ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ Αλγεβρικές υπερδομές στο επίπεδο: Η περίπτωση των Ρ- υπερδομών

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ Αλγεβρικές υπερδομές στο επίπεδο: Η περίπτωση των Ρ- υπερδομών Ηλιού Ιωάννα Α.Ε.Μ: 57 Επιβλέπων καθηγητής: Αχιλλέας Δραμαλίδης, Καθηγητής ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗ, 2017

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ: ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ Αλγεβρικές υπερδομές στο επίπεδο: Η περίπτωση των Ρ-υπερδομών Ηλιού Ιωάννα Α.Ε.Μ: 57 Η παρούσα Μεταπτυχιακή Εργασία Ειδίκευσης υποβλήθηκε στο Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης του Δημοκρίτειου Πανεπιστημίου Θράκης για την απόκτηση του τίτλου μεταπτυχιακών σπουδών ειδίκευσης στις Επιστήμες της Αγωγής. ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Επιβλέπων καθηγητής: Αχιλλέας Δραμαλίδης, Καθηγητής 2ο Μέλος: Χαράλαμπος Σακονίδης, Καθηγητής 3ο Μέλος: Άγγελος Μάρκος, Επίκουρος Καθηγητής ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΥΠΟΛΗ, 2017 ii

Πνευματικά δικαιώματα Copyright Ηλιού Ιωάννα, 2017 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή μέρους ή του συνόλου της παρούσας διατριβής. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για εκπαιδευτικό ή ερευνητικό σκοπό, μη κερδοσκοπικού χαρακτήρα, με την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης. Η έγκριση της Μεταπτυχιακής Εργασίας Ειδίκευσης από το Παιδαγωγικό Τμήμα Δημοτικής Εκπαίδευσης του Δημοκρίτειου Πανεπιστημίου Θράκης δεν δηλώνει απαραιτήτως την αποδοχή των απόψεων του συγγραφέα. Υπεύθυνη Δήλωση Βεβαιώνω ότι είμαι συγγραφέας της παρούσας Μεταπτυχιακής Εργασίας Ειδίκευσης και ότι κάθε βοήθεια που προσφέρθηκε στην εκπόνησή της αναγνωρίζεται και αναφέρεται στο κείμενο. Επιπλέον, αναφέρονται όλες οι βιβλιογραφικές πηγές που αξιοποιήθηκαν, πρωτογενείς και δευτερογενείς, είτε η συμβολή τους παρατίθεται επακριβώς ως απόσπασμα είτε ως παράφραση. Η συγγραφέας της εργασίας Ηλιού Ιωάννα iii

DEMOCRITUS UNIVERSITY OF THRACE SCHOOL OF EDUCATIONAL SCIENCES PRIMARY EDUCATION DEPARTMENT MATHEMATICS AND SCIENCE SECTOR POSTGRADUATE COURSE: SCIENCE AND MATHEMATICS EDUCATION MASTER DISSERTATION Algebraic hyperstructures on the plane: The case of P-hyperstructures Ioanna Iliou (Registration number: 57) A thesis submitted in partial fulfilment of the requirements for the degree of Master in Education, Department of Primary Education, Democritus University of Thrace COMMITTEE OF EXAMINERS Supervisor: Achilleas Dramalidis, Professor Member 2: Charalampos Sakonidis, Professor Member 3: Angelos Markos, Assistant Professor ALEXANDROUPOLIS, 2017 iv

All rights reserved Copyright Ioanna Iliou, 2017 The approval of the Master s Dissertation by the Department of Primary Education, Democritus University of Thrace, does not necessarily indicate the acceptance of the views of the author. Statutory Declaration I certify that I am the author of this Master s Dissertation thesis and that all the help offered for its compilation is acknowledged and is clearly indicated in the text. Furthermore, all primary as well as secondary resources used as well as the materials appearing in it have been properly quoted and attributed. The author of the report Ioanna Iliou v

«Όπως και σε οτιδήποτε άλλο, έτσι και στα μαθηματικά, η ομορφιά της μαθηματικής θεωρίας μπορεί να διαισθανθεί, αλλά όχι να εξηγηθεί». Arthur Cayley «Τα καθαρά Μαθηματικά είναι, κατά κάποιο τρόπο, η ποίηση των λογικών ιδεών». Albert Einstein vi

Περίληψη Η παρούσα διπλωματική εργασία στο κεντρικό μέρος της στοχεύει αφ ενός στην αλγεβρική μελέτη των Ρ-υπερδομών και αφ ετέρου στη γραφική αναπαράσταση αυτών στο επίπεδο με τη βοήθεια του Λογισμικού Δυναμικής Γεωμετρίας Geogebra. Η μελέτη αυτή γίνεται με τη χρήση τριών υπεπράξεων και εστιάζει στην τεκμηρίωση του είδους κάθε υπερδομής, των αντίστροφων και ουδέτερων στοιχείων της καθώς και της δομής Join Space, όπου υπάρχει. Συγκεκριμένα, αξιοποιείται η αλγεβρική και κυρίως η γεωμετρική απόδειξη, αφού η Γεωμετρία ή η Γραμμική Άλγεβρα σε ένα δισδιάστατο πραγματικό διανυσματικό χώρο, με τις συνεχείς αναφορές τους σε θεμελιώδεις διαισθητικά κατανοητές αρχές, αποτελούν εργαλεία διδακτικής και εκπαιδευτικής αξίας. Παράλληλα, μέσω συνεντεύξεων και ενός τεστ, πραγματοποιήθηκε την άνοιξη του 2017, εμπερική έρευνα, σχετικά με τον τρόπο που οι έννοιες της πράξης και της υπερπράξης προσεγγίζονται από πρωτοετείς και τελειόφοιτους φοιτητές Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης, η οποία ανέδειξε αρκετές δυσκολίες. Σχετικά με αυτές, προέκυψαν συμπεράσματα που προάγουν ως σημαντικά στοιχεία τις προηγούμενες γνώσεις και εμπειρίες τους και εξετάζουν τον ρόλο της νοητικής ωριμότητας σε σχέση με τις επιδόσεις τους. Λέξεις- κλειδιά: Υπερπράξεις, Υπερδομές, H V -δομές, Ρ-υπερδομές. vii

Abstract This dissertation, in its main part, aims at the algebraic study of the P- hyperstructures and on the other hand at their visualization on the plane, using the Geogebra Dynamic Geometry Software. This study is conducted, introducing three hyperoperations and focuses on the documentation of the type of each hyperstructure, the unit and inverse elements and the Join Space structure, wherever it exists. Specifically, the algebraic and mainly the geometric proof is exploited, since, Geometry or Linear Algebra in a 2-dimensional real vector space, with their continuous references to fundamental intuitively comprehensible principles, are tools of teaching and educational value. Furthermore, through interviews and a test, an empirical research took place in the spring of 2017, concerning the way the concepts of operation and hyperoperation are approached by first- year and final- year students of Primary Education School, which revealed several difficulties. In relation to these, conclusions have been drawn that promote their previous knowledge and experiences as important and examine the role of mental maturity in relation to their performance. Key words: Hyperstructures, H v -structures, Hopes, P-hyperstructures viii

Ευχαριστίες Στην αρχή της εργασίας μου θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους τους ανθρώπους που με βοήθησαν γνωστικά, μεθοδολογικά και ψυχολογικά σε αυτήν μου την προσπάθεια. Ειδικότερα, νιώθω την ανάγκη να ευχαριστήσω όλους τους φοιτητές και τις φοιτήτριες που αφιέρωσαν χρόνο ώστε να συμπληρώσουν τη δοκιμασία που τους μοιράστηκε και ιδιαίτερα τις 2 φοιτήτριες των συνεντεύξεων, οι οποίες έπρεπε να βρεθούν μαζί μου και εκτός σχολής για την υλοποίησή τους, δείχνοντας θέληση και ενθουσιασμό. Φυσικά σημαντική ήταν και η συμβο λή το υ κ. Θεο δώρο υγια την παραχώρηση ενός μέρους της διδακτικής ώρας του από το μάθημα της Πρακτικής Άσκησης, τον οποίο επίσης ευχαριστώ. Τέλος, θα ήθελα να εκφράσω τις θερμές ευχαριστίες μου στους 2 καθηγητές που ασχολήθηκαν ενεργά όλη τη διάρκεια αυτού του χρόνου με τον σχεδιασμό και την υλοποίηση αυτής της εργασίας, γιατί χωρίς αυτούς δεν θα ήταν δυνατή η ολοκλήρωσή της. Αρχικά τον Καθηγητή κ. Αχιλλέα Δραμαλίδη, ο οποίος ήταν αυτός που μου υπέδειξε το θέμα και πυροδότησε το ενδιαφέρον μου γι αυτό, ενώ παράλληλα αφιέρωσε αρκετό από τον χρόνο του για δημιουργικές συζητήσεις, συναντήσεις με τη μορφή μαθημάτων, παρατηρήσεις και εύστοχες διορθώσεις. Και δεύτερον τον Καθηγητή κ. Χαράλαμπο Σακονίδη, ο οποίος ανέλαβε να με βοηθήσει στο ερευνητικό μέρος που σχετίζονταν με τη Διδακτική των Μαθηματικών μέσα από την ενδιαφέρουσα ανταλλαγή ιδεών, συμβουλών και διορθώσεων. ix

Πίνακας Περιεχομένων Περίληψη... vii Abstract...viii Ευχαριστίες... ix Πίνακας Περιεχομένων... x Εισαγωγή... 1 1. Αλγεβρικές δομές... 3 1.1 Πράξεις... 4 1.1.1 Ορισμός της πράξης... 4 1.1.2 Βασικές ιδιότητες των πράξεων... 6 1.2 Είδη αλγεβρικών δομών... 7 2. Αλγεβρικές υπερδομές... 20 2.1 Υπερπράξεις... 21 2.1.1 Ορισμός της υπερπράξης... 21 2.1.2 Βασικές ιδιότητες των υπερπράξεων... 22 2.2 Κλασικές αλγεβρικές υπερδομές... 23 2.3 Οι Hv- δομές... 26 2.4 Οι P-υπερπράξεις και Ρ-υπερδομές... 28 2.5 Τα ουδέτερα και τα αντίστροφα στοιχεία στις υπερπράξεις... 29 3. Οι αναπαραστάσεις των Υπερπράξεων/Υπερδομών στο επίπεδο... 31 3.1 Ορισμός υπερπράξεων στο επίπεδο... 31 3.2 Η υπερδομή (R 2, )... 33 3.3 Η υπερδομή (R 2, )... 36 3.4 Η υπερδομή (R 2, )4T... 41 4. Οι αναπαραστάσεις των P-υπερπράξεων/P-υπερδομών στο επίπεδο... 50 4.1 Η Ρ-υπερπράξη (Ρ ( ) )... 50 4.1.1 Ορισμός της (Ρ r( ) ) υπερπράξης... 50 4.1.2 Η υπερδομή (R 2, Ρ r( ) )... 51 4.2 Η P-υπερπράξη (Ρ ( ) )4T... 60 4.2.1 Ορισμός της (Ρ r( ) ) υπερπράξης... 60 x

4T ) 4.2.2 Η υπερδομή (R 2, Ρ r( ) )... 61 4.2.3 Ορισμός της (Ρ l( ) ) υπερπράξης... 77 4.2.4 Η υπερδομή (R 2, Ρ l( ) )... 78 4.3 Η Ρ-υπερπράξη (Ρ ( ) 4T)... 91 4.3.1 Ορισμός της (Ρ r( ) 4T) υπερπράξης... 91 4.3.2 Η υπερδομή (R 2, Ρ r( ) 4T)... 92 l 4.3.3 Ορισμός της (Ρ ( ) υπερπράξης... 98 4.3.4 Η υπερδομή (R 2 l, Ρ ( ) )... 99 r 4.3.5 Ορισμός της (Ρ ( ) 4T) υπερπράξης... 110 4.3.6 Η υπερδομή (R 2 r, Ρ ( ) )... 111 5. Οι υπερπράξεις και οι υπερδομές στην Εκπαίδευση... 123 8. Μεθοδολογία της έρευνας... 127 8.1 Μεθοδολογία της μαθηματικής έρευνας... 127 8.2 Μεθοδολογία της εμπειρικής έρευνας... 128 8.2.1 Σκοπός της έρευνας και ερευνητικά ερωτήματα... 128 8.2.2 Συλλογή και ανάλυση δεδομένων... 129 8.2.3 Δείγμα... 130 7. Ανάλυση δεδομένων και αποτελέσματα της εμπειρικής έρευνας... 132 7.1 Δεδομένα που προέκυψαν πέρα από τα ερευνητικά ερωτήματα... 132 7.2 Αποτελέσματα για το 1 ο Ερευνητικό Ερώτημα... 134 7.3 Αποτελέσματα για το 2 ο Ερευνητικό Ερώτημα... 139 7.4 Αποτελέσματα για το 3 ο Ερευνητικό Ερώτημα... 142 8. Συζήτηση... 145 9. Συμπεράσματα της έρευνας... 148 9.1 Συμπεράσματα της μαθηματικής έρευνας... 148 9.2 Συμπεράσματα- Περιορισμοί της εμπειρικής έρευνας... 148 12. Βιβλιογραφία... 150 12.1 Βιβλιογραφία πρώτου μέρους... 150 12.2 Βιβλιογραφία δεύτερου μέρους... 153 Ευρετήριο Πινάκων... 156 xi

Ευρετήριο Σχημάτων... 157 Παράρτημα... 160 Φύλλο εργασίας για το τεστ... 160 Φύλλο εργασίας για τη συνέντευξη... 162 xii

Εισαγωγή Οι υπερδομές και οι υπερπράξεις είναι ένας σχετικά νέος τομέας στον χώρο της επιστήμης των Μαθηματικών, ο οποίος όμως έχει σημειώσει μεγάλη εξέλιξη, παρουσιάζοντας εφαρμογές σε άλλους τομείς των Μαθηματικών αλλά και σε άλλες επιστήμες, όπως η Φυσική και η Βιολογία. Το γεγονός αυτό τον κάνει σημαντικό και πολλά υποσχόμενο. Στην εκπαίδευση δεν έχει ενταχθεί και παραμένει ένας ερευνητικός τομέας. Η Διπλωματική έχει ως σκοπό στο πρώτο μέρος της, την αλγεβρική μελέτη και τη γραφική αναπαράσταση των Ρ-υπερδομών στο επίπεδο, η οποία λειτουργεί ως γεωμετρική απόδειξη. Στο δεύτερο μέρος της πραγματοποιείται εμπειρική έρευνα που στοχεύει στην ανάδειξη του τρόπου με τον οποίο οι έννοιες της πράξης και της υπερπράξης προσεγγίζονται από φοιτητές του Παιδαγωγικού Τμήματος. Το συγκεκριμένο θέμα επιλέχθηκε διότι θεώρησαμε πως η σύνδεση της Άλγεβρας με τη Γεωμετρία θα είχε μεγάλο ενδιαφέρον, αφού πάντοτε ένα σχήμα έχει όχι μόνον μεγάλη δυναμική για την κατανόηση μιας έννοιας, αλλά και σύμφωνα με τον Bruner (1977) η πρώτη προσέγγιση μιας μαθηματικής έννοιας, είναι χρήσιμο, να είναι διαισθητική. Το εμπειρικό/δεύτερο μέρος, από την άλλη πλευρά, προστέθηκε στη Διπλωματική διότι αφορούσε ιδέες, οι οποίες δεν είχαν διερευνηθεί στο παρελθόν στον ελλαδικό χώρο. Η εργασία όπως ήδη έγινε ορατό διαρθρώνεται σε 2 μέρη, το ένα είναι ερευνητικό με προσανατολισμό τα Μαθηματικά και το δεύτερο είναι μια ερευνητική προσπάθεια που σχετίζεται με τη Διδακτική των Μαθηματικών. Για τις ανάγκες της εργασίας μέσα στο κείμενο ο όρος «μαθηματική έρευνα» σχετίζεται με το πρώτο μέρος και ο όρος «εμπειρική έρευνα» με το δεύτερο μέρος. Ειδικότερα, η διπλωματική εργασία οργανώνεται με την εξής λογική: Το πρώτο μέρος περιλαμβάνει: το Κεφάλαιο 1 που αφορά ιστορικά στοιχεία, ορισμούς, ιδιότητες και παραδείγματα σχετικά με τις Αλγεβρικές Δομές, το Κεφάλαιο 2, στο οποίο παρουσιάζονται ιστορικά στοιχεία, ορισμοί, παραδείγματα και ιδιότητες για τις Αλγεβρικές Υπερδομές, που αποτελούν τη θεωρητική θεμελίωση όσων αναλύονται στη συνέχεια, το Κεφάλαιο 3, όπου ορίζονται οι τρεις υπερπράξεις και διερευνώνται γεωμετρικά ως προς τα αντίστροφα και ουδέτερα στοιχεία τους, το είδος των υπερδομών τους και την πιθανή ύπαρξη Join Space δομής και το Κεφάλαιο 4, στο οποίο με τη βοήθεια των υπερπράξεων του προηγούμενου κεφαλαίου εξετάζονται διαφορετικές Ρ- υπερπράξεις ως προς τα ίδια στοχεία που εξετάστηκαν και στο Κεφάλαιο 3. Το δεύτερο μέρος από την άλλη πλευρά περιέχει τα εξής κεφάλαια: το Κεφάλαιο 5, στο οποίο αναλύονται οι λόγοι που η διδασκαλία δομών όπως οι

Υπερδομές μπορεί να είναι χρήσιμη, ενώ γίνονται αναφορές και σε δυσκολίες που προκύπτουν με τα αφηρημένα Μαθηματικά, το Κεφάλαιο 7 με τα δεδομένα που προέκυψαν από τα ερευνητικά εργαλεία και την ανάλυσή τους ανά ερευνητικό ερώτημα και το Κεφάλαιο 8 της Συζήτησης, όπου δίνεται μια συνολική εικόνα των αποτελεσμάτων και πραγματοποιείται η σύνδεσή τους με τη βιβλιογραφία. Τα κεφάλαια της Μεθοδολογίας, της Βιβλιογραφίας και των Συμπερασμάτων αφορούσαν και τα δύο μέρη της εργασίας, περιλαμβάνοντας τα αντίστοιχα υποκεφάλαια. Πιο συγκεκριμένα στο Κεφάλαιο 6, στο πρώτο υποκεφάλαιο εξηγείται η μεθοδολογία (κεντρικός σκοπός, επιμέρους στόχοι, εργαλείο) της μαθηματικής έρευνας και στο δεύτερο η μεθοδολογία της εμπειρικής έρευνας, δίνοντας έμφαση στον σχεδιασμό της έρευνας, στη συλλογή και ανάλυση των δεδομένων, στο δείγμα της έρευνας και στα ερευνητικά της ερωτήματα. Στο Κεφάλαιο 9 υπάρχουν ορισμένες διαπιστώσεις σχετικά με τη μαθηματική έρευνα (υποκεφάλαιο 1) και τα συμπεράσματα της εμπειρικής έρευνας διατυπωμένα σε μακροεπίπεδο μαζί με κάποιες αδυναμίες της. Με ανάλογο τρόπο το Κεφάλαιο 10 της Βιβλιογραφίας χωρίζεται σε δύο υποκεφάλαια που αφορούν τα 2 μέρη της εργασίας, υιοθετώντας το κατάλληλο στυλ για τις βιβλιογραφικές αναφορές σε καθένα από αυτά. Αξίζει να σημειωθεί πως σε όλη τη Μεθοδολογία υιοθετήθηκε το στυλ του δεύτερου μέρους. Στο τέλος της εργασίας βρίσκονται τα Ευρετήρια των Πινάκων και των Σχημάτων, τα οποία αντιστοιχούν κάθε σχήμα και κάθε πίνακα σε ένα κεφάλαιο και μια συγκεκριμένη σελίδα της εργασίας και το Παράρτημα, το οποίο περιλαμβάνει μόνο τα ερευνητικά εργαλεία της εμπειρικής έρευνας. 2

1. Αλγεβρικές δομές Οι Αλγεβρικές Δομές ανήκουν στον κλάδο της Άλγεβρας και μάλιστα εντάσσονται στο ιδιαίτερα εφαρμοσμένο μέρος της, καθώς παρουσιάζουν εφαρμογές σε ένα πλήθος επιστημών και τομέων της ανθρώπινης δραστηριότητας, μεταξύ των οποίων είναι η Φυσική, η Χημεία, η Γεωμετρία, η Ανάλυση και η Βιολογία [55]. Η Θεωρία Ομάδων που εντάσσεται στον χώρο της μελέτης των αλγεβρικών δομών αποτελεί τον παλαιότερο κλάδο της σύγχρονης Άλγεβρας και εμφανίστηκε το 1830. Αρχικά στο ερευνητικό έργο του Cayley και αργότερα του von Dyck εμφανίζεται για πρώτη φορά η ιδέα της αφηρημένης ομάδας. Οι άπειρες ομάδες μελετήθηκαν από τους κλάδους της Γεωμετρίας και της Τοπολογίας, ενώ οι Klein, Lie, Poincare και Dehn ήταν τα ονόματα που συνέβαλαν σημαντικά στην εξέλιξη του κλάδου. Σήμερα η Θεωρία Ομάδων είναι από τους πιο ενεργούς κλάδους της Άλγεβρας ενώ ταυτόχρονα παρουσιάζει τεράστιες εφαρμογές τόσο στον χώρο των Καθαρών Μαθηματικών, όπως η Ανάλυση ή η Τοπολογία, αλλά και σε περιοχές εκτός Μαθηματικών όπου η ιδέα της ομάδας είναι κυρίαρχη, π.χ. στην Κβαντική Θεωρία, στην Κρυσταλλογραφία και στην Ατομική και Μοριακή Δομή [58]. Μερικά άλλα ονόματα σταθμοί για την εξέλιξη των Μαθηματικών των Αλγεβρικών Δομών δίνονται παρακάτω. Ο Dedekind εισήγαγε την έννοια του δακτυλίου και του σώματος, ο Caley και ο Sylvester ήταν η δημιουργοί της Θεωρίας των Αναλλοίωτων και οι Klein και Lie μετασχημάτισαν και κατέταξαν τις διαφορικές εξισώσεις και τους διάφορους τύπους Γεωμετριών με τη βοήθεια των ομάδων, μετατρέποντας με τις εργασίες τους τη Γεωμετρία σε μία θεωρία αναλλοίωτων μιας ειδικής κατηγορίας μετασχηματισμών. Αυτό που αξίζει να τονισθεί είναι πως η ανάπτυξη των αλγεβρικών δομών ήταν γιγαντιαία και ιδιαίτερα όπως υπονοήθηκε προηγουμένως, της Θεωρίας Ομάδων, με αποτέλεσμα πολλοί, όπως ο Klein ή ο Poincare να πιστεύουν ότι η Θεωρία Ομάδων μπορούσε να ενοποιήσει όλους τους κλάδους των Μαθηματικών [55]. Για να οριστούν οι Αλγεβρικές Δομές, το βασικό «δομικό στοιχείο» που απαιτείται είναι οι απεικονίσεις που ονομάζονται «πράξεις». Οι αλγεβρικές δομές αποτελούνται από σύνολα και πράξεις και έτσι το είδος τους καθορίζεται από την πράξη ή τις πράξεις που περιέχει, αλλά και από τις ιδιότητες τις οποίες ικανοποιούν αυτές οι πράξεις [51]. 3

1.1 Πράξεις 1.1.1 Ορισμός της πράξης Ορισμός 1.1.1 Σε ένα σύνολο X Ø λέγεται νόμος εσωτερικής σύνθεσης ή διμελής πράξη ή απλά πράξη μια απεικόνιση της μορφής [49]: : Χ Χ Χ: (x,y) xy Η εικόνα του ζεύγους (x,y) Χ 2 συμβολίζεται xy και ονομάζεται αποτέλεσμα της πράξης. Η πράξη πρέπει να πληροί δύο βασικές ιδιότητες, αυτή της κλειστότητας και αυτή της μοναδικότητας. Κλειστότητα σημαίνει πως το αποτέλεσμα πρέπει να ανήκει στο σύνολο Χ ενώ μοναδικότητα σημαίνει ότι ίσα ζεύγη δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα. Με άλλα λόγια πράξη σε ένα σύνολο Χ, ονομάζεται κάθε απεικόνιση η οποία αντιστοιχεί σε κάθε ζεύγος στοιχείων του Χ, ένα τρίτο στοιχείο του Χ που ονομάζεται αποτέλεσμα. Παραδείγματα πράξεων π.χ. στους πραγματικούς αριθμούς είναι η πρόσθεση (+), η αφαίρεση (-), ο πολλαπλασιασμός ( ) και η διαίρεση (:). Πέρα από τις γνωστές μας αυτές πράξεις όμως, υπάρχει ένας άπειρος αριθμός πράξεων που μπορούν να οριστούν στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Παραδείγματα τέτοιων πράξεων μπορούν να βασιστούν στις ήδη γνωστές πράξεις μεταφέροντας και τις ιδιότητές τους. Οι διάφορες πράξεις μπορούν να χρησιμοποιούν διάφορα σύμβολα π.χ.,,,,,,, +,-,,,, κ.λ.π. και να έχουν διάφορα ονόματα π.χ. πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός ή διαίρεση, χωρίς να σημαίνει πως απαραίτητα αναφερόμαστε στις γνωστές πράξεις [51]. Πίνακας 1.1 Παραδείγματα πράξεων πέρα από τις γνωστές 1. Στο Z + : a b = ο μικρότερος των a και b ή η κοινή τιμή όταν a=b. π.χ. 2 11= 2, 15 10 = 10, 3 3 = 3 2. Στο Z + : a b = a π.χ. 2 3 = 2, 25 10 = 25, 5 5 = 5 3. Στο Z + : a b = (a b) + 2 π.χ. 4 7 = (4 7) + 2 = 4+2 = 6, 25 9 = 11, 6 6 = 8. 4

Πίνακας 1.2 Παραδείγματα τήρησης ή μη τήρησης των προϋποθέσεων των πράξεων 1. Στο Q ορίζεται η a b = a/b; Όχι, γιατί αν b=0 Q, τότε το a/b Q και δεν τηρείται η προϋπόθεση της κλειστότητας. 2. Στο Q* ορίζεται η a b = a+b; Ναι, ορίζεται γιατί αν a,b Q*, τότε πάντα a+b Q*, οπότε ικανοποιείται η προϋπόθεση της κλειστότητας. Επιπλέον, για τα ίσα διατεταγμένα ζεύγη (a/b, c/d) και (xa/xb, xc/xd) έχουμε: a + c = ad+bc b d bd ικανοποιείται και η προϋπόθεση της μοναδικότητας. και xa + xc = xx(ad+bc) xb xd xxbd = ad+bc. Έτσι, bd 3. Στο I ορίζεται η a b = a b; Όχι, γιατί αν π.χ. a=2i και b=3i, τότε a b = (2i) (3i) = 6 i 2 = 6 (-1) = -6 I. Έτσι, δεν ικανοποιείται η προϋπόθεση της κλειστότητας. 4. Στο N ορίζεται η a b = a-b; Όχι, γιατί αν π.χ. a=2 και b=5, τότε 2-5= -3 N. Άρα, δεν ικανοποιείται η προϋπόθεση της κλειστότητας. Εδώ η a-b είναι μερική πράξη (αν a=5 και b=2, τότε η a-b ορίζεται). 5. Στο σύνολο των αρνητικών ακεραίων (Z - ) ορίζεται η a b = a b; Όχι, γιατί αν π.χ. a= -2 και b= -1, τότε (-2) (-1)= 2 Z -, οπότε δεν ικανοποιείται η προϋπόθεση της κλειστότητας. 6. Στο Z ορίζεται η a b = a b; Ναι, γιατί αν π.χ. a= 2 και b= 3, τότε 2 3= 6 Z και ίσα ζεύγη δίνουν ίδιο αποτέλεσμα. Άρα, ικανοποιούνται και οι δυο αναγκαίες ιδιότητες, της κλειστότητας και της μοναδικότητας. Μια διμελής πράξη σε ένα πεπερασμένο σύνολο μπορεί να οριστεί και με έναν πίνακα. Παράδειγμα: Πίνακας 1.3 Μια διμελής πράξη ( ) στο σύνολο S={a,b,c} a b c a b c b b a c b c c b a 5

Τέλος, θα καταγραφούν μερικές παρατηρήσεις σχετικά με τον ορισμό των πράξεων που δόθηκε παραπάνω. Αρχικά είναι σημαντικό να κατανοήσει κανείς ότι σε μία πράξη γίνεται αντιστοίχιση ενός διατεταγμένου ζεύγους αριθμών του συνόλου Χ σε ένα τρίτο στοιχείο. Το γεγονός αυτό είναι σημαντικό γιατί το στοιχείο που αντιστοιχεί στο (x,y) μπορεί να είναι διαφορετικό από το στοιχείο που αντιστοιχεί στο (y,x). Επίσης, το διατεταγμένο ζεύγος των στοιχείων δεν αντιστοιχίζεται πάντα σε ένα τρίτο, όπως τονίζει ο ορισμός, αλλά είναι πιθανό το αποτέλεσμα να είναι ένας από τους 2 αριθμούς του ζεύγους π.χ. στην γνωστή μας πρόσθεση το ζεύγος (0,2) αντιστοιχίζεται στο 2 [54]. 1.1.2 Βασικές ιδιότητες των πράξεων Στο υποκεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται με βάση τους Βουγιουκλή και Δραμαλίδη [51] οι πιο βασικές ιδιότητες που είναι πιθανό να πληρούν οι διάφορες πράξεις, οι οποίες αν συσχετιστούν με τις γνωστές πράξεις είναι πιο εύκολο να αναγνωριστούν και να κάνει κανείς παρατηρήσεις: 1. Μια πράξη () σε ένα σύνολο Χ ονομάζεται προσεταιριστική αν ισχύει (xy) z = x (yz), x, y, z X 2. Μια πράξη () σε ένα σύνολο Χ ονομάζεται αντιμεταθετική αν ισχύει xy = yx, x, y X 3. Μια πράξη () σε ένα σύνολο Χ λέμε ότι έχει ουδέτερο στοιχείο αν υπάρχει e X τέτοιο ώστε να ισχύει ex = xe = x, x X 4. Μια πράξη () σε ένα σύνολο Χ που έχει ουδέτερο στοιχείο e, θα λέμε ότι έχει συμμετρικό ή αντίστροφο στοιχείο αν για κάθε x X, υπάρχει στοιχείο x X τέτοιο ώστε x x = xx = e, x X 5. Σε ένα σύνολο Χ, αν υπάρχουν δυο πράξεις ( ) και ( ), τότε η ( ) θα ονομάζεται επιμεριστική ως προς την ( ) αν ισχύει x (y z) = (x y) (x z), x, y, z X 6

Εφόσον μια πράξη μπορεί να πάρει τη μορφή ενός πίνακα, μια σημαντική παρατήρηση σε σχέση με τις ιδιότητες των πράξεων είναι πως αν η πράξη είναι αντιμεταθετική τα στοιχεία του πίνακα είναι συμμετρικά ως προς την κύρια διαγώνιό του [54]. Ένα τέτοιο παράδειγμα αποτελεί ο πίνακας που ακολουθεί: Πίνακας 1.4 O πίνακας της πρόσθεσης στο σύνολο Z 6 με την κύρια διαγώνιό του + 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4 1.2 Είδη αλγεβρικών δομών Σύμφωνα με τα παραπάνω μια αλγεβρική δομή θα μπορούσε να οριστεί ως ένα σύνολο Χ εφοδιασμένο με ένα πεπερασμένο πλήθος πράξεων με ορισμένες ιδιότητες. Μια αλγεβρική δομή που περιλαμβάνει ένα σύνολο Χ εφοδιασμένο με μια πράξη (), συμβολίζεται (Χ, ) και ονομάζεται ομαδοειδές. Αυτό αποτελεί και την απλούστερη αλγεβρική δομή. Ενώ ένα σύνολο Χ εφοδιασμένο με δύο πράξεις συμβολίζεται (Χ,, ). Στο υποκεφάλαιο αυτό οι ορισμοί προέρχονται από τους Βουγιουκλή [49] και Σουρλά [59], ενώ τα παραδείγματα και τα αντιπαραδείγματα που δίνονται προέρχονται από τις πηγές [47], [52], [54], [56], [59] και [61] ή είναι αποτέλεσμα προσωπικής σκέψης και το διάγραμμα ροής των βασικών αλγεβρικών δομών παρουσιάζεται στον Σουρλά [59]. Γενικά έχοντας ένα σύνολο Χ και συνδυάζοντας διαφορετικό αριθμό πράξεων με διαφορετικές ιδιότητες, προκύπτουν οι ακόλουθες αλγεβρικές δομές: Ημιομάδα ονομάζεται το ζεύγος (Χ, ) όταν ισχύει η ιδιότητα: Η: (xy) z = x (yz), x, y, z X (προσεταιριστικός νόμος) 7

Παραδείγματα: 1. Το σύνολο N με τον πολλαπλασιασμό. 2. Το σύνολο των πινάκων Μ n n με τον πολλαπλασιασμό. Αντιπαράδειγμα: Το σύνολο N με την αφαίρεση ή την διαίρεση δεν είναι ημιομάδα, γιατί δεν ισχύει ο προσεταιριστικός νόμος, π.χ.: (8-3)- 2 8- (3-2) ή (8: 4): 2 8: (4: 2). Μονοειδές ονομάζεται το ζεύγος (Χ, ) όταν ισχύουν οι ιδιότητες: Μ 1 : το (Χ, ) είναι ημιομάδα Μ 2 : υπάρχει στοιχείο e X τέτοιο ώστε ex = xe = x, x X (ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου). Συνήθως στον πολλαπλασιασμό το ουδέτερο στοιχείο λέγεται μονάδα (1), ενώ στην πρόσθεση το ουδέτερο στοιχείο ονομάζεται μηδέν (0). Παραδείγματα: 1. Το σύνολο N με την πρόσθεση (ουδέτερο στοιχείο το 0). 2. Το σύνολο Z με τον πολλαπλασιασμό (ουδέτερο στοιχείο το 1). 3. Το σύνολο των πινάκων Μ m n με την πρόσθεση (ουδέτερο στοιχείο ο μηδενικός πίνακας 0 m n ). 4. Το σύνολο Z n με την πρόσθεση (ουδέτερο στοιχείο το 0), π.χ. η δομή (Z 6, +): 8

Πίνακας 1.5 Ο πίνακας για την πρόσθεση στο Z 6 + 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4 Αντιπαράδειγμα: Το σύνολο Q-{0} με την πρόσθεση δεν είναι μονοειδές, γιατί ενώ είναι ημιομάδα, δεν υπάρχει ουδέτερο στοιχείο. Ομάδα ονομάζεται το ζεύγος (Χ, ) όταν ισχύουν οι ιδιότητες: Ο 1 : το (Χ, ) είναι μονοειδές (με ουδέτερο στοιχείο e) Ο 2 : x X, x X τέτοιο ώστε x x = xx = e (ύπαρξη συμμετρικού στοιχείου). Το συμμετρικό στοιχείο στην πρόσθεση ονομάζεται αντίθετο, ενώ στον πολλαπλασιασμό ονομάζεται αντίστροφο. Παραδείγματα: 1. Το σύνολο Q {0} με τον πολλαπλασιασμό. 2. Το σύνολο Z p - {0} (p πρώτος αριθμός) με τον πολλαπλασιασμό, π.χ. η δομή (Z 5 - {0}, ): 9

Πίνακας 1.6 Ο πίνακας για τον πολλαπλασιασμό στο Z 5 - {0} 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1 3. Το σύνολο G με την πράξη, όπως δίνονται παρακάτω. Έστω [x, y, z] ισόπλευρο τρίγωνο και G= {I,Α,Β,Γ,Δ,Ε}, του οποίου τα στοιχεία είναι οι παρακάτω μετασχηματισμοί, τότε σε αυτό το σύνολο, ορίζεται η πράξη για την οποία ισχύει: S Τ= εφαρμόζω τον μετασχηματισμό S στον Τ Σχήμα 1.1 Οι άξονες του επιπέδου 10

0 ή 360 Ι Σχήμα 1.2 Ο μετασχηματισμός Ι 120 A Σχήμα 1.3 Ο μετασχηματισμός Α 240 B Σχήμα 1.4 Ο μετασχηματισμός Β 11

x x Γ Σχήμα 1.5 Ο μετασχηματισμός Γ y y Δ Σχήμα 1.6 Ο μετασχηματισμός Δ z z Ε Σχήμα 1.7 Ο μετασχηματισμός Ε 12

Ο πίνακας αυτής της πράξης είναι ο εξής: Πίνακας 1.7 Ο πίνακας για την πράξη Ι Α Β Γ Δ Ε I Ι Α Β Γ Δ Ε A Α Β I Ε Γ Δ B Β Ι A Δ Ε Γ Γ Γ Δ E Ι Α Β Δ Δ E Γ Β Ι Α Ε Ε Γ Δ Α Β Ι Στην περίπτωση αυτή τo ουδέτερο στοιχείο είναι ο μετασχηματισμός Ι και τα συμμετρικά στοιχεία που προκύπτουν είναι τα εξής: Ι(Ι,Ι)= Ι, Ι(Α,Ι)=Β, Ι(Β,Ι)=Α, Ι(Γ,Ι)=Γ, Ι(Δ,Ι)=Δ, Ι(Ε,Ι)=Ε. Αντιπαραδείγματα: Δεν είναι ομάδες: -το σύνολο των N με την πρόσθεση ή τον πολλαπλασιασμό, γιατί ενώ η καθεμία από αυτές τις αλγεβρικές δομές είναι μονοειδές, τα στοιχεία του συνόλου δεν έχουν αντίθετο ή αντίστροφο στοιχείο. -το σύνολο Z n με τον πολλαπλασιασμό, γιατί δεν έχουν όλα τα στοιχεία του συνόλου αντίστροφο στοιχείο, π.χ. η δομή (Z 6, ): Πίνακας 1.8 Ο πίνακας για τον πολλαπλασιασμό στο Z 6 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1 13

ή στη δομή (Z 5, ) το 0 δεν έχει αντίστροφο στοιχείο. Αβελιανή ομάδα ή ομάδα του Abel ή αντιμεταθετική ομάδα ονομάζεται το ζεύγος (Χ, ) όταν ισχύουν οι ιδιότητες: Α 1 : το (Χ, ) είναι ομάδα Α 2 : xy = yx, x, y X (αντιμεταθετικός νόμος) Παραδείγματα: 1. Το σύνολο R με την πρόσθεση. 2. Το σύνολο Z n με την πρόσθεση, π.χ. η δομή (Z 6, +): Πίνακας 1.9 Ο πίνακας για την πρόσθεση στο Z 6 + 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4 3. Το σύνολο V των διανυσμάτων με την πρόσθεση. Αντιπαράδειγμα: Το σύνολο των πινάκων Μ n n με τον πολλαπλασιασμό δεν είναι αβελιανή ομάδα, γιατί δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στον πολλαπλασιασμό πινάκων. Αναφορικά με τις δομές με 2 πράξεις, οι οποίες συνήθως είναι η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός ισχύουν τα παρακάτω: 14

Δακτύλιος ονομάζεται η τριάδα (Χ,+, ) όταν ισχύουν οι ιδιότητες: Δ 1 : το ζεύγος (Χ,+) είναι αβελιανή ομάδα Δ 2 : το ζεύγος (Χ, ) είναι μονοειδές Δ 3 : x (y+z) = xy + xz, x (y+z) = xz + yz, x, y, z X (επιμεριστικοί νόμοι) Παραδείγματα: Τα σύνολα R, Z, Q και C με πράξεις την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Αντιπαράδειγμα: Το σύνολο N με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού δεν είναι δακτύλιος γιατί δεν υπάρχει συμμετρικό στοιχείο ως προς την πρόσθεση που να ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Αντιμεταθετικός δακτύλιος ονομάζεται η τριάδα (Χ,+, ) όταν ισχύουν οι ιδιότητες: ΑΔ 1 : η τριάδα (Χ,+, ) είναι δακτύλιος ΑΔ 2 : xy = yx, x, y X Παράδειγμα: Το σύνολο Z n με την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, π.χ. η δομή (Z 8, +, ): Πίνακας 1.10 Οι πίνακες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού στο Z 8 + 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 5 6 7 0 2 2 3 4 5 6 7 0 1 3 3 4 5 6 7 8 0 2 4 4 5 6 7 0 1 2 3 5 5 6 7 0 1 2 3 4 6 6 7 0 1 2 3 4 5 7 7 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 4 6 0 2 4 6 3 0 3 6 1 4 7 2 5 4 0 4 0 4 0 4 0 4 5 0 5 2 7 4 1 6 3 6 0 6 4 2 0 6 4 2 7 0 7 6 5 4 3 2 1 15

Αντιπαράδειγμα: Το σύνολο των πινάκων Μ n n είναι μη αντιμεταθετικός δακτύλιος γιατί δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στον πολλαπλασιασμό πινάκων. Δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο (ή με μονάδα) λέγεται η τριάδα (Χ,+, ) όταν ισχύουν οι ιδιότητες: ΔΜ 1 : η τριάδα (Χ,+, ) είναι δακτύλιος ΔΜ 2 : x X υπάρχει ένα στοιχείο Ι τέτοιο ώστε x I = I x = x (ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου ως προς την δεύτερη πράξη) Παραδείγματα: Οι δακτύλιοι (R,+, ), (Z,+, ), (Q,+, ) και (C,+, ) είναι αντιμεταθετικοί με μοναδιαίο στοιχείο. Αντιπαράδειγμα: Το σύνολο των αρτίων ακεραίων αριθμών με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος χωρίς μοναδιαίο στοιχείο, γιατί το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού δεν ανήκει στο σύνολο. Ακέραια περιοχή ονομάζεται η η τριάδα (Χ,+, ) όταν ισχύουν οι ιδιότητες: ΑΠ 1 : η τριάδα (R,+, ) είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος με 1 0 ΑΠ 2 : για όλα τα x,y,z X με x 0 και xy=yz συνεπάγεται y=z (νόμος απλοποίησης) Ισοδύναμα αυτό σημαίνει ότι εδώ δεν υπάρχουν διαιρέτες του μηδενός. Παραδείγματα: Οι δακτύλιοι (R,+, ), (Z,+, ), (Q,+, ) και (C,+, ) είναι ακέραιες περιοχές. 16

Αντιπαράδειγμα: Το σύνολο των τετραγωνικών πινάκων 2 2 έχει τη δομή δακτυλίου με εσωτερικές πράξεις την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Αν Α= 1 1 1 και Β= 1 0 0 1 1, τότε το γινόμενό τους θα είναι το εξής: Α Β = 1 1 1 1 1 1 0 1 = 1 = 0 0 0 1 1 0 0 0 0 Επομένως, ο δακτύλιος αυτός δεν είναι ακέραια περιοχή γιατί τα Α,Β είναι διαιρέτες του 0 2 2. Σώμα ονομάζεται η τριάδα (Χ,+, ) όταν ισχύουν οι ιδιότητες: Σ 1 : η τριάδα (Χ,+, ) είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος με 1 0 Σ 2 : για όλα τα x X με x 0, υπάρχει στοιχείο x X τέτοιο ώστε x x = 1 (ύπαρξη αντίστροφου στοιχείου ως προς τον πολλαπλασιασμό) Παραδείγματα: Τα σύνολα R, Q και C με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού είναι σώματα. Αντιπαράδειγμα: Η δομή (Z,+, ) δεν είναι σώμα, γιατί το αντίστροφο στοιχείο ως προς τον πολλαπλασιασμό δεν ανήκει στο σύνολο Z. 17

Ημιομάδα Μονοειδές Ομάδα Αβελιανή ομάδα Ακέραιη περιοχή Δακτύλιος Μη ακέραιη περιοχή Δακτύλιος με μονάδα Αντιμεταθετικός δακτύλιος Σώμα Σχήμα 1.8 Διάγραμμα ροής των βασικών αλγεβρικών δομών 18

Μόντουλο: Έστω R δακτύλιος και (M,+) αβελιανή ομάδα. Το M ονομάζεται αριστερό μόντουλο πάνω στο R, ή αριστερό R- μόντουλο αν έχουμε μια εξωτερική πράξη, δηλαδή μια απεικόνιση της μορφής: : R x M M : (α,x) α x, στην οποία α,βε R και x,yε M ισχύουν οι ιδιότητες: (α+β) x = αx + βx, α(x+y) = αx + αy και (αβ)x = α(βx) Αν ισχύει και 1 x= x, xε M τότε το M ονομάζεται unitary module. Ενώ το δεξιό μόντουλο ορίζεται με ανάλογο τρόπο. Διανυσματικός ή γραμμικός χώρος ονομάζεται κάθε unitary μόντουλο V πάνω σε ένα σώμα F. Τα στοιχεία του V ονομάζονται διανύσματα. Άλγεβρα ονομάζεται ένα R- μόντουλο Α αν είναι εφοδιασμένο με μια επιπλέον προσεταιριστική απεικόνιση, η οποία καλείται και αυτή πολλαπλασιασμός: (x+y)z = xz + yz, x(y+z)= xy +xz, α(xy) = (αx)y = x(αy). Lie Άλγεβρα ονομάζεται μια άλγεβρα Α (όχι κατ ανάγκη προσεταιριστική) όταν ικανοποιεί τις επιπλέον συνθήκες: x x= 0 (αντισυμμετρική ιδιότητα) (xy)z + (yz)x + (zx)y= 0 (ταυτότητα του Jacobi) 19

2. Αλγεβρικές υπερδομές Οι αλγεβρικές υπερδομές εντάσσονται στον χώρο της Άλγεβρας και είναι ένα νέο πεδίο στα Μαθηματικά, καθώς εισήχθησαν από τον Frederic Marty το 1934 με τον ορισμό της υπερομάδας στο 8 ο Συνέδριο των Σκανδιναβών Μαθηματικών. Η εργασία του είχε τίτλο Sur une generalization de la notion de groupe [26] και μέσα από αυτήν γενικεύτηκε η ιδέα της ομάδας και δημιουργήθηκε ο κλάδος των υπερδομών, ο οποίος επέκτεινε την κλασική θεωρία των αλγεβρικών δομών. Σύμφωνα με τους Βουγιουκλή-Δραμαλίδη [51] οι υπερομάδες όπως ορίστηκαν από τον Marty «αποτελούν πολύ μεγάλη κλάση πλειονότιμων δομών που ικανοποιούν αξιώματα παρόμοια των ομάδων». Στη συνέχεια, πολλοί μαθηματικοί σε όλο τον κόσμο ασχολήθηκαν με την περιοχή αυτή και μελέτησαν τη γενική θεωρία των υπερδομών, αλλά και τις εφαρμογές τους σε άλλους κλάδους των μαθηματικών. Ένας μεγάλος αριθμός ερευνητών μετά την καθιέρωση του κλάδου των υπερδομών ασχολήθηκε για αρκετά χρόνια με την υπερομάδα και τους διάφορους τύπους της. Για παράδειγμα, οι ομαλές υπερομάδες μελετήθηκαν από τους Wall [45] και Kuntzman [25], οι κλειστές αντιστρέψιμες από τους Marty [26], Dresher, Ore [16], [28] και Krasner [23] και οι πολύ κλειστές αντιστρέψιμες συζυγείς από τους Sureau [18], [31] και Freni [17]. Η ερευνητική προσκόλληση στην υπερομάδα ξεπεράστηκε όταν ο Krasner το 1956 [24] όρισε την έννοια του υπερσώματος και δέκα χρόνια μετά την έννοια του υπερδακτυλίου, όπου η πρόσθεση είναι υπερπράξη ενώ ο πολλαπλασιασμός πράξη. Από εκεί και έπειτα αρκετοί ερευνητές έστρεψαν το ενδιαφέρον τους στη μελέτη του υπερδακτυλίου και του υπερσώματος. Στη συνέχεια υπήρξαν κάποια γεγονότα σταθμοί στην εξέλιξη των υπερδομών, μερικά από τα οποία αναφέρονται παρακάτω, που έδωσαν μια νέα ώθηση στην έρευνα στον χώρο και μελετήθηκαν από αρκετούς ερευνητές. Ο Koskas [22] το 1970 εισήγαγε τη β* σχέση ισοδυναμίας, η οποία αποτελεί την πρώτη προσπάθεια σύνδεσης των υπερδομών με τις κλασικές δομές. Το 1990 Ο Βουγιουκλής [35] όρισε τις θεμελιώδεις, όπως τις ονόμασε, σχέσεις ισοδυναμίας γ* και ε*. Το 1993 ο Corsini [2], [4] εισήγαγε τους Join Spaces στα Ασαφή Σύνολα, συνδέοντας τις υπερδομές με τις ασαφείς δομές. Μια σημαντική στιγμή στην εξέλιξη της θεωρίας των υπερδομών, ήταν ο ορισμός των P-υπερδομών από τον Βουγιουκλή το 1981 [33] ως γενίκευση των P-υπερπράξεων που είχε ορίσει στη διδακτορική του διατριβή [48]. Τέλος, το 1990 ο Βουγιουκλής [24] και πάλι οδηγήθηκε στον ορισμό μιας ευρύτερης κλάσης υπερδομών, τις Η v - δομές, οι οποίες συνδέουν τις υπερδομές με άλλα επιστημονικά πεδία, όπως η Φυσική, η Χημεία, η Οικονομία, η Βιολογία και οι Φυσικές Επιστήμες, ενώ το 2005 [44] εισήγαγε και τις -πράξεις και -υπερδομές. Συνολικά, είναι σημαντικό να τονιστεί πως η θεωρία των υπερδομών έχει πολλές εφαρμογές σε άλλους κλάδους των μαθηματικών. Για παράδειγμα, ο Marty εφάρμοσε τις υπερομάδες στα ρητά αλγεβρικά κλάσματα και στις αλγεβρικές 20

συναρτήσεις, ο Prenowitz [29] παρουσίασε την προβολική, παραστατική και σφαιρική γεωμετρία ως υπερδομές, ενώ ο Tallini [32] μελέτησε τις πεπερασμένες γεωμετρίες υπό το πρίσμα των υπερδομών. Υπήρξε μεγάλο ερευνητικό ενδιαφέρον για τη μελέτη των σχέσεων ανάμεσα στις υπερδομές και στα κλασικά μαθηματικά, όπως τα Σώματα, οι Δακτύλιοι, η Συνδυαστική, οι Διανυσματικοί Χώροι, οι Πιθανότητες, οι Lie Άλγεβρες, η Θεωρία Παραστάσεων και η Ασαφής Λογική. Στις Αλγεβρικές Υπερδομές, η λογική είναι αντίστοιχη με αυτή των Αλγεβρικών Δομών. Έτσι, για τον ορισμό τους χρειάζονται ως «δομικό στοιχείο» τις απεικονίσεις που ονομάζονται σε αυτήν την περίπτωση «υπερπράξεις», αποτελούνται από σύνολα και υπερπράξεις και ανάλογα με την υπερπράξη ή τις υπερπράξεις και τις ιδιότητές τους, είναι διαφορετικού τύπου. 2.1 Υπερπράξεις 2.1.1 Ορισμός της υπερπράξης Σε ένα σύνολο Χ ονομάζεται υπερπράξη [1], [3], [26] κάθε απεικόνιση που έχει τη μορφή: : Χ x Χ (Χ) { }: (x,y) xy Χ ή διαφορετικά αν Α, Β Χ, τότε ισχύει: ΑΒ = α Α,β Β(α β) Το αποτέλεσμα της υπερπράξης είναι ένα μη κενό υποσύνολο του Χ. Η διαφορά ανάμεσα στην πράξη και στην υπερπράξη είναι ότι το αποτέλεσμα της υπερπράξης μπορεί να περιέχει περισσότερα του ενός στοιχεία. Με αυτή τη λογική σε ένα σύνολο ο αριθμός των υπερπράξεων που μπορεί να οριστεί είναι πολύ μεγαλύτερος από τον αριθμό των πράξεων που ορίζονται στο ίδιο σύνολο [51]. Στις υπερδομές συνήθως χρησιμοποιείται το γράμμα H αντί του Χ για τον συμβολισμό του συνόλου, από την λέξη hyper. Παραδείγματα: 1. Αν Ρ= {0,3} στο N ορίζεται η υπερπράξη α β= α+β+ρ: π.χ. 2 3= 2+3+{0,3}= 5+{0,3}={5,8}. 21

2. Αν Ρ={1,3} ορίζεται η υπερπράξη α β= α β Ρ, οπότε και προκύπτει ο παρακάτω πίνακας: Πίνακας 2.1 Ο πίνακας της υπερπράξης 1 2 3 4 5 6 1 {1,3} {2,6} {3,2} {4,5} {5,1} {6,4} 2 {2,6} {4,5} {6,4} {1,3} {3,2} {5,1} 3 {3,2} {6,4} {2,6} {5,1} {1,3} {4,5} 4 {4,5} {1,3} {5,1} {2,6} {6,4} {3,2} 5 {5,1} {3,2} {1,3} {6,4} {4,5} {2,6} 6 {6,4} {5,1} {4,5} {3,2} {2,6} {1,3} 2.1.2 Βασικές ιδιότητες των υπερπράξεων Στο υποκεφάλαιο αυτό δίνονται οι βασικές ιδιότητες των υπερπράξεων, οι οποίες όπως φαίνεται, αποτελούν γενικεύσεις των ιδιοτήτων των πράξεων [6], [12], [37]: 1. Μια υπερπράξη () σε ένα σύνολο H ονομάζεται προσεταιριστική αν ισχύει (xy) z = x (yz), x, y, z H 2. Μια υπερπράξη () σε ένα σύνολο H ονομάζεται αντιμεταθετική αν ισχύει xy = yx, x, y H 3. Μια υπερπράξη () σε ένα σύνολο H λέμε ότι έχει ουδέτερο στοιχείο αν υπάρχει e H τέτοιο ώστε να ισχύει x ex και x xe, x H Παραδείγματα: Στο Παράδειγμα 2 των υπερπράξεων παραπάνω, τα ουδέτερα στοιχεία είναι το 1 και το 5. 4. Μια υπερπράξη () σε ένα σύνολο H που έχει ουδέτερο στοιχείο e, θα λέμε ότι έχει συμμετρικό ή αντίστροφο αν για κάθε x H, υπάρχει στοιχείο x H τέτοιο ώστε 22

e x x και e xx, x H Παραδείγματα: Στο Παράδειγμα 2 των υπερπράξεων παραπάνω, τα συμμετρικά στοιχεία που προέκυψαν είναι: Ι(1,1)=1,5, Ι(2,1)=4,6, Ι(3,1)=4,5, Ι(4,1)=3,2 Ι(5,1)=1,3, Ι(6,1)=6,2, Ι(1,5)=5,4, Ι(2,5)=6,2, Ι(3,5)=4,6, Ι(4,5)=3,1 Ι(5,5)=5,1 Ι(6,5)=3,2. Εδώ είναι σημαντικό να παρατηρηθούν δύο σημεία που έρχονται σε αντίθεση με τα κλασικά Μαθηματικά: τα ουδέτερα και τα αντίστροφα δεν είναι μοναδικά και αντί για «=» υπάρχει το σύμβολο, γιατί στην περίπτωση αυτή το αποτέλεσμα που προκύπτει είναι πιθανό να είναι και σύνολο [57]. 5. Σε ένα σύνολο H, αν υπάρχουν δυο υπερπράξεις ( ) και ( ), τότε η ( ) θα ονομάζεται επιμεριστική ως προς την ( ) αν ισχύει x (y z) = (x y) (x z), x, y, z H 2.2 Κλασικές αλγεβρικές υπερδομές Οι πληροφορίες και οι ορισμοί που δίνονται σε αυτό το υποκεφάλαιο βασίζονται στις πηγές [11], [37], [60], [48], [53], [36], [5], [9], [40], [43] και [3]. Με βάση όσα έχουν προηγηθεί, μια αλγεβρική υπερδομή ή πλειονότιμη άλγεβρα, όπως και μια αλγεβρική δομή, θα μπορούσε να οριστεί ως κάθε σύνολο H, εφοδιασμένο με μία τουλάχιστον υπερπράξη. Οπότε, η απλούστερη υπερδομή, περιέχει ένα σύνολο H εφοδιασμένο με μια υπερπράξη (), συμβολίζεται (H,) και ονομάζεται υπερομαδοειδές. Με όμοιο τρόπο και εδώ ένα σύνολο H εφοδιασμένο με δύο πράξεις συμβολίζεται (H,, ). Και στην περίπτωση των υπερδομών, μέσα από τον συνδυασμό διαφορετικού αριθμού υπερπράξεων και διαφορετικών ιδιοτήτων, δημιουργούνται οι διαφορετικές αλγεβρικές υπερδομές. Στο υποκεφάλαιο αυτό, αναλύονται αυτές που συγκέντρωσαν το μεγαλύτερο ενδιαφέρον από τους ερευνητές. Ως κλασικές ονομάζονται οι υπερδομές που ορίζονται με ανάλογο τρόπο με αυτόν των αλγεβρικών δομών. Ημι-υπερομάδα ονομάζεται το ζεύγος (H, ) όταν η υπερπράξη είναι προσεταιριστική. 23

Υπερομάδα ονομάζεται το ζεύγος (H, ) όταν ισχύουν οι ιδιότητες: ΥΟ 1 : το ζεύγος (H, ) είναι υπερμονοειδές ΥΟ 2 : κάθε στοιχείο του H έχει συμμετρικό στοιχείο Ο παραπάνω θα μπορούσε να είναι ένας φυσιολογικός ορισμός της υπερομάδας. Επειδή όμως, στις υπερδομές δεν υπάρχει μοναδικότητα ουδέτερων και αντίστροφων στοιχείων, ο ορισμός, χωρίς να θέτει ως προαπαιτούμενο την ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου και χωρίς να βασίζεται στην κλασική θεωρία, διαμορφώνεται ως εξής: Υπερομάδα ονομάζεται το ζεύγος (H, ) όταν ισχύουν οι ιδιότητες: ΥΟ 1 : το ζεύγος (H, ) είναι ημι-υπερομάδα ΥΟ 2 : ικανοποιείται η αναπαραγωγική ιδιότητα: x H= Hx= Η, x H Αβελιανή ή αντιμεταθετική υπερομάδα ονομάζεται το ζεύγος (H, ) όταν ισχύουν οι ιδιότητες: ΑΥ 1 : το ζεύγος (H, ) είναι υπερομάδα ΑΥ 2 : η υπερπράξη είναι αντιμεταθετική. Υπερδακτύλιος ονομάζεται η τριάδα (H,, ) όταν ισχύουν οι ιδιότητες: ΥΔ 1 : το ζεύγος (H, ) είναι αβελιανή υπερομάδα ΥΔ 2 : η υπερπράξη είναι προσεταιριστική και επιμεριστική ως προς την Παραδείγματα: Το Παράδειγμα 1 και το Παράδειγμα 2 των υπερπράξεων παραπάνω είναι αντιμεταθετικές υπερομάδες. 24

Πέρα από τις παραπάνω υπερδομές που τα ονοματά τους έχουν προκύψει μέσα από τα ονόματα των αλγεβρικών δομών, υπάρχουν και άλλες κλάσεις υπερδομών, οι οποίες παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον και γι αυτό θα αναφερθούν παρακάτω μερικές από αυτές. Για παράδειγμα, μια τέτοια περίπτωση είναι οι υπερομάδες Join Spaces, τις οποίες εισήγαγε για πρώτη φορά ο W. Prenowitz. Στη συνέχεια, τόσο ο ίδιος όσο και ο J. Jantosciak τις εφάρμοσαν στην περιοχή της Γεωμετρίας και μάλιστα, στην Ευκλείδεια αλλά και στη μη Ευκλείδεια Γεωμετρία [30]. Στον ορισμό των Join Spaces χρησιμοποιείται το σύνολο a/b = {x H / a x b}, όπου a, b στοιχεία ενός υπερομαδοειδούς (Η, ). Πιο συγκεκριμένα, ο ορισμός διαμορφώνεται ως εξής: Join Space ονομάζεται μια αντιμεταθετική υπερομάδα (J, ) με μια υπερπράξη / : J J (J) που ορίζεται ως εξής: a / b = {x J: a x b}, a, b J και ικανοποιεί τον μεταθετικό νόμο: Για κάθε a, b, c, d J, a / b c / d a d b c Αργότερα ο J. Jantosciak [21] εισήγαγε την γενίκευση του παραπάνω ορισμού ως εξής: Μια υπερομάδα (Η, ) ονομάζεται Transposition Υπερομάδα αν για κάθε a, b, c, d H, ισχύει η παρακάτω συνθήκη: b\a c/d (a d) (b c), όπου b\a = {x H / a b x}. 25

2.3 Οι H v - δομές Μια ιδιαίτερα σημαντική κατηγορία υπερδομών εξαιτίας των πολλών εφαρμογών της, όπως ήδη τονίστηκε στο εισαγωγικό μέρος, αλλά και εξαιτίας της εισαγωγής της μεθόδου συνένωσης στοιχείων με τη χρήση τους, είναι οι H v -δομές. Αυτές εισήχθηκαν στο 4 ο συνέδριο AHA, από τον Θωμά Βουγιουκλή [35]. Πρόκειται για μια νέα κλάση υπερδομών, η οποία είναι μεγαλύτερη και γενικότερη από τις κλασικές υπερδομές. Οι H v - δομές ικανοποιούν ασθενή αξιώματα, που δίνονται παρακάτω, στα οποία η ισότητα αντικαθίσταται από τη μη κενή τομή [37]. Για τις δομές αυτές υπήρξε έντονη ερευνητική δραστηριότητα με εργασίες όπως, οι [7], [8], [10], [13], [15], [19], [20], [38], [39], [41], [42]. Έστω ένα σύνολο Η στο οποίο ορίζεται η υπερπράξη: : Η H (H)-{ }: (x,y) x y 1. H υπερπράξη ( ) στο σύνολο Η ονομάζεται ασθενώς προσεταιριστική ή WASS (Weak Associative) αν ισχύει (x y) z x (y z), x, y, z H 2. H υπερπράξη ( ) στο σύνολο Η ονομάζεται ασθενώς αντιμεταθετική ή COW (Weak Commutative) αν ισχύει x y y x, x, y H 3. Αν το σύνολο Η είναι εφοδιασμένο με 2 υπερπράξεις, τις ( ) και ( ), τότε η ( ) θα ονομάζεται ασθενώς επιμεριστική ως προς την ( ) αν ισχύει x (y z) (x y) (x z), x, y, z H H v - ημιομάδα ονομάζεται το ζεύγος (Η, ) όταν η υπερπράξη είναι ασθενώς προσεταιριστική. 26

H v - ομάδα ονομάζεται το ζεύγος (Η, ) όταν ισχύουν οι ιδιότητες: ΗΟ 1 : το ζεύγος (Η, ) είναι H v - ημιομάδα ΗΟ 2 : η ιδιότητα της αναπαραγωγής, δηλαδή x H = H x = H H v - δακτύλιος ονομάζεται η τριάδα (H,, ) όταν ισχύουν οι ιδιότητες: ΗΔ 1 : το ζεύγος (H, ) είναι H v - ομάδα ΗΔ 2 : το ζεύγος (H, ) είναι H v - ημιομάδα ΗΔ 3 : η είναι ασθενώς επιμεριστική ως προς την Σε αντιστοιχία με τις υπερομάδες Join Spaces εισήχθησαν από τους Χ. Μασσούρο και Α. Δραμαλίδη το 2012 [27] οι παρακάτω κλάσεις H v -ομάδων: Μια H v -ομάδα (Η, ) ονομάζεται Transposition H v -ομάδα αν για κάθε a, b, c, d H, ισχύει η παρακάτω συνθήκη: b\a c/d (a d) (b c). Παρατήρηση: Αν η Η είναι αντιμεταθετική H v -ομάδα τότε a/b b\a. Join H v -ομάδα ονομάζεται μια Transposition H v -ομάδα με την H v -ομάδα να είναι αντιμεταθετική. Ασθενής Join H v -ομάδα ονομάζεται μια Transposition H v -ομάδα με την H v - ομάδα να είναι ασθενώς αντιμεταθετική. 27

2.4 Οι P-υπερπράξεις και Ρ-υπερδομές Έστω (G, ) μια ημιομάδα και Ρ ένα γνήσιο υποσύνολο του συνόλου G με Ρ. Στο σύνολο G ορίζουμε τις παρακάτω υπερπράξεις, οι οποίες ονομάζονται P- υπερπράξεις: Ρ*: x Ρ* y= x P y Ρ r *: x Ρ r * y= x y P Ρ l*: x Ρ l* y= P x y, x, y G Σε αυτήν την περίπτωση οι υπερδομές (G, Ρ*), (G, Ρ r *) και (G,Ρ l*) ονομάζονται P- υπερδομές. Αυτό το είδος υπερδομών εισήχθηκε από τον Vougioukli [33] αρχικά για τις υπερομάδες, στη συνέχεια όμως γενικεύτηκε το 1987 από τον ίδιο ερευνητή στην εργασία του Generalization of P- hypergroups του [34]. Η γενίκευσή τους είχε την παρακάτω μορφή: Έστω (G, ) ένα ομαδοειδές και P G, P. Τότε, x, y G ισχύει: P : x P y = (xp)y x(py) P : x P y = (xy)p x(yp) r r P l : x P l y = (Px)y P(xy) Παρατηρήσεις: Εάν κάποιος συνδυάσει τους δύο προηγούμενους ορισμούς προκύπτει ως πιο συχνή περίπτωση ότι, αν η (G, ) είναι ημιομάδα, τότε θα ισχύει: x P y = x P * y = xpy και η (G, P ) θα είναι ημι-υπερομάδα, αλλά δεν γνωρίζουμε τι συμβαίνει με τις (G,P r ) και (G,P l ). Ανάλογα με την επιλογή του Ρ, σε κάποιες περιπτώσεις οι (G,P r ) and (G,P l ) μπορούν να είναι προσεταιριστικές ή WASS. Οι (G,P), (G,P r ) και (G,P l ) μπορούν να είναι προσεταιριστικές ή WASS. 28

Στη δεδομένη εργασία υιοθετείται ο πρώτος συμβολισμός, γιατί σύμφωνα με τις ιδιότητες της προσεταιριστικότητας και της αντιμεταθετικότητας, προσφέρει τη δυνατότητα μελέτης συγκεκριμένων P-H v - δομών στο επίπεδο και ευκολότερη γεωμετρική αναπαράσταση. Εάν P Z(G), όπου Z(G) το κέντρο του G τότε Ρ* Ρ r * Ρ l*. Για την Ρ* ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα: x, y, z G, (xρ*y) Ρ*z= (x P y) Ρ*z= (x P y) P z= x P (y P z)= x P (yρ*z)= xρ*(yρ*z) Αυτό σημαίνει ότι η (G, Ρ*) είναι ημι-υπερομάδα. Στην περίπτωση που η (G, ) είναι ομάδα, τότε προφανώς θα ισχύει: xρ*g= g G(x P g)= G και με όμοιο τρόπο ισχύει και GΡ*x= G, g G Επομένως, αποδεικνύεται ότι η (G, Ρ*) είναι υπερομάδα αν και μόνον αν η (G, ) είναι ομάδα. 2.5 Τα ουδέτερα και τα αντίστροφα στοιχεία στις υπερπράξεις Στο υποκεφάλαιο αυτό ορίζονται τα ουδέτερα και αντίστροφα στοιχεία σύμφωνα με όσα αναφέρουν οι [14], [53], [46] και [3]. Έστω ένα υπερομαδοειδές (H,). Για κάθε στοιχείο x H θα ονομάζεται αριστερό ουδέτερο στοιχείο ένα στοιχείο e 1 H τέτοιο ώστε x e 1 x. Ενώ με αντίστοιχο τρόπο θα ονομάζεται δεξιό ουδέτερο στοιχείο ένα στοιχείο e 2 H τέτοιο ώστε x xe 2 για κάθε x H. Ως ουδέτερο χαρακτηρίζεται ένα στοιχείο e H τέτοιο ώστε x ex xe για κάθε x H. Στην παρούσα διπλωματική εργασία θα συμβολίζονται το σύνολο των αριστερών ουδέτερων στοιχείων ως Ε l, το σύνολο των δεξιών ουδέτερων στοιχείων ως Ε r και το σύνολο των ουδέτερων στοιχείων ως Ε. Ένα στοιχείο x 1 θα ονομάζεται αριστερό αντίστροφο του x H, όταν e x 1 x. Ενώ ένα στοιχείο x 2 θα ονομάζεται δεξιό αντίστροφο του x H, όταν e x x 2. Τα αντίστροφα στοιχεία εξαρτώνται από το ουδέτερο στοιχείο e και ακόμη και 29

στην περίπτωση που το e είναι σταθερό, υπάρχουν τις περισσότερες φορές αρκετά αντίστροφα. Δεχόμαστε ότι όταν γίνεται λόγος για τα αριστερά αντίστροφα, το αντίστοιχο ουδέτερο στοιχείο e θα είναι το αριστερό. Οι συμβολισμοί για τα αντίστροφα στοιχεία του x ως προς το e θα είναι οι παρακάτω: το σύνολο των αριστερών αντίστροφων στοιχείων ως Ι l (x, e), το σύνολο των δεξιών αντίστροφων στοιχείων ως Ι r (x, e) και το σύνολο των αντίστροφων στοιχείων ως Ι (x, e). 30

3. Οι αναπαραστάσεις των Υπερπράξεων/Υπερδομών στο επίπεδο 3.1 Ορισμός υπερπράξεων στο επίπεδο Στο επίπεδο, δηλαδή στο σύνολο R 2 θεωρούμε ένα σταθερό σημείο Ο. Στη συνέχεια ορίζουμε 3 υπερπράξεις ως εξής [53]: : : x y = [Ο, x+y] = {κ (x+y) / κ [0,1]} x y = [x,y] = {x + κ (y-x) / κ [0,1]} : x y = [x, x+y] = {x + κy / κ [0,1]} Ως διάνυσμα ορίζεται κάθε προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή κάθε ευθύγραμμο τμήμα με αρχή και πέρας. Αν Α η αρχή και Β το πέρας ενός διανύσματος τότε αυτό θα συμβολίζεται ως AB ή α. Για σταθερό σημείο Ο του επιπέδου, υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των σημείων και των διανυσμάτων του επιπέδου. Ειδικότερα, σε κάθε σημείο Α του επιπέδου αντιστοιχίζεται το διάνυσμα, ΟA το οποίο ονομάζεται διάνυσμα θέσης του σημείου Α και σε κάθε διάνυσμα β = ΟΒ του επιπέδου αντιστοιχεί το σημείο Β [50]. Για λόγους ευκολίας συμβολίζουμε ΟΧ = x και ΟΟ = 0 = 0. Από γεωμετρική άποψη λοιπόν, για γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα θέσης x, y, για το παραλληλόγραμμο με κορυφές Ο, x, y, x+y θα ισχύει: 31

- η υπερπράξη ( ) είναι η κύρια διαγώνιός του: Σχήμα 3.1 Η υπερπράξη ( ) - η υπερπράξη ( ) είναι η δευτερεύουσα διαγώνιός του: Σχήμα 3.2 Η υπερπράξη ( ) 32

- η υπερπράξη ( ) είναι μία πλευρά του: Σχήμα 3.3 Η υπερπράξη ( ) 3.2 Η υπερδομή (R 2, ) Οι Προτάσεις που ακολουθούν έχουν διατυπωθεί και αποδειχθεί (αλγεβρικά) από τον Δραμαλίδη [53]. Στην παρούσα διπλωματική δίνουμε μια γεωμετρική ερμηνεία (μέσω σχημάτων) και επομένως μια διδακτική θεώρηση των Προτάσεων αυτών. Πρόταση 3.2.1 Η υπερδομή (R 2, ) είναι αντιμεταθετική H v - ομάδα. Απόδειξη Προφανώς ισχύει ότι x R 2 = R 2 x = R 2, x R 2. Για την προσεταιριστική ιδιότητα παρατηρούμε ότι: 33

Το σύνολο (x y) z [0, z, x+y+z] Σχήμα 3.4 Το σύνολο (x y) z Το σύνολο x (y z) [0, x, x+y+z] Σχήμα 3.5 Το σύνολο x (y z) 34

Παρατηρούμε ότι (x y) z x (y z), x, y, z R 2 Σχήμα 3.6 Τα σύνολα (x y) z και x (y z) Επίσης, x y = [0, x+y] = [0, y+x] = y x, x,y R 2. Επομένως, η υπερδομή (R 2, ) είναι αντιμεταθετική H v - ομάδα. Για τις επόμενες δύο Προτάσεις οι γεωμετρικές αναπαραστάσεις παραλείπονται ως προφανείς. Πρόταση 3.2.2 Ισχύει ότι Ε = {0}. 35

Πρόταση 3.2.3 Ισχύει ότι Ι (x, 0)= R 2, x R 2, 0 Ε. 3.3 Η υπερδομή (R 2, ) Πρόταση 3.3.1 Η υπερδομή (R 2, ) είναι αντιμεταθετική υπερομάδα. Απόδειξη Προφανώς ισχύει ότι x R 2 = R 2 x = R 2, x R 2. Για την προσεταιριστική ιδιότητα παρατηρούμε ότι: Το σύνολο (x y) z [x, y, z] Σχήμα 3.7 Το σύνολο (x y) z 36

Το σύνολο x (y z) [x, y, z] Σχήμα 3.8 Το σύνολο x (y z) Παρατηρούμε ότι (x y) z = x (y z), x, y, z R 2 Σχήμα 3.9 Τα σύνολα (x y) z και x (y z) 37

Επίσης, x y = [x, y] = [y, x] = y x, x,y R 2. Επομένως, η υπερδομή (R 2, ) είναι αντιμεταθετική υπερομάδα. Πρόταση 3.3.2 Ισχύει ότι Ε = R 2. Πρόταση 3.3.3 Ισχύει ότι Ι (x, e)= {(1- λ) x + λe/ λ 1}, e Ε. Γεωμετρική απόδειξη Για δύο οποιαδήποτε σημεία x και e του επιπέδου, αν θεωρήσουμε τυχαίο σημείο x {(1- λ) x + λe / λ 1}, θα πρέπει e (x x ) (x x). Πράγματι, για λ=2 θεωρούμε το σημείο x = -x+2e. Σχήμα 3.10 Ουδέτερο και αντίστροφο στο επίπεδο για την ( ) 38

Είναι εμφανές ότι το e [x, x ]= x x και e [ x, x]= x x. Πρόταση 3.3.4 Η υπερδομή (R 2, ) είναι Join Space. Απόδειξη Έστω ότι ισχύει a / b c / d τότε x R 2 : a x b και c x d. a x b a {x + κ (b x) / κ [0,1]} c x d c {x + κ (d x) / κ [0,1]} Δηλαδή υπάρχουν κ 1, κ 1 [0,1]: a= x + κ 1 (b x) (1) c= x + κ 1 (d x) d= 1 κ 1 (c x + κ 1 x), κ 1 0 (2). Τότε το σύνολο a d λόγω των (1) και (2) γίνεται: a d= {a + ν (d a)/ ν [0,1]}= {a + νd - νa)/ ν [0,1]}= { x + κ 1 (b x) + ν κ 1 (c x + κ 1 x) ν [ x + κ 1 (b x)], κ 1 (0,1] και ν, κ 1 [0,1]}. Δηλαδή a d = {(1 ν + ν) x + κ κ 1 1b κ 1 x + ν c} (3). κ 1 Επίσης b c = {b + λ (c b)/ λ [0,1]}= {(1 λ) b + λc / λ [0,1]} (4). Από την (3) για κ 1 =0 και ν= κ 1 =1 προκύπτει {c} a d. Από την (4) για λ=1 προκύπτει {c} b c. 39

Άρα (a d) (b c) Οπότε αν a / b c / d (a d) (b c), a, b, c, d R 2. Έτσι, η υπερδομή (R 2, ) είναι Join Space. Γεωμετρική απόδειξη Έστω x a/b και x c/d. Ισχύουν όμως τα παρακάτω: a/b= a x b = a [x, b] c/d= c x d = c [x, d] Οπότε προκύπτει ότι a / b c / d. Επίσης a d= [a, d] b c= [b, c] Έτσι προκύπτει ότι και a d b c. 40

Σχήμα 3.11 Απεικόνιση της Join Space (R 2, ) στο επίπεδο 3.4 Η υπερδομή (R 2, ) Πρόταση 3.4.1 Η υπερδομή (R 2, ) είναι H v - αντιμεταθετική ομάδα. Απόδειξη Προφανώς ισχύει x R 2 = R 2 x = R 2, x R 2. Για την προσεταιριστική ιδιότητα παρατηρούμε ότι: Το σύνολο (x y) z [x, x+z, x+y+z, x+y] 41

Σχήμα 3.12 Το σύνολο (x y) z Το σύνολο x (y z) [x, x+y+z, x+y] Σχήμα 3.13 Το σύνολο x (y z) 42

Παρατηρούμε ότι x (y z) (x y) z Σχήμα 3.14 Τα σύνολα x (y z) και (x y) z Επομένως, (x y) z x (y z), x, y, z R 2. 43

Επίσης, Σχήμα 3.15 Η υπερπράξη y x Άρα, (x y) (y x) = {x+y}, x,y R 2 Επομένως η υπερδομή (R 2, ) είναι H v - αντιμεταθετική ομάδα. Πρόταση 3.4.2 Στις δύο επόμενες Προτάσεις δεν δίνονται γεωμετρικές αποδείξεις γιατί θεωρούνται προφανείς. α) Ε r = R 2. β) Ε l ={0}= Ε. Πρόταση 3.4.3 Ι r (x, e)= {λ (e - x)/ λ 1}, e Ε r. 44

Γεωμετρική απόδειξη Για δύο οποιαδήποτε σημεία x και e του επιπέδου, αν θεωρήσουμε τυχαίο σημείο x {λ (e - x)/ λ 1}, θα πρέπει e x x. Πράγματι, για λ=2 θεωρούμε το σημείο x = 2(e-x). Σχήμα 3.16 Δεξιό ουδέτερο και δεξιό αντίστροφο στο επίπεδο για την ( ) Είναι εμφανές ότι το e [x, x+x ]= x x. Πρόταση 3.4.4 Ι l (x, e)= [e, e- x], e Ε r. Γεωμετρική απόδειξη Για δύο οποιαδήποτε σημεία x και e του επιπέδου, αν θεωρήσουμε τυχαίο σημείο x [e, e- x], θα πρέπει e x x. 45

Σχήμα 3.17 Δεξιό ουδέτερο και αριστερό αντίστροφο στο επίπεδο για την ( ) Είναι εμφανές ότι το e [x, x +x]= x x. Πόρισμα 3.4.5 Ι r (x, 0)= {-λx / λ 1} και Ι l (x, 0)= [0, - x]. Πρόταση 3.4.6 Η υπερδομή (R 2, ) είναι ασθενής Join H V -ομάδα. Απόδειξη Έστω ότι ισχύει a / b c / d τότε x R 2 : a x b και c x d. a x b a {x+ κb/ κ [0,1]} c x d c {x + κ d/ κ [0,1]} Δηλαδή υπάρχουν κ 1, κ 1 [0,1]: 46

a= x + κ 1 b (1) c= x + κ 1 d d= 1 κ 1 (c x), κ 1 0 (2). Τότε το σύνολο a d λόγω των (1) και (2) γίνεται: a d= {a + λd/ λ [0,1]}= {x + κ 1 b + λ ( c x κ 1 ), x 0 και κ 1, λ [0,1] και κ 1 (0,1]}. Δηλαδή a d = {(1 λ ) x + κ κ 1 1b + λ c} (3). κ 1 Επίσης b c= {b + νc / ν [0,1]} (4). Από την (3) για κ 1 = λ= κ 1 = 1 προκύπτει {b+c} a d. Από την (4) για ν=1 προκύπτει {b+c} b c. Άρα (a d) (b c) Οπότε αν a / b c / d (a d) (b c), a, b, c, d R 2. Έτσι, η υπερδομή (R 2, ) είναι ασθενής Join H V -ομάδα. 47

Γεωμετρική απόδειξη Έστω x a/b και x c/d. Ισχύουν όμως τα παρακάτω: a/b= a x b = a [x, x+b] c/d= c x d = c [x, x+d] Οπότε προκύπτει ότι a / b c / d. Επίσης a d= [a, a+d] b c= [b, b+c] Έτσι προκύπτει ότι και a d b c. 48

Σχήμα 3.18 Απεικόνιση της ασθενούς Join H V -ομάδας (R 2, ) στο επίπεδο 49

4. Οι αναπαραστάσεις των P-υπερπράξεων/P- υπερδομών στο επίπεδο Έστω τώρα το σύνολο Ρ= [Ο, p] = {κp / κ [0,1]} R 2, όπου p ένα σταθερό σημείο του επιπέδου. Στην πράξη λοιπόν, το Ρ αποτελεί το ευθύγραμμο τμήμα Οp. Χρησιμοποιώντας το Ρ, όπως ορίστηκε εδώ και τις προηγούμενες υπερπράξεις ( ), ( )και προκύπτουν οι ακόλουθες Ρ- υπερπράξεις. 4.1 Η Ρ-υπερπράξη (Ρ ( ) ) 4.1.1 Ορισμός της (Ρ r( ) ) υπερπράξης Θεωρούμε x, y R 2 την Ρ-υπερπράξη (Ρ r( ) ): Ρ r( ) : R 2 R 2 Ρ (R 2 ): (x,y) xρ r( ) y = (x y) Ρ Αναλυτικότερα, για x, y R 2, είναι: xρ r( ) y = (x y) Ρ = [x, y] [O, p] = {x + κ (y - x) / κ [0,1]} {μp / μ [0,1]}= = [ κ,μ [0,1] x + κ (y - x), μp] = = {x + κ (y x) κ,µ,λ [0,1] + λ [µp x κ (y x)]}= = [(1 κ) κ,µ,λ [0,1] (1 λ)x + κ (1 λ)y + λµp]. Άρα xρ r( ) y = {(1 κ) (1 λ)x + κ (1 λ)y + λµp / κ,λ,μ [0,1]}, x,y R 2. 50

Προφανώς η Ρ-υπερπράξη (Ρ r( ) ) είναι αντιμεταθετική εφόσον η υπερπράξη ( ) είναι αντιμεταθετική. Γεωμετρικά μιλώντας, το αποτέλεσμα της xρ r( ) y είναι η κλειστή περιοχή του τετραπλεύρου με κορυφές τα σημεία Ο, x, y, p ή αλλιώς xρ r( ) y = (x y) Ρ = [0, x, y, p]. Σχήμα 4.1 Η υπερπράξη xρ r( ) y στο επίπεδο 4.1.2 Η υπερδομή (R 2, Ρ r( ) ) Πρόταση 4.1.2.1 Η υπερδομή (R 2, Ρ r( ) ) είναι Ρ- αντιμεταθετική υπερομάδα. Απόδειξη Προφανώς ισχύει ότι xρ r( ) R 2 = R 2 Ρ r( ) x = R 2, x R 2. Για την προσεταιριστική ιδιότητα παρατηρούμε ότι για x, y, z R 2 : 51

(x Ρ r( ) y) Ρ r( ) z = {[(x y) P] z} P Το σύνολο (x Ρ r( ) y) Ρ r( ) z [0, x, z, y, p] Σχήμα 4.2 Το σύνολο (x Ρ r( ) y) Ρ r( ) z x Ρ r( ) (y Ρ r( ) z) = {x [(y z) P]} P Το σύνολο x Ρ r( ) (y Ρ r( ) z) [0, x, z, y, p] 52

Σχήμα 4.3 Το σύνολο x Ρ r( ) (y Ρ r( ) z) Παρατηρούμε ότι (x Ρ r( ) y) Ρ r( ) z = x Ρ r( ) (y Ρ r( ) z), x,y,z R 2 Σχήμα 4.4 Τα σύνολα (x Ρ r( ) y) Ρ r( ) 53 z και x Ρ r( ) (y Ρ r( ) z)

Επίσης x Ρ r( ) y = y Ρ r( ) x= [0, x, y, p] και έτσι αποδεικνύεται ότι η υπερδομή (R 2, Ρ r( ) ) είναι Ρ- αντιμεταθετική υπερομάδα. Πρόταση 4.1.2.2 Ισχύει ότι Ε Ρr( ) = R 2. Απόδειξη Παρατηρούμε ότι για κ=λ=0 ισχύει: x {(1 κ) (1 λ)x + κ (1 λ)y + λµp / κ,λ,μ [0,1]}= xρ r( ) e, x,e R 2. Ομοίως x eρ r( ) x, x, e R 2. Επομένως x (xρ r( ) e) (eρ r( ) x), x,e R 2 και έτσι αποδεικνύεται ότι Ε Ρr( ) = R 2. Στην Πρόταση αυτή η γεωμετρική αναπαράσταση παραλείπεται ως προφανής. Πρόταση 4.1.2.3 Ισχύει ότι I Ρr( ) 1 (x,e) ={ [e (1 - κ) (1 - λ)x- λμp]/ κ (0,1], λ [0,1), μ [0,1]}, e κ (1 λ) R2. Απόδειξη Έστω x r I Ρr( ) e xρ r( ) (x,e), όπου e R 2 ουδέτερο στοιχείο, τότε x e {(1 κ) (1 λ)x + κ(1 λ)x + λμp/ κ,λ,μ [0,1]} Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν κ 1, λ 1, µ 1 [0,1] τέτοια ώστε: 54

e= (1 - κ 1 ) (1 - λ 1 ) x +κ 1 (1 - λ 1 ) x + λ 1 µ 1 p x = λ 1 µ 1 p], όπου κ 1 (0,1], λ 1 [0,1), μ [0,1]}. 1 κ 1 (1 λ 1 ) [e (1 - κ 1) (1 - λ 1 )x- Δηλαδή αποδεικνύεται ότι το δεξιό αντίστροφο x { κ (0,1], λ [0,1), μ [0,1]}. 1 κ (1 λ) [e (1 - κ) (1 - λ)x- λμp]/ Με όμοιο τρόπο προκύπτουν για το αριστερό αντίστροφο τα εξής: Έστω x l I Ρr( ) (x,e), όπου e R 2 ουδέτερο στοιχείο, τότε e x Ρ r( ) x e {(1 κ) (1 λ) x + κ(1 λ) x + λμp/ κ,λ,μ [0,1] Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν κ 1, λ 1, µ 1 [0,1] τέτοια ώστε: e= (1 - κ 1 ) (1 - λ 1 ) x +κ 1 (1 - λ 1 )x + λ 1 µ 1 p x = e κ 1 (1 λ 1 )x λ 1 µ 1 p (1 κ 1 ) (1 λ 1 ) κ [0,1), λ [0,1), μ [0,1]}., όπου Δηλαδή αποδεικνύεται ότι το αριστερό αντίστροφο x { λ [0,1), μ [0,1]}. e κ (1 λ)x λµp (1 κ) (1 λ) / κ [0,1), Αν όμως θεωρήσω ότι 1-κ=ρ τότε κ=1-ρ οπότε θα ισχύει x { ρ (0,1], λ [0,1), μ [0,1]}. e (1 ρ) (1 λ)x λµp ρ (1 λ) / Άρα για το δεξιό και το αριστερό αντίστροφο το αποτέλεσμα είναι το ίδιο, δηλαδή x 1 { [e (1 - κ) (1 - λ)x- λμp]/ κ (0,1], λ [0,1), μ [0,1]}. κ (1 λ) 55

Γεωμετρική απόδειξη Για ένα οποιοδήποτε σημείο x του επιπέδου θα πρέπει να βρεθεί ένα τουλάχιστον σημείο x στο επίπεδο τέτοιο ώστε για το ουδέτερο στοιχείο e να ισχύει e xρ r( ) x και e x Ρ r( ) x. Έστω ένα τυχαίο σημείο x R 2 και ένα τυχαίο σημείο e R 2 ουδέτερο στοιχείο. Θεωρώ ένα αντίστροφο στοιχείο x, π.χ. για κ= 1 2, λ=0 προκύπτει x = 2 (e - 1 2 x). Τότε θα ισχύει xρ r( ) x = x Ρ r( ) x= [0, p, x, x]. Είναι εμφανές ότι το e [0, p, x, x]= xρ r( ) x = x Ρ r( ) x. Σχήμα 4.5 Ουδέτερο και αντίστροφο στο επίπεδο για την (Ρ r( ) ) 56

Πρόταση 4.1.2.4 Η υπερδομή (R 2, Ρ r( ) ) είναι Join Space. Απόδειξη Έστω ότι ισχύει a / b c / d τότε x R 2 : a x Ρ r( ) a x Ρ r( ) c x Ρ r( ) b και c x Ρ r( ) b a {(1 κ) (1 λ)x + κ (1 λ)b + λµp / κ,λ,μ [0,1]} d c {(1 κ )(1 λ )x + κ (1 λ )d + λ µ p / κ,λ,μ [0,1]} d. Δηλαδή υπάρχουν κ 1, λ 1, µ 1, κ 1, λ 1, µ 1 [0,1]: a= (1 κ 1 ) (1 λ 1 )x + κ 1 (1 λ 1 )b + λ 1 µ 1 p (1) c= 1 κ 1 (1 λ 1 )x + κ 1 (1 λ 1 )d + λ 1 µ 1 p d= 1 κ 1 (1 λ 1 ) [c (1 - κ 1 ) (1 - λ 1 )x - λ 1 µ 1 p], κ 1 0, λ 1 1 (2). Τότε το σύνολο a Ρ r( ) a Ρ r( ) d λόγω των (1) και (2) γίνεται: d= {(1 ρ) (1 ν) a + ρ (1 ν) d + ν τ p/ ν, τ, ρ [0,1]}= = {(1 ρ) (1 ν) [(1 - κ 1 ) (1 - λ 1 )x + κ 1 (1 λ 1 )b + λ 1 µ 1 p] + ρ (1 ν) + [c (1 κ κ 1 (1 λ 1 ) 1 ) (1 - λ 1 )x - λ 1 µ 1 p] + ν τ p / ν, τ, ρ, κ 1, λ 1, µ 1 [0,1], κ 1 (0,1], λ 1 [0,1)}. Δηλαδή a Ρ r( ) d = { (1- ν) [ (1- ρ) (1 - κ 1 ) (1 - λ 1 ) - ρ (1 κ 1 ) ] x + (1- ρ) (1- ν) κ κ 1 (1 λ 1 )b + 1 + ρ (1 ν) c + [(1 - ρ) (1 - ν) λ κ 1 µ 1 - ρ (1 ν)λ 1 µ 1 1 (1 λ 1 ) κ 1 (1 λ 1 ) + ντ] p} (3). Επίσης b Ρ r( ) c = {(1 ξ) (1 σ) b + ξ (1 σ) c + σ θ p/ ξ, σ, θ [0,1]} (4). Από την (3) για ν=1 προκύπτει {τp} a Ρ r( ) 57 d, τ [0,1].

Από την (4) για ξ=0, σ=1 προκύπτει {θp} b Ρ r( ) Άρα (a Ρ r( ) d) (b Ρ r( ) c) c, θ [0,1]. Οπότε αν a / b c / d (a Ρ r( ) d) (b Ρ r( ) c), a, b, c, d R 2. Έτσι, η υπερδομή (R 2, Ρ r( ) ) είναι Join Space. Γεωμετρική απόδειξη Έστω x a/b και x c/d. Ισχύουν όμως τα παρακάτω: a/b= a xρ r( ) b = a [x, b, p, 0] c/d= c xρ r( ) d = c [x, d, p, 0] Οπότε προκύπτει ότι a / b c / d. Επίσης aρ r( ) bρ r( ) d= [a, d, p, 0] c= [c, b, p, 0] Έτσι προκύπτει ότι και a Ρ r( ) d b Ρ r( ) c. 58

Σχήμα 4.6 Απεικόνιση της Join Space (R 2, Ρ r( ) ) στο επίπεδο Οι P-υπερπράξεις (Ρ ( ) ) και (Ρ l( ) ) ταυτίζονται με την (Ρ r( ) ), εφόσον η υπερπράξη ( ) είναι αντιμεταθετική και προσεταιριστική. Έτσι, η γραφική αναπαράσταση των xρ ( ) y και xρ l( ) y είναι επίσης η επιφάνεια του τετραπλεύρου [0, x, y, p]. Ρ ( ) = (x P) y και Ρ l( ) = P (x y) 59

4.2 Η P-υπερπράξη (Ρ ( ) ) 4.2.1 Ορισμός της (Ρ r( ) ) υπερπράξης Θεωρούμε x, y R 2 την Ρ-υπερπράξη (Ρ r( ) ): Ρ r( ) : R 2 R 2 Ρ (R 2 ): (x,y) xρ r( ) y = (x y) P Αναλυτικότερα, για x,y R 2, είναι: xρ r( ) y= (x y) P= [x, x+y] [O, p] = {x + κy/κ [0,1]} {μp/μ [0,1]}= = [ κ,µ [0,1] x + κy, x + κy + μp] = [ κ,µ,ν [0,1] x + κy + νμp]. Δεδομένου ότι μ,ν [0,1] θα ισχύει και νμ = λ [0,1], άρα: xρ r( ) y= {x + κy + λp/ κ,λ [0,1]}, x,y R 2 Γεωμετρικά το xρ r( ) y είναι η κλειστή περιοχή του παραλληλογράμμου με κορυφές τα σημεία x, x+y, x+y+p, x+p ή αλλιώς xρ r( ) y= (x y) P= [x, x+y, x+y+p, x+p]. Παρατηρούμε ότι xρ r( ) y = (x y) P x P x 0 = x Δηλαδή x xρ r( ) y, x, y R 2. 60

Σχήμα 4.7 Η xρ r( ) y στο επίπεδο Η (Ρ r( ) ) είναι ασθενώς αντιμεταθετική αφού προφανώς π.χ x yρ r( ) x ενώ x xρ r( ) y. Άρα αποκλείεται η ισότητα στην αντιμεταθετική ιδιότητα και επιπλέον αν yρ r( ) x= {y + κ x + λ p/ κ, λ [0,1] για κ=λ= κ = λ =1 ισχύει x+y+p xρ r( ) y x. Επομένως, καταλήγουμε στο συμπέρασμα: yρ r( ) xρ r( ) y yρ r( ) x, x,y R 2. 4.2.2 Η υπερδομή (R 2,Ρ r( ) ) Πρόταση 4.2.2.1 Η υπερδομή (R 2,Ρ r( ) ) είναι μια P-H v - αντιμεταθετική ομάδα. 61

Απόδειξη Προφανώς ισχύει ότι xρ r( ) R 2 = R 2 Ρ r( ) x = R 2, x R 2. Για την προσεταιριστική ιδιότητα παρατηρούμε ότι για x, y, z R 2 : (x Ρ r( ) y) Ρ r( ) z = {[(x y) P] z} P Το σύνολο (x Ρ r( ) y) Ρ r( ) z [x, x+z, x+y+z, x+y+z+2p, x+y+2p, x+2p] Σχήμα 4.8 Το σύνολο (x Ρ r( ) y) Ρ r( ) z x Ρ r( ) (y Ρ r( ) z) = {x [(y z) P]} P Το σύνολο x Ρ r( ) (y Ρ r( ) z) [x, x+y+z, x+y+z+2p, x+y+2p, x+p] 62

Σχήμα 4.9 Το σύνολο x Ρ r( ) (y Ρ r( ) z) Παρατηρούμε ότι x Ρ r( ) (y Ρ r( ) z) (x Ρ r( ) y) Ρ r( ) z Σχήμα 4.10 Τα σύνολα (x Ρ r( ) y) Ρ r( ) z και x Ρ r( ) (y Ρ r( ) z) 63

Επομένως (x Ρ r( ) y) Ρ r( ) z x Ρ r( ) (y Ρ r( ) z), x,y,z R 2 Επίσης xρ r( ) y= [x, x+y, x+y+p, x+p] yρ r( ) x= [y, x+y, x+y+p, y+p]. Σχήμα 4.11 Η υπερπράξη yρ r( ) x στο επίπεδο Έτσι αποδεικνύεται ότι η υπερδομή αποδεικνύεται ότι η (R 2, Ρ r( ) ) είναι P-H v - αντιμεταθετική ομάδα. Πρόταση 4.2.2.2 r Ισχύει ότι: i) E Ρr( ) = R 2 l ii) E Ρr( ) = [0, - p]= {-μp/ μ [0,1]}= Ε. Απόδειξη i) Προφανώς xρ r( ) e= [x, x+e, x+e+p, x+p]. x, x,e R 2. r Άρα E Ρr( ) = R 2. 64

ii) l Έστω e E Ρr( ), τότε από την σχέση x eρ r( ) x, x R 2, προκύπτει ότι x {e + κx + λp, κ, λ [0,1]}. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν κ 1, λ 1 [0,1]: x= e + κ 1 x + λ 1 p e= x - κ 1 x - λ 1 p e= (1- κ 1 )x - λ 1 p, δηλαδή υπάρχει τ 1 = 1- κ 1 [0,1]: e=τ 1 x - λ 1 p. Επειδή αυτή η σχέση ισχύει x R 2, θέτοντας x=0 παίρνουμε e= - λ 1 p, δηλαδή e {- νp/ ν [0,1]}= [0, -p]. l Έτσι προκύπτει ότι E Ρr( ) = [0, - p] R 2 r = E Ρr( ). l Επομένως E Ρr( ) r E Ρr( ) = [0, - p]= E. Γεωμετρική απόδειξη (ii) Για ένα οποιοδήποτε σημείο x του επιπέδου θα πρέπει να βρεθεί ένα τουλάχιστον σημείο e τέτοιο ώστε να ισχύει x eρ r( ) x και ταυτόχρονα x xρ r( ) e. Για να συμβεί αυτό θα πρέπει το e να ανήκει στο [0, -p]. Έστω ένα τυχαίο σημείο x R 2 και ένα τυχαίο σημείο e [0, -p] ουδέτερο στοιχείο. Σχήμα 4.12 Ουδέτερο στοιχείο στο επίπεδο για την (Ρ r( ) ) 65

Το κόκκινο ευθύγραμμο τμήμα [e+x, x+p] είναι η υπερπράξη xρ r( ) e και από το σχήμα αποδεικνύεται ότι x xρ r( ) e. Το παραλληλόγραμμο [e, e+x, e+x+p, e+p] είναι η υπερπράξη eρ r( ) x και από το σχήμα αποδεικνύεται ότι x eρ r( ) x. Επομένως, είναι εμφανές ότι x eρ r( ) x και x xρ r( ) e. Πρόταση 4.2.2.3 r α) Ισχύει ότι Ι Ρr( ) (x,e) = { 1 (e - x - λp)/ κ (0,1], λ [0,1]}, e E r κ Ρ r( ). Απόδειξη r Έστω ότι e E Ρr( ) = R 2 r και x Ι Ρr( ) (x,e) τότε e x Ρ r( ) x e {x + κx + λp/ κ,λ [0,1]}. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν κ 1, λ 1 [0,1]: e= x + κ 1 x + λ 1 p x = 1 (e κ 1 - x - λ 1 p), κ 1 0. Δηλαδή x { 1 (e - x - λp)/ κ (0,1], λ [0,1]}. κ Γεωμετρική απόδειξη Για ένα οποιοδήποτε σημείο x του επιπέδου θα πρέπει να βρεθεί ένα τουλάχιστον σημείο x στο επίπεδο τέτοιο ώστε για το δεξιό ουδέτερο στοιχείο e να ισχύει e x Ρ r( ) x. Έστω ένα τυχαίο σημείο x R 2 και ένα τυχαίο σημείο e R 2 δεξιό ουδέτερο στοιχείο. Για κ=1 και λ=1 x [e - x - p, + ) Για κ=1 και λ=0 x [e - x, + ) 66

Το σύνολο των δεξιών αντιστρόφων στοιχείων θα είναι η περιοχή που σχηματίζεται από τις 2 ημιευθείες. Έτσι, επιλέγεται μέσα σε αυτήν ένα τυχαίο σημείο x. Τότε θα ισχύει xρ r( ) x = [x, x+x, x+x +p, x+p]. Είναι εμφανές ότι το e [x, x+x, x+x +p, x+p]= xρ r( ) x. Σχήμα 4.13 Δεξιό ουδέτερο και δεξιό αντίστροφο στο επίπεδο για την (Ρ r( ) ) r β) Ισχύει ότι Ι Ρr( ) (x,e) = { 1 (- x - νp)/ κ (0,1], ν [0,2]}, e E l κ Ρ r( ). Απόδειξη l Έστω ότι e E Ρr( ) r = {- μp/ μ [0,1]} και x Ι Ρr( ) (x,e) τότε e x Ρ r( ) x e {x + κx + λp/ κ,λ [0,1]}. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν κ 1, λ 1 [0,1]: e= x + κ 1 x + λ 1 p x = 1 κ 1 (e - x - λ 1 p), κ 1 0 (1). 67

Επειδή e {- μp/ μ [0,1]} µ 1 [0,1]: e= - µ 1 p (2). Η (1) λόγω της (2) γίνεται x = 1 κ 1 (- µ 1 p x - λ 1 p), κ 1 0 x = 1 κ 1 [- x (µ 1 + λ 1 )p]. Δηλαδή, x { 1 κ 1 (- x νp)/ κ (0,1], ν [0,2]}. Γεωμετρική απόδειξη Για ένα οποιοδήποτε σημείο x του επιπέδου θα πρέπει να βρεθεί ένα τουλάχιστον σημείο x στο επίπεδο τέτοιο ώστε για το αριστερό ουδέτερο στοιχείο e να ισχύει e x Ρ r( ) x. Έστω ένα τυχαίο σημείο x R 2 και ένα τυχαίο σημείο e [0, -p] αριστερό ουδέτερο στοιχείο. Για κ=1 και ν=0 x (-, - x] Για κ=1 και ν=2 x (-, - x -2p] Το σύνολο των δεξιών αντιστρόφων στοιχείων θα είναι η περιοχή που σχηματίζεται από τις 2 ημιευθείες. Έτσι, επιλέγεται μέσα σε αυτήν ένα τυχαίο σημείο x. Τότε θα ισχύει xρ r( ) x = [x, x+x, x+x +p, x+p]. Είναι εμφανές ότι το e [x, x+x, x+x +p, x+p]= xρ r( ) x. 68

Σχήμα 4.14 Δεξιό αντίστροφο και αριστερό ουδέτερο στο επίπεδο για την (Ρ r( ) ) l γ) Ι Ρr( ) r (x,e) = {e - κx - λp/ κ,λ [0,1]}, e E Ρr( ). Απόδειξη r Έστω ότι e E Ρr( ) = R 2 l και x Ι Ρr( ) (x,e) τότε e x Ρ r( ) x e {x + κx + λp/ κ,λ [0,1]}. Δηλαδή υπάρχουν κ 1, λ 1 [0,1]: e= x + κ 1 x + λ 1 p x = e - κ 1 x - λ 1 p. Αυτό σημαίνει x {e - κx - λp/ κ, λ [0,1]}. Γεωμετρική απόδειξη Για ένα οποιοδήποτε σημείο x του επιπέδου θα πρέπει να βρεθεί ένα τουλάχιστον σημείο x στο επίπεδο τέτοιο ώστε για το δεξιό ουδέτερο στοιχείο e να ισχύει e x Ρ r( ) x. Έστω ένα τυχαίο σημείο x R 2 και ένα τυχαίο σημείο e R 2 δεξιό ουδέτερο στοιχείο. 69

Για κ=1 και λ=0 x = e - x Για κ=1 και λ=1 x = e - x - p Για κ=0 και λ=0 x = e Για κ=0 και λ=1 x = e - p Το σύνολο των αριστερών αντιστρόφων στοιχείων θα είναι η κλειστή περιοχή του παραλληλογράμμου που σχηματίζεται από τα 4 παραπάνω στοιχεία. Επιλέγεται μέσα σε αυτήν ένα τυχαίο σημείο x. Τότε θα ισχύει x Ρ r( ) x = [x, x +x, x +x+p, x +p]. Είναι εμφανές ότι το e [x, x +x, x +x+p, x +p]= x Ρ r( ) x. Σχήμα 4.15 Αριστερό αντίστροφο και δεξιό ουδέτερο για την (Ρ r( ) ) l δ) Ι Ρr( ) l (x,e) = {- κx - τp/ κ [0,1], τ [0,2]}, e E Ρr( ). 70

Απόδειξη l Έστω e E Ρr( ) l = {- μp/ μ [0,1]} και έστω x Ι Ρr( ) (x,e), τότε e x Ρ r( ) x e {x + κx + λp/ κ,λ [0,1]}. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν κ 1, λ 1 [0,1]: e= x + κ 1 x + λ 1 p x = e - κ 1 x - λ 1 p (1). Επειδή {- μp/ μ [0,1]} µ 1 [0,1]: e= - µ 1 p (2). Η (1) λόγω της (2) γίνεται x = - µ 1 p - κ 1 x - λ 1 p x = - κ 1 x - (µ 1 + λ 1 )p. Δηλαδή x {- κx - τp/ κ [0,1], τ [0,2]}. Γεωμετρική απόδειξη Για ένα οποιοδήποτε σημείο x του επιπέδου θα πρέπει να βρεθεί ένα τουλάχιστον σημείο x στο επίπεδο τέτοιο ώστε για το αριστερό ουδέτερο στοιχείο e να ισχύει e x Ρ r( ) x. Έστω ένα τυχαίο σημείο x R 2 και ένα τυχαίο σημείο e [0, - p] αριστερό ουδέτερο στοιχείο. Για κ=1 και τ=0 x = - x Για κ=1 και τ=2 x = - x - 2p Για κ=0 και τ=0 x = 0 Για κ=0 και τ=2 x = - 2p Το σύνολο των αριστερών αντιστρόφων στοιχείων θα είναι η κλειστή περιοχή του παραλληλογράμμου που σχηματίζεται από τα 4 παραπάνω στοιχεία. Επιλέγεται μέσα σε αυτήν ένα τυχαίο σημείο x. Τότε θα ισχύει x Ρ r( ) x = [x, x +x, x +x+p, x +p]. 71

Είναι εμφανές ότι το e [x, x +x, x +x+p, x +p]= x Ρ r( ) x. Σχήμα 4.16 Αριστερό ουδέτερο και αριστερό αντίστροφο για την (Ρ r( ) ) Πρόταση 4.2.2.4 Η υπερδομή (R 2, Ρ r( ) ) είναι ασθενής Join H v - ομάδα. Απόδειξη Έστω ότι ισχύει a / b c / d τότε x R 2 : a x Ρ r( ) a x Ρ r( ) b a {x + κb + λp / κ,λ [0,1]} c x Ρ r( ) d c {x + κ d + λ p / κ,λ [0,1]} b και c x Ρ r( ) d. Δηλαδή υπάρχουν κ 1, λ 1, κ 1, λ 1 [0,1]: a= x + κ 1 b + λ 1 p (1) c= x + κ 1 d + λ 1 p 72

d= 1 κ 1 (c x λ 1 p), κ 1 0 (2). Τότε το σύνολο a Ρ r( ) d λόγω των (1) και (2) γίνεται: a Ρ r( ) d= {a + νd + μp/ ν, μ [0,1]}= = {( x + κ 1 b + λ 1 p)+ ν [ 1 κ 1 (c x λ 1 p)] + μp/ ν, μ, κ 1, λ 1, λ 1 [0,1], κ 1 (0,1]}. Δηλαδή a Ρ r( ) d = {(1 ν ) x + κ κ 1 1b + ν c + (λ κ 1 1 νλ 1 + μ) p} (3). κ 1 Επίσης b Ρ r( ) c = {b + τc + θp/ τ, θ [0,1]} (4). Από την (3) για ν= κ 1 = κ 1 = λ 1 =λ 1 = 1 προκύπτει {b + c + μp} aρ r( ) Από την (4) για τ=1 προκύπτει {b + c + θp} b Ρ r( ) c, θ [0,1]. d, μ [0,1]. Άρα (a Ρ r( ) d) (b Ρ r( ) c) Οπότε αν a / b c / d (a Ρ r( ) d) (b Ρ r( ) c), a, b, c, d R 2. Έτσι, η υπερδομή (R 2, Ρ r( ) ) είναι ασθενής Join H v - ομάδα. 73

Γεωμετρική απόδειξη Έστω x a/b και x c/d. Ισχύουν όμως τα παρακάτω: a/b= a xρ r( ) b = a [x, x+b, x+b+p, x+p] c/d= c xρ r( ) d = c [x, x+d, x+d+p, x+p] Οπότε προκύπτει ότι a / b c / d. Επίσης aρ r( ) d= [a, a+d, a+d+p, a+p] bρ r( ) c= [b, b+c, b+c+p, b+p] Έτσι προκύπτει ότι και a Ρ r( ) d b Ρ r( ) c. 74

Σχήμα 4.17 Απεικόνιση της ασθενούς Join H v - ομάδας (R 2, Ρ r( ) ) στο επίπεδο H υπερπράξη ( ) δεν είναι προσεταιριστική οπότε θα έπρεπε να υπάρχουν 2 περιπτώσεις για την (Ρ ( ) ), οι οποίες όμως προκύπτουν ίδιες μεταξύ τους, αλλά και με την (Ρ r( ) ). Οπότε xρ r( ) y= xρ l ( ) y= xρ r ( ) y= [x, x+y, x+y+p, x+p]. 75

l x Ρ ( ) y= (x P) y l Σχήμα 4.18 Η x Ρ ( ) y στο επίπεδο xρ r ( ) y= x (P y) Σχήμα 4.19 Η xρ r ( ) y στο επίπεδο 76

4.2.3 Ορισμός της (Ρ l( ) ) υπερπράξης Θεωρούμε x, y R 2 την Ρ-υπερπράξη (Ρ l( ) ): Ρ l( ) : R 2 R 2 Ρ (R 2 ): (x,y) xρ l( ) y = P (x y) Αναλυτικότερα, για x,y R 2, είναι: xρ l( ) y= P (x y) = [O, p] [x, x+y] = {μp/μ [0,1]} {x + κy/κ [0,1]} = = [ µp, μp + x + κy] = { κ,µ [0,1] κ,µ [0,1] = { µp + νx + νκy / ν [0,1]}. κ,µ,ν [0,1] µp + ν(x + κy) / ν [0,1]}= Άρα xρ l( ) y= {νx + νκy + μp/ κ, µ, ν [0,1]}, x,y R 2 Η P- υπερπράξη (Ρ l( ) ) γεωμετρικά αποτελεί την κλειστή περιοχή του πενταγώνου ή αλλιώς xρ l( ) y = [0, x, x+y, x+y+p, p]. Σχήμα 4.20 Η xρ l( ) y στο επίπεδο 77

4.2.4 Η υπερδομή (R 2, Ρ l( ) ) Πρόταση 4.2.4.1 Η (R 2, Ρ l( ) ) είναι P- H v - αντιμεταθετική ομάδα. Απόδειξη Προφανώς ισχύει xρ l( ) R 2 = R 2 Ρ l( ) x = R 2, x R 2. Για την προσεταιριστική ιδιότητα παρατηρούμε ότι για x,y,z R 2 : (x Ρ l( ) y) Ρ l( ) z = P {[P (x y)] z} Το σύνολο (x Ρ l( ) y) Ρ l( ) z [0, x, x+z, x+y+z, x+y+2p+z, x+y+2p, 2p] Σχήμα 4.21 Το σύνολο (x Ρ l( ) y) Ρ l( ) z 78

x Ρ l( ) (y Ρ l( ) z) = P {x [P (y z)]} Το σύνολο x Ρ l( ) (y Ρ l( ) z) [0, x, x+y+z, x+2p+y+z, x+2p+y, p] Σχήμα 4.22 Το σύνολο x Ρ l( ) (y Ρ l( ) z) Παρατηρούμε ότι x Ρ l( ) (y Ρ l( ) z) (x Ρ l( ) y) Ρ l( ) z Σχήμα 4.23 Τα σύνολα x Ρ l( ) (y Ρ l( ) z) και (x Ρ l( ) y) Ρ l( ) z 79

Επομένως x Ρ l( ) (y Ρ l( ) z) (x Ρ l( ) y) Ρ l( ) z, x,y,z R 2 Επίσης xρ l( ) y= [0, x, x+y, x+y+p, p] yρ l( ) x= [0, x+y, x+y+p, y+p, p]. Σχήμα 4.24 Η υπερπράξη yρ l( ) x στο επίπεδο Έτσι αποδεικνύεται ότι η υπερδομή αποδεικνύεται ότι η (R 2, Ρ l( ) αντιμεταθετική ομάδα. ) είναι P-H v - Πρόταση 4.2.4.2 Ισχύει ότι: r i) Ε Ρl( ) = R 2 l. ii) E Ρl( ) = [-p, 0]= {- λp/ λ [0,1]}= E Ρl( ). Απόδειξη i) Παρατηρούμε ότι x xρ l ( ) e = [0, x, x+e, x+e+p, p], x,e R 2. r Άρα Ε Ρl( ) = R 2. Στην πρόταση αυτή η γεωμετρική απόδειξη παραλείπεται ως προφανής. 80

l ii) Έστω e E Ρl( ), τότε από την σχέση x eρ l( ) x, x R 2, προκύπτει ότι x {νe + νκx + μp/ κ, ν, μ [0,1]}. Για να συμβεί αυτό, θα πρέπει: ν= κ= 1 και νe + μp= 0 e = - μp, -1 - μ 0, που σημαίνει l e [-p, 0], δηλαδή E Ρl( ) = [-p, 0]. l Ισχύει ότι E Ρl( ) l Επομένως E Ρl( ) R 2 r = E Ρl( ). r E Ρl( ) = [-p, 0]= E Ρl( ). Γεωμετρική απόδειξη (ii) Για ένα οποιοδήποτε σημείο x του επιπέδου θα πρέπει να βρεθεί ένα τουλάχιστον σημείο e τέτοιο ώστε να ισχύει x eρ l( ) x και ταυτόχρονα x xρ l( ) e. Για να συμβεί αυτό το e πρέπει να ανήκει στο [-p, 0]. Σχήμα 4.25 Ουδέτερο στο επίπεδο για την (Ρ l( ) ) Τότε θα ισχύει eρ l( ) x= [e, e+x, e+x+p, p] και xρ l( ) e= [0, e+x, x+p, p]. Επομένως, είναι εμφανές ότι x eρ l( ) x και x xρ l( ) e. 81

Πρόταση 4.2.4.3 r α) Ισχύει ότι Ι Ρl( ) (x,e) = { 1 (e - μp) - 1 x / κ, ν (0,1], μ [0,1]}, e E r νκ κ Ρ l( ). Απόδειξη r Έστω ότι e E Ρl( ) = R 2 r και x Ι Ρl( ) (x,e) τότε e x Ρ l( ) x e {νx + νκx + μp/ κ, ν [0,1]}. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν κ 1, ν 1, µ 1 [0,1]: e= ν 1 x + ν 1 κ 1 x + µ 1 p 1 x = (e - µ ν 1 κ 1 p) - x, κ 1 κ 1, ν 1 0. 1 Δηλαδή x { 1 (e - μp) - 1 x / κ, ν (0,1], μ [0,1]}. νκ κ Γεωμετρική απόδειξη Για ένα οποιοδήποτε σημείο x του επιπέδου θα πρέπει να βρεθεί ένα τουλάχιστον σημείο x στο επίπεδο τέτοιο ώστε για το δεξιό ουδέτερο στοιχείο e να ισχύει e x Ρ l( ) x. Έστω ένα τυχαίο σημείο x R 2 και ένα τυχαίο σημείο e R 2 δεξιό ουδέτερο στοιχείο. Για κ= ν= 1 και μ=0 θα προκύψει δεξιό αντίστροφο στοιχείο x = e x. Τότε θα ισχύει xρ l( ) x = [0, x, e, e+p, p]. Είναι εμφανές ότι το e [0, x, e, e+p, p]= xρ l( ) x. 82

Σχήμα 4.26 Δεξιό ουδέτερο και δεξιό αντίστροφο στο επίπεδο για την (Ρ l( ) ) r β) Ισχύει ότι Ι Ρl( ) (x,e) = {- 1 x - τ p)/ κ, ν (0,1], τ [0,2]}, e E l κ νκ Ρ l( ). Απόδειξη l Έστω ότι e E Ρl( ) r = {- λp/ λ [0,1]} και x Ι Ρl( ) (x,e) τότε e x Ρ l( ) x e {νx + νκx + μp/ κ, ν, μ [0,1]}. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν κ 1, ν 1, µ 1 [0,1]: e= ν 1 x + 1 ν 1 κ 1 x + µ 1 p x = (e - µ ν 1 κ 1 p) - x, κ 1 κ 1, ν 1 0 (1). 1 Επειδή e {- λp/ λ [0,1]} λ 1 [0,1]: e= - λ 1 p (2). 1 Η (1) λόγω της (2) γίνεται x = (- λ ν 1 κ 1 p - µ 1 p) - x, κ 1 κ 1, ν 1 0 x = [- ν 1 ν 1 κ 1 x (µ 1 1 + λ 1 ) p]. Αν µ 1 + λ 1 = τ 1, τότε τ 1 [0,2] και x = - 1 x - τ 1 p. κ 1 ν 1 κ 1 1 Δηλαδή, x {- 1 x τ p)/ κ, ν (0,1], τ [0,2]}. κ νκ 83

Γεωμετρική απόδειξη Για ένα οποιοδήποτε σημείο x του επιπέδου θα πρέπει να βρεθεί ένα τουλάχιστον σημείο x στο επίπεδο τέτοιο ώστε για το αριστερό ουδέτερο στοιχείο e να ισχύει e x Ρ l( ) x. Έστω ένα τυχαίο σημείο x R 2 και ένα τυχαίο σημείο e [-p, 0] αριστερό ουδέτερο στοιχείο. Για κ = ν = τ = 1 θα προκύψει δεξιό αντίστροφο στοιχείο x = x p. Τότε θα ισχύει xρ l( ) x = [-p, x, x+p, p]. Είναι εμφανές ότι το e [-p, x, x+p, p]= xρ l( ) x. Σχήμα 4.27 Αριστερό ουδέτερο και δεξιό αντίστροφο στο επίπεδο για την (Ρ l( ) ) 84

l γ) Ι Ρl( ) (x,e) = { 1 (e - μp) - κx / κ, μ [0,1], ν (0,1]}, e E r ν Ρ l( ). Απόδειξη r Έστω ότι e E Ρl( ) = R 2 l και x Ι Ρl( ) (x,e) τότε e x Ρ l( ) x e {νx +νκx + μp/ κ, ν, μ [0,1]}. Δηλαδή υπάρχουν κ 1, ν 1, µ 1 [0,1]: e= ν 1 x + ν 1 κ 1 x + µ 1 p x = 1 ν 1 (e - µ 1 p) - κ 1 x, ν 1 0. Αυτό σημαίνει x { 1 (e - μp) - κx / κ, μ [0,1], ν (0,1]}. ν Γεωμετρική απόδειξη Για ένα οποιοδήποτε σημείο x του επιπέδου θα πρέπει να βρεθεί ένα τουλάχιστον σημείο x στο επίπεδο τέτοιο ώστε για το δεξιό ουδέτερο στοιχείο e να ισχύει e x Ρ l( ) x. Έστω ένα τυχαίο σημείο x R 2 και ένα τυχαίο σημείο e R 2 αριστερό ουδέτερο στοιχείο. Για κ = μ= ν =1 θα προκύψει αριστερό αντίστροφο x = e - p - x. Τότε θα ισχύει x Ρ l( ) x = [0, x, x +x, e, p]. Είναι εμφανές ότι το e [0, x, x +x, e, p]= x Ρ l( ) x. 85

Σχήμα 4.28 Δεξιό ουδέτερο και αριστερό αντίστροφο στο επίπεδο για την (Ρ l( ) ) l δ) Ι Ρl( ) (x,e) = {- κx - τ p)/ ν (0,1], κ [0,1], τ [0,2]}, e E l ν Ρ l( ). Απόδειξη l Έστω e E Ρl( ) l = {- λp/ μ [0,1]} και έστω x Ι Ρl( ) (x,e), τότε e x Ρ l( ) x e {νx +νκx + μp/ κ, ν, μ [0,1]}. Δηλαδή υπάρχουν κ 1, ν 1, µ 1 [0,1]: e= ν 1 x + ν 1 κ 1 x + µ 1 p x = 1 ν 1 (e - µ 1 p) - κ 1 x, ν 1 0 (1). Επειδή {- λp/ λ [0,1]} λ 1 [0,1]: e= - λ 1 p (2). Η (1) λόγω της (2) γίνεται x = 1 (- λ ν 1 p - µ 1 p) - κ 1 x x = 1 [- (λ 1 ν 1 +µ 1 ) p] - κ 1 x. Αν 1 µ 1 + λ 1 = τ 1, τότε τ 1 [0,2] και x = - κ 1 x - τ 1 p. ν 1 Δηλαδή x {- κx - τ p)/ ν (0,1], κ [0,1], τ [0,2]}. ν 86

Γεωμετρική απόδειξη Για ένα οποιοδήποτε σημείο x του επιπέδου θα πρέπει να βρεθεί ένα τουλάχιστον σημείο x στο επίπεδο τέτοιο ώστε για το αριστερό ουδέτερο στοιχείο e να ισχύει e x Ρ l( ) x. Έστω ένα τυχαίο σημείο x R 2 και ένα τυχαίο σημείο e [0, - p] αριστερό ουδέτερο στοιχείο. Για κ = τ = ν =1 θα προκύψει αριστερό αντίστροφο στοιχείο x = x p. Τότε θα ισχύει x Ρ l( ) x = [-p, x, x +p, p]. Είναι εμφανές ότι το e [-p, x, x +p, p]= x Ρ l( ) x. Σχήμα 4.29 Αριστερό ουδέτερο και αριστερό αντίστροφο στο επίπεδο για την (Ρ l( ) ) 87

Πρόταση 4.2.4.4 Η υπερδομή (R 2,Ρ l( ) ) είναι ασθενής Join H v - ομάδα. Απόδειξη Έστω ότι ισχύει a / b c / d τότε x R 2 : a x Ρ l( ) a x Ρ l( ) b a {νx + νκb + µp / κ, ν, μ [0,1]} c x Ρ l( ) d c {ν x + ν κ d + µ p / κ, ν, μ [0,1]} b και c x Ρ l( ) d. Δηλαδή υπάρχουν κ 1, ν 1, µ 1, κ 1, ν 1, µ 1 [0,1]: a= ν 1 x + ν 1 κ 1 b + µ 1 p (1) c= ν 1 x + ν 1 κ 1 d + µ 1 p d= 1 ν 1 κ 1 (c ν 1 x µ 1 p), κ 1 και ν 1 0 (2). Τότε το σύνολο a Ρ l( ) d λόγω των (1) και (2) γίνεται: a Ρ l( ) d= {λa + λτd + θp/ λ, τ, θ [0,1]}= = {λ ( ν 1 x + ν 1 κ 1 b + µ 1 p ) + λτ [ κ 1, ν 1, µ 1, µ 1 [0,1], κ 1, ν 1 (0,1]}. 1 ν 1 κ 1 (c ν 1 x µ 1 p)] + θp/ λ, τ, θ, Δηλαδή a Ρ l( ) d = {(λ ν 1 λτν 1 ) x + λν 1 κ 1 b + λτ ν 1 κ 1 c + (λµ 1 λτµ 1 + θ) p} (3). Επίσης b Ρ l( ) c = {ξb + ξσc + εp/ ξ, σ, ε [0,1]} (4). Από την (3) για λ=0 και θ=1 προκύπτει {θp} aρ l( ) d, θ [0,1]. 88

Από την (4) για ξ=0 προκύπτει {εp} b Ρ l( ) c, ε [0,1] Άρα (a Ρ l( ) d) (b Ρ l( ) c) Οπότε αν a / b c / d (a Ρ l( ) d) (b Ρ l( ) c), a, b, c, d R 2. Έτσι, η υπερδομή (R 2, Ρ l( ) ) είναι ασθενής Join H v - ομάδα. Γεωμετρική απόδειξη Έστω x a/b και x c/d. Ισχύουν όμως τα παρακάτω: a/b= a xρ l( ) b = a [0, x+b, p+x+b, p+x, p] c/d= c xρ l( ) d = c [0, x, x+d, p+x+d, p] Οπότε προκύπτει ότι a / b c / d. Επίσης aρ l( ) d= [0, a, a+d, a+d+p, p] bρ l( ) c= [0, b, b+c, p+b+c, p] Έτσι προκύπτει ότι και a Ρ l( ) d b Ρ l( ) c. 89

Σχήμα 4.30 Απεικόνιση της ασθενούς Join H v - ομάδας (R 2, Ρ l( ) ) στο επίπεδο 90

4.3 Η Ρ-υπερπράξη (Ρ ( ) ) 4.3.1 Ορισμός της (Ρ r ( ) ) υπερπράξης Θεωρούμε x, y R 2 την Ρ-υπερπράξη (Ρ r( ) ): Ρ r( ) : R 2 R 2 Ρ (R 2 ): (x, y) xρ r( ) y = (x y) P Αναλυτικότερα, για x,y R 2, είναι: xρ r( ) y= (x y) P= [Ο, x+y] [O, p] = {κ (x + y)/κ [0,1]} {μp/μ [0,1]}= = { κ,µ [0,1] λ [κ (x + y) + μp] / λ [0,1]} = = { κ,µ [0,1] λκx + λκy + λμp / λ [0,1]}. Άρα xρ r( ) y= {λκx + λκy + λμp / λ, κ, µ [0,1]}, x, y R 2 Παρατηρούμε ότι xρ r( ) y = (x y) P (x y) 0 x y x+y Δηλαδή (x+y) xρ r( ) y, x, y R 2. Προφανώς η Ρ-υπερπράξη (Ρ r( ) ) είναι αντιμεταθετική εφόσον η υπερπράξη ( ) είναι αντιμεταθετική. Από γεωμετρική άποψη η xρ r( ) y είναι η κλειστή περιοχή του παραλληλογράμμου με κορυφές τα σημεία O, x+y, x+y+p, p. 91

xρ r( ) y = (x y) P Σχήμα 4.31 Η υπερπράξη xρ r( ) y στο επίπεδο 4.3.2 Η υπερδομή (R 2, Ρ r ( ) ) Πρόταση 4.3.2.1 H υπερδομή (R 2, Ρ r ( ) ) είναι αντιμεταθετική P-H v - ομάδα. Απόδειξη Προφανώς ισχύει ότι xρ r( ) R 2 = R 2 Ρ r( ) x = R 2, x R 2. Για την προσεταιριστική ιδιότητα παρατηρούμε ότι για x, y, z R 2 : (x Ρ r( ) y) Ρ r( ) z = {[(x y) P] z} P Το σύνολο (x Ρ r( ) y) Ρ r( ) z [0, z, x+y+z, x+y+z+2p, p] 92

Σχήμα 4.32 Το σύνολο (x Ρ r( ) y) Ρ r( ) z x Ρ r( ) (y Ρ r( ) z) = {x [(y z) P]} P Το σύνολο x Ρ r( ) (y Ρ r( ) z) [O, x+y+z, x+y+z+2p, x+y+2p, x+2p, p] 93

Σχήμα 4.33 Το σύνολο x Ρ r( ) (y Ρ r( ) z) Παρατηρούμε ότι (x Ρ r( ) y) Ρ r( ) z x Ρ r( ) (y Ρ r( ) z), x,y,z R 2 Σχήμα 4.34 Τα σύνολα (x Ρ r( ) y) Ρ r( ) z και x Ρ r( ) (y Ρ r( ) z) 94

Επίσης x Ρ r( ) y= y Ρ r( ) x= [O, x+y, x+y+p, p]. Έτσι αποδεικνύεται ότι η υπερδομή (R 2, Ρ r( ) ) είναι αντιμεταθετική P-H v - ομάδα. Πρόταση 4.3.2.2 Ισχύει ότι E Ρr( = [-p, 0] = {- λp/ λ [0,1]}. ) Απόδειξη l Έστω e E Ρr( ), τότε από την σχέση x eρ r( ) x, x R 2, προκύπτει ότι x {μλe + μλx + μνp/ μ, ν, λ [0,1]}. Για να συμβαίνει αυτό, θα πρέπει μλ=1 και μλe + μνp = 0 e + μνp = 0 e = - μνp, -1 - μν 0, που σημαίνει l e [-p, 0], δηλαδή E Ρr( = [-p, 0]. ) r Λόγω αντιμεταθετικότητας θα είναι και E Ρr( = [-p, 0]. Επομένως: ) E Ρr( = [-p, 0]. ) Γεωμετρική απόδειξη Για ένα οποιοδήποτε σημείο x του επιπέδου θα πρέπει να βρεθεί ένα τουλάχιστον σημείο e τέτοιο ώστε να ισχύει x eρ r( ) x και ταυτόχρονα x xρ r( ) e. Για να συμβεί αυτό θα πρέπει το e να ανήκει στο [-p, 0]. Έστω ένα τυχαίο σημείο x R 2 και ένα τυχαίο σημείο e [-p, 0] ουδέτερο στοιχείο. Τότε θα ισχύει eρ r( ) x= xρ r( ) e = [O, x+e, e+x+p, p]. Επομένως, είναι εμφανές ότι x eρ r( ) x και x xρ r( ) e. 95

Σχήμα 4.35 Ουδέτερο στο επίπεδο για την (Ρ r( ) ) Πρόταση 4.3.2.3 Ισχύει ότι I Ρr (x,e) = { 1 e x ν p / μ, λ (0,1], ν [0,1]}, e E µλ λ Ρ. r( ) Απόδειξη l Έστω ότι e E Ρr( και x I Ρr( (x,e), τότε e x Ρ ) r ) x e {μλx + μλx + μνp/ λ, μ, ν [0,1]}. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν λ 1, µ 1, ν 1 [0,1]: e= µ 1 λ 1 x + µ 1 λ 1 x + µ 1 ν 1 p x = 1 µ 1 λ 1 e - x - ν 1 λ 1 p, µ 1, λ 1 0. Δηλαδή, x { 1 e x ν p / μ, λ (0,1], ν [0,1]}. µλ λ Επειδή η υπερπράξη (Ρ r ) είναι αντιμεταθετική θα ισχύει I Ρr (x,e) = { 1 e x ν p / μ, λ (0,1], ν [0,1]}. µλ λ 96

Γεωμετρική απόδειξη Για ένα οποιοδήποτε σημείο x του επιπέδου θα πρέπει να βρεθεί ένα τουλάχιστον σημείο x στο επίπεδο τέτοιο ώστε για το ουδέτερο στοιχείο e να ισχύει e xρ r x και e x Ρ r x. Έστω ένα τυχαίο σημείο x R 2 και ένα τυχαίο σημείο e [-p, 0] ουδέτερο στοιχείο. Θεωρούμε ένα αντίστροφο στοιχείο x, π.χ. για μ= λ= 1, ν=0 προκύπτει x = e x. Eίναι εμφανές ότι e xρ r x = x Ρ r x= [e, p]. Σχήμα 4.36 Αντίστροφο και ουδέτερο στο επίπεδο για την (Ρ r( ) ) H P-υπερπράξη (Ρ l( ) περιοχή του παραλληλογράμμου [O, x+y, x+y+p, p]. Η (Ρ ( ) ) ταυτίζεται με την (Ρ r( ) ) και είναι και αυτή η κλειστή ) είναι διαφορετική και l ) με xρ ( ) y = (x P) y και άλλη η (Ρ r ( ) ) με xρ r ( ) y = l μάλιστα άλλη είναι η (Ρ ( ) x (P y), εφόσον η υπερπράξη ( ) δεν είναι προσεταιριστική. 97

Ρ l( ) = P (x y) Σχήμα 4.37 Η υπερπράξη xρ l( ) y στο επίπεδο l 4.3.3 Ορισμός της (Ρ ( ) ) υπερπράξης Θεωρούμε x, y R 2 l την Ρ-υπερπράξη (Ρ ( ) ): l Ρ ( ) : R 2 R 2 Ρ (R 2 l ): (x,y) xρ ( ) y = (x P) y Αναλυτικότερα, για x,y R 2, είναι: l x Ρ ( ) y= (x P) y= [x [O, p]] y = { µ [0,1] κ (x + μp) / κ [0,1]] y} = = { κ,µ [0,1] λ [κ (x + μp) + y] / λ [0,1]}= = {λκx + λy + λκμp / λ, κ, μ [0,1]}. Άρα l x Ρ ( ) y= {λκx + λy + λκμp / λ, κ, μ [0,1]}, x, y R 2 98

Η παραπάνω Ρ- υπερπράξη στο επίπεδο είναι η κλειστή περιοχή του τετραπλεύρου [0, x+y, x+y+p, y]. l Σχήμα 4.38 Η υπερπράξη xρ ( ) y στο επίπεδο 4.3.4 Η υπερδομή (R 2 l, Ρ ( ) Πρόταση 4.3.4.1 H υπερδομή (R 2 l, Ρ ( ) ) ) είναι P-H v - αντιμεταθετική ομάδα. Απόδειξη l Προφανώς ισχύει ότι xρ ( ) R 2 = R 2 l Ρ ( ) x = R 2, x R 2. Για την προσεταιριστική ιδιότητα παρατηρούμε ότι για x, y, z R 2 : 99

l (x Ρ ( ) l y) Ρ ( ) z = {[(x P) y] P} z l Το σύνολο (x Ρ ( ) l y) Ρ ( ) z [O, z, x+y+z, x+2p+y+z, y+p+z] l Σχήμα 4.39 Το σύνολο (x Ρ ( ) l y) Ρ ( ) z l x Ρ ( ) l (y Ρ ( ) z) = (x P) [(y P) z] l Το σύνολο x Ρ ( ) l (y Ρ ( ) z) [O, x, x+y+z, x+2p+y+z, y+p+z] 100

l Σχήμα 4.40 Το σύνολο x Ρ ( ) l (y Ρ ( ) z) l l Παρατηρούμε ότι (x Ρ ( ) y) Ρ ( ) l z x Ρ ( ) l (y Ρ ( ) z), x,y,z R 2 l l Σχήμα 4.41 Τα σύνολα (x Ρ ( ) y) Ρ ( ) l z και x Ρ ( ) l (y Ρ ( ) z) 101

l Επίσης xρ ( ) l y= [O, x+y, x+y+p, y] yρ ( ) x= [O, x+y, x+y+p, x]. l Σχήμα 4.42 Η υπερπράξη yρ ( ) x στο επίπεδο Έτσι αποδεικνύεται ότι η υπερδομή αποδεικνύεται ότι η (R 2 l, Ρ ( ) ) είναι P-H v - αντιμεταθετική ομάδα. Πρόταση 4.3.4.2 l Ισχύει ότι: i) E l Ρ( ) = R 2 r. ii) E l Ρ( = [0, - p]= {- νp/ ν [0,1]}= Ε l Ρ(. ) ) Απόδειξη l i) Παρατηρούμε ότι x eρ ( ) x = [0, e+x, e+x+p, x], x,e R 2. l Άρα E l Ρ( = R 2. ) Στην πρόταση αυτή η γεωμετρική αναπαράσταση παραλείπεται ως προφανής. 102

r ii) Έστω e E l Ρ( ) l, τότε από την σχέση x xρ ( ) e, x R 2, προκύπτει ότι x {λκx + λe + λκμp/ λ, κ, μ [0,1]}. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν µ 1, λ 1, κ 1 [0,1]: x= λ 1 κ 1 x + λ 1 e + λ 1 κ 1 µ 1 p e= 1 λ 1 [(1- λ 1 κ 1 ) x - λ 1 κ 1 µ 1 p], λ 1 0. Επειδή αυτή η σχέση ισχύει x R 2, θέτοντας x= 0 παίρνουμε e= - κ 1 µ 1 p. Εφόσον µ 1, κ 1 [0,1] θα υπάρχει ν 1 [0,1]: ν 1 = κ 1 µ 1 e= - ν 1 p, δηλαδή τότε e {- νp/ ν [0,1]}= [0, -p]. r Ισχύει ότι E l Ρ( ) R 2 l = E l Ρ(. ) l Επομένως E l Ρ( ) r E l Ρ( = {- νp/ ν [0,1]}= Ε l Ρ(. ) ) Γεωμετρική απόδειξη Για ένα οποιοδήποτε σημείο x του επιπέδου θα πρέπει να βρεθεί ένα τουλάχιστον l l σημείο e τέτοιο ώστε να ισχύει x eρ ( ) x και x xρ ( ) e. Για να συμβεί αυτό θα πρέπει το e να ανήκει στο [0, -p]. Έστω ένα τυχαίο σημείο x R 2 και ένα τυχαίο σημείο e [0, -p] ουδέτερο στοιχείο. 103

l Σχήμα 4.43 Ουδέτερο στο επίπεδο για την (Ρ ( ) ) l Τότε θα ισχύει eρ ( ) l Επομένως, είναι εμφανές ότι x eρ ( ) l x= [0, e+x, e+x+p] και xρ ( ) e= [0, x+e, x+e+p, e]. l x και x xρ ( ) e. Πρόταση 4.3.4.3 r α) Ισχύει ότι Ι l Ρ( ) (x,e) = {- κx - ( ν + κµ) p/ κ, μ, ν [0,1], λ (0,1]}, e E r l λ Ρ ( ). Απόδειξη r Έστω ότι e E l Ρ( ) r l = [0, -p] και x Ι l Ρ( (x,e) τότε e x Ρ ( ) x e {λκx + λx + ) λκμp/ κ, λ, μ [0,1]}. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν κ 1, λ 1, µ 1 [0,1]: e= λ 1 κ 1 x + λ 1 x + λ 1 κ 1 µ 1 p x = e λ 1 - κ 1 x - κ 1 µ 1 p, λ 1 0 (1). Επειδή e {- νp/ ν [0,1]} ν 1 [0,1]: e= - ν 1 p (2). Η (1) λόγω της (2) γίνεται x = - ν 1 λ 1 p - κ 1 x - κ 1 µ 1 p, λ 1 0 x = - κ 1 x ( ν 1 λ 1 + κ 1 µ 1 )p, λ 1 0. 104

Δηλαδή x {- κx - ( ν + κµ) p/ κ, μ, ν [0,1], λ (0,1]}. λ Γεωμετρική απόδειξη Για ένα οποιοδήποτε σημείο x του επιπέδου θα πρέπει να βρεθεί ένα τουλάχιστον σημείο x στο επίπεδο τέτοιο ώστε για το δεξιό ουδέτερο στοιχείο e να ισχύει e l x Ρ ( ) x. Έστω ένα τυχαίο σημείο x R 2 και ένα τυχαίο σημείο e [0, -p] δεξιό ουδέτερο στοιχείο. Για κ = λ = μ = ν = 1 θα προκύψει δεξιό αντίστροοφο x = - x - 2p. l Τότε θα ισχύει xρ ( ) x = [0, x+x, x ]. l Είναι εμφανές ότι το e [0, x+x, x ]= xρ ( ) x. l Σχήμα 4.44 Δεξιό ουδέτερο και δεξιό αντίστροφο για την (Ρ ( ) ) 105

r β) Ισχύει ότι Ι l Ρ( ) (x,e) = { e - κx - κμp/ κ, μ [0,1], λ (0,1]}, e E l l. λ Ρ ( ) Απόδειξη l Έστω ότι e E l Ρ( ) = R 2 r και x Ι l Ρ( ) l (x,e) τότε e x Ρ ( ) x e {λκx + λx + λκμp/ κ, λ, μ [0,1]}. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν κ 1, λ 1, µ 1 [0,1]: e= λ 1 κ 1 x + λ 1 x + λ 1 κ 1 µ 1 p x = e λ 1 - κ 1 x - κ 1 µ 1 p, λ 1 0. Δηλαδή, x { e - κx - κμp/ κ, μ [0,1], λ (0,1]}. λ Γεωμετρική απόδειξη Για ένα οποιοδήποτε σημείο x του επιπέδου θα πρέπει να βρεθεί ένα τουλάχιστον σημείο x στο επίπεδο τέτοιο ώστε για το αριστερό ουδέτερο στοιχείο e να ισχύει e l x Ρ ( ) x. Έστω ένα τυχαίο σημείο x R 2 και ένα τυχαίο σημείο e R 2 αριστερό ουδέτερο στοιχείο. Για κ = λ = μ = 1 θα προκύψει δεξιό αντίστροφο x = e x p. l Τότε θα ισχύει xρ ( ) x = [0, x, x+x, e]. l Είναι εμφανές ότι το e [0, x, x+x, e]= xρ ( ) x. 106

l Σχήμα 4.45 Αριστερό ουδέτερο και δεξιό αντίστροφο για την (Ρ ( ) ) l γ) Ι l Ρ( ) (x,e) = {- x - ( ν + μ) p / κ, λ (0,1], μ (0,1]}, e E r l. κ λκ Ρ ( ) Απόδειξη l = [0, -p] και x Ι l Ρ( ) l (x,e) τότε e x Ρ ( ) r Έστω ότι e E l Ρ( x e {λκx + λx ) + λκμp/ κ, λ, μ [0,1]}. Δηλαδή υπάρχουν κ 1, µ 1, λ 1 [0,1]: e= λ 1 κ 1 x + λ 1 x + e λ 1 κ 1 µ 1 p x = - x - µ λ 1 κ 1 κ 1 p, λ 1, κ 1 0 (1). 1 Επειδή e {- νp/ ν [0,1]} ν 1 [0,1]: e= - ν 1 p (2). Η (1) λόγω της (2) γίνεται x = - ν 1 λ 1 κ 1 p - x κ 1 - µ 1 p= - x κ 1 - ( ν 1 λ 1 κ 1 + µ 1 ), λ 1, κ 1 0. Αυτό σημαίνει x {- x - ( ν + μ) p / κ, λ (0,1], μ (0,1]}. κ λκ 107

Γεωμετρική απόδειξη Για ένα οποιοδήποτε σημείο x του επιπέδου θα πρέπει να βρεθεί ένα τουλάχιστον σημείο x στο επίπεδο τέτοιο ώστε για το δεξιό ουδέτερο στοιχείο e να ισχύει e l x Ρ ( ) x. Έστω ένα τυχαίο σημείο x R 2 και ένα τυχαίο σημείο e [0,-p] δεξιό ουδέτερο στοιχείο. Για κ = λ = μ =1 θα προκύψει αριστερό αντίστροφο x = - x - 2p. l Τότε θα ισχύει x Ρ ( ) x = [0, x +x, x]. l Είναι εμφανές ότι το e [0, x +x, x]= x Ρ ( ) x. l Σχήμα 4.46 Αριστερό αντίστροφο και δεξιό ουδέτερο στο επίπεδο για την (Ρ ( ) ) 108

l δ) Ι l Ρ( ) (x,e) = { 1 ( e - x) - μp / κ, λ (0,1], μ [0, 1], e E l l κ λ Ρ ( ). Απόδειξη l l Έστω ότι e E l= R 2 l και x Ι l (x,e) τότε e Ρ( Ρ( x Ρ ( ) x e {λκx + λx + ) ) λκμp/ κ, λ, μ [0,1]}. Δηλαδή υπάρχουν κ 1, µ 1, λ 1 [0,1]: e= λ 1 κ 1 x + λ 1 x + e λ 1 κ 1 µ 1 p x = - x - µ λ 1 κ 1 κ 1 p, λ 1, κ 1 0 x = 1 ( e x) - µ 1 κ 1 λ 1 p, κ 1 0. 1 Δηλαδή x { 1 ( e - x) - μp / κ, λ (0,1], μ [0, 1]}. κ λ Γεωμετρική απόδειξη Για ένα οποιοδήποτε σημείο x του επιπέδου θα πρέπει να βρεθεί ένα τουλάχιστον σημείο x στο επίπεδο τέτοιο ώστε για το αριστερό ουδέτερο στοιχείο e να ισχύει e l x Ρ ( ) x. Έστω ένα τυχαίο σημείο x R 2 και ένα τυχαίο σημείο e R 2 αριστερό ουδέτερο στοιχείο. Για κ = λ = 1 και μ =0 θα προκύψει αριστερό αντίστροφο x = e - x. l Τότε θα ισχύει xρ ( ) x = [0, e, e+p, x]. l Είναι εμφανές ότι το e [0, e, e+p, x]= x Ρ ( ) x. 109

l Σχήμα 4.47 Αριστερό ουδέτερο και αριστερό αντίστροφο στο επίπεδο για την (Ρ ( ) ) 4.3.5 Ορισμός της (Ρ r ( ) ) υπερπράξης Θεωρούμε x, y R 2 την Ρ-υπερπράξη (Ρ r ( ) ): Ρ r ( ) : R 2 R 2 Ρ (R 2 r ): (x,y) xρ ( ) y = x (P y) Αναλυτικότερα, για x, y R 2, είναι: x Ρ r ( ) y = x (P y)= µ { [0,1] = { κ,µ [0,1] x [κ (μp + y)/ κ [0,1]] }= λ [x + κ (μp + y)] / λ [0,1]}= ={λx + λκy + λκμp / λ, κ, μ [0,1]}. 110

Άρα r x Ρ ( ) y= {λx + λκy + λκμp / λ, κ, μ [0,1]}, x, y R 2 Η Ρ- υπερπράξη (Ρ r ( ) ) παριστάνεται στο επίπεδο με την κλειστή περιοχή του τετραπλεύρου [Ο, x, x+y, x+y+p]. r Σχήμα 4.48 Η υπερπράξη x Ρ ( ) y στο επίπεδο 4.3.6 Η υπερδομή (R 2 r, Ρ ( ) ) Πρόταση 4.3.6.1 H υπερδομή (R 2, Ρ r ( ) ) είναι P-H v - αντιμεταθετική ομάδα. Απόδειξη Προφανώς ισχύει ότι x Ρ r ( ) R 2 = R 2 Ρ r ( ) x = R 2, x R 2. 111

Για την προσεταιριστική ιδιότητα παρατηρούμε ότι για x,y,z R 2 : r (xρ ( ) y) Ρ r ( ) z = [(x (P y)] (P z) Το σύνολο (x Ρ r ( ) y) Ρ r ( ) z [O, x, x+z, x+y+z, x+y+z+2p] Σχήμα 4.49 Το σύνολο (x Ρ r ( ) y) Ρ r ( ) z x Ρ r r ( ) (y Ρ ( ) z) = x {P [y (P z)]} r Το σύνολο xρ ( ) r (y Ρ ( ) z) [O, x, x+y+z, x+y+z+2p, y+p+x] 112

r Σχήμα 4.50 Το σύνολο xρ ( ) r (y Ρ ( ) z) r Παρατηρούμε ότι (x Ρ ( ) r y) Ρ ( ) z x Ρ r r ( ) (y Ρ ( ) z), x,y,z R 2 r Σχήμα 4.51 Τα σύνολα (x Ρ ( ) r y) Ρ ( ) z και x Ρ r r ( ) (y Ρ ( ) z) 113

r Επίσης xρ ( ) r y= [O, x+y, x+y+p, x] yρ ( ) x= [0, x+y, x+y+p, y]. Σχήμα 4.52 Η υπερπράξη yρ r ( ) x στο επίπεδο Έτσι αποδεικνύεται ότι η υπερδομή αποδεικνύεται ότι η (R 2, Ρ r ( ) ) είναι P-H v - αντιμεταθετική ομάδα. Πρόταση 4.3.6.2 r Ισχύει ότι: i) E r Ρ( ) = R 2 l. ii) E r Ρ( = [0, - p]= {- νp/ ν [0,1]}= Ε r Ρ(. ) ) Απόδειξη i) Παρατηρούμε ότι x xρ r ( ) e = [0, x, x+e, e+x+p], x,e R 2. r Άρα E r Ρ( = R 2. ) Στην πρόταση αυτή η γεωμετρική αναπαράσταση παραλείπεται ως προφανής. 114

l ii) Έστω e E r Ρ( ), τότε από την σχέση x eρ r ( ) x, x R 2, προκύπτει ότι x {λe + λκx + λκμp/ λ, κ, μ [0,1]}. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν µ 1, λ 1, κ 1 [0,1]: x= λ 1 κ 1 x + λ 1 e + λ 1 κ 1 µ 1 p e= 1 λ 1 [(1- λ 1 κ 1 ) x - λ 1 κ 1 µ 1 p], λ 1 0. Επειδή αυτή η σχέση ισχύει x R 2, θέτοντας x= 0 παίρνουμε e= - κ 1 µ 1 p. Εφόσον µ 1, κ 1 [0,1] θα υπάρχει ν 1 [0,1]: ν 1 = κ 1 µ 1 e= - ν 1 p, δηλαδή τότε e {- νp/ ν [0,1]}= [0, -p]. l Ισχύει ότι E r Ρ( ) R 2 r = E r Ρ(. ) l Επομένως E r Ρ( ) r E r Ρ( = {- νp/ ν [0,1]}= Ε r Ρ(. ) ) Γεωμετρική απόδειξη Για ένα οποιοδήποτε σημείο x του επιπέδου θα πρέπει να βρεθεί ένα τουλάχιστον σημείο e τέτοιο ώστε να ισχύει x eρ r ( ) x και x xρ r ( ) e. Για να συμβεί αυτό θα πρέπει το e να ανήκει στο [0, -p]. Έστω ένα τυχαίο σημείο x R 2 και ένα τυχαίο σημείο e [0, -p] ουδέτερο στοιχείο. Τότε θα ισχύει eρ r ( ) x= [0, e, e+x, e+x+p] και xρ r ( ) e= [0, x+e, x+e+p]. Επομένως, είναι εμφανές ότι x eρ r ( ) x και x xρ r ( ) e. 115

Σχήμα 4.53 Ουδέτερο στοιχείο στο επίπεδο για την (Ρ r ( ) ) Πρόταση 4.3.4.3 r α) Ισχύει ότι Ι r Ρ( ) (x,e) = { 1 ( e - x) - μp / κ, λ (0,1], μ [0, 1], e E r r κ λ Ρ ( ). Απόδειξη r Έστω ότι e E r Ρ( = R 2 r r και x Ι r Ρ( (x,e) τότε e xρ ( ) ) ) x e {λx + λκx + λκμp/ κ, λ, μ [0,1]}. Δηλαδή υπάρχουν κ 1, µ 1, λ 1 [0,1]: e= λ 1 κ 1 x + λ 1 x + e λ 1 κ 1 µ 1 p x = - x - µ λ 1 κ 1 κ 1 p, λ 1, κ 1 0 x = = 1 ( e x) - µ 1 κ 1 λ 1 p, κ 1 0. 1 Δηλαδή x { 1 ( e - x) - μp / κ, λ (0,1], μ [0, 1]}. κ λ Γεωμετρική απόδειξη Για ένα οποιοδήποτε σημείο x του επιπέδου θα πρέπει να βρεθεί ένα τουλάχιστον σημείο x στο επίπεδο τέτοιο ώστε για το δεξιό ουδέτερο στοιχείο e να ισχύει e r xρ ( ) x. 116

Έστω ένα τυχαίο σημείο x R 2 και ένα τυχαίο σημείο e R 2 δεξιό ουδέτερο στοιχείο. Για κ = λ = 1 και μ =0 θα προκύψει δεξιό αντίστροφο x = e - x. r Τότε θα ισχύει xρ ( ) x = [0, e, e+p, x]. r Είναι εμφανές ότι το e [0, e, e+p, x]= xρ ( ) x. Σχήμα 4.54 Δεξιό ουδέτερο και δεξιό αντίστροφο για την (Ρ r ( ) ) r β) Ι r Ρ( ) (x,e) = {- x - ( ν + μ) p / κ, λ (0,1], μ (0,1]}, e E l r κ λκ Ρ. ( ) 117

Απόδειξη l r r Έστω ότι e E r Ρ( = [0, -p] και x ) Ι r Ρ( (x,e) τότε e x Ρ ( ) ) ) x e {λx + λκx + λκμp/ κ, λ, μ [0,1]}. Δηλαδή υπάρχουν κ 1, µ 1, λ 1 [0,1]: e= λ 1 κ 1 x + λ 1 x + e λ 1 κ 1 µ 1 p x = - x - µ λ 1 κ 1 κ 1 p, λ 1, κ 1 0 (1). 1 Επειδή e {- νp/ ν [0,1]} ν 1 [0,1]: e= - ν 1 p (2). Η (1) λόγω της (2) γίνεται x = - ν 1 λ 1 κ 1 p - x κ 1 - µ 1 p= - x κ 1 - ( ν 1 λ 1 κ 1 + µ 1 ), λ 1, κ 1 0. Αυτό σημαίνει x {- x κ - ( ν λκ + μ) p / κ, λ (0,1], μ (0,1]}. Γεωμετρική απόδειξη Για ένα οποιοδήποτε σημείο x του επιπέδου θα πρέπει να βρεθεί ένα τουλάχιστον σημείο x στο επίπεδο τέτοιο ώστε για το αριστερό ουδέτερο στοιχείο e να ισχύει e x Ρ r ( ) x. Έστω ένα τυχαίο σημείο x R 2 και ένα τυχαίο σημείο e [0,-p] αριστερό ουδέτερο στοιχείο. Για κ = λ = μ =1 θα προκύψει δεξιό αντίστροφο x = - x - 2p. r Τότε θα ισχύει x Ρ ( ) x. = [0, x +x, x]. r Είναι εμφανές ότι το e [0, x +x, x]= x Ρ ( ) x. 118

Σχήμα 4.55 Δεξιό αντίστροφο αριστερό ουδέτερο στο επίπεδο για την (Ρ r ( ) ) l γ) Ισχύει ότι Ι r Ρ( ) (x,e) = { e - κx - κμp/ κ, μ [0,1], λ (0,1]}, e E r r λ Ρ. ( ) Απόδειξη r Έστω ότι e E r Ρ( ) = R 2 l και x Ι r Ρ( (x,e) τότε e x Ρ r ( ) ) x e {λx + λκx + λκμp/ κ, λ, μ [0,1]}. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν κ 1, λ 1, µ 1 [0,1]: e= λ 1 κ 1 x + λ 1 x + λ 1 κ 1 µ 1 p x = e λ 1 - κ 1 x - κ 1 µ 1 p, λ 1 0. Δηλαδή, x { e - κx - κμp/ κ, μ [0,1], λ (0,1]}. λ Γεωμετρική απόδειξη Για ένα οποιοδήποτε σημείο x του επιπέδου θα πρέπει να βρεθεί ένα τουλάχιστον σημείο x στο επίπεδο τέτοιο ώστε για το δεξιό ουδέτερο στοιχείο e να ισχύει e r x Ρ ( ) x. 119

Έστω ένα τυχαίο σημείο x R 2 και ένα τυχαίο σημείο e R 2 δεξιό ουδέτερο στοιχείο. Για κ = λ = 1 και μ = 0 θα προκύψει αριστερό αντίστροφο x = e x. Τότε θα ισχύει x Ρ r ( ) x = [0, x, e, e+p]. Είναι εμφανές ότι το e [0, x, e, e+p]= x Ρ r ( ) x. Σχήμα 4.56 Αριστερό αντίστροφο και δεξιό ουδέτερο στο επίπεδο για την (Ρ r ( ) ) l δ) Ισχύει ότι Ι r Ρ( ) (x,e) = {- κx - ( ν + κµ) p/ κ, μ, ν [0,1], λ (0,1]}, e E l r λ Ρ ( ). 120