Αλγό ριθμόι ερωτημά των εγγυ τητάσ τρόχιων ςε ςημει ά ενδιάφε ρόντόσ πά νω ςε χωρικά δι κτυά

Αλγό ριθμόι ερωτημά των εγγυ τητάσ τρόχιων ςε ςημει ά ενδιάφε ρόντόσ πά νω ςε χωρικά δι κτυά Στο πλαίςιο τησ εκπόνηςησ διπλωματικήσ εργαςίασ για την απόκτηςη ΜΔΕ ςτο τμήμα Πληροφορικήσ του Αριςτοτέλειου Πανεπιςτημίου Θεςςαλονίκησ Πλιϊκησ Νικόλαοσ Α.Μ.: 589 Αριςτοτϋλειο Πανεπιςτόμιο Θεςςαλονύκησ 2017

Πρόλογοσ Η διπλωματικι αυτι εργαςία τιτλοφορείται «Αλγόρικμοι ερωτθμάτων εγγφτθτασ τροχιϊν ςε ςθμεία ενδιαφζροντοσ πάνω ςε χωρικά δίκτυα», και αποτελεί μία μελζτθ ςτθ ςυμπεριφορά ςυγκεκριμζνων αλγορίκμων οι οποίοι χρθςιμοποιοφνται για τθ δεικτοδότθςθ και τθν ανάκτθςθ τροχιϊν ςε δίκτυα, όταν αυτά τα δίκτυα είναι πολφ μεγάλα ςε μζγεκοσ. Η εργαςία εκπονικθκε ςτα πλαίςια τθσ απόκτθςθσ του ΜΔΕ ςτα Πλθροφοριακά υςτιματα, ςτο Σμιμα Πλθροφορικισ του Αριςτοτελείου Πανεπιςτθμίου Θεςςαλονίκθσ. Η ζρευνα παρουςίαςε δυςκολίεσ οι οποίεσ επιμικυναν τθ διάρκειά τθσ, με τθ ςθμαντικότερθ να είναι θ παρουςία και θ διαμονι μου ςτο εξωτερικό κακ όλθ τθ διάρκεια εκπόνθςισ τθσ. Παρ όλα αυτά, θ υλοποίθςθ και θ περάτωςθ τθσ πειραματικισ μελζτθσ ιταν εξαιρετικά ενδιαφζρουςα και μου ζδωςε τθν ευκαιρία να εμβακφνω ςε κζματα ςχετικά με τθν υλοποίθςθ δθμοςιευμζνων αλγορίκμων και τθ χριςθ και ενςωμάτωςθ βιβλιοκθκϊν ςτθν οποιαδιποτε δουλειά μου. Θα ικελα να ευχαριςτιςω κυρίωσ τουσ επιβλζποντζσ μου, τον κο Ελευκζριο Σιάκα και τον κο Ιωάννθ Μανωλόπουλο, εκ μζρουσ του οποίου ο κοσ Σιάκασ επζβλεψε τθν εργαςία μου και μου παρείχε όλθ τθν υποςτιριξθ που χρειάςτθκα. Θα ικελα επίςθσ να ευχαριςτιςω τουσ προαναφερκζντεσ για τθ δυνατότθτα που μου ζδωςαν να εκπονιςω τθν παροφςα διπλωματικι εργαςία εξ αποςτάςεωσ και χωρίσ τθ φυςικι μου παρουςία, κάτι που με βοικθςε ιδιαίτερα ςτθ ςυγκεκριμζνθ χρονικι περίοδο. Ακόμθ, κα ικελα να ευχαριςτιςω τθν τριμελι επιτροπι θ οποία εξζταςε τθν εργαςία αυτι, και που αποτελείται από τουσ κφριουσ Ιωάννθ Μανωλόπουλο (Κακθγθτισ), Απόςτολο Παπαδόπουλο (Αναπλθρωτισ Κακθγθτισ) και Αναςτάςιο Γοφναρθ (Επίκουροσ Κακθγθτισ), για το χρόνο που διζκεςε για τθν αξιολόγθςι τθσ. Θα ικελα, τζλοσ, να ευχαριςτιςω τουσ γονείσ μου Ιωάννθ και Αναςταςια, και τον αδερφό μου Ανδρζα για τθν αμζριςτθ ςυμπαράςταςθ, τόςο υλικι όςο και θκικι και ψυχολογικι, που μου ζχουν δείξει κακ όλα τα χρόνια των ςπουδϊν μου και ςε όλουσ τουσ τομείσ τθσ ηωισ μου. Νικόλαοσ Πλιάκθσ 09-02-2017 Τριμελόσ επιτροπό Ιωϊννησ Μανωλόπουλοσ (Καθηγητόσ) Επιβλέπων Απόςτολοσ Παπαδόπουλοσ (Αναπληρωτόσ Καθηγητόσ) Μέλοσ επιτροπήσ Αναςτϊςιοσ Γούναρησ (Επύκουροσ Καθηγητόσ) Μέλοσ επιτροπήσ 1

Περιεχόμενα φνοψθ... 1 Ειςαγωγι... 1 χετικι ζρευνα... 3 Ανάλυςθ προβλιματοσ... 4 Οριςμοί... 4 Οριςμόσ προβλιματοσ... 6 Αλγόρικμοι και υλοποίθςθ... 6 Αλγόρικμοι... 6 Fixed Network (FN) R-Tree... 7 Moving Objects in Network (MON) Tree... 11 Λίςτα γειτνίαςθσ και ςυςτάδεσ τροχιϊν... 14 Τλοποίθςθ... 18 Πειραματικι αξιολόγθςθ αλγορίκμων... 21 FNR-Tree... 23 MON-Tree... 27 φγκριςθ μεταξφ FNR-Tree και MON-Tree... 31 Λίςτα γειτνίαςθσ και τροχιϊν... 35 υμπεράςματα... 41 Μελλοντικι εργαςία... 42 Αναφορζσ... 45

Σύνοψη Σα τελευταία χρόνια υπάρχει αφξθςθ τθσ ανάγκθσ για αναηιτθςθ και άμεςθ ανάκτθςθ μονοπατιϊν και τροχιϊν ςε δίκτυα και πόλεισ, ιδίωσ αν λάβει κανείσ υπ όψθ το γεγονόσ ότι ολοζνα και περιςςότεροι άνκρωποι ταξιδεφουν ςε χϊρεσ και πόλεισ για εργαςία ι αναψυχι. Σο πρόβλθμα λοιπόν ανάγεται ςε ζνα κλαςικό πρόβλθμα αναηιτθςθσ, με τθν ανάγκθ για δεικτοδότθςθ και αποδοτικι αποκικευςθ των δεδομζνων αυτϊν με ςκοπό τθν ταχεία επιςτροφι τουσ ςτο χριςτθ. Παρακάτω παρακζτουμε ζναν οριςμό για τθν τροχιά, κακϊσ και τον οριςμό του προβλιματοσ που μελετοφμε. Αναγνωρίηουμε τρεισ αλγόρικμουσ που προςπακοφν να δϊςουν λφςθ ςε αυτό, δφο που βαςίηονται ςε επεκτάςεισ του γνωςτοφ R-Tree, ζνα εκ των οποίων αποτελεί βελτίωςθ του άλλου, και ζναν που βαςίηεται ςε ςφγκριςθ ςυγκεκριμζνων μεγεκϊν εγγφτθτασ τα οποία ορίηονται με τζτοιο τρόπο ϊςτε να λαμβάνουν υπ όψθ τόςο τθ χρονικι όςο και τθ χωρικι απόςταςθ των ςθμείων μεταξφ τουσ. Χρθςιμοποιοφμε τθν υλοποίθςθ των αλγορίκμων για να εκτελζςουμε πειραματικζσ μελζτεσ και να μελετιςουμε τθ ςυμπεριφορά τουσ ςε πολφ μεγάλα ςε μζγεκοσ δίκτυα. Παρακζτουμε τα αποτελζςματα και τισ ερμθνείεσ τουσ, ενϊ ςτο τζλοσ προτείνουμε και κζματα τα οποία κα μποροφςαν να αποτελζςουν μελλοντικι εργαςία για τθ βελτιςτοποίθςθ των αλγορίκμων που μελετικθκαν. Ειςαγωγό Από τθν αρχαιότθτα θ ανκρωπότθτα είχε τθν ανάγκθ να χαρτογραφεί όλα τα ςθμεία ςτα οποία μποροφςε να φτάςει, κακϊσ και να εξερευνά όλα τα μζρθ εκείνα ςτα οποία δεν είχε πατιςει το πόδι τθσ ακόμα. Εκφράςεισ όπωσ «ο γνωςτόσ κόςμοσ», αλλά και μεγάλεσ ανακαλφψεισ νζων θπείρων, οφείλονται ςτθν ανάγκθ αυτι του ανκρϊπου να ανακαλφπτει τι υπάρχει πίςω από τθν επόμενθ γωνία. Για τουσ μεγάλουσ εξερευνθτζσ των παλιϊν χρόνων, το ταξίδι και θ ανακάλυψθ ιταν αυτοςκοπόσ. ιμερα, ζχοντασ ιδθ χαρτογραφιςει όλον τον πλανιτθ ςτον οποίο ηοφμε, θ ανάγκθ να ανακαλφψουμε το «ποφ» κα πάμε ζχει αντικαταςτακεί από τθν ανάγκθ να ανακαλφψουμε το «πϊσ» κα πάμε εκεί. Επίςθσ, οι περιςςότερεσ, αν όχι όλεσ οι διαδρομζσ βρίςκονται επάνω ςε δρόμουσ ι μονοπάτια, δθμιουργϊντασ ςυνδεδεμζνα δίκτυα, με τουσ δικοφσ τουσ περιοριςμοφσ οι οποίοι τα διαφοροποιοφν από τθν ελεφκερθ κίνθςθ ςτον Ευκλείδειο τριςδιάςτατο χϊρο. Αξίηει να ςθμειωκεί ότι θ πλειονότθτα των εργαςιϊν που αςχολοφνται με τροχιζσ αςχολοφνται με τθν κίνθςθ των αντικειμζνων ςτον Ευκλείδειο χϊρο, δθλαδι ςε όλον τον διςδιάςτατο χϊρο, χωρίσ περιοριςμοφσ ςτθν κίνθςι τουσ. Όπωσ αναφζρκθκε παραπάνω, όμωσ, ςε πραγματικζσ εφαρμογζσ οι οποίεσ αςχολοφνται με κινιςεισ αντικειμζνων, υπάρχουν ςχεδόν πάντα περιοριςμοί. Ακόμα και τα αεροπλάνα, τα οποία μπορεί κανείσ να πει πωσ κινοφνται ελεφκερα και ςτον τριςδιάςτατο χϊρο (ξεπερνϊντασ τουσ περιοριςμοφσ ενόσ διςδιάςτατου οδικοφ δικτφου και προςκζτοντασ άλλθ μία 1

διάςταςθ ςτθν κίνθςι τουσ) κινοφνται ςυνικωσ ςε καλά οριςμζνεσ αεροδιαδρομζσ και οι τροχιζσ τουσ ςτθν πλειονότθτα των περιπτϊςεων είναι καλά κακοριςμζνεσ. Πολλά από τα πράγματα που απαρτίηουν τον κόςμο μασ μποροφν να εκφραςτοφν ωσ ζνα τζτοιο ςυνδεδεμζνο δίκτυο και όχι μόνο διαδρομζσ και μονοπάτια, πάνω ςτο οποίο μποροφν να ταξιδζψουν αντικείμενα με ςκοπό τθν επίτευξθ ςυγκεκριμζνων ςτόχων. Από τα πιο προφανι, όπωσ για παράδειγμα το ςφνολο των δρόμων ςε μία πόλθ ι τουσ ςυνδζςμουσ μεταξφ δρομολογθτϊν ςε ζνα δίκτυο, μζχρι πιο εξεηθτθμζνα δίκτυα, όπωσ νευρωνικά μονοπάτια ςτο εςωτερικό ενόσ εγκεφάλου. Σο γεγονόσ αυτό κάνει τα δίκτυα και τθ μελζτθ τθσ δρομολόγθςθσ ςε αυτά ιδιαίτερα ενδιαφζροντα κζματα για μελζτθ. Κάκε ζνα από αυτά τα δίκτυα, πζρα από τισ οποιεςδιποτε ιδιαιτερότθτεσ που μπορεί να παρουςιάηει, μπορεί να εκφραςτεί ωσ ζνα ςφνολο από κόμβουσ οι οποίοι ενϊνονται μεταξφ τουσ με ακμζσ. Για τθ μοντελοποίθςι τουσ χρθςιμοποιοφμε ςυνικωσ γράφουσ, οι οποίοι παρζχουν ζναν τρόπο αφαιρετικισ απεικόνιςθσ και δυνατότθτεσ χειριςμοφ των εν λόγω δικτφων και των ιδιοτιτων τουσ. Για τθν αναπαράςταςθ ενόσ δικτφου με τθ χριςθ ενόσ γράφου δεν απαιτείται μία απόλυτθ αντιςτοιχία με τθν πραγματικι γεωγραφία τθσ κάκε ακμισ, γεγονόσ το οποίο ςθμαίνει ότι κάκε υλοποίθςθ μπορεί να προςπερνά τθ μοντελοποίθςθ τθσ ίδιασ τθσ ακμισ και των λεπτομερειϊν τθσ και να επικεντρϊνεται, αντί αυτοφ, ςτο χειριςμό των χωρικϊν δεδομζνων μοντελοποιϊντασ τθν με τθ χριςθ των ςθμείων αρχισ και τζλουσ. Ζνα δίκτυο, φυςικά, για να ζχει κάποια χρθςιμότθτα και να μελετθκεί, κα πρζπει να χρθςιμοποιείται από αντικείμενα. Ζνα δίκτυο το οποίο απλά υπάρχει ςτο χϊρο μπορεί απλϊσ να αναπαραςτακεί με ζνα γράφθμα, το οποίο κα αποτελεί αντικείμενο προσ μελζτθ τθσ κεωρίασ γράφων. τθν προκειμζνθ περίπτωςθ, μασ ενδιαφζρουν αντικείμενα τα οποία μετακινοφνται ςτο γράφθμα βάςει ςυγκεκριμζνων κανόνων, οπότε και το αξιοποιοφν. Σα αντικείμενα αυτά μπορεί να χαρακτθρίηονται από διάφορεσ ιδιότθτεσ, οι οποίεσ μπορεί να ζχουν (ταχφτθτα, προτεραιότθτα ςε περιπτϊςεισ ςυμφόρθςθσ, υπακοι ι όχι ςε τυχόν περιοριςμοφσ του δικτφου) ι να μθν ζχουν (χρϊμα, ID, ετικζτα ονόματοσ) ςχζςθ με τον τρόπο που αυτά κα διαςχίηουν και κα κινοφνται πάνω ςτο δίκτυο. υνικωσ τα αντικείμενα ζχουν κάποια αφετθρία και κάποιον προοριςμό, ενϊ προαιρετικά μπορεί να επιςκζπτονται ςθμεία ενδιαφζροντοσ πάνω ςτο δίκτυο, γεγονόσ που μεταβάλλει τθν πορεία που κα ακολουκιςουν, θ οποία δεν περιορίηεται πλζον ςε μία κίνθςθ από το ςθμείο Α ςτο ςθμείο Β. Η διαδρομι που ακολουκεί το κάκε αντικείμενο, ςεβόμενο τουσ περιοριςμοφσ που το δίκτυο κζτει ςτθν κίνθςι τουσ, αποτελεί τθν τροχιά του αντικειμζνου. Με τθν πρόοδο τθσ τεχνολογίασ και, κυρίωσ, με τθν εξάπλωςθ και διάδοςθ των κινθτϊν ςυςκευϊν, θ ανακάλυψθ, καταςκευι και πρόβλεψθ τροχιϊν πάνω ςε δίκτυα βρίςκει άμεςεσ πρακτικζσ εφαρμογζσ. Εάν φζρουμε ςτο μυαλό μασ κάποιεσ από αυτζσ, εφκολα μποροφμε να φανταςτοφμε ζνα χριςτθ ο οποίοσ ηθτά πλθροφορίεσ για τθ ςυντομότερθ διαδρομι που πρζπει να ακολουκιςει προκειμζνου να φτάςει ςτον προοριςμό του ι για να περάςει από ζνα ςφνολο ςθμείων ενδιαφζροντοσ ςε μία πόλθ, ι κάποιον περιπατθτι ο οποίοσ ανακαλφπτει μία ιδιαίτερα ενδιαφζρουςα διαδρομι και κζλει να τθν αποκθκεφςει για μελλοντικι χριςθ ι για να τθ μοιραςτεί με τουσ φίλουσ του. Και φυςικά, δε κα πρζπει να παραλείψουμε το επιςτθμονικό ενδιαφζρον που παρουςιάηει θ ςυλλογι και μελζτθ μεγάλου όγκου 2

δεδομζνων τροχιϊν για τθν ανακάλυψθ τάςεων, προτιμιςεων, ςυμπεριφορϊν και ςθμείων ςυμφόρθςθσ. Γίνεται αμζςωσ προφανζσ, λοιπόν, ακόμα και χωρίσ να υπειςζλκουμε ςε λεπτομζρειεσ για άλλεσ περιοχζσ των οποίων τα αντικείμενα μελζτθσ μποροφν να μοντελοποιθκοφν αφαιρετικά ωσ γραφιματα, πωσ θ μελζτθ τροχιϊν πάνω ςε γραφιματα που αντιπροςωπεφουν πραγματικά και υπαρκτά δίκτυα παρουςιάηει ιδιαίτερο ενδιαφζρον, όπωσ και οι μζκοδοι για τθν αποδοτικι αποκικευςθ και ανάκτθςθ των δεδομζνων αυτϊν. Αυτζσ οι μζκοδοι κα είναι το αντικείμενο τθσ παροφςασ εργαςίασ. Πζρα από τα παραπάνω, ενδιαφζρον παρουςιάηει και θ αναηιτθςθ τροχιϊν πάνω ςε δίκτυα. Οι εφαρμογζσ οι οποίεσ αξιοποιοφν τζτοιου είδουσ αναηθτιςεισ βαςίηονται ςε ιςτορικά δεδομζνα (π.χ. διαδρομζσ που ζχουν ακολουκιςει άλλοι χριςτεσ του δικτφου ςτο παρελκόν), προκειμζνου να αντλιςουν πλθκϊρα πλθροφοριϊν προσ επεξεργαςία ι παρουςίαςθ. Για παράδειγμα, ζνασ επιςκζπτθσ ςε κάποια πόλθ μπορεί να δϊςει ζνα χωρικό εφροσ ςτο οποίο μπορεί ι προτίκεται να ταξιδζψει και θ εφαρμογι κα του δείξει προτεινόμενεσ διαδρομζσ βάςει αυτϊν των ιςτορικϊν δεδομζνων. Φυςικά, ςτθ ςυγκεκριμζνθ επιςτθμονικι περιοχι υπάρχει μία ςειρά από προβλιματα. Σα κυριότερα είναι το υψθλό κόςτοσ προεπεξεργαςίασ και αποκικευςθσ του δικτφου, το οποίο αυξάνεται ταυτόχρονα με τθν αφξθςθ του μεγζκουσ του δικτφου και θ υψθλι χωρικι πολυπλοκότθτα τθσ αποκικευςθσ όλων των πικανϊν τροχιϊν μεταξφ κάκε ηεφγουσ κόμβων. Σχετικό ϋρευνα Για τθ μελζτθ των τροχιϊν κινοφμενων αντικειμζνων πάνω ςε δίκτυα, κα πρζπει να ζχουμε μία μζκοδο θ οποία κα μασ επιτρζψει να καταςκευάςουμε ρεαλιςτικά γραφιματα διαφόρων μεγεκϊν, κακϊσ και αναπαραςτάςεισ αντικειμζνων τα οποία κα κινοφνται μζςα ςε αυτά. Προκειμζνου τα δεδομζνα να είναι όςο πιο ρεαλιςτικά γίνεται, θ τυχαία κατανομι τουσ είναι μόνο μία από τισ πικανζσ μεκόδουσ που μποροφν να χρθςιμοποιθκοφν. το *1+ προτείνονται μζκοδοι και τεχνικζσ για τθν παραγωγι ςυνκετικϊν δεδομζνων κινοφμενων αντικειμζνων, οι οποίεσ οδθγοφν ςε καλφτερθ κατανομι και ρεαλιςτικότερα αποτελζςματα. Πολλζσ από τισ ζρευνεσ και τουσ αλγόρικμουσ που κα μελετθκοφν ςτθν παροφςα εργαςία χρθςιμοποιοφν τθ γεννιτρια αντικειμζνων του Brinkhoff για παραγωγι κινοφμενων αντικειμζνων μζςα ςτα δίκτυα και μελζτθ τθσ αποδοτικότθτασ των δομϊν που προτείνονται. Σο κφριο ενδιαφζρον βρίςκεται ςτθ μελζτθ των δεδομζνων των τροχιϊν. τα [2], [3] θ τροχιά ενόσ κινοφμενου αντικειμζνου ορίηεται ωσ το ςφνολο των ακμϊν τισ οποίεσ κα ακολουκιςει το αντικείμενο κατά τθ διάρκεια ηωισ του πάνω ςτο γράφο (ςυνικωσ από τθν αφετθρία μζχρι τον τελικό προοριςμό) και το χρονικό διάςτθμα που το αντικείμενο διζρχεται από τθν κάκε ακμι. Επίςθσ παρουςιάηονται τεχνικζσ μεταςχθματιςμοφ των δεδομζνων του δικτφου, κακϊσ και των δεδομζνων των τροχιϊν. Πολλζσ από αυτζσ τισ τεχνικζσ, όπωσ θ αποκικευςθ των δεδομζνων ενόσ δικτφου ςε R-Trees, ςυναντϊνται και ςτισ δομζσ που κα μελετιςουμε παρακάτω. Μία εναλλακτικι αναπαράςταςθ των δεδομζνων τροχιϊν, που χρθςιμοποιείται ςτο *5+, είναι θ αποκικευςθ των κόμβων από τουσ οποίουσ 3

διζρχεται το αντικείμενο αντί των ακμϊν, και τθσ αντίςτοιχθσ χρονικισ ςτιγμισ που πραγματοποιικθκε θ επίςκεψθ. Για τθν αποκικευςθ δεδομζνων τροχιϊν ζχουν προτακεί αρκετζσ μζκοδοι, από τισ οποίεσ κάποιεσ κα μελετθκοφν ςτθν παροφςα εργαςία. Μία ενδιαφζρουςα προςζγγιςθ, τθν οποία και κα επαλθκεφςουμε πειραματικά για πολφ μεγάλα δίκτυα, αποτελεί θ δομι που προτάκθκε από τον Φρζντηο, αυτι του FNR-Tree [4]. Η δομι αυτι βαςίηεται ςτθν κλαςικι δομι R-Tree, θ οποία χρθςιμοποιείται ςε δφο επίπεδα. το FNR-Tree, το οποίο κα αναλφςουμε λεπτομερϊσ ςε μεγάλα δίκτυα ςε ακόλουκο κεφάλαιο, προτείνεται θ χριςθ μίασ τοπολογικισ δενδρικισ δομισ ενόσ διςδιάςτατου R-Tree για τθν αποκικευςθ των ακμϊν του γράφου. τα φφλλα του δζντρου αποκθκεφονται οι επιςκζψεισ των αντικειμζνων ςε μία δομι μονοδιάςτατου R-Tree. Οι Σιάκασ και Ραφαθλίδθσ προτείνουν μία διαφορετικι προςζγγιςθ *5+, θ οποία επίςθσ κα μελετθκεί ςε πολφ μεγάλα δίκτυα και ςτθν οποία το δίκτυο αποκθκεφεται με τθ μορφι λίςτασ γειτνίαςθσ (adjacency list) ςε ζνα αρχικό βιμα προεπεξεργαςίασ. ε κάκε ακμι που ςχθματίηεται ςε αυτι τθ λίςτα, αντιςτοιχίηεται μία ςυςτάδα θ οποία περιζχει τα αναγνωριςτικά IDs των τροχιϊν που διζρχονται από τθ ςυγκεκριμζνθ ακμι. Ακολοφκωσ, προτείνεται μία νζα μετρικι ομοιότθτασ μεταξφ τροχιϊν, θ οποία χρθςιμοποιείται για τθ διαδικαςία τθσ αναηιτθςθσ τροχιϊν. Ανϊλυςη προβλόματοσ Οριςμού Ωσ ζνα δίκτυο ορίηουμε ζνα ςφνολο, το οποίο αποτελείται από ζνα ςφνολο κορυφϊν και ζνα ςφνολο ακμϊν, οι οποίεσ ςυνδζουν τισ κορυφζσ μεταξφ τουσ. Η κάκε κορυφι, προαιρετικά, μπορεί να χαρακτθρίηεται από ςυντεταγμζνεσ πάνω ςτο επίπεδο, οπότε θ κορυφι δίνεται ςτθ μορφι: Η φπαρξθ των ςυντεταγμζνων βοθκά ςε πάρα πολλζσ εφαρμογζσ, κακϊσ δίνει τθ δυνατότθτα ςτθν κάκε ακμι να αποκθκευτεί βάςει τθσ τοπολογίασ τθσ (για παράδειγμα, ςε ζνα MBR ενόσ R-Tree). Κάκε ακμι βρίςκεται ςτθ μορφι: ( ) και ενϊνει μεταξφ τουσ τισ κορυφζσ και. ε εφαρμογζσ που μοντελοποιοφν πραγματικά δεδομζνα, κάκε ακμι αναπαριςτά ζνα οδικό τμιμα και ςυνικωσ είναι βεβαρθμζνθ, δθλαδι υπάρχει μία ςχζςθ ( ) θ οποία αναπαριςτά τθν απόςταςθ μεταξφ των δφο κόμβων, ι, εναλλακτικά, το χρόνο που χρειάηεται ζνα αντικείμενο για να φτάςει από τθν κορυφι ςτθν κορυφι μζςω τθσ ακμισ. Ανάλογα με τθν εφαρμογι που μελετάται και τισ απαιτιςεισ τθσ, θ απόςταςθ μεταξφ δφο κόμβων μπορεί να είναι είτε θ Ευκλείδεια απόςταςθ μεταξφ τουσ (ςε περίπτωςθ που είτε αυτι δίνεται ανεξάρτθτα, είτε υπάρχουν οι ςυντεταγμζνεσ των αντικειμζνων για τον κατά προςζγγιςθ υπολογιςμό τθσ), είτε το ςφνολο των βαρϊν όλων των ακμϊν που μεςολαβοφν ανάμεςα ςε αυτοφσ: 4

( ) ( ) Σο κάκε δίκτυο που μελετάται μπορεί να αναπαραςτακεί με τθ βοικεια ενόσ γράφου, ο οποίοσ κα χαρακτθρίηεται επίςθσ από τισ παραπάνω ιδιότθτεσ. τθν παροφςα εργαςία, οι όροι «δίκτυο» και «γράφοσ» κα κεωροφνται ιςοδφναμοι. Ωσ επιςκζπτθσ (ι αλλιϊσ κινοφμενο αντικείμενο) ορίηεται το αντικείμενο το οποίο διαςχίηει το δίκτυο, είτε με τυχαίο τρόπο είτε βάςει κάποιασ προκακοριςμζνθσ διαδρομισ. Ο επιςκζπτθσ ανικει ςτο ςφνολο των επιςκεπτϊν : Ο επιςκζπτθσ χαρακτθρίηεται από τθν ταχφτθτα και τθν τροχιά τθν οποία κα ακολουκιςει: Η ταχφτθτα επθρεάηει το χρόνο που κα χρειαςτεί ο επιςκζπτθσ προκειμζνου να ολοκλθρϊςει τθ διαδρομι του, ενϊ θ τροχιά του επιςκζπτθ είναι θ διαδρομι τθν οποία ζχει αποφαςίςει να εκτελζςει μζςα ςτο δίκτυο. Ο χρόνοσ ηωισ του επιςκζπτθ ορίηεται ωσ ο χρόνοσ που κα χρειαςτεί προκειμζνου να φτάςει από τθν αφετθρία ςτον προοριςμό του. Για τθν τροχιά, υπάρχουν δφο διαφορετικοί οριςμοί, ανάλογα με τθν εφαρμογι τθν οποία μελετοφμε, αλλά ςε κάκε μία από τισ δφο περιπτϊςεισ, θ κάκε τροχιά ανικει ςτο ςφνολο των τροχιϊν Και ςτισ δφο περιπτϊςεισ αναπαράςταςθσ, κεωροφμε πωσ θ επίςκεψθ ςτθν κάκε κορυφι είναι ςτιγμιαίο γεγονόσ, δθλαδι δε μασ ενδιαφζρει ο χρόνοσ που περνά ζνα αντικείμενο ςε ςτάςθ ςτθν κάκε κορυφι. Για τον οριςμό τθσ τροχιάσ μασ ενδιαφζρει μόνο ο ςυνολικόσ χρόνοσ που το αντικείμενο περνά εν κινιςει μζςα ςτα όρια του δικτφου. Ο ζνασ οριςμόσ, ο οποίοσ παρουςιάηεται ςτο *5+, δίνεται ωσ ζνα διατεταγμζνο ςφνολο ηευγϊν κορυφϊν, οι οποίεσ αντιςτοιχοφν ςτισ κορυφζσ από τισ οποίεσ περνά το αντικείμενο κατά τθ διάςχιςθ του δικτφου, κακϊσ και τθσ χρονικισ ςτιγμισ κατά τθν οποία πραγματοποιείται αυτι θ επίςκεψθ: ( ) ( ) ( ) ε αυτιν τθν αναπαράςταςθ το ςθμείο πρόςβαςθσ ςτα δεδομζνα των τροχιϊν είναι θ αντίςτοιχθ κορυφι του δικτφου που μελετοφμε. Ζνασ εναλλακτικόσ οριςμόσ τθσ τροχιάσ είναι το διατεταγμζνο ςφνολο των ηευγϊν των ακμϊν από τισ οποίεσ διζρχεται το αντικείμενο κατά τθ διάρκεια τθσ ηωισ του και τθ διάςχιςθ του δικτφου και του χρονικοφ διαςτιματοσ που το αντικείμενο διζςχιηε τθν κάκε ακμι: ( ) ( ) ( ) 5

Αυτόσ ο οριςμόσ χρθςιμοποιείται ςτο *4+, λόγω τθσ ακμοκεντρικισ προςζγγιςθσ που ακολουκείται ςε αυτό. ε κάκε μία από τισ παραπάνω περιπτϊςεισ, θ τροχιά αντιπροςωπεφει τθ διαδρομι που ακολουκεί το αντικείμενο κατά τθ διάςχιςθ του δικτφου. Οριςμόσ προβλόματοσ Ζςτω το δίκτυο πάνω ςτο οποίο κινοφνται τα αντικείμενα, το ςφνολο των τροχιϊν και το ςφνολο των επιςκεπτϊν/αντικειμζνων τα οποία κινοφνται πάνω ςτο δίκτυο. Δοκζντων των παραπάνω, το ηθτοφμενο είναι διττισ φφςθσ: 1) Η αναηιτθςθ και ανάκτθςθ τθσ τροχιάσ του αντικειμζνου ςτθ δομι ςτθν οποία αποκθκεφονται οι τροχιζσ των αντικειμζνων. Για τθν αναηιτθςθ χρειαηόμαςτε μετρικζσ ομοιότθτασ μεταξφ τροχιϊν, κακϊσ ςε πολφ μεγάλα δίκτυα το να ςυμπζςουν δφο τροχιζσ ακριβϊσ ϊςτε να ανακτθκοφν από μία ευκεία αναηιτθςθ κα είναι αρκετά δφςκολο. Η αναηιτθςθ κα μπορεί να μασ δϊςει τισ πικανζσ μελλοντικζσ κζςεισ των αντικειμζνων, βάςει των τροχιϊν που βρίςκονται ιδθ ςτθ δομι και που ανακτϊνται από τθν αναηιτθςθ. 2) Η αποκικευςθ τθσ νζασ τροχιάσ κατά τθ διάςχιςθ του δικτφου, ςε περίπτωςθ που αυτι δεν υπάρχει, ϊςτε να αυξιςουμε το ςφνολο των διακζςιμων δεδομζνων. Με αυτόν τον τρόπο μποροφμε να ζχουμε ςτθ διάκεςι μασ τόςο ιςτορικά ςτοιχεία ςχετικά με τθν κίνθςθ των αντικειμζνων, όςο και πλθροφορίεσ για τθν τρζχουςα κζςθ τουσ. Οι δφο παραπάνω πράξεισ κα πρζπει να είναι αρκετά αποδοτικζσ, ϊςτε θ εκτζλεςι τουσ να μπορεί να εκτελεςτεί κατά τθν κίνθςθ των αντικειμζνων πάνω ςτο δίκτυο. Για παράδειγμα, το αντικείμενο μπορεί να διαςχίηει αρκετά μικρζσ ακμζσ του δικτφου ϊςτε θ αποκικευςθ να πρζπει να είναι γριγορθ και θ δομι να είναι ςε κζςθ να εκτελζςει τθν αποκικευςθ του επόμενου τμιματοσ τθσ τροχιάσ. Ομοίωσ, θ ανάκτθςθ των τροχιϊν που περνοφν από τθν ακμι ι τθν κορυφι ςτθν οποία βρίςκεται το αντικείμενο κα πρζπει να μπορεί να γίνει με ταχφτθτα, ϊςτε να μπορζςουμε να λάβουμε τισ πλθροφορίεσ που χρειαηόμαςτε ςε εφλογο χρονικό διάςτθμα. τθν παροφςα εργαςία κα μελετθκοφν οι δομζσ που ζχουν προτακεί για το ςυγκεκριμζνο ςκοπό και που ζχουν αναφερκεί ςτθν ειςαγωγι. Η μελζτθ κα γίνει ςε πολφ μεγάλα δίκτυα, κακϊσ θ ςυμπεριφορά και θ ταχφτθτα των δομϊν ζχουν ιδθ μελετθκεί ςε μικρότερα δίκτυα. Σα δίκτυα που κα χρθςιμοποιιςουμε για τθ μελζτθ των δομϊν κα είναι τθσ τάξθσ των εκατομμυρίων κορυφϊν και εκατομμυρίων ακμϊν μεταξφ τουσ. Εφκολα γίνεται αντιλθπτό ότι τα δίκτυα αυτά κα είναι αραιά όςον αφορά τον αρικμό των ακμϊν. Αλγόριθμοι και υλοπούηςη Αλγόριθμοι Τπάρχει πλθκϊρα αλγόρικμων για τθ λφςθ του ςυγκεκριμζνου προβλιματοσ. Μια και το πρόβλθμα είναι χωρικισ φφςθσ, είναι επόμενο οι μζκοδοι που απαντϊνται ςτθ βιβλιογραφία να βαςίηονται ςε δομζσ δεικτοδότθςθσ χωρικϊν δεδομζνων. Η πιο καλά καταγεγραμμζνθ δομι που χρθςιμοποιείται είναι το R-Tree, με κάποιεσ παραλλαγζσ πάνω ςε αυτό για να ικανοποιθκοφν οι ανάγκεσ του 6

ςυγκεκριμζνου προβλιματοσ. Η επιλογι τθσ δομισ του R-Tree ωσ βάςθσ για τθν πλειονότθτα των αλγορίκμων είναι αναμενόμενθ, κακϊσ πρόκειται για ιδιαίτερα αποδοτικι μζκοδο χωρικισ δεικτοδότθςθσ και θ βάςθ του προβλιματόσ μασ είναι χωρικι (το δίκτυο αναπτφςςεται ςτο χϊρο). Επίςθσ, αξίηει να ςθμειωκεί ότι οι μζκοδοι δεικτοδότθςθσ που περιγράφονται παρακάτω μποροφν να χρθςιμοποιθκοφν και ςε δίκτυα που εκτείνονται ςε τριςδιάςτατουσ χϊρουσ, με τθ μόνθ διαφορά να είναι θ προςκικθ τθσ τρίτθσ διάςταςθσ (ςυντεταγμζνθ z). τθν παροφςα εργαςία, κα μελετιςουμε, χωρίσ βλάβθ τθσ γενικότθτασ, δίκτυα που εκτείνονται ςτο διςδιάςτατο χϊρο. Για αυτό το λόγο, τα MBR που κα χρθςιμοποιιςουμε κα περιγράφονται από δφο ςθμεία με δφο ςυντεταγμζνεσ το κακζνα. Από τισ διακζςιμεσ μεκόδουσ δεικτοδότθςθσ κινοφμενων αντικειμζνων, κα μελετιςουμε τρεισ, δφο που βαςίηονται ςτο R-Tree, κακϊσ και μία που βαςίηεται ςε λίςτεσ γειτνίαςθσ. Οι μζκοδοι αυτζσ ζχουν δοκιμαςτεί ςε δίκτυα μικροφ μεγζκουσ (τθσ τάξθσ των δεκάδων χιλιάδων ςυνδζςμων-ακμϊν). ε αυτιν τθν εργαςία, θ απόδοςθ των αλγορίκμων κα μελετθκεί ςε δίκτυα πολφ μεγάλου μεγζκουσ (τθσ τάξθσ των εκατομμυρίων ςυνδζςμων-ακμϊν). Fixed Network (FN) R-Tree Η δομι FNR-Tree [4] βαςίηεται, όπωσ προαναφζρκθκε, ςτο ιδθ γνωςτό R-Tree [7]. Η ιδζα πάνω ςτθν οποία βαςίηεται είναι ότι για οποιοδιποτε δίκτυο το οποίο αποτελείται από ςυνδζςμουσ, το FNR- Tree μπορεί να το μοντελοποιιςει ωσ ζνα ςφνολο (δάςοσ) από μονοδιάςτατα (1D) R-Trees, τα οποία βρίςκονται πάνω από ζνα διςδιάςτατο (2D) R-Tree. Σο διςδιάςτατο R-Tree χρθςιμοποιείται για τθ δεικτοδότθςθ των χωρικϊν δεδομζνων του δικτφου (όπωσ για παράδειγμα τουσ δρόμουσ που αποτελοφν ζνα οδικό δίκτυο), τα οποία εκφράηονται ωσ ακμζσ του γράφου που το αντιπροςωπεφει. Κάκε ζνα από τα φφλλα του διςδιάςτατου R-Tree αντιπροςωπεφει μία ακμι του γραφιματοσ, ενϊ παράλλθλα περιζχει και ζνα δείκτθ προσ ζνα μονοδιάςτατο R-Tree, και κάκε μονοδιάςτατο R-Tree χρθςιμοποιείται για τθ δεικτοδότθςθ των χρονικϊν διαςτθμάτων που ζνα κινοφμενο αντικείμενο βριςκόταν ςτθν ακμι που δεικτοδοτείται από το αντίςτοιχο φφλλο του διςδιάςτατου R-Tree. Όπωσ και το κλαςικό R-Tree, θ ςυγκεκριμζνθ δομι είναι ιςορροπθμζνθ ωσ προσ το φψοσ, δθλαδι όλα τθσ τα φφλλα βρίςκονται ςτο ίδιο επίπεδο. Η δομι του FNR-Tree χωρίηεται ςε δφο μζρθ, ςτθ δομι του διςδιάςτατου R-Tree και ςτθ δομι του μονοδιάςτατου R-Tree: 2D R-Tree: Οι διαφορζσ του διςδιάςτατου R-Tree με το κλαςικό είναι ελάχιςτεσ. Κάκε κόμβοσ του δζντρου χαρακτθρίηεται από το ελάχιςτο περικλείον ορκογϊνιο (minimum bounding rectangle, MBR), το οποίο με τθ ςειρά του εκφυλίηεται ςε άλλα μικρότερα ορκογϊνια όςο μετακινοφμαςτε προσ τα φφλλα του δζντρου. Κάκε κόμβοσ περιζχει δείκτεσ προσ τουσ κόμβουσ παιδιά, οι οποίοι με τθ ςειρά τουσ χαρακτθρίηονται από τα δικά τουσ MBRs. Κάκε κόμβοσ του δζντρου μπορεί να γραφτεί ωσ: Όπου το ςφνολο των ςτοιχείων που περιζχονται ςτο ςυγκεκριμζνο MBR. Σα MBRs των κόμβων παιδιϊν περικλείονται εξ ολοκλιρου μζςα ςτο ορκογϊνιο που χαρακτθρίηει τον κάκε γονζα (εναλλακτικά, το ορκογϊνιο του κάκε γονζα περικλείει τα ορκογϊνια όλων των παιδιϊν 7

του). υνεπϊσ, ο κάκε κόμβοσ μπορεί να μοντελοποιθκεί ωσ ζνα ςφνολο ςτοιχείων του δζντρου, με κάκε ςτοιχείο να ζχει το δικό του MBR και ζνα δείκτθ προσ το δικό του κόμβο παιδί. Κάκε ςτοιχείο του κόμβου μπορεί να γραφτεί ςτθ μορφι Όπου μπορεί να είναι είτε ζνασ δείκτθσ προσ ζναν κόμβο ςε κατϊτερο επίπεδο, είτε δείκτθσ προσ το μονοδιάςτατο R-Tree το οποίο κα περιζχει τα χρονικά διαςτιματα των επιςκζψεων ςτθν ακμι. τθ γενικι του μορφι, το κάκε φφλλο του FNR-Tree, το οποίο κα αντιπροςωπεφει μία ακμι του δικτφου, χρειάηεται και μία επιπλζον μεταβλθτι, θ οποία κα προςδιορίηει τον προςανατολιςμό τθσ ακμισ ςτθν οποία αντιςτοιχεί. Η μεταβλθτι αυτι κα λαμβάνει τιμζσ από το ςετ, με το 0 να δθλϊνει ότι ο προςανατολιςμόσ τθσ είναι από τα αριςτερά προσ τα δεξιά και με το 1 να δθλϊνει ότι ο προςανατολιςμόσ τθσ είναι από δεξιά προσ τα αριςτερά. Επίςθσ, ςτα πλαίςια τθσ ςυγκεκριμζνθσ δομισ, το φφλλο κα περιζχει και ζνα δείκτθ προσ το μονοδιάςτατο R-Tree, το οποίο, όπωσ αναφζραμε, κα δεικτοδοτεί τα χρονικά διαςτιματα κατά τα οποία ζνα αντικείμενο βριςκόταν ςτθ ςυγκεκριμζνθ ακμι. Ζτςι, κάκε φφλλο μπορεί να γραφτεί ςτθ μορφι Όπου MBR το ορκογϊνιο το οποίο κα περιζχει τθν ακμι, ο προςανατολιςμόσ τθσ, με τισ τιμζσ που αναφζραμε παραπάνω, τα οποία κα είναι το αναγνωριςτικό τθσ ςυγκεκριμζνθσ ακμισ (όνομα ι ID), και ο δείκτθσ που κα οδθγεί ςτο μονοδιάςτατο R-Tree. 1D R-Tree: Όπωσ αναφζραμε και προθγουμζνωσ, κάκε φφλλο του διςδιάςτατου R-Tree κα περιζχει ζνα δείκτθ προσ ζνα μονοδιάςτατο R-Tree. Αυτό το R-Tree κα χρθςιμοποιθκεί για τθ δεικτοδότθςθ των επιςκζψεων ςτισ διάφορεσ ακμζσ του δζντρου. Σο κάκε φφλλο αυτοφ του δζντρου κα περιζχει το χρονικό διάςτθμα κατά το οποίο ζνα αντικείμενο βριςκόταν ςτθν ακμι τθν οποία μοντελοποιεί το φφλλο του 2D R-Tree που δείχνει ςτο ςυγκεκριμζνο δζντρο, το αναγνωριςτικό τθσ ακμισ, το αναγνωριςτικό του αντικειμζνου και τθν κατεφκυνςθ του αντικειμζνου. Η κατεφκυνςθ του αντικειμζνου είναι άλλθ μία μεταβλθτι θ οποία λαμβάνει τιμζσ από το ςετ, όπωσ και θ μεταβλθτι που δθλϊνει τον προςανατολιςμό ςτα ςτοιχεία του διςδιάςτατου R-Tree. Η κατεφκυνςθ δθλϊνει το ςθμείο ειςόδου του αντικειμζνου ςτθν ακμι, με το 0 να δθλϊνει ότι το αντικείμενο ειςιλκε ςτθν ακμι από τα αριςτερά, ενϊ το 1 δθλϊνει ότι το αντικείμενο ειςιλκε ςτθν ακμι από τα δεξιά. τθν ειδικι περίπτωςθ που θ ακμι είναι κάκετθ, θ κατεφκυνςθ του αντικειμζνου γίνεται 0 όταν το αντικείμενο ειςζρχεται ςτθν ακμι από κάτω και 1 όταν ειςζρχεται από πάνω. Ο κάκε εςωτερικόσ κόμβοσ του μονοδιάςτατου R-Tree μπορεί να εκφραςτεί ςτθ μορφι 8

Και ςε αυτιν τθν περίπτωςθ, ςε ςυμφωνία με τθν αρχι λειτουργίασ του κλαςικοφ R-Tree, το διάςτθμα που περιγράφεται ςε κάκε εςωτερικό κόμβο περιζχει και υπερκαλφπτει τα διαςτιματα που αντιςτοιχοφν ςε κάκε κόμβο παιδί. Ο κάκε κόμβοσ φφλλο μπορεί να εκφραςτεί ςτθ μορφι Οι αλγόρικμοι οι οποίοι χρθςιμοποιοφνται για το χειριςμό τθσ δομισ είναι ελαφρζσ παραλλαγζσ αυτϊν που χρθςιμοποιοφνται και ςτο χειριςμό του κλαςικοφ R-Tree [7]. Πιο ςυγκεκριμζνα: Αλγόρικμοσ ειςαγωγισ: Ο αλγόρικμοσ ειςαγωγισ ςτο FNR-Tree εκτελείται κάκε φορά που ζνα αντικείμενο εξζρχεται από μία ακμι, όταν δθλαδι ζχει ολοκλθρϊςει τθν κίνθςι του ςτο ςυγκεκριμζνο τμιμα του δικτφου. Σα δεδομζνα τα οποία απαιτοφνται για τθν ειςαγωγι είναι τα δφο άκρα τθσ ακμισ τθν οποία διατρζχει το αντικείμενο (ςτθ μορφι ςυντεταγμζνων ςθμείων ), τθν κατεφκυνςθ του κινοφμενου αντικειμζνου και το χρονικό διάςτθμα κατά το οποίο το αντικείμενο διζτρεχε τθν ακμι. Χρθςιμοποιϊντασ τον αλγόρικμο του Guttmann *7+ για τθν αναηιτθςθ ςτο R-Tree, αναηθτοφμε τθν ακμι του δζντρου βάςει των παραπάνω ςυντεταγμζνων των δφο ςθμείων, με τθν εκτζλεςθ τθσ αναηιτθςθσ να γίνεται ςε τρία βιματα: αρχικά επιλζγουμε το φφλλο το οποίο αντιςτοιχεί ςτθ ςυγκεκριμζνθ ακμι (ChooseLeaf), βάςει των δοκζντων ςυντεταγμζνων. Αφοφ βροφμε το φφλλο ςτο οποίο κα γίνει θ ειςαγωγι, ειςάγουμε το ςτοιχείο ςτον κόμβο. ε περίπτωςθ υπερχείλιςθσ (overflow), επιλζγουμε ζναν από τουσ τρεισ αλγόρικμουσ (Exhaustive, LinearSplit και QuadraticSplit) για να διαχωρίςουμε τον κόμβο ςε δφο νζουσ. Σα ςτοιχεία του κόμβου διαμοιράηονται ςτουσ δφο νζουσ. Ο διαχωριςμόσ του κόμβου μπορεί να οδθγιςει ςε εκ νζου διαχωριςμό του κόμβου-γονζα, οπότε οι αλλαγζσ διαδίδονται προσ τα επάνω μζχρι να καταλιξουμε ςτθν ιδθ υπάρχουςα ι ςε νζα ρίηα του δζντρου. Σο βαςικό κριτιριο τόςο τθσ επιλογισ του φφλλου ςτο οποίο κα γίνει θ ειςαγωγι όςο και του διαχωριςμοφ των κόμβων είναι θ ελαχιςτοποίθςθ τθσ αφξθςθσ του εμβαδοφ των ορκογωνίων. τθν περίπτωςθ του διςδιάςτατου R-Tree, οι ακμζσ ειςάγονται με τυχαία ςειρά και οι παραπάνω ενζργειεσ είναι ςχεδιαςμζνεσ ζτςι ϊςτε να μποροφν να υποςτθρίξουν κάτι τζτοιο. Σα παραπάνω ιςχφουν ςε ζνα κλαςικό R-Tree και, κατ επζκταςθ, ςτο διςδιάςτατο R-Tree το οποίο βρίςκεται ςτο άνω επίπεδο τθσ δομισ μασ. τθν περίπτωςθ των μονοδιάςτατων R-Trees που βρίςκονται ςτα φφλλα του, όμωσ, μποροφμε να κάνουμε τθν αςφαλι υπόκεςθ ότι τα μονοδιάςτατα χρονικά διαςτιματα κα ειςάγονται με αφξουςα ςειρά, λόγω του γεγονότοσ ότι ο χρόνοσ κα είναι πάντα μονότονοσ και αφξων. Με αυτιν τθν παρατιρθςθ, αντιλαμβανόμαςτε ότι μποροφμε να κάνουμε μία διαφοροποίθςθ ςτθ λειτουργία τθσ ειςαγωγισ. Πιο ςυγκεκριμζνα, λόγω τθσ αφξουςασ πορείασ του χρόνου, κάκε νζο ςτοιχείο μπορεί απλά να ειςάγεται πάντα ςτο δεξιότερο, ι πιο πρόςφατο, φφλλο του μονοδιάςτατου R-Tree. τθν περίπτωςθ που το φφλλο αυτό είναι πλιρεσ, μποροφμε να δθμιουργιςουμε ζνα νζο φφλλο ςτο οποίο να ειςάγουμε το ςτοιχείο. Σο νζο φφλλο ακολοφκωσ ειςάγεται ςτον κόμβο γονζα του μζχρι πρότινοσ δεξιότερου παιδιοφ, με τισ αλλαγζσ να διαδίδονται προσ τθ ρίηα όπωσ και προθγουμζνωσ. Η τεχνικι αυτι χρθςιμοποιικθκε και ςτον αλγόρικμο ειςαγωγισ τθσ δομισ TB-Tree [9]. Η ςυγκεκριμζνθ βελτιςτοποίθςθ οδθγεί ςε πλιρθ φφλλα ςτα μονοδιάςτατα 9

δζντρα, ενϊ ελαχιςτοποιεί και τθν επικάλυψθ μεταξφ των φφλλων, γεγονόσ που οδθγεί ςε πιο αποδοτικι αξιοποίθςθ του χϊρου. υγκεκριμζνα, χωρίσ αυτι τθ βελτιςτοποίθςθ, θ αξιοποίθςθ του χϊρου των μονοδιάςτατων R-Trees υπολογίςτθκε ςτο 65%, ενϊ μετά τθ βελτιςτοποίθςθ αυξικθκε ςτο 96%. Κάκε φορά που ζνα αντικείμενο φτάνει ςε ζναν κόμβο, θ κίνθςι του ςτθν ακμι που μόλισ επιςκζφκθκε καταγράφεται και δεικτοδοτείται ςτο δζντρο. Σα δφο βιματα που χρειάηονται για τθ δεικτοδότθςθ είναι αρχικά μία αναηιτθςθ ςτο διςδιάςτατο δζντρο βάςει των ςυντεταγμζνων των δφο ςθμείων που ορίηουν τθν ακμι. Η αναηιτθςθ αυτι κα μασ δϊςει το φφλλο το οποίο αντιπροςωπεφει τθ ςυγκεκριμζνθ ακμι και το δείκτθ ςτο μονοδιάςτατο R-Tree το οποίο δεικτοδοτεί όλεσ τισ επιςκζψεισ ςε αυτιν. Ζχοντασ ανακαλφψει το δζντρο αυτό και ςφμφωνα με τθ διαπίςτωςθ που περιγράψαμε παραπάνω, το νζο διάςτθμα ειςάγεται ςτο δεξιότερο φφλλο του (ι ςτο νζο φφλλο που προκφπτει εάν το ιδθ υπάρχον είναι πλιρεσ). Παρακάτω βλζπουμε ςυνοπτικά τον ψευδοκϊδικα που περιγράφει τθ διαδικαςία ειςαγωγισ ςτθ δομι: Αλγόρικμοσ ειςαγωγισ του FNR-Tree 1. Εκτζλεςε τον αλγόρικμο αναηιτθςθσ του Guttman ςτο R-Tree ανωτζρου επιπζδου 2. Ανακάλυψε τθν ακμι τθν οποία το κινοφμενο αντικείμενο ςταματά να διαςχίηει 3. Ανάκτθςε τον κόμβο φφλλο που αντιπροςωπεφει αυτιν τθν ακμι 4. Ανάκτθςε το μονοδιάςτατο R-Tree ςτο οποίο δείχνει ο κόμβοσ φφλλο 5. Εκτζλεςε τον αλγόρικμο ειςαγωγισ του ςτοιχείου ςτο μονοδιάςτατο R-Tree Η χρονικι πολυπλοκότθτα του αλγορίκμου ςυμπίπτει με τθν αντίςτοιχθ του R-Tree, λόγω τθσ απλισ χριςθσ του αλγόρικμου αναηιτθςθσ του Guttman, και είναι, όπου ο μζγιςτοσ αρικμόσ ςτοιχείων που μπορεί να δεχτεί ζνασ κόμβοσ και ο αρικμόσ των ςτοιχείων προσ ειςαγωγι. Αλγόρικμοσ αναηιτθςθσ Η αναηιτθςθ ςτο FNR-Tree γίνεται βάςει ενόσ χωροχρονικοφ ερωτιματοσ (spatiotemporal query). Σο ερϊτθμα αυτό είναι ζνα τριςδιάςτατο διάςτθμα (3D interval), το οποίο αποτελείται από δφο ςθμεία ςτο χϊρο και ζνα χρονικό διάςτθμα και λαμβάνει τθ μορφι Η αναηιτθςθ ςτο δζντρο εκτελείται, όπωσ και προθγουμζνωσ, ςε δφο βιματα. Σο πρϊτο βιμα εκτελεί το χωρικό μζροσ του ερωτιματοσ χρθςιμοποιϊντασ τα δφο ςθμεία τα οποία δίνονται ςτο ερϊτθμα. Εκτελϊντασ το χωρικό ερϊτθμα, λαμβάνουμε όλεσ τισ ακμζσ οι οποίεσ περιζχονται ςτο ορκογϊνιο που ορίηεται από τα δφο δεδομζνα ςθμεία, κακϊσ και όλα τα μονοδιάςτατα R-Trees (τα ςτοιχεία των επιςκζψεων δθλαδι), τα οποία αντιςτοιχοφν ςε αυτζσ. Πάνω ςε αυτά τα μονοδιάςτατα R-Trees εκτελοφμε το δεφτερο βιμα τθσ αναηιτθςθσ, που είναι το χρονικό ερϊτθμα με τθ χριςθ του χρονικοφ διαςτιματοσ που δίνεται ςτο ερϊτθμα, ϊςτε να ανακτιςουμε τισ κινιςεισ των αντικειμζνων ςτθ δεδομζνθ χρονικι ςτιγμι, θ οποία ορίηεται από το χρονικό κομμάτι του ερωτιματοσ, και ςτθ ςυγκεκριμζνθ περιοχι που ορίηεται από το χωρικό κομμάτι του ερωτιματοσ. 10

Ακολουκεί μία ςυνοπτικι παρουςίαςθ του ψευδοκϊδικα που περιγράφει τθ διαδικαςία αναηιτθςθσ ςτθ δομι του FNR-Tree: Αλγόρικμοσ αναηιτθςθσ ςτο FNR-Tree 1. Εκτζλεςε τον αλγόρικμο αναηιτθςθσ του Guttman ςτο R-Tree ανωτζρου επιπζδου 2. Ανακάλυψε τισ ακμζσ που περιζχονται ςτο χωρικό παράκυρο που αντιπροςωπεφεται από το παραλλθλόγραμμο που δίδεται από το χριςτθ 3. Ανάκτθςε τουσ κόμβουσ φφλλα που αντιπροςωπεφουν αυτζσ τισ ακμζσ 4. Αποκικευςε τισ ακμζσ ςτθ μνιμθ 5. Εκτζλεςε τον αλγόρικμο αναηιτθςθσ του Guttman ςε κάκε ζνα από τα μονοδιάςτατα R-Trees ςτα οποία δείχνουν οι κόμβοι φφλλα 6. Για κάκε φφλλο του κάκε μονοδιάςτατου R-Tree ανάκτθςε τθν ακμι που του αντιςτοιχεί 7. Απόρριψε κάκε φφλλο που αντιςτοιχεί ςε ακμι εξ ολοκλιρου εκτόσ του χωρικοφ παρακφρου Ομοίωσ με παραπάνω, θ χρονικι πολυπλοκότθτα του αλγορίκμου είναι να παραμζνει θ ίδια., με τθ ςθμειολογία Moving Objects in Network (MON) Tree Η δομι MON-Tree *5+ βαςίηεται ςτθν υπόκεςθ ότι τα αντικείμενα ςτο δίκτυο κινοφνται πάνω ςε τροχιζσ ι ςφνολα ακμϊν, οι οποίεσ μποροφν να αντιςτοιχιςτοφν ςτισ ακμζσ του γραφιματοσ. Αποτελείται από ζνα διςδιάςτατο R-Tree το οποίο βρίςκεται ςτθν κορυφι τθσ δομισ, του οποίου τα φφλλα δεικτοδοτοφν διςδιάςτατα R-Trees ςτο χαμθλότερο επίπεδο. Σα R-Trees του χαμθλότερου επιπζδου δεικτοδοτοφν τθν κίνθςθ των αντικειμζνων πάνω ςτισ τροχιζσ. το ανϊτερο επίπεδο υλοποιείται επίςθσ και μία δομι κατακερματιςμοφ (hash structure), θ οποία περιζχει εγγραφζσ τθσ μορφισ, όπου είναι το αναγνωριςτικό τθσ τροχιάσ και ζνασ δείκτθσ προσ το R-Tree του χαμθλότερου επιπζδου το οποίο δεικτοδοτεί τθ ςυγκεκριμζνθ τροχιά. Η δομι αυτι οργανϊνεται βάςει του. υνεπϊσ, το ανϊτερο επίπεδο τθσ δομισ αποτελείται από δφο επιμζρουσ δομζσ, το διςδιάςτατο R-Tree που δεικτοδοτεί τισ τροχιζσ που ακολουκοφνται και τθ δομι κατακερματιςμοφ που δεικτοδοτεί τα R- Trees του κατϊτερου επιπζδου. Ο αλγόρικμοσ ειςαγωγισ λαμβάνει ζνα αναγνωριςτικό τθσ τροχιάσ ωσ παράμετρο και χρθςιμοποιεί τθ δομι κατακερματιςμοφ για να βρει το R-Tree χαμθλότερου επιπζδου το οποίο αντιςτοιχεί ςτθν τροχιά αυτι. Για τθν αναηιτθςθ ςτθ δομι, ο αλγόρικμοσ λαμβάνει ζνα χωροχρονικό παράκυρο (spatiotemporal window), το οποίο ορίηει το χϊρο και το χρόνο που μασ ενδιαφζρει να ανακαλφψουμε κινοφμενα αντικείμενα, και ξεκινά τθν αναηιτθςθ από τθν κορυφι του R-Tree του ανϊτερου επιπζδου, το οποίο οδθγεί τθν αναηιτθςθ ςτα MBR τθσ κάκε τροχιάσ. Σο R-Tree του άνω επιπζδου χρθςιμοποιεί MBR τα οποία ςτα φφλλα βρίςκονται ςτθ μορφι, όπου είναι το MBR που περιζχει τθν τροχιά, ζνασ δείκτθσ προσ τθν τροχιά και είναι δείκτθσ προσ το R-Tree του χαμθλότερου επιπζδου. Οι εςωτερικοί κόμβοι του δζντρου βρίςκονται ςτθ μορφι, όπου είναι ζνα MBR που περιζχει όλα τα MBRs του απόγονου κόμβου και είναι δείκτθσ προσ τον απόγονο κόμβο. 11

Σο R-Tree του κατϊτερου επιπζδου δεικτοδοτεί τισ κινιςεισ των αντικειμζνων μζςα ςτισ τροχιζσ και, κατ επζκταςθ, μζςα ςτο ίδιο το δίκτυο. Η κίνθςθ περιγράφεται με τθ χριςθ δφο διαςτθμάτων, του χωρικοφ διαςτιματοσ, και του χρονικοφ διαςτιματοσ, όπου ιςχφει. Ο ςυνδυαςμόσ αυτϊν των δφο διαςτθμάτων μασ δίνει τισ κζςεισ του αντικειμζνου μζςα ςτθν τροχιά ςτουσ χρόνουσ και αντίςτοιχα. τθ ςυγκεκριμζνθ δομι περιγράφονται δφο είδθ ειςαγωγισ: ειςαγωγι τροχιϊν και ειςαγωγι κίνθςθσ. Η ειςαγωγι τροχιϊν καταςκευάηει το δίκτυο κατά τθ δθμιουργία τθσ κάκε τροχιάσ, δεικτοδοτϊντασ τθν ςτο άνω R-Tree,ενϊ θ ειςαγωγι κινιςεων απαιτείται όςο το αντικείμενο διατρζχει τθν τροχιά που ζχει επιλζξει. Αλγόρικμοσ ειςαγωγισ τροχιάσ: Ο αλγόρικμοσ ειςαγωγισ τροχιάσ απλά ειςάγει το αναγνωριςτικό τθσ ςτθ δομι κατακερματιςμοφ, αναβάλλοντασ τθν ειςαγωγι τθσ ςτο άνω R-Tree ζωσ ότου κάποιο αντικείμενο επιλζξει να τθ διαςχίςει. Με αυτόν τον τρόπο, αποφεφγεται θ δζςμευςθ χϊρου ςτο άνω R- Tree για τροχιζσ οι οποίεσ δε χρθςιμοποιοφνται από κανζνα αντικείμενο (ςτθν υλοποίθςι μασ κάτι τζτοιο δε ςυμβαίνει και τα δφο αυτά γεγονότα ςυμβαίνουν ταυτόχρονα, μια και οι τροχιζσ επιλζγονται από τα αντικείμενα κατά τθ δθμιουργία τουσ) και το άνω R-Tree παραμζνει όςο το δυνατόν μικρότερο. Σο δίκτυο προχπάρχει ςτθ μνιμθ και δε μεταβάλλεται με το χρόνο, και οι επιμζρουσ δομζσ αποκθκεφουν απλοφσ δείκτεσ προσ τα ςτοιχεία του δικτφου (και όχι αντίγραφα των ίδιων των ςτοιχείων, τα οποία μπορεί να είναι μεγάλα ςε μζγεκοσ). Αλγόρικμοσ ειςαγωγισ τροχιάσ MON-Tree 1. Πραγματοποίθςε ειςαγωγι του αναγνωριςτικοφ ID τθσ τροχιάσ ςτθ δομι κατακερματιςμόυ Η ειςαγωγι ςτθ δομι κατακερματιςμοφ απαιτεί χρόνο, όπωσ κάκε δομι κατακερματιςμοφ. Αλγόρικμοσ ειςαγωγισ κίνθςθσ: Ο αλγόρικμοσ ειςαγωγισ κίνθςθσ λαμβάνει ωσ ορίςματα το αναγνωριςτικό του κινοφμενου αντικειμζνου, το αναγνωριςτικό τθσ τροχιάσ πάνω ςτθν οποία κινείται ( ), το χωρικό διάςτθμα τθσ κίνθςθσ που αντιπροςωπεφει τθν κίνθςθ του αντικειμζνου πάνω ςτθν τροχιά, και το χρονικό διάςτθμα που αντιςτοιχεί ςε αυτιν τθν κίνθςθ,. Αρχικά πραγματοποιείται αναηιτθςθ ςτο άνω R-Tree για τθν ανάκτθςθ τθσ τροχιάσ που αναηθτοφμε βάςει του μοναδικοφ αναγνωριςτικοφ τθσ. Εάν δεν υπάρχει ακόμα κάτω R-Tree που να αντιςτοιχεί ςε αυτιν τθν τροχιά, τότε ζνα νζο R-Tree δθμιουργείται ωσ παιδί του αντίςτοιχου φφλλου του άνω R-Tree και θ δομι κατακερματιςμοφ ενθμερϊνεται με δείκτθ προσ το νζο R-Tree. ε αυτό το κάτω R-Tree, ειςάγουμε το MBR με ςυντεταγμζνεσ. Η αναηιτθςθ και θ ειςαγωγι ςτο R- Tree γίνεται, ςε κάκε περίπτωςθ, χρθςιμοποιϊντασ τον αλγόρικμο του Guttman [7]. Αλγόρικμοσ ειςαγωγισ κίνθςθσ MON-Tree 1. Πραγματοποίθςε αναηιτθςθ ςτο άνω R-Tree χρθςιμοποιϊντασ τον αλγόρικμο αναηιτθςθσ του Guttman για τθν τροχιά που ακολουκεί το αντικείμενο 2. Αν δεν υπάρχει κάτω R-Tree για τθν τροχιά a. Δθμιοφργθςε το R-Tree ωσ φφλλο του κόμβου 12

b. Πραγματοποίθςε ειςαγωγι δείκτθ προσ τθν τροχιά ςτθ δομι κατακερματιςμοφ 3. Καταςκεφαςε το MBR με ςυντεταγμζνεσ 4. Πραγματοποίθςε ειςαγωγι του MBR χρθςιμοποιϊντασ τον αλγόρικμο ειςαγωγισ του Guttman Όπωσ και ςτθν περίπτωςθ του FNR-Tree, γίνεται χριςθ του απλοφ αλγόρικμου αναηιτθςθσ του Guttman ςε κάκε φάςθ τθσ ειςαγωγισ κίνθςθσ. υνεπϊσ και εδϊ θ χρονικι πολυπλοκότθτα του αλγορίκμου είναι. Αλγόρικμοσ αναηιτθςθσ: Η αναηιτθςθ βαςίηεται ςε ζνα ςυγκεκριμζνο χωροχρονικό παράκυρο (spatiotemporal window), το οποίο είναι τθσ μορφισ: Σο ερϊτθμα που εκφράηεται από το μεταφράηεται ωσ ανάκτθςε τα αντικείμενα τα οποία βρίςκονταν ςτο χϊρο που ορίηεται ωσ, κατά το χρονικό διάςτθμα. Εναλλακτικά, το ερϊτθμα μπορεί να τροποποιθκεί ϊςτε να ανακτιςει τα τμιματα των τροχιϊν που βρίςκονται εντόσ του χϊρου που ορίηεται από το. Για το πρϊτο είδοσ ερωτιματοσ, ο αλγόρικμοσ διαχωρίηει το ερϊτθμα ςτο χωρικό και ςτο χρονικό του μζροσ. Αρχικά, πραγματοποιείται μία αναηιτθςθ ςτο άνω R-Tree ϊςτε να ανακτθκοφν όλα τα MBR τα οποία τζμνουν το χωρικό μζροσ του. Η αναηιτθςθ με τθ χριςθ του αλγορίκμου του Guttman ζχει πολυπλοκότθτα. Σο αποτζλεςμα είναι ζνα ςφνολο από παράκυρα: Όπου το μζγεκοσ του ςυνόλου, θ κζςθ του αντικειμζνου ςτθν τροχιά και το χρονικό διάςτθμα που δίνεται ςτο ερϊτθμα. Αφοφ ανακτθκοφν αυτά τα τμιματα του δικτφου, πραγματοποιείται αναηιτθςθ ςε κάκε ζνα από αυτά, βάςει του χρονικοφ διαςτιματοσ. Η αναηιτθςθ χρθςιμοποιεί μία παραλλαγι του κλαςικοφ αλγόρικμου αναηιτθςθσ ςε R-Trees, θ οποία βαςίηεται ςε αναηιτθςθ ςε ζνα ςφνολο από παράκυρα, αντί μόνο ςε ζνα. Ο αρχικόσ αλγόρικμοσ αναηιτθςθσ του R- Tree ακολουκεί ζνα ςφνδεςμο ι επιςτρζφει ζνα φφλλο εάν όλο ι μζροσ του MBR που δεικτοδοτεί τζμνει το ερϊτθμα. τθν παραλλαγι μασ, θ απόφαςθ αυτι εκτελείται εάν όλο ι μζροσ του MBR που δεικτοδοτείται τζμνει ζςτω και ζνα από τα παράκυρα του ςυνόλου. Σο πρόβλθμα τϊρα, ςυνεπϊσ, είναι θ φπαρξθ ενόσ ςυνόλου από παράκυρα και ενόσ ςυνόλου από MBRs, και το ηθτοφμενο είναι να βροφμε τα φφλλα του δζντρου που τζμνουν το ςφνολο, που είναι ιςοδφναμο με το να βροφμε αλλθλοεπικαλυπτόμενα ηεφγθ ορκογωνίων ανάμεςα ςτα δφο ςφνολα. Ο χρόνοσ που απαιτείται για τθν εκτζλεςθ αυτισ τθσ αναηιτθςθσ είναι Όπου ο ςυνολικόσ αρικμόσ ορκογωνίων ςτα δφο ςφνολα και ο αρικμόσ των αλλθλοεπικαλυπτόμενων ηευγϊν. Αξιοποιϊντασ το γεγονόσ ότι κάκε ςτοιχείο του ςυνόλου χαρακτθρίηεται από το ίδιο χρονικό διάςτθμα και οι κζςεισ του κινοφμενου αντικειμζνου είναι ανεξάρτθτεσ (μθ αλλθλοεπικαλυπτόμενεσ) και ταξινομθμζνεσ 13

(κακϊσ ο χρόνοσ είναι ςυνεχισ και αφξων, οπότε ταξιδεφει μόνο προσ μία κατεφκυνςθ), μποροφμε να κάνουμε ζνα μόνο πζραςμα κατά το οποίο το ερϊτθμα είναι αν το MBR του τρζχοντοσ κόμβου τζμνει το. Αυτόσ ο ζλεγχοσ μπορεί να ολοκλθρωκεί ςε λογαρικμικό χρόνο. Αρχικά ελζγχεται το αν ο χρόνοσ ειςαγωγισ του κόμβου τζμνει το χρονικό διάςτθμα. Εάν ναι, ελζγχεται το αν υπάρχει ζςτω και μία τομι με τα χωρικά διαςτιματα με απλι εφαρμογι δυαδικισ αναηιτθςθσ. Σο δεφτερο είδοσ ερωτιματοσ που αναφζραμε παραπάνω ακολουκεί τα ίδια βιματα, με τθν προςκικθ ενόσ τρίτου βιματοσ για τθν απαλοιφι διπλότυπων τροχιϊν (ςε περίπτωςθ που δφο αντικείμενα ακολοφκθςαν τθν ίδια τροχιά) και επιςτροφι μόνο των εν λόγω αντικειμζνων. Αυτι θ διαδικαςία μπορεί να γίνει ςτθν κφρια μνιμθ και ζνασ από τουσ προτεινόμενουσ τρόπουσ είναι θ αποκικευςθ των αντικειμζνων που βρζκθκαν ςτα προθγοφμενα βιματα και απλι απαλοιφι διπλοτφπων πριν τθν τελικι επιςτροφι τουσ. Αλγόρικμοσ αναηιτθςθσ MON-Tree 1. Πραγματοποίθςε αναηιτθςθ ςτο άνω R-Tree βάςει του MBR που ορίηεται από τα δφο χωρικά ςθμεία 2. Ανάκτθςε όλα τα φφλλα τα οποία τζμνουν το MBR 3. Αποκικευςε τα φφλλα ωσ χωροχρονικά παράκυρα που ορίηονται από τα ςθμεία του MBR και από τα ςθμεία που ορίηουν το χρόνο ςτθ μορφι 4. Για κάκε ζνα από τα παραπάνω παράκυρα, πραγματοποίθςε αναηιτθςθ ςτα MBR που ορίηονται από τα φφλλα του R-Tree 5. Εάν το MBR δεν τζμνει κάποιο από τα παράκυρα, απόρριψζ το 6. (Προαιρετικά) Εφάρμοςε απαλοιφι διπλοτφπων τροχιϊν Λύςτα γειτνύαςησ και ςυςτϊδεσ τροχιών Γενικι μορφι και αρχι τθσ δομισ: Όπωσ και ςτον προθγοφμενο αλγόρικμο, θ λειτουργία τθσ λίςτασ γειτνίαςθσ με ςυςτάδεσ *6+ βαςίηεται ςε δφο βιματα, ζνα βιμα προεπεξεργαςίασ το οποίο δεικτοδοτεί τα χωρικά δεδομζνα του δικτφου, και ζνα βιμα τθσ κυρίωσ επεξεργαςίασ, το οποίο δεικτοδοτεί τισ τροχιζσ του δικτφου, είτε κατά τθ δθμιουργία τουσ είτε από ζνα ζτοιμο ςφνολο δεδομζνων. Σο βιμα τθσ προεπεξεργαςίασ βαςίηεται ςε μία αρκετά απλι ιδζα, κακϊσ δεικτοδοτεί τισ ακμζσ του δικτφου και τισ αποκθκεφει ςε μία λίςτα γειτνίαςθσ. Η βαςικι ιδζα ςτθ ςυνζχεια τθσ προεπεξεργαςίασ είναι θ επζκταςθ τθσ λίςτασ γειτνίαςθσ, όπου για κάκε ακμι δθμιουργείται μία ςυςτάδα (cluster) θ οποία αποκθκεφει όλεσ τισ τροχιζσ οι οποίεσ διζρχονται από τθ ςυγκεκριμζνθ ακμι. ε περίπτωςθ που καμία τροχιά δε διζρχεται από τθν ακμι, θ αντίςτοιχθ ςυςτάδα παραμζνει άδεια. Η ςυςτάδα που δθμιουργικθκε αντιςτοιχίηεται ςτον κόμβο που καταλιγει θ ακμι. Βάςει των παραπάνω, θ τελικι δομι ςε ζνα δίκτυο μεγζκουσ κόμβων κα αποτελείται από λίςτεσ γειτνίαςθσ, οι οποίεσ κα αντιπροςωπεφουν τισ ακμζσ του δικτφου, εκτεταμζνεσ με τισ ςυςτάδεσ των τροχιϊν που διζρχονται από τθν κάκε ακμι. Οι ςυςτάδεσ υλοποιοφνται ωσ δυναμικζσ λίςτεσ, ςυνεπϊσ απαιτείται μία αρχικι διάςχιςθ του ςυνόλου δεδομζνων των τροχιϊν. Σο αναγνωριςτικό ID τθσ τροχιάσ δίνεται ωσ παράμετροσ ςε μία επιλεγμζνθ 14

ςυνάρτθςθ κατακερματιςμοφ (hash function), θ οποία επιςτρζφει τθ διεφκυνςθ ςτθν οποία είναι αποκθκευμζνθ θ τροχιά ςτο δίςκο. Ακολοφκωσ, θ τροχιά ανακτάται και διαςχίηεται. τθ ςυςτάδα που αντιςτοιχεί ςε κάκε ακμι θ οποία ανικει ςτθν τροχιά, ειςάγεται το αναγνωριςτικό ID τθσ τροχιάσ. τθ βαςικι υλοποίθςθ του αλγορίκμου, θ ςυνάρτθςθ κατακερματιςμοφ που χρθςιμοποιείται είναι θ ςυνάρτθςθ ακζραιου υπόλοιπου: Αξίηει να ςθμειωκεί ότι ςτθ κζςθ τθσ ςυγκεκριμζνθσ ςυνάρτθςθσ μπορεί να χρθςιμοποιθκεί οποιαδιποτε άλλθ ςυνάρτθςθ κατακερματιςμοφ, χωρίσ να επθρεαςτεί θ ςυνολικι απόδοςθ τθσ μεκόδου. Η χρονικι πολυπλοκότθτα για τθν ανάγνωςθ όλων των δεδομζνων τροχιϊν, κακϊσ και θ χωρικι πολυπλοκότθτα τθσ προεπεξεργαςίασ που αντιςτοιχεί ςτθν αποκικευςθ των χωρικϊν δεδομζνων του δικτφου και των ςυςτάδων των τροχιϊν που αντιςτοιχοφν ςε αυτά είναι: Όπωσ είναι φανερό, θ δομι αυτι ζχει γραμμικό κόςτοσ, τόςο χρονικό για τθν ανάγνωςθ και τθ δθμιουργία τθσ, όςο και χωρικό για τθν αποκικευςι τθσ. Επίςθσ, οι ςυςτάδεσ που δθμιουργοφνται είναι κατά κανόνα μικρότερεσ από τθ δομι που περιγράφεται ςτθν [10]. ε αυτι τθ δομι, θ ςυςταδοποίθςθ γίνεται βαςιςμζνθ ςτουσ κόμβουσ του δικτφου, γεγονόσ που οδθγεί ςε πιο μεγάλεσ ςυςτάδεσ, αντίκετα με τθ ςυγκεκριμζνθ μζκοδο, ςτθν οποία θ ςυςταδοποίθςθ βαςίηεται ςτισ ακμζσ. Σζλοσ, από τθ ςτιγμι που χρθςιμοποιείται μία ςυνάρτθςθ κατακερματιςμοφ, θ κάκε τροχιά μπορεί να ανακτθκεί άμεςα, χωρίσ να χρειάηεται αναηιτθςθ. Μετρικι χωρικισ ομοιότθτασ: Για τθν αναηιτθςθ ςτθ δομι, προτείνονται δφο νζεσ μετρικζσ ομοιότθτασ των τροχιϊν, και, για τθ χωρικι και τθ χρονικι διάςταςθ αντίςτοιχα. Η χωρικι μετρικι ομοιότθτασ δθλϊνει το πόςο κοντά βρίςκεται μία τροχιά ςτα ςθμεία που ςυμπεριλαμβάνονται ςτο χωρικό ερϊτθμα, ςφμφωνα πάντα με τουσ περιοριςμοφσ που επιβάλλει το δίκτυο. Η χωρικι απόςταςθ μίασ τοποκεςίασ από μία τροχιά θ οποία διζρχεται από τουσ κόμβουσ ορίηεται ωσ θ ελάχιςτθ από τισ αποςτάςεισ μεταξφ τθσ τοποκεςίασ και του κάκε κόμβου τθσ τροχιάσ και δίνεται από τθ ςχζςθ: ( ) Η κάκε τοποκεςία που περιλαμβάνεται ςτο ερϊτθμα κα χαρακτθρίηεται από διαφορετικι απόςταςθ από τθν τροχιά, γεγονόσ που ςθμαίνει ότι θ απόςταςθ αυτι υπολογίηεται ξεχωριςτά για τθν κάκε τοποκεςία του ερωτιματοσ. Επικυμοφμε θ τροχιά να ζχει τουλάχιςτον κόμβουσ όςο το δυνατόν πλθςιζςτερουσ ςτθν τοποκεςία. Για να μπορζςουμε να μετριςουμε αυτιν τθν ιδιότθτα, ακροίηουμε τισ χωρικζσ αποςτάςεισ όλων των τοποκεςιϊν από τθν τροχιά, ϊςτε να λάβουμε υπ όψθ μασ τθν κατά προςζγγιςθ ςυνολικι απόςταςι τθσ από το χωρικό ερϊτθμα που απευκφνουμε. υνεπϊσ, θ μετρικι 15

χωρικισ ομοιότθτασ ορίηεται ωσ θ μζςθ απόςταςθ όλων των τοποκεςιϊν που περιλαμβάνονται ςτο χωρικό ερϊτθμα από τθν τροχιά και λαμβάνει τθν παρακάτω μορφι: Μία εναλλακτικι περίπτωςθ είναι αυτι ςτθν οποία δίνεται θ δυνατότθτα ςτο χριςτθ να αντιςτοιχίςει προτεραιότθτεσ ςτα ςθμεία τα οποία περιλαμβάνονται ςτο ερϊτθμα. ε αυτιν τθν περίπτωςθ, οι αποςτάςεισ που ςυγκεντρϊνονται για τον υπολογιςμό τθσ χωρικισ ομοιότθτασ πολλαπλαςιάηονται επί το βάροσ που αντιςτοιχεί ςτθν κάκε μία. Σα βάρθ λαμβάνουν τιμζσ ςτο διάςτθμα και δθλϊνουν τθ ςθμαςία και τθ ςυνειςφορά του κάκε ςθμείου ςτο ςυνολικό ερϊτθμα. Όςο το βάροσ πλθςιάηει το 0, τόςο λιγότερο ςθμαντικό είναι για το ερϊτθμα, ενϊ όςο πλθςιάηει ςτο 1, τόςο αυξάνεται θ ςυνειςφορά και θ ςθμαςία του ςτον τελικό υπολογιςμό τθσ απόςταςθσ. ε αυτιν τθν περίπτωςθ, θ μετρικι λαμβάνει τθν εξισ μορφι: Ζτςι, αν μία τοποκεςία κρίνεται ωσ πιο ςθμαντικι, το βάροσ τθσ κα προςεγγίηει το 1. Αν θ απόςταςθ αυτισ τθσ τοποκεςίασ από τθν τροχιά είναι μεγάλθ, το γεγονόσ αυτό κα επθρεάςει περιςςότερο τθ χωρικι μετρικι, ενϊ ςτθν αντίκετθ περίπτωςθ, αν και θ απόςταςθ ενδζχεται να είναι μεγάλθ, το μικρότερο βάροσ που αντιςτοιχίηεται ςτθ ςυγκεκριμζνθ τοποκεςία ελαχιςτοποιεί τθν επίδραςθ που αυτό μπορεί να ζχει ςτθ ςυνολικι τιμι τθσ μετρικισ. Εφκολα αντιλαμβανόμαςτε πωσ το αντίκετο ςυμβαίνει και ςτθν περίπτωςθ τθσ μικρότερθσ απόςταςθσ. Μετρικι χρονικισ ομοιότθτασ: Χαρακτθριςτικό τθσ μεκόδου αποτελεί το ότι δεν απαιτείται θ αποκικευςθ όλων των χρονικϊν ςτιγμϊν, κακϊσ οι περιοριςμοί που ορίηει θ ανοχι του χριςτθ για τθν κακυςτζρθςθ ςτουσ χρόνουσ μεταξφ των επιςκζψεων ςτουσ κόμβουσ είναι και αυτοί που ορίηουν απόλυτα τουσ χρονικοφσ περιοριςμοφσ ςτθ διάςταςθ του χρόνου. Για τον υπολογιςμό τθσ χρονικισ ομοιότθτασ αρχικά ανακτοφμε τουσ πλθςιζςτερουσ χωρικά κόμβουσ, τθσ τροχιάσ ςτα ςθμεία του ερωτιματοσ, όπωσ περιγράψαμε παραπάνω. Ακολοφκωσ, υπολογίηουμε τουσ χρόνουσ άφιξθσ ςε κάκε ζναν από αυτοφσ τουσ κόμβουσ (κάτι που μπορεί να γίνει άμεςα, απλά ακροίηοντασ τουσ χρόνουσ όλων των ενδιάμεςων κόμβων. υγκεκριμζνα, αν, είναι οι χρονικζσ ςτιγμζσ που αντιςτοιχοφν ςε κάκε ζναν από τουσ πλθςιζςτερουσ ςτο ερϊτθμα κόμβουσ, υπολογίηουμε τουσ αντίςτοιχουσ χρόνουσ άφιξθσ όπωσ αναφζραμε παραπάνω. Διακρίνουμε τρεισ περιπτϊςεισ: 1. : Η πραγματικι χρονικι απόςταςθ του ςθμείου από τθν τροχιά ςυμπίπτει με τθ χρονικι ανοχι βάςει των προτιμιςεων του χριςτθ. Η χρονικι απόςταςθ ιςοφται με 0. 2. : Η χρονικι απόςταςθ είναι μεγαλφτερθ από τισ ανοχζσ που ζχουν τεκεί αρχικά. ε αυτιν τθν περίπτωςθ απαιτείται περιςςότεροσ χρόνοσ για τθ χριςθ τθσ τροχιάσ, ςυνεπϊσ θ χρονικι απόςταςθ πρζπει να λθφκεί υπ όψιν και ιςοφται με. 16

3. : ε αυτιν τθν περίπτωςθ θ χρονικι απόςταςθ δε λαμβάνεται υπ όψιν (κεωρείται ίςθ με το 0), κακϊσ θ χρονικι απόςταςθ είναι μικρότερθ από τισ ανοχζσ που ζχουν τεκεί, οπότε και απαιτείται λιγότεροσ χρόνοσ για τθ χριςθ τθσ τροχιάσ. Σθν περίπτωςθ αυτιν τθ χειριηόμαςτε όπωσ και τθν πρϊτθ. Βάςει των παραπάνω, θ μετρικι χρονικισ απόςταςθσ διαμορφϊνεται ωσ: υνδυαςμζνθ μετρικι χωροχρονικισ ομοιότθτασ: Οι δφο παραπάνω μετρικζσ ςυνδυάηονται ςτθ νζα μετρικι χωροχρονικισ ομοιότθτασ, που ορίηεται ωσ βεβαρθμζνο άκροιςμα των δφο παραπάνω μετρικϊν: Η παράμετροσ εκφράηει τθν προτίμθςθ ςε μία από τισ δφο μετρικζσ, ανάλογα με το πόςο κοντά βρίςκεται θ τιμι τθσ ςτο 0 ι ςτο 1. Ζτςι, δίνεται θ δυνατότθτα ςτθν κάκε εφαρμογι να χρθςιμοποιιςει τθν παράμετρο που αρμόηει ςε αυτιν. τθν ακραία περίπτωςθ που θ λαμβάνει τιμι 0 εκφράηει απόλυτθ προτίμθςθ ςτθ μετρικι τθσ απόςταςθσ, δθλϊνοντασ ότι θ χρονικι απόςταςθ από τα ςθμεία ενδιαφζροντοσ είναι θ μόνθ που ζχει ςθμαςία, ενϊ ςτθν αντίκετθ περίπτωςθ δθλϊνει πωσ ςθμαςία ζχει μόνο θ χωρικι απόςταςθ από τα ςθμεία ενδιαφζροντοσ. Ο ψευδοκϊδικασ που περιγράφει τθν προεπεξεργαςία που απαιτείται για τθν αποκικευςθ των δεδομζνων των τροχιϊν ςε ςυςτάδεσ πάνω ςτο δίκτυο ζχει ωσ εξισ: Αλγόρικμοσ προεπεξεργαςίασ 1. Ανάκτθςε κάκε τροχιά από το ςφνολο των τροχιϊν 2. Για κάκε τροχιά ανάκτθςε το ςφνολο των ακμϊν που τθ χαρακτθρίηουν 3. Για κάκε μία ακμι τθσ κάκε τροχιάσ πραγματοποίθςε ειςαγωγι του αναγνωριςτικοφ τθσ τροχιάσ ςτθ ςυςτάδα που αντιςτοιχεί ςτον τελικό κόμβο τθσ ακμισ Ο ψευδοκϊδικασ που περιγράφει τθ λειτουργία τθσ κφριασ διαδικαςίασ είναι: Αλγόρικμοσ εφρεςθσ ςυναφϊν μονοπατιϊν 1. Ανάκτθςε όλα τα ςθμεία του ερωτιματοσ 2. Εκτζλεςε τα παρακάτω βιματα όςο θ -οςτι απόςταςθ είναι μικρότερθ ι ίςθ από το κατϊφλι ι ζωσ ότου ελεγχκοφν όλεσ οι τροχιζσ 3. Για κάκε ςθμείο του ερωτιματοσ εφάρμοςε τον αλγόρικμο του Dijkstra για τθν εφρεςθ του ςυντομότερου μονοπατιοφ 17

4. Σε κάκε βιμα επζκταςθσ του αλγορίκμου, με τθν άφιξθ ςε ζνα νζο κόμβο, ανάκτθςε όλα τα αναγνωριςτικά ID των τροχιϊν που ζχουν αποκθκευτεί ςτθν αντίςτοιχθ ςυςτάδα κατά το βιμα τθσ προεπεξεργαςίασ 5. Για κάκε τροχιά που ανακτικθκε ζλεγξε άν το αναγνωριςτικό τθσ τροχιάσ υπάρχει ςτο bitmap ελζγχου. Αν ναι, προςπζραςζ τθν. 6. Ανάκτθςε τα δεδομζνα τθσ τροχιάσ 7. Υπολόγιςε τθ χωροχρονικι απόςταςθ βάςει των δφο μετρικϊν 8. Πραγματοποίθςε ειςαγωγι του αναγνωριςτικοφ τθσ τροχιάσ ςτο bitmap ελζγχου 9. Πραγματοποίθςε ειςαγωγι του αναγνωριςτικοφ τθσ τροχιάσ ςτο ςωρό ελαχίςτων βάςει τθσ χωροχρονικισ απόςταςθσ που υπολογίςτθκε 10. Ενθμζρωςε το κάτω όριο 11. Για κάκε τροχιά που ζχει ανακαλυφκεί, εάν θ απόςταςθ είναι μικρότερθ από επίςτρεψζ τθν Η ςυνολικι χρονικι πολυπλοκότθτα του αλγορίκμου είναι, με τθν πολυπλοκότθτα να αντιςτοιχεί ςτθ χριςθ του αλγόρικμου του Dijkstra, ενϊ θ πολυπλοκότθτα προζρχεται από το γεγονόσ ότι το πλικοσ των ακμϊν των τροχιϊν που μελετάται κατά τθν εφαρμογι του αλγορίκμου κα είναι, από τθ ςτιγμι που αποφεφγεται ο επανυπολογιςμόσ των αποςτάςεων από τροχιζσ που ζχουν ιδθ μελετθκεί. Υλοπούηςη Η υλοποίθςθ των αλγορίκμων ζγινε με τθ χριςθ τθσ γλϊςςασ προγραμματιςμοφ C++. Η χριςθ τθσ ςυγκεκριμζνθσ γλϊςςασ ζγινε για δφο λόγουσ: κατ αρχάσ, ϊςτε να ζχουμε τθ δυνατότθτα διαχείριςθσ τθσ μνιμθσ και τθ δθμιουργία δεικτϊν προσ αντικείμενα. Με αυτόν τον τρόπο, οι διάφορεσ δομζσ μποροφν να επικοινωνοφν μεταξφ τουσ και να ζχουν πρόςβαςθ ςτα ςτοιχεία των αντικειμζνων που χρειάηονται. Πολφ ςθμαντικό ρόλο, επίςθσ, ςε αυτιν τθν απόφαςθ ζπαιξε θ φπαρξθ τθσ βιβλιοκικθσ Boost για τθν υλοποίθςθ και τον προγραμματιςμό του γράφου που κα υλοποιιςει το δίκτυο. Η βιβλιοκικθ Boost περιζχει υλοποιιςεισ πολλϊν βοθκθτικϊν δομϊν, και για τουσ ςκοποφσ μασ χρθςιμοποιοφμε κατά κόρον τθ βιβλιοκικθ Boost:Graph [8], θ οποία μασ παρζχει μεκόδουσ δθμιουργίασ και διάςχιςθσ γράφων, κακϊσ και αντιςτοίχιςθσ ιδιοτιτων ςε αυτζσ. Για τουσ ςκοποφσ τθσ παροφςασ, οι γράφοι που χρθςιμοποιοφνται δθμιουργικθκαν χρθςιμοποιϊντασ τον τφπο ListGraph, ο οποίοσ μοντελοποιεί το γράφο με τθ χριςθ μίασ λίςτασ γειτνίαςθσ (adjacency list). Αξίηει να ςθμειωκεί ςε αυτό το ςθμείο ότι θ βιβλιοκικθ Boost παρζχει δυνατότθτα για καταςκευι του γράφου με τθ χριςθ πολλϊν διαφορετικϊν δομϊν. Οι πιο βαςικζσ είναι θ Adjacency List (λίςτα γειτνίαςθσ), θ οποία και χρθςιμοποιικθκε, και θ Adjacency Matrix (πίνακασ γειτνίαςθσ). Η επιλογι τθσ λίςτασ γειτνίαςθσ ζγινε διότι τα δίκτυα τα οποία κα μελετιςουμε κα είναι αραιά (μικρότεροσ λόγοσ ακμϊν προσ κορυφζσ). ε περιπτϊςεισ αραιϊν γραφθμάτων, θ λφςθ τθσ λίςτασ γειτνίαςθσ ενδείκνυται περιςςότερο από τον αντίςτοιχο πίνακα, κακϊσ ςτθ δεφτερθ περίπτωςθ ο πίνακασ κα καταςκευαςτεί οφτωσ ι άλλωσ, ακόμα κι αν δεν υπάρχει ακμι ανάμεςα ςε δφο κορυφζσ. ε περιπτϊςεισ αραιϊν 18