Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς
Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση, εξώφυλλο: Γεωργία Λαμπροπούλου Υπεύθυνος έκδοσης: Αποστόλης Αντωνόπουλος e-mail συγγραφέα: vgrimanelli@gmail.com Copyright 2012 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ, Παναγιώτης Γριμανέλλης για την ελληνική γλώσσα σε όλο τον κόσμο ISBN: 978-960-6881-34-3 SET: 978-960-6881-31-2 Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο, μέσο και μέθοδο αναδημοσίευση, αναπαραγωγή, μετάφραση, διασκευή, θέση σε κυκλοφορία, παρουσίαση, διανομή και η εν γένει πάσης φύσεως χρήση και εκμετάλλευση του παρόντος έργου στο σύνολό του ή τμηματικά, καθώς και της ολικής αισθητικής εμφάνισης του βιβλίου (στοιχειοθεσίας, σελιδοποίησης κ.λπ.) και του εξωφύλλου του, σύμφωνα με τις διατάξεις της υπάρχουσας νομοθεσίας περί προστασίας πνευματικής ιδιοκτησίας και των συγγενικών δικαιωμάτων περιλαμβανομένων και των σχετικών διεθνών συμβάσεων. Σωτήρος και Αλκιβιάδου 132, Τ.Κ. 185 35 Πειραιάς Τηλ.: 210 4112507 Fαx: 210 4116752 www.poukamisas.gr publications@poukamisas.gr
ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΓΡΙΜΑΝΕΛΛΗΣ Συνεργασία: Βασιλική Γριμανέλλη Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς
στη Βασιλική και στον Λουκά
Πρό λ ο γ ο ς Η σύνταξη του παρόντος βιβλίου υπαγορεύτηκε από την έκδοση του νέου σχολικού εγχειριδίου για το μάθημα της Άλγεβρας Α Λυκείου. Ανταποκρίνεται πλήρως στη δομή και τη διδακτέα ύλη του σχολικού βιβλίου και αποτελεί ένα λειτουργικό διδακτικό βοήθημα τόσο για το μαθητή όσο και για το διδάσκοντα. Η δομή κάθε ενότητας ακολουθεί την εξής μορφή: Αρχικά, γίνεται σύντομη αναφορά στο στόχο της ενότητας και, στη συνέχεια, παρουσιάζεται η αντίστοιχη θεωρία στη μεγαλύτερη δυνατή πληρότητά της και με αρκετές επισημάνσεις-σχόλια, όπου κρίνεται απαραίτητο. Ακολουθούν ασκήσεις κατανόησης βασικών εννοιών της θεωρίας (σωστού-λάθους, πολλαπλής επιλογής, συμπλήρωσης κενού, αντιστοίχισης). Στη συνέχεια υπάρχουν λυμένες ασκήσεις για εμπέδωση και εξοικείωση με την ύλη της ενότητας. Για την ουσιαστική και σε βάθος κατανόηση παρατίθενται ασκήσεις αυξημένου βαθμού δυσκολίας (σύνθετες), ενώ όπου θεωρούμε αναγκαίο δίνονται μεθοδολογικά σχόλια και υπενθυμίζονται έννοιες από τη θεωρία. Η ενότητα κλείνει με τις προτεινόμενες προς επίλυση ασκήσεις κλιμακούμενης δυσκολίας, ενώ προτείνονται κριτήρια αξιολόγησης όπου θεωρείται ότι έχει ολοκληρωθεί ένας γνωστικός κύκλος. Μετά την ολοκλήρωση των ενοτήτων, ο αναγνώστης μπορεί να βρει γενικές ασκήσεις για επανάληψη. Στο τέλος του βιβλίου υπάρχουν απαντήσεις-υποδείξεις των προτεινόμενων προς επίλυση ασκήσεων καθώς και των κριτηρίων αξιολόγησης. Θα ήθελα να ευχαριστήσω τη Γεωργία Λαμπροπούλου και τον Αποστόλη Αντωνόπουλο από τις Εκδόσεις Πουκαμισάς για την ολοκλήρωση του παρόντος βιβλίου. Κλείνοντας, ευχαριστώ θερμά τη Βασιλική Γριμανέλλη για τη συμμετοχή της και την πολύτιμη βοήθειά της στη συγγραφή του έργου. Παναγιώτης Γριμανέλλης
Πε ρ ι ε χ ό μ ε ν α ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το λεξιλόγιο της λογικής... 11 2. Σύνολα... 15 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 27 4. Η έννοια της πιθανότητας... 45 5. Αξιωματικός ορισμός της πιθανότητας... 69 1ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ... 73 ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 6. Οι πράξεις στο και οι ιδιότητές τους... 75 7. Δυνάμεις... 87 2ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ... 96 8. Αξιοσημείωτες ταυτότητες Μέθοδοι απόδειξης... 97 3ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ... 118 9. Διάταξη πραγματικών αριθμών... 119 4ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ... 140 10. Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού... 141 5ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ... 168 11. Ρίζες πραγματικών αριθμών... 169 6ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ... 196 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 12. Η εξίσωση αx + β = 0... 197 7ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ... 212 13. Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 1ου βαθμού (πολυωνυμικές κλασματικές)... 213 14. Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 1ου βαθμού (με απόλυτες τιμές)... 219 15. Η εξίσωση x ν = α... 227 8ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ... 232 16. Επίλυση της εξίσωσης αx 2 + βx + γ = 0, α 0... 233 9ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ... 250 17. Άθροισμα και γινόμενο των ριζών της εξίσωσης αx 2 + βx + γ = 0, α 0... 251 18. Εξισώσεις που ανάγονται σε λύση εξίσωσης 2ου βαθμού... 265 10ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ... 273 Ε. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ... 275 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ... 287
1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: 99 να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας 99 να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» Η ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗ Γνωρίζουμε ότι: «Αν οι αριθμοί α και β είναι ίσοι, τότε και τα τετράγωνά τους θα είναι ίσα». Δηλαδή: Αν ο ισχυρισμός «α = β» είναι αληθής, τότε και ο ισχυρισμός «α 2 = β 2» θα είναι αληθής. Γι αυτό λέμε ότι ο ισχυρισμός «α = β» συνεπάγεται τον ισχυρισμό «α 2 = β 2» και γράφουμε: α = β α 2 = β 2 Γενικά: Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q, τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q και γράφουμε P Q. Ο ισχυρισμός «Ρ Q» λέγεται συνεπαγωγή και διαβάζεται «αν Ρ, τότε Q». Ο Ρ λέγεται υπόθεση της συνεπαγωγής, ενώ ο Q λέγεται συμπέρασμα αυτής. Η ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ή ΔΙΠΛΗ ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗ Για την προηγούμενη συνεπαγωγή: α = β α 2 = β 2 δεν ισχύει το αντίστροφο, δηλαδή δεν ισχύει η συνεπαγωγή «α 2 = β 2 α = β» για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α και β, αφού για παράδειγμα είναι ( 2 ) 2 = 2 2, ενώ 2 2. Όμως υπάρχουν συνεπαγωγές για τις οποίες ισχύει και το αντίστροφο. Για παράδειγμα: Από το Γυμνάσιο γνωρίζουμε ότι για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει η συνεπαγωγή: α = β α + γ = β + γ Επίσης γνωρίζουμε ότι ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει και η συνεπαγωγή: α + γ = β + γ α = β ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 11
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Γι αυτό λέμε ότι οι δύο ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι και γράφουμε: Γενικά: α = β α + γ = β + γ Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q και όταν αληθεύει ο Q να αληθεύει και ο Ρ, τότε λέμε ότι ο Ρ συνεπάγεται τον Q και αντιστρόφως, ή αλλιώς, ότι ο Ρ είναι ισοδύναμος με τον Q και γράφουμε P Q. Ο ισχυρισμός «P Q» λέγεται ισοδυναμία και διαβάζεται «Ρ αν και μόνο αν Q». Ο ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ «ή» Γνωρίζουμε ότι: «Το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών α και β είναι ίσο με το μηδέν, αν και μόνο αν ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς α και β είναι ίσος με το μηδέν». Για να δηλώσουμε ότι ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς α και β είναι ίσος με το μηδέν, γράφουμε: α = 0 ή β = 0 Έτσι έχουμε την ισοδυναμία: Γενικά: α β = 0 α = 0 ή β = 0 Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός P ή Q αληθεύει στην περίπτωση που ένας τουλάχιστον από τους δύο ισχυρισμούς αληθεύει. Ο ισχυρισμός «Ρ ή Q» λέγεται διάζευξη των P και Q. Επισήμανση Ομοίως ορίζεται η διάζευξη «Ρ 1 ή Ρ 2 ή ή Ρ κ» και είναι αληθής στην περίπτωση που ένας τουλάχιστον από τους ισχυρισμούς Ρ 1, Ρ 2,, Ρ κ είναι αληθής. Προφανώς η διάζευξη «Ρ 1 ή Ρ 2 ή ή Ρ κ» είναι ψευδής μόνο όταν όλοι οι ισχυρισμοί Ρ 1, Ρ 2,, Ρ κ είναι ψευδείς. Ο ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ «και» Γνωρίζουμε ότι: «Το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών α και β είναι διάφορο του μηδενός, αν και μόνο αν και οι δύο αριθμοί είναι διάφοροι του μηδενός». Για να δηλώσουμε ότι και οι δύο αριθμοί α και β είναι διάφοροι του μηδενός γράφουμε: Έτσι έχουμε την ισοδυναμία: α 0 και β 0 αβ 0 α 0 και β 0 12 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ
Γενικά: 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός P και Q αληθεύει μόνο στην περίπτωση που και οι δύο ισχυρισμοί αληθεύουν. Ο ισχυρισμός «Ρ και Q» λέγεται σύζευξη των Ρ και Q. Για παράδειγμα ο ισχυρισμός: (x 1)(x 2) = 0 και (x + 1)(x 2) = 0 αληθεύει για εκείνα τα x για τα οποία αληθεύουν και οι δύο εξισώσεις, δηλαδή για x = 2. Επισήμανση Ομοίως ορίζεται η σύζευξη «Ρ 1 και Ρ 2 και και Ρ κ» και είναι αληθής μόνο στην περίπτωση που όλοι οι ισχυρισμοί Ρ 1, Ρ 2,, Ρ κ είναι αληθείς. Αν ένας τουλάχιστον από τους ισχυρισμούς Ρ 1, Ρ 2,, Ρ κ είναι ψευδής, τότε και η σύζευξη «Ρ 1 και Ρ 2 και και Ρ κ» είναι ψευδής. Η ΑΡΝΗΣΗ Με την πρόταση «ο αριθμός α είναι άρτιος» αποδίδουμε στον αριθμό α μία ιδιότητα, ενώ με την πρόταση «ο αριθμός α δεν είναι άρτιος» εκφράζουμε ότι ο αριθμός α δεν έχει την ιδιότητα που του δώσαμε με την πρώτη πρόταση. Έτσι αν η μία πρόταση είναι αληθής, τότε η άλλη είναι ψευδής. Γενικά: Αν P είναι ένας ισχυρισμός, τότε ο ισχυρισμός «όχι Ρ» ονομάζεται άρνηση του Ρ, συμβολίζεται με Ρ και χαρακτηρίζεται ως: αληθής αν ο Ρ είναι ψευδής ψευδής αν ο Ρ είναι αληθής Επισήμανση Είναι φανερό ότι η σύζευξη «Ρ και Ρ» είναι πάντα ψευδής, αφού ένας από τους ισχυρισμούς Ρ, Ρ είναι ψευδής. Σχόλιο Αν η συνεπαγωγή «Ρ Q» είναι αληθής, τότε και η συνεπαγωγή «Q Ρ» είναι αληθής και αντιστρόφως. Δηλαδή ισχύει η ισοδυναμία: (Ρ Q) ( Q Ρ ) που ονομάζεται νόμος της αντιθετοαντιστροφής. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 13