ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΥΝΑΜΙΚΏΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΝΑ ΒΑΘΜΟ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ. Ελεύθερη ταλάντωση χωρίς απόσβεση. Να βρεθεί η ιδιοσυχνότητα του συστήµατος στο σχήµα (α). ίνεται 3 3 N/m, 4 6 N/m και m gr. (α) m 3 4 (β) m 34 (γ) 34 m Το σύστηµα του σχήµατος (α) είναι ισοδύναµο µε το σύστηµα του σχήµατος (β). Τα ελατήρια και είναι παράλληλα και άρα έχουν ισοδύναµη στιβαρότητα + 3+6 9 N/m () Τα ελατήρια 3 και 4 είναι σε σειρά και άρα έχουν ισοδύναµη στιβαρότητα 3 6 8 3 4 34 3 + 4 3+ 6 9 N/m () Το σύστηµα του σχήµατος (β) είναι ισοδύναµο µε το σύστηµα του σχήµατος (γ). Τα ελατήρια µε στιβαρότητες, 34 είναι παράλληλα και έχουν στιβαρότητα 34 + 34 9 + N/m (3)
Η στιβαρότητα 34 είναι η ισοδύναµη στιβαρότητα του συστήµατος. Άρα N/m. Η ιδιοσυχνότητα του συστήµατος θα είναι ω ω ω 34 ra / sec m. Το σύστηµα αποτελείται από τους άξονες ΑΒ, ΒC που είναι από ατσάλι, τον άξονα DE που είναι από αλουµίνιο και ένα προσαρτηµένο δίσκο. Το µέτρο διάτµισης του ατσαλιού είναι G st 8x 9 N/m και του αλουµινίου G al 4x 9 N/m. Οι ακτίνες των διατοµών των αξόνων είναι r AB 4 mm, r BC 8mm, r DE 5 mm. Να βρεθεί η στιβαρότητα του συστήµατος όταν εκτελεί στροφική ταλάντωση. 6cm 8cm cm A B C D E ίσκος Η στρεπτική στιβαρότητα της ράβδου ΑΒ είναι AB π 4 π 4 9 rab GAB (.4) 8 J AB GAB 5 5.35 Ν m/ra () L L.6 AB AB Η στρεπτική στιβαρότητα της ράβδου ΒC είναι BC π 4 π 4 9 J BC BC (.8) 8 BC G r G BC 4.65 Ν m/ra () L L.8 BC BC Η στρεπτική στιβαρότητα της ράβδου DE είναι DE π 4 π 4 9 rde GDE (.5) 4 J DE GDE 4.5 Ν m/ra (3) L L. DE DE Η ράβδος ΑΒ είναι σε σειρά µε τη ράβδο ΒC και άρα η ολική στρεπτική στιβαρότητα τους είναι 5 4 9 K AB KBC 5.35.65 8.8 4 AC.6 Νm/ra 5 4 4 K + K 5.35 +.65 55.5 AB BC
Η ράβδος µε µήκος ΑC είναι παράλληλη µε τη ράβδο DE του συστήµατος γιατί στρέφονται κατά την ίδια γωνία και άρα η ολική στιβαρότητά τους είναι ACDE AC DE ACDE.6.5 4 4 + + 4 ACDE 3.65 Ν m/ra (5) Η ACDE είναι η ολική στιβαρότητα του ισοδύναµου συστήµατος που θα αποτελείται από µια ράβδο µε στιβαρότητα ACDE 3. Το σχήµα δείχνει ένα απλοποιηµένο µοντέλο που χρησιµοποιείται για την περιγραφή της ταλαντωτικής συµπεριφοράς των ελατηρίων βαλβίδας µιας µηχανής εσωτερικής καύσης. Το στερεό τµήµα ΑΟΒ έχει µαζική ροπή αδράνειας Ι ως προς τον άξονα περιστροφής του. α) Να βρεθεί η εξίσωση της κίνησης ως προς την κατακόρυφη µετατόπιση x Α του σηµείου Α. β) Να βρεθεί η συχνότητα της ταλάντωσης. ίνονται τα,, α, b, I, m α b F O A B F θ F x A x B m F Έστω x A η µετατόπιση του Α και x B η µετατόπιση του Β. Στο σώµα µάζας m ασκείται η δύναµη F από το νήµα και η F από το ελατήριο. Ισχύει F x B () xa aθ () xβ bθ (3) Για το σώµα µάζας m από ο Νόµο Νεύτωνα ισχύει ma F mx & F - F mx & F - x B ολ B B Β Έστω θ είναι η γωνία που στρέφεται το στερεό σώµα ΑΟΒ. Στο άκρο Α της ράβδου ασκείται η δύναµη F από το ελατήριο και στο Β η δύναµη F από το νήµα Ισχύει 3
F x A (5) Η δυνάµεις F, F τείνουν να περιστρέψουν τη ράβδο αντίθετα µε τη γωνία θ. Ισχύει Ιθ & Μ Ιθ & -Μ -Μ Ιθ & -F a - Fb Ιθ & - x a - Fb (6) ολ F F A Από έχουµε F mx & B +x Β (7) Η ( 6) συνεπάγεται από την (7) Ιθ & - x a - mx & + x b (8) Από ( ) (3 ) έχουµε Από (9) έχουµε Από ( ) έχουµε ( ) A B Β x bθ x b b x a x a a θ a Η (8) συνεπάγεται από ( 9), ( ), ( ) B B xb xa (9) A θ A b x& B x& A () a xa xa & θ& () a x& A b b x& A b b Ι -x Aa - m x & A + xa b Ι -x Aa - m x& A xa a a a a a a Αν θέσουµε στη (3) έχουµε m Ι b b + m x A + a + xa a a & a () Ι b a a + m (3) και a a b + m x & A +x A (5) Η εξίσωση (5) περιγράφει την ταλάντωση αρµονικού ταλαντωτή µε συχνότητα b a + ω ω a ω m Ι b + m a a a + b α + mb (6) 4
. Ελεύθερη ταλάντωση µε απόσβεση 4. Για το σύστηµα του σχήµατος να βρεθεί η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνησή του χρησιµοποιώντας ως συντεταγµένη τη γωνία στροφής της ράβδου γύρο από το ακίνητο σηµείο. Ποια η ιδιοσυχνότητα του συστήµατος; ίνονται τα, c, l L /4, l 3L/ 4, η ροπή αδράνειας Ι 7mL /48 της ράβδου ως προς το, όπου m, L η µάζα και το µήκος της ράβδου. F απ x θ F ελ Γ A Γ x l l c Α l l Έστω ότι η ράβδος τη χρονική στιγµή t είναι στραµµένη κατά γωνία θ. Το άκρο Α είναι µετατοπίσµένο κατά x και το Γ κατά x. Στο άκρο Α ασκείται η δύναµη F ελ από το ελατήριο και στο Γ η δύναµη F απ από τον αποσβεστήρα. Ισχύει και Fελ Fαπ x () cυ () Έστω Ι είναι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το σηµείο της περιστροφής. Ισχύει Iθ& Μ Iθ& Μ Μ Iθ& F l F (3) Η (3) συνεπάγεται από () και () Όµως ισχύει και ολ ελ απ ελ απl Iθ & x l cυ l x lθ (5) x lθ x& lθ& υ lθ& (6) Η συνεπάγεται από (5) και (6) 9 Iθ& lθl clθl & Iθ& clθ& lθ Iθ& + c Lθ& + Lθ (7) 6 6 Η ροπή αδράνειας είναι 7 I ml (8) 48 Οπότε η (7) συνεπάγεται από (8) 7 9 ml θ& + cl & θ + L θ (9) 48 6 6 5
Από τη σχέση (9) παρατηρούµε ότι το αρχικό σύστηµα µπορεί να αντικατασταθεί από ένα άλλο µε 7 I ml () 48 9 c cl () 6 Η ιδιοσυχνότητα του συστήµατος είναι 6 L () L 6 3 ω ω ω I 7 (3) ml 7m 48 5. Να βρεθεί ο συντελεστής απόσβεσης c ώστε η απόσβεση του συστήµατος να είναι κρίσιµη. ίνονται m g, 5 N/m, x 5 N/m. c m F απ F F x Έστω το σώµα είναι µετατοπισµένο κατά x από την αρχική του θέση. Ισχύει mx& F mx& F F F mx& x x cv ολ απ mx& + cx& + ( + ) x () Η ισοδύναµη στιβαρότητα του συστήµατος είναι + + 3 N/m () Από ορισµό έχουµε 6
Όταν η απόσβεση είναι κρίσιµη ισχύει c ζ (3) m Από (3) και συνεπάγεται ζ c c m c 3 m c 3.55x Nsec/m (5) 6. Για το σύστηµα του σχήµατος να βρεθεί η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνησή του. Θεωρείστε ως ανεξάρτητη συντεταγµένη τη γωνία θ(t) που µετατοπίζεται ο δίσκος. Για ποια τιµή του συντελεστή απόσβεσης c το µέτρο απόσβεσης ισούται µε.5; ίνονται r cm, r 3 cm, m g, m 5 g, 4 N/m, 5 N/m, και η ροπή αδράνειας I. gm του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του. r r θ T 3 T T T 3 T r m x s m F απ x T x θ F Έστω η µάζα m είναι µετατοπισµένη κατά x και η m κατά x σε σχέση µε την κατάσταση ισορροπίας. Στη µάζα m ασκείται η δύναµη της απόσβεσης F απ και η τάση Τ 3 του νήµατος. Iσχύει m x& F m x& F T m x& cv T m x& cx& T () ολ απ 3 3 3 Στη µάζα ασκείται η δύναµη του ελατηρίου F και η τάση Τ του νήµατος. Ισχύει m x& F m x& F + T m x& x + T () ολ Έστω ο δίσκος είναι στραµµένος κατά γωνία θ σε σχέση µε την κατάσταση ισορροπίας. Στο δίσκο ασκούνται οι τάσεις Τ και Τ 3 των νηµάτων και η δύναµη Τ από το οριζόντιο ελατήριο. Οι Τ, Τ δίνουν ροπές µε αφορά αντίθετη της γωνίας θ, ενώ η ροπή της Τ 3 έχει την ίδια φορά µε τη θ. Ισχύει Iθ& M Iθ& Μ Μ Μ Iθ& Τ r T r T r (3) ολ T3 T T 3 7
Όµως η Τ οφείλεται στην επιµήκυνση του οριζόντιου ελατηρίου κατά x και άρα ισούται T x οπότε η (3) γράφεται Iθ& T r T r x r (5) 3 Στη γωνία θ αντιστοιχεί τόξο s για το µεγάλο δίσκο και τόξο s για το µικρό δίσκο. Από τη γεωµετρία του σχήµατος ισχύει x s rθ x& rθ& x& rθ& (6) x s rθ x& rθ & (7) Η () συνεπάγεται από (6) m rθ& crθ& T T m rθ& crθ& (8) Η () συνεπάγεται από (7) 3 3 Η (3) συνεπάγεται από, (8) και (9) m rθ& rθ +T T m rθ& + rθ (9) ( m rθ& crθ& ) r ( m rθ& + rθ) r r I θ & θr I θ& m r θ& cr θ& m r θ& + r θ r θ I θ& + m r θ& + cr θ& + m r θ& + r θ + r θ ( I + m r + m r ) θ + cr θ& + ( r + r ) θ & () Άρα το σύστηµα είναι ισοδύναµο µε ένα σύστηµα που εκτελεί στροφική ταλάντωση και έχει ροπή αδράνειας ( ) ( )..3 5. 3 I I + m r + m r I + + I gm () συντελεστή απόσβεσης και στιβαρότητα c cr () ( ) ( ) 5 4 r + r. +.3 49 N / m (3) 8
Ισχύει c cr ζ I.5 3x49 ζ ζ c c I I r.3 c 3367 Nsec/m 7. Ένα ηλεκτρονικό όργανο µάζας στηρίζεται σε ελατήρια που έχουν ισοδύναµη στιβαρότητα 4 N/m και ισοδύναµο συντελεστή απόσβεσης c Nsec/m. Το όργανο µετατοπίζεται κατά mm από τη θέση ισορροπίας και αφήνεται ελεύθερο. Να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης µετά από χρόνο ίσο µε 5 περιόδους και µετά από χρόνο ίσο µε περιόδους. c Το µέτρο απόσβεση είναι c ζ ζ ζ.4 m 4 () Επειδή ζ< το σώµα εκτελεί ταλάντωση µε υποκρίσιµη απόσβεση. Ισχύει ω Η συχνότητα απόσβεσης είναι 4 48.99ra / sec () m ( ) ω ω ζ ω 48.99.4 48.97 ra / sec (3) Η περίοδος της ταλάντωσης είναι π 3.4 T.8sec ω 48.97 H εξίσωση της κίνησης είναι m& x + cx& + x (5) 9
Επειδή ισχύει ζ < (6) η λύση σύµφωνα µε τη θεωρία είναι της µορφής όπου ( ω t θ) δt x( t) Ae cos (7) δ ζω.94 48.99 (8) Επίσης από θεωρία είναι v + δ x + δ x δ x A x + x + x + x + ω ω ω ω. +. +.4. m 48.97 (9) Από τη σχέση (7) παρατηρούµε ότι η µετατόπιση x(t) από τη θέση ισορροπίας είναι εξίσωση ταλάντωσης µε πλάτος δt X ( t) Ae () που ελαττώνεται σε σχέση µε το χρόνο. Ο χρόνος 5 περιόδων είναι t 5 5T 5.8.64sec () οπότε.64 X ( t5).e X ( t 5 ).6 m () Ο χρόνος περιόδων είναι t T.8.56sec (3) οπότε.56 X ( t ).e X ( t ).54 m
.3 Εξαναγκασµένη ταλάντωση 8. Ταλαντωτής µε µάζα m, στιβαρότητα και συντελεστή απόσβεσης c δέχεται σταθερή εξωτερική δύναµη (διέγερση) ίση µε f. Αν οι αρχικές συνθήκες είναι µηδενικές και η απόσβεση υποκρίσιµη να δειχθεί ότι η απόκριση του ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση f -δt x(t) - e cos( ω ) t -θ ζ - όπου c δ ζ, ω, δ ζω, tanθ, και ω ω -ζ. m m ω Η εξίσωση κίνησης της µάζας m του ταλαντωτή είναι m & x + cx&+ x f () Η γενική λύση της () είναι x( t) x ( t) x ( t) () h + p Αποδεικνύεται ότι µια µερική λύση της () είναι η f ( t) (3) x p Πράγµατι µε αντικατάσταση της (3) στο πρώτο µέλος της () καταλήγουµε στο δεύτερο µέλος f f f m + c + + + f f Επίσης για ζ< η λύση x h (t) της οµογενούς εξίσωσης είναι m & x + + cx& + x (5) ( ω t θ) δt x ( t) Ae cos (6) h όπου τα δ, ω δίνονται από τις σχέσεις δ ζω (7) ω ω ζ (8) Οι παράµετροι Α και θ προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες ως εξής: Από τις σχέσεις ( ), ( 3), (6 ) προκύπτει ότι δt f x( t) Ae cos( ω t θ) + (9)
Από ( 9) για t έχουµε x() Ae cos θ f Acos θ Από (9) µε παραγώγιση έχουµε ( ω ) ( ) δ + + f f Acosθ A cosθ + () δt f [ cos( t θ) ] + x( t) A e ω δt δt ( ) cos( ω t θ) + Ae cos( ω t ) f ( ) + x( t) A e θ δt ( ω t θ) Ae ω sin( ω t θ) δt x(& t) Aδe cos () Από την ( ) για t έχουµε δ ( ω θ) Ae ω sin( θ) δ x& ( ) Aδe cos ω v ( θ) A (- ) Aδ cos sin θ ω δ δ cosθ ω sinθ ω sinθ δ cosθ tanθ tanθ + ω ω ζ Από την () προκύπτει tanθ θ tan ζ ζ ζ ζ Η σταθερά θ δίνεται από τη σχέση (3). Η σταθερά Α υπολογίζεται ως εξής Ισχύει η τριγωνοµετρική ταυτότητα ζω () (3) sin θ sin θ cos θ + cos θ + tan θ + cos θ cos θ cos θ cos θ cos θ tan θ + και µε τη βοήθεια της σχέσης () ζ cos θ cos θ cosθ ζ (5) ζ + ζ Τελικά η σχέση () συνεπάγεται από τη σχέση (5)
f f A A cosθ ζ Με αντικατάσταση της σχέσης (6) στη σχέση (9) έχουµε (6) f δ t f x( t) e cos( ω ) t θ + ζ f δ t x( t) e cos t ζ ( ω θ ) (7) Η (7) είναι η απόκριση του ταλαντωτή σε διέγερση σταθερού φορτίου. Όταν δt t τότε e οπότε από την (7) προκύπτει f όταν t τότε x( t) 9. Το σχήµα παριστάνει το µοντέλο µιας µηχανής µε µάζα m, η οποία στηρίζεται σε θεµελίωση µε συντελεστή απόσβεσης c και ισοδύναµη στιβαρότητα. Το µηχανικό σύστηµα διεγείρεται από γνωστή διέγερση εδάφους η οποία οφείλεται σε λειτουργία γειτονικών συστηµάτων ή σεισµική διέγερση. Να δειχθεί ότι όταν η µετατόπιση της θεµελίωσης είναι αρµονική µε µορφή y( t) yˆ cosωt τότε η απόκριση η απόκριση της µηχανής στη µόνιµη κατάσταση είναι x( t ) xˆ cos Ωt -φ όπου x ˆ ( - n ) + ( ζn) ( ) Ποια η τιµή του ˆx όταν n και όταν n ( ) cω + yˆ Μηχανή (α) (β) (γ) θεµελίωση m x c F ελ F απ y 3
Στο σχήµα (α) δείχνεται η µηχανή µε τη θεµελίωση, ενώ στο σχήµα (β) το ισοδύναµο µοντέλο. Έστω η θεµελίωση µετατοπίζεται κατά y και η µάζα m κατά x προς τα κάτω όπως δείχνεται στο σχήµα (γ). Το ελατήριο από το κάτω άκρο τεντώνεται κατά y ενώ από το πάνω άκρο συσπειρώνεται κατά x. Η συνολική µεταβολή του µήκους του ελατηρίου είναι λ y x () Η δύναµη που ασκείται στο ελατήριο από τη µηχανή είναι λ Fε λ F λ ε ( y x) () η οποία δεν δείχνεται στο σχήµα. Οµοίως η δύναµη που ασκείται στη µηχανή από το ελατήριο είναι Fε ( y x) (3) λ µε αντίθετη φορά της F ε λ Η δύναµη απόσβεσης που ασκείται στη µηχανή είναι F a π cv όπου v είναι η σχετική ταχύτητα της µηχανής ως προς τη θεµελίωση Ισχύει v v v v y& x& (5) y x Η ( 4 ) συνεπάγεται από (5) F a c( y x& π & ) (6) Σύµφωνα µε το ο Νόµο του Νεύτωνα για τη µηχανή έχουµε ( y& x& ) mx & + cx& + x y cy mx & F + F mx & ( y x) + c + & ε απ (7) λ ίνεται ότι y yˆ cosωt (8) Είναι y& yω ˆ sinωt (9) Η (7) συνεπάγεται από τις ( 8 ), (9) cω mx& + cx& + x yˆ cosωt cyω ˆ sinωt mx& + cx& + x yˆ cosωt sinωt () Στην () θέτουµε cω tanψ () και γράφεται mx& + cx& + x yˆ cosωt tanψ sinωt ( ) sinψ mx& + cx& + x yˆ cosωt sinωt cosψ 4
yˆ mx& + cx& + x ( cosωtcosψ sinωt sinψ) cosψ yˆ mx& + cx& + x cos( Ωt + ψ) () cosψ Έχουµε δείξει (δες άσκηση, σχέση 4) ότι ισχύει cos ψ cos ψ cos ψ tan ψ + cω ( cω) + + cosψ ( ) cω + (3) Με αντικατάσταση της (3) στην () έχουµε yˆ mx& + cx& + x cos( Ωt + ψ) ( ) cω + ( ) cos( ) mx& + cx& + x yˆ cω + Ω t + ψ Αν θέσουµε τότε η (4 ) γράφεται ( ) fˆ yˆ cω + (5) mx & + cx & + x f ˆ cos( Ωt + ψ) (6) Η γενική λύση της ( 6 ) στη µόνιµη κατάσταση όπου ( ) x( t) xˆ cos Ωt + ψ φ (7) xˆ Τέλος η ( 8 ) συνεπάγεται από ( 5) ιερεύνηση της (9) xˆ ( n ) + ( ζn) ( n ) + ( ζn) fˆ ( ) cω + Για να κάνουµε τη διερεύνηση της σχέσης (9) πρέπει να αντικαταστήσουµε τα c, µε τα n, ζ. yˆ (8) (9) 5
Ως γνωστόν ισχύει c ζω c mζω () m Η ( 5 ) συνεπάγεται από την () ( ) ζω 4 ζ ω 4 ζ ω ω fˆ yˆ m Ω + yˆ m Ω + yˆ m n + 4 yˆ 4m ζ ω ˆ ˆ n + y 4m ζ n + y 4ζ n + m Άρα Τελικά η (9) συνεπάγεται από την () 4ζ ( ζ ) y ˆ n + y ˆ + n ( ζ ) f ˆ y ˆ + n () ( n ) + ( ζn) ( ζ n) y ˆ + xˆ ) n Για n η () είναι xˆ + ( ζ n) ( n ) + ( ζn) yˆ () ( ζ ) ( ) + ( ζ ) + xˆ yˆ xˆ yˆ xˆ yˆ Επίσης όταν Ω n Ω ω Άρα όταν συχνότητα ταλάντωσης του εδάφους είναι πολύ µικρότερη της ιδιοσυχνότητας της µηχανής το πλάτος της ταλάντωσης της µηχανής ισούται µε το πλάτος της µετατόπισης του εδάφους. ) n Από () έχουµε n + 4ζ + ( ζ n) + 4ζ n ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ n x y x y x yˆ 4 ( n ) + ( ζn) + n n + 4ζ n 4 4ζ n + + 4 n n n 6
n + 4ζ 4 + ζ n n xˆ yˆ xˆ yˆ n 4ζ 4ζ + + n 4 + + 4 n n n n n n Οπότε για n + 4ζ ( 4 ) ˆ + ζ x yˆ xˆ yˆ 4ζ ( + + ) + + ζ xˆ yˆ xˆ Επίσης όταν Ω n Ω ω Άρα όταν συχνότητα ταλάντωσης του εδάφους είναι πολύ µεγαλύτερη της ιδιοσυχνότητας της µηχανής το πλάτος της ταλάντωσης της µηχανής τείνει στο µηδέν.. Θερµοσίφωνας βάρους 55 Ν κρέµεται από οροφή µε ένα ελατήριο που έχει στιβαρότητα N/m. O θερµοσίφωνας εξαναγκάζεται σε ταλάντωση από µια αρµονική δύναµη πλάτους 5 Ν. Αν o συντελεστής απόσβεσης είναι 77 Nsec/m να βρεθούν: α) Η συχνότητα συντονισµού. β) Το πλάτος στο συντονισµό. Έστω f ( t) fˆ cosωt είναι η δύναµη. Η µάζα του θερµοσίφωνα είναι B 55 m 5.6g g 9,8 c α) Όπως αποδεικνύεται η τιµή της συχνότητας συντονισµού Ω δίνεται από τη σχέση και n ζ όταν. 77 ζ () 7
n όταν ζ > () όπου Ω n (3) ω Αρκεί να βρούµε το µέτρο απόσβεσης ζ. Είναι c 77 ζ.49 m 5.6 Άρα θα πάρουµε την περίπτωση που είναι ζ.77 Είναι Ω ζ Ω ω ζ ω (5) Η ιδιοσυχνότητα του συστήµατος είναι Οπότε µε αντικατάσταση στην (5) έχουµε ω 4. ra/sec m 5.6 (6) ( ) Ω 4..49 Ω 4..7 Ω. ra/sec (7) β) Το πλάτος της ταλάντωσης στο συντονισµό είναι µέγιστο και ισούται xˆ max X max xst (8) όπου X max (9) ζ ζ Η (8) συνεπάγεται από (9) και () και x st fˆ () fˆ 5 5 xˆ max xˆ ˆ max x max ζ ζ.49.49.98.87 ( ) x ˆ.533 m () max 8
. Ένας ηλεκτρικός κινητήρας θέτει σε κίνηση τους ρότορες δύο µηχανών στα άκρα του, (οι ρότορες των µηχανών δεν δείχνονται στο σχήµα) που έχουν µεγάλη ροπή αδράνειας σε σχέση µε το ρότορα του ηλεκτροκινητήρα. Για τη µελέτη της αναπτυσσόµενης στροφικής ταλάντωσης τα άκρα των αξόνων του κινητήρα µπορεί να θεωρηθούν ακίνητα. Στον ρότορα του ηλεκτροκινητήρα ασκείται µια ροπή M M cosωt µε M Nm και Ω 5 ra/sec λόγω κάποιας ηλεκτρικής δύναµης. Η ροπή αδράνειας του ρότoρα είναι I.5 gm και οι στιβαρότητες των δοκών είναι 35 Nm/ra. Να βρεθεί το πλάτος της προκύπτουσας στροφικής ταλάντωσης αν οι αποσβέσεις είναι αµελητέες. Είναι M Nm Ω 5 ra/sec I.5 gm 35 Nm/ra 35 Nm/ra I M M M Έστω ο ρότορας περιστρέφεται κατά γωνία θ λόγω της ροπή M. Τότε και οι άξονες περιστρέφονται κατά την ίδια γωνία. Στον ρότορα ασκούνται οι ροπές Μ από την ηλεκτρική δύναµη, και οι Μ, Μ από τους άξονες µε στιβαρότητα και αντίστοιχα. Η Μ έχει τη φορά στρέψεως (φορά της γωνίας θ) και οι Μ, Μ έχουν αντίθετη όπως δείχνεται στο σχήµα. θ Ισχύει όπου Iθ& Μ Iθ& M M M () ολ Μ M cosωt () Με αντικατάσταση των (), (3), στην () έχουµε Αν θέσουµε τότε η (5) γράφεται Μ θ (3) Μ θ ( ) I θ& M cosωt θ θ I θ& + + θ M cosωt (5) Η εξίσωση (7) είναι όµοια µε την εξίσωση + (6) I θ& + θ M cosωt (7) 9
mx+cx+x & & f ˆ cosωt (8) αρκεί να θέσουµε m I,, ˆ c f M (9) Η λύση της (8) ως γνωστόν είναι x( t) xˆ cos( Ωt φx ) () Άρα και η λύση της (7) θα είναι θ ( t) ˆ θ cos( Ωt φθ ) () Το πλάτος της ( ) ως γνωστόν είναι fˆ xˆ () mω + cω ( ) ( ) Αντίστοιχα το πλάτος της () θα είναι σύµφωνα µε τις σχέσεις (9) και () ˆ M ˆ M ˆ M θ θ θ IΩ ( IΩ ) + ( Ω) ( IΩ ) ˆ Τ ˆ ˆ θ θ θ + Ι Ω 35 + 35.5 5 7 65 ˆ θ.6 ra ˆ θ 4.9 o (3). Να βρεθεί η εξίσωση κίνησης του συστήµατος στο σχήµα (α). Να χρησιµοποιηθεί η γωνία στροφής ως συντεταγµένη. ίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το σηµείο περιστροφής Ι 7mL /48, το µήκος L της ράβδου, ΑΓ L/4, ΓΟ ΒΟ L/4, η στιβαρότητα του ελατηρίου, ο συντελεστής απόσβεσης c και η δύναµη F FcosΩt. A (α) F Γ Ο B c x θ F ελ F (β) F απ v
Έστω η ράβδος περιστρέφεται κατά γωνία θ. Το άκρο Α µετατοπίζεται κατά x και το άκρο Β µετακινείται µε ταχύτητα v. Στη ράβδο ασκούνται η αρµονική δύναµη F, η δύναµη F ελ από το ελατήριο και η δύναµη F απ από τον µηχανισµό απόσβεσης. Ισχύει F F cos Ωt () F x F θ ΑΟ () ελ ελ F cv F cθ& BΟ (3) απ ap Η ράβδος περιστρέφεται γύρο από το στήριγµα. Ισχύει Iθ& Μ Iθ& Μ M Μ Iθ& F AO F OB + F ΓΟ ολ Fελ Fαπ F ελ απ Με αντικατάσταση των (), (3), ( 3) στην έχουµε Iθ& θ ΑΟ AO cθ& BΟ OB + F cos Ωt ΓΟ & & + Iθ cos θ ΑΟ cθ OB ΓΟ F Ωt L L L L Iθ & cos θ + cθ & + F Ωt 4 4 4 & 9 L & + 6 6 4 9 L Iθ& θ L cθ& L + F cosωt 6 6 4 Iθ θ L cθ L F cos Ωt & & 9 L 6 6 4 (5) Iθ + L cθ + L θ F cos Ωt
3. Μια µηχανή µε µάζα 45 g στηρίζεται σε 4 παράλληλα ελατήρια µε στιβαρότητα x 5 N/m το καθένα. Η µηχανή λειτουργεί σε συχνότητα ra/sec και ταλαντώνεται µε πλάτος.5 mm λόγω αρµονικής διέγερσης που προέρχεται από αζυγοσταθµία της µηχανής. Να βρεθεί το πλάτος της διέγερσης αν οι αποσβέσεις είναι αµελητέες. Η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναµης που δέχεται η µηχανή λόγω αζυγοσταθµίας είναι f ( t) fˆ cosωt () Τα τέσσερα ελατήρια είναι παράλληλα οπότε η ισοδύναµη στιβαρότητα θα είναι x 5 4 8 N/m () Η εξίσωση της ταλάντωσης της µηχανής είναι Το πλάτος της ταλάντωσης είναι fˆ xˆ mx& + cx& + x fˆ cos Ωt (3) ( n ) + ( ζn) Επειδή οι αποσβέσεις είναι αµελητέες το ζ τείνει στο µηδέν, οπότε Είναι οπότε fˆ fˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x x f x n n ( n ) 5 8x ω 33.3 ra/sec (6) m 45 Ω n.5 (7) ω 33. (5) Με αντικατάσταση των (), (7) στη (5) έχουµε
( ) fˆ xˆ n fˆ.55x.5 8x 3 5 fˆ 3.58x N (8) 4. Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση µιας εξαναγκασµένης ταλάντωσης είναι I M m + x & + cx & + 5x cosωt () r r όπου m g, I. gm, r.m,.6x 5 N/m, c 64 Nsec/m, M Nm, Ω 8 ra/sec. Να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης. Η εξίσωση () είναι όµοια µε την εξίσωση όπου m x& + c x& + x fˆ cos Ωt ( ) I. m m + + + g (3) r c (.) c 64 Nsec/m x x x 5 5 5 5.6 8 N/m (5) ˆ M f N (6) r, Το πλάτος της λύσης x(t) της () είναι Είναι Οπότε Επίσης xˆ fˆ ( n ) + ( ζn) 5 8 ω ra/sec (8) m (7) Ω 8 n.9 (9) ω c 64 ζ.8 5 m 8 () Με αντικατάσταση των (5), (6) (9), () στην (7) έχουµε 3
Άρα ˆ 5 f 5 xˆ ( n ) + ( ζ n ) (.9 ) + (.8.9) 5 8.56 3 5.8 m 5.8 mm () x 5.8 mm 4