פיסיקה מ
פיסיקה - חשמל, מגנטיות וגלים פיסיקה חשמל, מגנטיות וגלים - מהדורה החוברת נכתבה בהתאם לתוכנית הלימוד של הקורס "פיסיקה מ" בטכניון. זו איננה חוברת רשמית של הטכניון אלא חוברת פרטית שנכתבה על ידי. המחבר איננו אחראי לכל נזק, ישיר או עקיף, שיגרם עקב השימוש במידע המופיע בחוברת, וכן לנכונות התוכן של הנושאים המופיעים בה. עם זאת, המחבר עשה את מירב המאמצים כדי לספק את המידע המדויק והמלא ביותר. כמו כן, המחבר איננו אחראי על שינויים שיכולו בתוכן הקורס. תודות איל רוטמן, אביחי בר, עומר סלע, וכל האחרים שתרמו, העירו או הוסיפו לחוברת זו. אליסה בלייק על איור הפתיחה ועל האיור בעמוד 4. ינואר 3
3 הרצאה הקדמה Mateial +Q -Q קיים מטען משני סוגים, שנקרא להם מטען חיובי ומטען שלילי. היקום הוא נטראלי סה"כ המטען החיובי זהה לסך המטען השלילי. תהליך הטעינה הוא תהליך הפרדת מטען למטען חיובי ומטען שלילי. אם המטענים רחוקים מספיק, ניתן להתעלם מה Q- ולקבל חומר טעון ב Q+. אלקטרוסטטיקה מטפלת בהתנהגותו של הכוח החשמלי, כאשר המטענים נמצאים במצב סטטי. (לא נעים כלל) עקרונות קיים מטען חיובי משני סוגים, שיקרא מטען חיובי ומטען שלילי. שימור המטען במערכת סגורה סך כל המטען יישאר קבוע. מטען הוא בדיד. מטען הוא כפולות של יחידה בסיסית (e). חוק הכוח Coulomb) 785): א. הכוח פועל בכיוון הקו המחבר בין המטענים. ב. הכוח מושפע מהמרחק בריבוע:. ג. הכוח פרופורציוני למכפלת המטענים.. F qq i כאשר דנים באלקטרוסטטיקה, החוק השלישי של ניוטון מתקיים. ( tot ) () i Fj עיקרון הסופרפוזיציה: Fj מטען הוא אינווריאנטי (גם בתורת היחסות הפרטית)....3.4.5.6.7 חוק קולון q נגדיר ווקטור יחידה על הקו המחבר בין הווקטורים: à : q q חוק קולון: הכוח הפועל על על ידי q qq qq F k à k ( 3 ), q בין החלקיקים כוח דוחה. אם החלקיקים הפוכי סימן, הכוח הוא כוח מושך. q זהה לסימן אם סימן qq F F k ( à על פי החוק השלישי של ניוטון, מתקיים: ( כוח קולון הוא כוח מרכזי, ולכן הוא כוח משמר.
4 יחידות נעבוד בקורס עם שתי מערכות של יחידות:.g.s-esu ו- m.k.s-a (שנקראת גם.(SI [ F] dyne [ ] m qq k F [ q] esu / statoulomb esu esu dyne ( m) [ F] [ ] N mete k 9 4πε 8 3 m 7 9 F 4πε qq (eletiostati unit esu).g.s-esu. m.k.s-a / SI. קשר בין היחידות 9. oulomb כמו כן, מטען האלקטרון (-) שווה למטען הפרוטון (+), והוא 3 מתקיים: esu 9 e 4.8. esu.6 oulomb. Q n ± בהנתן מטען כלשהו Q, קיים, n כך ש (e ( עקרון הסופרפוזיציה לגבי חוק קולון,q. נתעניין בכוח הפועל על מטעו, שנסמנו i i יהיו n מטענים חשמליים, כל מטען i מאופיין על ידי בעזרת, q. נטען כי המטען q אינו מפעיל כוח על עצמו. בעזרת עקרון הסופרפוזיציה על חוק קולון, נסכם את סכום הכוחות הפועלים על אותה נקודה: n q q i F() 3 i i ( i ). q i שמות ומטען i מקור: ווקטור מטען בוחן: q קורדינטות השדה:
5 שדה חשמלי qi,. מערכת מטענים התפלגות מטענים דיסקרטית. בתוך המרחב מערכת תהיי מערכת מטענים i מטענים זו מפעילה מעין "שדה כוח". תהיי נקודה כלשהי במרחב, ויהי q חלקיק קטן. E ( ) F q ( ) N q i E() ( ) 3 i i i נכנה את השדה הווקטורי הבא בשם שדה חשמלי: השדה החשמלי הוא גודל שאינו תלוי ב- q. [ E] dyne esu [ F ] esu m [ q] Newton Coulomb Coulomb m gs.. SI יחידות השדה: התפלגויות מטען רציפות א. התפלגות מטען מרחבית (נפחית) יהי גוף, שאנו טוענים במטענים, כך שלכל נקודה בנפח זה יש מטען. אם ניקח אלמנט נפח קטן, נוכל להתייחס אליו כאל מטען נקודתי. זוהי קורדינטת המקור, dτ זהו אלמנט נפח של המקור, ואילו ) dq( זוהי כמות המטען באלמנט הנפח dτ. dq ( ) ρ( ) dτ ( ) dq( ) ρ( ) dτ de() ( ) E() τ ρ( ) ( ) dτ ( ) : E( ) צפיפות מטען נפחית תוגדר כלהלן: תרומת המטען ) dq( והשדה עצמו הוא: לשדה
6. da( ) ב. התפלגות מטען משטחית (משטח עובי ) dq( ) צפיפות מטען משטחית:, σ ( ) כאשר da( ) כמות המטען במשטחון הינה: זהו גודל השטח של השטחון ב dq( ) σ ( ) da( ) da( ) esu esu 3 m m [ σ] [ ρ] יחידות: E() S σ ( ) ( ) da dq( ) λ( ) dl( ) esu [ λ] m ( ) λ ( ) E() dl( ) S השדה החשמלי: ג. התפלגות מטען קווית. דוגמא - תיל דק אינסופי נדרוש:.d << << L כאשר L אורך החוט וd עובי החוט. לבעיה סימטריה גלילית. נחשב במישור בנקודה והתוצאה תהיה נכונה עבור כל נקודה במרחק. esu [ λ ] ( gs.. ) m dq λd - צפיפות ליחידת אורך. λ רכיבי של השדות השונים הנובעים מכל נקודה מתאפסים, והרכיב היחידי שנשאר הוא בכיוון y. מכאן: E( ) E ( ) à E( ) λos( θ) d +
7 נובע ממשפט + ) θ os( נובע בגלל שאנחנו רוצים לקחת רק את הרכיב שבכיוון ציר y, ו פיתגורס. tg( θ) d dθ + os θ os θ π os ( )os( ) λ θ θ λ λ E( ) dθ os( θ) os ( θ ) נבצע הצבות: λ E( ) מסקנה: שדה של תיל דק אינסופי: שטף flu דוגמא שטף זרימה של נוזל. נגדיר - v מהירות הזרימה של נוזל. שטף: ישנו שדה זרימה. כמה מים עוברים ליחידת זמן דרך משטח נתון? מקרה כל הזרם בכיוון אחד במהירות קבועה. נציב משטח מישורי ששיטחו A. נניח שצפיפות המים היא בכל נקודה, ואז: V A שטף מים מקרה àn ישנה זוית בין כיוון המשטח לכיוון הזרימה. נסמן את כיוון המשטח על ידי נורמל. àn θ v V nà A שטף מקרה 3 N Φ lim E a Eda E i i n MAX ( a ) i i משטח עקום כלשהו בזוית כלשהי. נחלק את המשטח ליחידות קטנות. a זוהי יחידת שטח קטנה. i, E i כאשר a i השטף בנקודה כלשהי הוא: שטף על כל המשטח זהו למעשה אינטגרל משטחי על כל נקודות המשטח. A :A דרך המשטח E השטף של השדה
8 שטף השדה החשמלי ρ ( פונקציה המתארת את צפיפות המטענים בכל נקודה במרחב. תהי ) בנקודה כלשהי במרחב, ישנו שדה ), )E שהוא תוצאה של כל המטענים במרחב. השדה משתנה בכל נקודה במרחב. נבנה משטח כלשהו במרחב. בכל נקודה על המשטח, נגדיר אלמנט שטח קטן, על ידי גודל וכיוון. כיוון השטח כיוון הנורמל שלו. dφ ( ) E( ) da( ) φ E( ) da( ) S הגדרה: שטף השדה החשמלי דרך אלמנט שטח( da( השטף של דרך המשטח S: יוגדר כלהלן: E esu E a m esu m [ φ ] [ ][ ] [ φ ] [ q] ההגדרה הנ"ל היא חד ערכית עד כדי כיוון הנורמל. da כלפי חוץ. כאשר S הינו משטח סגור, נגדיר את כיוון יחידות השטף: חוק גאוס (Gauss) E השטף של השדה דרך המשטח הסגור S, הכולא נפח τ מחושב כלהלן: S S E da 4 π ρ( ) dτ 4πQ E da ρ( ) dτ ε τ τ כאשר Q היא כמות המטען נטו הנמצאת ב- S. ב- S.I :
9 הרצאה דוגמא מהו השטף של שדה חשמלי של מטען נקודתי q דרך מעטפת כדור (ברדיוס ) ש, -q נמצא במרכזו? R q נגדיר: A, המשטח שלנו, הוא כדור ברדיוס R. נשים לב שעקב E ו- da מקבילים. מכאן: הסימטריה של הבעיה, בכל נקודה. E da Eda ניגש לחישוב השטף: q q Φ E Eda da da R R q A A A 4 R 4 R π π q Φ E 4 π q g.. s q mk.. s ε שטף ליחידת שטח זוהי עוצמת השדה. àn R נכליל את התוצאה. ניקח משטח סגור כלשהו. את המטען הכלוא בתוך המשטח, נעטוף בכדור דמיוני קטן הנמצא כולו בתוך המשטח. נטען שהשטף העובר דרך a והשטף העובר דרך A זהה. a q Φ E () a a Φ ER ( ) Aos( θ ) A Φ a R Φ A R Φ Φ a A E da 4π q A מכאן נכליל ונאמר: A משטח סגור כלשהו, q מטען נקודתי בתוך המשטח. מתקיים:
E כאשר המקורות הם התפלגויות בעלות סימטריה. שימושים לחוק גאוס חישוב א. התפלגות מטען בעלת סימטריה כדורית (. )ρ ( )ρ. E( ) E( )à נבחר משטח גאוסי עבור התפלגות מטען בעלת סימטרית כדורית, השדה הוא רדיאלי -. ρ() שהוא מעטפת כדורית ברדיוס, שמרכזה במרכז ההתפלגות נסמן ב- S את שטח המעטפת, ואז: φ( R) E() da E() S 4πE() 4 π ρ() dτ 4 πq () Speae. היא כמות המטען בכדור שרדיוסו ()Q כאשר Q () E( ) à מקרים פרטיים: א. מקור השדה הוא מטען Q המפולג בצורה אחידה על פני מעטפת כדור ברדיוס R. τ Q σ 4π R esu m צפיפות המטען המשטחית: < R E( ) Q à R נשים לב כי יש אי רציפות ב- E על הקליפה. מצד אחד של הקליפה השדה הוא, ומצידה השני השדה הוא. 4πσ E תוצאה כללית: במעבר דרך שכבה דקה טעונה בצפיפות משטחית σ, רכיב + בצורה לא רציפה: E E E 4π σ. בניצב לשכבה עובר E() Q R R
ρ Q 4π R 3 3 esu 3 m א. כדור ברדיוס R טעון בצורה אחידה, כך שמטענו הכללי Q. צפיפות המטען הנפחית (מרחבית): 4π 3 ρ q () 3 4π Q E( ) ρ 3 3 R עבור : < R נסכם: Q à 3 < R R Q E( ) à > R R Q à R R במקרה זה אין קפיצה בשדה החשמלי. E() Q R R
.(, θ, ϕ ) ( yz,, ) תרגול א. קורדינטות כדוריות נרצה לעבוד במקום עם קורדינטות קרטזיות עם קורדינטות כדוריות θ ϕ [, ] [, π] [, π] z θ sinθ osϕ y sinθ sinϕ z osθ ϕ y כאשר אנו עובדים בקורדינטות קרטזיות, אלמנט נפח,dv שהוא למעשה קוביה קטנה, שווה ל- : ddydz. dv ddydz כאשר אנו עובדים בקורדינטות כדוריות, אלמנט נפח קטן אינו בדיוק קוביה. מתקיים:. dv sinθ אם נתעניין באלמנט נפח על מעפטת כדור ברדיוס, הרי שהוא ddθdϕ. ds dθ sinθ dϕ sinθdθϕ (הגענו לביטויים עבור אלמנט הנפח ועבור אלמנט השטח, מנימוקים גיאומטריים). הגדרה שדה ווקטורי זוהי פונקציה, המתאימה ווקטור לכל נקודה במרחב. תרגיל נרצה לחשב את השטף דרך מעטפת כדור ברדיוס, אשר במרכזה מצוי מטען q., φ כאשר S היא מעטפת הכדור. E ds כידוע: S ds זהו ווקטור המתאים לכל פיסת משטח שכיוונו החוצה מהפיסה,. yz,, היא פונקציה של ds וגודלו כשטח הפיסה. à φ θ θ ϕ θ θ ϕ θ θ ϕ π π E ds q sin d d à qsin d d q sin d d S S S [ ] πq osθ 4πq π
3 ב. גרדיאנט f f f f(, y, z),, y z הגרדיאנט מוגדר כך:. תרגיל חשב את y z + + 3/ 3/ 3/ ( + y + z ), ( + y + z ) y, ( + y + z ) z ( yz,, ) à à 3/ 3 3 y z ( + + )
4 הרצאה 3 דוגמאות לחוק גאוס z דוגמא σ y esu σ על משטח m השדה הנובע מהתפלגות מטען שטחית אחידה ישר אינסופי. מתקיים: Eà zà z > Eà zà z< à + Az ניקח משטח גאוסי שהוא גליל, שטח הבסיס שלו יסומן A. שטח החתך של הגליל עם המשטח הוא A. Azà P, השדה החשמלי ניצב ליריעה משני צדדיה. כמו כן, בנקודות P הנמצאות על בסיסי הגליל, הכוח שווה והפוך בכיוונו. מכיוון שהשדה בכיוון ניצב לגליל, שטף כלפי חוץ יהיה רק דרך בסיסי. AEP + AEP הגליל. השטף הינו AEP המטען הכלול בתוך הגליל הינו σ. A πσ, ומכאן: AE 4πσ לפי חוק גאוס: A EP p Z דוגמא L σ σ השדה החשמלי הנובע משני משטחים ישרים אינסופיים טעונים σ, + σ : z < E( z) 4 πσ ( + zà ) < z< L z > L פוטנציאל חשמלי טענה. P P E ds P בשדה אלקטרוסטטי E, לאינטגרל הקווי טענה בשדה אלקטרוסטטי E, האינטגרל הקווי P -אל יש אותו ערך על כל המסילות העוברות מ E סביב כל מסלול סגור הוא אפס. ds
5 הגדרה הפרש הפוטנציאלים בין הנקודות P P ו- P בשדה E. את הפרש הפוטנציאלים הנ"ל נסמן P אל חיובי מ- פונקציה סקלרית חד חד ערכית, והוא: יחידות: מתקיים: [statvolt] [volt] /3 טענה והגדרה נניח כי נבחר את הפוטנציאל הוא העבודה המבוצעת, ליחידת מטען, כאשר מעבירים מטען ϕ. הפרש הפוטנציאלים הינו P ϕ E ds P [ ϕ ] eg statvolt esu volt P CGS SI P ϕ תהיה אז פונקציה של בלבד, ואז נסמן את באיזו נקודת ייחוס שהיא. ב-(,, yz )ϕ, ונזכור שבהגדרת הפונקציה כלולה בחירה של נקודת ייחוס מוסכמת אנו אומרים כי ϕ היא הפוטנציאל הקשור בשדה הווקטורי ϕ, עד כדי הוספת קבוע רצוני. טענה הפוטנציאל היא תמיד פונקציה רציפה. הבהרה. P, E נקבעת פונקציה הפוטנציאל. E אם נתון האנרגיה הפוטנציאלית של מערכת מטענים היא העבודה הכוללת, הדרושה על מנת להרכיב מערכת זו, כשמלכתחילה כל המטענים מרוחקים מאוד זה מזה. הפוטנציאל החשמלי ),, yz )ϕ הקשור בשדה הוא העבודה, ליחידת מטען, על מנת להעביר מטען בוחן חיובי מנקודת ייחוס שנבחרה לנקודה תזכורת ),, yz.( בשדה שכבר קיים. W F ( ) dl בהינתן כוח ), )F העבודה בין שתי נקודות מוגדרת כך: [ W ] eg Joule CGS SI טענה F dl F dl F dl הכוח החשמלי הוא כוח משמר, ומכאן מתקיים:
6 הגדרה ( ) ( ) U U FdL אנרגיה פוטנציאלית תוגדר כך: הכוח האלקטרוסטטי qi,, המפעילים כוח על מטען q, הנמצא בנקודה, ונתון כי i יהי אוסף של N מטענים נקודתיים - כתוצאה מכך q נע לאורך מסלול מקורות הכוח יבצעו עבודה. qi, מפעיל על q הינו כוח מרכזי שכיוונו על הקו המחבר ביניהם. הכוח שכל מטען נקודתי i N q i לכוח הכללי היא כוח מרכזי, ומכאן F Fi הוא כוח נשתמש בעיקרון הסופרפוזיציה. תרומת i משמר. הכוח האלקטרוסטטי הוא משמר. הגדרה ϕ ϕ( ) ϕ( ) ( U( ) U( )) E( ) dl q הגדרה נוספת להפרש הפוטנציאלים: q ϕ EdL () dl à dl dl à + dl à θ θ ( à à θθ) q q à ϕ dl + dl dl q dl q הפוטנציאל החשמלי הנובע ממטען q ב- q ϕ ( ) נגדיר את הפוטנציאל באינסוף להיות, ואז יתקיים כי: הפוטנציאל החשמלי הנובע ממטען q הנמצא בנקודה כלשהי במרחב ' q יהי מטען q הנמצא ב-, אזי: q ϕ ( )
7 הרצאה 4 פוטנציאל של התפלגות מטענים טענה עקרון הסופרפוזיציה תקף לגבי פוטנציאלים. אם יש לנו מספר מקורות, וכאשר אנו מייחסים פוטנציאל אפס לנקודות שמרחקן מהמקור הוא אינסופי, אזי פונקצית הפוטנציאל הכללית תהיה הסכימה של פונקציות הפוטנציאל של המקורות השונים. טענה ϕ( ) τ ρ( ) dτ ),ϕ( אזי מתקיים: ρ ( תהי ) המוגבלת לתחום סופי, וגם נקבע כי ρ ( ) dτ הוא הנפח אותו אנו רוצים לסכום. τ זהו אלמנט נפח. הינה צפיפות המטען בכל נקודה. דוגמאות א. הפוטנציאל הנובע מקליפה כדורית ברדיוס R, הטעונה בצורה אחידה, בעלת מטען ככלי Q. < R E ( ) Q à > R על מנת להזיז מטען בתוך הקליפה, אין צורך להשקיע עבודה. נבחר ) )ϕ ונקבל: Q R ϕ() R Q > R נשים לב כי למרות שהשדה בתוך הקליפה הוא, הפוטנציאל אינו אפס, אלא קבוע. ב. הפוטנציאל הנובע מכדור ברדיוס R, הטעון בצורה אחידה במטען כולל Q. Q à 3 < R E ( ) R Q à > R Q. ρ 4π R 3 Q ϕ ( R) R 3 צפיפות המטען הינה נבחר ).ϕ( מתקיים:
8 ϕ() ϕ( R) E( ) d R : < R Q Q Q 3Q 3 3 R R R R R ϕ( ) ϕ( R) E( ) d + R נביט ב-() ϕ כאשר נסכם: Q > R Q ϕ() R R Q 3Q R 3 + < R R esu. +λ m ג. הפוטנציאל הנובע מתיל ישר אינסופי הטעון בצפיפות מטען אורכית אחידה λ E ( ) à הבעייתיות במקרה זה: איננו יכולים למקם את λ באינסוף. לפיכך, נמקם את האפס של הפוטנציאל בנקודה כרצוננו, שנסמנה. λ d ( ) ϕ( ) ϕ( ) λ ln ln λln esu. +σ m ד. הפוטנציאל הנובע מטבלה דקה, מישורית, אינסופית, הטעונה בצפיפות מטען אחידה πσ ( + zà ) z > Ez ( ) πσ ( zà ) z< z ϕ( z ) ϕ( z ) πσ( z z ) σ y
9 ה. הפוטנציאל הנובע משתי טבלאות מישוריות טעונות σ, + σ : z < Ez ( ) 4 πσ ( + zà ) < z< L z > L when < z, z < L: ϕ( z ) ϕ( z ) 4 πσ( z z ) L Z σ σ,ϕ() ואז: z < ϕ( z) 4πσz z < L 4πσ L z L z מתחת ומעל הלוחות פוטנציאל אחיד. נבחר האנרגיה האצורה במערכת מטענים ונבחר z q. q א. זוג מטענים נקודתיים. q q > כך ש-, q, יהיו זוג מטענים q גורם חיצוני מבצע עבודה להבאת אל ואת אל q y W qq U הסכם q.u >.U <, qq נאמר כי > < qq, נאמר כי כאשר כאשר. U U + U + U 3 3 i i ב. 3 מטענים נקודתיים, N מטענים נקודתיים נוסיף מטען נקודתי שלישי למערכת -. האנרגיה האצורה במערכת: q 3 באופן כללי: האנרגיה האצורה במערכת של מטענים נקודתיים q,, i,..., N הינה: N N qq i j U, i j i j i j נשים לב לפיתוח הבא של הביטוי: N N qq N N N N N i j qj U q i q i ϕ j( i) qiϕ( i) i j i j i j i j i j i ϕ j( i) ϕ ( i ) הביטוי החשוב הוא החלק השלישי של הפיתוח, בו אנו מסוגלים להשתמש בחישובים מעשיים.
)ρ בעלת ממדים סופיים. ) ρ( ) ρ( ) U dτ dτ ρ( ) ϕ( ) dτ אנרגיה של התפלגות מטען רציפה בעלת ממדים סופיים תהי פונקציית הצפיפות של התפלגות המטען - האנרגיה תוגדר כך: דוגמא א' האנרגיה האצורה במערכת מטענים אינסופית היא U. דוגמא ב' האנרגיה האצורה בקליפה כדורית, בעלת רדיוס R, Q 4π מתקיים: R σ הטעונה בצורה אחידה בצפיפות משטחית σ. כדי לחשב את האנרגיה נחשוב על טענה הדרגתית של הקליפה, כך שבכל רגע, המטען על הקליפה, q, מקיים < q Q. ברגע מסויים, כאשר יש על הקליפה מטען q, נביא תוספת מטען - dq. ( ) q.ϕ q הפוטנציאל בנקודה R כאשר הקליפה טעונה ב- q הוא R R () qdq העבודה כנגד מטען. dw ϕq dq : dq R Q qdq Q W U R R דוגמא ג' 4 3 האנרגיה האצורה בכדור מלא בעל רדיוס R, וצפיפות מטען נפחית אחידה. ρ מתקיים:, Q π R ρ 3 4 3 ניקח כדור קטן מלא, בתוך הכדור הגדול, בעל רדיוס. < R מטען הכדור הינו. q () π ρ 3 q ( ) 4π ()ϕ. נוסיף כעת אלמנט מטען לכדור. הפוטנציאל שהכדור משרה במרחב: ρ 3 dq() ρdτ ρ 4π d ( 4πρ ) 4 4 du ϕ() dq() du π ρ ( ρ 4π d) d 3 3 U ( ) R 3 4πρ 4 3 4πR ρ 3Q d 3 5 3 R 5 R
הרצאה 5 du ( ) E dτ 8π E( ) צפיפות האנרגיה האלקטרוסטטית במרחב צפיפות האנרגיה האלקטרוסטטית במרחב בכל מקום בו קיים (שדה חשמלי): נפתח את הנוסחה על ידי שימוש במקרה פרטי (המעיד על הכלל). נביט כעת בקליפה כדורית דקה בעלת רדיוס, אשר עליה (על הקליפה) צפיפות מטען אחידה σ. פועל כוח החוצה (כי כל המטענים הם באותו סימן), ומטעמי סימטריה הכוח רדיאלי. בתוך הקליפה ישנו שדה, ומחוץ לקליפה ישנו שדה. נכווץ מעט את הכדור (תוך שמירה על סימטריה כדורית). המטען נשמר והצפיפות השתנתה קמעה. השדה בחוץ נשמר. השינוי היחידי הוא שנוספה קליפה דקה בה יש שדה. σ d כוח ליחידת שטח:. f E v σ ידוע כי הקפיצה בשדה החשמלי במעבר בקליפה הוא: E 4πσ, ומכאן: E σ 4π E Eout + Ein Eout Ein Eout f E v σ E v 4π 4π 8π U ε E dv 8π E dv CGS SI E 8π dw f 4π שינוי אנרגיה פוטנציאלית: dv du אנרגיה ליחידת נפח:
דוגמא א' < R E Q à > R קליפה כדורית טעונה במטען Q. R E Q Q d Q U dτ E 4π d E 4π d 4π d 4 8π 8π + 8π 8π R R R R קיבלנו את אותה תוצאה שקיבלנו בהרצאה הקודמת. דוגמא ב' E πσ zà σ E πσ zà πσ U ( πσ ) dτ dτ 8π נבצע אינטגרל על כל המרחב: יסודות האלקטרוסטטיקה. קיימים שני סוגי מטענים חיובי ושלילי. qq F k à. חוק קולון E da 4π S E dl ϕ( ) ϕ( ) E dl τ מסקנות מהיסודות. חוק גאוס: ρdτ. חוק שימור האנרגיה:
3 המטרה שלנו כעת: קבלת שני החוקים היסודיים בצורה דיפרנציאלית. הגדרה האופרטור נבלה יוגדר כך:,, y z הגדרה f f f gad f ( ) f à+ yà+ zà y z הגרדיאנט של פונקציה סקלרית ) f ( הינו: משפט,S. יהא אשר יהא מספר יהי נפח V, שסוגר עליו משטח S, המחולק לשני חלקים, הכלואים על ידי S חלוקות המשנה, סכום האינטגרלים המשטחיים על כל החלקים שווה לאינטגרל המשטחי המקורי על S, עבור כל פונקציה ווקטורית ). )F צפיפות השטף של שדה ווקטורי יהי ) F( שדה ווקטורי כלשהו. נבחר משטח סגור כלשהו S, שנפחו V, ונחשב את השטף של השדה: φ F ( ) da S.V, נניח שאנו מחקים את הנפח V לשני חלקים באמצעות משטח, לשני חלקים V לפי המשפט, סכום האינגרלים המשטחיים על שני חלקים אלו זהה לאינטגרל המקורי על כל S, אותו ביצענו לעיל. נמשיך לחלק שוב ושוב את הנפח שהתקבלו, עד שנחלק את V למספר גדול של נפחים - N. אנו מנסים לזהות איזו תכונה אופיינית לאיזור קטן מסויים, כך שבגבול, כש- N שואף לאינסוף, היא תאפיין נקודה נתונה. F da S i i לפיכך, נביט בביטוי הבא:. Vi נגדיר את הדיברגנץ בצורה הבאה: divf lim F dai Vi V S i i.v i S i V i הוא הנפח המכיל את הנקודה שבה מדובר, ו- כאשר זוהי למעשה פונצקית צפיפות השטף שטף ליחידת נפח. משפט גאוס הוא המשטח הכולא את יהי שדה ווקטורי ), )F ומשטח סגור S הכול נפח τ, אזי:
φ F da S τ divfdτ 4 תרגול. יחידות volt k m קשר שימושי:. דיפול y -a a -q q E(, )? E (,)? - כלומר, כאשר מזניחים ביטויים מהצורה a נרצה לדעת מספר נתונים על המערכת: כמו כן נרצה לראות למה הביטויים מתקרבים, כאשר a, ( ) ( ) ( ) aà+ yà aà+ yà aq E(, ) q q à 3/ 3/ 3/ a + a + a + ( ) ( ) נקרב את הביטוי כאשר. a aq aq aq E(, ) à à à 3/ 3/ 3 ( a + ) 3 a + 3 דיפול יורד לפי!!
5 E (,)... qà + + q q n ( ) + α + nα + O( α ) + nα a a 4aq E(,) qà à 3 3. מערכת כמעט יציבה 4 מטעני q מקובעים. מהו הכוח שיפעל על Q? y a q -a +Q a -q q -a -q הכוח שפועל על Q הינו. כעת נניח כי Q נמצא במרחק קטן כלשהו ממרכז המערכת על ציר. נסמן את המרחק ב-. נמצא מהו הכוח הפועל על המטען Q בחלק זה..( נמצא מהי האנרגיה הפוטנציאלית כאשר Q נמצא ב- (a - לאחר מכן נזכור כי, F U ונקבל כי הכוח הפועל על החלקיק הוא כוח הרמוני, ולכן המטען Q יתנדד סביב הראשית. לכאורה נראה כי אם Q בראשית הצירים, יהיה שיווי משקל יציב. אם זאת, באלקטרוסטטיקה אין שיווי משקל יציב. ההסבר: התעלמנו מציר Z אם נזיז את החלקיק מעט על ציר Z, הוא יתחיל לברוח מהמערכת.
6 הרצאה 6 אנליזה ווקטורית. F( ) F( yz,, ) à+ F( yzy,, ) à+ פונקציה ווקטורית היא פונקציה מהצורה F( yzz,, ) à V, V,..., VN ואת המשטח y z הגדרה - הדיברגנץ יהי נפח סופי V, ויהי המשטח הסוגר עליו S. נחלק את הנפח לנפחים קטנים למשטחים הסוגרים על הנפחים,S,...,S SN בהתאמה. da i הוא ווקטור שגודלו כגודל השטח S וכיוונו ככיוון האנך כלפי חוץ לאותו אלמנט שטח. i הווקטור הדיברגנץ יוגדר בצורה הבאה: divf lim F dai Vi V S i i F מוגדרת בו. הדיברגנץ נקרא גם "צפיפות השטף של השדה". הדיברגנץ מוגדר בכל נקודה במחרב ש- S Eda V divedv משפט גאוס (המתמטי) יהי נפח סופי V, ויהי המשטח הסוגר עליו S, אזי: E שדה ווקטורי כלשהו. כאשר Eda S. דרך המשטח הסגור E משמעות הביטוי היא השטף של הווקטור S חזרה משפט גאוס (הפיסיקלי) E Eda, כאשר S 4π יהי נפח סופי V, ויהי המשטח הסוגר עליו S, אזי: Qin הוא השדה החשמלי. מסקנות מחוק גאוס החוק מקשר למעשה בין הדיברגנץ למקורות השדה. אם dive, אזי אין מקורות, ואם dive מקורות. חוסר מקורות: האם יש מקורות לשדה בנפח שאנו כולאים, לא האם יש מקורות לשדה בכלל. יש,, y z האופרטור נבלה תזכורת: האופרטור נבלה מוגדר כך: divf F F Fz y z y + + divf ( F ) הצגת הדיברגנץ בקורדינטות קרטזיות בקורדינטות קרטזיות, מתקיים: נוכל לרשום את הדיברגנץ גם בצורה הבאה:
7 צורת כתיבה זו נכונה לא רק לגבי מערכת צירים קרטזיות, אם כי במערכות צירים אחרות, האופרטור נבלה מוגדר בצורה שונה. משפט סטוקס, סירקולציה, ul z dl F( ) y הגדרה: נתונה פונקציה ווקטורית ) )F ומסלול סגור במרחב C. סירקולציה תוגדר כך:. FdL Γ C עבור כוח משמר, הסירקולציה שווה. F dl i Ci ulf ai lim ot ai ai C ( F ai) : a i הגדרה צפיפות (משטחית) של הסירקולציה בכיוון הווקטור משפט סטוקס: F dl i N Ci FdL lim ( ulf da) da ai N i a i S C. הינו משטח חלק ופתוח ששפתו S כיוון ההליכה על C: נלך על מסלול כך שנראה את המשטח מצד שמאל. כיוון הראש הוא כיוון הנורמל (כלל הבורג סיבוב בורג ימני). ulf F à + yà + zà ( F à à + Fyy+ Fzzà) y z ul בקורדינטות קרטזיות: מסקנות ממשפט סטוקס C EdL Eda S ראשית, נסכם את המשפט בצורה הבאה: כמו כן: ul שווה אפס אם השדה החשמלי משמר, ומספר שונה מאפס אם לא.
8 הרצאה 7 סיכום תכונות אנליטיות של שדה ווקטורי יהי השדה הווקטורי ). F( שדה ווקטורי הערך בכל נקודה ונקודה משתנה בגודל ובכיוון. (דוגמאות: רוח, מים, שדה חשמלי). S C divf ( F ) ulf Eda V S ( F ) divedv EdL Eda צפיפות השטף פונקציה סקלרית צפיפות הסירקולציה פונקציה ווקטורית משפט גאוס יהי נפח סופי V, ויהי המשטח הסוגר עליו S, אזי: משפט סטוקס יהי S הינו משטח חלק ופתוח ששפתו C, אזי: שימוש לשדה האלקטרוסטטי S F qq ( ) F( ) E ( ) q Eda 4 π ρ( ) dτ 4πQin τ, לכן מתקיים חוק גאוס: חוק קולון: שדה אלקטרוסטטי: שדה חשמלי יורד לפי S Eda divedv 4 π ρ( ) dτ V C τ ( E) 4 C πρ EdL EdL Eda S E משפט גאוס לשדה החשמלי: משפט גאוס מקשר בין השדה החשמלי בנקודה מסויימת לבין צפיפות המטען בנקודה. כוח קולון הוא כוח מרכזי, ולכן הוא כוח משמר. חוק שימור האנרגיה על מסלול סגור: משפט סטוקס: מתקיים כי ule תמיד. חוק שימור האנרגיה:
9 משוואות השדה האלקטרוסטטי S E da 4 π ρ( ) dτ C τ EdL.. חוק גאוס: ( E) 4 ( E) πρ בצורה דיפרציאלית:.. E הוא שדה משמר, ולכן ניתן להגדיר פונקציית פוטנציאל. )ϕ הינה פונקציית פוטנציאל אלקטרוסטטית (סקלרית). ) מתקיים:. E ϕ E ϕ ϕ ( ( )) ( ) נציב בחוק גאוס: y z + + E ϕ 4πρ נגדיר את הל פ ל ס ין עבור קורדינטות קרטזיות: נמשיך את הפיתוח: ϕ 4πρ משוואות פואסון: המשוואה קושרת את צפיפות המטען לנגזרות השניות של הפוטנציאל. משוואת לפלס: בכל מקום בו חייב לקיים את המשוואה: ϕ כלומר, בכל חלקי המרחב שאינם מכילים מטען חשמלי, הפוטנציאל החשמלי, ρ ϕ משוואה זו מכונה משוואת לפלס.. ρ( ) dτ ϕ( ) + ϕ τ פתרון פורמלי למשוואת פואסון: כאשר הוא מקור, והפתרון נכון עבור התפלגות סופית. משפט היחידות,ϕ אם נתונה משוואת לפלס ϕ 4πρ ותנאי שפה ϕ אז היא פתרון יחיד. השפה ()ϕ מקיימת את המשוואה ומקבלת את ערכי
3 תרגול 3 הגדרה f f f y z f + + הלפלסיאן יוגדר כך: תרגיל b a ρ () () (3) נתון גוף מבודד טעון, ומסביבו מוליך לא טעון. נרצה למצוא את השדה ואת הפוטנציאל ב- (),() וב-( 3 ). ϕ() d dϕ d d dϕ() E d כללים משוואת פואסון: ϕ 4πρ. הפוטנציאל הינו פונקציה רציפה.. E 4πσ השדה על פני מוליך: nà השדה בתוך מוליך:. פוטנציאל על פני מוליך הוא קבוע. עבור פוטנציאל רדיאלי: עבור פוטנציאל רדיאלי:...3.4.5.6.7 הערות על הכללים לגבי, לכאורה הפוטנציאל בנקודה מסויימת תלוי רק במטען באותה נקודה. עובדה זו אכן נכונה, ומתקבלת מפיתוח המשוואה. לגבי 3, נשים לב שמדובר על השדה השקול בכל נקודה, ולא רק בשדה הנובע מהמטען בנקודה זו.
3 עבור () 4 ρ πρ d dϕ 4 πρ d d d dϕ 4πρ d d 3 dϕ 4πρ + d 3 dϕ 4πρ + d 3 : < a נעשה אינטגרל לשני האגפים: חשוב לא לפספס את הוספת הקבוע. dϕ 4 E πρ d 3 : E כעת אנו יכולים לדעת מהו (), E ולכן מתקיים כי מהסימטריה ידוע כי (נשים לב כי האפס במכנה זוהי שאיפה ל-, ולא אפס ממש פיסיקאים...). dϕ 4 E πρ d 3 4 + + ϕ πρ πρ 3 3 עבור () E ϕ ϕ : a< < b כאשר ϕ הינו קבוע.
3 עבור (3) d dϕ d d dϕ3 3 d dϕ3 3 d 3. ϕ 3 : > b מכיוון ש- ρ, מתקיים כי ϕ + 3 3 4 ϕ ( ) E 3 4 3 3 ידוע כי הפוטנציאל באינסוף הוא, ולכן: השדה: נרצה כעת להיפטר מהקבועים. נשתמש ברציפות הפוטנציאל:. ϕ a ϕ. ϕ b ϕ3 ( ) ( a). ( ) ( b) ידוע כי המטען במוליך הוא, ולכן: 4πσ aa + 4πσ bb σ הן צפיפויות המטען המשטחיות על שפות a, σ b כאשר המוליך..3 + + + + + + + + + + + + + - - - - + - - - - - - + - -- ++ - + + + - - - -- - + + + + + + + + + + + - - - - - -. E 3 ומכאן:, 4πσ והוא שווה לשדה השקול בנקודה. השדה הינו השדה על פני המוליך הינו nà 3 4. 4 πσ b E3( b) b
33 4 a E a a 3 5. 4 πσ ( ) πρ כמו כן: כעת נחלץ את הקבועים מהמשוואות. 4 4 π a σ E ( a) πρ a 3 3 a 4πb σb 3 4 3 πρa + 3 3 ϕ( a) πρa + ϕ 3 3 ϕ( b) ϕ b bϕ 3 4 3 Q ϕ pρa 3 b b 4 3 Q πρa 3 3 Q Q + πρa a 3 שאלה נוספת: נרצה כעת לחשב את האנרגיה הכללית האצורה במערכת: a b E E E E3 U dv dv+ dv 8π 8π + dv 8π 8π V a b
34 תרגילים תרגיל q q 3q R R 3R נתונות שלוש קליפות כדוריות מוליכות ובעלות רדיוסים,R.,R 3R הקליפות טעונות במטענים,q,q- 3q בהתאמה. נדרש לחשב את הפוטנציאל במרחק R מהמרכז. < < R q à R < < R E () q à 3 R< < R q à 3 R < נחלק את המרחב ל- 4 תחומים, כאשר תחום במרכז הכדור, תחום בין הקליפה הראשונה לשניה, תחום 3 בין הקליפה השניה לשלישית ותחום 4 מחוץ לקליפות. ראשית נמצא את השדה בכל אחד מהתחומים: q q ϕ4() d + ϕ ( ) + 4 q ϕ4() q q ϕ3() d + q q ϕ3(3 R) + ϕ4(3 R) 3R 3R q q q 3R 3R 3R q q ϕ3() + R q q ϕ() d + 3 q q q ϕ( R) + 3 ϕ3( R) + R R R 3 q ϕ() q ϕ( R) R
35 R תרגיל קליפה כדורית מוליכה בעלת רדיוס טעונה במטען Q. במרחק d ממנה נמצאת קליפה כדורית לא. d R, נתון כי R. R טעונה בעלת רדיוס מחברים את שתי הקליפות בחוט מוליך דק. נדרש לחשב את הפוטנציאל של שתי הקליפות. q+ q Q q q R R,q, כאשר אנו מחברים את הקליפות בחוט. המטען מתפצל לשני מטענים, q מתקיים: R q Q R + R הפוטנציאל: q Q R R + R ϕ
36 הרצאה 8 אלקטרוסטטיות במוליכים (אידיאלים) מוליך אידיאלי זהו סוג של חומר, כך שתנועת מטענים בו נעשית ללא התנגדות. המטענים ישאפו לברוח אחד מהשני יברחו לשפת הגוף. במוליכים אנו מקבלים מטענים רק על פני המוליך. ϕ ϕ, E בתוך מוליך, השדה החשמלי הוא אפס, והמוליך הפוטנציאל החשמלי הוא קבוע (אחיד): על שפת המוליך קיים שדה חשמלי, הניצב לפני השטח:. E E ( ) nà קיימת קפיצה ברכיב הניצב של השדה. E.σ ( ( ) על שפת המוליך נוצרת שכבת מטען בצפיפות ) מתקיים: ). σ ( 4π ניקח גוף מתכת מוליך ללא מטען התחלתי, ונטען אותו במטען Q על ידי מגע. (המטען יתפזר על פני המוליך). Q () da ρ 4π Eda שפת המוליך שפת המוליך טעינה על ידי השראה חשמלית שלב א': מוליך שעל פניו Q. שלב ב': נקרב אל המוליך מטען חיובי Q+. המטען החיובי יפעיל כוח על האלקטרונים החופשיים בגוף. המטען הכללי שעל הגוף יישאר אפס. השדה E, והפוטנציאל ϕ. onst עם זאת, התפלגות המטענים על הגוף תשתנה. + + + + ++ + + -- -- - - - - + +Q שלב ג': הארקה: נחבר את המוליך באמצעות תיל מוליך אל כלי קיבול חשמלי גדול מאוד. -- -- - - - - - +Q המטען הכללי על השפה Q-.
37 שדה חשמלי ליד קצה חד +Q מוליך המטען מתפזר על השפה. מודל: שני כדורים מוליכים, מחוברים ביניהם בתיל מוליך: Radius b Radius a מכיוון שהכדורים מחוברים, הפוטנציאל בהם שווה. נניח כי התיל המוליך אינו משפיע על התפלגות. qa, המטען בכדורים qb מתקיים:. qa + qb Q qa qb. a b a + b + qa Q a b qb Q a b () הוא למעשה שיוויון בפוטנציאלים. מפתירת המשוואות נקבל: qa Q E ( a) Ea a a( a+ b) Q E ( b) Eb ba ( + b) המטענים מתחלקים לפי רדיוס הכדורים: מכאן, שהשדה על חוד יכול להיות עצום, וזאת אם a קטן בהרבה מ- b.
38 דוגמא טעינה על ידי השראה של קליפה כדורית עבה ומוליכה. נשים מטען נקודתי q+ במרכז הקליפה. q à < a E() a< < b q à > b +q a b q + q < a b a q ϕ() a< < b b q > b נבחר ).ϕ( נקבל בדיוק את אותה תוצאה אם נתאר את הבעיה בצורה הבאה: q σ ( a) 4π a q σ ( b) + 4π b + ++ + + + + + + + + ++ + + + - - - b + - - + -- + - - - - +q a + - - - - - + q - - - - - + + + + + + +q+ + + + + סה"כ הקליפה נשארת נטרלית. אם נאריק את הקליפה, המטענים הטעונים q+ יברחו, ונשאר עם קליפה טעונה במטען q-. נאמר כי המטענים q+ הינם המטענים החופשיים של המערכת. כעת: q à < a E () > a נבחר ).ϕ( q q < a ϕ() a > a
39 שיטת הדמויות דוגמא h z +Q תהי טבלה מוליכה מישורית אינסופית מוארקת, ויהי מטען נקודתי Q+ במרחק h מהטבלה. נרצה לדעת מהם (. )E,( )ϕ הטבלה נשארה עם מטען שלילי. באפס צפיפות המטען הכי גדולה. מטענים מושרים על הטבלה בצפיפות משטחית ) σ ( (לא אחידה). אם ננחש פתרון הוא יחיד. תנאי השפה: ) z.ϕ( נדמיין שיש לנו מטען Q- במרחק h-. במערכת המוארקת y הפוטנציאל שנגרם מ- Q+ ומ- Q יתן אפס כאשר < z. ננסה פתרון של מטען דמות Q- בנקודה. z h E ϕ, (כמו קליפה מוליכה שנסגרת על עצמה ב-, + Q Q עבור > z, מתקיים: + hzà + hzà עבור z, מתקיים: והפוטנציאל נקבע לפי ההארכה ל-. השדה בפנים. ϕ( ) + h y h α. ϕ ( ),( z (כלומר à+ תנאי השפה מתקיים: לכל yyà לפי משפט היחידות הפתרון שמצאנו הוא הפתרון היחידי. כיצד מתפלג המטען המושרה?. E( ) 4 πσ ( )( zà נחשב את השדה E ניצב על פני הטבלה ) E במרחק מנקודת ההיטל: נחשב את +Q -Q Q h Q h E () ( + h ) + h ( + h ) Qh σ ( ) 4π ( + h ) 3/ 3/ לשדה הניצב קפיצה בשיעור 4πσ במעבר דרך התפלגות המטען המשטחית. E : z () צפיפות המטען המושרה ב ) σ ( 4π Qh 3 צפיפות המטען הולכת וקטנה כש- גדל (בערך לפי σ ( ) :( π + h ( ) 3/ כמות המטען הכללית המושרת היא Q. סיכום: השדה והפוטנציאל על כל נקודה במישור הם: z < ϕ( ) + Q Q + z > hzà + hzà z < E ( ) q ( hzà) q ( + hzà) z 3 > 3 hzà + hzà
4 שיטת הדמויות - אלגוריתם רוטמן השימוש בשיטה כאשר יש התפלגות מטען שאיננו יודעים לחשב, אך את תנאי השפה של הפוטנציאל אנו יודעים לחשב. השיטה. מציאת תנאי השפה של הפוטנציאל.. מיקום מטען דמות במקום הצפיפות הבעייתית אשר מקיימת את תנאי השפה. 3. מציאת הפוטנציאל. 4. פתרון זה נכון רק עבור המקום של המטען האמיתי. הערה במבחנים תמיד מנסים להפיל את הסטודנטים על ידי השאלה מהי האנרגיה האלקטרוסטטית האגורה במערכת, בהתחשב בזה שהסטודנט הטיפש הממוצע ייחשב שדה עבור כל הייקום בעוד השדה האמיתי הוא עבור חצי ייקום בלבד.
4 Q ϕ ( R) R.ϕ( ) הרצאה 9 קבלים, קיבול דוגמא נתון כדור מוליך בעל רדיוס R הטעון במטען Q. נבחר המטען קשור בקשר ליניארי עם ϕ כאשר קבוע הפרופורציה הוא תכונה גיאומטרית של הכדור:. Q R ϕ( R) עבור מוליך כלשהו:, Q C ϕ כאשר C הינו הקיבול של המוליך. במקרה של כדור מוליך:.CR קיבול של מערך מוליכים א. קבל טבלאות מוליכות. d A +Q ניקח שתי טבלאות מוליכות מקבילות, בעלות שטח A כל אחת, שהמרחק Q ביניהן הוא d. הטבלה הראשונה טעונה במטען Q+ והשניה ב- Q -. הנחת קירוב:. d A נרצה למצוא קשר בין המטען לשדה. הטבלאות הן בקירוב אין סופיות, לכן 4π. E 4πσ Q בין הטבלאות הינו E מחוץ לטבלאות הוא, ואילו E A 4π d. V ϕ ϕ הפרש הפוטנציאלים הינו: Ed Q A A A מתקים: C Q V CV 4π d 4π d ב. קבל של שתי קליפות מוליכות כדוריות בעלות מרכז משותף. Q +Q a b המטען החופשי Q כמות המטען שיכולה לזרום עד שהפרש הפוטנציאלים ירד לאפס (אם אנו מחברים את הקליפות). < a Q E à a< < b > b Q V ϕ( a) ϕ( b) d Q a b b Q V CV a b a ab C b a ומכאן: ab C lim a b b a אם נאריק את הקליפה החיצונית ( b):
4 ג. קבל גלילי: קבל של קליפות מוליכות גליליות בעלות ציר אורך משותף. b z a. λ שדה בהנחת קירוב של גלילים אינסופיים.. a< b קירוב: L מחוץ לגליל, נוכל להתייחס אליו כתיל: Q, à+ צפיפות מטען אורכית: yyà L קיבול רדיאלי: y < a λ Q E( ) à à a< < b L > b a Q Q b L V ϕ( a) ϕ( b) d ln Q CV b b L L a ln a L C b ln a הפרש פוטנציאלים: מקרה גבולי:, ab. מתקיים:. d b a עבור קבל טבלאות: d A L π b Lb La C 4πd 4πd d d d b b a d d a ln ln + ln + a a a a b a L L L ( π a) A a C b d 4π d 4π d ln a a
43 סיכום A קבל לוחות: C 4π d קליפות כדוריות: ab C b a כדור C R L C b ln a : קליפות גליליות: m C Q Coulomb Faad Volt [ ] [ ] [ v] 9 3 esu Faad 9 statvolt 3 m gs SI יחידות: מתקיים: Q CV ab C סימון של קבל: (Q הוא המטען החופשי על הקבל). חיבור קבלים: C C + Q Q + Q Q a b e a C + Q Q Q Q Q Vae Vab + Vbe + + C C C C C C C e חיבור טורי: מתקיים: חיבור מקבילי: C a b a + Q Q b C Q Q + Q V C + V C V C C C + C ab ab ab מתקיים:
44 q. vq ( ) C >q <. הפוטנציאל על הקבל כאשר המטען הוא q יהיה : Q Q q q Q W V( q) dq dq CV C אנגריה של קבל אנרגיה אצורה בקבל הטעון במטען כללי Q. נטען את הקבל במטען. dw V ( q) נביא dq ואז נבצע עבודה: dq העבודה שאנו משקיעים בטעינת קבל: נשים לב לעובדה הבאה: C היא תכונה פנימית של הקבל, ואילו V היא תכונה חיצונית. מזכיר אנרגיה קינטית. CV
45 הרצאה זרמים חשמליים מטען נע בהשפעת שדה חשמלי בתוך חומרים מוליכים. באלקטרוסטטיקה, המצב הבא היה נכון לגבי מוליכים: E ρ ( ), אולם ) σ ( 4π מתקיים: E ϕ onst אם נרצה לקיים תנועת מטענים, נצטרך כל הזמן לדאוג שבמוליך יהיה שדה שונה מאפס. כדי לעשות זאת, נשתמש במקור אנרגיה היכול להניע מטענים - מקור כוח אלקטרו מניע - כא"מ. על המקור לדאוג שיהיה כל העת הפרש פוטנציאלים על המוליך. ϕ ϕ. V במקרה כזה, השדה בתוך המוליך יהיה שונה מאפס. על מטען q פועל כוח חשמלי:. F qe אלקטרודות: מוליכים אידיאלים המחברים בין מקור הכא"מ לבין החומר בו מתרחשת זרימת המוליכים. זרם וצפיפות זרם: יהי חומר מוליך בו נעים מטענים ויהי S משטח פתוח במוליך. יהי Q(t) כמות המטען החוצה את המשטח בזמן. tt, + dt ( ) dq הזרם I דרך המשטח S יוגדר כך: I dt [ I ] [ Q] esu [] t se oulomb Ampee se gs SI. esu 9 Amp 3 se יחידות: ומתקיים:
46 צפיפות הזרם:. nm j 3 כל מוליך מכיל "נושאי מטען". נושאי המטען: במתכת - אלקטרונים. בתמיסה אלקטרוליטית - מלח במים.. u j q j ומהירות, m j מטען נושא מטען מאופיין על ידי מסה ישנם סוגים שונים של נושאי מטען:. j,,..., k צפיפות נושאי המטען מסוג j: S A נושאי nudt A ניקח משטח ישר S. בזמן dt יחצו את המשטח מטען. dq q n u dt A המטען שעובר הינו :dq ( ) dq I q n u A dt והזרם: הזרם הינו תלוי במשטח ובתכונות נושאי המטען. ווקטור צפיפות הזרם יוגדר כך: J q n u I J A מתקיים: [ J ] esu [ I ] se m [ a] Amp m gs SI יחידות: k J n q u j j j j כאשר ישנם סוגים שונים של נושאי מטען מתקיים: טענה I J (, t) עבור משטח פתוח S כלשהו, מתקיים כי: da S
47 חוק שימור המטען ומשוואת הרציפות נתון חומר מוליך - משטח סגור S הכולא נפח τ. כמו כן נתונה צפיפות הזרם: ), t. J ( מהו הזרם היוצא ממשטח זה? I I J. (, t) da S הזרם הכללי היוצא מהמשטח: הזרם היוצא מהשטח שווה לקצב הירידה בכמות המטען הכלוא בנפח τ. dq() t d ρ( td, ) τ dt dt τ S S d J ( t, ) da ρ( td, ) τ dt τ ρ J da divjdτ dτ t τ ρ divj J t משוואת הרציפות האינטגרלית: זוהי בעצם צורה נוספת לחוק שימור המטען. נשתמש במשפט גאוס: משוואות הרציפת בצורה דיפרנציאלית: d ρ J dt מקרה פרטי: זרם סטציונרית (עמידה) דרך S סגור מתקיים כי I. J σ E חוק אום. mu qe משוואת התנועה (ניוטונית) עבור נושא מטען אחד בשדה : E תוצאה: קיים קשר ישיר בין השדה החשמלי לתאוצה. בחומרים מוסיימים מתקיים חוק אום, המציג קשר ישיר בין השדה החשמלי אל המהירות: כאשר σ היא המוליכות הפנימית (המוליכות הסגולית). σ היא אחידה, איזוטרופית וקבועה. התפלגות השדה ) )E ו-( J ( נקבעים על ידי הצורה הגיאומטרית של האלקטרודות.
48 ϕ ϕ E a L מקרה פרטי: מוליך σ בצורת גליל ישר, שטח חתך a ובעל אורך L. מתקיים:. V ϕ ϕ E L נשתמש בחוק אום: J σ E דרך שטח החתך a. I J a J a I σ Ea ϕ ϕ V E L L A V I σ V L R L L R ρ σ A A נגדיר את ההתנגדות: [ V ] [ I] oulomb se MKS Ampee Amp m ( ohm m) ohm m volt Ohm Ω Amp [ ] [ L ] [ a] CGS esu se esu m se se se se ρ m קיבלנו צורה נוספת לחוק אום: יחידות: [ I ] [ J ] [ ] אלמנט [ q] t σ [] [ I ] [ a] [ J ] [ E] [ ρ ] [ σ ] [ ] [ ] [ L ] R ρ [ a]
49 הרצאה ϕ ϕ E a L מוליכים המקיימים את חוק אוהם מוליך σ בצורת גליל ישר, שטח חתך a ובעל אורך L. נשתמש בחוק אום: J σ E דרך שטח החתך A. V I R L L R ρ σ A A דוגמא נרצה לחשב את ההתנגדות של כדור מוליך מלא. הוא. המוליכות הסגולית של הכדור היא σ, והרדיוס שלו d dr σ 4π L L מתקיים:. R ρ σ A A ניקח קליפה כדורית דקה בעלת רדיוס ונחשב את ההתנגדות שלה. 4π זהו השטח שלה. כעת d הוא למעשה המרחק שעברנו כדי לחצות את הקליפה, ו- נבצע אינטגרל על מנת לקבל את כל הקליפה: R π π R dr sinθd dθ dϕ R 4πσ σ V R. m, q, n, < u > j j j j מודל Dude המוליך מורכב מ- k j,..., סוגים של נושאי מטען כמו כן המוליך מכיל מולקולות נטרליות שבהן מתנגשים נושאי המטען. mu qe i j a j F i q i j uj() t uj() + E t m j משוואות התנועה לנושע מטען אחד מסוג j: i מהירות רגעית: u () t j תזכורת: nj nj q i j i uj uj() + E tj nj i m j n j j b j n j b n j i i j b: הוא הממוצע של גודל פיסיקלי b j ממוצע המהירויות:
5 i j נגדיר t רגע ההתנגשות האחרונה של נושא המטען i, ונגדיר הזמן הממוצע בין התנגשויות עבור סוג j: i t j משך הזמן עד ההתנגשות הבאה. i u () u () u j n j n j i q jτ j E m j j k k q jτ j J qn j j < uj > nj E j j m j n j τ j t n j i i j ולכן אנו מקבלים כי: J σ E ואז יתקיים כי:, σ n k j j q jτ j m j k j n j q jτ j m j כאשר זוהי למעשה תכונה של החומר. נסמן: חוק Joule אנרגיה הופכת לחום בזמן הזרימה במוליך. qe הפועל על נושא מטען אחד: j הספק הכוח החשמלי p u q E כפול מהירות). (כוח P u F כללית: j j j k P P ( n j < u j > q j) E τ j J הספק (חום) ליחידת נפח: P J E σ E [ P ] eg 3 se m Watt 3 m gs SI יחידות: P τ P ( ) ( ) P ALJE AJ EL V R P I V I R I V הספק החוק בקטע תיל מוליך:
5 נגדים R Ω סימון ההתנגדות נ ג ד חיבור נגדים R a b R e חיבור טורי: a R e V V + V IR + IR IR ae ab be R R + R מתקיים: I R חיבור במקביל: a I R b a R I b I I + I V V V + + R R R R R R מתקיים: מעגלי זרם - חוקי קירהוף i ε I R i j j j I k k חוק המעגל: חוק הצומת:..
5 מעגל זרם המכיל מקור כא"מ (כוח אלקטרו-מניע), קבל ונגד א. טעינת קבל C R.Q() ()Q המטען שעל הקבל, I () t הזרם במעגל. t בזמן < t מתקיים: () It וכמו כן מתקיים כי ברגע t המפסק נסגר. Qt () ε + RI() t C dq It () dt Q dq ε + R C dt dq ε + Q dt RC R dq + Q dt RC Qt () α e t RC dq Q Cε dt RC Qt () Q+ Q αe + Cε t Q() α Cε Qt () Cε e ε It () e R t RC t RC נפתור את המשוואה ההומוגנית: פתרון פרטי של המשוואה האי הומוגנית: סיכום: טעינת קבל: RC נקרא קבוע הזמן של המעגל (ל- RC מימדים של זמן). C R ב. פריקת קבל. Q() ב- t מתקיים: Q באותו רגע המפסק נסגר. Qt () Qe RC t מתקיים:
53 W Ptdt () ε Itdt () Cε WJoule I Rdt Cε U Cε העבודה המבוצעת בזמן טעינת הקבל על ידי מקור הכא"מ: האנרגיה העצורה בקבל בסוף הטעינה: חוק Joule b a ϕ( a) ϕ( b) נגד עם אלקטרודות בעלות צורה סימטרית א. נגד כדורי בין האלקטרודות תווך מוליך. נתון: ϕ( a) ϕ( b) V α E à a< < b כאשר α קבוע כלשהו. J α σ à a α V ϕ( a) ϕ( b) d α a b b תכונת מוליך המקיים את חוק אום היא, J σ E לכן: ידוע כי b). V ϕ( a) ϕ( נמצא את V בהתאם לנתוני השאלה: נשים לב כי ניתן להעלים את α מהמשוואה: V à J σ a b σ הזרם הוא למעשה צפיפות הזרם כפול השטח, לכן: I() J()4 π 4πV a b קיבלנו מידע חשוב: הזרם אחיד ואינו תלוי ב-!! V מחוק אום ידוע לנו כי I. נוכל להשתמש בכך על מנת למצוא את התנגדות הקבל (נגד) הכדורי: R R 4πσ a b Q Q e RC, t אם נטען את הקליפות הכדוריות ב- Q +,Q המטען יזרום דרך ההתנגדות הכדורית: כאשר מתקיים כי RC. 4πσ a b 4πσ a b
54 תרגילים שאלה קליפה כדורית דקה מאוד ומבודדת שמרכזה בראשית הצירים, בעלת רדיוס R טעונה בצפיפות משטחית. σ ( (θ σ מהי העבודה שיש להשקיע כדי להעביר המשתנה עם הזווית θ (ביחס לציר z) לפי (θ sin( מטען נקודתי q מהנקודה Rz אל הנקודה? Rz (שתי הנקודות הינן מחוץ לקליפה). תשובה à à חשוב לשים לב כי שתי הנקודות הן מחוץ לקליפה. לפי חוק גאוס, מספיק שאנו במרחק d מהקליפה, אנו יכולים להתייחס אליה כאל מטען נקודתי. נראה שתי גישות לפתרון. גישה אחת היא הליכה במסלול כזה הנראה בשרטוט: אנו יכולים להתייחס אל הקליפה כאל מטען נקודתי. המטען הכולל בתוך הקליפה הוא אפס. לפי גאוס + + + + + + + + + -. מכאן אנו Eda 4π Q למדים כי השדה מחוץ לקליפה הוא אפס. מכאן, הפוטנציאל בכל נקודה במרחב מחוץ לכדור הוא קבוע, ולכן הפרש הפוטנציאל בין שתי נקודות ייתן לנו אפס. כמו כן ידוע כי הפוטנציאל בכל נקודה במרחב הוא קבוע, וכן ידוע כי הפוטנציאל באינסוף הוא אפס, ולכן הפוטנציאל בכל נקודה במרחב הוא אפס. - - - - - - -- + + + + + + + + + + + + + -- - - - - - - - - - --- נוכל גם לבצע את המסלול הבא בין הנקודות: בכל נקודה בתוך המעטפת נוכל להגדיר מעטפת גאוסית, אשר המטען בתוכה הוא אפס. לכן גם השדה בכל נקודה בתוך הקליפה הינו אפס, ולכן הפוטנציאל קבוע. שוב, בחוץ פוטנציאל קבוע, ולכן הפרש הפוטנציאלים הוא אפס. שאלה נתונות שלוש קליפות כדוריות מוליכות קונצנטריות בעלות הרדיוסים,R,,R 3R הטעונות במטענים,q,q- 3q בהתאמה. מחברים את הקליפה החיצונית 3R אל הקליפה במרחק R בחוט מוליך. כמה מטען מצטבר על הקליפה ברדיוס R לאחר החיבור? תשובה R q R 3R כאשר אנו מחברים את הקליפה במרחק R עם הקליפה במרחק 3R אנו יכולים להתייחס אליהן כאל קליפה אחת. המטען q שעל הקליפה ברדיוס R מאלץ מטען ñq על הקליפה במרחק R. כל שאר המטענים בורחים אל הקליפה השלישית, סה"כ מצטברים על הקליפה הנמצאת במרחק q 3R מטענים.
55 שאלה σ נגד בצורת קליפה כדורית בעלת רדיוס פנימי a ורדיוס חיצוני b עשוי מחומר בעל מוליכות סגולית. b a+ b a+ b. < < b עבור σ בתחום < >a ומוליכות סגולית א. חשב את התנגדות הנגד. ב. מחברים את הנגד למקור מתח V. חשב את התנגדות הנגד בנקודה תשובה א' התנגדות נגד כדורי נתונה לנו על ידי: R כאשר a הוא הרדיוס הפנימי שלו ו- b הוא 4πσ a b הרדיוס הפנימי. הנגדים למעשה מחוברים בטור, ולכן נתחיל בחישוב ההתנגדות של כל אחד מהם, ולאחר מכן הנגד השקול יהיה סכום ההתנגדויות. R 4πσ a a+ b R 4πσ a+ b b R + + 4πσ a a+ b 4πσ a+ b b 4π σ a σ ( a+ b) σ ( a+ b) σ b תשובה ב'.σ σ זהה לזרם הזורם בחומר בעל המוליכות הסגולית נטען כי הזרם בחומר בעל המוליכות הסגולית V לפי חוק אום, I, כאשר,V R כבר נתונים לנו. R ידוע כי מוליכים המקיימים את חוק אום, מקיימים גם כי:. J σ E כמו כן, J I / A ) ( Jb. המוליכות הסגולית בנקודה זו היא J E σ I ( 4π b ) σ I ( 4π b ) אנו מתעניינים בצפיפות הזרם בנקודה b. לכן:,σ ולכן:
56 תרגול 4 שאלה (שיטת הדמויות) נתונה מעטפת כדורית מוליכה ומוארקת ברדיוס R, שמרכזה בראשית הצירים. מטען נקודתי Q נמצא בנק' (,,a). חשב את הפוטנציאל בכל המרחב ),, yz )ϕ. תשובה נחלק את המרחב לשני חלקים: בתוך הכדור ומחוץ לכדור. א. בתוך הקליפה: המוליך חלול ואין מטענים בתוכו, ולכן E. מכאן גם.ϕ onst על השפה מתקיים R) ϕ ( עקב ההארקה. מתקימת משוואת לפלס, כלומר ϕ. הפיתרון של משוואת לפלס הינו פונקציה הרמונית. כידוע, לפונקציה הרמונית אין מקסימום או מינימום. לפיכך, ולפי משפט היחידות, הפוטנציאל בתוך הכדור הינו בהכרח. ב. מחוץ לקליפה: ננסה למצוא מטען נוסף q שייאפס את הפוטנציאל על הקליפה. (אנו מתעלמים כעת מהעובדה שהקליפה מוארקת. למעשה אנו כעת פותרים בעיה חדשה, ואנו פשוט מעוניינים במיקום בו הייתה הקליפה בבעיה המקורית יהיה אותו הפוטנציאל). נבחר למקם את q בתוך הקליפה כי אנו מתעניינים בשלב זה בפוטנציאל מחוץ לקליפה, ולא נרצה שהפוטנציאל יושפע מהמטען. מטעמי סימטריה, על q להיות על ציר. נסמן את המרחק של q מראשית ציר ב- b. Q q (*) ϕ ( yz,, ) ( a ) + y + z ( b ) + y + z. R + y + z הפוטנציאל בכל נקודה במרחב: על הקליפה מתקיימת המשוואה: הפוטנציאל על הקליפה: Q q (על הקליפה) ϕ R a + a R b + b נרצה: (על הקליפה) ϕ. נחפש,b q שייקיימו זאת: פתרון :. q Q, b a מטען הדמות נמצא באותו מקום כמו המטען האמיתי. זהו פתרון לא פיסיקלי, מכיוון שמטען הדמות מייצג את המטענים המפוזרים על הכדור.
57 פתרון : Q ( R b+ b ) q ( R a+ a ) ( + ) ( + ) Q R b bq q R a aq Q R + b q R + a () bq aq () ( ) ( ) b q () (3) : a Q b (),(3) R + b ( a + R ) a R R bb ( a) ( b a) b a a R q Q a כעת כל שנותר הוא להציב את הפיתוחים במשוואת הפוטנציאל (*) ולקבל את התשובה. הערה חשובה: מוליך מוארק הוא מסכך. נניח כי המטען Q היה ממוקם בתוך הקליפה הכדורית, אזי הבעייה הייתה פשוטה. הפוטנציאל מחוץ למוליך המוארק היה אפס, וכן גם השדה. שאלה (קבל גלילי) נתון גליל אינסופי מוליך ברדיוס a, הטעון בצפיפות מטען אחידה ליחידת אורך λ. מקיפים את הגליל בקליפה גלילית מוליכה ומוארקת בעלת רדיוס b.. חשב את השדה בתחום a<<b. חשב את הפרש הפוטנציאל בין הקליפה לגליל. 3. חשב את הקיבול ליחידת אורך של מערכת זו. תשובה λ. E() השדה בתחום זה קיים לפי חוק גאוס:, π LE( ) 4πλL ומכאן à שדה זה זהה לשדה של תייל אינסופי! π זהו שטח מעטפת הגליל. כאשר אנו מתרחקים מרחק קטן מהגליל הפנימי, אנו L ) יכולים להתייחס אליו כאל תייל אינסופי, ולכן כשאנו באים לחשב את המטען עליו, אנו מחשבים את המטען ליחידת אורך). הפרש הפוטנציאל בין הקליפה לגליל הפנימי: a a λ a b Vab E( ) d d λln( ) λln b b b a המטען על חלק באורך L מהקבל הינו: Q C Q λl Vab C C V L ln b / a ab ( )...3
58 שאלה 3 (זרם) כדור מוליך שרדיוסו a טעון ב t במטען Q. הכדור נמצא בתוך חומר בעל מוליכות סגולית σ.. חשב את המטען כפונ' של הזמן והזרם החשמלי כפונ' של הזמן.. המערכת שקולה למעגל RC מצא את הקיבול וההתנגדות המתאימים. 3. מצא את האנרגיה שהפכה לחום ע"י אינטגרציה על ההספק. תשובה Qt ()Q הוא המטען הכלול t כאשר E השדה החשמלי ברדיוס > a הינו: () à על הכדור המוליך כתלות בזמן. dq() t הזרם החשמלי היוצא מהכדור: I. נשתמש בחוק אום, האומר כי dt. I Jda כמו כן, מתקיים כי. J σ E קליפה כדורית (). I () t σ Qt à ( sin θdθdϕ) à 4 πσq () t () () 4 ln 4 dq t dq t, πσ t+ Q πσ dt 4 πσq( t) קיבלנו: Q dt Q. אנו יכולים לבטל את הקבוע בעזרת תנאי ומכאן שהמטען הינו: e e πσ t 4 onst. Q Q ההתחלה האומר כי. נסכם את התוצאה: Qt () Qe It () Q4 e 4πσ t 4πσ t πσ. הכדור הטעון הוא קבל הנפרק דרך החומר המוליך שמסביבו המשמש כנגד. הקיבול של Q Q הכדור הינו. C a (נשים לב שהיחידות של קיבול הינן יחידות אורך). V Q a L ההתנגדות הינה R. נחלק את החומר המוליך לקליפות שעוביין d ושטחן Aσ. 4π נחשב את ההתנגדות: d d R a 4π σ 4πσ a 4πσa 4πσ t t/ RC Qt () Qe מעגל. Q Qe :RC במקרה שלנו: RC 4πσ dw ( ) I R Q 8 t 4 e πσ.3 ההספק: πσ. dt 4πσ a dw 4πσ 8πσ t Q. W dt Q האנרגיה הינה: dt e dt a a
59 האנרגיה שהפכה לחום שווה לאנרגיה האלקטרוסטטית ההתחלתית של המערכת, והיא Q. a הרצאה שדות וכוחות הקשורים במטענים נעים עד כה ראינו: א. ב. תופעות הנובעות ממטענים נחים - אלקטרוסטטיקה: F הגדרנו את השדה החשמלי: E. q זרמים - מטען נע. הגדרנו את צפיפות הזרם:. J nqu כעת נתעניין בשדות וכוחות הקשורים במטענים נעים. התגלה כי ממטענים נעים, בנוסף לשדה החשמלי המתקבל ממטענים, מתקבל גם שדה מגנטי. בהמשך הקורס נראה את חוק לורנץ, האומר כי הכוח הפועל על מטען q הינו: F q E + ( V B) עקרון חשוב נוסף שנראה, הוא שמטען חשמלי הוא אינווריאנטי ביחס לטרנספורמצית לורנץ (בלתי תלוי במערכת הייחוס). חזרה על יסודות תורת היחסות (הפרטית) תורת היחסות הפרטית עוסקת במערכות לא מואצות. התורה מבוססת על שני עקרונות יסודיים: F אותה צורה - כלומר הכוח הוא מהצורה א. עיקרון היחסות: (בכל המערכות ל-,E יהיו שונים במערכות שונות). B בכל מערכת - אם כי ייתכן כי F q E + ( V B) ב. קביעות מהירות האור:. 3 m/se מהירות זו זהה בכל מערכת ייחוס. [ ]. ( ) + y + z t בעזרת תורת היחסות ניתן "לראות" תנועת אור. דוגמא: פולס אור שנפלט ברגע t ממקור בראשית מתקדם לפי: האור מתפשט ככדור אור שהרדיוס שלו הוא.t
6 z t y הגדרה מאורע הוא ווקטור מקום-זמן. ( y z t) ( y z t ) S:,,, S :,,, S S לצורך הנוחיות שלנו אנו בוחרים מערכות שנעות אחת ביחס לשניה לאורך ציר, וכמו כן הן מתלכדות ברגע.t V Và מערכת S נעה ביחס למערכת S במהירות קבועה. V Và צופים במערכת S רואים את מערכת S נעה במהירות.Và צופים במערכת S רואים את מערכת S נעה במהירות Và. V β γ V ( β ) / y y סימונים טרנספורמצית לורנץ למאורעות. S ב- (, y, z, t ) ( yzt,,, ) המאורע המאופיין ב- S על ידי הווקטור מאופיין על ידי הווקטור שני ווקטורי מקום-זמן אלו קשורים על ידי על ידי טרנספורמצית לורנץ למאורעות: β γ( βt) γ( vt), y y, z z, t γ( t )
6 טרנספורמצית לורנץ ההפוכה γ( + vt ), y y, z z, β t γ( t + ) האינווריאנטה של ווקטור מקום זמן גל אור מתפשט בכל מערכות הייחוס באותה צורה, ומתקיים: + y + z t + y + z t תוצאות א. התקצרות האורך בכיוון התנועה: L הגדרת האורך היא מדידת שני קצוות של גוף בעת ובעונה אחת על ידי אותו צופה. נניח שנתון גוף הנע במהירות.Và נסמן: - אורך המנוחה של גוף במערכת ביחס לציר במערכת S. אם ימדדו את רכיב זה במערכת S, אזי ערכו יהיה: נסמן: L. L γ L y - אורך המנוחה של גוף במערכת ביחס לציר y במערכת S. אם ימדדו את רכיב זה במערכת S, אזי ערכו יהיה:. L L אורכו של הגוף בכיוון ניצב לכיוון המהירות לא השתנה. y y נשים לב שמכל מערכת ייחוס, הגוף הנע ייראה כמתכווץ. לכאורה קשה מטרנספורמצית לורנץ של מאורעות לראות את תוצאה זו. מהטרנספורמציה נראה תחילה כי גוף יכול להתארך (למשל במעבר בין S ל- - S טרנספורמציה הפוכה). הטעות בגישה זו, היא שטרנספורמצית לורנץ מוגדרת על נקודות במרחב. כדי למדוד את האורך עלינו למדוד שתי נקודות במערכת ולחשב את ההפרש ביניהם. כשאנו פועלים בצורה זו - תמיד תהיה התקצרות של האורך. ב. התארכות הזמן (פיגור שעונים): שעון נח במערכת S ימדוד t t t.. t שעון הנע ביחד עם מערכת S ימדוד γ t (הצופה במערכת S מודד את השעון שנמצא במערכת S). ג. שני מאורעות סימולטניים ב- S אינם סימולטניים ב- S. דוגמא: נתונים שני מאורעות t (כלומר t ) t (, y, z, t ),(, y, z, במערכת,S כך שמתקיים המאורעות מתרחשים באותו הזמן). לפי טרנספורמצית לורנץ, ב- S המאורעות האלו יהיו צופה ב- S לא יראה את שני המאורעות מתרחשים בו זמנית. (, y, z, t ),(, y, z, t ) כאשר. t t טרנספורמצית לורנץ לשינויים אינפיטיסימלים
6 d γ ( d β dt) dy dy dz dz β dt γ ( dt d) טרנספורמצית לורנץ קייימת גם לשינויים אינפיטיסימלים בקורדינטות של מאורעות: נשתמש בעובדה זו כדי למצוא טרנספורמציות בין ווקטורים שהם למעשה נזגרות (למשל - מהירות). S תנועה של חלקיק בעל מסה m כאשר אנו מדברים על מסה של חלקיק של חלקיק, אנו מתכוונים אל המסה של החלקיק במערכת בה נמצא החלקיק במנוחה. S אנו רוצים למצוא את הקשר בין שתי מערכות הייחוס, כאשר אנו מסתכלים על תנועת חלקיק באחת מהמערכות. m y y אנו דנים בתנועת חלקיק בהשפעת כוח.. vt () ( v, vy, במערכת :S כוח ), t, F( מהירות vz). v () t v, v, v מהירות, F (, t במערכת S : כוח ) ( y z) נמצא את הקשר בין המהירויות בשתי המערכות. טרנספורמצית המהירויות: d v β v V v dt β d V v dt dy dy vy v y dt β V v γ dt d γ.( v v תלויה ב- y קיבלנו שהטרנספורמציה של המהירות היא טרנספורמציה לא ליניארית (כי מכאן לא נוכל להשתמש בטרנספורמציה לפתרון בעיות. לכן, אנו משתמשים בתנע ואנרגיה על מנת לעבור לקשר ליניארי בין המערכות. טרנספורמציות המהירויות ההפוכה v v y v + V V v + dy vy dt V v γ +
63 תנע ואנרגיה יחסותיים במערכת S: חלקיק נע במהירות. v חלק ממאפייני החלקיק בתורת היחסות הם, β,() v γ () v המושפעים מגודל מהירות החלקיק בלבד (ולא מכיוונו). כאשר נתון לנו חלקיק ביחסות, נשאל מהם v ה-() β,() v γ שלו, ובעזרתם נוכל לנתח דברים הקשורים אל החלקיק. v v v v v, β( v), γ( v) + y + z / v
64 v. P γ () vmv התנע משתנה מרגע לרגע כי הגדרות נגדיר את התנע היחסותי: נגדיר את האנרגיה היחסותית:. U γ () v m S. תלויים במהירות הרגעית במערכת,U P הגדלים ווקטור תנע-אנרגיה משתנה. U. P, Py, Pz, ווקטור תנע-אנרגיה במערכת S יוגדר כך: במערכת S מתקיים: v v v + v y + v z, β( v ), γ( v ) v. U γ ( v ) m עבור S, נגדיר את התנע היחסותי: mv P γ ( v ) ואת האנרגיה היחסותית: U. P, P y, P z, נקבל את ווקטור התנע-אנרגיה במערכת S : / טרנספורמצית לורנץ לווקטור תנע-אנרגיה נמצא את הקשר בין ווקטור התנע-אנרגיה במערכת S לאותו ווקטור במערכת S. β P γ P V P y Py P z Pz U γ U βp ( ) γ, β הם מספרים קבועים שמוגדרים על ידי המהירות היחסית בין שתי המערכות, ואין להם קשר ל- β,() v γ () v המוגדרים לפי המהירות הרגעית של החלקיק. האינווריאנטה של תנע-אנרגיה U P U P ( m ) i i חוקי השימור המתקבלים Ui U j onst j Pi P j onst j כלומר: האנרגיה הכללית נשמרת, וכן האנרגיה היחסותית נשמרת. נשים לב כי בתורת היחסות, תרומת האנרגיה של חלקיק נח היא, m וזאת לעומת מכניקה ניוטונית שתרומת האנרגיה של חלקיק נח הינה אפס.
65 dp (*) F dt d dv ( m v) m ma dt dt assuming m is onst נגדיר כוח על ידי הקבלה למכניקה ניוטונית dp F dt ניקח את (*) ונגדיר כוח במערכת יחסותית: dp נמצא כעת טרנספורמציה של ביחס למערכת המנוחה של החלקיק. dt החלקיק נע בהשפעה של כוח, ולכן מערכת המנוחה שלו איננה מערכת אינרציאלית. אנו נניח כי המערכת אינרציאלית (כמעט) על די כך שנניח כי ביחס למערכת שלנו תנועת החלקיק היא מאוד איטית. קירוב זה טוב רק לפרק זמן קצר. נגדיר את S ("כמעט מערכת המנוחה של החלקיק") - כמערכת שבה V בפרק הזמן t (מספיק ארוך). ב- S תנועת החלקיק היא ניוטונית. נוכל בעזרת הנחה זו לתאר את תנועת החלקיק באמצעות המשוואות של המכניקה הניוטונית. לפי מכניקה ניוטונית: F ( F, Fy) dp F dt P F t F t m במערכת S : U m v P ( ) ( ) השינוי באנרגיה יהיה: נעבור למערכת S: β dp γ dp du du β dp + + dt dt dt β β d γ dt + d + dt
66 נשים לב כי כל הגדלים שהם בעצמם נגזרות הם גדלים שחישבנו בעזרת מכניקה ניוטונית. נציב ונקבל: ( F dt ) dp β + dp dt m dt dt β + F dt m dt F כאשר הוא קבוע בפרק הזמן הקצר, ואילו הוא גודל אינפיסיטימלי השואף לאפס. dp dt dp dt מכאן נקבל: F F מסקנה: רכיב הכוח בכיוון התנועה היחסותית העובד על חלקיק שכמעט נמצא במנוחה עובר ללא שינוי למערכת היחסותית הנעה במצהירות יחסית בין ל- ביחס למערכת שלנו. dp y dpy dp y dt dt β γ β d γ dt + d + dt when dt רכיב הכוח בכיוון ניצב לתנועה היחסית: F y dpy dp y F y dt γ dt γ ומכאן: קיבלנו שרכיב הכוח הניצב הפועל על חלקיק כאשר הוא כמעט במנוחה קטן פי γ במעבר למערכת היחסותית. זהו מקרה פרטי של טרנספורמצית הכוח הכללית.
67 הרצאה 3 שדות וכוחות הקשורים במטענים נעים יהי חלקיק בעל מסה m ומטען q. הגדרנו: v ( v, vy, vz) P γ ( v ) mv U γ ( v ) m mv () γ () v m U m() מהירות החלקיק: תנע יחסותי: אנרגיה יחסותית: מסה יחסותית: השינוי באנרגיה: אינווריאנטים מסת הגוף איננה אינווריאנטית לטרנספורמצית לורנץ.. mv () γ () v m הגוף נעשה כבד יותר כפונקציה של מהירותו. המטען החשמלי הוא אינווריאנטי ביחס לטרנספורמצית לורנץ. שלושה שלבים בניתוח הכוחות והשדות הקשורים במטענים נעים אנו מפרידים את הלמידה לשלושה לשבים מטעמים דידקטיים.. v, q, v, q. v, q v, q, א. ב. ג. מטען הבוחן נח ומקורות השדה נעים - מקורות השדה נחים ומטען הבוחן נע - מטען הבוחן ומקורות השדה נעים. א. מטען הבוחן נח, מקורות השדה נעים z Q מקרה פרטי : מערכת S: שתי טבלאות אינסופיות בעלות שטח A, מרחק d, טעונות ב- Q +. וב- Q. מתקיים: A d L L y A +Q השדה בין הלוחות הינו שדה אחיד בכיוון, àz והוא: Q Q E Ezzà 4πσ zà 4π 4π A L L y. V Và נעבור כעת למערכת S, בה הקבל נע במהירות
68 Q Q L L γ LL y A A L L y γ γ במערכת : S / נסמן γ ואז יתקים כי: V Q Q E z 4 π 4 E A π A γ γ z נחשב את השדה: E השדה בכיוון ניצב לתנועה גדל פי γ. מקרה פרטי : ניקח משטח הניצב לכיוון התנועה. נבדוק את בכיוון התנועה. V Và S S y y הלוחות נעים בכיוון מקביל לתנועה. השדה הוא בלתי תלוי במרחק בין הטבלות ומכאן שבמצב זה השדה לא ישתנה. Q A LyLz E 4π במערכת S: A Q A L yl z E 4π במערכת S: A כאשר מתקיים: E E A A Q Q השדה לא השתנה מכיוון שצפיפות המטען לא השתנתה. באופן כללי: ב- S מקורות השדה (המטענים) במנוחה. ב- S נמדד שדה של מקורות נעים - E. נחלק את השדה לשני רכיבים: רכיב ניצב לכיוון התנועה (מישור (yz ורכיב בכיוון המקביל לציר. E E, E : S E E, E : S ( ) ( ) E E E γ E טרנספורמצית שדות: זוהי טרנספורמציה של שדה חשמלי שמקורותיו נעים, הנמדד על ידי מטען בוחן נח.
69 דוגמא חישוב השדה הנוצר על ידי מטען נקודתי q+ הנע במהירות קבועה. מערכת S: המטען q+ (מקור השדה) נח בראשית. S S +q y y נניח (מטעמי נוחות) שתנועת החלקיק היא על מישור.z (, ) q E t à + zzà à E נפרק את לרכיבים על מנת לבצע את הטרנספורמציה: q q qz qz E(, t) E (, t) z ( + z ) ( + z ) 3 3/ 3 3/ E לרכיבים. אולי זה טריויאלי למי שלומד חשמל-פיסיקה (פסיכים). הערה: לשים לב לפירוק של אני בחיים לא הייתי עולה על זה לבד.. Và נעה במהירות S. לאורך ציר V נע במהירות q+ היא מערכת בה המטען S נבחר: t, t הזמן שבו +q עובר בראשית של S. מקומו של +q ב- S הינו:. Vt à q ( y z t) ( y z t ) S:,,, S :,,, ניזכר בטרנספורמצית לורנץ למאורעות: β γ( βt) γ( vt), y y, z z, t γ( t ) q qγ E + z z E z ( ) ( γ ) (( γ ) + z ) ( + ) 3/ 3/ qγ z 3/ מקרה פרטי: ברגע t:
7 במקרה כללי, ברגע t כלשהו: ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) qγ βt qγ Vt E (, t ) γ βt + z γ Vt + z 3/ 3/ qγz qγz E z (, t ) t + z Vt + z ( γ ( β ) ) γ ( ) ( ) 3/ 3/ הביטוי t β זהו למעשה t, V שזהו "העתק" החלקיק. E. E z z E השדה במערכת S הוא רדיאלי, ומתקיים: E β t V t. E z z z.t S מתקיים: עבור השדה E הערה חשובה: במערכת הוא שדה רדיאלי אל מקום המצאו של q ברגע E z E S θ E (, t ) גודלו של השדה במערכת S : (, ) (, ) (, ) z ( + ) q γ z E t E t + E t (( γ ) + z ) 3 נחשב ברגע :t ידוע כי, + z ולכן: q γ q E (, t ) 3 4 4 3 6 6 z γ ( β sin θ γ β ) ומכאן שגודלו של השדה t E, הינו: q q β E (, θ, t ) γ β θ β θ ( ) ( sin ) ( sin ) 3/ 3/ גודל השדה תלוי בזווית ). q+ למקום הימצאו של (ביחס θ
7 B q A q E (, θ, t ) γ π q E (, θ, t ) γ : : z נחשב את השדה על ציר נחשב את השדה על ציר π E (, θ, t ) 3 γ E (, θ, t ) צופים הנמצאים בנקודה A או בנקודה B במערכת S מודדים שדה שונה. צופים ב- S הנמצאים באותו מרחק ממקום הימצאו של q+ ימדדו: השדה איננו ספרי! הערה שדה חשמלי של מטען נקודתי נע איננו שדה משמר! סיכום - השדה החשמלי של מטען נקודתי הנע במהירות קבועה Q E β ( β sin θ ) 3/ +Q z θ (, z ) Q הוא מטען החלקיק הנע במהירות.Và הוא המרחק מהמטען Q (כאשר מיקומו של Q עצמו נלקח כראשית) לבין הנקודה z., כמו כן, θ הינה הזוית בין כיוון תנועתו ( ) של החלקיק לבין הרדיוס ווקטור המחבר את מיקומו הרגעי למקום בו נמדד E (ראה תרשים). E הוא השדה הנמדד במערכת המעבדה בנקודה z., ( )
7 הרצאה 4 א' - מטען הבוחן נח ומקורות השדה נעים (המשך) ב- S מקורות השדה (המטענים) במנוחה. ב- S נמדד שדה של מקורות נעים E E E טרנספורמצית שדות: γ E. E - π E (, θ, t ) 3 ובעקבותיו למסקנה כי השדה הוא אומנם רדיאלית הגענו לביטוי הבא: γ E (, θ, t ) יחסית למקום הימצאו הרגעי של החלקיק, אבל במערכת בה המטען נע, השדה איננו רדיאלי. E - עוצמתו של השדה של מטען נקודתי הנע במהירות קבועה תלויה בכיוון תנועתו - המרחב אינו אנאיזוטרופי). באופן סימלי: מטען נח מטען נע נרצה לראות מה קורה אם המטען מתחיל את תנועתו או מסיים אותה ברגע מסויים. v מקרה v t t מטען נקודתי q+ נח בראשית עד רגע t. ברגע t המטען מואץ. לאחר t החלקיק מפסיק להיות מואץ ומתחיל לנוע במהירות קבועה. v R t z vt האינפורמציה שהחלקיק מתחיל לנוע מגיעה לכל הצופים. לכדור היוצא מהראשית, שרדיוסו R t אנו קוראים כדור האינפורמציה או כדור האור. בכל הנקודות בתוך הכדור המידע שהמטען התחיל לנוע הגיעה. בתוך הכדור - שדה אנאיזוטרופי. מחוץ לכדור, עדיין מתקבל המידע מהראשית, כלומר לצופים מחוץ לכדור נראה כי המטען עדיין נמצא בראשית - שדה איזוטרופי. מחוץ לכדור יימדד שדה של מטען נח!
73 v v מקרה v עד רגע.t ברגע מטען נקודתי +q נע במהירות và t המטען מאט ועוצר בראשית, לאחר t זמן. t t התפלגות E במרחב ברגע t < : t האינפורמציה שהחלקיק נעצר מגיעה לכל הצופים. בכל הנקודות בתוך הכדור האור נמדד שדה של מטען נח. מחוץ לכדור, עדיין קיים של שדה של מטען נע, שדה רדיאלי אל המקום שבו היה אמור להיות המטען אילו המשיך בתנועתו. חישוב השדה בקליפה של כדור האינפורמציה E בקליפה של כדור האינפורמציה. נציג כעת מודל מקורב לחישוב השדה ניקח מטען q+ הנע במהירות קבועה עד t. ברגע t הוא מתחיל להאט, עד שנעצר אחרי. v aτ. a המהירות מהתחלת התאוטה עד לרגע העצירה נתונה על ידי t τ. תאוטת המטען:. aτ מרחק העצירה: vτ ברגע t τ רדיוס כדור האינפורמציה הינו. R t. E נביט ברכיב השדה היוצא מהראשית אל הקליפה, ונחשב את הרכיב הניצב והמקביל לקליפה. בקליפה שעוביה הוא τ מתרחש השינוי בשדה t E v t θ sin E θ E vt θ sinθ E τ q vt sinθ qvsinθ E θ 3 ( t ) τ t τ E מכאן: השדה הניצב: q a τsinθ q E θ a sinθ t τ R. R, ואילו הרכיב שקיבלנו משתנה לפי R כאשר. t R הרכיב הרדיאלי של השדה משתנה לפי
74 תרגול 5 שאלה נתונה מערכת גלילים מוליכים בעלי אורך L ורדיוסים,, ab כאשר מתקיים כיL. ab,, b. à+ קבוע, ו- yyà σ התווך שבן b ו- מלא בחומר בעל מוליכות סגוליות σ σ כאשר הגליל b טעון במטען q+ והגליל המרכזי a טעון במטען Q-. ברגע t מחברים את הגליל הפנימי והחיצוני באמצעות תייל מוליך. א. חשב את המטען על הגליל הפנימי כתלות בזמן. ב. כמה חום נוצר בחומר המוליך (הנגד) במשך הזרימה של המטען? תשובה b א. המערכת הנתונה מהווה שני קבלים המחוברים במקביל, בנוסף לנגד המחובר לשניהם במקביל. a L. C C הינו הקבל הגלילי בין ab ולכן הקבל ln( b/ a) C b C. C L ln( / b) b ולכן הקבל C הוא הקבל בין R נחשב את הערך של R, שהוא ההתנגדות בין הגליל אל הגליל b: d d b R π Lσ ( ) πσ bl πσ bl a b קבוע הזמן של פריקת המטען על שני הקבלים הוא τ RC כאשר C הוא הקיבול השקול של שני הקבלים. L ln( / ) ln b ln C C + C L a ln( b/ a) ln( / b) + a b ln( b/ a) ln( / b) ולכן: ( b)ln( / a) τ RC 4πσ bln( b/ a)ln( / b) תלות המטען הכולל על שני הקבלים כפונקציה של הזמן היא: t t Qt () Q ep Qep RC RC. Qt () q() t + q() מטען זה הוא סכום המטענים שעל שני הקבלים: t המתח על שני הקבלים זהה: Q() t Q() t C C Q() t Q() t Q() t ( Q() t Q() t ) C C C C. C ln( / b) t Q () t Q() t Q ep C + C ln( / a) RC
75 ב. החום שנוצר (רק בנגד) הוא בעצם כל האנרגיה שהייתה במערכת ברגע שאחרי חיבור החוט, כי הקבלים נפרקים, ולכן: Q Q ln( b/ a)ln( / b) W C L ln( / a) דרך נוספת לפתור את הבעיה: dq() t Q t/ RC Q R RC Q dt C W RI dt R dt R e dt ( RC) ( RC) הערה כללית: נשים לב שכאשר אנו לוקחים שני רכיבים ומחברים אתם, החיבור תמיד יעשה במקביל, מכיוון שבכל מקרה, המתח על שניהם יהיה זהה.
76 t חולף המטען דרך ראשית שאלה מתרגול - 8 סמסטר אביב תשס"ב מטען נקודתי q+ נע במערכת המעבדה במהירות. v và ברגע הצירים. t? בכל רגע à מהו השדה החשמלי במערכת המעבדה בנקודות a ו- ayà בכל רגע? à מהו השדה החשמלי במערכת המנוחה של המטען בנקודות a ו- ayà מהו הכוח שמפעיל המטען q+ על מטען q- שנמצא במנוחה במערכת המעבדה בנקודה q+. חשבו זאת במערכת המעבדה ובמערכת המנוחה של? aà שאלות: א. ב. ג. פתרון: תשובה א' E t (, ) ( β ) γq t à+ yyà 3/ γ ( βt) + y à+ השדה בנקודה כללית yyà הוא: v. β γ β ( ) / כאשר. E t (, ) ( β ) à à ( a βt) γ ( a+ βt) γq a t q γ 3/ ולכן השדה ב- aà הינו E t (, ) [ β à+ à] γq t ay 3/ γ β t + a à בנקודה ay נקבל: תשובה ב' נציג שתי שיטות לפיתרון. שיטה : β. γ( + βt ), t γ t שימוש בטרנספורמציה + q. E (, במערכת המנוחה של החלקיק מתקיים כי: ) t 3 במערכת המעבדה. במערכת S המתאים ל נמצא את a à à a+ y a γ ( + βt ), βt, y γ a à βt γ
77 qà E (, t ) a + βt γ במערכת המעבדה: המתאים ל à à + ay γ ( + βt ) βt, y a βt à + ayà ( β à + à ) q t ay E (, t ) ( βt ) + a 3/ S ומכאן: נמצא את ומכאן: במערכת β. γ( βt), t γ t β a t β a à à a+ y γ ( a βt), t γ t+ t γ שיטה : שימוש בטרנספורמציה : נמצא את. β t βt a ולכן: ) ( + γ γ γ a. à ולכן גם בשיטה זו אנו מקבלים: βt γ γ a β a γ a β βt. F (, t) qe(, t) (, ) (, ). F t qe t תשובה ג' במערכת המעבדה: במערכת המנוחה של החלקיק:
78 הרצאה 5 E E, E א. מקור כוח נח ומקור השדה נע: E ב. מטען הבוחן נע ומקור השדה נח:. F qe ג. מטען בוחן נע ומקורות השדה נעים מקור השדה - זרם חשמלי ישר (קבוע) במעגל סגור. + q v I נתון: המטען q+ קרוב מאוד אל התיל - ולכן - נוכל להתייחס אל התייל כאל תיל אינסופי. נשאל - מהו הכוח שפועל על q+? הנחת קירוב: חישוב הכוח המופעל על q+ מבוצע רק מהקטע הישר של מעגל הזרם. נסתכל על קטע ישר של תיל הזרם בו זרם I. נשאל מהו הכוח הפועל על מטען + v הנע במקביל לתיל במהירות q++ I λ v +q v v. v à esu λ m התיל המוליך מורכב משני סוגים של מטענים: מטענים חיוביים במנוחה - צפיפות מטען אורכית esu (קווית) של λ+. m מטענים שליליים (אלקטרונים) בצפיפות אורכית הנעים במהירות הערה: מעגל חשמלי הוא תמיד נטראלי - סך כל המטענים עליו הוא אפס. עובדה זו נובעת מחוק שימור אנרגיה - בתחילה לא היו לנו מטענים במעגל. כאשר אנו מזיזים מטענים במעגל (זרם) - הם אינם נוצרים יש מאין - ולכן סה"כ המטענים במעגל הוא אפס. נעבור אל S - מערכת המנוחה של מטען הבוחן q+. צפיפויות המטען של המטענים החיובים והשליליים יהיו שונות במערכת זו. נצפה שבמערכת S המוליך לא יהיה נטראלי.? S במערכת λ + λ ו- נשאל: מהם v γ. β גדלים אלו קשורים אל המטענים השליליים. / v נגדיר: β v γ / v כמו כן נגדיר עבור מטען הבוחן.. λ + + γλ במערכת המנוחה של מטען הבוחן, המטענים החיוביים נעים. צפיפות המטען החיובי: λ במערכת המנוחה של המטענים השליליים, צפיפות המטען השלילי היא. γ
79 נעצור רגע נראה למה זו צפיפות המטען השלילי במערכת המנוחה. ראשית נטען כי המטען במערכת המעבדה צפוף יותר מהמטען במערכת המנוחה של המטענים. טענה זו לפי עקרונות היחסות - הגוף יראה קצר יותר בכל מערכת בה הוא נע, לעומת מערכת בה הוא נח. נניח כי צפיפות המטען במערכת המנוחה של האלקטרונים היא כלשהו, אזי צפיפות המטען במערכת λ k v בה המטען נע במהירות היא. γ λ אולם, במקרה שלנו, נתונה לנו הצפיפות במערכת בה המטענים λ k k. γ מכאן, צפיפות המטען השלילי במערכת המנוחה - λk נעים - כלומר לפי הנתון שלנו λ λ הינה. γ v v v vv נמצא כעת את מהירות המטענים ב- S - המערכת בה נמצא מטען הבוחן q+ במנוחה. נשתמש בטרנספורמצית המהירות: זוהי המהירות שבה צופה הנמצא על המטען q+ רואה את האלקטרונים נעים. β β β γ / ββ ( β ) λ λ γ γ וכעת נוכל למצוא את צפיפות המטענים במערכת S : מה שעשינו כעת זו גישה מקובלת לפתרון בעיות: קודם כל עברנו אל מערכת המנוחה של המטענים, וממנה עברנו אל מערכת אחרת. γ... γ / γ ( ββ) β β ββ נפשט ביטויים: λ ( ) ( ) λ γγ ββ γλ ββ γ vv λ λ + + λ γλ γλ + γλ ββ γλ ββ γλ קיבלנו שבמערכת המנוחה של מטען הבוחן, קטע התיל טעון בצפיפות אורכית. אנו יודעים שתיל ארוך הטעון בצורה אחידה יוצר שדה ומפעיל כוח חשמלי. λ הכוח הפועל במערכת S הינו: γλvv F ( + q) ( yà) ( + q) ( yà) כוח זה הוא כוח דוחה. נרצה למצוא הכוחב מערכת המעבדה: נבצע טרנספורמציה של הכוח ממערכת S למערכת S. qλvv. F F, ומכאן במערכת המעבדה פועל הכוח: ידוע: F γ y הערה חשובה: התופעה שאנו מקבלים את הופעתו של כוח המפעיל תיל נושא זרם היא מטען נח היא vv תופעה יחסותית. ניתן לראות זאת גם מהמשוואה, על ידי כך שנשים לב לביטוי.
8 I הראנו על ידי שימוש במערכת נוחה את העובדות הבאות: אם המטען נח: לא פועל עליו כוח. אם המטען נע: פועל על המטען כוח. זהו למעשה כוח חשמלי, אולם נתייחס אליו כאל כוח נוסף - כוח מגנטי - בעיקר מטעמים היסטוריים. esu m esu ומכאן הזרם בתיל הינו λv ], λ v] [ I] נביט ביחידות של הביטוי : λv m se se. à כיוונו הוא, v וכיוונו הפוך ל- I v מקביל) וכוח מושך כאשר (אנטי I v זהו כוח דוחה כאשר. F y qv I כמו כן: (מקביל). השדה המגנטי q F v B. F y כוח לורנץ (חלק מגנטי בלבד): q I כמו כן, לפני רגע קיבלנו כי v B () I נגדיר את השדה המגנטי: השדה המגנטי ) )B הנובע מתיל מוליך ישר אינסופי: יחידות: [ B] esu [] I se esu [ E] Gauss [ ][ ] m m m se ב- CGS : Fy Iv q 4πε I B () 4πε ב- SI : B יוגדר כך: µ I. B () 4π µ, כאשר ε µ נסמן: קבוע. נוכל לתאר את השדה המגנטי גם בצורה הבאה: 4.[ Tesla ] [ Gauss] יחידות: [ B ] Tesla ומתקיים:
8 z I נשנה כעת את הבעיה שהצגנו. נבחר (מסיבות הסטוריות) את הזרם לנוע בכיוון. àz לפי הגדרת הגודל של השדה המגנטי - לבעיה סימטריה גלילית. à+ yyà osϕ à+ sinϕ yà à osϕà+ sinϕyà ( ) השדה המגנטי בנקודה הינו: y I I ϕ B () [ zà à] zà ( osϕà sinϕyà) + I [ sinϕà+ osϕyà] q F vzà המטען +q נע במהירות. v vzà ידוע כי B, ולכן: q qi v qi v F vzà B z ( sinϕ à+ osϕyà) [ osϕà sinϕyà] qi v F ( à ) תכונות השדה המגנטי נקבל את תכונות השדה המגנטי משדה של תיל ישר. התכונות נכונות באופן כללי, אולם לא נוכיח זאת. da B משטח גלילי. שטף השדה המגנטי דרך משטח סגור I נבחר משטח גלילי שהתיל הוא ציר הסימטריה שלו. B מתקיים: da, וזאת מכיוון שבכל נקודה על המעטפת הגלילית המשטחים מצמצמים זה את זה. וכן B da S סגור מכאן, לכל משטח סגור : S. S סגור E da 4π τ ρdτ סטטי: E להשוואה, נוסחה מקבילה עבור הערה: טבעת זרם היא הגודל הבסיסי של שדה מגנטי. אנו מדברים על דיפול. לא קיימים "מטענים מגנטיים".. חוק אמפר I 4π I B dl π I מעגל
8 תרגול 6 שאלה נתונים שני לוחות אינסופיים טעונים מקבילים למישור y שהמרחק ביניהם במערכת המעבדה הוא d. הלוח העליון נע במהירות v.6 יחסית למעבדה, והוא טעון בצפיפות משטחית σ במערכת à à.8 המנוחה שלו. הלוח התחתון נע במהירות המנוחה שלו. v יחסית למעבדה, והוא טעון בצפיפות משטחית σ במערכת א. ב. ג. ד. חשבו את צפיפות המטען במערכת המעבדה של שני הלוחות. חשבו את השדה החשמלי של שני הלוחות במערכת המעבדה. חשבו את צפיפות המטען של הלוח התחתון במערכת הלוח העליון. חשבו את השדה החשמלי של שני הלוחות במערכת הלוח העליון. תשובה א' γ.5 σ γ σ σ.5σ u ( v / ) γ σ γ σ σ.66σ d ( v 3 / ) d u עבור הלוח העליון: עבור הלוח התחתון: האורך בכיוון ציר מתקצר בשיעור γ, ולכן צפיפות המטען גדלה בשיעור זה. תשובה ב' à.5 z z d E πσγ πσ u γ E + > u πσγ.5πσ zà z < d + πσγ 3 πσ zà z < 3 E d γ Ed πσγ 3 πσ zà z > 3 5 πσ ( γ γ ) zà σπ zà z > d 6 5 E πσ ( γ + γ ) zà 5 σπ zà < z< d 6 5 πσ ( γ γ ) zà σπ zà z < 6 השדה של הלוח העליון: השדה של הלוח התחתון: ומכאן, השדה של שני הלוחות יחד הינו: נשים לב שבניגוד ללוחות הנמצאים במנוחה במערכת המעבדה, במקרה זה השדה מחוץ לקבל שונה מאפס.
83 תשובה ג' תוך שימוש בטרנספורמצית לורנץ של מהירויות, נוכל לומר כי במערכת המנוחה של הלוח העליון, הלוח ( v ) + V v, כאשר V היא מהירות מערכת המעבדה ביחס ללוח, v התחתון נע במהירות vv +. V v העליון - מכאן: v+ v (.6 +.8) v.94 vv +.48 + v ומכאן צפיפות המטען של הלוח התחתון, כי שנראית במערכת של הלוח העליון: γ 9.5 σ γ σ 9.5σ תשובה ד' השדה החשמלי של שני הלוחות במערכת המנוחה של הלוח העליון הוא הסכום של כל אחד מהשדות, של הלוח העליון של הלוח התחתון, במערכת המנוחה של הלוח העליון. πσ zà השדה של הלוח העליון במערכת המנוחה שלו: z > d E πσ zà z < d πσγ à 9 à z πσ z z< E πσγ zà 9πσ zà z > πσ ( γ ) à z 7πσ z > d E πσ ( + γ ) zà πσ < z< d πσ ( γ ) zà 7πσ z < השדה של הלוח התחתון במערכת המנוחה של הלוח העליון: ולכן: שאלה מטען נקודתי נע במהירות קבועה V מ בכיוון חיובי על ציר. בזמן t המטען עוצר 3 בבת אחת בראשית הצירים y., במישור, בנקודה נמצא צופה המודד את השדה (, L) ( ) L L L, t ε, t כאשר ε קטן מאוד יחסית ל-. החשמלי במקום הימצאו בשני זמנים: + ε מהי הזווית בין הכיוונים של השדות החשמליים שנמדדו? רשמו את השדה החשמלי בשני זמנים אלו.
84 תשובה L הזמן שלוקח לכדור האור להגיע מ-(, ( עד לנקודה (L, ( היא T. L t כדור האור עדיין לא הגיע לצופה ולכן הוא רואה שדה של מטען הנמצא בנקודה בזמן ε L L. tv ε 3 3 L. θ 3 tanθ 3 לכן, הזווית עם ציר ày של השדה היא L 3 L. t נסמן ב- S את מערכת החלקיק, וב- S את מערכת המעבדה. נמצא את השדה ברגע ε. γ ( + vt), y במערכת החלקיק: y Q השדה במערכת החלקיק: E 3/ + y Qy E y 3/ + y L y.(, נציב t, ומכאן: הנקודה בה נמצא הצופה היא (L L L Qγ Qγ 3 השדה במערכת החלקיק: E 3 3/ 3/ L L γ L L 3 + γ + 3 QL QL E y 3/ 3/ L L γ + L γ + L 3 3 E E Qγ L 3 3/ L γ + L 3 Qγ L y 3/ L γ + L 3. E E E γ E y y השדה במערכת המעבדה S הינו: E tanθ E ולכן: השדה במערכת המעבדה: y 3 אכן מתקיים כי:. E Q L y à t L השדה בזמן + ε הוא שדה של חלקיק במנוחה:
85 השלמה - הכוח המגנטי הפועל בין שני תיילים נושאי זרם n נחשב בעזרת הגדרת השדה המגנטי, את הכוח המגנטי הפועל בין שני תיילים מקבילים נושאי זרם.,I את הזרמים הזורמים בהם. וב- I נסמן ב- את המרחק בין התילים, אנו מניחים שלתילים יש אורך אינסופי. אנו רוצים לחשב את הכול הפועל על קטע של אחד התילים, ש שי I. B לו אורך סופי l. הזרם בתיל יוצר שדה מגנטי, שעוצמתו במקום הימצאו של תיל היא בתוך תיל, בכל ס"מ אורך שלו, יש מטענים נעים, לכל אחד מהם מטען q ומהירות. מטענים v. I nqv לפי חוק לורנץ, הכוח הפועל על כל אחד מהמטענים הוא. I נעים אלה מהווים את הזרם. I B / או, qvnb/ ומכאך הכוח הפועל על כל קטע באורך ס"מ בתיל הוא, qvb/ IIl כעת אנו יכולים לנסח את הכוח הפועל על קטע באורך l של תיל : F. הכוח על קטע l על תיל, הנוצר עקב השדה המגנטי של תיל ניתן בצורה זהה. I אם הזרם בשני התיילים הוא באותו כיוון, הכוח ביניהם הוא כוח משיכה. I I אם הזרם בשני התיילים הוא בכיוונים מנוגדים, הכוח ביניהם הוא כוח דחייה. I
86 הרצאה 6 כוח המופעל על מטען q ממקורות נעים I z () B q y מקרה פרטי - תיל נושא זרם מקור הכוח מהווה מערכת נטראלית. ניקח תיל ישר אינסופי, הזורם בו זרם I. התיל הינו חלק ממעגל זרם, אולם המעגל נסדר רחוק, ולכן אנו יכולים להתעלם מהמעגל, ולהתייחס רק לתיל. מתקיים: q F( ) v B( ) I B ( ) [ zà à ] z I במקרים רבים נתעניין בכוח הפועל בין שני תיילים נושאי זרם, ולא בתיל בודד. dl I? I נשאל: מהו הכוח ש- I מפעיל על I על מנת למצוא כוח זה, נכתוב את הכוח אותו מפעיל אלמנט קטן (שנניח שהוא ישר) על על. I : dl נגדיל את הקטע I J a ( ) ( ) dτ a dl J n q v J a f q ( v B ( )) q I הכוח שמפעיל הזרם על מטען אחד: n נושאי מטען. dτ dτ ישנם בקטע df f n dτ q n ( a dl )( v B ( )) q n v a ( dl B ( )) I I I I I ( dl B( ) ) dl ( zà à) dl ( zà à) הכוח פרופורציוני למכפלת הזרמים חלקי המרחק ביניהם.
87 S סגור J ( ) תכונות השדה המגנטי הנובע מזרמים קבועים נקבל את תכונות השדה המגנטי משדה של תיל ישר. נניח כי. שטף השדה המגנטי דרך משטח סגור לכל משטח סגור : S איננו תלוי בזמן t. B da I 4π B dl π I. חוק אמפר מעגל מהי הסירקולציה על מסלול שאינו מקיף את התיל נושא הזרם? ניקח מסלול לדוגמא ונבדוק זאת. במקרה זה: z B dl B dl + B dl + B dl B dl I AC DF CD FA I I ( ϕ) ( ϕ) שני האינטגרלים הראשונים הם אפס כי השדה המגנטי ניצב לכיוון האינטגרל. ϕ הינו אורך החוט, וכן ϕ D F ϕ A C קיבלנו שהסירקולציה על מסלול שאינו מקיף את התיל נושא הזרם היא אפס. הרחבת חוק אמפר נתונים מספר מעגלי זרם במרחב. נבחר מסלול סגור כלשהו. מעקרון הסופרפוזיציה של שדות נקבל כי N 4π. B dl Ij הסכום הינו סכום אלגברי (עם סימן) של הזרמים. C j חוק אמפר להתפלגות נפחית של זרמים התפלגות נפחית של זרמים: ) - J ( יכולה להיות שונה בכל נקודה. S הוא משטח פתוח בתוך המוליך. I J הזרם I החוצה את המשטח da :S. S C 4π B dl J da S. C B dl ulb da S S. מסלול סגור המהווה את השפה של - C נשים לב שניתן במקרה זה להשתמש במשפט סטוקס:
88. S 4π ulb da J da S מכאן נגיע למסקנה כי האינטגרל נכון לכל משטח שהוא, ומכאן גם האינטגרנדים שווים. 4π ulb J נקבל את חוק אמפר בצורה דיפרנציאלית: B da S סגור : B נמצא כעת גם את חוק השטף בצורה דיפרנציאלית. כזכור, השטף של. S B da τ נשתמש במשפט גאוס: divbdτ מכאן נקבל את חוק השטף בצורה דיפרנציאלית: divb הקבלה מתמטית בין תכונות השדה החשמלי לבין תכונות השדה המגנטי C B( ) 4π B dl J da S שדה אלקטרוסטטי ) E( ρdτ חוק גאוס - שדה מגנטי B da S S E da 4π τ E dl C חוק שימור אנרגיה - חוק אמפר - נשים לב שהכוח המגנטי הוא. F qv B חוק שימור האנרגיה מתקיים באופן טריויאלי עבור הכוח המגנטי: q dw F dl V B V dt B לבין המקורות שלו. הערה חשובה היא שחוק אמפר איננו חוק שימור האנרגיה. חוק אמפר מקשר בין חוקי הייסוד לשדה חשמלי ושדה מגנטי בצורה דיפרנציאלית B( ) 4π B J שדה אלקטרוסטטי ) E( E 4πρ חוק גאוס - חוק שימור אנרגיה - E שדה מגנטי B
89 הפוטנציאל המגנטי תזכורת מתקיים: E E ϕ (*), כאשר ϕ היא פונקצית עבור שדה חשמלי ) )E פוטנציאל סקלרית. מתקיים כי ϕ ) ϕ 4πϕ (, וכך קיבלנו את משוואת פואסון:. ϕ 4πϕ ρ( ) dτ באופן כללי לגמרי, בהנחה שהתפלגות המטענים היא בעלת גודל סופי:. )ϕ ) τ כעת נשתמש בשתי משוואות הייסוד של השדה המגנטי כדי לקבל ביטוי מקביל לזה שקיבלנו עבור השדה החשמלי. הפוטנציאל המגנטי (הנקרא גם פוטנציאל ווקטורי) יסומן ב-( ( A. B A בהקבלה ל-(*), נבחר כי ) (. נבדוק כי הבחירה מקיימת את המשוואות היסודיות: 4π B ( A) B A J a b. ( a ) b ( a b) תזכורת: במקרה שלנו: 4π A ( A) ( ) A ( A) A J נזכור כי פונקצית הפוטנציאל הסקלרית מוגדרת עד כדי קבוע. במקרה של פוטנציאל ווקטורי, נוכל להיות אפס, ואז נקבל: A לבחור שרירותית את 4π A J זוהי משוואת פואסון לפונקציה ווקטורית עבור הפוטנציאל הווקטורי ) ( A.
9 A ( ) הרצאה 7 משוואת פואסון לפונקציה ווקטורית 4π. A בהרצאה הקודמת קיבלנו את משוואות פואסון: J A מקיים את משוואת פואסון, ולכן ניתן לרשום: כל אחד מרכיבי A () A () A () 4π A ( ) J( ) y z. A ( ), A ( ) + + y z ובאופן דומה לרשום משוואות גם עבור באלקטרוסטטיקה קיבלנו מ- E 4πρ ומ- E את משוואת פואסון. ϕ 4πϕ באופן אנלוגי קיבלנו עבור שדה מגנטי את משוואת פואסון לפונקציה ווקטורית. ρ( ) dτ. ϕ( ) סופית הוא ρ( ראינו כי הפתרון הפורמלי עבור הפוטנציאל כאשר ) τ J ( ) dτ A( ) τ : A ( ) באופן אנלוגי לצפיפות הזרם ) J ( נציג את הפתרון הפורמלי עבור J למה איננו צריכים לדרוש כי תהיה סופית? מכיוון שהיא חייבת להיות סופית, הרי המעגל נסגר. מקרה פרטי - לולאת זרם dl J a נגדיל את הקטע dτ : z Jdτ J a dl J a dl dl מתקיים: ) I ( ) ( I dτ y J ( ) dτ I dl A( ) A( ) τ ומכאן: לולאה האינטגרל הוא גודל גיאומטרי - תלוי בצורת המעגל.
9 ρ( ) dτ E ϕ ρ( ) dτ ρ ρ מכיוון ש: ( ) + ( y y ) + ( z z ) ( ) 3/ 3 ( ) + ( y y ) + ( z z ) ( y y ) 3/ 3 y ( ) + ( y y ) + ( z z ) ( z z ) 3/ 3 z. E ( ) τ ρ( )( ) dτ 3 3 תזכורת מתקיים: וכמו כן: ובצורה זו אנו מקבלים כי: נבצע כעת חישוב דומה עבור השדה המגנטי: J ( ) dτ J ( ) ( ) J ( ) B A dτ dτ 3 τ τ τ J( ) ( ) B dτ 3 τ חוק ביו-סבר במקרה הפרטי של לולאת זרם, נקבל את חוק ביו-סבר: I dl I dl ( ) B 3
9 B דוגמא שימוש בחוק ביו-סבר לחישוב של טבעת זרם, על ציר הסימטריה הניצב למישורה.. db התרומה של dl היא על ציר הסימטריה בלבד מתקיים כי הרכיבים בכיוון הרידאלי יתאפסו. db z (הרכיב בכיוון z) הינו: הרכיב I dl I R I R dbz db osθ osθ dl dl 3 C C C dl R I z db θ dl זוהי התרומה של האלמנט לרכיב בכיוון z של השדה. על מנת לקבל את השדה כולו, נבצע אינטגרל: I B( z z) π R ( R + z ) 3/, S π R zà π I )B. שטח הלולאה הינו z במרכז הטבעת יתקיים: ) z R I S B( z) ולכן על ציר הסימטריה z נקבל כי: R + z ( ) 3/ הערה חשובה I dl à db ראינו כאן ניסוח יותר פשוט ושימושי לחוק ביו-סבר, והוא: חוק ביו-סבר:. ווקטור יחידה בכיוון à כיוון אלמנט הנפח (כיוון אלמנט תיל), - dl כאשר:. à ו- dl db מאונך למישור שיוצרים כמו כן -. db da וביצוע רוטור עליו, על מנת לקבל את הוכחת ביו-סבר: מציאת תרומת db k ε dl i, j, k i j חוק ביו-סבר בצורה אנליטית: הגדרה z +q d q. N m B, B I m S P. Ez () 3 מומנט דיפול מגנטי של טבעת זרם המונחת במישור :y m B( z) עבור טבעת זרם נקבל: 3, P qa qazà m אנלוגיה למומנט דיפול חשמלי: עבור לולאת בעלת מומנט מגנטי הנמצאת תחת השפעת שדה מגנטי נגדיר את מומנט הכוח הפועל על דיפול מגנטי בשדה חיצוני בצורה הבאה:
93 שדה מגנטי הנוצר על ידי סליל ישר נושא זרם - I סולונואיד z נוכל להתייחס לסליל כאל טבעות הנמצאות אחת על השניה. על מנת למצוא את השדה נחבר את תרומות כל הטבעות. כל ליפוף של הסליל יהיה טבעת נושאת זרם שרדיוסה R. צפיפות הטבעות - כריכות (ליפופים) ליחידת אורך. : n. באורך z יהיו כריכות m n z כריכות. נביט בחתך על קטע באורך z, ונרצה לחשב את השדה בנקודה כלשהי הנמצאת על ציר הסימטריה - הנקודה z. נתייחס אל החתך כאל טבעת נושאת זרם, ונסכם את הטבעות מהם מורכב הסליל. את טבעת הזרם נאפיין על ידי שני רדיוסים המאופיינים על ידי שתי זוויות: θ ו-. θ + dθ גובה האלמנט z הינו z dθ /sinθ. I I n z, ולכן בטבעת עובר הזרם: זרם בטבעת שעוביה z :. I ndθ /sinθ ניתן לראות כי, b/sinθ ולכן אנו יכולים לרשום את התרומה של טבעת זו לשדה של הציר כך: πb Indθ πin dbz sinθ dθ 3 sinθ θ על מנת לקבל את השדה המגנטי: θ ו נבצע אינטגרציה בין הגבולות B z z b z θ θ θ θ dθ πin πin sinθ dθ osθ osθ θ ( ) B z θ וכן, θ π ונקבל את השדה של סליל בעל אורך אינסופי: 4π In עבור סליל אינסופי יתקיים כי השדה אחיד בכל נקודה ונקודה בכל איזור בסליל, ללא תלות במקום החתך. ניתן להקביל בין הסליל לבין קבל לוחות היוצר שדה חשמלי אחיד. 4π. B dl ( n z) I מחוץ לסליל האינסופי, מתקיים כי B, וזאת עקב חוק אמפר - שימוש בחוק אמפר לחישוב השדה המגנטי של סליל בצורת טורוס C בטורוס זורם זרם I סופי. מטעמי סימטריה, יכול להיות שדה מגנטי רק בתוך הסליל, ולא b a מחוצה לו. כאשר, a< < b מתקיים כי B. 4π B dl NI ומכאן: 4π NI NI π B ( ( )) B () à θ כאשר N הוא מספר הכריכות הכולל.
94 תרגול 8 נוסחאות I S m I m S מומנט דיפול מגנטי של טבעת זרם: I dl à db חוק ביו-סבר: שדה מגנטי של טבעת זרם מישורית בכיוון ניצב למישור הטבעת: π I B. N m מומנט הכוח הפועל על דיפול מגנטי בשדה חיצוני: B...3.4 תרגיל נתונה לולאה ריבועית, בעלת צלע α במישור. y בלולאה זורם זרם I. B כמו כן, ישנו שדה מגנטי חיצוני B. à א. ב. מהו המומנט הפועל על הלולאה ביחס לציר y? מהו מומנט הדיפול החשמלי על הלולאה? תשובה א'. J נזכר בהגדרת המומנט. המומנט הוא נגזרת לפי זמן של התנע הזוויתי. התנע הזוויתי מוגדר p d d. N F ומכאן מגיעים לתוצאה כי המומנט הוא J p p + p לפיכך: dt dt F נשאל: מהו הכוח החשמלי שמפעיל השדה המגנטי על הצלעות השונות של הלולאה הריבועית? q v. F לפיכך, על צלעות שכיוונן מקביל כיוון הכוח המגנטי לא פועל כוח. על שתי כוח לורנץ: B הצלעות שכיוונן ניצב לשדה המגנטי פועל כוח. על אחת מהן יפעל כוח בכיוון àz ועל השניה יפעל כוח בכיוון àz, וזאת לפי כלל יד ימין. נתון לנו הזרם (I) - איך נמצא מכאן את המטענים (q) שבתנועה? Q נסמן ב- Q מטען על צלע אחת. מתקיים:, I v ומכאן: a a Q a F F a IB( zà. ועל הצלע השניה: ) v B I B IB( zà על צלע אחת: ) a à a ( à) a N F IB z ( à) a + IB ( zà) a IB à ומכאן: y I I à m S a z N בקלות: תשובה ב' לפי נוסחה 4, נוכל לחשב את
95 I I N m B a B à z ( B à ) a B à y תרגיל ω a דיסקה מבודדת בעלת רדיוס a הנמצאת על מישור y. σ() וטעונה בצפיפות מטען רדיאלית σ ω a חשב את השדה המגנטי במרכז הדיסקה. מסתובבת במהירות זוויתית תשובה d שלבי הפיתרון: dq() - המטען בטבעת בודדת. נמצא את di() - הזרם בטבעת בודדת. נמצא את db() - השדה שיוצרת הטבעת במרכז הדיסקה. נמצא את db() - B השדה שיוצרות כל הטבעות (הדיסקה) במרכז. dq() π d σ a dq() di() T di () dq() T d dq() w σ w π a. T π w כאשר T זהו זמן המחזור, והוא π di π wσ d d zà a B() ( ) a πwσ a πwσa B db( ) ( zà) ( zà) a נשתמש בנוסחה לשדה של טבעת זרם:
96. J () J zà לאורך ציר הגליל a שאלות שאלה נתון גליל מוליך אינסופי מלא בעל רדיוס a, הנושא זרם בצפיפות (ציר z) עובר תיל מוליך דק שדרכו חוזר כל הזרם I בכיוון ההפוך ל-. J < < a א. ב.. J חשבו את I באמצעות חשבו את השדה המגנטי עבור בעזרת חוק אמפר. תשובה א' IJ A di J( ) da J da a J I π Ja π a 3 a dθ J d π a a 3 3 A IJ A ידוע כי כאשר שטח חתך, ולכן: תשובה ב' I B( ) z [ à à] 4π. B כמו כן, הגדרת השדה המגנטי הינה: dl I חוק אמפר: מעגל מעגל הערה לגבי חוק אמפר: חוק זה מקביל לחוק גאוס - במובן הבא: נניח למשל שהיה לנו גליל חלול שבקליפה שלו זורם זרם. השדה המגנטי בתוך הגליל היה אפס - כי לפי חוק אמפר, על מעגל בתוך הגליל 4π, B ומכאן גם השדה המגנטי שווה אפס. ניתן גם להכליל את הערה dl מתקיים ולקשרה לענייננו - השדה ברדיוס אינו מושפע מהזרמים הנמצאים ברדיוס גדול מ-. השדה המגנטי בכל נקודה בין < < a הוא השדה המגנטי של גליל ברדיוס ועוד השדה המגנטי של התיל (שסימנו הפוך, מכיוון שבתיל זורם הזרם בכיוון הפוך). J I() π 3 dθ J d π a a 3 B( ) B + B תיל גליל Ja π I ] [ תיל 3 à 4π J a B zà à θ à θ 3 3 J π I 4 גלילB [ à à] a 3 à π J z θ à θ 3 a 4π J a B( ) à θ 3 a
97 y שאלה θ I l חשבו את השדה המגנטי של תיל באורך a במרחק l מאמצע התיל. הנושא זרם I, בנקודה הנמצאת a y l תשובה נפתור את הבעיה על ידי חישוב הפוטנציאל הווקטורי, וממנו חישוב השדה. B A המגנטי d I a I dl I d I A y C + + C C à à ln ( ) + y ( ( ) ( )) I A à ln + + y ln + + y C B z y y y y I + + + + y + + y I II L y y I L+ L L L y L y y II L+ L + y y y L+ L + y L. B z y A B ומכאן A ידוע כי. L, L, נניח כי: y L נקבל: I Bz ( y) y והתוצאה הסופית: θ I y θ I. B( y) sin sin y ( θ θ ) à השדה במרחק y מתיל סופי: z I π π B ( y ) z à נקבל α, α אם נציב: y
98 שאלה 3 חשבו את השדה המגנטי של תיל חצי אינסופי הנושא זרם I, על ציר y הניצב לתייל בקצהו. I. B ().θ נקבל: π θ ואילו תשובה זהו למעשה מקרה פרטי של הסעיף הקודם. מספר פיתוחים שימושיים: B של תיל אינסופי: I B של תיל חצי אינסופי: I π I B של טבעת: π I B של חצי טבעת: π I B של רבע טבעת: I O R I שאלה 4 תייל אינסופי מכופף כמתואר בציור, נושא זרם I. חשב את השדה המגנטי בנקודה O. תשובה נשים לב שהבעיה מורכבת למעשה משני תיילים חצי אינסופיים ומרבע טבעת. נבצע סופרפוזיציה של השדות שלהם, ונקבל כי השדה הכולל בנקודה O הינו: I π I π B + + + R R וכיוונו - אל תוך הדף. כיצד מחליטים על הכיוון? לפי כלל יד ימין. נזכור כי השדה המגנטי הוא מעגלי. אם הנקודה O הייתה מעל התיל האנכי, השדה שהוא היה תורם, כפי שניתן לראות היה כלפי חוץ. מכיוון שאנו מתחת התיל, הזרם כלפי פנים. כאשר באים לחשב את הכיוון, חשוב לשים לב לכיוונו של השדה המגנטי. B I O R I מה הכוונה בכך שהשדה המגנטי הוא שדה מעגלי? הרי ניתן להגיד - ידוע כי שדה חשמלי של תיל אינסופי I λ הינו () E. כמו כן, ידוע כי שדה מגנטי של תיל אינסופי הינו. אולם - שדות אלו מתנהגים בצורה שונה לחלוטין. ניקח מלבן מעל התיל כמו בציור. השטף של השדה החשמלי יהיה שונה מ-, ואילו זה של השדה המגנטי יהיה שווה אפס.
99 הרצאה 8 שדה מגנטי של טורוס המשך נביט בטורוס, במקרה הגבולי בו, וכן כאשר N. ( ab, ) N מתקיים. n במקרה זה, אנו למעשה הופכים את הטורוס לסליל ישר אינסופי. π 4π ni NI 4π I N ראינו כי () B, ולכן בגבול מתקיים כי () B. זהו השדה שנוצר C π בתוך סליל ישר אינסופי. מסקנה B אחיד על שטח החתך של סליל ישר אינסופי (לאורך ציר הסימטריה). אי הרציפות של השדה המגנטי במעבר דרך שכבה דקה נושאת זרם y דוגמא נתון מוליך ישר ארוך מאוד נושא זרם I. z I α y y נחלק את המוליך למספר רב של חתכים מלבניים רצועות. z db z dz dz b ברצועה שעובייה dz זורם זרם. di I. di מתקיים: dz a a di I dz db() a y ( + ) / נשים לב שהרכיבים משני צידי ציר הסימטריה y מצמצמים זה את זה, ולכן נישאר עם שדה רק בכיוון z.