ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ

Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου λέγεται η χρονική αλλαγή της θέσης του ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς. Τροχιά του αντικειμένου που κινείται ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς, ονομάζεται η νοητή γραμμή που χαράσσει κάθε σημείο του. Οι τροχιές μπορεί να είναι ευθύγραμμες, κυκλικές ή καμπυλόγραμμες. Ανάλογα με την μορφή των τροχιών, μπορεί να έχουμε ευθύγραμμες, κυκλικές ή καμπυλόγραμμες κινήσεις. 2. Τι είναι το σωμάτιο ή σημειακό αντικείμενο; Σωμάτιο ή σημειακό αντικείμενο ονομάζεται το σώμα που έχει ασήμαντες διαστάσεις σε σχέση με τον γύρω χώρο. Η τροχιά ενός σημειακού αντικειμένου είναι συνεχής γραμμή. 3. Τι είναι οι εξισώσεις κίνησης; Εξισώσεις κίνησης ονομάζονται οι συναρτήσεις που περιγράφουν την κίνηση ενός σημειακού αντικειμένου. Η κίνηση σε μία ευθεία περιγράφεται με μία εξίσωση κίνησης x = x(t), ενώ η κίνηση στο επίπεδο με δύο εξισώσεις, x = x(t) και y = y(t). Οι εξισώσεις κίνησης μας βοηθούν να βρίσκουμε τη θέση του κινητού κάθε χρονική στιγμή. 4. Τι εννοούμε λέγοντας ότι η κίνηση ενός σημειακού αντικειμένου είναι σχετική; Λέγοντας ότι η κίνηση ενός σημειακού αντικειμένου είναι σχετική, εννοούμε ότι περιγράφεται με διαφορετικές εξισώσεις και διαγράφει διαφορετική τροχιά, όταν αλλάζουμε το σύστημα αναφοράς. Άρα η κίνηση δεν μπορεί να περιγραφεί, παρά μόνο ως προς ένα σύστημα αναφοράς. Ένα παράδειγμα που αποδεικνύει ότι η κίνηση είναι σχετική, είναι η περίπτωση του φαναριού στο εμπρός μέρος του ποδηλάτου. Ο ποδηλάτης το βλέπει ακίνητο, ενώ ο παρατηρητής στο έδαφος το βλέπει να κινείται και να διαγράφει κάποια τροχιά. 5. Ποια ευθεία ονομάζουμε προσανατολισμένη; 2

Προσανατολισμένη ονομάζεται η ευθεία στην οποία έχουμε ορίσει αυθαίρετα ως θετική μία από τις δύο δυνατές κατευθύνσεις πάνω σ αυτήν. Αν ορίσουμε ένα σημείο Ο της ευθείας ως αρχή και ένα μήκος ως μονάδα μήκος, τότε η προσανατολισμένη ευθεία, θεωρείται άξονας. 6. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση ενός σημειακού αντικειμένου πάνω σε μία ευθεία; Πάνω σε μία ευθεία ΑΒ μπορούμε να κινηθούμε είτε από το Α ως το Β, είτε αντίθετα. Το που βρίσκεται ένα σημειακό αντικείμενο Μ πάνω σε μία ευθεία, προσδιορίζεται από την συντεταγμένη του αντικειμένου. Η συντεταγμένη αυτή ονομάζεται θέση του αντικειμένου και συμβολίζεται με το γράμμα x. Το x είναι θετικό όταν το αντικείμενο βρίσκεται σε σημείο του θετικού ημιάξονα και αρνητικό, όταν βρίσκεται σε σημείο του αρνητικού ημιάξονα. Ο άξονας x Ox είναι το σύστημα αναφοράς για το σημείο Μ. 7. Πώς ορίζουμε την θέση ενός σημειακού αντικειμένου στο επίπεδο; Υποθέτουμε ότι το σημειακό αντικείμενο Μ βρίσκεται στην ίδια επίπεδη επιφάνεια. Για να προσδιορίσουμε το πού βρίσκεται, θεωρούμε ως σύστημα αναφοράς δύο άξονες, x Ox και y Oy, κάθετους μεταξύ τους, με κοινή αρχή το σημείο Ο. Από το σημείο που βρίσκεται το Μ φέρνουμε κάθετες στους δύο άξονες, που τους τέμνουν στα σημεία Π και Ρ. Η συντεταγμένη x του σημείου Π (τετμημένη του Μ) και η συντεταγμένη y του Ρ (τεταγμένη του Μ), είναι οι συντεταγμένες του Μ στο σύστημα αξόνων xoy. Άρα, η θέση του σημειακού αντικειμένου Μ προσδιορίζεται από δύο συντεταγμένες x και y και γράφουμε Μ(x, y). Οι δύο άξονες x Ox και y Oy, αποτελούν ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα αναφοράς xoy. Οι συντεταγμένες x και y ονομάζονται καρτεσιανές. 8. Πώς ορίζεται η χρονική διάρκεια και πώς η χρονική στιγμή; Πώς συμβολίζονται; Η χρονική διάρκεια μας πληροφορεί για το χρόνο που «διαρκεί» ένα γεγονός Π.χ.: Η χρονική διάρκεια του μαθήματος είναι 1 ώρα, ενώ του ποδοσφαιρικού αγώνα 90 λεπτά. Η χρονική στιγμή δεν έχει διάρκεια. Χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό, πιθανόν την ένδειξη ενός ρολογιού ή χρονομέτρου, που μας δείχνει την χρονική διάρκεια ανάμεσα σε αυτήν και την χρονική στιγμή που αυθαίρετα ορίσαμε ως αρχή μέτρησης του χρόνου. Π.χ.: Αν πούμε πως το 3

μάθημα ξεκινά στις 8:00 π.μ., υπονοούμε ότι έχει παρεμβληθεί χρονική διάρκεια 8 ωρών, από την χρονική στιγμή μεσάνυχτα, που συμφωνήσαμε να είναι η αρχή των χρόνων. Η μονάδα μέτρησης του χρόνου στο S.I. είναι το 1 δευτερόλεπτο (1s). Άλλες μονάδες μέτρησης του χρόνου είναι: 1 λεπτό: 1 min = 60 s, 1 ώρα: 1 h = 60 min = 3600 s. 9. Πώς ορίζεται η μετατόπιση ενός αντικειμένου ανάμεσα σε 2 σημεία; Η μετατόπιση αναφέρεται σε σημειακό αντικείμενο, που αλλάζει θέση από το Α ως το Β. Παριστάνεται με ένα διάνυσμα που ξεκινά από Α και καταλήγει στο Β. Χαρακτηρίζεται: α. από το μέτρο της, που είναι ίσο με την απόσταση των δύο θέσεων και β. από την κατεύθυνσή της. Η μετατόπιση εξαρτάται μόνο από την απόσταση των σημείων Α και Β και όχι από το μήκος της τροχιάς του κινητού που ενώνει τα 2 σημεία. 10. Πώς ο ορίζεται η θέση ενός κινητού πάνω σε έναν άξονα; Θέση ενός σημειακού αντικειμένου σε άξονα και σε μία συγκεκριμένη χρονική στιγμή, ονομάζεται το διάνυσμα που έχει ως αρχή το σημείο Ο του άξονα και τέλος το σημειακό αντικείμενο. Θέση του σημειακού αντικειμένου που βρίσκεται στο σημείο M 1 του άξονα, ονομάζεται το διάνυσμα ΟΜ 1. Η θέση αναφέρεται σε σημειακό αντικείμενο, σε άξονα και σε συγκεκριμένη χρονική στιγμή. Η τιμή της συμπίπτει με την συντεταγμένη του σημείου στο οποίο βρίσκεται το αντικείμενο. Είναι θετική, όταν το αντικείμενο βρίσκεται στον θετικό ημιάξονα 11. Πώς ορίζεται η μετατόπιση ενός αντικειμένου πάνω σε μία ευθεία; Η μετατόπιση ενός σημειακού αντικειμένου που κινείται σε άξονα, σε ορισμένη χρονική διάρκεια, είναι το διάνυσμα που ξεκινά από το αρχικό σημείο και καταλήγει στο τελικό σημείο κίνησής του. Για μετακίνηση κινητού από το σημείο Μ 1 ως το σημείο Μ 2, η μετατόπιση παριστάνεται από το διάνυσμα Μ 1 Μ 2. Αν x 1 και x 2 η αρχική και η τελική θέση του αντικειμένου, τότε: 12 x 2 x. 1 Η τιμή της συμβολίζεται συνήθως με Δx (Δx = x 2 x 1 ) και είναι θετική όταν το αντικείμενο κινείται προς την θετική κατεύθυνση του άξονα. 4

12. Σε τι διαφέρουν η μετατόπιση και το διάστημα που διανύει ένα κινητό; Σε ποια περίπτωση ταυτίζονται; Το διάστημα είναι μονόμετρο μέγεθος. Συνήθως συμβολίζεται με s. Μας δείχνει το μήκος της τροχιάς που έχει διανύσει το σημειακό αντικείμενο σε κάποια χρονική διάρκεια Δt. Η μετατόπιση είναι διανυσματικό μέγεθος. Συνήθως συμβολίζεται με x. Μας δείχνει την απόσταση του τελικού από το αρχικό σημείο κίνησης του αντικειμένου. Για ένα κινητό που μετακινήθηκε από το Α στο Β ακολουθώντας την τροχιά (1) του σχήματος, το διάστημα είναι το μήκος της τροχιάς (1), ενώ η μετατόπιση παριστάνεται με το διάνυσμα (2). Σε γενικές γραμμές, το μέτρο της μετατόπισης είναι μικρότερο από το διάστημα που διανύει το κινητό. Οι δύο τιμές τους συμπίπτουν στην ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή φορά. 13. Πώς ορίζονται η μέση ταχύτητα και η μέση διανυσματική ταχύτητα ενός κινητού; Η μέση ταχύτητα ενός κινητού είναι το μονόμετρο μέγεθος που ορίζεται από την σχέση: s, όπου: Δs: Το διάστημα που διανύει το κινητό σε χρόνο Δt. t Η μέση διανυσματική ταχύτητα ενός κινητού είναι το διανυσματικό μέγεθος με μέτρο το πηλίκο x του μέτρου της μετατόπισης σε χρόνο Δt προς το χρόνο αυτό:. t Η κατεύθυνση της μέσης διανυσματικής ταχύτητας συμπίπτει με αυτή της μετατόπισης. Αν το κινητό μετατοπίζεται στον άξονα x από την αρχική θέση x 1 στην τελική x 2, τότε η αλγεβρική x x2 x1 τιμή της μέσης διανυσματικής ταχύτητας είναι:. t t t Είναι θετική όταν το κινητό μετατοπίζεται προς την θετική κατεύθυνση του άξονα Ox. Η μονάδα μέτρησης της ταχύτητας στο S.I. είναι το 1 m/s. Άλλη μονάδα μέτρησης είναι το 1 km/h. 2 1 14. Ποια κίνηση ονομάζουμε ευθύγραμμη ομαλή; Ευθύγραμμη ομαλή είναι η κίνηση ενός αντικειμένου με σταθερή ταχύτητα κατά μέτρο και κατεύθυνση. 15. Να αποδειχθεί η εξίσωση κίνησης στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. 5

Έστω ότι την αρχική χρονική στιγμή t α το κινητό βρίσκεται στην θέση x α και την χρονική στιγμή t τ στην θέση x τ. Από τον ορισμό της ταχύτητας έχουμε: x x x x x t t x x t t t t t Θεωρώντας x α = 0 και t α = 0, καταλήγουμε στην εξίσωση κίνησης: x t. 16. Να γίνουν τα διαγράμματα ταχύτητας χρόνου & μετατόπισης χρόνου στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Θεωρείστε ότι την χρονική στιγμή 0, το κινητό βρίσκεται στην θέση x α = 0 και ότι η αλγεβρική τιμή της ταχύτητάς του είναι θετική. Η κλίση της ευθείας στο διάγραμμα μετατόπισης χρόνου στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση x1 μας δίνει το μέτρο της ταχύτητας του κινητού. Δηλαδή,. t 1 17. Πώς μπορούμε να υπολογίσουμε την μετατόπιση ενός κινητού Δx από το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου; Ένα σημειακό αντικείμενο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση με ταχύτητα υ ο επί χρόνο Δt και μετατοπίζεται κατά: Δx = υ ο Δt. Η μετατόπισή του είναι ίση με το εμβαδόν που περικλείεται στο διάγραμμα ταχύτητας χρόνου ανάμεσα στην ευθεία που παριστάνει την ταχύτητα και τον άξονα του χρόνου. Το παραπάνω συμπέρασμα μπορεί να γενικευθεί για οποιαδήποτε άλλη κίνηση. 18. Πώς ορίζεται η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού; Σε ποια περίπτωση συμπίπτει με την μέση ταχύτητά του; Η στιγμιαία ταχύτητα ενός σημειακού αντικειμένου ορίζεται ως ο ρυθμός μεταβολής της θέσης του κατά την στιγμή εκείνη. Η τιμή της είναι ίση με την τιμή που τείνει η μέση ταχύτητά του, όταν η χρονική διάρκεια μέτρησης τείνει στο μηδέν. Τα χαρακτηριστικά της παραπάνω ταχύτητας είναι: α. Το μέτρο, που μας πληροφορεί για το πόσο γρήγορα κινείται το αντικείμενο εκείνη την στιγμή. 6

β. Την κατεύθυνση, που μας πληροφορεί για το προς τα πού πηγαίνει το αντικείμενο εκείνη την στιγμή. Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού, συμπίπτει με την μέση ταχύτητα, στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. 19. Πώς ορίζεται η μέση επιτάχυνση ενός κινητού σε μία μεταβαλλόμενη κίνηση; Η μέση επιτάχυνση ενός κινητού α, ορίζεται ως το πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητάς του σε χρόνο Δt, προς το χρόνο αυτό:. t Η μονάδα μέτρησης της μέσης επιτάχυνσης είναι το 1 m/s 2. H κατεύθυνσή της συμπίπτει με την κατεύθυνση της μεταβολής της ταχύτητας. Αν το αντικείμενο κινείται σε άξονα και η τιμή της ταχύτητάς του μεταβάλλεται από υ α σε υ τ σε χρόνο Δt, τότε η μέση επιτάχυνσή του είναι:. t t t Σε αυτήν την περίπτωση: Αν η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας αυξάνεται, τότε η επιτάχυνση α έχει ίδια κατεύθυνση με την ταχύτητα. Αν η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας μειώνεται, τότε η επιτάχυνση α έχει κατεύθυνση αντίθετη από αυτήν της ταχύτητας. 20. Ποια κίνηση ονομάζουμε Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη; Σε ποιες κατηγορίες την διακρίνουμε; Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση ονομάζουμε κάθε κίνηση με σταθερή επιτάχυνση. Αν η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας αυξάνεται (α > 0) τότε έχουμε ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. Αν η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας μειώνεται (α < 0) τότε έχουμε ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με αρνητική επιτάχυνση. Παλαιότερα, ανέφεραν την κίνηση αυτή ως ομαλά «επιβραδυνόμενη». 21. Να αποδειχθούν οι σχέσεις της ταχύτητας και της μετατόπισης ενός κινητού σε συνάρτηση με τον χρόνο στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση και να γίνουν τα αντίστοιχα διαγράμματα. 7

Α. Ταχύτητα υ: Έστω ότι την χρονική στιγμή t α το κινητό έχει αρχική ταχύτητα υ α, και την χρονική στιγμή t έχει ταχύτητα υ. Τότε: t t t t t Θεωρώντας ότι t α = 0, έχουμε: t. Αν το κινητό ξεκινά από την ηρεμία (υ α = 0), τότε έχουμε: t. Β. Μετατόπιση x: Θεωρώντας ότι t α = 0, σχεδιάζουμε για την κίνηση αυτή το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου. Αποδεικνύεται ότι η μετατόπιση του κινητού είναι ίση με το εμβαδό του τραπεζίου ΑΒΓΟ. t t t 1 2 2 2 2 0 0 0 x E x 0 t t 1 2 Αν το κινητό ξεκινά από την ηρεμία, τότε υ ο = 0 οπότε, x t. 2 Σημείωση: Αν η κατεύθυνση της επιτάχυνσης είναι αντίθετη από αυτήν της ταχύτητας, τότε α < 0 και α = α, οπότε οι παραπάνω σχέσεις μπορούν να γραφούν: 1 2 0 t t0 και x 0 t t 2 Σημείωση: Η κλίση της ευθείας στο διάγραμμα ταχύτητας χρόνου στην ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση μας δίνει το μέτρο της επιτάχυνσης. Σημείωση: Ένας 2 ος 1 2 τρόπος απόδειξης της σχέσης x 0 t t είναι: Έστω ότι για t = 0 2 το κινητό είχε αρχική ταχύτητα υ ο και μετά από χρόνο t έχει αποκτήσει ταχύτητα ίση με υ. Η μέση του ταχύτητα στην ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση μπορεί να δοθεί και από την σχέση: 0. 2 Άρα η μετατόπισή του είναι ίση με την μετατόπιση που θα είχε, αν κινούταν επί χρόνο t με ταχύτητα ίση με υ μ. Άρα: t t t 1 2 0 0 0 x t x x 0 t t. 2 2 2 8

Παράρτημα Α. Προθέματα μονάδων του συστήματος S.I. Β. Διαγράμματα στις ευθύγραμμες κινήσεις. 9

Γ. Υπολογισμοί φυσικών μεγεθών από διαγράμματα 10

11

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Βασικές ασκήσεις στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 1. Να δίνονται βασικά στοιχεία της κίνησης. Άσκηση Μικρό αυτοκινητάκι κινείται σε ευθεία γραµµή, που ταυτίζεται µε τον άξονα x Οx, µε σταθερή ταχύτητα µέτρου +5 m/s και τη χρονική t 0 = 0 s περνά από τη θέση x 0 = 10 m. α) Ποιο είναι το είδος της κίνηση του αυτοκινήτου; β) Να γράψετε την εξίσωση της κίνησής του και να βρείτε τη θέση του τη χρονική στιγµή t = 10 s. γ) Να κάνετε τις γραφικές παραστάσεις υ = f(t) και x = f(t), από 0 έως 10 s. δ) Να βρείτε την µετατόπισή του από 4 έως 6 s. 2. Να δίνεται η εξίσωση κίνησης. Άσκηση Η εξίσωση κίνησης ενός σώµατος σε µια ευθύγραµµη κίνηση είναι x = 3 + 10t (S.I.). α) Τι είδους κίνηση εκτελεί το σώµα; β) Ποια είναι η θέση του τη χρονική στιγµή t = 5s; γ) Ποια χρονική στιγµή βρίσκεται στη θέση x = 63m; δ) Ποια είναι η µετατόπισή του από τη χρονική στιγµή t 1 = 2s µέχρι τη χρονική στιγµή t 2 = 8s; ε) Ποια είναι η µέση ταχύτητά του στην παραπάνω χρονική διάρκεια; 3. Από διάγραμμα υ-t σε διάγραμμα x-t. Άσκηση Το διάγραµµα του σχήµατος δίνει τη µεταβολή της ταχύτητας ενός σωµατιδίου σε σχέση µε το χρόνο, που κινείται σε ευθεία γραµµή. α) Να γραφούν οι αντίστοιχες εξισώσεις κίνησης του σωµατιδίου από 0 έως 20s, αν την t 01 = 0 είναι x 01 = 10 m. β) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση x = f (t) από 0 έως 20 s. Να βρεθούν στο χρονικό διάστηµα 0 έως 20s: γ) Η συνολική µετατόπιση x ολ. δ) Το συνολικό διάστηµα s ολ και η µέση ταχύτητα του σωµατιδίου. 12

4. Από διάγραμμα x-t σε διάγραμμα υ-t. Άσκηση Η θέση ενός δροµέα που κάνει ευθύγραµµη κίνηση αλλάζει σε σχέση µε το χρόνο σύµφωνα µε το διάγραµµα που φαίνεται στο διπλανό σχήµα. α) Πόση είναι η συνολική µετατόπιση του δροµέα από 0 έως 20s; β) Να περιγράψετε τα είδη των κινήσεων από 0 20 s. γ) Να γίνει το διάγραµµα (υ - t) στο ίδιο χρονικό διάστηµα. δ) Να γράψετε τις εξισώσεις κίνησης από 0 20 s. 5. Δεδομένα από γραφικές παραστάσεις x-t. Άσκηση Στο διπλανό διάγραµµα x-t φαίνονται οι µεταβολές της θέσης δύο κινητών (Α) και (Β) που κινούνται στην ίδια ευθεία. α) Ποιο είναι το είδος της κίνησης των δύο κινητών; β) Με πόση ταχύτητα κινούνται; Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις υ = f (t) και για τα δύο κινητά σε κοινό σύστηµα αξόνων. γ) Να γράψετε τις εξισώσεις της κίνησής τους. Πότε και που συναντιούνται; δ) Ποια χρονική στιγµή φτάνει το κινητό (Β) στη θέση x = 0; ε) Πόσο µετατοπίζονται µέχρι να συναντηθούν; 6. Ασκήσεις με δύο σώματα Συνάντηση δύο κινητών. Άσκηση Από δύο σηµεία Α και Β ενός ευθύγραµµου δρόµου περνάνε, τη χρονική στιγµή t 0 = 0, δύο αυτοκίνητα (1) και (2) µε σταθερές ταχύτητες µέτρου υ 1 = 20 m/s και υ 2 = 30 m/s, αντίστοιχα. Τα δύο σηµεία απέχουν απόσταση ΑΒ = d = 300 m και τα αυτοκίνητα κινούνται αντίθετα. 13

Θεωρήστε x=0 την αρχική θέση του πρώτου αυτοκινήτου και την προς τα δεξιά κατεύθυνση ως θετική και στη συνέχεια απαντήστε στα παρακάτω ερωτήµατα: α) Να γράψετε τις εξισώσεις της κίνησής τους. β) Ποια χρονική έγινε η συνάντηση των δύο οχηµάτων; γ) Σε ποια θέση διασταυρώνονται τα δύο αυτοκίνητα; δ) Ποια χρονική στιγµή φτάνει το αυτοκίνητο (2) στη θέση x = 0; ε) Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις σε συνάρτηση µε το χρόνο: i) της µετατόπισης και ii) της θέσης, κάθε αυτοκινήτου. 14