Θωμάς Ραϊκόφτσαλης 01

Transcript

1 0

2

3 Α. ΕΙΑΓΩΓΗ ΘΕΜΑ Α Γ_Μ_Μ_ΑΘΡ_ΕΙ_Β_ΕΚ_9 Έστω ο μιγαδικός αριθμός i,,. Τι καλούμε:. Πραγματικό μέρος του.. Φανταστικό μέρος του.. υζυγή του. 4. Εικόνα του μιγαδικού στο μιγαδικό επίπεδο. 5. Διανυσματική ακτίνα του μιγαδικού στο μιγαδικό επίπεδο. ΘΕΜΑ Α Γ_Μ_Μ_Α_ΕΙ_Β_ΕΚ_0 Εξηγήστε γιατί είναι λάθος η πρόταση: «Για τον αριθμό x yi ισχύει πάντα ότι Re() x και Im() y». ΘΕΜΑ Α Γ_Μ_Μ_Α_ΕΠ_Α_ΕΚ_7 ε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις να σημειωθεί το (σωστό) ή το (λανθασμένη).. Οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών, w είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα yy.. Αν xyi 0, x,y, τότε x y 0.. Για κάθε μιγαδικό ισχύει:. 4. Αν Re Im xy 0. η εικόνα του είναι σημείο της ευθείας 5. Αν ReIm 0 η εικόνα του είναι σημείο της ευθείας xy Αν, w με w 0, τότε πάντα w Αν A,B οι εικόνες των μιγαδικών, w για τους οποίους ισχύει w 0 και O η αρχή των αξόνων, τότε OA OB. 8. Για κάθε ισχύει: Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δύο μιγαδικών αριθμών, ισούται με το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων των

4 ,. 0. Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμών όπου A και, ισούται με το διάνυσμα BA, B.. Δυο σημεία του μιγαδικού επιπέδου, που είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων, είναι εικόνες δυο αντίθετων μιγαδικών αριθμών.. Ο αριθμός είναι πραγματικός τότε και μόνο τότε αν ισχύει 0.. Ο αριθμός είναι φανταστικός τότε και μόνο τότε αν ισχύει 0, όπου ν θετικός ακέραιος. 4. Για κάθε, w ισχύει πάντα Re w Re Rew. 5. Για κάθε, w ισχύει ww. 6. Για κάθε, w ισχύει ww. 7. Για κάθε, w με w 0 ισχύει πάντα ότι w 0. ΘΕΜΑ Α4 Γ_Μ_Μ_Α_ΕΠ_Α_ΕΚ_8 ε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις να σημειωθεί το (σωστό) ή το (λανθασμένη).. Αν i, i. *,, με w 0, τότε πάντα. Η εξίσωση x x 0,,,, μπορεί να έχει λύσεις τους αριθμούς 5 i και 5 i.. Το άθροισμα δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών, είναι φανταστικός αριθμός. 4. Η διαφορά δύο συζυγών μιγαδικών αριθμών, είναι πραγματικός αριθμός. 5. Αν, w με Re w 0, 6. Η εξίσωση τότε: Re Re w 0. x x 0,,,, έχει πάντα λύση στο. 7. Αν w 0, τότε w Για κάθε, w ισχύει w w.

5 9. Για κάθε, w με w, ισχύει w. 0. Για κάθε ισχύει Re.. Αν για τον ισχύει, τότε.. Για κάθε, w ισχύει: w w w w.. Η εξίσωση, με άγνωστο το και γνωστούς τους, με, παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο τη μεσοκάθετo του ευθύγραμμου τμήματος που έχει άκρα τα σημεία A και B. 4. Η εξίσωση 0, 0, με άγνωστο το, παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο τον κύκλο με κέντρο K 0 και ακτίνα. 5. Για κάθε ισχύει. 6. Για κάθε ισχύει. ΘΕΜΑ Α5 Γ_Μ_Μ_ΑΘΡ_ΕΙ_Β_ΕΚ_56 i. Πως ορίζεται το σύνολο των μιγαδικών αριθμών και πως συμβολίζεται; ii. Πως ορίζεται το σύνολο των φανταστικών αριθμών και πως συμβολίζεται; ΘΕΜΑ Α6 Γ_Μ_Μ_Α_ΕΙ_Β_ΕΚ_55 Εξηγείστε γιατί είναι «λάθος» η ακόλουθη πρόταση: * «Aν και ισχύει: i i τότε κατ ανάγκη είναι».

6 4 Β. ΠΡΑΞΕΙ ΘΕΜΑ Β Γ_Μ_Μ_Β_ΠΡ_Β_ΕΚ_0 Να προσδιορισθεί ο μιγαδικός για τον οποίο ισχύουν: Re Im, Re Im. ΘΕΜΑ Β Γ_Μ_Μ_Β_ΠΡ_Β_ΕΚ_0 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί: i, w i,,. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί λ και αν ισχύει: i. w. ii. 0. ΘΕΜΑ Β Γ_Μ_Μ_Β_ΠΡ_Β_ΕΚ_04 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί i, i, i, 4. Να παρασταθούν, στο μιγαδικό επίπεδο με τις εικόνες και τις αντίστοιχες διανυσματικές ακτίνες τους. ΘΕΜΑ Β4 Γ_Μ_Μ_Β_ΠΡ_Β_ΕΚ_06 Να βρείτε τις τιμές του, α. πραγματικός αριθμός, β. φανταστικός αριθμός. ώστε ο αριθμός i i να είναι: ΘΕΜΑ Β5 Γ_Μ_Μ_Β_ΠΡ_Β_ΕΚ_ Να αποδειχθεί ότι 0 0 i i 0, όπου,. ΘΕΜΑ Β6 Γ_Μ_Μ_Β_ΠΡ_Β_ΕΚ_ Να υπολογισθούν οι παραστάσεις: i i i i i i i. ii i i i i

7 5 ΘΕΜΑ Β7 Γ_Μ_Μ_Β_ΠΡ_Β_ΕΚ_8 i. Έστω ο μιγαδικός, για τον οποίο ισχύει. Να αποδειχθεί ότι: αν, τότε ο w είναι φανταστικός αριθμός και αντιστρόφως. ii. Έστω ο μιγαδικός με 0. Να αποδειχθεί ότι: αν ο w είναι πραγματικός, τότε είναι πραγματικός ή και αντιστρόφως. iii. Έστω ο μιγαδικός με i, όπου *. Να αποδειχθεί ότι: αν ο είναι φανταστικός, τότε ο είναι φανταστικός και αντιστρόφως. i w i ΘΕΜΑ Β8 Γ_Μ_Μ_Β_ΠΡ_Β_ΕΚ_ Δίνονται: οι,, ο θετικός ακέραιος, οι μιγαδικοί i και w i. w i. i. Να αποδειχθεί ότι ii. Να αποδειχθεί ότι αν 07, τότε 07 w». ΘΕΜΑ Β9 Γ_Μ_Μ_Β_ΠΡ_Β_ΕΚ_ Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός w i 5 i 5 είναι πραγματικός. ΘΕΜΑ Β0 Γ_Μ_Μ_Γ_ΠΡ_Γ_ΕΚ_09 Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί,,, ώστε οι αριθμοί και να είναι φανταστικοί. Να αποδειχθεί ότι ο μιγαδικός είναι αριθμός αρνητικός ή μηδέν. ΘΕΜΑ Β Γ_Μ_Μ_Γ_ΠΡ_Γ_ΕΚ_0 Έστω ο μιγαδικός αριθμός, για τον οποίο ισχύει Να αποδειχθούν τα εξής: i. ii

8 6 ΘΕΜΑ Β Γ_Μ_Μ_Γ_ΠΡ_Γ_ΕΚ_5 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύουν:,, Im Im. i. Να βρεθούν οι αριθμοί,. ii. Αν A, B και τριγώνου OAB. iii. Να αποδειχθεί ότι: O 0,0 η αρχή των αξόνων, να βρεθεί το εμβαδόν του

9 7 Γ. ΜΕΤΡΟ ΘΕΜΑ Γ Γ_Μ_Μ_Β_ΜΕ_Β_ΕΚ_6 A. Για δύο μιγαδικούς αριθμούς, να αποδειχθούν τα εξής: i. Re Re. ii. Re Re. iii. Re Re. B. Για δύο μιγαδικούς αριθμούς, να αποδειχθεί ότι:. ΘΕΜΑ Γ Γ_Μ_Μ_Β_ΜΕ_Β_ΕΚ_46 i. Έστω ο μιγαδικός. Να αποδειχθεί ότι: Αν, τότε ο w είναι φανταστικός αριθμός και αντιστρόφως. ii. Έστω ο μιγαδικός 0. Να αποδειχθεί ότι: Ο w είναι πραγματικός, αν και μόνο αν, ο είναι πραγματικός ή.. iii. Έστω ο μιγαδικός i, όπου *. Να αποδειχθεί ότι: i Ο w είναι φανταστικός, αν και μόνο αν, ο είναι φανταστικός. i ΘΕΜΑ Γ Γ_Μ_Μ_Β_ΜΕ_Γ_ΕΚ_0 να αποδειχθεί ότι Αν 8, Re 5. ΘΕΜΑ Γ4 Γ_Μ_Μ_Β_ΜΕ_Γ_ΕΚ_4 Να βρείτε τους μιγαδικούς x yi, x,y, για τους οποίους ισχύει: i.. ii. i.

10 8 ΘΕΜΑ Γ5 Γ_Μ_Μ_Β_ΜΕ_Γ_ΕΚ_6 Για κάθε ζεύγος μιγαδικών, w, να αποδειχθεί ότι ισχύει η σχέση: w w. ΘΕΜΑ Γ6 Γ_Μ_Μ_Β_ΜΕ_Γ_ΕΚ_7 Για κάθε ζεύγος μιγαδικών, w, να αποδειχθεί ότι ισχύει η σχέση: w w. ΘΕΜΑ Γ7 Γ_Μ_Μ_Β_ΜΕ_Γ_ΕΚ_8 Έστω οι μιγαδικοί, w, για τους οποίους γνωρίζουμε ότι: 4, 8 w. Να αποδειχθούν τα εξής: i. w. ii. w w 4. ΘΕΜΑ Γ8 Γ_Μ_Μ_Β_ΜΕ_Γ_ΕΚ_48 Αν για τον μιγαδικό αριθμό ισχύει: 4i, να αποδειχθεί ότι: 4 6. ΘΕΜΑ Γ9 Γ_Μ_Μ_Β_ΜΕ_Γ_ΕΚ_58 Αν για τους μιγαδικούς, ισχύουν:,, να αποδειχθεί ότι:. ΘΕΜΑ Γ0 Γ_Μ_Μ_Β_ΜΕ_Γ_ΕΚ_59 Δίνονται: ο θετικός ακέραιος,

11 9 οι μιγαδικοί,,,..., με Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός w πραγματικός είναι ΘΕΜΑ Γ Γ_Μ_Μ_Β_ΜΕ_Γ_ΕΚ_60 Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί,, τέτοιοι, ώστε: 0, 0. Να αποδειχθεί ότι:. ΘΕΜΑ Γ Γ_Μ_Μ_Β_ΜΕ_Γ_ΕΚ_6 Για κάθε,,, να αποδειχθεί ότι ισχύει:. ΘΕΜΑ Γ Γ_Μ_Μ_Β_ΜΕ_Γ_ΕΚ_6 Για κάθε,, να αποδειχθούν οι ταυτότητες:. i. ii.. ΘΕΜΑ Γ4 Γ_Μ_Μ_Β_ΜΕ_Γ_ΕΚ_67 Εάν,,, τέτοιοι ώστε, να αποδειχθεί ότι: ΘΕΜΑ Γ5 Γ_Μ_Μ_Β_ΜΕ_Γ_ΕΚ_68 Αν,,, ώστε, να αποδειχθεί η ισοδυναμία:

12 0 ΘΕΜΑ Γ6 Γ_Μ_Μ_Β_ΜΕ_Γ_ΕΚ_7 Έστω οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί, w, με αντίστοιχες εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία w., Αν O0,0 η αρχή των αξόνων και ισχύει ABOB OA. ww 0, να αποδειχθεί ότι ΘΕΜΑ Γ7 Γ_Μ_Μ_Β_ΜΕ_Γ_ΕΚ_7 Έστω οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί, w, με αντίστοιχες εικόνες στο μιγαδικό επίπεδο τα σημεία w., Αν O0,0 η αρχή των αξόνων και ισχύουν: 4, 4 w w 0, να αποδειχθούν τα εξής: i. w 4. ii. w 8. iii. OAB 8 τετραγωνικές μονάδες. ΘΕΜΑ Γ8 Γ_Μ_Μ_Β_ΜΕ_Δ_ΕΚ_6 Αν για τους,,, αποδειχτούν τα εξής: 0. i. Im Im Im k 0, να ισχύει: ii.. iii.. ΘΕΜΑ Γ9 Γ_Μ_Μ_ΒΘ_ΜΕ_Δ_ΕΚ_69 Για τους μιγαδικούς,,, ισχύουν: 0, A. Να αποδειχθούν τα εξής:.,.,,,. 0...

13 B. Αν επιπλέον γνωρίζουμε ότι, να αποδειχθεί ότι. ΘΕΜΑ Γ0 Γ_Μ_Μ_ΒΘ_ΜΕ_Δ_ΕΚ_70 Έστω, ώστε, 0,. Να αποδειχθούν τα εξής: i. και. ii.. iii.,. iv.,. ΘΕΜΑ Γ Γ_Μ_Μ_Δ_ΜΕ_Δ_ΕΚ_08 Α. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: i4i. Β. Αν για τους μιγαδικούς,, με ισχύουν: i 4i, i 4i, i 4i, τότε: i. Να βρεθεί ο μιγαδικός w για τον οποίο ισχύει: ii. w w w. Αν επί πλέον ισχύει: u., να βρεθεί ο μιγαδικός ΘΕΜΑ Γ Γ_Μ_Μ_Δ_ΜΕ_Δ_ΕΚ_4 Έστω οι μιγαδικοί, w τέτοιοι ώστε w w. i. Αν w, ii. Αν Re. να αποδειχθεί ότι *, w και w w να αποδειχθεί ότι ή w.

14 ΘΕΜΑ Γ Γ_Μ_Μ_Δ_ΜΕ_Δ_ΕΚ_5 i. Να λυθεί στο η εξίσωση:. ii. Αν,, με, 0, τότε:. Να αποδειχθεί ότι: Im 0.. Αν επιπλέον ισχύει 0, να αποδειχθεί ότι: 0.

15 Δ. ΤΟΠΟΙ ΘΕΜΑ Δ Γ_Μ_Μ_Β_ΤΟ_Β_ΕΚ_05 Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών x yi, x,y, για τους οποίους ισχύει: i.. ii.. Re». iii. ΘΕΜΑ Δ Γ_Μ_Μ_Β_ΤΟ_Β_ΕΚ_ Να περιγράψετε γεωμετρικά το σύνολο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών που ικανοποιούν τις σχέσεις: i. Το πραγματικό μέρος του είναι ίσο με μηδέν. ii. Το φανταστικό μέρος του είναι ίσο με μηδέν. iii. Το πραγματικό μέρος του είναι ίσο με το φανταστικό του μέρος. ΘΕΜΑ Δ Γ_Μ_Μ_Β_TO_Γ_ΕΚ_5 Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί, w, για τους οποίους γνωρίζουμε ότι: 8 w, η εικόνα και ακτίνα. M κινείται στον κύκλο που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων O0,0 Να αποδειχθεί ότι η εικόνα Nw κινείται σε μια έλλειψη. ΘΕΜΑ Δ4 Γ_Μ_Μ_Β_TO_Γ_ΕΚ_9 5 i Έστω η πραγματική παράμετρος και οι μιγαδικοί αριθμοί. 4 i i. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών. ii. Να βρεθεί ο μιγαδικός m με το μικρότερο μέτρο. iii. Για τον μιγαδικό m του ερωτήματος ii να βρεθούν όλες οι τιμές του, ώστε να ισχύει: m. m

16 4 ΘΕΜΑ Δ5 Γ_Μ_Μ_Β_TO_Γ_ΕΚ_40 Έστω η πραγματική παράμετρος 0, και ο μιγαδικός αριθμός i. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του κινείται σε ένα κύκλο, ο οποίος να προσδιορισθεί. ΘΕΜΑ Δ6 Γ_Μ_Μ_Β_TO_Γ_ΕΚ_4 Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων οποίους ισχύει: Re Im. 6 6 των μιγαδικών, για τους ΘΕΜΑ Δ7 Γ_Μ_Μ_Β_TO_Γ_ΕΚ_7 Δίνονται: ο πραγματικός αριθμός 5, το τόξο 0,, ο μιγαδικός 5 i, ο μιγαδικός w i. i. Να αποδειχθεί ότι οι εικόνες του ανήκουν σε μια παραβολή, της οποίας να βρεθεί η εξίσωση. ii. Να αποδειχθεί ότι οι εικόνες του w ανήκουν σε μια έλλειψη, της οποίας να βρεθεί η εξίσωση. iii. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του w. ΘΕΜΑ Δ8 Γ_Μ_Μ_Β_ΤΟ_Γ_ΕΚ_7 Αν για τον μιγαδικό ισχύει: (i), να βρεθούν: i. Ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του στο μιγαδικό επίπεδο. ii. Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του. ΘΕΜΑ Δ9 Γ_Μ_Μ_Β_ΤΟ_Γ_ΕΚ_ Αν η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο κέντρου O0,0 και ακτίνας, i να αποδειχθεί ότι το ίδιο ισχύει και για την εικόνα του μιγαδικού w. i

17 5 ΘΕΜΑ Δ0 Γ_Μ_Μ_Β_ΤΟ_Γ_ΕΚ_ Αν για τους μιγαδικούς ισχύει, να βρεθεί που ανήκουν οι εικόνες των μιγαδικών w με w. ΘΕΜΑ Δ Γ_Μ_Μ_Γ_ΤΟ_Γ_ΕΚ_ Να βρεθούν: i. O γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μ των μιγαδικών, για τους οποίους ισχύει: 4i. ii. O μιγαδικός m με το ελάχιστο μέτρο καθώς και το ελάχιστο μέτρο. ΘΕΜΑ Δ Γ_Μ_Μ_Γ_ΤΟ_Γ_ΕΚ_6 Αν για το μιγαδικό ισχύει, i, να βρεθούν: i. Ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του στο μιγαδικό επίπεδο. ii. Η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή του. ΘΕΜΑ Δ Γ_Μ_Μ_Γ_ΤΟ_Γ_ΕΚ_0 Αν: οι μιγαδικοί αριθμοί, w έχουν αντίστοιχες εικόνες τα σημεία το κινείται στην ευθεία με εξίσωση x 0, ισχύει iw w, να αποδειχθούν τα εξής: i. w i. ii. Το σημείο κινείται σε κύκλο.,n, ΘΕΜΑ Δ4 Γ_Μ_Μ_Γ_ΤΟ_Γ_ΕΚ_ Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών για τους οποίους, ο αριθμός w i είναι πραγματικός. ΘΕΜΑ Δ5 Γ_Μ_Μ_Γ_ΤΟ_Γ_ΕΚ_ Αν, ώστε 0, να αποδειχθεί ότι, για κάθε τιμή των,, ο

18 6 γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού ημιευθεία. i w είναι μια ΘΕΜΑ Δ6 Γ_Μ_Μ_Γ_ΤΟ_Γ_ΕΚ_ i, 0. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί i. Να αποδειχθούν τα εξής:. Οι εικόνες όλων των μιγαδικών, 0,. Ο κύκλος C διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ανήκουν σε κύκλο ii. Να βρεθεί εκείνος ο μιγαδικός m, από τους μιγαδικούς, μέτρο. iii. Αν για τους μιγαδικούς w, ισχύει C. με το μέγιστο δυνατό i 4 i, να αποδειχθεί ότι οι εικόνες w των μιγαδικών w είναι σημεία συνευθειακά.

19 7 Ε. ΑΝΙΟΤΗΤΕ ΘΕΜΑ Ε Γ_Μ_Μ_Β_ΤΑΝ_Β_ΕΚ_84 Για κάθε μιγαδικό, να αποδειχθεί η ισοδυναμία: i Im0. i ΘΕΜΑ Ε Γ_Μ_Μ_Β_ΤΑΝ_Β_ΕΚ_86 Για κάθε μιγαδικό με Re, να αποδειχθεί ότι ισχύει:. ΘΕΜΑ Ε Για κάθε μιγαδικό με, Γ_Μ_Μ_Β_ΤΑΝ_Β_ΕΚ_87 να αποδειχθεί ότι ισχύει: i i. 4 ΘΕΜΑ Ε4 Γ_Μ_Μ_Γ_ΤΑΝ_Γ_ΕΚ_78 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί u,, w,, για τους οποίους ισχύουν: u, q, q u w. u Να αποδειχθεί ότι: w αν και μόνο αν. ΘΕΜΑ Ε5 Γ_Μ_Μ_Γ_ΤΑΝ_Γ_ΕΚ_79. Για κάθε μιγαδικό, να αποδειχθεί ότι ισχύει:.. Αν γνωρίζουμε επιπλέον ότι, να αποδειχθούν τα εξής:..

20 8 ΘΕΜΑ Ε6 Γ_Μ_Μ_Γ_ΤΑΝ_Γ_ΕΚ_80 Έστω οι μιγαδικοί,. Αν M, m 0, m min,, να αποδειχθούν τα εξής:. m. 4. M. ώστε: M max, και ΘΕΜΑ Ε7 Γ_Μ_Μ_Γ_ΤΑΝ_Γ_ΕΚ_8 Έστω ο μιγαδικός τέτοιος ώστε: Να αποδειχθούν τα εξής: 9 0i 5. 0i i 0i 0. ΘΕΜΑ Ε8 Έστω ο μιγαδικός i. ii... * τέτοιος ώστε:. Γ_Μ_Μ_Γ_ΤΑΝ_Γ_ΕΚ_8 Να αποδειχθούν τα εξής: ΘΕΜΑ Ε9 Γ_Μ_Μ_Γ_ΤΑΝ_Γ_ΕΚ_8 Να αποδειχθεί ότι για κάθε μιγαδικό ισχύει:. ΘΕΜΑ Ε0 Γ_Μ_Μ_Γ_ΤΑΝ_Δ_ΕΚ_77 Να αποδειχθεί ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό, ισχύει: ή.

21 9 Τ. ΥΝΘΕΤΑ - ΕΠΑΝΑΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Τ Γ_Μ_Μ_ΓΘ_Υ_Γ_ΕΚ_74 Έστω ο μη μηδενικός μιγαδικός αριθμός, για τον οποίο ισχύει:. i. Να αποδειχθεί ότι. ii. Να αποδειχθεί ότι. iii. Να βρεθεί ο μιγαδικός. ΘΕΜΑ Τ Γ_Μ_Μ_ΓΘ_Υ_Δ_ΕΚ_57 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί: i, i w, i i. Να αποδειχθεί ότι w i. ii. Να αποδειχθεί ότι w i. w i M w. ο οποίος έχει εικόνα στο επίπεδο το σημείο iii. Αν ισχύει ότι, να αποδειχθεί ότι το σημείο iv. Να αποδειχθεί η ισοδυναμία w»». v. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:, με f( ), ισχύουν: f( ) i, w f( ) i. M w ανήκει στον άξονα xx. για την οποία Να αποδειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα,, τέτοιο ώστε f 0. ΘΕΜΑ Τ Γ_Μ_Μ_ΓΘ_Υ_Δ_ΕΚ_76 Έστω οι μιγαδικοί,,, για τους οποίους γνωρίζουμε ότι:,,. Να αποδειχθούν τα εξής:

22 0 i. ii.., iii. Οι αριθμοί:,. είναι φανταστικοί. iv. Οι εικόνες A,,, αντίστοιχα των μιγαδικών,,, είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. ΘΕΜΑ Τ4 Γ_Μ_Μ_Δ_Υ_Δ_ΕΚ_4 008 Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει: 005 iv. Να αποδειχθεί ότι. v. Να αποδειχθεί ότι vi. Να αποδειχθεί ότι.. vii.. Να βρεθούν οι μιγαδικοί... Αν Im 0, να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός, ώστε ο μιγαδικός αριθμός w να έχει μέγιστο μέτρο. ΘΕΜΑ Τ5 Γ_Μ_Μ_Δ_Υ_Δ_ΕΚ_4 viii. Έστω ο μιγαδικός για τον οποίο ισχύει. Να αποδειχθούν τα εξής:... Αν w, τότε Re(w). 4 x e f x, x e x ερωτήματος i. Να αποδειχθούν τα εξής: ix. Θεωρούμε τη συνάρτηση x, όπου ο μιγαδικός του. Η εξίσωση xe x 0 έχει μοναδική λύση,.. e.

23 f x, για κάθε x.. ΘΕΜΑ Τ6 Γ_Μ_Μ_Δ_Υ_Δ_ΕΚ_44 x Δίνεται οι μιγαδικοί αριθμοί i. Να αποδειχθεί ότι Re Im x e x i, x. x για κάθε x. ii. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον x 0, w i να είναι πραγματικός. x x x 0 τέτοιος, ώστε ο αριθμός iii. Να βρεθούν:. Εκείνος ο μιγαδικός m, από τους μιγαδικούς, x με το ελάχιστο δυνατό μέτρο.. Το m. ΘΕΜΑ Τ7 Γ_Μ_Μ_ΒΘ_ΔΓ_Δ_ΕΚ_66 A. Έστω οι αριθμοί:, w και 0,, για τους οποίους ισχύουν: 0 : E, w. Nα αποδειχθούν τα εξής:.,.. Re w.. Αν, οι ρίζες της E, τότε ισχύει: B. Έστω οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί x,y, τέτοιοι ώστε: w w x y Να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης xy xy x xyy 0.. ΘΕΜΑ Τ8 Γ_Μ_Μ_ΒΘ_ΔΓ_Δ_ΕΚ_65 Δίνονται οι μιγαδικοί,,, για τους οποίους ισχύουν: 0,. Να αποδειχθούν τα εξής:

24 Re Re Re Re Re Re ΘΕΜΑ Τ9 Γ_Μ_Μ_ΒΘ_ΔΓ_Δ_ΕΚ_64 Για δύο μιγαδικούς αριθμούς, να αποδειχθεί ότι: ΘΕΜΑ Τ0 Γ_Μ_Μ_ΒΘ_ΔΓ_Γ_ΕΚ_5 Δίνονται οι μιγαδικοί,,, για τους οποίους γνωρίζουμε ότι: έχουν εικόνες, αντίστοιχα τα σημεία C, που έχει A, B, του κύκλου κέντρο την αρχή των αξόνων O0,0 και ακτίνα 0,.. Να αποδειχθεί ότι.. Να αποδειχθεί ότι για κάθε μιγαδικό που έχει εικόνα σημείο του 4 κύκλου C, ισχύει:.. Αν, να βρεθεί κάθε μιγαδικός του οποίου η εικόνα είναι σημείο του κύκλου C, για τον οποίο ο αριθμός είναι πραγματικός. ΘΕΜΑ Τ Γ_Μ_Μ_ΒΘ_ΔΓ_Γ_ΕΚ_5 Έστω οι μιγαδικοί N w. Αν 0, 0, w, w με εικόνες αντίστοιχα τα σημεία A, Mw, η αρχή των αξόνων και ισχύει: i, τότε:

25 7. Να βρεθεί ο μιγαδικός. 8. Αν το M w κινείται στον κύκλο με εξίσωση: C : ότι το N w κινείται σε κύκλο. Αν ο δυο κάθετες ευθείες. K. x y 4, να αποδειχθεί w είναι φανταστικός, να αποδειχθεί ότι το σημείο Mw, κινείται πάνω σε