Plasticité/viscoplasticité 3D

Ecoulement viscoplastique ε. p Elasticité f <0 f>0 Contraintes Plasticité/viscoplasticité 3D Georges Cailletaud MINES ParisTech Centre des Matériaux, CNRS UMR 7633

Plan 1 Les ingrédients 2 Ecoulement viscoplastique 3 Ecoulement plastique Plasticité associée Evaluation des directions d écoulement Modèle parfaitement plastique 4 Synthèse Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 2 / 28

Les ingrédients Rhéologie Modèles sans écrouissage 300 250 200 σ(mpa) 150 100 50 0 plast 0 0.01 0.02 0.03 0.04 ε Comportement plastique indépendant du temps Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 3 / 28

Les ingrédients Rhéologie Modèles sans écrouissage 300 250 200 σ(mpa) 150 100 50 0 0 visco = 10 1 s 1 visco = 10 2 s 1 visco = 10 3 s 1 plast 0.01 0.02 0.03 ε Comportement viscoplastique 0.04 Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 3 / 28

Les ingrédients Critères σ 12 σ 22 σ 11 σ 11 Tresca von Mises Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 4 / 28

Les ingrédients Critères σ 12 σ 22 σ 11 σ 11 Tresca von Mises Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 4 / 28

Les ingrédients Critères σ 12 σ 22 σ 11 σ 11 von Mises Domaine d élasticité critère de von Mises Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 4 / 28

Les ingrédients Critères σ 12 σ 22 σ 11 σ 11 Régime élastique von Mises Domaine d élasticité critère de von Mises Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 4 / 28

Les ingrédients Critères σ 12 σ 22 σ 11 σ 11 Régime élastique von Mises Domaine d élasticité critère de von Mises Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 4 / 28

Les ingrédients Critères σ 12 σ 22 σ 11 σ 11 Régime élastique von Mises Domaine d élasticité critère de von Mises Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 4 / 28

Les ingrédients Critères σ 12 σ 22 σ 11 σ 11 von Mises Domaine d élasticité critère de von Mises Plasticité Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 4 / 28

Les ingrédients Equations de la plasticité et de la viscoplasticité 3D Décomposition de la déformation ε = ε e + ε th + ε p vp + ε Critère défini par la fonction f(σ,a I ) Lois d écoulement p =... vp =... Cette séance Lois d écrouissage Ȧ I =... Prochaine séance Aujourd hui, modèle sans écrouissage, par exemple : f(σ ) = J(σ ) σ y Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 5 / 28

Ecoulement viscoplastique Notion de potentiel FeCoV 953K Oytana, Delobelle, Mermet (Besançon) Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 6 / 28

Ecoulement viscoplastique Potentiel viscoplastique Ω Rice, Mandel, 1972 Elasticité f < 0 f(σ ) = 0 vp = Ω = Ω f = v σ f σ n Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 7 / 28

Ecoulement viscoplastique Potentiel viscoplastique Ω Rice, Mandel, 1972 f(σ ) = 0 f(σ ) > 0 Elasticité f < 0 On construit un modèle viscoplastique associé en utilisant un potentiel viscoplastique qui définit la direction et l intensité de l écoulement Ω : σ Ω(f(σ )) vp = Ω = Ω f = v σ f σ n Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 7 / 28

Ecoulement viscoplastique Potentiel viscoplastique Ω Rice, Mandel, 1972 f(σ ) = 0 f(σ ) > 0 Elasticité f < 0 On construit un modèle viscoplastique associé en utilisant un potentiel viscoplastique qui définit la direction et l intensité de l écoulement Ω : σ Ω(f(σ )) Ω(0) = 0 Ω fonction croissante de f vp = Ω = Ω f = v σ f σ n Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 7 / 28

Ecoulement viscoplastique Potentiel viscoplastique Ω Rice, Mandel, 1972 f(σ ) = 0 f(σ ) > 0 Elasticité f < 0 On construit un modèle viscoplastique associé en utilisant un potentiel viscoplastique qui définit la direction et l intensité de l écoulement Ω : σ Ω(f(σ )) Ω(0) = 0 Ω fonction croissante de f vp = Ω = Ω f = v σ f σ n Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 7 / 28

Ecoulement viscoplastique Potentiel viscoplastique Ω Rice, Mandel, 1972 f(σ ) = 0 f(σ ) > 0 Elasticité f < 0 vp On construit un modèle viscoplastique associé en utilisant un potentiel viscoplastique qui définit la direction et l intensité de l écoulement Ω : σ Ω(f(σ )) Ω(0) = 0 Ω fonction croissante de f vp = Ω = Ω f = v σ f σ n Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 7 / 28

Ecoulement viscoplastique Potentiel viscoplastique Ω Rice, Mandel, 1972 f(σ ) = 0 f(σ ) > 0 Elasticité f < 0 vp On construit un modèle viscoplastique associé en utilisant un potentiel viscoplastique qui définit la direction et l intensité de l écoulement Ω : σ Ω(f(σ )) Ω(0) = 0 Ω fonction croissante de f vp = Ω = Ω f = v σ f σ n Ω fonction convexe de σ : Ω(kσ 1 + (1 k)σ 2) kω(σ 1) + (1 k)ω(σ 2) Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 7 / 28

Ecoulement viscoplastique Remarque : modèle non associé Elasticité f < 0 f(σ ) = 0 vp = v N Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 8 / 28

Ecoulement viscoplastique Remarque : modèle non associé f(σ ) > 0 Elasticité f < 0 On construit construit indépendamment la direction de l écoulement et son intensité f(σ ) = 0 vp = v N Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 8 / 28

Ecoulement viscoplastique Remarque : modèle non associé f(σ ) > 0 Elasticité f < 0 vp On construit construit indépendamment la direction de l écoulement et son intensité f(σ ) = 0 vp = v N Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 8 / 28

Ecoulement viscoplastique Remarque : modèle non associé f(σ ) > 0 Elasticité f < 0 vp On construit construit indépendamment la direction de l écoulement et son intensité f(σ ) = 0 vp = v N Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 8 / 28

Ecoulement viscoplastique NOTE : dérivée partielle de s et de J par rapport à σ On aura à exprimer J pour calculer σ n La dérivée de s par rapport à σ est le tenseur J = I 1 3 I I, qui s écrit en notation indicielle : en effet : Dérivée de J par rapport à σ : Autre solution : J ijkl = 1 2 (δ ikδ jl + δ il δ jk ) 1 3 δ ijδ kl s = J : σ J = J : s = ((3/2)s : s )1/2 : J σ s σ s = 3 s 2 J : J = 3 2 s J J 2 = 3 2 s ijs ij donc 2J dj = 3s ij ds ij = 3s ij dσ ij J = 3 s ij σ ij 2 J J = 3s σ 2J Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 9 / 28

Ecoulement viscoplastique NOTE : dérivée partielle de s et de J par rapport à σ On aura à exprimer J pour calculer σ n La dérivée de s par rapport à σ est le tenseur J = I 1 3 I I, qui s écrit en notation indicielle : en effet : Dérivée de J par rapport à σ : Autre solution : J ijkl = 1 2 (δ ikδ jl + δ il δ jk ) 1 3 δ ijδ kl s = J : σ J = J : s = ((3/2)s : s )1/2 : J σ s σ s = 3 s 2 J : J = 3 2 s J J 2 = 3 2 s ijs ij donc 2J dj = 3s ij ds ij = 3s ij dσ ij J = 3 s ij σ ij 2 J J = 3s σ 2J Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 9 / 28

Ecoulement viscoplastique NOTE : dérivée partielle de s et de J par rapport à σ On aura à exprimer J pour calculer σ n La dérivée de s par rapport à σ est le tenseur J = I 1 3 I I, qui s écrit en notation indicielle : en effet : Dérivée de J par rapport à σ : Autre solution : J ijkl = 1 2 (δ ikδ jl + δ il δ jk ) 1 3 δ ijδ kl s = J : σ J = J : s = ((3/2)s : s )1/2 : J σ s σ s = 3 s 2 J : J = 3 2 s J J 2 = 3 2 s ijs ij donc 2J dj = 3s ij ds ij = 3s ij dσ ij J = 3 s ij σ ij 2 J J = 3s σ 2J Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 9 / 28

Ecoulement viscoplastique NOTE : dérivée partielle de s et de J par rapport à σ On aura à exprimer J pour calculer σ n La dérivée de s par rapport à σ est le tenseur J = I 1 3 I I, qui s écrit en notation indicielle : en effet : Dérivée de J par rapport à σ : Autre solution : J ijkl = 1 2 (δ ikδ jl + δ il δ jk ) 1 3 δ ijδ kl s = J : σ J = J : s = ((3/2)s : s )1/2 : J σ s σ s = 3 s 2 J : J = 3 2 s J J 2 = 3 2 s ijs ij donc 2J dj = 3s ij ds ij = 3s ij dσ ij J = 3 s ij σ ij 2 J J = 3s σ 2J Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 9 / 28

Ecoulement viscoplastique Mon premier modèle de viscoplasticité 3D Modèle sans écrouissage et sans seuil On suppose que le domaine d élasticité est réduit à un point, on utilise le critère de von Mises : f(σ ) = J(σ ) Le potentiel est une fonction puissance de f (loi de Norton ) : Ω(σ ) = K ( J(σ ) n + 1 K ) n+1 Ecoulement viscoplastique obtenu par dérivation partielle : vp = Ω ( ) n ( ) n J J J J 3s = = J σ K σ K 2J Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 10 / 28

Ecoulement viscoplastique Mon premier modèle de viscoplasticité 3D Modèle sans écrouissage et sans seuil On suppose que le domaine d élasticité est réduit à un point, on utilise le critère de von Mises : f(σ ) = J(σ ) Le potentiel est une fonction puissance de f (loi de Norton ) : Ω(σ ) = K ( J(σ ) n + 1 K ) n+1 Ecoulement viscoplastique obtenu par dérivation partielle : vp = Ω ( ) n ( ) n J J J J 3s = = J σ K σ K 2J Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 10 / 28

Ecoulement viscoplastique Mon premier modèle de viscoplasticité 3D Modèle sans écrouissage et sans seuil On suppose que le domaine d élasticité est réduit à un point, on utilise le critère de von Mises : f(σ ) = J(σ ) Le potentiel est une fonction puissance de f (loi de Norton ) : Ω(σ ) = K ( J(σ ) n + 1 K ) n+1 Ecoulement viscoplastique obtenu par dérivation partielle : vp = Ω ( ) n ( ) n J J J J 3s = = J σ K σ K 2J Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 10 / 28

Ecoulement viscoplastique Modèle de Norton en 1D Une seule composante du tenseur de contrainte est non nulle σ = σ 0 0 0 0 0 s = 2σ 1 0 0 0 1/2 0 3 0 0 0 0 0 1/2 Calcul de la normale, avec J = σ n = 3 s 2 J = 1 0 0 0 1/2 0 0 0 1/2 signe(σ) Composantes de la vitesse de déformation viscoplastique ( ) σ n vp 11 = signe(σ) vp 22 K = vp 33 = vp 11 2 Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 11 / 28

Ecoulement viscoplastique Modèle de Norton en 1D Une seule composante du tenseur de contrainte est non nulle σ = σ 0 0 0 0 0 s = 2σ 1 0 0 0 1/2 0 3 0 0 0 0 0 1/2 Calcul de la normale, avec J = σ n = 3 s 2 J = 1 0 0 0 1/2 0 0 0 1/2 signe(σ) Composantes de la vitesse de déformation viscoplastique ( ) σ n vp 11 = signe(σ) vp 22 K = vp 33 = vp 11 2 Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 11 / 28

Ecoulement viscoplastique Modèle de Norton en 1D Une seule composante du tenseur de contrainte est non nulle σ = σ 0 0 0 0 0 s = 2σ 1 0 0 0 1/2 0 3 0 0 0 0 0 1/2 Calcul de la normale, avec J = σ n = 3 s 2 J = 1 0 0 0 1/2 0 0 0 1/2 signe(σ) Composantes de la vitesse de déformation viscoplastique ( ) σ n vp 11 = signe(σ) vp 22 K = vp 33 = vp 11 2 Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 11 / 28

Ecoulement viscoplastique Autres modèles particuliers Bingham : modèle sans écrouissage, avec seuil, linéaire en contrainte : f(σ ) = J σ y Ω = η 2 2 f η Ω f f = = η J σy η f = 3s σ 2J vp = 3s 2J J σy η Newton : modèle sans écrouissage, sans seuil (σ y = 0), linéaire en contrainte : Ω = J f η vp = 3s J 2J η = 3s 2η vp ij = 3 s ij 2 η Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 12 / 28

Ecoulement viscoplastique Autres modèles particuliers Bingham : modèle sans écrouissage, avec seuil, linéaire en contrainte : f(σ ) = J σ y Ω = η 2 2 f η Ω f f = = η J σy η f = 3s σ 2J vp = 3s 2J J σy η Newton : modèle sans écrouissage, sans seuil (σ y = 0), linéaire en contrainte : Ω = J f η vp = 3s J 2J η = 3s 2η vp ij = 3 s ij 2 η Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 12 / 28

Plan 1 Les ingrédients 2 Ecoulement viscoplastique 3 Ecoulement plastique Plasticité associée Evaluation des directions d écoulement Modèle parfaitement plastique 4 Synthèse

Ecoulement plastique Plasticité associée Principe du travail maximal Formulation due à Hill (1951) : «Le travail des contraintes réelles σ associées aux vitesses de déformations plastiques réelles p est supérieur au travail de tout autre tenseur de contraintes admissible σ (id est ne violant pas la loi de plasticité) associé à p» (σ σ ) : p 0 On forme F qui combine la fonction à maximiser et la contrainte à l aide d un multiplicateur plastique (problème d optimisation non linéaire) F(σ ) = σ : p λf(σ ) Dérivation par rapport à σ pour trouver un extremum p f = λ σ On a effectivement un max si la fonction f est convexe Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 14 / 28

Ecoulement plastique Plasticité associée Principe du travail maximal Formulation due à Hill (1951) : «Le travail des contraintes réelles σ associées aux vitesses de déformations plastiques réelles p est supérieur au travail de tout autre tenseur de contraintes admissible σ (id est ne violant pas la loi de plasticité) associé à p» (σ σ ) : p 0 La solution du problème d écoulement plastique maximise la puissance plastique σ : p On forme F qui combine la fonction à maximiser et la contrainte à l aide d un multiplicateur plastique (problème d optimisation non linéaire) F(σ ) = σ : p λf(σ ) Dérivation par rapport à σ pour trouver un extremum p f = λ σ Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 14 / 28

Ecoulement plastique Plasticité associée f = λ σ Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 14 / 28 Principe du travail maximal Formulation due à Hill (1951) : «Le travail des contraintes réelles σ associées aux vitesses de déformations plastiques réelles p est supérieur au travail de tout autre tenseur de contraintes admissible σ (id est ne violant pas la loi de plasticité) associé à p» (σ σ ) : p 0 La solution du problème d écoulement plastique maximise la puissance plastique σ : p Il s agit d une maximisation sous contrainte, car on doit avoir f(σ ) 0 On forme F qui combine la fonction à maximiser et la contrainte à l aide d un multiplicateur plastique (problème d optimisation non linéaire) F(σ ) = σ : p λf(σ ) Dérivation par rapport à σ pour trouver un extremum

Ecoulement plastique Plasticité associée Principe du travail maximal Formulation due à Hill (1951) : «Le travail des contraintes réelles σ associées aux vitesses de déformations plastiques réelles p est supérieur au travail de tout autre tenseur de contraintes admissible σ (id est ne violant pas la loi de plasticité) associé à p» (σ σ ) : p 0 On forme F qui combine la fonction à maximiser et la contrainte à l aide d un multiplicateur plastique (problème d optimisation non linéaire) F(σ ) = σ : p λf(σ ) Dérivation par rapport à σ pour trouver un extremum p f = λ σ On a effectivement un max si la fonction f est convexe Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 14 / 28

Ecoulement plastique Plasticité associée Principe du travail maximal Formulation due à Hill (1951) : «Le travail des contraintes réelles σ associées aux vitesses de déformations plastiques réelles p est supérieur au travail de tout autre tenseur de contraintes admissible σ (id est ne violant pas la loi de plasticité) associé à p» (σ σ ) : p 0 On forme F qui combine la fonction à maximiser et la contrainte à l aide d un multiplicateur plastique (problème d optimisation non linéaire) F(σ ) = σ : p λf(σ ) Dérivation par rapport à σ pour trouver un extremum p f = λ σ On a effectivement un max si la fonction f est convexe Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 14 / 28

Ecoulement plastique Plasticité associée Principe du travail maximal Formulation due à Hill (1951) : «Le travail des contraintes réelles σ associées aux vitesses de déformations plastiques réelles p est supérieur au travail de tout autre tenseur de contraintes admissible σ (id est ne violant pas la loi de plasticité) associé à p» (σ σ ) : p 0 On forme F qui combine la fonction à maximiser et la contrainte à l aide d un multiplicateur plastique (problème d optimisation non linéaire) F(σ ) = σ : p λf(σ ) Dérivation par rapport à σ pour trouver un extremum p f = λ σ On a effectivement un max si la fonction f est convexe Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 14 / 28

Ecoulement plastique Plasticité associée De la viscoplasticité à la plasticité Ω Ind(f) σ ~ Potentiel viscoplastique σ ~ Obtention d un modèle plastique par passage à la limite Viscoplasticité vp = vn v vient de Ω(f) Plasticité p = λn λ vient de la condition de cohérence Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 15 / 28

Ecoulement plastique Plasticité associée Aspects géométriques associés au principe de Hill (σ σ ) : p 0 σ sur la surface de charge, σ est dans le domaine, p = 0 Règle de normalité, en auscultant le plan tangent, (σ sur la surface), k t : p 0 et k t : p 0 si bien que t : p = 0 Signe du multiplicateur, en auscultant la normale intérieure, (σ sur la surface), (σ σ ) = k n colinéaire à n (k>0), et : k n : λn 0 d où λ 0 Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 16 / 28

Ecoulement plastique Plasticité associée Convexité de la surface de charge f<0. p ε ~ n ~. σ ~ σ* ~ n ~ σ ~ a. Illustration de la règle de normalité b. Convexité de f Principe de Hill (f convexe et écoulement normal) Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 17 / 28

Plan 1 Les ingrédients 2 Ecoulement viscoplastique 3 Ecoulement plastique Plasticité associée Evaluation des directions d écoulement Modèle parfaitement plastique 4 Synthèse

Ecoulement plastique Evaluation des directions d écoulement Direction d écoulement associée au critère de von Mises Modèle parfaitement plastique f(σ ) = J(σ ) σ y p ij = λn ij p = λn n ij = J = 3 s ij σ ij 2 J n = J = 3 σ 2 On appelle déformation plastique cumulée, p, la longueur du trajet représentant l écoulement dans l espace des déformations plastiques, soit, au temps t, Z t ( ) 1/2 ( ) 1/2 2 2 p(t) = ṗ(τ)dτ ṗ = 0 3 p ij p ij = 3 p p : Avec le critère de von Mises ṗ = ( 2 s s λ 3 3 2 J : λ 3 2 J ) 1/2 = λ s J Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 19 / 28

Ecoulement plastique Evaluation des directions d écoulement Ecoulement pour le modèle de von Mises sous chargement uniaxial Une seule composante du tenseur de contrainte est non nulle σ = σ 0 0 0 0 0 s = 2σ 1 0 0 0 1/2 0 3 0 0 0 0 0 1/2 Calcul de la normale, avec J = σ n = 3 s 2 J = 1 0 0 0 1/2 0 0 0 1/2 Composantes de la vitesse de déformation plastique signe(σ) p 11 = λ = ṗ p 22 = p 33 = ṗ 2 Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 20 / 28

Ecoulement plastique Evaluation des directions d écoulement Direction d écoulement associée au critère de Tresca - Si σ 1 > σ 2 > σ 3, : f(σ ) = σ 1 σ 3 σ y, il s établit un écoulement plastique de p cisaillement pur, avec 22 = 0 p = λ 1 0 0 0 0 0 0 0 1 - En traction simple, par exemple σ 1 > σ 2 = σ 3 = 0 : f(σ ) = σ 1 σ 2 σ y, ou f(σ ) = σ 1 σ 3 σ y p = λ 1 0 0 0 0 0 + µ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 21 / 28

Ecoulement plastique Evaluation des directions d écoulement Direction d écoulement associée au critère de Drucker - Prager f(σ ) = (1 α)j(σ ) + αtrace(σ ) σ y Augmentation de volume quel que soit le chargement appliqué : n = 3 2 (1 α) s J + α I trace( p ) = λtrace n = 3α λ Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 22 / 28

Plan 1 Les ingrédients 2 Ecoulement viscoplastique 3 Ecoulement plastique Plasticité associée Evaluation des directions d écoulement Modèle parfaitement plastique 4 Synthèse

Ecoulement plastique Modèle parfaitement plastique Comportement parfaitement plastique Ecoulement à déterminer à partir de f(σ ) = 0 et ḟ(σ ) = 0 p f = λ = σ λn Ecriture de la condition de cohérence (sur f(σ ) = J σ y ) ḟ = f σ : σ = n : σ = 0 Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 24 / 28

Ecoulement plastique Modèle parfaitement plastique Comportement parfaitement plastique Ecoulement à déterminer à partir de f(σ ) = 0 et ḟ(σ ) = 0 p f = λ = σ λn Ecriture de la condition de cohérence (sur f(σ ) = J σ y ) ḟ = f σ : σ = n : σ = 0 Au cours de l écoulement plastique, le point représentatif de l état de contrainte ne peut que tourner autour du domaine d élasticité. Le multiplicateur plastique ne peut pas se déterminer en termes de vitesse de contrainte Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 24 / 28

Ecoulement plastique Modèle parfaitement plastique Comportement parfaitement plastique, déformation imposée Elasticité Projection sur la normale à la surface σ = Λ : ( p ) et n : σ = 0 n : σ = n : Λ : ( p ) = n : Λ : n : Λ : λn Expression du multiplicateur plastique en fonction de la vitesse de déformation totale λ = n : Λ : n : Λ : n Expression de la vitesse de déformation plastique p = λn = n : Λ : n : Λ : n n Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 25 / 28

Ecoulement plastique Modèle parfaitement plastique Comportement parfaitement plastique, tenseur élastoplastique, L ep Vitesse de contrainte σ = Λ : ( p ) En remplaçant la vitesse de déformation plastique ( σ = Λ : Λ : n : Λ : n : Λ : n Comme Λ ijkl n pq Λ pqrs rs n kl = Λ ijkl n kl n pq Λ pqrs rs, on en déduit σ = L ep, avec n ) (Λ L ep : n) (n : Λ ) = Λ n : Λ : n Formellement, c est une relation de type élasticité, mais exprimée «en vitesse» Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 26 / 28

Ecoulement plastique Modèle parfaitement plastique Comportement parfaitement plastique, cas de l élasticité isotrope et du critère de von Mises Simplifications possibles Λ ijkl = λδ ij δ kl + µ(δ ik δ jl + δ il δ jk ) ; n ij = 3 2 n ij Λ ijkl = 2µn kl ; n ij Λ ijkl n kl = 3µ ; n ij Λ ijkl kl = 2µn kl kl s ij J λ = 2 3 n : Cas du chargement uniaxial : dans ce cas, la vitesse de déformation totale est égale à la vitesse de déformation plastique, la normale est la diagonale (1, 1/2, 1/2)signe(σ ). La vitesse de déformation totale est la diagonale ( p 11, p 11 /2, p 11 /2), on retrouve bien : λ = p 11 signe(σ) Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 27 / 28

Synthèse Comparaison des lois plastiques et viscoplastiques Représentations dans l espace des contraintes Elasticité f < 0 Elasticité f < 0 f(σ ) = 0 f(σ ) = 0 Viscoplasticité Plasticité Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 28 / 28

Synthèse Comparaison des lois plastiques et viscoplastiques Représentations dans l espace des contraintes f(σ ) > 0 domaine interdit f(σ ) > 0 Elasticité f < 0 Elasticité f < 0 f(σ ) = 0 f(σ ) = 0 Viscoplasticité Plasticité Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 28 / 28

Synthèse Comparaison des lois plastiques et viscoplastiques Représentations dans l espace des contraintes f(σ ) > 0 vp domaine interdit f(σ ) > 0 p Elasticité f < 0 Elasticité f < 0 f(σ ) = 0 f(σ ) = 0 Viscoplasticité Plasticité Georges Cailletaud (MINES ParisTech) Plasticité 3D 22 mars 2010 28 / 28