3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
|
|
|
- Ἑρμοκράτης Νικολάκος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή : α+β=0 ή α=-β () λέγεται εξίσωση ου βαθμού (ή πρωτοβάθμια εξίσωση), με άγνωστο το, ενώ κάθε αριθμός που την επαληθεύει λέγεται ρίζα ή λύση της εξίσωσης. Οι αριθμοί α,β λέγονται συντελεστές της εξίσωσης. Αν α 0, η () έχει μόνο μια λύση (ρίζα), την. Αν α=0 και β 0, η () είναι αδύνατη (δεν έχει λύση). Αν α=0 και β=0, η () είναι ταυτότητα ή αόριστη (αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό ). ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ( ) 7 ii. 0 Λύση : i. ( ) ii. Πρώτα από όλα θέλω να απαλλαγώ από τα κλάσματα. Βρίσκω (,,0) 0 και στη συνέχεια πολ/ζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να κάνω απαλοιφή παρανομαστών. (,,0) ( ) ( ) 6 6. (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ( ) ( ) 7 ii. Λύση : i. ( ) ( ) Η εξίσωση είναι αδύνατη (δηλ. δεν επαληθεύεται για καμία τιμή του, καμία λύση) 7 7 ii. 6 6 ( ) Η εξίσωση είναι ταυτότητα (δηλ. αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό, άπειρες λύσεις) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ( ) 6 ( ) ii. 6 iii. 6 iv. 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Σε μια ο βάθμια εξίσωση 0, αν οι συντελεστές α,β είναι παράμετροι, τότε η εξίσωση λέγεται παραμετρική. Στις παραμετρικές εξισώσεις ο άγνωστος συνήθως συμβολίζεται με ενώ η παράμετρος με λ ή μ ή κάποιο άλλο γράμμα. Έτσι όταν χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους, κάθε ορος που περιέχει το θεωρείται άγνωστος και μεταφέρεται στο ο μέλος, ενώ κάθε ορος που περιέχει το λ (ή μ κτλ) θεωρείται γνωστός και μεταφέρεται στο ο μέλος. Για να λύσουμε μια παραμετρική ο βάθμια εξίσωση : Βήμα : φέρνω την εξίσωση στη μορφή Βήμα : βρίσκω τις τιμές της παραμέτρου για τις οποίες ισχύει : 0 Βήμα : όταν 0 η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση τη Βήμα : για τις τιμές της παραμέτρου που ισχύει 0, αντικαθιστώ στην αρχική εξίσωση και προκύπτει είτε αδύνατη είτε ταυτότητα (αόριστη) ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. Να λύσετε την εξίσωση : για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου. Λύση : Βήμα : ( ) Βήμα : 0 ή 0 ( )( ) 0 ή Βήμα : Αν και η εξίσωση έχει μοναδική λύση : ( ) ( )( ) Βήμα : Αν τότε : ( ) ( ) 0 0 είναι ταυτότητα τότε : ( ) ( ) 0 Αν 0 0 είναι αδύνατη. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να λύσετε την εξίσωση : για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου. 6. Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, να λυθούν οι εξισώσεις i. ( ) ii. ( ) iii. ( ) iv. ( ) 7. Να λύσετε την εξίσωση : ( ) ( ) για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου. 8. Έστω η εξίσωση : ( ) 6( ) (). Να βρεθεί για ποιες τιμές του η εξίσωση () i. Έχει λύση το ii. Έχει μοναδική λύση το iii. Είναι αδύνατη. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗ Οι εξισώσεις αυτές λύνονται με τη βοήθεια της πρότασης : «Ένα γινόμενο παραγόντων είναι μηδέν, όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν». Η διαδικασία που ακλουθούμε είναι η εξής : Βήμα : μεταφέρω όλους τους όρους στο ο μέλος, οπότε στο ο μένει μηδέν Βήμα : παραγοντοποιώ το ο μέλος, ώστε να σχηματιστεί γινόμενο παραγόντων ισο με το μηδέν, οπότε εφαρμόζουμε την παραπάνω πρόταση. ΘΥΜΗΣΟΥ : ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΚΟΙΝΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑΣ. ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ π.χ. y y y(y ), π.χ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ). ΚΑΤΑ ΟΜΑΔΕΣ π.χ. 0 ( ) ( ) ( )( ) ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ. ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 9. (Άσκηση 7 σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ( ) ( ) ( ) 0 ii. ( ) ( )( ) 0. ΔΙΑΦΟΡΑ ΚΥΒΩΝ ( )( ). ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΥΒΩΝ ( )( ) π.χ. Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις : i) 6 ( )( ) ii) ( ) 8 ( ) 9 ( 9)( 9) ( 0)( 8) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λύση : i. ( ) ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 0 ή 0 ii. ( ) ( )( ) 0 ( ) ( )( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 ή 0 0. (Άσκηση 0 σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 0 ii. ( )( ) 0 Λύση : i. 0 ( ) ( ) 0 ( )( ) 0 0 ή 0 ii. ( )( ) 0 ( ) ( )( ) 0 ( )( ) 0 ( )( ) 0 0 ή 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ( )( ) ( )( ) ii. ( ) 0 iii. ( 7) 9 0 iv. ( ) ( )( ) 0 v. ( ) vi. ( 6)( ) ( )( 8) vii. ( )( ) 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, Βήμα : παραγοντοποιώ τους παρανομαστές και βρίσκω το ΕΚΠ τους, Βήμα : παίρνω περιορισμούς, Βήμα : πολλαπλασιάζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να γίνει απαλοιφή παρανομαστών και λύνω την εξίσωση που προκύπτει, Βήμα : ελέγχω αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τους περιορισμούς. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ii. Λύση : i. ( )( ) ( )( ) Πρέπει : ( )( ) 0 & Έτσι έχω : ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) απορρίπτεται. Άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. ii. ( ) ( ) Πρέπει : ( ) 0 0 & 0 Έτσι έχω : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ταυτότητα δηλ. η εξίσωση επαληθεύεται για κάθε,0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ii. 7 9 iii. iv. 8 0 v. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΟΡΦΗ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ Οι εξισώσεις αυτές έχουν ή μπορούν να πάρουν μια από τις επόμενες μορφές : ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ f () για 0 δίνει f () ή f () για α=0 δίνει f()=0 και για α<0 είναι αδύνατη π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: ή ή ή =- ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ f ( ) g( ) f ( ) g( ) ή f ( ) g( ) π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ f ( ) g( ) 9 ( ) 6 9 ή ( ) 6 για g ( ) 0, έχω : f ( ) g( ) f ( ) g( ) ή f ( ) g( ) για g ( ) 0, η εξίσωση f ( ) g( ) είναι αδύνατη π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: πρέπει 0. Έτσι για έχω :,. ή ( ),. ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ f ( ) g( ) h( ) Σε αυτή την περίπτωση βρίσκω τις ρίζες των f ( ) 0 και g ( ) 0, φτιάχνω πινακάκι στο οποίο βάζω τις ρίζες των παραπάνω εξισώσεων και στη συνέχεια διακρίνω περιπτώσεις για τα αντίστοιχα διαστήματα που δημιουργούνται. π.χ. Να λυθεί η εξίσωση : Λύση: () Έχω : 0 και Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : Αν (, ) η () γίνεται : ( ) ( ) αδύνατο γιατί (, ) Αν [, ) η () γίνεται : ( ) (δεκτή) Αν [, ) η () γίνεται : ( ) (δεκτή) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6
7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 8 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ii. iii. Λύση : i. ή 8 ή ή ii. ) ( ή ή iii., πρέπει 0. Έτσι για έχω : ή ή ή ή,., ) ( ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ii. iii. iv. v. vi. vii. 6 viii. i i.
8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ii. iii. iv. v. ( ) 6 0 vi. vii. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8
9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ v. Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έχουν τη μορφή *,. Οι λύσεις της εξίσωσης είναι : ) Αν α>0 και ν περιττός έχει ακριβώς μια λύση a ) Αν α>0 και ν άρτιος έχει ακριβώς δυο λύσεις a ) Αν α<0 και ν περιττός έχει ακριβώς μια λύση a ) Αν α<0 και ν άρτιος δεν έχει λύσεις (αδύνατη) π.χ.) Να λύσετε την εξίσωση : π.χ.) Να λύσετε την εξίσωση : π.χ.) Να λύσετε την εξίσωση : π.χ.) Να λύσετε την εξίσωση : 0 Αδύνατη. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 87 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 0 Λύση : i. 0. (Άσκηση σελ. 87 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : ii. 0 Λύση : ii. 0. (Άσκηση σελ. 87 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να λύσετε τις εξισώσεις : iii. 6 0 Λύση : iii. 6 0 ( 6) 0 0 ή αδύνατη. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 8 0 ii) 6 0 iii) iv) 8 0 v) 0 vi) 6 0 vii) viii) 0 i) ( ) 6 0 ) ( ) 0 0 i) ( )( 8) 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9
10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 0 0 Διακρίνουσα Αν Δ>0 τότε η εξίσωση έχει δυο ρίζες άνισες :, Αν Δ=0 τότε η εξίσωση έχει μια διπλή ρίζα : Αν Δ<0 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη στο π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 0 Είναι 9 8 0, έχει δυο πραγματικές ρίζες άνισες τις ( ), π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 0 0 Είναι , έχει μια πραγματική διπλή ρίζα την π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : ( ) ( ) Είναι ( ) 8 0, άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. Προσοχή : Όταν β=0 ή γ=0, τότε η εξίσωση 0 μπορεί να λυθεί πιο εύκολα χωρίς τη χρήση της διακρινουσας. Πιο συγκεκριμένα : Αν β=0 τότε 0 π.χ π.χ π.χ. 0 π.χ. 0 Αδύνατη. Αν γ=0 τότε 0 π.χ. 0 ( ) 0 0 ή 0 π.χ. 6 0 ( 6) 0 0 ή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0
11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) 6 0 ii) iii) ( ) ( 9) iv) 9 0 v) 9 0 vi) 7 0 vii) 0 viii) 7 6 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΤΥΠΟΙ ΤΟΥ VIETA Σε περίπτωση που η εξίσωση : 0, 0 έχει πραγματικές ρίζες, τότε για το άθροισμα S και το γινόμενο P ισχύει : S S P P Οι παραπάνω τύποι είναι γνωστοί ως τύποι του Vieta. Με τη βοήθεια των τύπων του Vieta η εξίσωση : 0 μετασχηματίζεται : 0 S P 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση 6 σελ. 9 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε την εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς : i. και ii. και iii. 6 και 6 Λύση : i. Η εξίσωση θα είναι της μορφής S P 0 με S S S και P P P 6, άρα 6 0 ii. Η εξίσωση θα είναι της μορφής S P 0 με S S S και P P P, άρα 0 0 iii. Η εξίσωση θα είναι της μορφής S P 0 με S S 6 6 S 0 και P P ( 6) ( 6) P ( 6) P P, άρα 0 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. (Άσκηση 7 σελ. 9 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε δυο αριθμούς, εφόσον υπάρχουν, που να έχουν i. Άθροισμα και γινόμενο - ii. Άθροισμα 9 και γινόμενο 0. Λύση : i. Έχω S S και P P, άρα οι αριθμοί που ψάχνω θα είναι ρίζες της εξίσωσης : S P 0 0, έχω 60 6 και ( ) 6 8, ii. Έχω S S 9 και P P 0, άρα οι αριθμοί που ψάχνω θα είναι ρίζες της εξίσωσης :, ( 9) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : S P , έχω 8 0 και Να βρείτε την εξίσωση ου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς : i. - και ii. και iii. 7 και 7 iv. και 6. Να βρείτε δυο αριθμούς, εφόσον υπάρχουν, που να έχουν i. Άθροισμα και γινόμενο - ii. Άθροισμα 6 και γινόμενο 6 iii. Άθροισμα και γινόμενο 7. Να προσδιορίσετε τις ρίζες των παρακάτω εξισώσεων, χωρίς να υπολογίσετε τη διακρίνουσα τους. i. 6 0 ii. 8 0 iii. 0 iv. 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΟΥ ΜΟΡΦΗ : 0, 0 Επειδή : τότε : 0 0 και έπειτα θέτω 0, οπότε η αρχική εξίσωση γίνεται 0, 0 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 0 Λύση : Έχω 0 0. Θέτω 0 άρα η εξίσωση γίνεται 0, 0,,, ή ή 7,. Για ή Για 7 7 Αδύνατη. ΜΟΡΦΗ : 0 (ΔΙΤΕΤΡΑΓΩΝΗ) Έχουν τη μορφή 0, 0 και λύνονται με αντικατάσταση : 0 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 7 0 Λύση : Θέτω 0 άρα η εξίσωση γίνεται 7 0. Είναι 9 ( ) 9 8 0, Για Για Αδύνατη., ( 7) 8 7 9, ή ή,. ΜΟΡΦΗ : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, ον παραγοντοποιώ τους παρανομαστές και βρίσκω το ΕΚΠ τους, ον παίρνω περιορισμούς, ον πολλαπλασιάζω κάθε όρο με το ΕΚΠ ώστε να γίνει απαλοιφή παρανομαστών και λύνω την εξίσωση που προκύπτει, ον ελέγχω αν οι λύσεις που βρήκαμε ικανοποιούν τους περιορισμούς. 8 π.χ. Να λύσετε την εξίσωση : 8 8 Λύση : ( )( ) ( )( ) Πρέπει ( )( ) 0 & 8 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) (δεκτή) ή (δεκτή). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : i ii. 0 6 iii. 0 iv. 0 7 v. 0 6 vi Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : i. 0 ) ( ii. 0 ) ( iii. 0 iv. 0 6 ) 7( ) ( v vi. 0 7 vii viii Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις : i. 0 ii. iii.
15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Σε μια ο βάθμια εξίσωση 0, 0, αν οι συντελεστές α,β,γ είναι παράμετροι, τότε η εξίσωση λέγεται παραμετρική. Στις παραμετρικές εξισώσεις ο άγνωστος συνήθως συμβολίζεται με ενώ η παράμετρος με λ ή μ ή κάποιο άλλο γράμμα. Αν μας ζητούν να αποδείξουμε ότι η εξίσωση 0, 0 : έχει δυο ρίζες άνισες, αρκεί να δείξουμε ότι 0 έχει πραγματικές ρίζες (δηλ. τουλάχιστον μια), αρκεί να δείξουμε ότι 0 έχει μια διπλή ρίζα, αρκεί να δείξουμε ότι 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες (δηλ. είναι αδύνατη), αρκεί να δείξουμε ότι 0 Επιπλέον οι τύποι του Vieta μπορούν να συνδυαστούν με τις ρίζες τις εξίσωσης, δηλαδή αν θέλουμε η εξίσωση 0, 0 να έχει : δυο ρίζες άνισες θετικές, τότε πρέπει 0, P 0 και S 0 δυο ρίζες άνισες αρνητικές, τότε πρέπει 0, P 0 και S 0 δυο ρίζες άνισες ετερόσημες, τότε πρέπει 0, P 0 δυο ρίζες αντιστροφές, τότε πρέπει 0, P δυο ρίζες αντίθετες, τότε πρέπει 0, S 0 μια ρίζα θετική (διπλή), τότε πρέπει 0, S 0 μια ρίζα αρνητική (διπλή), τότε πρέπει 0, S 0 μια ρίζα το μηδέν (διπλή), τότε πρέπει 0, S 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ :. (Άσκηση σελ. 9 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες : i. ( ) 0, 0 ii. ( ) 0, 0 Λύση : i. Αρκεί να δείξω ότι 0. Έχω :,, ( ) ( ) ( ) 8 ( ) ( ) 0 ισχύει για κάθε (άρα και για κάθε 0 ) ii. Αρκεί να δείξω ότι 0. Έχω :,, ( ) ( ) 0 ισχύει για κάθε, (άρα και για κάθε 0 ). (Άσκηση σελ. 9 Α ομάδας σχολικού βιβλίου) Να βρείτε τις τιμές του για τις οποίες η εξίσωση 0, 0 έχει διπλή ρίζα. Λύση : Για να έχει η εξίσωση μια διπλή ρίζα πρέπει 0, έχω :,, Οπότε ή ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ :. Να αποδείξτε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες i. ( ) 0 ii. 0. Να βρείτε για ποιες τιμές του η εξίσωση : ( ) 0, έχει μια διπλή ρίζα.. Δίνεται η εξίσωση : ( ) 0 () i. Να αποδειχτεί ότι για κάθε έχει πραγματικές ρίζες. ii. Να βρεθεί για ποιες τιμές του η () έχει ρίζες αντίθετες. iii. Να βρεθεί για ποιες τιμές του η () έχει ρίζες αντίστροφες. 6. Δίνεται η εξίσωση : ( ) 0 () i. Να αποδειχτεί ότι για κάθε έχει πραγματικές ρίζες. ii. Να βρεθεί για ποιες τιμές του η () έχει ρίζες αντίθετες. iii. Να βρεθεί για ποιες τιμές του η () έχει ρίζες αντίστροφες. 7. Δίνεται η εξίσωση (6 ) 0 0 έχει ρίζα τον αριθμό. i. Να βρεθεί ο λ ii. Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση έχει και άλλη μια ρίζα, διαφορετική του. 8. Αν, με, να δειχτεί ότι η εξίσωση : ( ) ( ) 0 έχει δυο ρίζες άνισες. * 9. Δίνεται η εξίσωση ( ) 0 με,. Να αποδείξετε ότι : i. η εξίσωση έχει δυο πραγματικές ρίζες άνισες, ii. οι αριθμοί και είναι ρίζες της εξίσωσης. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6
17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΓΙΑ ΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7
18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.. 6. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8
19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9
20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0
21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.. 6. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ
26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0.. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 6
27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ... ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 7
28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 8
29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 9
30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 0. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ 0
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ A ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα. ΔΥΝΑΜΕΙΣ : Ισχύουν οι
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...
4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
4.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΑΠΛΗ ΜΟΡΦΗ Για να λύσω μια ανίσωση της μορφής : 0 ή 0 1 ος τρόπος : Λειτουργώ όπως και στις εξισώσεις πρώτου βαθμού, δηλαδή χωρίζω γνωστούς από αγνώστους, και
4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ
4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Για να λύσω μια κλασματική εξίσωση, δηλ. μια εξίσωση που έχει άγνωστο στον παρανομαστή, Βήμα : παραγοντοποιώ
2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.
Εξισώσεις πρώτου βαθμού
Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο 0ρισμός Εξισώσεις πρώτου βαθμού Κάθε εξίσωση που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή αχ=β λέγεται εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο. Σε μια εξίσωση η μεταβλητή λέγεται άγνωστος.οι
Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1
Κεφάλαιο 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Επιμέλεια Σημειώσεων: Ντάνος Γιώργος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 1 Εξίσωση πρώτου βαθμού ή πρωτοβάθμια εξίσωση με άγνωστο x ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής
Εξισώσεις 2 ου βαθμού
Εξισώσεις 2 ου βαθμού Εξισώσεις 2 ου βαθμού Η εξίσωση της μορφής αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 λύνεται σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. Δ = β 2 4αγ Η εξίσωση αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0 αν Δ>0 αν Δ=0 αν Δ
εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες
Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο
12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις
. Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1
Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a
Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Πεδίο
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ & ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ . ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τα σύνολα των αριθμών είναι τα εξής : i. Φυσικοί αριθμοί : 0,,,,......,,,,0,,,,...
) = 0. Λύσεις/Ρίζες της εξίσωσης. Ακριβώς δύο άνισες πραγματικές λύσεις, τις: Η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις
4. Εξισώσεις 2ου βαθμού αx 2 + βx + γ = 0, α 0 α, β, γ παράμετροι και x η μεταβλητή Αν ρ ρίζα/λύση της εξίσωσης, τότε αρ 2 + βρ + γ = 0 Αν ρ 1, ρ 2 ρίζες/λύσεις της εξίσωσης, τότε το τριώνυμο γράφεται
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από
3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού
1 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1. Να διερευνήσετε την εξίσωση. Ισχύει: Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν τότε: ΘΕΩΡΙΑ Απάντηση Επομένως, αν η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την. Αν, τότε η εξίσωση γίνεται,
1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού
1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση
2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,
Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές
0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)
5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να επιλύσουμε μία παραμετρική εξίσωση ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: i) Βγάζω παρενθέσεις ii) Κάνω απαλοιφή παρανομαστών iii) Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους (άγνωστος είναι
( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει
μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,
3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;
EΞΙΣΩΣΕΙΣ Ε ξ ι σ ω σ η ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Εστω η εξισωση: α+β=0 () Λυση η ριζα. της Aν εξισωσης α, β θετικοι λεγεται, να συγκρινεται κάθε τιμη τους του πραγματικου
1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
. ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Η εξίσωση με και 0 ή 0 λέγεται γραμμική εξίσωση. Οι μεταβλητές είναι οι άγνωστοι της εξίσωσης αυτής. Οι αριθμοί λέγονται συντελεστές των αγνώστων
2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ Τελευταία ενημέρωση: 21 Φεβρουαρίου 2015 w w w. c o m m o n m a t h s. w e e b l y. c o m A. Αρχικά θα ασχοληθούμε με τα τριώνυμα 2 ου βαθμού. Η γενική μορφή τους
Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων
ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα
A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Η Έννοια της εξίσωσης:
Η Έννοια της εξίσωσης: Θεωρία και λυμένα παραδείγματα Εξίσωση με έναν άγνωστο λέμε μια ισότητα η οποία περιέχει αριθμούς και έναν άγνωστο γράμμα ( μεταβλητή). Εξισώσεις είναι οι: χ+=8, χ-21=4,χ+1, 8χ=26.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0
1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς
Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος
1 Παραδείγματα (επανάληψη) Συντελεστής του αγνώστου x. Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος Ε ξ ι σ ώ σ εις 1 ο υ β α θ μ ο ύ 2x + 2 = x - 1 Άγνωστος x Γνωστός Eπίλυση 1 ος τρόπος Μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση
4.2 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ
4 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΩΡΗΜΑ (ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΔΙΑΙΡΕΣΗΣ) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων ( και ( με ( 0 υπάρχουν δυο μοναδικά πολυώνυμα ( και (, τέτοια ώστε : ( ( όπου το ( ή είναι το μηδενικό
A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις
![A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις](/thumbs/93/111356738.jpg "A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις")
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ η Αν α +β +γ = αβγ και α + β + γ, να δείξετε ότι το πολυώνυμο P()=(α β) +(β γ) + γ α είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Από την ταυτότητα του Euler α +β +γ -αβγ = (α + β + γ)[(α-β)
Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ. Τελευταία ενημέρωση 16 Μαρτίου w w w. c o m m o n m a t h s. w e e b l y. c o m
Δ.Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου Τελευταία ενημέρωση 16 Μαρτίου 2016 ΒΑΘΜΟΥ w w w. c o m m o n m a t h s. w e e b l y. c o m A. Αρχικά θα ασχοληθούμε με τα τριώνυμα 2 ου βαθμού. Η γενική μορφή τους είναι
4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.
Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β)
ΜΑΘΗΜΑ 5 Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα.: Κλασµατικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες:. Κλασµατικές Εξισώσεις (Μέρος Β). Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β) ΟΡΙΣΜΟΙ Κλασµατική εξίσωση λέγεται
1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x
6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ 5 Να γράψετε τις ιδιότητες του άπειρου ορίου στο o Απάντηση : Όπως στην περίπτωση των πεπερασμένων ορίων έτσι και για τα άπειρα όρια συναρτήσεων, που ορίζονται σε ένα σύνολο της
Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου
Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν
2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα
Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΟΝΥΜΙΚΕΣ Εισαγωγή Το σύνολο αναφοράς και οι περιορισμοί Όταν έχουμε μία εξίσωση που περιέχει παρονομαστές ή ρίζες, πρέπει να βάζουμε περιορισμούς. Το νόημα
1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ.
1 Εξισώσεις Β Βαθμού Εξίσωση 2 ου βαθμού μ έναν άγνωστο, είναι η εξίσωση με μορφή : αx²+βx+γ=0 με α, β, γ R και α 0. 1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : =
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός. 150 ασκήσεις επανάληψης. και. Θέματα εξετάσεων
Γεώργιος Α. Κόλλιας - μαθηματικός Περιέχονται 50 συνδυαστικές ασκήσεις επανάληψης και θέματα εξετάσεων. Δεν συμπεριλαμβάνεται το κεφάλαιο των πιθανοτήτων, της γεωμετρικής προόδου, της μονοτονίας συνάρτησης,
2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί
1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ x
6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ 5 Να γράψετε τις ιδιότητες του άπειρου ορίου στο o Απάντηση : Όπως στην περίπτωση των πεπερασμένων ορίων έτσι και για τα άπειρα όρια συναρτήσεων, που ορίζονται σε ένα σύνολο της
εξίσωση πρώτου βαθμού
κεφάλαιο 2 Α1 εξίσωση πρώτου βαθμού επίλυση της εξίσωσης πρώτου βαθμού Εξίσωση, είναι κάθε ισότητα που περιέχει κάποιον άγνωστο, την τιμή του οποίου καλούμαστε να προσδιορίσουμε. Ο βαθμός μιας εξίσωσης
Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο
Ανισώσεις Γινόμενο και Ανισώσεις Πηλίκο Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» www.ma8eno.gr Ανισώσεις γινόμενο και ανισώσεις πηλίκο Πρόσημο γινομένου της μορφής P()
Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd
1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει:
3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =
ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,
1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των
2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε
7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει
8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y
OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω
Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις
1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y
, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με
5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών,,,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας
1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ
. ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των
Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων
1. Θα ξέρεις τι λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αχ +βψ =γ. Θα ξέρεις τι είναι το σύστημα εξισώσεων Είναι ομάδα από δύο ή περισσότερες εξισώσεις των οποίων ζητάμε
Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - -. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Αν + y = -, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α A = + y + ( + y β B = ( - y -( y γ Γ = -(
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές, αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα για την Άλγεβρα της Β Λυκείου, που είναι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ
Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...
3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α
Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46
ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου
Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab
4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού
1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού Ανισώσεις 1. Πρωτοάθμιες Ανισώσεις Επιλύονται όπως οι εξισώσεις με την διαφορά ότι, όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με αρνητικό αριθμό αλλάζει φορά η ανίσωση.. Υπενθύμιση α), ή, ) ή,
α έχει μοναδική λύση την x α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος.. H εξίσωση ( α)( β) ( β)( γ) έχει τις ίδιες λύσεις με την εξίσωση α γ για οποιεσδήποτε τιμές των
6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο
Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις. εκδόσεις. Καλό πήξιμο / 8 /
Εξισώσεις Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7.. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 7 / 8 / 8 A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο 5 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο Επιλεγμένες
Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:
Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να
( ) ( ) ( ) 1. α 0. Η παράσταση. Τα αποτελέσµατα σχετικά µε τις ρίζες της εξίσωσης συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα: Αν = 0
IΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Εξίσωση β βαθµού λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α, β, γ R µε α Η παράσταση α = β 4αγ λέγεται διακρίνουσα της εξίσωσης Τα αποτελέσµατα σχετικά µε τις ρίζες της
Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+β=0. Μοναδική λύση. α=0 και β 0 Αδύνατη. α=0 και β=0 Αληθεύει για κάθε τιμή του x Ταυτότητα
Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+= ου Η εξίσωση αx+ = είναι μια εξίσωση 1 αθμού. Όπου x ο άγνωστος της εξίσωσής μας, όπου α ο συντελεστής του πρωτοάθμιου όρου, όπου ο σταθερός όρος. Για να έχει νόημα η εξίσωση θα πρέπει:
ii) Να ποια τιμή του ώστε η εξίσωση (1) έχει μία διπλή πραγματική ρίζα; Έπειτα να βρεθεί η ρίζα αυτή. Ασκήσεις Άλγεβρας
. Δίνεται η εξίσωση, (). i) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. ii) Να βρεθεί ο αριθμός ώστε η εξίσωση () να έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. iii) Να βρεθεί ο
τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:
κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ
ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 6 Τι ονομάζουμε αρχική μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ ονομάζουμε κάθε
( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x
ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και
Εξισώσεις. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο ασκήσεις και τεχνικές σε 26 σελίδες. εκδόσεις. Καλό πήξιμο
Εξισώσεις Κώστας Γλυκός A ΛΥΚΕΙΟΥ κεφάλαιο 3 445 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr 9 / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό
ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ- ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κατηγορίες ασκήσεων στα απόλυτα ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : Εξισώσεις που περιέχουν απόλυτο μιας παράστασης και όχι παράταση του x έξω από το απόλυτο. α) Λύνουμε ως προς το απόλυτο
Περί εξισώσεων με ένα άγνωστο
1 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ 19 Φεβρουαρίου 013 ΤΑΞΗ Α Σημειώσεις Άλγεβρας Περί εξισώσεων με ένα άγνωστο Εξίσωση με ένα άγνωστο λέμε την ισότητα δύο παραστάσεων μιας μεταβλητής. Πχ f(x) = g(x) όπου x μεταβλητή
- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης
11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;
10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται
2.1 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του
Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις
4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α
Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.
2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.
4. Ανισώσεις. 4.1 Ανισώσεις 1 ου Βαθμού
Ανισώσεις ου Βαθμού Ανισώσεις. Πρωτοάθμιες Ανισώσεις Επιλύονται όπως οι εξισώσεις με την διαφορά ότι, όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ με αρνητικό αριθμό αλλάζει φορά η ανίσωση.. Υπενθύμιση α) χ χ, ή χ, ) χ
Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5
Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο
Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46
ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια
Άλγεβρα Α Λυκείου. Αξίζει να τονίσω ότι οι περισσότερες από τις ασκήσεις αυτές προήλθαν από διάφορα εξωσχολικά βιβλία και ιστοσελίδες συναδέλφων.
Άλγεβρα Α Λυκείου Το υλικό αυτό αποτελείται από μικρές θεωρητικές υποδείξεις και ασκήσεις και προβλήματα που έχω αξιοποιήσει στην τάξη μου για τη διδασκαλία της Άλγεβρας της Α Λυκείου (Ημερήσιο Γενικό