Απαρίθμηση και πληθικότητα συνόλου

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Απαρίθμηση και πληθικότητα συνόλου Ενότητα 2: Απαρίθμηση Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών

κάποια θεµελιώδη ερωτήµατα αν η έννοια του αριθμού είναι θεμελιώδης για την ανάπτυξη των μαθηματικών εννοιών... πότε ξεκινά η κατανόησή τους; πότε μπορούμε να διδάξουμε τους αριθμούς στα παιδιά; με ποιον τρόπο;

οργάνωση της παρουσίασης Θεωρητικές σχολές ερευνητικά δεδομένα μοντέλα για την ανάπτυξη της ικανότητας για απαρίθμηση Πρακτικές οδηγίες και συμβουλές για την τάξη Ενημέρωση για εννοιολογικά προβλήματα που θα προκύψουν στο μέλλον Βιβλιογραφία και υποστηρικτικό υλικό

βασικές έννοιες για τον αριθμό Οι βασικές έννοιες/δεξιότητες που συνδέονται άμεσα με την Αίσθηση του Αριθμού (Number Sense) - την κατανόηση της έννοιας του αριθμού: απαρίθμηση (counting) αίσθηση των πράξεων με αριθμούς ποσότητα (quantity) σχέσεις (relationships) αναπαραστάσεις (representation) οι παραπάνω είναι αλληλένδετες, εξίσου σημαντικές και επικαλυπτόμενες 4

μια ερώτηση τι είναι το 8; τι θα θέλατε να ξέρει ένας μαθητής ότι είναι το 8; 5

αίσθηση του αριθμού (Number Sense) Ορισμός Υπάρχει ποικιλία ορισμών και πραγμάτων που εννοεί κανείς με τον όρο Αίσθηση του Αριθμού Όλες οι προσεγγίσεις συγκλίνουν στο να δέχονται ότι ως Αίσθηση του Αριθμού εννοούμε την κατανόηση του είναι οι αριθμοί και των σχέσεων μεταξύ τους π.χ., ότι το 6 είναι μετά το 5, πριν το 8, μισό του 12, διπλάσιο του 3, 2 πάνω από 4, 1 χέρι κι ένα δάχτυλο, μια λέξη πριν το εφτά, το 6ο κουτάκι του πίνακα των αριθμών, ο αριθμός που είναι σαν ανάποδο 9 κι ακούει στο όνομα έξι, ανάμεσα σε άλλα πράγματα 6

βασικές έννοιες για τον αριθμό Οι βασικές έννοιες/δεξιότητες που συνδέονται άμεσα με την Αίσθηση του Αριθμού (Number Sense) - την κατανόηση της έννοιας του αριθμού: απαρίθμηση (counting) αίσθηση των πράξεων με αριθμούς ποσότητα (quantity) σχέσεις (relationships) αναπαραστάσεις (representation) οι παραπάνω είναι αλληλένδετες, εξίσου σημαντικές και επικαλυπτόμενες 7

Αίσθηση του Αριθμού "είναι μια αναδυόμενη δομή που αναφέρεται στην ρευστότητα και την ευελιξία του παιδιού με αριθμούς, η αίσθηση του τί σημαίνουν οι αριθμοί και η ικανότητα του παιδιού να εκτελεί νοερές μαθηματικές πράξεις όπως και να βλέπουν τον κόσμο κάνοντας συγκρίσεις." Russell Gersten, David Chard είναι να έχεις µια καλή διαίσθηση για τους αριθµούς και τις σχέσεις τους. Αναπτύσσεται σταδιακά ως αποτέλεσµα της διερεύνησης των αριθµών, αναπαριστώντας τους συµβολικά σε ποικίλα πλαίσια και σχετίζοντάς τα µε τρόπους που δεν περιορίζονται στους παραδοσιακούς αλγόριθµους 8

η σημασία της Αίσθησης του Αριθμού Η έρευνα δείχνει ότι η πρώιµη Aίσθηση του Aριθµού προβλέπει την σχολική επιτυχία σε µεγαλύτερες τάξεις της εκπαίδευσης περισσότερο από κάθε άλλη µεταβλητή της γνωστικής ανάπτυξης όπως η γλωσσική, η χωρική ανάπτυξη ή ανάπτυξη της µνήµης και της ικανότητας για ανάγνωση 9

βασικές έννοιες/δεξιότητες που συνδέονται άμεσα με την Αίσθηση του Αριθμού 10

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών απαρίθμηση Μια πλήρης κατανόηση της καταμέτρησης απαιτεί τη γνώση του συμβολικού συστήματος, δυνατότητα διαχείρισης ενός πολύπλοκου συνόλου διαδικασιών που απαιτεί υπόδειξη των αντικειμένων και χαρακτηρισμό τους με τα σύμβολα, και η κατανόηση ότι ορισμένες πτυχές της καταμέτρηση είναι απλώς προϊόν σύμβασης, ενώ οι άλλες βρίσκονται στην καρδιά της μαθηματικής αναγκαιότητας. (Kilpatrick, Swafford, & Findell, 2001, p. 159) 11

κάποιες επισημάνσεις για την απαρίθμηση Η απαρίθμηση περιλαμβάνει την απαγγελία μιας σειράς αριθμών και την εννοιολόγηση ότι ένα σύμβολο μπορεί να αναπαραστήσει μια ποσότητα Κατά τις πρώτες εμπειρίες των παιδιών με την απαρίθμηση, τα παιδιά δεν καταλαβαίνουν άμεσα τη σύνδεση ανάμεσα στην ποσότητα και στο όνομα του αριθμού (αριθμολέξη) και του συμβόλου που τον αναπαριστά. Η απαρίθμηση είναι ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο που συνδέεται άμεσα με την μελλοντική ανάπτυξη της εννοιολογικής κατανόησης της ποσότητας, της αξίας θέσης, των πράξεων, και της δομής του συνόλου των (φυσικών) αριθμών. 12

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών Απαρίθµηση/καταµέτρηση counting

σύµφωνα µε τον Piaget H κατανόηση του φυσικού αριθμού προϋποθέτει την ανάπτυξη της λογικής σκέψης δηλ. τα παιδιά θα πρέπει να μπορούν να επιτυγχάνουν σε δραστηριότητες που αφορούν συμπερίληψη σε ομάδα κατανόηση μέρους/όλου υπάρχουν περισσότερα κόκκινα τριαντάφυλλα ή τριαντάφυλλα; διατήρηση του αριθμού αν αλλάξουμε την έκταση του αριθμού αλλάζει και το πλήθος του; Αυτό δεν επιτυγχάνεται πριν το στάδιο των συγκεκριμένων λογικών ενεργειών, 5/6-12 ετών

λογικές αρχές σύµφωνα µε τον Piaget αν τα παιδιά δεν διατηρούν τον αριθμό δεν μπορούν να κατανοήσουν την έννοια του απόλυτου αριθμού δηλ. ότι 6 σημαίνει 6 πορτοκάλια ή 6 αυτοκίνητα μόνο αν τα παιδιά κατανοήσουν ότι ο αριθμός διατηρείται, εκτός αν κάτι αφαιρεθεί η προστεθεί στο σύνολο, θα μπορούν να κατανοήσουν τον απόλυτο αριθμό

λογικές αρχές σύµφωνα µε τον Piaget για να κατανοήσουν την πρόσθεση και αφαίρεση τα παιδιά θα πρέπει να έχουν κατακτήσει επιμέρους λογικούς κανόνες όπως: 5+2-2=5 4+3=3+4 Οι ανάλογες σχέσεις είναι πιο δύσκολες δύο εργάτες που δούλεψαν ο ένας 3 ώρες κι ο άλλος 5 πρέπει να μοιραστούν 24 ευρώ. οι σχέσεις αυτές απαιτούν λειτουργίες δευτέρου επιπέδου που τα παιδιά μπορούν να κάνουν μετά τα 11 χρόνια

λογικές αρχές σύµφωνα µε τον Piaget αρχή της μεταβατικότητας αν α>β και β>γ τότε α>γ αν α=β και β=γ τότε α=γ αλλιώς οι αριθμοί 1, 2, 3,... μπορούν να παπαγαλίζονται χωρίς να υπάρχει νόημα στο ότι το 3 είναι μετά το 2 η μέτρηση γίνεται στη βάση της αρχής της μεταβατικότητας αν β είναι το 1m, τότε μπορούμε να πούμε ότι α=γ=1m μόνο αν έχουμε κατακτήσει αυτή τη λογική αρχή

κριτική στη θεωρία του Piaget νεότερες προσεγγίσεις υποστήριξαν ότι η θεωρία του Piaget: υποτιμά τις ικανότητες των μικρών παιδιών η αποτυχία στις δραστηριότητες της διατήρησης και της συμπερίληψης οφείλεται σε άλλους, μεθοδολογικούς λόγους κυρίως, π.χ., παρερμηνεία των οδηγιών (βλ. Donaldson, 1978, Gelman, Gallistel, 1978) οι μαθητές ήδη από την προσχολική ηλικία μπορούν να καταμετρήσουν, χωρίς να επιτυγχάνουν στις δοκιμασίες του Piaget η ικανότητα των μαθητών να καταμετρούν είναι ένα εργαλείο που μπορεί ακόμα και να βοηθήσει τα παιδιά να περάσουν τις δοκιμασίες του Piaget

οι τρέχουσες αντιλήψεις η απαρίθμηση: παίζει καθοριστικό ρόλο στην οικοδόμηση των πρώτων αριθμητικών εννοιών του παιδιού αποτελεί τη βάση στην ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού από την απαρίθμηση θα κατανοήσει το παιδί ότι π.χ., το 7: είναι μια αριθμητική αυτόνομη οντότητα που δηλώνει το πλήθος ενός συνόλου (πληθικότητα) ταυτόχρονα αποτελείται από (7) επιμέρους μονάδες (μετρικότητα του αριθμού) είναι μετά το 6, και πριν το 8 (διατακτικότητα του αριθµού) και κάπως έτσι θα οικοδομηθούν και οι πράξεις

τι υπάρχει πριν την απαρίθµηση; τι κάνουν τα παιδιά πριν μάθουν να καταμετρούν; κατανοούν την πληθικότητα ενός συνόλου; πληθικότητα: το απόλυτο αριθμητικό μέγεθος η κοινή ιδιότητα του αριθμού που έχουν διάφορα σύνολα (π.χ., τα 2 πόδια µε τα 2 χέρια) καταλαβαίνουν τα παιδιά τις διαφορές δύο συνόλων ως προς το πλήθος; κάνουν προσθέσεις; Ναι...αλλά μόνο για 1 έως 3 (4;) αντικείμενα

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών άµεση εκτίµηση subijzing

Subi@zing: η άµεση εκτίµηση Έρευνες έδειξαν ότι οι άνθρωποι από πολύ μικροί είναι ικανοί να εκτιμήσουν αστραπιαία την ποσότητα αντικειμένων που είναι λιγότερα από τέσσερα ενώ χρειάζεται περισσότερο χρόνο για τέσσερα και πάνω αντικείμενα. Η ικανότητα αυτή του ανθρώπου ονομάστηκε subitizing, από το λατινικό 'subitus', που σημαίνει 'άμεσα'. αποτελεί βάση για την ανάπτυξη της ικανότητας για απαρίθμηση καθώς εκεί ενυπάρχει η ικανότητα αναγνώρισης αριθμήσιμων μονάδων κάποιοι λένε ότι είναι γρήγορη απαρίθμηση, π.χ., Clements, 1999 βλ. Kaufman, Lord, Reese, & Volkman, 1949; Klein & Starkey, 1988

Subitizing: η άµεση εκτίµηση Πείραμα απαρίθμησης πλήθους μαύρων τελειών τυπωμένων σε κάρτες. James McKeen Cattel 1886

Subitizing: η άµεση εκτίµηση Η άμεση εκτίμηση λειτουργεί και με κινήσεις ή και ήχους πειράματα με εξοικείωση/ανάκτηση ενδιαφέροντος βλ. Wynn, (1995) Με άμεση εκτίμηση οι μαθητές μπορούν να προβλέψουν τα αποτελέσματα των πράξεων Πειράματα με τη μέθοδο του 'µετασχηµατισµού' ή 'αριθµητικής πρόβλεψης βλ. Simon, T.J., Hespos, S.J., & Rochat, P., (1995). + =

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών τι γίνεται για αντικείµενα περισσότερα από 3; απαρίθμηση

απαρίθµηση: σαν ορισμός: απαρίθµηση είναι η δραστηριότητα η οποία περιλαµβάνει την απαγγελία µιας σειράς αριθµολέξεων, έτσι ώστε κάθε αριθµολέξη να συνδέεται µε µια αριθµητική µονάδα (Steffe & Cobb, 1988) περιλαμβάνει: την ικανότητα απαγγελίας της ακολουθίας των αριθμολέξεων στη σωστή, συμβατική σειρά (ένα, δύο, τρία,...) την ικανότητα αναγνώρισης ενός πλήθους διακριτών μονάδων που θεωρούνται αριθμήσιμες και την ικανότητα διάκρισης των αντικειμένων την ικανότητα συντονισμού των δύο παραπάνω δραστηριοτήτων έτσι ώστε κάθε αριθμολέξη να αντιστοιχίζεται σε μια αριθμητική μονάδα

αριθµολέξεις μέχρι 3 ετών, συνήθως τα παιδιά έχουν μάθει το «ένα» και το «δύο» και η εκμάθηση των υπολοίπων γίνεται σε συνδυασμό με την άμεση εκτίμηση

λίγα λόγια για τις αριθµολέξεις 5 επίπεδα ανάπτυξης της προφοράς των αριθμολέξεων: 1ο : απαγγελία της σειράς 1-20, ξεκινώντας πάντα από το 1, χωρίς όμως να μπορούν να πουν ποιος αριθμός είναι μετά από κάποιον συγκεκριμένο 2ο : μπορούν να πουν ποιος είναι μετά από κάποιον αριθμό (από 1-10), ξεκινώντας όμως την απαγγελία από το 1, π.χ., ποιος είναι μετά το 7; 1,2,3,4,5,6,7,8...το 8 3ο : μπορούν να πουν ποιος είναι μετά από έναν αριθμό από 1 έως 10 χωρίς να ξανά- απαγγείλουν, αλλά όχι για τους μεγαλύτερους 4ο : μπορούν να το κάνουν για κάθε αριθμό 1-30 5ο : μπορούν για κάθε αριθμό 1-100 Wright 1996 παραπλήσια και τα μοντέλα άλλων ερευνητών, π.χ., στο 5 ο επίπεδο τα παιδιά μπορούν να μετρούν σε ευθεία ή αντίστροφα ξεκινώντας από οποιονδήποτε αριθμό (Λεµονίδης, 1999)

απαγγελία και γλώσσα Διαφορετικές γλώσσες υποστηρίζουν ή και δυσκολεύουν τη μάθηση τέτοιων λέξεων ανάλογα αν ακολουθούν κανονικότητες ή όχι και από ποιον αριθμό και πάνω π.χ., Ελληνικά: δώδεκα, δεκατρία... Αγγλικά: twelve, thirteen,. Κινέζικα, Γιαπωνέζικα, Κορεάτικα: 12= δεκαδύο, 22=δύο δέκα δύο αυτές οι διαφορές επιδρούν στις επιδόσεις των μαθητών με τη χρήση των αριθμών

σύστηµα Braille.

Αρχές της απαρίθµησης

η ανάπτυξη της ικανότητας για απαρίθµηση Τα παιδιά μαθαίνουν γρήγορα να καταμετρούν (σε ηλικία 3 ή 4 χρόνων) γιατί έχουν μια μη- συνειδητή γνώση των αρχών της απαρίθμησης πάνω στις οποίες οργανώνεται η κατανόηση της μέτρησης ως τρόπο αναγνώρισης της πληθικότητας ενός συνόλου: Αρχές της απαρίθμησης: Την αρχή της ένα προς ένα αντιστοιχίας: να αποδίδουν μία και μόνο μία τιμή σε κάθε αντικείμενο Την αρχή της σταθερής σειράς: Να αποδίδουν τους αριθμούς πάντα με την ίδια σειρά Την αρχή της πληθικότητας: Ο τελευταίος αριθμός που ακούγεται ορίζει το πλήθος του συνόλου Την αρχή της αφαίρεσης: οι παραπάνω αρχές μπορούν να εφαρμοστούν σε οποιοδήποτε σύνολο αντικειμένων (ή και πέρα από αντικείμενα) Την αρχή της ανεξαρτησίας της σειράς: η σειρά απαρίθμησης δεν έχει σημασία Gelman & Gallistel, 1978

που στηρίζεται η υπόθεση της ύπαρξης αρχών απαρίθµησης; Τα παιδιά κάνουν λάθος στο μέτρημα αλλά αποδίδουν έναν αριθμό σε κάθε αντικείμενο μπορούν να παραβλέψουν ένα ή να μετρήσουν το ίδιο δύο φορές αρχή του ένα προς ένα Λένε πάντα αριθμούς με μία σταθερή σειρά ακόμα και αν χρησιμοποιούν μια ιδιοσυγκρασιακή σειρά και όχι τη συμβατική (1, 2, 3,...) π.χ., 1, 3, 6...1, 3, 6 αρχή της σταθερής σειράς Λένε τον τελευταίο αριθμό με εξαιρετική έμφαση αρχή της πληθικότητας Μπορεί και να αρχίσουν από τη μέση αλλά ολοκληρώνουν τη μέτρηση της ανεξαρτησίας της σειράς Μετρούν χρώματα, ήχους, κτλ. με τον ίδιο τρόπο αρχή της αφαίρεσης Οι αρχές τηρούντα αλλά κάποια λάθη εμφανίζονται λόγο δυσκολιών να συνδυαστούν σωστά οι αρχές ειδικά για μεγαλύτερα σύνολα και σε πιο πολύπλοκες καταστάσεις Gelman & Gallistel, 1978

συµπέρασµα από τα προηγούµενα Τα παιδιά χρησιμοποιούν με συστηματικότητα της αρχές της απαρίθμησης Μπορούν να κρίνουν όταν μία κούκλα απαριθμεί άλλοτε σωστά κι άλλοτε λάθος και επισημαίνουν αν παραβίασε κάποια από τις αρχές Ειδικά σε ολιγομελή σύνολα σε μεγαλύτερο πλήθος μπερδεύονται Gelman & Gallistel, 1978

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών οι αρχές της απαρίθμησης πιο αναλυτικά 35

αρχή της ένα προς ένα αντιστοιχίας Τα παιδιά πρέπει να συγχρονίζουν δύο διαδικασίες: διαχωρισμός: διάκριση σε δύο κατηγορίες: αυτά που έχουν ήδη μετρηθεί και αυτά που μένουν να μετρηθούν επονομασία κάθε στοιχείο παίρνει ένα όνομα Στρατηγική: άγγιγμα, μετακίνηση, προσήλωση του βλέμματος Λάθη: λάθη στο διαχωρισμό: αντιστοίχιση του ίδιου όρου σε παραπάνω αντικείμενα, ή η υπερπήδηση ενός αντικειμένου λάθη μη- συντονισμού: συνεχίζουν την απαρίθμηση ενώ έχουν τελειώσει τα αντικείμενα ή να σταματούν την απαρίθμηση πριν τελειώσουν τα αντικείμενα

αρχή της ένα προς ένα αντιστοιχίας 2 πως καταλβαίνουμε αν και πότε έχει γίνει κατανοητή η αρχή; αν τα παιδιά αυτόματα υιοθετήσουν μία στρατηγική με ορόσημα (από που ξεκίνησα να μετρώ) ή μια στρατηγική διαχωρισμού των μετρημένων από αυτά που μένουν να μετρηθούν, τότε σίγουρα έχουν κατανοήσει την ένα- προς- ένα αντιστοιχία η τυχαία διάταξη μπορεί να δώσει πιο σωστά δεδομένα για τη δυνατότητα απαρίθμησης ενός παιδιού (βλ. Fuson) δηλαδή βάζουμε τα παιδιά να μετρήσουν σύνολα που δεν είναι διατεταγμένα σε σειρά, αλλά είναι μπερδεμένα 37

αρχή της πληθικότητας Το να μπορείς να πεις τον αριθμό που δηλώνει το πλήθος ενός συνόλου Οι Gelman & Galistel υποστηρίζουν ότι εφόσον οι μαθητές δίνουν έμφαση στην τελευταία λέξη, έχουν κατανοήσει την αρχή της πληθικότητα 1 2 3 4 5 6... 6!! κουκκίδες H Fuson, 1988, υποστήριξε ότι αυτό δε σημαίνει απαραίτητα ότι έχουν κατανοήσει την πληθικότητα καθώς τα παιδιά μπορεί να δώσουν έμφαση στην τελευταία λέξη αλλά να μην μπορούν να απαντήσουν στην ερώτηση «πόσα;». Μπορεί τα παιδιά να έχουν καταλάβει ότι πρέπει να καταλήγει η μέτρησή τους σε έμφαση της τελευταίας λέξης Στην ερώτηση «πόσα είναι;» τα παιδιά μπορεί να δίνουν μια μηχανική απάντηση που υποδηλώνει μια ημιτελής, διαδικαστική και μηχανική Αν αλλάξεις την ερώτηση «πόσα αντικείμενα υπάρχουν...» δεν μπορούν να το κάνουν

αρχή της πληθικότητας 2 Πως μπορούμε να γνωρίζουμε πότε οι μαθητές έχουν κατακτήσει την αρχή της πληθικότητας; Κάνε την ερώτηση «πόσα;» αν επαναλάβει την τελευταία λέξη τότε μπορούμε να είμαστε σίγουροι για την αρχή της πληθικότητας π.χ., το παιδί λέει «ένα, δύο, τρία, τέσσερα, είναι τέσσερα αν δεν την επαναλάβει, ξανακάνουμε την ερώτηση «πόσα;» αν ξαναμετρήσει τότε νομίζει ότι στο «πόσα» πρέπει να επαναλάβει τη διαδικασία και όχι να δώσει το αποτέλεσμα της προηγούμενης απαρίθμησης άλλαξε την ερώτηση και δες τι κάνουν: «πόσα αντικείμενα υπάρχουν...» Συνήθως αναπτύσσεται μέχρι την ηλικία των 4 1/2 (Fuson & Hall, 1983)

αρχή της πληθικότητας 3 Πως μπορούμε να γνωρίζουμε πότε οι μαθητές έχουν κατακτήσει την αρχή της πληθικότητας; Ξεκινήστε την απαρίθμηση από το 2 ή και μεγαλύτερο αριθμό και απαντήστε «πόσα είναι;» όσα παιδιά απαντούν με την τελευταία λέξη για να δηλώσουν την πληθικότητα δεν έχουν κατανοήσει την πληθικότητα για την πλήρη κατανόηση της πληθικότητας θα πρέπει και να κατασκευάσουν σύνολα με συγκεκριμένο πλήθος: παιδιά 3 1/2-4 1/2 μπορούν να κατασκευάσουν ισοπληθή σύνολα με ένα δοσμένο, με την ένα προς ένα αντιστοιχία (Sophian, 1992) χωρίς δοσμένο σύνολο τα παιδιά φτιάχνουν το ζητούμενο σύνολο κάνοντας χρήση διαφόρων στρατηγικών όπως της άμεσης εκτίμησης (για 1-3 αντικείμενα) ή της απαρίθμησης

αρχή της αφαίρεσης Αφορά το τι είναι απαριθµήσιµο Φαίνεται πως τα παιδιά αντιλαμβάνονται ακόμα και αφηρημένες ιδιότητες ως πράγματα και τα καταμετρούν Gelman & Gallistel Έτσι, μπορούν να μετρούν χρώματα, ήχους, κινήσεις, νοητικά αντικείμενα όπως το κάνουν για τα αντικείμενα.

αρχή της ανεξαρτησίας της σειράς H κατανόηση ότι δεν έχει σημασία ποια λέξη αποδίδεται σε ποιο αντικείμενο Aποτελεί άμεση αναγνώριση των τριών άλλων αρχών της απαρίθμησης πως γίνεται να καταλάβουν αν κάποιος έχει κατανοήσει την αρχή της ανεξαρτησίας της σειρά; με μέτρηση με συνθήκες Μέτρηση με συνθήκες: Mετά τα 5 έτη μπορούν τα παιδιά να «απαριθμούν με συνθήκες» (βλ. Λεµονίδης, 1999) π.χ να ξεκινάει από διαφορετικό αντικείμενο, ή με διαφορετική λέξη στο ίδιο αντικείμενο Ακόμα κι αν μπορούν να απαριθμούν με διαφορετικές διαδοχές δεν είναι πάντα ικανά να προβλέψουν το πλήθος του συνόλου άρα δεν έχουν καταλάβει ότι η διαφορετική σειρά θα επιφέρει το ίδιο συμπέρασμα π.χ., δεν μπορούν να απαντήσουν πόσα θα βρουν πριν επαναλάβουν τη μέτρηση

άλλοι ερευνητές βρίσκουν λάθη Συνηθισμένα λάθη στα μικρά παιδιά (μέχρι 3.5 ετών) είναι ότι: χρησιμοποιούν την ίδια αριθμολέξη για περισσότερα από ένα αντικείμενα περισσότερες αριθμολέξεις για λιγότερα αντικείμενα παραλείπουν κάποιο αντικείμενο σταματούν την αρίθμηση πριν την εφαρμόσουν σε όλα τα αντικείμενα συνεχίζουν την απαγγελία αριθμολέξεων ενώ έχουν τελειώσει τα αντικείμενα Τα παραπάνω δείχνουν μια ασταθή γνώση των αρχών της απαρίθμησης (βλ. π.χ., Nunes & Bryant, 2007)

Αρχές ή δεξιότητες; Άλλη μια διχογνωμία: Οι μηχανισμοί της απαρίθμησης (οι δεξιότητες) είναι σύνθετοι και στηρίζονται, καθοδηγούνται και ελέγχονται από τις αρχές απαρίθμησης που υπάρχουν εκ των προτέρων Gelman & Gallistel Τα παιδιά αρχικά κάνουν απαρίθμηση μηχανικά, διαδικαστικά, με απομίμηση και διαρκείς δοκιμές χωρίς απαραίτητα να έχουν κατακτήσει τις αρχές της απαρίθμησης αυτές κατασκευάζονται εκ των υστέρων από τη διόρθωση και την εξάσκηση Siegler (1984)

κριτική στη Gelman παιδιά απαριθμούν ως μια ρυθμική διαδικασία που αρχίζει και τελειώνει όταν η σειρά με τα αντικείμενα τελειώνει αν τα αντικείμενα δεν είναι σε σειρά, τα παιδιά κάνουν λάθη και δεν τηρούν τις αρχές της απαρίθμησης ειδικά της ένα- προς- ένα αντιστοιχίας μετρούν ξανά το ίδιο αντικείμενο ή δεν μετρούν κάποια αντικείμενα

απαρίθµηση ως δεξιότητα τα παιδιά συχνά μπορούν να απαριθμήσουν σωστά αλλά αυτό δε σημαίνει ότι έχουν κατανοήσει ότι η απαρίθμηση είναι ένα εργαλείο που μπορεί να χρησιμεύσει στη σύγκριση συνόλων, ή στις πράξεις, ή στη δημιουργία ίσων συνόλων π.χ., παιδιά που απαριθμούν σωστά δεν μπορούν να φτιάξουν ένα σύνολο, π.χ., με 5 αντικείμενα, αν δεν υπάρχει ένα δοσμένο τέτοιο που θα μπορούσαν να αντιγράψουν παιδιά ενώ έχουν καταμετρήσει δύο σύνολα και βρήκαν το ίδιο πλήθος παρόλα αυτά δεν μπορούν να απαντήσουν αν είναι ίσα και ξανά- απαριθμούν παιδιά που ξέρουν να απαριθμούν σωστά μπερδεύονται με έργα όπως τα έργα διατήρησης και λένε ότι μια πιο αραιή σειρά έχει περισσότερα αντικείμενα (βλ. έργα διατήρησης Piaget)

απαρίθµηση ως δεξιότητα παράδειγμα σε ένα πείραμα οι Frydman & Bryant (1988) ζήτησαν από παιδιά 4 ετών να μοιράσουν σε δύο κούκλες ένα σύνολο από ζαχαρωτά. ξεκίνησε μία διαδικασία «ένα για μένα ένα για σένα» κι αφού ολοκληρώθηκε ο ερευνητής απαρίθμηση δυνατά το σύνολο της μίας κούκλας και ρώτησε πόσα έχει η άλλη πολλά παιδιά δεν μπορούσαν να συνάγουν το αριθμό με τη λογική και έπρεπε να απαριθμήσουν το πλήθος της δεύτερης κούκλας

σηµασία της απαρίθµησης έστω κι αν η ύπαρξη δεξιοτήτων απαρίθμησης δεν σημαίνει απαραίτητα και πλήρη κατανόησης της διαδικασίας ως ένα χρήσιμο εργαλείο για την κατανόηση και χρήση του αριθμού παρόλα αυτά τα παιδιά μπορούν να ενισχυθούν στη χρήση της ως εργαλείο σιγά σιγά θα κατανοήσουν ότι μπορούν να τη χρησιμοποιούν για να βγάζουν συμπεράσματα όσον αφορά τον πλήθος και τον ίδιο τον αριθμό πρέπει να χρησιμοποιηθεί σε ποικιλία περιστάσεων και να τονίζεται το νόημα της διαδικασίας

το σύνολο των αρχών της απαρίθµηση (οι βασικές:) Η αρχή της ένα προς ένα αντιστοιχίας: να αποδίδουν μία και μόνο μία τιμή σε κάθε αντικείμενο Η αρχή της σταθερής σειράς: Να αποδίδουν τους αριθμούς πάντα με την ίδια σειρά Η αρχή της πληθικότητας: Ο τελευταίος αριθμός που ακούγεται ορίζει το πλήθος του συνόλου Η αρχή της αφαίρεσης: οι παραπάνω αρχές μπορούν να εφαρμοστούν σε οποιοδήποτε σύνολο αντικειμένων (ή και πέρα από αντικείμενα) Η αρχή της ανεξαρτησίας της σειράς: η σειρά των αντικειμένων που απαρίθμούνται δεν έχει σημασία και (κάποιες ακόμα) Η κίνηση είναι ποσότητα: αν πάμε κατά ένα (ή άλλον αριθμό) επάνω αυτό σημαίνει αύξηση της ποσότητας κατά ένα (ή άλλον αριθμό) και αν κινηθούμε κάποιους προς τα κάτω, αυτό σημαίνει μείωση της ποσότητας των αντικειμένων ομαδοποίηση σε δεκάδες: στο δεκαδικό σύστημα οι αριθμοί ομαδοποιούνται σε δεκάδες που συμβολίζονται με ένα ακόμα ψηφίο αριστερά του μονοψήφιου αριθμού (στη θέση της δεκάδας) και αντίστοιχα σε δεκάδες των δεκάδων (εκατοντάδες) κτλ. π.χ., στην απαρίθμηση ανά 10 (13, 23, 33,...) η ποσότητα αυξάνει κατά 10

η μάθηση της απαρίθμησης πριν το Νηπιαγωγείο τα παιδιά ενώ αρχικά δεν κατανοούν τη σταθερότητα της σειράς των αριθμών γρήγορα την αναπτύσσουν δυσκολεύονται να κατανοήσουν ότι μπορούν να απαριθμήσουν διαφορετικά σύνολα που όμως να είναι ισόποσα, π.χ., εκπλήσσονται όταν 5 μπορεί να είναι τα 5 μολύβια και τα 5 πουλιά, κι ότι 5 μπορεί είναι τα 2 μολύβια και τα 3 στυλό αν απαριθμείς τα πράγματα στην κασετίνα. Δυσκολεύονται να κατακτήσουν την ένα προς ένα αντιστοιχία ειδικά για μικρές ποσότητες και τη σημασία της στη δημιουργία ισόποσων συνόλων Δυσκολεύονται να καταλάβουν ότι κάθε αντικείμενο που καταμετρήθηκε απέκτησε έναν αριθμό/ταμπέλα 50

η μάθηση της απαρίθμησης πριν το Νηπιαγωγείο θεωρούν ότι αν μετρήσεις γρήγορα ή αργά έχει επίπτωση στην πληθικότητα κι ότι δισύλλαβες αριθμολέξεις αντιστοιχούν σε περισσότερα αντικείμενα, π.χ., sev- en represents two items; μόνο αργότερα κατακτούν την αρχή της πληθικότητας και την αρχή της αφαίρεσης (αν ρωτήσεις πόσα; δεν αισθάνονται την ανάγκη να ξαναμετρήσουν και ξέρουν ότι ο τελευταίος αριθμός δηλώνει ο πλήθος του συνόλου έχουν δυσκολία να απαριθμήσουν μεγάλα σύνολα γιατί είναι περιορισμένες οι στρατηγικές τους να ξεχωρίζουν τα αντικείμενα που έχουν ήδη καταμετρηθεί από τα άλλα και ταυτόχρονα να διατηρούν τη σταθερή σειρά της απαρίθμησης 51

η μάθηση της απαρίθμησης στο Νηπιαγωγείο Τα Νήπια: αναγνωρίζουν τη διαδικασία της απαρίθμησης ως τρόπο σύγκρισης ποσοτήτων και τη δυνατότητα που προσφέρει στο να αποφασίζουν αν μια ποσότητα είναι μεγαλύτερη, μικρότερη ή ίση με κάποια άλλη. η απαρίθμηση μέχρι το 30 πριν το τέλος του Νηπιαγωγείου μπορεί να έχει κάποιες δυσκολίες ειδικά στο πέρασμα 19-20, 29-30. μπορεί να λένε δεκαένα, δεκαδύο κτλ λόγω της γενίκευσης που κάνουν στον κανόνα της παραγωγής αριθμολέξεων της δεκάδας - ενώ έχουν λιγότερες δυσκολίες στους αριθμούς 20-30 μπορούν να απαριθμούν μέχρι το 30 αλλά δεν μπορούν όλα τα παιδιά να ξεκινήσουν από οποιονδήποτε αριθμό παρά μόνο από την αρχή. π.χ., δυσκολεύονται να μετρήσουν από το 10-30, να πουν ποιος αριθμός είναι μετά το 17 ή πριν από έναν αριθμό, ενώ μπορούν να απαριθμήσουν ανάποδα 52

Παιδαγωγικό Τµήµα Νηπιαγωγών πρακτικές συµβουλές και οδηγίες για τη διδασκαλία της απαρίθμησης στο νηπιαγωγείο

τι ξέρουν οι µαθητές του νηπιαγωγείου; Ανάλογα με το κοινωνικό- πολιτικό υπόβαθρο του παιδιού και την ανάπτυξή του: υπάρχουν παιδιά που έρχονται στο νηπιαγωγείο γνωρίζοντας να καταμετρούν μέχρι και το 10 άλλα παιδιά δεν γνωρίζουν, κάνουν λάθη και μπερδεύονται δεν ξέρουν ούτε τη συμβατική σειρά των αριθμολέξεων ούτε την εφαρμόζουν σωστά στα αντικείμενα

κάποιες επισηµάνσεις Οι μαθητές αρχικά καταμετρούν δείχνοντας ή μετακινώντας τα αντικείμενα Πιο εύκολα μετρούν τρισδιάστατα αντικείμενα και μετά δισδιάστατα Υπάρχει μεγαλύτερη δυσκολία στην απαρίθμηση συνόλου σε τυχαία διάταξη από την απαρίθμηση συνόλου με συγκεκριμένη δομή Πιο εύκολη είναι η διάταξη σε γραμμή Δεν υπάρχει κανείς λόγος να το κάνουμε πιο δύσκολο για τους μαθητές που δεν τα καταφέρνουν Άρα: μέχρι να κατανοήσουν τις αρχές της απαρίθμησης καλό είναι: Χρήση δαχτύλων και απόδοσή τους αριθμούς Να γίνεται διαρκώς η σύνδεση ανάμεσα στην αύξηση του αριθμού που σημαίνει αύξηση της ποσότητας Να χρησιμοποιούνται αντικείμενα χειροπιαστά που να μετακινούνται Αρχικά τρισδιάστατα και ύστερα δισδιάστατα Σύνολα με συγκεκριμένη και καθαρή διάταξη στο χώρο

κατανόηση της σειράς των αριθµολέξεων Χρησιμοποιείστε τα δάκτυλα σαν εξωτερικά αντικείμενα προς απαρίθμηση. Δείξτε το διαχωρισμός σε μετρημένα (κλειστά) δάχτυλα και μη- μετρημένα (ανοιχτά) Ομαδοποίηση της πεντάδας: το ένα χέρι είναι 5 χωρίς να τα μετράω και μετρά από κει και πάνω χέρι και 3 =8, χέρι και χέρι 10 56

διδακτικές πρακτικές Εργασία απαρίθμησης διαφόρων συνόλων αντικειμένων δυνατά και καθαρά σημασία της οικειοποίησης του μαθηματικού λόγου ως διαδικασία ανάπτυξης των μαθηματικών εννοιών (βλ. Sfard) σημασία της συμμετοχής του σώματος Ατομικές και ομαδικές δραστηριότητες απαρίθμησης χρήση ιστοριών/λογοτεχνία για εφόρμηση Μέτρηση ήχων π.χ., κέρματα που πέφτουν ένα σε τενεκεδάκι Βιωματικές δραστηριότητες: φτιάξτε δύο ομάδες με ίδιο αριθμό μαθητών - μετρήστε αν είναι ίδιοι μπείτε σε μία ομάδα και ξαναμετρήστε - βγάλτε δύο παιδιά και ξαναμετρήστε Παιχνίδια: ντόμινο, ζάρι, γκρινιάρης sesame street

κατανόηση της αρχής της ανεξαρτησίας της σειράς Βάλτε τους μαθητές να καταμετρήσουν ένα σύνολο αντικειμένων για να απαντήσουν στην ερώτηση «πόσα είναι;» Μπερδέψτε τα αντικείμενα αλλάξτε τη διάταξή τους και ξαναρωτήστε «πόσα είναι;» ή ξεκινήστε την αρίθμηση από άλλο αντικείμενο Αν ξανά- καταμετρήσουν σημαίνει ότι δεν έχουν κατανοήσει την αρχή της διαφορετικής διάταξης Ζητήστε τους να εκτιμήσουν «πόσα είναι;» αν τα ξαναμετρήσουμε ξεκινώντας από άλλο αντικείμενο κάθε φορά Κουβεντιάστε γιατί ο αριθμός βγαίνει πάντα ίδιος

κατανόηση της αρχή της αφαίρεσης Δώστε στους μαθητές να απαριθμήσουν σύνολα με ίδιο πλήθος στοιχείων αλλά διαφορετικά σε επιφανειακά χαρακτηριστικά της μορφής: πιο μεγάλα αντικείμενα πιο μικρά ήχους, χρώματα, κινήσεις να μετρήσουν νοητικά αντικείμενα (π.χ., τα παράθυρα του σπιτιού τους, τους μαρκαδόρους στην κασετίνα τους) κάντε μια κουβέντα για τις ομοιότητες και τις διαφορές «σας φάνηκε περίεργο που ο αριθμός είναι ίδιος για τόσο διαφορετικά πράγματα;» σκεφτείτε πράγματα που έχουν ίδιο αριθμό αλλά είναι διαφορετικά π.χ., έχω 5 δάχτυλα, 5 μολύβια, στην οικογένειά μου είμαστε 5, έχω 5 διαφορετικά καπέλα

κατανόηση της αρχής της πληθικότητας Δώσε σύνολα αντικειμένων Κάνε την ερώτηση «πόσα;» θα πρέπει να επαναλαμβάνουν την τελευταία λέξη χωρίς να επαναλαμβάνουν την απαρίθμηση Άλλαξε την ερώτηση: «πόσα αντικείμενα υπάρχουν...» Ξεκινήστε την απαρίθμηση από το 2 ή και μεγαλύτερο αριθμό και απαντήστε «πόσα είναι;» όσα παιδιά απαντούν με την τελευταία λέξη για να δηλώσουν την πληθικότητα δεν έχουν κατανοήσει την πληθικότητα Κρύψτε έναν αριθμό αντικειμένων (π.χ., 4 αντικείμενα) και συνεχίστε την απαρίθμηση από τον κρυμμένο αριθμό Ζητείστε να κατασκευάσουν σύνολα με συγκεκριμένο πλήθος: αρχικά ισοπληθή σύνολα με ένα δοσμένο, στη συνέχεια χωρίς δοσμένο σύνολο εργασίες: εποχιακές συλλογές αντικειμένων με ίδιο πλήθος (φύλλα, χελιδόνια, κόκκινα αυγά, ψάρια)

κατανόηση της σειράς των αριθμολέξεων χρησιμοποιήστε τραγουδάκια ώστε τα παιδιά να μάθουν την σειρά των αριθμών σύνδεση των λέξεων της πρώτης δεκάδας δέκα-... με τα ονόματα των μονοψήφιων αριθμών (1-9), με ιδιαίτερη προσοχή στη σχέση του έντεκα με το δέκα- ένα, και του δώδεκα, και μετά το ίδιο για τα είκοσι-... και μετά για τα - άντα (τριάντα, σαράντα,...) ο αριθμός 9 πάντα τερματίζει τη δεκάδα (π.χ., 29, 39, 49). το μοτίβο 10, 20, 30,... ακολουθεί το ίδιο μοτίβο με το 1, 2, 3,.... το ίδιο μοτίβο επαναλαμβάνεται με τις εκατοντάδες (110, 200, 300,...) το μοτίβο της απαρίθμησης 1-10, θα ακολουθηθεί στους 101-110 και το μοτίβο της σειράς των αριθμών 1-100 θα ακολουθηθεί στους 200-300, 300-400, κοκ

αυθεντικές καταστάσεις με νόημα παίξτε το παιχνίδι της εκτόξευσης: μετρήστε ανάποδα από 10 μέχρι το 1 και στο μηδέν φωνάξτε εκτόξευση ή απογείωση ή νίκη σε αγώνα πυγμαχίας τραγούδια, ιστορίες και παραμύθια όπου επαναλαμβάνεται η σειρά των αριθμολέξεων, ίσα ή ανάποδα και από διαφορετικές ενάρξεις, και ακόμα καλύτερα να εστιάζουν στους μη- κανονικούς αριθμούς (έντεκα, δώδεκα) π.χ., το παιχνίδι τράπεζα που μετρά χαρτονομίσματα, 62

...προς το τέλος χρησιμοποιείστε το αριθμητήριο εισάγετε το μοντέλο της αριθμογραμμής που θα χρησιμοποιηθεί αργότερα για πράξεις και περαιτέρω ανάπτυξη της έννοιας του αριθμού βάλτε τους μαθητές να καταμετρήσουν τις χαράξεις μιας αριθμογραμμής σε πυκνή χάραξη σε αραιή χάραξη

...προς το τέλος Εισάγετε στις αριθμητικές πράξεις υπό μέσα από την απαρίθμηση Μετρήστε 6 αντικείμενα Μετρήστε 3+3 αντικείμενα Μετρήστε 2+4 αντικείμενα 4+2 1+5

τι καταφέραµε; Θεμελιώσαμε την έννοια του αριθμού με βάση τις αρχές και τις δεξιότητες της απαρίθμησης τις αριθμολέξεις (ένας αριθμός μία λέξη) την διακριτότητα των αντικειμένων και των αριθμών που τα χαρακτηρίζουν τις σχέσεις των αριθμών (επόμενος προηγούμενος) πράξεις με αριθμούς (προσθέτω και μεγαλώνει) Θεμελιώθηκε ο αριθμός: Στο επίπεδο των διαφόρων αντικειμένων και αναπαραστάσεων Στο επίπεδο του λόγου (βλ. οικειοποίηση του μαθηματικού λόγου, Sfard, 2007) Στο ενσώματο επίπεδο

βρείτε εκπαιδευτικό υλικό εδώ hžp://www.sesamestreet.org/el hžp://www.kidport.com hžp://www.educajon.com hžp://www.mathwire.com hžps://www.teachingchannel.org/videos/ mingle- count- a- game- of- number- sense