυχόν σημείο r ( ( (, ( της καμπύλης ικανοποιεί μια παραμετρική εξίσωση ου βαθμού r για [,] (. ( όπου τα σταθερά διανύσματα,.. είναι συντελεστές, που πρέπει να προσδιορίσουμε. Για να έχει η καμπύλη τις ιδιότητες, που θέλουμε, πρέπει να ισχύουν οι συνθήκες r( r r( r r'( r' r'( r' (. Εισάγοντας τις συνθήκες (. στην εξίσωση (. βρίσκουμε ότι τα διανύσματα συντελεστών,, και θα πρέπει να είναι = r = r = ( r -r - r' -r' = ( r - r + r' + r' (. Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις (. μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση της καμπύλης στη μορφή r ( r ( r ( r' ( r' ( (.4 Εδώ θα πρέπει να σημειώσουμε ότι τα πολυώνυμα Θα περιοριστούμε στη δισδιάστατη περίπτωση. 'Οσα θα αναφέρουμε στην παράγραφο αυτή ισχύουν κια για καμπύλες του χώρου, αν απλά προσθέσουμε στα διανύσματα και μια τρίτη συντεταγμένη z. -

F ( G ( F ( G ( (.5 που εμφανίζονται στη σχέση (.4 ονομάζονται πολυώνυμα Hermte, από το όνομα του Γάλλου μαθηματικού του 9 ου αιώνα Chrles Hermte, ο οποίος ασχολήθηκε μεταξύ άλλων και με προβλήματα παρεμβολής συναρτήσεων με πολυώνυμα. Πιο σύνθετα σχήματα μπορούν να δημιουργηθούν με τη συνένωση ενός αριθμού από καμπύλες Fergso. Στην περίπτωση αυτή εντοπίζουμε έναν αριθμό από χαρακτηριστικά σημεία του σχήματος, από τα οποία θέλουμε να περνάει η καμπύλη μας. Στη συνέχεια υπολογίζουμε τα εφαπτόμενα διανύσματα στα σημεία αυτά και τέλος βρίσκουμε την καμπύλη Fergso, που αντιστοιχεί σε κάθε ζεύγος διαδοχικών σημείων. Ένα παράδειγμα σύνθετου σχήματος, που σχηματίζεται από τη συνένωση δύο καμπυλών Fergso, φαίνεται στο σχ.. Τα εφαπτόμενα διανύσματα επιλέγονται συνήθως με τρόπο ώστε το κάθε τμήμα να αρχίζει με την κατεύθυνση, που τελειώνει το προηγούμενο. Με άλλα λόγια επιδιώκουμε η συνολική καμπύλη να έχει συνεχή εφαπτομένη. Σχήμα : Τμηματική παράσταση σύνθετου σχήματος με δύο καμπύλες Fergso Όπως ίσως θα παρατήρησε ο προσεκτικός αναγνώστης, υπάρχει ένα κενό στα όσα έχουμε αναφέρει ως τώρα. Συγκεκριμένα δεν έχουμε εξηγήσει πουθενά πώς υπολογίζονται τα εφαπτόμενα διανύσματα. Η μορφή του σχήματος, που θέλουμε να παραστήσουμε, μας δείχνει τη διεύθυνση του εφαπτομένου διανύσματος σε κάθε σημείο της καμπύλης όχι όμως και το μέτρο του. Από την άλλη μεριά, οι εξισώσεις (. (. μας δείχνουν ότι αν αντικαταστήσουμε τα διανύσματα r' και r ' με άλλα, παράλληλα προς αυτά, θα πάρουμε διαφορετική καμπύλη. Για παράδειγμα, το σχήμα δείχνει τρείς καμπύλες Fergso, που ξεκινούν από το σημείο (.5,.5 με κατεύθυνση -45 και καταλήγουν στο σημείο (,.7 με κατεύθυνση 45. Βλέπουμε ότι οι καμπύλες έχουν πολύ διαφορετική μορφή αν και τα διανύσματα r' και r ' έχουν την ίδια διεύθυνση και στις τρείς. Εκείνο, που κάνει τις καμπύλες να διαφέρουν είναι το μέτρο των διανυσμάτων. Έτσι, η πρώτη καμπύλη (συνεχής γραμμή αντιστοιχεί στα διανύσματα r' =(.5, -.5 και r ' =(.5,.5, η δεύτερη καμπύλη (διακεκομμένη γραμμή με μεγάλες παύλες στα διανύσματα r' =(, - και r ' =(.75, -4

.75 και η τρίτη καμπύλη (διακεκομμένη γραμμή με μικρές παύλες στα διανύσματα r' =(, - και r ' =(,..8.7.6.5.4....4.5.6.7.8.9.. Σχήμα 4: Επίδραση του μήκους του εφαπτόμενου διανύσματος στη μορφή της καμπύλης Fergso Στην πράξη ο υπολογισμός των εφαπτομενικών διανυσμάτων γίνεται με απλούς εμπειρικούς κανόνες, για τους οποίους έχει βρεθεί ότι δίνουν ικανοποιητικά αποτελέσματα στις περισσότερες περιπτώσεις. Ένας τέτοιος κανόνας είναι να χρησιμοποιούνται εφαπτομενικά διανύσματα ίσου μήκους με τη χορδή, που συνδέει τα ακραία σημεία r και r. Επιπλέον οι ειδικοί έχουν βρεί πρακτικούς τρόπους για να προσθέτουν ειδικά εφέ στην καμπύλη παίζοντας με το μήκος των εφαπτομενικών διανυσμάτων. Πολλά εξελιγμένα συστήματα CAD παρέχουν τη δυνατότητα του αυτόματου υπολογισμού των εφαπτομενικών διανυσμάτων από τη μορφή του σχήματος, που θέλουμε να παραστήσουμε, δηλαδή τις θέσεις των γνωστών σημείων της καμπύλης. Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούνται κατάλληλοι αλγόριθμοι, που εξασφαλίζουν ότι το αποτέλεσμα θα είναι μια καμπύλη, η οποία θα ακολουθεί ομαλά το βασικό σχήμα της πολυγωνικής γραμμής, που ορίζουν τα γνωστά σημεία. Στη συνέχεια θα δούμε δυο τέτοιους αλγορίθμους: την παρεμβολή Akm (Akm terpolto και την παρεμβολή D (D-terpolto. Και στις δύο περιπτώσεις θα υποθέσουμε ότι μας έχουν δοθεί κάποια σημεία,,..., και ότι θέλουμε να τα συνδέσουμε ανά δύο με καμπύλες Fergso έτσι ώστε η συνολική καμπύλη, που θα δημιουργηθεί, να προσεγγίζει το σχήμα της πολυγωνικής γραμμής, που ορίζουν τα σημεία. Στην παρεμβολή Akm υπολογίζουμε το εφαπτομενικό διάνυσμα στο σημείο χρησιμοποιώντας τις θέσεις των δύο προηγούμενων και των δύο επόμενων σημείων. Η διαδικασία, που ακολουθούμε, φαίνεται στο σχήμα 4. -5

Σχήμα 5: Υπολογισμός του εφαπτομενικού διανύσματος με παρεμβολή Akm Αναλυτικώτερα, ο αλγόριθμος της παρεμβολής Akm περιλαμβάνει τα εξής βήματα:. Βρίσκουμε το σημείο τομής των ευθειών και (σημείο A.. Βρίσκουμε το σημείο τομής των ευθειών και (σημείο B.. Βρίσκουμε το σημείο τομής των ευθειών A B και (σημείο C. Επιλέγουμε το διάνυσμα C ως εφαπτομενικό διάνυσμα της καμπύλης στο σημείο. Αν οι ευθείες A B και είναι παράλληλες (οπότε το C δεν ορίζεται τότε λαμβάνουμε ως εφαπτομενικό διάνυσμα το. Προφανώς η μέθοδος αυτή δεν μπορεί να εφαρμοστεί στα δύο πρώτα και στα δύο τελευταία σημεία της καμπύλης. Στα σημεία αυτά το εφαπτομενικό διάνυσμα θα πρέπει να υπολογιστεί με άλλο τρόπο. Μια τεχνική, που χρησιμοποιείται συχνά, είναι να βρίσκεται πρώτα η εξίσωση της παραβολής, που περνάει από τα τρία πρώτα (αντ. τα τρία τελευταία σημεία και να χρησιμοποιείται στη συνέχεια ως εφαπτομενικό διάνυσμα της καμπύλης το εφαπτομενικό διάνυσμα της παραβολής, όπως αυτό υπολογίζεται από την εξίσωση. Στην παρεμβολή D (σχ. 5 το εφαπτομενικό διάνυσμα συνδυασμό των διανυσμάτων και. υπολογίζεται με γραμμικό Σχήμα 6: Υπολογισμός του εφαπτομενικού διανύσματος με παρεμβολή D Πιο συγκεκριμένα, α αλγόριθμος της παρεμβολής D έχει ως εξής:. Ορίζουμε τα διανύσματα b, c και d b c. -6

b. Ορίζουμε την ποσότητα k cos όπου είναι η γωνία των διανυσμάτων d b και cos d. (Όπως είναι γνωστό, το b d b ( b c. b d b b c cos μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση. Λαμβάνουμε ως εφαπτομενικό διάνυσμα της καμπύλης το διάνυσμα kd. Μια πολύ σημαντική ιδιότητα των καμπυλών Fergso είναι ότι η εξίσωσή τους δεν επηρεάζεται από μετασχηματισμούς συντεταγμένων. Πράγματι, ας υποθέσουμε ότι εφαρμόζουμε στο σχέδιό μας κάποιο γεωμετρικό μετασχηματισμό, που περιγράφεται σε ομογενείς συντεταγμένες από ένα πίνακα T (βλ. σχετικό φυλλάδιο. Για να δούμε πως μετασχηματίζεται το γενικό σημείο r ( της καμπύλης θα πρέπει πρώτα να το εκφράσουμε σε ομογενείς συντεταγμένες. Από τις σχέσεις (.5 βλέπουμε ότι F ( F (. Η ταυτότητα αυτή, σε συνδυασμό με τις (.4 και (.5 μας επιτρέπει να γράψουμε τη σχέση r( r r F ( F ( G r ' ' ( G ( r (.6 Η (.6 είναι η εξίσωση της καμπύλης Fergso σε ομογενείς συντεταγμένες. Αν την πολλαπλασιάσουμε από αριστερά με τον πίνακα T βρίσκουμε r( r r T F ( T F ( T G r ' ' ( T G ( T r (.7 Η (.7 μας λέει ότι η μετασχηματισμένη καμπύλη είναι απλά η καμπύλη Fergso, r r που ορίζουν να μετασχηματισμένα σημεία T, T και τα μετασχηματισμένα r ' r διανύσματα T ' και T. Με άλλα λόγια η εξίσωση της καμπύλης Fergso είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του συστήματος συντεταγμένων. Η τεχνική των καμπυλών Fergso μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για την προσεγγιστική αναπαράσταση επιφανειών του τρισδιάστατου χώρου. Στην περίπτωση αυτή μιλάμε για τμήματα επιφανειών Fergso (Fergso ptches. Η παραμετρική εξίσωση ενός τμήματος επιφανείας Fergso βρίσκεται από τη (. αν θεωρήσουμε ότι τα διανύσματα συντελεστών,, και δεν είναι σταθερά αλλά εξαρτώνται από μια δεύτερη παράμετρο v σύμφωνα με τη σχέση v v v, για =,,,. (.8 Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα όταν η παράμετρος v μεταβάλλεται από έως, η καμπύλη r r( να κινείται στο χώρο μεταβάλλοντας ταυτόχρονα το σχήμα της και να διαγράφει την επιφάνεια -7

r (, v v j (.9 j j Το σχήμα 6 μας δείχνει πώς δημιουργείται μια επιφάνεια Fergso από τις καμπύλες Fergso, που αντιστοιχούν στις διαφορετικές τιμές της παραμέτρου v. Σχήμα 7: Δημιουργία μιας επιφάνειας Fergso από καμπύλες Fergso Η εξίσωση (.9 μπορεί να γραφτεί σε μορφή πινάκων ως εξής: (, v r v (. v v Όπως βλέπουμε, η εξίσωση της επιφάνειας Fergso περιλαμβάνει 6 διανύσματα συντελεστών, τα οποία χρειάζεται να προσδιορίσουμε. Ένας τρόπος για να το κάνουμε αυτό είναι να χρησιμοποιήσουμε τις τιμές της συνάρτησης r (, v και των μερικών παραγώγων της r r, v r r r και rv στα τέσσερα γωνιακά v v σημεία (, v (,, (, v (,, (, v (, και (, v (,. Οι τιμές της r (, v είναι απλά οι συντεταγμένες τεσσάρων σημείων, από τα οποία θέλουμε να περνάει η επιφάνεια και είναι συνήθως γνωστές. Τα r και r v είναι παράλληλα προς τα εφαπτομενικά διανύσματα t και t v των παραμετρικών καμπυλών =σταθ. και v =σταθ. αντίστοιχα. Ο υπολογισμός τους μπορεί να γίνει με εμπειρικές μεθόδους, όπως και στην περίπτωση των καμπυλών, που είδαμε προηγουμένως. Τέλος το διάνυσμα r v, που ονομάζεται διάνυσμα συστροφής (twst vector ορίζει την ταχύτητα μεταβολής του t ως προς την παράμετρο v ή του t v ως προς την παράμετρο. Αντίθετα με τα εφαπτομενικά διανύσματα, το διάνυσμα συστροφής δεν παριστάνει κάποια άμεσα αντιληπτή ιδιότητα της καμπύλης. Για το λόγο αυτό δεν είναι εύκολο να προσδιορίσει κανείς τι τιμή πρέπει να έχει. Έτσι καταφεύγει σε διάφορους εμπειρικούς κανόνες ή σε δοκιμές. Μια συνηθισμένη και ιδιαίτερα απλή επιλογή είναι να θεωρήσουμε ότι στις τέσσερεις γωνίες της επιφάνειας έχουμε r v =. Μερικές φορές μάλιστα ο όρος τμήμα επιφάνειας Fergso (Fergso ptch χρησιμοποιείται αποκλειστικά για την ειδική αυτή περίπτωση ενώ για τις υπόλοιπες επιφάνειες της μορφής (. χρησιμοποιείται ο γενικώτερος όρος τμήμα δικυβικής επιφάνειας (bcbc ptch. -8

Έχοντας τις τιμές των r, r, r v και r v στις τέσσερεις γωνίες μπορούμε να γράψουμε 6 συνθήκες ανάλογες των (., που είχαμε στην περίπτωση των καμπυλών. Αν λύσουμε τις συνθήκες αυτές ως προς τους συντελεστές και εισάγουμε το αποτέλεσμα στη (. θα καταλήξουμε στην παρακάτω εξίσωση, που περιγράφει τις επιφάνειες Fergso T T r(, v U CQC V (. όπου U, v V, v v C, r(, r(, Q r (, r (, r(, r(, r r (, (, r (, v r (, r r v v v (, (, rv (, r v (, r (, v rv (, και ο εκθέτης Τ δηλώνει τον ανάστροφο ενός πίνακα. Χρησιμοποιώντας τα πολυώνυμα Hermte (.5 μπορούμε να γράψουμε τη (. στην ισοδύναμη μορφή F ( v F ( v r (, v F ( ( ( ( F G G Q (. G ( v G ( v. Καμπύλες Bézer. Ορισμός Πολυώνυμα Berste Οι καμπύλες Bézer χρησιμοποιούνται ευρύτατα στα συστήματα CAD και στις εφαρμογές γραφικών γενικώτερα. Είναι τόσο διαδεδομένες, που μπορούμε να πούμε ότι αποτελούν ένα καθιερωμένο βιομηχανικό πρότυπο 4. Οι καμπύλες Bézer έχουν πάρει το όνομά τους από το Γάλλο erre Bézer, ο οποίος τις εισήγαγε στην αυτοκινητοβιομηχανία Relt για την αυτόματη οδήγηση εργαλειομηχανών. Ο Bézer συνέχισε την εργασία του Fergso και προσπάθησε να δημιουργήσει ένα τρόπο παράστασης καμπυλών, ο οποίος να μπορεί να χρησιμοποιηθεί από ανθρώπους, που δεν γνωρίζουν μαθηματικά. Ένα βασικό χαρακτηριστικό των 4 Αξίζει να σημειωθεί ότι πολλές γραμματοσειρές των Wdows χρησιμοποιούν καμπύλες Bezer για την παραγωγή των γραμμάτων. -9

καμπυλών Bézer είναι ότι για τον ορισμό τους χρησιμοποιούνται κάποια "σημεία ελέγχου" (cotrol pots, τα οποία δεν ανήκουν σ' αυτές, αλλά προσδιορίζουν σε γενικές γραμμές το σχήμα τους (σχ. 7. Σχήμα 8: Μια καμπύλη Bézer και τα σημεία ελέγχου της Όπως θα δούμε και παρακάτω, το σχήμα μιας καμπύλης Bézer ακολουθεί χονδρικά την πολυγωνική γραμμή, που έχει ως κορυφές τα σημεία ελέγχου 5. Με άλλα λόγια τα σημεία ελέγχου λειτουργούν κατά κάποιο τρόπο ως πόλοι έλξεως, που "τραβούν" την καμπύλη προς το μέρος τους. Η ύπαρξη των σημείων ελέγχου αποτελεί μια βασική διαφορά των καμπυλών Βézer από τις καμπύλες Fergso, οι οποίες περνούν από τα σημεία, που χρησιμοποιούνται για τον ορισμό τους. Για να κάνουμε τα πράγματα σαφέστερα, ας υποθέσουμε ότι μας έχουν δοθεί + σημεία,,..., του επιπέδου ή του χώρου. Η καμπύλη Bézer, που ορίζουν τα σημεία αυτά, είναι μια πολυωνυμική καμπύλη με παραμετρική εξίσωση (, r B ( για [,] (. Οι ποσότητες B, (, που εμφανίζονται στην (., ονομάζονται πολυώνυμα Berste 6 βαθμού και δίνονται από τις σχέσεις B, ( ( (. Όπως είναι γνωστό, το σύμβολο ανά και έχει την τιμή!!(! παριστάνει τους συνδυασμούς πραγμάτων (. όπου το! λαμβάνεται κατά σύμβαση ίσο με. 5 Η πολυγωνική αυτή γραμμή, που γενικά μπορεί να είναι είτε κλειστή είτε ανοιχτή, αναφέρεται μερικές φορές ως πολυγωνική γραμμή ελέγχου ή πολύγωνο ελέγχου της καμπύλης Bézer (cotrol polgo. 6 Από το όνομα του Ρώσου μαθηματικού Serge Ntovch Berste, που τα εισήγαγε στα 9 για να μελετήσει προβλήματα προσέγγισης πραγματικών συναρτήσεων με πολυώνυμα. -

Λόγω της παρουσίας των παραγοντικών στους συντελεστές (. ο υπολογισμός των πολυωνύμων Berste για μεγάλα παρουσιάζει δυσχέρειες. Στην πράξη, όταν έχουμε πολλά σημεία ελέγχου, προτιμούμε να χρησιμοποιούμε τμηματική παράσταση με καμπύλες μικρού βαθμού. Οι πιο συχνά χρησιμοποιούμενες καμπύλες Bézer είναι αυτές, που αντιστοιχούν στην τιμή.. Σχέση των καμπυλών Bézer με τις καμπύλες Fergso Στην περίπτωση των καμπυλών Bézer ου βαθμού ( χρησιμοποιούνται τα πολυώνυμα Berste B B B B,,,, ( ( ( ( ( ( ( (.4 Όπως μπορεί εύκολα να δεί κανείς κάνοντας τις πράξεις, τα πολυώνυμα Berste ου βαθμού συνδέονται με τα πολυώνυμα Hermte (.5 με τις σχέσεις B B B B,,,, ( F ( G ( G ( ( G ( ( ( F ( G ( (.5 Αν τώρα θεωρήσουμε τη εξίσωση (. της καμπύλης Bézer για και αντικαταστήσουμε τα B, ( από τις σχέσεις (.5 παίρνουμε την εξίσωση r ( F ( G ( G ( G ( ( F ( G ( ( η οποία με μια αναδιάταξη των όρων της γίνεται r F ( G ( ( G ( ( F ( ( (.6 Η εξίσωση (.6 μας δείχνει ότι μια καμπύλη Bézer ου βαθμού ταυτίζεται με την καμπύλη Fergso, η οποία ξεκινάει από το σημείο έχοντας εφαπτομενικό διάνυσμα το ( και καταλήγει στο σημείο έχοντας εφαπτομενικό διάνυσμα το (. Η σχέση αυτή μεταξύ των καμπυλών Bézer ου βαθμού και Fergso φαίνεται διαγραμματικά στο σχ. 8. -

Σχήμα 9: Σχέση μεταξύ καμπυλών Bézer και Fergso Γενικώτερα ισχύει η εξής ιδιότητα: Κάθε καμπύλη Bézer βαθμού της μορφής (. ξεκινάει από το σημείο έχοντας την κατεύθυνση του διανύσματος και καταλήγει στο σημείο έχοντας την κατεύθυνση του διανύσματος. Τα σημεία,,... και ονομάζονται σημεία ελέγχου της καμπύλης Bézer. Από αυτά μόνο τα και ανήκουν στην καμπύλη. Τα υπόλοιπα σημεία απλώς διαμορφώνουν το σχήμα της. Mερικοί συγγραφείς ονομάζουν τα ακραία σημεία και "κόμβους" και χρησιμοποιούν τον όρο "σημεία ελέγχου" μόνο για τα ενδιάμεσα σημεία έως.. Παραδείγματα καμπυλών Bézer Στην ενότητα αυτή θα δώσουμε κάποια παραδείγματα καμπυλών Bézer και θα δούμε πώς επηρεάζουν το σχήμα της καμύλης οι θέσεις των σημείων ελέγχου. Στο σχ. 9 βλέπουμε μια τυπική καμπύλη ου βαθμού με τέσσερα σημεία ελέγχου. Στο σχ. βλέπουμε πως αλλάζει η μορφή της καμπύλης όταν μεταβάλλουμε το μήκος του διανύσματος χωρίς να αλλάξουμε τη διεύθυνσή του. Ποιοτικά μιλώντας μπορούμε να πούμε ότι το μήκος του δείχνει πόσο μακριά προχωράει καμπύλη προς την κατεύθυνση του πριν στρίψει προς το. Στο σχ. το σημείο της αρχικής καμπύλης έχει μετακινηθεί προς τα δεξιά. Παρατηρείστε πώς "τραβάει" την καμπύλη προς το μέρος του. Στα σχήματα και 4 έχουμε θεωρήσει ότι μια κορυφή της πολυγωνικής γραμμής ελέγχου περιλαμβάνει περισσότερα από ένα σημεία. Πιο συγκεκριμένα, στο σχ. βλέπουμε μια καμπύλη 4 ου βαθμού, η οποία έχει την ίδια πολυγωνική γραμμή ελέγχου με την καμπύλη ου βαθμού του σχ. 9 αλλά με δύο σημεία ελέγχου (τα και στην ίδια θέση του επιπέδου, (τη θέση του σημείου της καμπύλης του σχ. 9. Παρατηρείστε πώς το σημείο αυτό αποκτά κατά κάποιο τρόπο περισσότερη "βαρύτητα" με αποτέλεσμα να έλκει την καμπύλη προς το μέρος του. Στο σχ. 4 έχουμε τοποθετήσει τρία σημεία στην ίδια θέση με αποτέλεσμα να έχουμε καμπύλη 5 ου βαθμού. Παρατηρείστε πως η έλξη του πολλαπλού σημείου ελέγχου γίνεται εντονώτερη. Στη συνέχεια, στο σχ. 5 εναλλάξαμε μεταξύ τους τα ενδιάμεσα σημεία ελέγχου και της αρχικής καμπύλης του σχ. 9. Παρατηρείστε πώς η καμπύλη "στένεψε" και η κορυφή της έγινε πολύ πιο απότομη. Τέλος, στο σχ. 6 πήραμε την καμπύλη του σχ. 5 και απομακρύναμε το σημείο από το φέρνοντας ταυτόχρονα το κοντά στο. Το σχήμα της καμπύλης άλλαξε και στη θέση της κορυφής εμφανίστηκε ένας βρόχος. -