O XΡONOΣ. Προοίµιο. Γιατί έγινε αυτό το δοκίµιο;

1 O XΡONOΣ Προοίµιο Γιατί έγινε αυτό το δοκίµιο; Ο χρόνος στις Φυσικές επιστήµες εµφανίζει χαρακτηριστικά, που τον φέρνουν να είναι προσωπική υπόθεση κάθε ανθρώπου. Εµφανίζεται να συστέλεται ή να διαστέλεται ανάλογα µε την θέση ή την κινητική κατάσταση του παρατηρητή, να µεταβάλλεται προς µία κατεύθυνση ή την αντίθετή της, ανάλογα µε την οργάνωση ή αποδιοργάνωση του συστήµατος που µελετά ο παρατηρητής. Τα προηγούµενα σπρώχνουν τον µελετητή προς µία κατεύθυνση διαχωρισµού του χρόνου σε φυσικό χρόνο, που εξαρτάται από τις µετρήσεις, µε όλα τα παραπά νω χαρακτηριστικά, και σε απόλυτο ιδεατό χρόνο, εκείνον της φιλοσοφίας, που παραµένει σταθερός µη εξαρτώµενος από ανθρώπινες παρεµβάσεις. Στην περίπτωση που προβούµε σε έναν τέτοιο διαχωρισµό, όλοι και περισσότερο οι φιλόσοφοι αντιλαµβάνονται ότι πρέπει να βρεθεί µία γέφυρα από τον ιδεατό προς τον φυσικό χρόνο, ειδάλλως ο πρώτος δεν έχει καµία αξία και η φιλοσοφία αποξενώνεται από την πραγµατικότητα. Η Φυσική επιστήµη από την άλλη πλευρά είναι υποχρεωµένη να πορευθεί µε όλα αυτά τα τερτίπια προσπαθώντας να βρεί στον χρόνο πέρα από τα προηγούµενα και αντικειµενικά χαρακτηριστικά, γιατί η Φυσική δεν είναι προσωπική υπόθεση κανενός ούτε ασκείται ατοµικά. Στο δοκίµιο γίνεται µία απόπειρα να εντοπιστούν τετοια αντικειµενικά χαρακτηριστικά. Π. ΚΑΡΓΑΔΟΣ Φυσικός

2 Εισαγωγή Τι είναι ο χρόνος; Είναι ένα ερώτηµα που τίθεται σε όλα τα πεδία διαλογισµού του ανθρώπου, από τα πλέον απλά στα οποία περιλαµβάνονται θέµατα της καθηµερινής του δραστηριότητας, µέχρι εκείνα που συνήθως συναντώνται στην φιλοσοφία. Σε αυτό το υψιπετές φιλοσοφικό επίπεδο είχε διερωτηθεί και ο Άγιος Αυγουστίνος ο Ιππώνιος, ο θεωρούµενος πατέρας της δυτικής χριστιανικής εκκλησίας, τι είναι ο χρόνος; Η απάντηση του µπορούµε να πούµε ότι συνοψίζει ένα µεγάλο µέρος αυτού του κειµένου. «Αν δεν µου τεθεί το ερώτηµα καταλαβαίνω τον χρόνο, αν όµως µε ρωτήσετε δεν ξέρω να απαντήσω». Στο κείµενο αυτό δεν προτιθέµεθα βέβαια να εµπλακούµε σε φιλοσοφική ανάλυση του ερωτήµατος, αφού έτσι κι αλλιώς απέχουµε πολύ από τον χώρο της φιλοσοφίας, θα προσπαθήσουµε όµως να εξετάσουµε πως προσεγγίζεται το ερώτηµα αυτό από την πλευρά της φυσικής επιστήµης. Στην φυσική θεωρούµε τον χρόνο πρώτη έννοια, µη οριζόµενη, ή αλλιώς θεµελιώδες µέγεθος (1). Η έλλειψη ορισµού οποιουδήποτε τύπου, µας εµποδίζει να απαντήσουµε ευθέως στο ερώτηµα, εν τούτοις παρατηρούµε οτι έχουµε µια αντίληψη του χρόνου κυρίως : α. µέσω αυτού που καλούµε ροή χρόνου, β. µέσω της συµµετοχής του στους φυσικούς νόµους και τέλος γ. µέσω της διάκρισης παρελθόντος και µέλλοντος. Παρόλο όµως που δεν τον ορίζουµε, τον χρόνο µπορούµε και τον µετράµε, και γιαυτό άλλωστε τον θεωρούµε φυσικό µέγεθος (2). Πράγµατι έχουµε ρολόγια, χρονόµετρα, ηµερολόγια, βιογραφίες, και ακόµα στην σχετικότητα µιλάµε για διαστολή ή συστολή του χρόνου επεξηγώντας, ότι υπό ορισµένες καταστάσεις µέτρησης, ο χρόνος ρέει πιο αργά ή πιο γρήγορα και ενδεχοµένως σταµατά (3). Η µέτρηση είναι µια φυσική διαδι κασία και από αυτή πρέπει να ξεκινήσουµε αν θέλουµε να κατανοήσουµε καλύτερα τον χρόνο. Τι µετράµε; πώς το µετράµε; πως αρχίσαµε να µετράµε; Α. Μέτρηση του χρόνου. Η µέτρηση του χρόνου βασίστηκε στην περιοδικότητα ορισµένων φαινοµένων. Τα πρώτα περιοδικά φαινόµενα που κίνησαν το ενδιαφέρον του ανθρώπου, µπορούµε να φανταστούµε ότι, ήταν η εναλλαγή ηµέρας-νύχτας, ο σεληνιακός κύκλος, ο ετήσιος ηλιακός κύκλος. Αυτή η περιοδική εµφάνιση ορισµένων γεγονότων υποθέτουµε ότι, στην πρώιµη φάση της νοήµονος ζωής (4), έδωσε την αντίληψη του χρόνου που ρέει. Είναι επίσης λογικό να υποθέσουµε ότι και η γήρανση καθώς και η διάρκεια ορισµέ νων φαινοµένων, συνέβαλε στην δηµιουργία αντίληψης για τον χρόνο, αλλά η µέτρη ση βασίστηκε στην περιοδικότητα (5). Έχουµε βέβαια και στον ανθρώπινο οργανισµό εσωτερικές λειτουργίες που παρουσιάζουν περιοδικότητα. Έχουµε π.χ τον έµµηνο κύκλο στις γυναίκες, τον καρδιακό ρυθµό, τον αναπνευστικό ρυθµό κ.α. Οι περιοδικό τητες αυτές δεν είναι οι ίδιες για όλους τους ανθρώπους, αλλά και για τον ίδιο τον άνθρωπο εξαρτώνται από πολλούς παράγοντες εσωτερικούς και εξωτερικούς. Η συνεχής επίδραση του φυσικού περιβάλλοντος επάνω στον άνθρωπο έχει φέρει κοντά αυτούς τους ρυθµούς ( τον καρδιακό π.χ. ρυθµό στου 75 παλµούς ανά sec και τον έµµηνο κύκλο στις 28 ηµέρες). Και αυτές οι περιοδικότητες θα µπορούσαν να αποτελέσουν µια βάση µέτρησης του χρόνου. Η έστω και µικρή όµως διαφοροποίηση

3 τους από άνθρωπο σε άνθρωπο καθιστά µη πρακτική την χρήση τους σαν µονάδες χρόνου. Όταν έχουµε ένα επαναλαµβανόµενο φαινόµενο του οποίου η περίοδος θεωρείται σταθερή (6), αυτή την περίοδο λαµβάνουµε σαν φυσική µονάδα χρόνου. Επιπλέον δηµιουργούµε πολλαπλάσια και υποπολλαπλάσια αυτής θεωρώντας αυθαί ρετα το ενδιάµεσο διάστηµα καθώς και τις προεκτάσεις αυτού ως ένα οµοιόµορφο συνεχές. Κατ αυτόν τον τρόπο θεωρούµε τον χρόνο σαν ένα πεδίο µε τιµές παρό µοιες εκείνων του πεδίου των πραγµατικών αριθµών, που εκτείνονται από το µείον άπειρο έως το συν άπειρο, όπου αυθαίρετα ονοµατίζουµε µια τιµή ως αρχή, και που µπορούµε να σχηµατίσουµε ένα διάστηµα Δt όσο µικρό θέλουµε ώστε να τείνει οριακά στο µηδέν. Αυτή η προσοµoίωση του χρόνου ως πεδίο χρονικών στιγµών, όπως οι πραγµατικοί αριθµοί δηµιούργησε µια αντίληψη απολυτότητας και οµοιοµορ φίας ( που διαθέτουν άλλωστε οι πραγµατικοί αριθµοί) (7). Στο σηµείο αυτό µπορούµε να κάνουµε µια παρατήρηση. Διαπιστώνουµε ότι µετράµε τον χρόνο παρατηρώντας την εµφάνιση ενός γεγονότος. Παρακολουθούµε δηλαδή ένα περιοδικό φαινόµενο και διακρίνουµε την εµφάνιση του γεγονότος καθώς και την ανυπαρξία του, µεταξύ δύο διαδοχικών εµφανίσεων. Στην ουσία δηλαδή ορίζουµε ως «φυσική µονάδα χρόνου» την ανυπαρξία του γεγονότος µεταξύ δύο διαδοχικών εµφανίσεων του. Αυτή την «φυσική µονάδα χρόνου» κατατέµνουµε στην συνέχεια σε ένα άπειρο σύνολο τιµών που αποκαλούµε χρονικές στιγµές, όπως ακριβώς κάνουµε µε το σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Τέλος προεκτείνουµε αυτό το διάστηµα ώστε να καλύψει οµοιόµορφα γειτονικά διαστήµατα. Τι είναι όµως αυτά τα διαστήµατα; Ένα οµοιόµορ φο συνεχές που µας δηλώνει την παρουσία του µε την εµφάνιση του περιοδικού φαινοµένου; Ή δεν υπάρχει τίποτε ενδιάµεσα παρά µόνο η αριθµητική κλίµακα στο µυαλό µας; Στην πρώτη περίπτωση προσπαθούµε στηριζόµενοι στα περιοδικά φαινό µενα και στους πραγµατικούς αριθµούς απλά να µετρήσουµε αυτό το συνεχές, ενώ στην δεύτερη περίπτωση δεχόµαστε ότι δεν υπάρχει αυτό το συνεχές παρά µόνο κατά την εµφάνιση του περιοδικού φαινοµένου. Σε κάθε περίπτωση όµως, για να µετρήσου µε τον χρόνο απαιτούνται περιοδικά φαινόµενα (8) καθώς επίσης και το σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Β. Γεγονότα. Στα επόµενα ορίζουµε ως γεγονός, ή συµβάν, την απειροελάχιστη αλλαγή του ενερ γειακού περιεχοµένου ενός στοιχείου του χώρου (9). Υπ αυτή την έννοια µια µετρήσι µη πεπερασµένη αλλαγή θα παρίσταται από µια ακολουθία συµβάντων, ενώ µια σταθερή κατάσταση από απουσία συµβάντων. Όλες οι αλλαγές αναφέρονται σε σύστηµα αναφοράς συνδεδεµένο µε τον παρατηρητή. Με µαθηµατικούς όρους το στοιχειώδες συµβάν ε ορίζεται ως η µεταβολή ενέργειας ε=δε που παρατηρείται σε ένα στοιχείο του χώρου v τέτοιο ώστε v=δv 0. Ας φανταστούµε τώρα ότι µπορού µε να βάλουµε µια ετικέτα σε κάθε στοιχειώδες συµβάν και ότι η ετικέτα αυτή είναι ένας πραγµατικός αριθµός που κατά παράδοση την λέµε χρονική στιγµή. Διαπιστώ νουµε ότι έχουµε άπειρους αριθµούς, έτσι που όσο πυκνή και αν είναι η εµφάνιση των στοιχειωδών συµβάντων µπορούµε πάντοτε να αντιστοιχίσουµε κάθε συµβάν µε µία ετικέτα. Οι ετικέτες που αναγράφουν τους πραγµατικούς αριθµούς έχουν βέβαια καθορισµένη και µοναδική διάταξη και η αντιστοίχιση µε τα συµβάντα µπορεί να γίνει µόνο αν και αυτά έχουν καθορισµένη σειρά που πρέπει να αναζητήσουµε. Η σειρά αυτή µπορεί να αναζητηθεί σε συσχετίσεις µεταξύ των γεγονότων (10). Αν αυτό είναι εφικτό, ένα φαινόµενο θεωρούµενο ως πεπερασµένο σύνολο συσχετισµένων συµβάντων, θα αντιστοιχεί σε ένα διατεταγµένο σύνολο πραγµατικών αριθµών που

4 θα είναι τα επιθέµατα αυτών των συµβάντων. Τα όρια λοιπόν αυτού του φαινοµένου, όπως καθορίζονται στο πεδίο των πραγµατικών αριθµών, είναι αυτό που λέµε διάρκεια του φαινοµένου (σχ.1). Σε κάθε συµβάν αντιστοιχεί µία µόνο ετικέτα, αλλά η ίδια ετικέτα µπορεί να διατεθεί και σε περισσότερα συµβάντα. Τίποτα δεν µας εµποδίζει ένα συµβάν να πάρει ετικέτα ταυτάριθµη µε εκείνη ενός άλλου συµβάντος αρκεί να µη διαταράσσονται οι συσχετίσεις µεταξύ των συµβάντων (11). ε 2 -------------------------------------------------> τ 2 ε 1 ---------------------------------------------> τ 1 ε κ -------------------------------------------------> τ k ε k+1 ----------------------------------------- > τ k +1 Αλλαγή ενέργειας ΔΕ σε χώρο ΔV Πεδίο τιµών των επιθεµάτων τ k Σχήµα 1 Υπάρχουν όµως συσχετίσεις µεταξύ των γεγονότων; Η συσχέτιση γεγονότων µπορεί να γίνει µε διάφορους τρόπους. Εδώ δεν αναφερόµαστε σε χρονικές συσχετίσεις, δεν µας ενδιαφέρουν δηλαδή γεγονότα που συνέβησαν σε σύµπτωση µε την ίδια ένδειξη ενός ρολογιού. Μας ενδιαφέρει η αναζήτηση µιας σχέσης µεταξύ δύο γεγονότων που να µας επιτρέπει να τα ταξινοµήσουµε χωρίς την βοήθεια ενός ρολογιού, ανεξάρτητα δηλαδή του χρόνου (12). Μπορούµε να κάνουµε αυτή την ταξινόµηση; Υπάρχουν οι παρακάτω τρείς τουλάχιστον περιπτώσεις που µπορούµε να κάνουµε ταξινόµηση δύο γεγονότων χωρίς την βοήθεια ενός ρολογιού. - όταν έχουµε µια σχέση αιτίας αποτελέσµατος (13) - όταν έχουµε µη αναστρέψιµα φαινόµενα (14) - όταν έχουµε γεγονότα κατ εκτέλεση µιας µονόφορης γραµµικής µη κυκλικής κίνησης (15). Η συσχέτιση δύο γεγονότων δεν είναι απαραίτητο να είναι άµεση γιατί µας χρειάζεται µόνο για την ταξινόµηση. Θεωρούµε δηλαδή ότι τ κ < τ κ+1 όταν ε κ και ε κ+1 συνδέονται µονοσήµαντα µε δύο άλλα µεγέθη g k και g k+1 αντίστοιχα, µεταξύ των οποίων υπάρχει αποδεδειγµένως σχέση αιτίας-αποτελέσµατος. Σηµειώνουµε πάντως ότι η συσχέτιση των γεγονότων βοηθά στην ταξινόµησή τους, δεν είναι όµως ικανή προς τούτο συνθήκη. Ακόµη και σχέση αιτίας-αποτελέσµατος δεν είναι πάντοτε σε θέση να µας ξεκαθαρίσει την σειρά γεγονότων. Αυτό συµβαίνει π.χ. όταν η σχέση δεν είναι αιτιοκρατική, όταν δηλαδή το ίδιο γεγονός ε δεν παράγει πάντοτε το ίδιο αποτέλεσµα. Το γεγονός π.χ. ε µπορεί να προκαλεί το ε 1 ή το ε 2. Οι δύο αυτές συσχετίσεις ταξινο µούν το ε 1 ως προς το ε,και το ε 2 ως προς το ε, δεν γνωρίζουµε όµως την διάταξη των ε 1 και ε 2. Το πρόβληµα της ταξινόµησης των συµβάντων αντιµετωπίζουν και οι ιστορικοί όταν θέλουν να τα ταξινοµήσουν χρονικά χωρίς να τους απασχολεί τι σηµαίνει χρόνος. Και εκεί βασίζονται σε συσχετίσεις και προηγούµενες ταξινοµήσεις χωρίς όµως να µπορούν πάντοτε να το λύσουν. Αν µάλιστα προσέξουµε πιο πολύ θα δούµε ότι αυτή η χρονική ταξινόµηση δεν είναι τίποτε περισσότερο από την επικόλ

5 ληση µιάς ετικέτας σε κάθε συµβάν (µόνο που αυτή την ετικέτα την λέµε τέταρτη διάσταση ) (16). Και τι γίνεται όταν δεν υπάρχουν γεγονότα; Κόσµος χωρίς γεγονότα δεν έχει ανάγκη χρόνου. Αν υπάρχει χρόνος υπεράνω γεγονότων, αυτός είναι απόλυτος µη µετρούµενος µεταφυσικός χρόνος. Και πάλι τι γίνεται όταν υπάρχουν γεγονότα µη αντιληπτά από τον άνθρωπο; Ας σηµειώσουµε εδώ ότι η πραγµατικότητα ενός γεγονότος απαιτεί πιστοποίηση από πολλούς ανθρώπους και για πολύ καιρό. Μπορούµε λοιπόν να πούµε ότι υπάρχουν γεγονότα για τα οποία δεν έχουµε άµεση αντίληψη, αλλά έµµεσες διαπιστώσεις, που σε συνδυασµό µε σχέσεις λογικής, µας οδηγούν στην αποδοχή της ύπαρξης τους. Για αυτά τα γεγονότα, που πλέον τα θεωρούµε πραγµατικά, µπορούµε να δεχθούµε ότι υπάρχουν ετικέτες. Ίσως να µην γνωρίζουµε την αριθµητική τους τιµή, αλλά δεχόµαστε ότι συνυπάρχουν µε τα γεγονότα. Βλέπουµε ότι µπορούµε να βρούµε συσχετίσεις µεταξύ γεγονότων για να τα ταξινοµήσουµε, µπορούµε όµως να το εξασφαλίσουµε αυτό για όλα τα συµβάντα; Επισηµαίνουµε ότι οι συσχετίσεις των γεγονότων καθορίζουν την σειρά των επιθεµά των. Πως λειτουργούν όµως αυτές οι συσχετίσεις; Ας υποθέσουµε πάλι ότι στην µνήµη µας έχουν καταγραφεί δύο γεγονότα. Πως ξέρουµε ποιό έγινε πρώτα και ποιό µετά. Από ότι γνωρίζουµε στο µυαλό µας δεν υπάρχει register εισόδου που να επικολά τον χρόνο εισόδου. Η χρονική στιγµή του συµβάντος προσδιορίζεται, ή όντας προσκολληµένη εξωτερικά στην ίδια την πληροφορία, ή συνάγεται από επεξεργασία µετά την είσοδό της στον εγκέφαλο, βασισµένη στην συσχέτισή του µε άλλα συµβάντα. Το ΟΧΙ π.χ. του 1940, και η εθνική εξέγερση του 1821 είναι καταγραφές που φέρνουν αφ εαυτές τον χρόνο τέλεσής τους. Το µεγάλο πλήθος των καταγραφών όµως δεν κουβαλά χρονική επισηµανση, αυτή πρέπει να συναχθεί εγκεφαλικά. Θυµάµαι π.χ. ότι κάποια φορά έπινα καφέ µε τον φίλο µου τον Αποστόλη στην στοά του βιβλίου, και θυµάµαι ακόµη ότι κάποτε µε πόναγε η µέση µου, ποιό προηγήθηκε του άλλου; Δεν υπάρχει άλλος τρόπος να το απαντήσω παρά αφού το συσχετίσω µε άλλες καταγραφές στην µνήµη µου. Ψάχνωντας στην µνήµη µου βρίσκω οτι στην συνάντηση µιλήσαµε για το πρόβληµα της µέσης µου άρα πρέπει να προηγήθηκε της συνάντησης. Βλέπουµε έτσι ότι οι αιτιώδεις σχέσεις καθορίζουν το πριν από το µετά (17). Λάθος επεξεργασία αυτών των συσχετίσεων οδηγεί πολλές φορές σε λάθος ταξινόµηση, σε εσφαλµένη δηλαδή διαφοροποίηση του πριν από το µετά. Είναι γνωστό ότι σε πολλές αφηγήσεις κατατίθεται διαφορετική σειρά των γεγονότων, που σηµαίνει ότι ο χρόνος δεν είναι µέγεθος ανεξάρτητο των συσχετίσεων µε άλλα γεγονότα. Οι συσχετίσεις αυτές έχουν µία αντικειµενική βάση πού γίνεται όµως κατανοητή µέσα από εγκεφαλική επεξεργασία διαφορετική από άνθρωπο σε άνθρωπο, γι αυτό ο καθένας µας έχει διαφορετική αίσθηση του χρόνου. Γ. Βέλος του χρόνου. Βέλος του χρόνου ονοµάζουµε την µονοκατευθυντικότητα της ροής του χρόνου (18). Δεχόµαστε δηλαδή ότι ο χρόνος όχι µόνο δεν είναι στατικό µέγεθος αλλά µεταβάλ λεται προς µία µόνο κατεύθυνση. Δεν υπάρχει δηλαδή αναστροφή του χρόνου. Η άποψη αυτή είναι αντικείµενο συζητήσεων στο χώρο των φυσικών επιστηµών, πολλοί δε είναι εκείνοι που υποστηρίζουν και το αντίθετο. Κατ αρχήν τι εννοούµε

6 λέγοντας κατεύθυνση χρόνου. Μία απάντηση βασίζεται στο αναλλοίωτο των φυσικών νόµων στην αλλαγή του t σε t, µία άλλη στην δυνατότητα αντιστροφής στην διαδοχή των γεγονότων. Παρατηρούµε ότι οι νόµοι της µηχανικής του Newton, του ηλεκτροµαγνητισµού του Maxwell, της κβαντοµηχανικής του Shrοndiger και της σχετικότητας του Einstein, είναι όλοι τους σε συµµετρική µορφή ως προς τον χρόνο, ενώ στην καθηµερινή µας ζωή δεν παρατηρούµε αναστροφή της διαδοχής των γεγονότων. Βλέπουµε εδώ δύο οµάδες προσέγγισης του θέµατος. Τον κόσµο των θεωρητικών επιστηµόνων και τον κόσµο των επιστηµόνων των συστηµάτων (βιολό γων, χηµικών, µηχανικών), που ασχολούνται µε τα θερµοδυναµικά συστήµατα και τον µακρόκοσµο γενικά. Η πρώτη κατηγορία εντυπωσιάζεται από την συµµετρία ως προς τον χρόνο των παραπάνω θεµελιωδών νόµων, ενώ η δεύτερη βασίζεται στον δεύτερο νόµο της θερµοδυναµικής, όπως διατυπώνεται από τους Claussius και Kelvin πάνω στην έννοια της εντροπίας. Η ισχύς του νόµου αυτού είναι πειραµατικά τόσο ελεγµένη ώστε να λέει ο Eddington «αλλοίµονο στην άποψη που δεν ικανοποιεί τον δεύτερο νόµο της θερµοδυναµικής, η αποτυχία της είναι δεδοµένη (19)». Από την άλλη πλευρά δεν µπορούµε να αµφισβητήσουµε την ισχύ των βασικών νόµων της φυσικής, όπως έχουν διατυπωθεί, και τις επιτυχίες τους στην δόµηση της σηµερινής τεχνολογίας. Τι από τα δύο ισχύει; Πριν δοθεί κάποια απάντηση ας παρατηρήσουµε τα παρακάτω. α. Η συµµετρία ως προς τον χρόνο της µαθηµατικής διατύπωσης ενός νόµου δεν απο τελεί βεβαίωση ύπαρξης και πραγµατικής συµµετρίας. Οι µαθηµατικές φόρµες των νόµων είναι ανθρώπινα κατασκευάσµατα (20) για την προσέγγιση της πραγµατικό τητας και πολλές είναι οι περιπτώσεις που αναζητούµε καλύτερες προσεγγίσεις (21). Η πειραµατική όµως επιβεβαίωση των βασικών νόµων µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι προσεγγίζουν την συµµετρία (22) στα όρια του λάθους κατά την µέτρηση. Πέραν αυτού είναι γνωστή η σύνδεση της συµµετρίας ως προς τον χρόνο µε την διατήρηση της ενέργειας (23). Η αρχή διατήρησης της ενέργειας θεωρούµε ότι ισχύει τόσο για ένα σωµατίδιο όσο και για συστήµατα σωµάτων (24). β. Οι βασικοί νόµοι αναφέρονται στην συµπεριφορά µεµονωµένων σωµάτων και στην αλληλοεπίδραση δύο σωµάτων. Είναι γνωστή η αδυναµία εφαρµογής των νόµων αυτών σε πολλαπλά συστήµατα, όπου δε επιτυγχάνεται βασίζεται στην αρχή της επαλληλίας που ισχύει µόνο στα συστήµατα γραµµικής συµπεριφοράς. Η µετάβαση της µελέτης από ένα σώµα σε µία πολλαπλότητα σωµάτων γίνεται πάντοτε αφαιρώντας επιδράσεις που θεωρούνται αµελητέες, η προσέγγιση όµως αυτή µας αποµακρύνει πάντοτε από µία ολοκληρώσιµη λύση. γ. Η θερµοδυναµική θεωρείται η επιστήµη των συστηµάτων, είτε στην κλασσική είτε στην στατιστική της µορφή. Και οι δύο µορφές, παρά τις διαφορές στην µεθόδευση εφαρµογής τους, συγκλίνουν στα αποτελέσµατα τους (25). Δεν υπάρχει ακόµα αµφισβήτηση του δεύτερου νόµου της. Σύµφωνα µε την τρέχουσα διατύπωση του νόµου αυτού «σε ένα αποµονωµένο σύστηµα σωµάτων κάθε µη αντιστρεπτή µεταβο λή επιφέρει αύξηση της εντροπίας (26)», οδηγεί δηλαδή το σύστηµα σε µία πιο πιθανή, πιο άτακτη κατάσταση. Η κατάσταση αυτή είναι πιο κοντά στην θερµοδυ ναµική ισορροπία, όπου η εντροπία του γίνεται µέγιστη και η ελεύθερη ενέργειά του ελάχιστη. δ. Σε ένα αποµονωµένο σύστηµα σωµάτων έχουµε εξ ορισµού µόνο αυθόρµητες (spontaneous) µεταβολές, οι οποίες είναι µη αντιστρεπτές και αυξάνουν την εντροπία του. Σε ένα ανοικτό σύστηµα όµως µπορούµε να έχουµε αυθόρµητες µεταβολές που

7 αυξάνουν την εντροπία του, αλλά και εξωτερικά οδηγούµενες µεταβολές που ενδεχοµένως την ελαττώνουν. Συνολικά δηλαδή η εντροπία ενός ανοικτού συστήµα τος µπορεί να αυξάνεται, να ελαττώνεται, ή να παραµένει σταθερή. Αν βέβαια µεγαλώσουµε τα όρια του προηγούµενου συστήµατος ώστε να συµπεριλάβει και τις πηγές των εξωτερικών του επιδράσεων, και θεωρήσουµε και το νέο σύστηµα µονω µένο, τότε πάλι η ολική εντροπία θα έχει αυξηθεί (27). ε. Όταν σε ένα σύστηµα σωµάτων, είτε µονωµένο είτε ανοικτό, έχουµε µία διατε ταγµένη ακολουθία γεγονότων, αυτή δηµιουργεί ένα βέλος χρόνου. Πράγµατι ας θεωρήσουµε (Σχ. 2), ένα σύνολο συµβάντων που το ταξινοµούµε στο πεδίο των πραγµατικών αριθµών και σε κάθε συµβάν ε n αντιστοιχούµε µία ετικέτα t n που την λέµε χρονική στιγµή. Τότε η διατεταγµένη αλληλουχία των συµβάντων οδηγεί σε µία διατεταγµένη αλληλουχία των χρονικών στιγµών. Ο χρόνος δηλαδή στο σύστηµα αυτό ρέει προς την κατεύθυνση της διαδοχής των γεγονότων. Αν αυτά δεν µπορούν να αναστραφούν ούτε ο χρόνος µπορεί να αναστραφεί. ε 1 ----------------------------------->1--------------------------> t 1 ε 2 --------------------------------->2 --------------------------> t 2 ε 3 -------------------------------->3---------------------------> t 3 ε n ---------------------------------->n---------------------------> t n Συσχετισµένα γεγονότα Πεδίο πραγµατικών αριθµών Χρονικές στιγµές Σχ. 2 Οι προηγούµενοι συλλογισµοί καταλήγουν στα εξής: - Στο σύµπαν, που είναι εξ ορισµού κλειστό και µονωµένο, η εντροπία συνεχώς αυξάνεται, ώσπου να καταλήξει στην θερµοδυναµική ισορροπία που αποκαλούµε θερµικό θάνατο. - Όλα τα εντός του σύµπαντος συστήµατα είναι ανοικτά, και σε αυτά η µεταβολή της εντροπίας τους µπορεί να πάρει οποιοδήποτε ή µηδενικό πρόσηµο (28). - Σε ένα οργανωµένο σύνολο όπου οι αλληλοεπιδράσεις των µελών του είναι πιο έντονες από τις εξωτερικές επιδράσεις η εντροπία του συνεχώς θα αυξάνεται όσο αυτό παραµένει ζωντανό, όσο δηλαδή συµβαίνουν σε αυτό µεταβολές. - Το βέλος του χρόνου συµβαδίζει µε την διάταξη των γεγονότων. Από τα προηγούµενα µπορούµε να πούµε ότι διαπιστώνουµε για όλο το σύµπαν ένα κοσµολογικό και ένα θερµοδυναµικό βέλος του χρόνου µε κατεύθυνση τον θερµικό θάνατο, αλλά σε επιµέρους ανοικτά, και κατ εξοχήν στα έµβια συστήµατα, η εντρο πία µπορεί να µεταβάλλεται και προς τις δύο κατευθύνσεις και ως εκ τούτου δεν µπορεί να συσχετισθεί µε µία µοναδική κατεύθυνση του χρόνου (29). Το ίδιο παρατη ρούµε στις αλληλοεπιδράσεις σωµάτων που θεωρούµε στοιχειώδη. Εκείνο όµως που δεν µπορεί να αντιστραφεί είναι η εξέλιξη ορισµένων γεγονότων που συµβαίνουν σε συστήµατα σωµάτων. Δεν είναι δυνατόν ένας γέρος να γίνει νέος, ένα κοµµάτι ξύλο να αναδηµιουργηθεί από την στάχτη του, ένα έµβρυο να συρρικνωθεί σε ένα γονι µοποιηµένο ωάριο, σπασµένα γυαλιά να ανασυστήσουν το βάζο από το οποίο προήλ

8 θαν, ένα ακτινοβολούµενο κύµα να επιστρέψει στην πηγή του. Ένα άστρο να ξανα µαζέψει την ενέργεια που σκόρπισε και να εκταθεί πάλι σε ένα πλήθος αερίων και σωµατιδίων από το οποίο γεννήθηκε. Τελικά δεν γνωρίζουµε αν υπάρχει ένα µονα δικό βέλος χρόνου, σίγουρα όµως στα συστήµατα σωµάτων υπάρχει µία εξέλιξη γεγονότων που δεν αναστρέφεται, έστω και αν τοπικά συνεπάγεται µείωση της εντροπίας. Αυτή η αποδοχή του νόµου της µη αναστροφής των γεγονότων είναι ο κύριος τρόπος συσχέτισης τους. Ας το δούµε αυτό µε ένα παράδειγµα. Έστω ότι παρατηρούµε δύο φωτογραφίες του ίδιου προσώπου. Πως µπορούµε να καταλάβουµε ποιά προηγήθηκε αν δεν υπάρχει χρονική καταγραφή επάνω της από ανθρώπινο χέρι; Ερευνούµε αν σε µία από αυτές το πρόσωπο είναι πιο γερασµένο, ή αν το χαρτί είναι κιτρινισµένο, ή εξετάζουµε τον ρουχισµό του µήπως βγάλουµε συµπέρασµα από την µόδα της εποχής. Ψάχνουµε δηλαδή σχέσεις αιτιώδεις µη αναστρέψιµες για να µπορέ σουµε να προσδιορίσουµε το πριν και το µετά. Αν οι µεταβολές που παρατηρούµε είναι αναστρέψιµες αδυνατούµε να προσδιορίσουµε χρόνο. Θα µπορούσε κάποιος να αντιτείνει ότι η τεχνολογία µπορεί να προσδιορίσει την παλαιότητα του χαρτιού. Βέβαια µα πάλι καταφεύγουµε στο µη αναστρέψιµο γεγονός της γήρανσης. Πάλι όµως θα µπορούσε να διερωτηθεί κάποιος, µήπως βάζουµε το κάρο πριν το άλογο; Μήπως ο χρόνος σέρνει τον χορό; Μήπως ο χρόνος προκαλεί τις µη αναστρέψιµες αλλαγές; Μήπως ο χρόνος φέρνει αναπόφευκτα την γήρανση; Αν καταλήξουµε σε αυτό το συµπέρασµα πρέπει αφού υπάρχουν και αναστρέψιµα γεγονότα, που και αυτά προκαλούνται από τον χρόνο, να δεχθούµε ότι ο χρόνος µπορεί να πηγαίνει εµπρός πίσω, για την µητέρα πού κυοφορεί εµπρός και για έµβρυο στην µήτρα της πίσω. Πρέπει τότε ακόµα να δεχτούµε ότι όπου ισχύει το αναλλοίωτο των νόµων στην αντικατάσταση του t µε το -t ο χρόνος δεν έχει κατεύθυνση ούτε µπορούµε να διακρίνουµε αίτιο από αιτιατό. Μία άλλη αντιµετώπιση θα ήταν να πούµε ότι ο χρόνος δεν έχει καµία σχέση µε τα γεγονότα, είναι αυθύπαρκτη οντότητα που την θεωρούµε θεµελιώδες µέγεθος για την φυσική επιστήµη. Τα γεγονότα συµβαίνουν εντός του χρόνου όπως συµβαίνουν και εντός του χώρου. Το γιατί συµβαίνουν γεγονότα δεν το χρεώνεται ο χρόνος και ο χώρος, αλλά θα πρέπει να αποτελεί αντικείµενο άλλης έρευνας. Στην περίπτωση όµως αυτή προκύπτει πρόβληµα µέτρησης, γιατί ενώ η ύπαρξη ύλης µας δίνει την δυνατότητα να µετρήσουµε τον χώρο, απαιτούνται µεταβολές για να µετρήσουνε τον χρόνο (30). Είναι όµως η δυνατότητα µέτρησης απαραίτητη για την ύπαρξη µιάς οντότητας; Όχι αλλά κακώς τότε θεωρούµε τον χρόνο φυσικό µέγεθος, αφού χωρίς γεγονότα δεν µπορούµε να τον µετρήσουµε. Δ. Ο χρόνος σε κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας (31). Θερµοδυναµική ισορροπία µπορούµε να έχουµε και σε ανοικτά και σε µονωµένα συστήµατα. Πρέπει να εξετασθούν και οι δύο περιπτώσεις. Ας δούµε πρώτα τα µονω µένα συστήµατα. Σε κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας ένα µονωµένο σύστηµα έχει καταλήξει στην πιο πιθανή κατάσταση, εκείνη της µέγιστης αταξίας, ή ελάχιστης ελεύθερης ενέργειας. Η εντροπία του τότε είναι η µέγιστη δυνατή. Καµία µεταβολή δεν συµβαίνει πλέον σε ένα µονωµένο σύστηµα, κανένα γεγονός. Πως αντιµετωπίζου µε τότε τον χρόνο; Αν συνδέσουµε τον χρόνο µε τα γεγονότα ή την εντροπία, δηλαδή µε το γίγνεσθαι, τότε δεν υπάρχει χρόνος εντός του συστήµατος. Ίσως κάποιος αντιτείνει ότι ο χρόνος εκτός συστήµατος τρέχει, τα ρολόγια δουλεύουν, οι άνθρωποι γερνούν, πώς λέµε ότι ο χρόνος στο σύστηµα σταµάτησε; Δεν είναι αντιφατικό να

9 λέµε ότι εντός του µονωµένου συστήµατος δεν υπάρχει χρόνος και εκτός αυτού ο χρόνος ρέει κανονικά; Υποθέσαµε όµως ότι το σύστηµα είναι κλειστό αποµονωµένο, δεν µπορεί να ανταλλάξει ύλη-ενέργεια µε το περιβάλλον του. Δεν υπάρχει ροή πλη ροφορίας µέσα από τα όρια του συστήµατος. Έχουµε βέβαια τότε µία κατάσταση που το µέσα και το έξω είναι δύο διαφορετικοί κόσµοι πού δεν γνωρίζει τίποτα ο ένας για τον άλλο. Το µέσα θεωρείται ανύπαρκτο, το έξω είναι ζωντανό, εξελίξιµο. Η κατάσταση αυτή είναι ιδεατή γιατί δεν υπάρχει σύστηµα απόλυτα µονωµένο. Τέτοιο µπορεί να νοηθεί µόνο το Σύµπαν για το οποίο σε κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας δεν νοείται και χρόνος. Πέραν όµως αυτού δεν είναι αντιφατικό να έχουµε διάφορους χρόνους σε διαφορετικά σηµεία του χώρου, αφού µε την εισαγωγή της σχετικότητας ο χρόνος δεν θεωρείται πλέον απόλυτο µέγεθος. Αν για να αποφύγουµε την ανυπαρξία του, θεωρήσουµε τον χρόνο αυθύπαρκτη οντότητα ανεξάρτητη των γεγονότων, τότε πάλι θα πρέπει να τον τοποθετήσουµε πέραν του φυσικού χώρου, ως µη µετρούµενο πλέον µέγεθος. Η φυσική επιστήµη δεν µπορεί πλέον να ασχοληθεί µε έναν τέτοιο χρόνο. Αυτή είναι µία µεταφυσική οντότητα του ευρύτερου φιλοσοφικού πεδίου. Τι γίνεται αντίστοιχα όταν εξετάζουµε ένα ανοικτό σύστηµα, ένα σύστηµα δηλαδή που ανταλλάσει ύλη, ενέργεια, πληροφορία, µε το περιβάλλον του; Ένα ανοικτό σύστηµα δεν µπορεί να βρεθεί σε κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας, παρά µόνο αν βρεθεί σε κατάσταση µηδενικού ισοζυγίου ανταλλαγών µε το περιβάλλον του. Εκεί η µεταβολή της εντροπίας µπορεί να πάρει θετικές, αρνητικές ή µηδενική τιµή. Όσο δε πιο µακριά βρίσκεται το σύστηµα από την θερµοδυναµική του ισορροπία, τόσο πιο έντονη είναι η µεταβολή της εντροπίας του. Στις χαοτικές µάλιστα µεταβολές παρατηρούνται και φαινόµενα αυτοργάνωσης της ύλης, που προοιωνίζονται την εµφάνιση ζωής. Μακριά από την κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας παρατηρούνται ταχείες µεταβολές της εντροπίας, που για όσους την συνδέουν µε το βέλος του χρόνου, ερµηνεύονται σαν ταχεία ροή του χρόνου. Επειδή ο όρος ταχύτητα ροής του χρόνου είναι τουλάχιστον ακατανόητος θα ήταν καλύτερα να αναφερόµαστε µόνο στα γεγονότα και να λέµε ότι µακράν της κατάστασης θερµοδυναµικής ισορροπίας η διαδοχή των γεγονότων είναι ταχεία, ή να λέµε ότι η πυκνότητα των χρονικών στιγµών που αντιστοιχούν στα γεγονότα είναι µεγάλη, ή ακόµα ότι το πλήθος των επιθεµάτων κατά την ταξινόµηση των γεγονότων, έχει αριθµούς, που στο πεδίο των πραγµατικών αριθµών, είναι κοντά κοντά. Στην θεωρία της µεγάλης έκρηξης το Σύµπαν ξεκίνησε µε ένα πρώτο συµβάν. Αυτή ήταν και η αρχή του χρόνου. Η εξέλιξή του έγινε µε αρχικά τεράστιες και ταχείες µεταβολές της εντροπίας που συνεχίζονται µε πιο αργό ρυθµό, ενώ σε ορισµένες περιοχές, όπου παρατηρείται οργάνωση της ύλης, έχουµε και πρόσκαιρη µείωση της εντροπίας. Το Σύµπαν όµως οδεύει προς την θερµοδυναµική ισορροπία όπου δεν υπάρχει χρόνος. Με το πλέον αποδεκτό λοιπόν µοντέλο γέννησης και θανάτου του Σύµπαντος, ο χρόνος έχει αρχή και τέλος. Ε. Ο χρόνος στην θεωρία της σχετικότητας. Στην φυσική, κλασσική ή σχετικιστική ο χρόνος εµφανίζεται µόνο ως χρονικό διάστη µα. Μόνο στην κοσµολογία και ιδιαίτερα στο µοντέλο της µεγάλης έκρηξης ορίζεται αρχή χρόνου. Σε όλους τους φυσικούς νόµους εµπλέκεται µόνο το χρονικό διάστηµα. Στην κλασσική φυσική αυτό το διάστηµα θεωρείται απόλυτο υπό την έννοια ότι δεν εξαρτάται από το σύστηµα αναφοράς του παρατηρητή. Ο κάθε παρατηρητής έχει την

10 ευχέρεια να επιλέξει το δικό του αδρανειακό σύστηµα αναφοράς µε το δικό του χρο νόµετρο, και την δική του µονάδα χρόνου. Αν αλλάξει την µονάδα χρόνου που χρησιµοποιεί, δεν θα αλλάξουν οι φυσικοί νόµοι και ο κόσµος, ούτε θα συµβεί κάτι τέτοιο αν ο καθένας χρησιµοποιεί το δικό του χρονόµετρο. Οι νόµοι της µηχανικής ισχύουν σε κάθε περίπτωση, µε οποιοδήποτε αδρανειακό σύστηµα αναφοράς και οποιοδήποτε σύστηµα µονάδων. Μόνο η ανάγκη συνεννόησης µεταξύ των ανθρώπων επιβάλλει την χρήση κοινού συστήµατος αναφοράς και κοινής µονάδας χρόνου, όπου δε τούτο δεν είναι εφικτό χρησιµοποιούµε τους µετασχηµατισµούς του Galileo για να µεταβούµε από το ένα σύστηµα αναφοράς στο άλλο, πάντοτε όµως για αδρανειακά συστήµατα και µε την ίδια µονάδα χρόνου που εθεωρείτο απόλυτο µέγεθος. Στην ειδική θεωρία της σχετικότητας ισχύουν τα προηγούµενα όχι µόνο για τους νόµους της µηχανικής αλλά γενικά για όλους τους νόµους της φυσικής. Η µετάβαση από το ένα σύστηµα στο άλλο γίνεται όµως µε τους µετασχηµατισµούς Lorentz (32), και ο χρόνος δεν θεωρείται απόλυτο µέγεθος, αλλά υπόκειται και αυτός στους εν λόγω µετασχηµατισµούς, πάλι όµως υπό την προϋπόθεση ότι τα συστήµατα αναφοράς παραµένουν αδρανειακά. Το ότι το χρονικό διάστηµα µεταξύ δύο γεγονότων έχει άλλες τιµές σε δύο διαφορετικά αδρανειακά συστήµατα αναφοράς, µεταφράζεται στην καθοµιλουµένη των φυσικών ως διαφορετική ροή του χρόνου στα δύο συστήµατα, ως συστολή ή διαστολή του χρόνου. Στην γενική θεωρία της σχετικότητας, τα παραπάνω ισχύουν και στα µη αδρανειακά συστήµατα, όπως πλέον αυτό καθορίζεται από τις εξισώσεις του Einstein, που διαµορφώνουν την καµπυλότητα του χωροχρόνου και καθορίζουν την κίνηση των σωµάτων και την διάδοση της ακτινοβολίας. Σηµειώνουµε µόνο στο σηµείο αυτό ότι η διαστολή ή συστολή του χρόνου εξαρτάται επιπλέον και από την πυκνότητα ενέργειας και την πίεση στον χώρο όπου γίνεται η µέτρηση. Πάλι στην καθοµιλουµένη των φυσικών, διαφορετικά ρέει ο χρόνος κοντά στο ορίζοντα µιάς µαύρης τρύπας από ότι στην επιφάνεια της γης, διαφορετικά στο επίπεδο της θάλασσας από ότι στο Έβερεστ. Και στην ειδική και στην γενική σχετικότητα πάντως ο χρόνος αντιµετωπίζεται φορµαλιστικά ως τέταρτη διάσταση σε ένα χωροχρονικό συνεχές. Τα γεγονότα είναι µεταβολές που στην ειδική σχετικότητα συµβαίνουν σε ένα παγιωµένο αυθύπαρκτο συνεχές, ενώ στην γενική σχετικότητα σε ένα συνεχές που διαµορφώνεται από την ύλη/ενέργεια (33). Η διαπίστωση ότι ο χρόνος παίρνει διαφορετικές τιµές και εξελίσσεται διαφορετικά στα διάφορα συστήµατα αναφοράς µας αποµακρύνει από την δυνατότητα να τον θεωρήσουµε αυθύπαρκτη οντότητα, πέρα δηλαδή από τα τεκταινόµενα στον χώρο. Όταν αλλάζουν οι καταστάσεις στον χώρο, αλλάζει και η συµπεριφορά του χρόνου. Αν πάλι τον θεωρήσουµε αυθύπαρκτη οντότητα ανεξάρτητη και από τον χώρο και από τις µετρήσεις, τότε παύουµε να τον θεωρούµε φυσικό µέγεθος και πρέπει να τον κατατάξουµε στον χώρο της µεταφυσικής. ΣΤ. Ο χρόνος στην κβαντική φυσική. Ο χρόνος εµφανίζεται και στην γνωστή σχέση ΔΕ.Δt>h που χαρακτηρίζει την απροσδιοριστία στην ενέργεια. Ο όρος «απροσδιοριστία» δέχεται πολλές ερµηνείες που δεν είναι του παρόντος να αναλυθούν. Υπό οποιαδήποτε όµως ερµηνεία (34) η ανισότητα αυτή δείχνει µία σχέση της ενέργειας µε τον χρόνο λέγοντας µας ότι µία ποσότητα ενέργειας ΔΕ δεν µπορεί να µετρηθεί σε χρονικό διάστηµα Δt µικρότερο του h/δε. Παρόλο που στην φυσική, η ενέργεια σε οποιαδήποτε µορφή είναι κβαντω µένη, προσπερνάµε µάλλον επιπόλαια την εµπλοκή του χρόνου στην παραπάνω σχέση. Και όµως η σχέση αυτή ευθέως µας δείχνει ότι και ο χρόνος πρέπει να είναι

11 κβαντωµένος. Η απροσδιοριστία ενός χρονικού διαστήµατος µας οδηγεί σε αδυναµία να προσδιορίσουµε χρονικές στιγµές, σε αδυναµία δηλαδή να προσδιορίσουµε µεταβολές της εντροπίας. Oύτε καν το πρόσηµο ενδεχόµενης µεταβολής της εντροπίας στο διάστηµα αυτό δεν µπορούµε να υπολογίσουµε. Με άλλα λόγια στο διάστηµα Δt δεν γνωρίζουµε ούτε αν υπάρχει ούτε προς τα που ρέει ο χρόνος. Τότε τι συµβολίζει το Δt; Έναν χρόνο ενδεχοµένως απόκρυφο; Ένα χρόνο υπαρκτό πέρα από ανθρώπινη προσέγγιση; Ή µήπως απλά ένα διάστηµα πραγµατικών αριθµών; Ό,τι και να είναι, το σίγουρο είναι ότι δεν µπορεί να µετρηθεί, άρα δεν µπορεί να λογίζεται φυσικό µέγεθος. Από την άλλη πλευρά όµως, η ιστορία των φυσικών επιστηµών µας βεβαιώνει ότι πολλά είναι τα φυσικά µεγέθη που δεν γνωρίζαµε, απλά τα υποθέταµε και δεν µπορούσαµε να µετρήσουµε. Το γεγονός δηλαδή ότι αδυνατούµε σε κάποιες περιπτώσεις να µετρήσουµε ένα διάστηµα Δt δεν σηµαίνει ότι τότε δεν υπάρχει χρόνος. Πράγµατι, αλλά η αδυναµία µέτρησης δε µας επιτρέπει και να το δεχτούµε. Εάν ενδεχοµένως εδικαιώνετο η άποψη του Einstein περί ύπαρξης κρυµµένων παραµέτρων, τότε µόνο θα µπορούσαµε να απαλλαγούµε από την απροσδιοριστία και την τυχαιότητα της κβαντοµηχανικής, προσδοκία όµως που µετά παρέλευση 80 και πλέον ετών δεν έχει επαληθευθεί. Βέβαια άλλο η απροσδιοριστία και άλλο η κβάντωση του χρόνου και παρόλο που όπως αναφέραµε τούτο υποδεικνύεται από τις σχέσεις απροσδιοριστίας, δεν έχει µέχρι τώρα αποδειχθεί ένα τέτοιο ενδεχόµενο. Ο χρόνος εξακολουθεί να θεωρείται συνεχές µέγεθος (35). Υπάρχει και η άποψη πως και ο χώρος είναι κβαντωµένος στις τρείς του διαστάσεις και αυτό συµπαρασύρει και τον χρόνο σε κβάντωση (36). Είναι αλήθεια ότι και ο χρόνος Planck (37) στην κοσµολογία θέτει ένα ερώτηµα για την συνέχεια του χρόνου, που έτσι κι αλλιώς αντιµετωπίζει τον χρόνο ως οντότητα µε αρχή και τέλος. Ας προσπαθήσουµε να τα δούµε όλα από την αρχή. Ξεκινήσαµε µε µία εικόνα όπου ενέργεια και χρόνος είναι δύο µεγέθη, µετρούµενα φυσικά µεγέθη, που µεταβάλονται, ή µπορούν να µεταβληθούν κατά ένα συνεχή τρόπο, όπως ορίζεται η συνέχεια στο πεδίο των πραγµατικών αριθµών. Η εικόνα αυτή έχρηζε φυσικά πειραµατικής συµφω νίας. Η έρευνα έφερε όµως δύο σηµαντικές αλλαγές, διαπιστώσαµε ότι : - Η ενέργεια δεν µπορεί να υπάρχει σε οποιαδήποτε ποσότητα παρά µόνο σε ακέραια πολλαπλάσια ένος ελαχίστου κβάντου. - Το χρονικό διάστηµα ύπαρξης µίας ποσότητας ενέργειας ΔΕ δεν µπορεί να είναι µικρότερο από h/δε. Και στις δύο πιο πάνω περιπτώσεις δεν αντιµετωπίζουµε δυσκολία στην κατανόηση της συµπεριφοράς της ενέργειας. Μας είναι αποδεκτή µία εικόνα που η ενέργεια δεν υπάρχει, ή υπάρχει σε καθορισµένες µόνο ποσότητες. Τι γίνεται όµως µε τον χρόνο στις αντίστοιχες περιπτώσεις; Αυτά τα κενά της ύπαρξης της ενέργειας τα καλύπτει ο χρόνος; Φαίνεται να καταλήγουµε σε τρείς δυνατές απαντήσεις. Ή θα πούµε ότι ο µετρούµενος χρόνος δεν σχετίζεται µε τα τερτίπια της ενέργειας, πράγµα που θα µας φέρει σε αντίθεση µε την γενική σχετικότητα που θέλει τον χωροχρόνο να διαµορφώ νεται από την ενέργεια, ή θα πούµε ότι όπως είναι αποδεκτό σε ορισµένες περιπτώ σεις να µην υπάρχει ενέργεια, έτσι συµβαίνει και µε τον χρόνο, ή τέλος θα δεχθούµε έναν χρόνο µη µετρούµενο, υπεράνω χώρου και ενέργειας δηλαδή ένα χρόνο θεό.

12 Ζ. Χρόνος και πραγµατικότητα. Μέχρι τώρα ο χρόνος εµφανίζεται άµεσα συνδεδεµένος µε τα γεγονότα, αφενός οντο λογικά, αφού η θερµοδυναµική δεν δίνει νόηµα στην ύπαρξη χρόνου χωρίς µεταβολές στην ενέργεια, αλλά και πρακτικά, αφού η µέτρησή του, που επίσης για πολλούς οριοθετεί την ύπαρξη του, απαιτεί περιοδικά γεγονότα. Πότε όµως ένα γεγονός λογίζεται ως πραγµατικό; Έχουν υπόσταση τα συµβάντα γύρω µας; Και αν ναι, έχει αξία αυτή η υπόσταση αν δεν είναι ίδια για όλους µας; Στο κεφάλαιο Α για την µέτρηση του χρόνου, αναφερθήκαµε στην ύπαρξη εσωτερικών ρυθµών που οδηγούν βασικές λειτουργίες του ανθρώπινου οργανισµού. Αυτοί οι ρυθµοί δηµιουργούν µια εσωτερική αντίληψη του χρόνου που λόγω της διαφοροποιήσεως από άνθρωπο σε άνθρωπο δεν µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να µετρήσουµε τον χρόνο. Πλέον αυτού, η εσωτερική αυτή αντίληψη χρόνου εξαρτάται από την ηλικία µας και από την εκάστοτε συναισθηµατική µας κατάσταση. Αλλιώς αντιλαµβάνεται τον χρόνο ένα παιδί από έναν ηλικιωµένο. Αλλιώς ένας άνθρωπος απορροφηµένος στην εργασία του απο κάποιον που τρέχει κυνηγηµένος. Ο εσωτερικός χρόνος είναι σίγουρα υποκειµενικός και δεν µπορεί να αποτελέσει τον παγκόσµιο χρόνο. Αυτός ο παγκόσµιος χρόνος πρέπει να συναρτηθεί µε εξ αντικειµένου γεγονότα. Τα γεγονότα όµως γίνονται αντιληπτά από τις αισθήσεις µας, µε την βοήθεια οργάνων µέτρησης/παρατήρησης, µε τελικό επεξεργαστή της πληροφορίας τον ανθρώπινο εγκέφαλο, που γνωρίζουµε πάλι πόσο επηρρεάζεται στην λειτουργία του, από συναισθήµατα, από προηγούµενες γνώσεις ή και ακόµη προκαταλήψεις του. Για το ίδιο συµβάν δεν έχουµε λοιπόν όλοι την ίδια εικόνα και αυτό είναι µέρος της αβεβαιότητάς µας για τον περιβάλλοντα κόσµο. Δεν µπορούµε λοιπόν να δεχθούµε την υποκειµενική εικόνα ενός γεγονότος ως την µοναδική στον κόσµο. Οι πολλές όµως εικόνες από πολλούς ανθρώπους για το ίδιο συµβάν, µας δίνουν µεγαλύτερη βεβαιότητα για ένα γεγονός. Για να αποφύγουµε µάλιστα και τον κίνδυνο οµαδικής παραίσθησης µπορούµε να προσθέσουµε και την διάρκεια παραµονής της εικόνας στον εγκέφαλο και να ονοµάσουµε πραγµατικό γεγονός εκείνο που δηλώνεται από πλείονες ανθρώπους για ικανό χρονικό διάστηµα (38). Υπάρχουν επιπλέον γεγονότα για τα οποία δεν έχουµε, µέσω παρατήρησης άµεση αντίληψη, οδηγούµαστε στην αποδοχή της ύπαρξης τους από άλλα πραγµατικά γεγονότα σε συνδυασµό µε λογικές διεργασίες. Γι αυτά δεχόµαστε και την ύπαρξη χρονικών στιγµών έστω και αν δεν γνωρίζουµε την αριθµητική τους τιµή (39). Μέσα από µια αλυσσίδα παρατήρησηςλογικής επαγωγής µπορούµε να µιλάµε για γεγονότα της προϊστορικής περιόδου, για την παλαιολιθική εποχή, ή την πληθωριστική εποχή της κοσµολογίας (40). Μπορούµε λοιπόν να ισχυριζόµαστε ότι έχουµε χρόνο όταν έχουµε πραγµατικά, όπως τα ορίσαµε, γεγονότα και ότι η πραγµατικότητα των γεγονότων κρίνεται από τα νοήµονα όντα. Άραγε όµως έχουµε χρόνο χωρίς νοήµονα όντα; Το ερώτηµα έχει δύο σκέλη : - Υπήρχε χρόνος πριν την εµφάνιση του ανθρώπου; - Υπάρχει χρόνος όταν δεν πρόκειται να εµφανισθεί ποτέ ο άνθρωπος; Για το πρώτο σκέλος του ερωτήµατος µπορούµε να πούµε πως ναί υπήρχε χρόνος, αφού αυτό αποδεικνύεται από την ύπαρξη γεγονότων πριν την εµφάνιση του ανθρώ που. Το δεύτερο σκέλος δεν είναι αποφάνσιµο, αφού ο χρόνος µετρείται από τις αλλαγές. Αν όµως δεν πρόκειται να υπάρξουν ποτέ νοήµονα όντα για να διαπιστώ σουν την ύπαρξη αλλαγών τότε δεν µπορεί να διατυπωθεί το ερώτηµα. Ερωτήµατα τίθενται µόνο από νοήµονα όντα, που έστω και εκ των υστέρων µπορούν να διαπιστώ

13 σουν την ύπαρξη αλλαγών και να εκτελέσουν µετρήσεις. Το ερώτηµα «υπάρχει κάτι χωρίς νοήµον ον να το εξακριβώσει ;» είναι µή αποφάνσιµο ( 41). Η. Παρελθόν -Παρόν -Μέλλον. Τον χρόνο τον διακρίνουµε σε παρελθόντα παρόντα και µέλλοντα. Η διάκριση αυτή φαίνεται κοινότυπη, αλλά αποτελεί ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά που µας δίνει την αίσθηση ύπαρξης χρόνου. Παρελθόντα αποκαλούµε τον χρόνο που πέρασε. Τι συγκεκριµένα πέρασε; Ο χρόνος είδαµε ότι δεν νοείται χωρίς γεγονότα. Αυτό πού πέρασε είναι τα γεγονότα. Το σύνολο των τετελεσµένων γεγονότων ορίζει το παρελθόν. Πιο συγκεκριµένα ο παρελθών χρόνος συγκροτείται από το σύνολο των ετικετών που έχουµε επικολλήσει στα τετελεσµένα γεγονότα. Αυτά που αποκαλούµε τετελεσµένα γεγονότα διακρίνονται σε αυτά που αναγνωρίζονται από ένα άτοµο και σε αυτά που αναγνωρίζονται από πολλούς ανθρώπους και για µεγάλο χρονικό διάστηµα. Έχουµε λοιπόν ένα προσωπικό παρελθόν και ένα πραγµατικό παρελθόν (42). Το παρελθόν δηλαδή περιγράφεται και προσδιορίζεται από πραγµατικά γεγονότα και αντίστροφα η πραγµατικότητα νοείται µόνο σε παρελθόντα χρόνο. Ας δούµε τώρα πως κατατάσσουµε τα γεγονότα στο παρελθόν. Όπως είδαµε στο κεφάλαιο Β, χρειαζόµαστε συσχετίσεις για να ταξινοµήσουµε τα γεγονότα. Η παρατήρηση και η λογική µας καθοδηγούν στο να εντοπίζουµε τις συσχετίσεις µεταξύ των γεγονότων, που καθορίζουν την ταξινόµησή τους και που διαµορφώνουν αυτό που αποκαλούµε κλίµακα χρόνου. Μέχρι που όµως µπορούµε να πάµε αξιόπιστα προς τα πίσω; Μπορούµε να πάµε πίσω από την «ιστορική περίοδο»; πιο πίσω από την εµφάνιση ζωής; Μπορούµε µελετώντας το σύµπαν να φθάσουµε στην έναρξη της ακτινοβολίας υποβάθρου; Είναι το µοντέλο της νουκλεοσύνθεσης περιγραφή πραγµατικού γεγονό τος ή παραµένει στο στάδιο της εν δυνάµει πραγµατικότητας; Είναι ο χρόνος Planck µία πραγµατικότητα; Έχουµε δηλαδή γεγονότα µε αυτή την ετικέτα; Δεν υπάρχει αµφιβολία πως όσο πιο πίσω πάµε τόσο λιγοστεύουν τα πραγµατικά γεγονότα και επίσης πιο πολύ καταφεύγουµε στην λογική παρά στην άµεση παρατήρηση για να αποδεχθούµε την πραγµατικότητα. Όσο πιο πίσω πάµε τόσο πιο πολύ µεγαλώνει η συµβολή της αιτιοκρατίας για την αναγνώριση των γεγονότων, άρα και του παρελθόν τος. Η αιτιοκρατία είναι που µας κάνει να δεχόµαστε ότι και αν ακόµα δεν έχουµε εντοπίσει τα αίτια κάποιων γεγονότων αυτά πρέπει να υπάρχουν και µάλιστα ψάχνουµε να τα ανακαλύψουµε. Για τους φυσικούς που θεωρούνται θετικιστές (43), η πραγµατικότητα ελαττώνεται εκθετικά όσο πιό πίσω πάµε στο παρελθόν. Για τους υπόλοιπους όµως που διατηρούν την αιτιοκρατία και την δύναµη της λογικής ως κύριο εργαλείο στοχασµού, το παρελθόν είναι µία πραγµατικότητα. Ίσως το απώτατο παρελθόν θα πρέπει να το βλέπουµε ως µία εντός εισαγωγικών πραγµατικότητα που περιµένει στον προθάλαµο της επιστηµονικής καταξίωσης. Τι θα µπορούσαµε να πούµε µετά από όλα αυτά για το µέλλον; Έχουµε γεγονότα στο µέλλον; Όχι δεν έχουµε γεγονότα στο µέλλον. Έχουµε όµως πρόβλεψη γεγονότων για το µέλλον, έχουµε αναµονή γεγονότων, που µάλιστα πολλές φορές τα θεωρούµε βέβαια. Μελλοντικός χρόνος είναι το σύνολο των χρονικών στιγµών που θα επικολήσουµε στα αναµενόµενα, προβλέψιµα ή µη, γεγονότα. Το ότι «αύριο θα κερδίσω στο Lotto» δεν είναι γεγονός, ίσως γίνει αύριο µετά την κλήρωση, η δε πιθανότητα γι αυτό είναι πολύ µικρή. Υπάρχει όµως και η δήλωση «αύριο θα

14 ανατείλει ο ήλιος». Και αυτή η δήλωση δεν αποτελεί γεγονός, η πιθανότητα όµως να γίνει πραγµατικότητα είναι εξόχως µεγάλη. Και οι δύο πιο πάνω δηλώσεις αποτελούν εντός εισαγωγικών γεγονότα που αναµένουµε να συµβούν µε µικρή ή µεγάλη πιθανότητα. Η πιθανότητα αυτή καθορίζεται από αιτιώδεις σχέσεις που ίσχυσαν στο παρελθόν, που δεχόµαστε ότι θα εξακολουθούν να ισχύουν και µάλιστα θα προκαλέσουν τα ίδια αποτελέσµατα που η εφαρµογή τους είχε αποδώσει στο παρελθόν. Κανένας όµως δεν µας βεβαιώνει ότι οι ίδιες αιτιώδεις σχέσεις που διέπουν τα γεγονότα σήµερα θα ισχύουν και στο µέλλον και κανένας επίσης δεν µας βεβαιώνει ότι οι σχέσεις αυτές θα είναι αιτιοκρατικές, ότι θα παράγουν δηλαδή τα ίδια αποτελέσµατα αν τροφοδοτηθούν µε τα ίδια αίτια. Φαίνεται ως εκ τούτου ότι η πρόβλεψη για µελλοντικά γεγονότα γίνεται διαρκώς ασθενέστερη όσο µακρύτερα βλέπουµε στο µέλλον. Γι αυτό ο µελλοντικός χρόνος δεν είναι πραγµατικός. Μοιάζει σαν κβαντική διείσδυση πέραν ενός φράγµατος δυναµικού που τοποθετείται στο «τώρα». Όλα τα γεγονότα που προσβλέπουµε στο µέλλον είναι εντός εισαγωγικών, κάτι σαν εικονική πραγµατικότητα, ενώ η πιθανότητα να απαλλαγούν των εισαγωγικών µειώνεται όσο αποµακρύνονται από το τώρα. Και τέλος τι είναι το παρόν; Τι είναι το τώρα; Αν µε βάση ένα γεγονός ε 0, που µας ορίζει µία χρονική στιγµή τ 0, εξετάσουµε µία άλλη χρονική στιγµή τ p, τέτοια ώστε να ικανοποιεί τις δύο επόµενες συνθήκες, τότε η τ p ορίζει το τώρα. Συνθήκη 1 η : Το διάστηµα τ p -τ 0 να είναι θετικό συνεχώς αυξανόµενο. Συνθήκη 2 η : Το διάστηµα τ p -τ 0 να περιέχει µόνο πραγµατικά γεγονότα. Η χρονική στιγµή τ p αποτελεί τότε το σύνορο του παρελθόντος και του µέλλοντος και είναι αυτό που αποκαλούµε τώρα. Είναι σαν ένα κινούµενο διάφραγµα που αυξάνει συνεχώς το παρελθόν, προσθέτοντας γεγονότα, χωρίς να αφαιρεί τίποτα από το µέλλον. Ας δούµε πάλι το διάστηµα τ p -τ 0 πως διαµορφώνεται αν λάβουµε την αρχική στιγµή τ 0 τέτοια ώστε να περιληφθούν στο διάστηµα τ p -τ 0 µόνο πρόσφατα γεγονότα της τελευταίας ώρας ή ηµέρας και ταυτόχρονα προσθέσουµε έναν µικρό όρο τ f ώστε να συµπεριλάβουµε και µικρής εµβέλειας προβλέψιµα γεγονότα. Τότε αυτό το χρονικό διάστηµα Τ π =τ p -τ 0 +τ f αποκαλούµε παρόν. Είναι πρόδηλον ότι το τώρα παρόλο που ορίζεται µε µαθηµατικούς όρους είναι δυσκολο να απεικονισθεί, και επίσης το παρόν περιέχει αρκετή ασάφεια, γιατί ο καθένας το εννοεί διαφορετικά, αφού δεν προσδιορίζονται επακριβώς οι όροι τ 0 και τ f. Πλέον αυτού επειδή το διάστηµα Τ π είναι σχετικά µικρό, εµπεριέχει γεγονότα, µόνο κατά την κρίση εκάστου, πραγµατικά, γιατί δεν υπάρχει διαθέσιµος χρόνος για επικοινωνία (44). Έτσι ο καθέ νας συµπεριλαµβάνει στην έννοια παρόν διάφορα συµβάντα, κυρίως προσωπικού ενδιαφέροντος, στα οποία κυριαρχούν εσωτερικές σωµατικές και εγκεφαλικές λει τουργίες. Η. Διάρκεια χρόνου. Λέµε ότι ο χρόνος έχει διάρκεια. Ένα χρονικό διάστηµα διαρκεί 5 min ή ένα έτος ή έναν αιώνα. Λέµε ότι υπάρχουν µεγάλα ή µικρά χρονικά διαστήµατα, το διάστηµα π.χ. των 5 ωρών είναι µεγαλύτερο εκείνου των 4 ωρών. Δεχόµαστε λοιπόν ότι ο χρό νος έχει διάρκεια και συγκρίνουµε χρονικά διαστήµατα. Ας αναρωτηθούµε όµως πόσες χρονικές στιγµές τ i υπάρχουν στο χρονικό διάστηµα Δt 1 =5 min. Ας δούµε

15 πρώτα πόσοι πραγµατικοί αριθµοί υπάρχουν στο διάστηµα 0-5 του R. Προφανώς άπειροι αριθµοί. Στο διάστηµα 0-6; Πάλι άπειροι αριθµοί. Ποιό αριθµητικό διάστηµα είναι µεγαλύτερο το 0-5 ή το 0-6; Και τα δύο περιέχουν άπειρο αριθµό πραγµατικών αριθµών, το 0-6 όµως περιέχει και τους αριθµούς απο 5 έως 6. Άρα παραβλέποντας τους απειρισµούς λέµε ότι το διάστηµα των πραγµατικών αριθµών 0-6 είναι µεγα λύτερο του 0-5. Μπορούµε τώρα να πούµε το ίδιο και για τα χρονικά διαστήµατα Δt 2 =6 min και Δt 1 =5 min; Πως έχουµε ορίσει το χρονικό διάστηµα στο κεφάλαιο Β; Ως ένα συνολο χρονικών στιγµών. Και πως ορίσαµε την χρονική στιγµή; Ως έναν πραγµατικό αριθµό που προσκολλάται σε κάθε γεγονός. Άρα ένα χρονικό διάστηµα περιέχει τόσες χρονικές στιγµές, όσα γεγονότα συνέβησαν εντός αυτού. Το χρονικό διάστηµα Δt 1 =5 min χωράει ένα µεγάλο αριθµό συµβάντων και το Δt 2 =6 min ακόµη µεγαλύτερο, αλλά το πόσα συµβάντα περιέχει κάθε διάστηµα δεν το καθορίζουν τα µαθηµατικά αλλά η ύπαρξη συµβάντων. Σε αυτό λοιπόν που αποκαλούµε χρονικό διάστηµα 6 min µπορεί να συνέβησαν λιγώτερα γεγονότα από εκείνο των 5 min και παρόλο που το διάστηµα Δt 2 =6 min χωράει περισσότερες χρονικές στιγµές από το Δt 1 =5 min, το Δt 1 να αποδεικνύεται πυκνότερο σε συµβάντα (45). Γι αυτό δεν πρέπει να µας ξενίζει που στην κοσµολογία αναφερόµαστε σε χρονικά διαστήµατα της τάξεως του 10-36 s και να αναρωτιόµαστε τι προλαβαίνει να συµβεί στο χρονικό αυτό διάστηµα. Άπειρα γεγονότα συνέβησαν κατά την πληθωριστική περίοδο της κοσµο λογίας που διήρκεσε 10-34 s. Η διάρκεια κάθε χρονικού διαστήµατος δεν αποκτά αξία από το αριθµητικό διάστηµα από το οποίο περιγράφεται, αλλά από την πυκνότητα των γεγονότων σε αυτό το διάστηµα (46). Αυτά τα πυκνά διαστήµατα φαίνεται να έχουν την µεγαλύτερη σηµασία στην εξέλιξη του σύµπαντος (47). Θ. Οµοιοµορφία χρόνου. Είδαµε στο κεφάλαιο Α ότι η µέτρηση του χρόνου βασίζεται στην περιοδικότητα ορισµένων φαινοµένων. Ας δούµε ως παράδειγµα το ρολόϊ µίας εκκλησίας που κτυπά ει λέµε τις ώρες. Αυτό σηµαίνει ότι κάθε τόσο επαναλαµβάνει έναν ήχο και το διάστηµα απουσίας του ήχου µεταξύ δύο διαδοχικών κτυπηµάτων λέµε ότι είναι µία ώρα. Αν στο µεσοδιάστηµα αυτό συµβαίνουν άλλα γεγονότα και επιθυµούµε να τα ταξινοµήσουµε σε σχέση µε αυτή την ώρα, την χωρίζουµε σε εξήντα ίσα µέρη έκαστο των οποίων το λέµε λεπτό ώρας. Μα τι ακριβώς χωρίζουµε; Δεν έχει υλική υπόσταση αυτό που χωρίζουµε, ένας αριθµός είναι, συγκεκριµένα η µονάδα. Άρα χωρίζουµε τον αριθµό 1 σε 60 κλάσµατα. Και γιατί σε εξήντα; Μάλλον πρέπει να ανατρέξουµε πίσω στην ιστορία των Βαβυλωνίων να το εξηγήσουµε, αλλά σε κάθε περίπτωση αυτό έναι αυθαίρετο. Θα ήταν µάλιστα καλύτερα αν το χωρίζαµε σε εκατό ίσα µέρη. Και γιατί ίσα µέρη; Δεν θα µπορούσαµε να ακολουθήσουµε µία λογαριθµική κλίµακα επιµε ρισµού; Πέρα από το ότι εκείνη την εποχή δεν γνώριζαν τι σηµαίνει λογάριθµος, πρακτικοί πάλι λόγοι επέβαλαν αυτόν τον αυθαίρετο ισοµερή χωρισµό. Κάθε εξηκοστό της ώρας το καλέσαµε min και µε τον ίδιο τρόπο καθε min το χωρίσαµε σε εξήντα sec. Από εκεί και πέρα ακολουθήσαµε το δεκαδικό σύστηµα και έχουµε δέκατα, εκατοστά κ.λ.π. του sec. Η δηµιουργία αυτής της κλίµακας δεν αναφέρεται σε χρονικές στιγµές. Αντίθετα, οι χρονικές στιγµές αναφέρονται στην κλίµακα. Η χρονική στιγµή είναι ο αριθµός από την κλίµακα που θα επικολληθεί στο γεγονός όταν συµβεί. Αν δεν συµβεί γεγονός η κλίµακα µένει µία απλή διάταξη πραγµατικών αριθµών, οµοιόµορφα κατανεµηµένων. Αντίθετα η πυκνότητα των συµβάντων δεν παραµένει σταθερή, όπως π.χ. κατά την φάση ανάπτυξης ενός εµβρύου, ή κατά την

16 πληθωριστική φάση ανάπτυξης του σύµπαντος. Εκείνο που µένει σταθερό σε όλη την κλίµακα του χρόνου, ανεξάρτητα της πυκνότητας των συµβάντων είναι η ισχύς των φυσικών νόµων, που οδηγεί κατά Noether στη διατήρηση της ενέργειας. Πρέπει να σηµειώσουµε ακόµη ότι η πυκνότητα γεγονότων εξαρτάται και από το σύστηµα αναφοράς που χρησιµοποιούµε. Τούτο µας κάνει να χρησιµοποιούµε τους δυσνόη τους όρους συστολή ή διαστολή του χρόνου. Μία αντιµετώπιση του θέµατος θα µπορούσε να είναι η χρήση µίας κλίµακας, που να εξαρτάται από το σύστηµα αναφο ράς, την πυκνότητα της ενέργειας και την πυκνότητα των συµβάντων, τότε όµως θα χάναµε αυτή την κοινή αντίληψη που έχουµε για τον χρόνο. Έχουµε λοιπόν για πρακτικούς λόγους δηµιουργήσει αυθαίρετα µία γραµµική κλίµακα γιά την µέτρηση του χρόνου, τον οποίο επίσης φανταζόµαστε να ρέει οµαλά. Ο συνδυασµός της οµαλής ροής επάνω σε µία γραµµική κλίµακα είναι αυτό που καλούµε οµοιοµορφία του χρόνου. O χρόνος όµως ως σύνολο χρονικών στιγµών δεν είναι καθόλου οµοιόµορφα κατανεµηµένος ούτε στον χώρο ούτε στην γραµµική µας κλίµακα, από την οποία παίρνει τις τιµές του. Αξίζει να σταθούµε λίγο σε αυτό που µας φαίνεται σαν ροή του χρόνου και που µας δίνει µία αίσθηση συνεχούς αλλαγής στο περιβάλ λον µας. Μία συνήθης διάκριση του χώρου από τον χρόνο είναι ότι τον µεν χώρο µπορούµε να το νοήσουµε στατικό ενώ τον χρόνο όχι. Είναι αξιοσηµείωτο ότι αντίληψη του χρόνου, έχουµε µέσα από αυτό που καλούµε ροή του χρόνου. Οποιαδή ποτε περί χρόνου αντίληψη εξατµίζεται αν περιορίσουµε την σκέψη µας σε στάσιµα αµετάβλητα συστήµατα. Είµαστε συνηθισµένοι να λέµε ότι τα αντικείµενα βρίσκον ται ή κινούνται στον χώρο σαν να βρίσκονται στον αέρα ή στο νερό. Αυτό συνέβαλε στο να θεωρούµε τον χώρο γεµάτο από µία ουσία, τον αιθέρα. Λέµε επίσης ότι ο χρόνος ρέει σαν να τον µετράµε ως ρευστό που περνάει από µπροστά µας, µε διαφορετική πολλές φορές ταχύτητα ροής. Ο χρόνος βέβαια δεν είναι ρευστό. Αυτό που καλούµε ροή χρόνου είναι η διαδοχή των γεγονότων που συµβαίνουν στον κόσµο. Αυτή την συνεχή διαδοχή των γεγονότων µας διευκολύνει να την παριστούµε µέσω ενός µεγέθους που καλούµε χρόνο. Ι. Χρόνος ή γεγονότα. Μέχρι τώρα η οποιαδήποτε προσπάθεια να νοηθεί ο χρόνος κυµαίνεται µεταξύ δύο αντιδιαµετρικών απόψεων. Μίας άποψης που τον τοποθετεί στο οντολογικό πεδίο της φιλοσοφίας και µίας δεύτερης άποψης που τον αντιµετωπίζει εµπειρικά µέσα στο διαθέσιµο γνωστικό πεδίο των φυσικών επιστηµών. Είναι προφανές ότι το παρόν πόνηµα ακολουθεί την δεύτερη άποψη και για να γίνει αυτό πιό διάφανο θα συγκεν τρώσουµε στα επόµενα τα στοιχεία εκείνα που νοµίζουµε ότι την δικαιολογούν. Τα στοιχεία αυτά εκπορεύονται από τον χώρο της φυσικής επιστήµης είτε ως πορίσµατα κρατούσας θεωρίας είτε ως αποτέλεσµα πειραµατικών διεργασιών. - Ο χρόνος όπως και ο χώρος διαµορφώνεται κατά την γενική θεωρία της σχετικό τητας από την ενέργεια και τις εκφάνσεις αυτής πυκνότητα και πίεση. - Ο χρόνος δεν µπορεί να µετρηθεί χωρίς γεγονότα, χωρίς δηλαδή µεταβολές στην ενέργεια. Στην θερµοδυναµική ισορροπία δεν υπάρχει µετρούµενος χρόνος. - Η εξάρτηση του χρόνου από τα γεγονότα τον διαφοροποιεί σε τοπικό ή παγκόσµιο, σε πραγµατικό για το παρελθόν και υποθετικό για το µέλλον, µίας κατεύθυνσης ή της

17 αντίθετής της ανάλογα µε τις µεταβολές της εντροπίας, σε πυκνό ή αραιό ανάλογα µε την κινητική κατάσταση του συστήµατος αναφοράς. - Ο χρόνος δεν χαρακτηρίζεται από οµοιοµορφία ούτε στον χώρο ούτε στην κλίµακα µέτρησής του. - Ο χρόνος εµπλέκεται σε κβαντικά φαινόµενα τουλάχιστον µέσω της σχέσης ΔE.Δt > h. - Ίσως η κύρια αντίληψη στον άνθρωπο για τον χρόνο να έρχεται από την µη στασιµότητα του (αίσθηση ροής) και από την περιοδικότητα των γεγονότων. - Η παραδοχή χρόνου ανεξάρτητου των γεγονότων οδηγεί στο να παίρνουν οι χρονικές στιγµές όλες τις τιµές των πραγµατικών αριθµών, ενώ η εξάρτηση του από τα γεγονότα δέχεται ως χρονικές στιγµές µόνο τους πραγµατικούς αριθµούς που προσκολλώνται στα γεγονότα. - Ο ορισµός ενός γεγονότος καθορίζεται από την διακρισιµότητα µίας στοιχειώδους µεταβολής της ενέργειας, περιορίζεται λοιπόν από της αρχή της απροσδιοριστίας. - Η µεταβολή της ενέργειας και ο τρόπος µεταβολής της προσδιορίζουν την µεταβολή της εντροπίας ενός συστήµατος, στα µονωµένα δε συστήµατα όπου η ενέργεια διατηρείται οδηγούµαστε σε αύξηση της εντροπίας. - Όλα τα αυθόρµητα γεγονότα οδηγούν σε θερµοδυναµική ισορροπία. - Πραγµατικά γεγονότα έχουµε µόνο στο παρελθόν, έστω και αν επαληθεύονται εκ των υστέρων. Όλα τα προηγούµενα οδηγούν στα εξής δυνατά σενάρια. α. Άλλο η οντότητα χρόνος και άλλο αυτό που µετράµε και λέµε χρόνο. Ο χρόνος ως φιλοσοφική οντότητα δεν εξαρτάται από την ύλη, αλλά και αν ακόµη κάποτε διαµορ φώθηκε από την ύλη/ενέργεια δεν καθορίζεται από ανθρώπινες δράσεις, όπως είναι οι µετρήσεις. Μήπως αυτό που µετράει ο άνθρωπος είναι σκιά του χρόνου; Ο απόλυτος αυτός χρόνος δεν µπορεί ως εκ τούτου να µηδενίζεται, να αναστρέφεται, και να εµφανίζει χαρακτηριστικά εξαρτώµενα από την δραστηριότητα ενός εκάστου των ανθρώπων ή να αναµένει από τον άνθρωπο να διαπιστώσει την ύπαρξη του. Ο χρόνος αυτός είναι µία ιδέα, µία θεία ιδέα. Ο ιδεατός αυτός χρόνος τι σχέση µπορεί να έχει µε τον χρόνο της φυσικής, αφού η ύπαρξή του δεν µπορεί να επαληθευτεί. Και αν η διανόηση εύρει, µε λογικές επεξεργασίες µόνο, την σχέση αυτού του ιδεατού χρόνου µε εκείνον της φυσικής, θα τεθεί αυτή υπό πειραµατικό έλεγχο; Ποιός καθοδηγεί τότε την επαναδιατύπωση της σχέσης, η οντολογία ή η φύση; Τέλος αν δεν υπάρχει τέτοια σχέση προς τι η φασαρία; β. Δεν υπάρχει απόλυτος χρόνος. Υπάρχει µόνο ότι µετράµε. Ως εκ τούτου ο χρόνος είναι ένα φυσικό µέγεθος που εξαρτάται από την ύλη/ ενέργεια και τις µεταβολές αυτής. Άλλοτε κινείται προς µία κατεύθυνση, άλλοτε προς την αντίθετη και άλλοτε µηδενίζεται. Μπορεί να ρέει και να διαστέλλεται ή συστέλλεται ανάλογα µε την κίνηση του παρατηρητή ή την πυκνότητα της ενέργειας στον χώρο. Τέλος σε πολλές µετρήσεις µένει απροσδιόριστος παρασύροντας στην αµφιβολία και αυτήν την

18 ύπαρξή του. Πραγµατικός χρόνος είναι ο παρελθόντας χρόνος, για µελλοντικό χρόνο δεν µπορούµε να πούµε τίποτα. γ. Δεν υπάρχει απόλυτος χρόνος. Ο χρόνος απαιτεί γεγονότα όχι µόνο για να µετρηθεί αλλά ακόµα και για να νοηθεί. Απεναντίας τα γεγονότα δεν απαιτούν ρολόϊ για να γίνουν αντιληπτά. Η αλλαγή µίας κατάστασης διαπιστώνεται µε την σύγκριση. Ο χρόνος λοιπόν δεν είναι τίποτε περισσότερο από µια εγκεφαλική έννοια, που µας βοηθά να ταξινοµήσουµε και να συγκρίνουµε τα γεγονότα (Βλ.Παράρτηµα). Ο άνθρωπος µπορεί να σκέπτεται, να συσχετίζει και δηµιουργεί δικούς του νόµους στους οποίους εµπλέκεται και αυτή η έννοια χρόνος, διατηρούµε δε την εικόνα που έχουµε σχηµατίσει γι αυτόν, έως ότου µπορέσουµε να εξηγήσουµε γιατί και πώς µεταβάλλεται η ενέργεια. Μπορούµε ως εκ τούτου να µιλάµε για αναµενόµενα γεγονότα και για µελλοντικό, πιθανό βέβαια, χρόνο. Μπορούµε να φανταζόµαστε την ροή του χρόνου σαν ροή ρευστού γνωρίζοντας ότι αυτό δεν είναι παρά µία απεικόνιση. Η µέτρηση όµως παραµένει ένα βασικό εργαλείο για να επιβεβαιωθούν οι εικόνες που σχηµατίζουµε για την κατανόηση του κόσµου, γιατί η φύση µπορεί να δυστροπεί στο να αποκαλύψει τα µυστικά της αλλά αν µιλήσει, δεν ψεύδεται. ΙΑ. Χωρίς τον χρόνο. Αν αποπειραθούµε να ερµηνεύσουµε την φύση, µέσα από τα γεγονότα χωρίς να βασιζόµαστε στην έννοια χρόνος, τότε θα πρέπει να εξασφαλίσουµε τουλάχιστον τα επόµενα βήµατα. 1 ον. Να ορίσουµε την ενέργεια χωρίς τον χρόνο. Στην φυσική η ενέργεια, ως η ικανότητα να επιτελεσθεί έργο, θεωρείται παράγωγο µέγεθος. Το έργο ορίζεται από τα θεµελιώδη µεγέθη µήκος [L], µάζα [M], και χρόνο [T], µε αντίστοιχες µονάδες στο σύστηµα MKS, το µέτρο (m), το χιλιόγραµµο (kg) και το δευτερόλεπτο (s). Όταν λέµε ότι ένα φυσικό µέγεθος είναι παράγωγο, σηµαίνει ότι µπορεί να ορισθεί από έναν συνδυασµό των θεµελιωδών µεγεθών (που ούτως ή άλλως λαµβάνονται αυθαίρετα). Αν λάβουµε το µήκος, την µάζα και την ενέργεια ως θεµελιώδη τότε ο χρόνος αποδεικνύεται παράγωγο µέγεθος (48). 2 ον. Να µπορούµε να διαπιστώσουµε µεταβολές της ενέργειας χωρίς την συνδροµή της έννοιας χρόνος. Το έργο και η ενέργεια δεν απαιτούν τον χρόνο, για να διαπιστωθούν. Όταν ένα ατο µικό σωµατίδιο αλλάζει ενεργειακή κατάσταση και εκπέµπει ένα φωτόνιο, δεν χρεια ζόµαστε χρονόµετρο για να το διαπιστώσουµε, µας αρκεί να έχουµε έναν καλό ανι χνευτή φωτονίων. Παρατηρώντας δύο φωτογραφίες που δείχνουν το ίδιο αντικεί µενο µπορούµε να διαπιστώσουµε µεταβολές µε µία απλή σύγκριση και µόνο. Πότε ελήφθησαν οι φωτογραφίες είναι αδιάφορο. Το πόσο έχει γεράσει ένας ανθρώπος δεν το δείχνει η ηµεροµηνία γεννήσεως που αναγράφεται στην ταυτότητά του, αλλά η σύγκριση µε τον ίδιο άνθρωπο σε νεαρώτερη ηλικία. Όταν µελετάµε την εξέλιξη ενός µεγέθους µε εκθετικούς νόµους (π.χ. N=N 0 e -λt ), αυτό πού συµβολίζουµε ως χρόνο δεν είναι τίποτα περισσότερο από µία σύγκριση δύο τιµών Ν και Ν 0 ενός µεταβλητού µεγέθους σε λογαριθµική κλίµακα. Η ασθενής αλληλοεπίδραση αδιαφορεί πλήρως για το τι θα λέει το χρονόµετρο όταν προκαλέσει την εκποµπή ενός σωµατιδίου β (48). Αυτό που λέµε ηλικία του σύµπαντος δεν είναι παρά η µετατόπιση των φασµατικών

19 γραµµών, λόγω διαστολής του χώρου, της ακτινοβολίας που παίρνουµε από µακρυ νούς γαλαξίες. 3 ον. Να διαθέτουµε ένα σύνολο πραγµατικών αριθµών R. Το γνωστό µας σύνολο πραγµατικών αριθµών δεν σχετίζεται πουθενά µε την έννοια χρόνος. Μπορούµε να πάρουµε οποιοδήποτε διάστηµα απείρων αριθµών από το σύνολο αυτό. Δεν υπάρχει καµία εµπλοκή του χρόνου όταν µας απασχολεί το διάστηµα των αριθµών 0 x π ή e x ή 10-13 x 10 9 κ.λ.π. Τα προηγούµενα είναι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για µία θεµελίωση της φυσικής χωρίς την έννοια χρόνος. Μπορούµε τότε να ορίσουµε ως γεγονός ε µία απειροελάχιστη µεταβολή της ενέργειας που περιέχεται σε έναν απειροελάχιστο όγκο v του χώρου, και να της επικολλήσουµε έναν αριθµό από το R. Αν η µεταβολή αυτή προκαλεί µία ακόµη, δεν θα έχουµε δυσκολία να αντιστοιχίσουµε και σε αυτή την µεταβολή έναν άλλο αριθµό µεγαλύτερο του προηγουµένου. Σχέσεις µεταξύ των γεγονότων θα µας οδηγήσουν στην ιεράρχηση των αριθµών αυτών που θα καλούµε χρονικές στιγµές. Ως εκ τούτου ένα ορισµένο πεδίο στο R θα περιέχει άπειρους αριθµούς, αλλά πεπερασµένο πλήθος χρονικών στιγµών και συγκεκριµένα τόσες όσα είναι τα γεγονότα. Σε πεπερασµένη µεταβολή ενέργειας όσο µεγαλύτερη είναι η µεταβολή, τόσο περισσότερα γεγονότα απαιτούνται για να την περιγράψουν, άρα περισσότερες χρονικές στιγµές. Αυτό σηµαίνει ότι η πυκνότητα των χρονικών στιγµών µέσα σε ένα διάστηµα του R καθορίζει την ένταση της µεταβολής. Εκφράσεις τότε όπως, ταχύτητα ροής του χρόνου, διάρκεια του φαινοµένου, ένταση του φαινοµένου θα περιγράφονται από το υποσύνολο των πραγµατικών αριθµών που χρησιµοποιούµε ως χρονικές στιγµές. Από τα προηγούµενα φαίνεται ότι µπορούµε να ορίσουµε το γεγονός χωρίς τον χρόνο και στην συνέχεια να χρησιµοποιούµε τους αριθµούς που καλούµε χρονικές στιγµές για να µας διευκολύνουν στους υπολογισµούς µας. Το αν αυτό το σύνολο των χρονικών στιγµών το πούµε χρόνο εξαρτάται µόνο από το αν πρακτικά µας βοηθά η εισαγωγή της έννοιας αυτής στον κόσµο της Φυσικής. Ως κατακλείδα όµως επιση µαίνουµε ότι ενώ έχουµε αποδεχθεί ένα τρόπο σκέψης όπου θεωρούµε συµβατό µε τους νόµους της Φυσικής την µονοτονία, οµοιογένεια και ισοτροπία στις µεταβολές των φυσικών µεγεθών, δυσκολευόµαστε να αποδεχθούµε παρόµοια συµπεριφορά από τον χρόνο. Δεν µπορούµε να φανταστούµε τον χρόνο να πηγαίνει εµπρός εδώ, πίσω εκεί, εµπρός παγκόσµια, πίσω τοπικά, για άλλον γρήγορα, για άλλον αργά, αλλιώς στο έµβρυο, αλλιώς στην µητέρα που φέρει το έµβρυο. Αυτός είναι ένας λόγος να αφήσουµε τον χρόνο να είναι µία βολική παράµετρος (βλ. Παράρτηµα), µία ετικέτα στα γεγονότα και να εστιάσουµε την προσοχή µας στα ίδια τα γεγονότα, σε αυτήν την αναπόφευκτη ροή τους, που συνηθίζουµε να καλούµε ροή του χρόνου. Η εξίσωση Wheeler-DeWitt (50) είναι ένα καλό παράδειγµα προς τούτο. Εκείνο που θα πρέπει να µας απασχολήσει είναι γιατί συµβαίνουν γεγονότα; Γιατί η ενέργεια πρέπει συνεχώς να µεταβάλλεται και να υποβαθµίζεται οδηγώντας σε αύξηση της εντροπίας; Γιατί αυτές οι µεταβολές είναι άλλοτε πυκνές και άλλοτε αραιές; Μπορεί να είναι βολικό, πιο πρακτικό να µιλάµε για ροή του χρόνου αντί για ροή γεγονότων, αλλά µην ξεχνάµε ότι δεν είναι ο χρόνος που οδηγεί στον θάνατο, αλλά η υποβάθµιση της ενέρ γειας που οδηγεί σε αυτόν. Μήπως τελικά θα πρέπει σαν τους κινέζους αλχηµιστές να προσπαθήσουµε να επιβραδύνουµε τις φυσικές διεργασίες φθοράς; (51)

20 ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΠΟΜΠΩΝ (1). Ένα φυσικό µέγεθος δεν ορίζεται και λέγεται θεµελιώδες όταν δεν παράγεται από άλλες έννοιες, θεωρείται δηλαδή ότι δεν αναλύεται σε άλλες απλούστερες, ήδη γνωστές έννοιες. Ορίζουµε µια έννοια όταν προσπαθούµε να την καταστήσουµε διακριτή αναγνωρίσιµη και επικοινωνήσιµη. Αυτό επιτυγχάνεται µε πολλούς τρόπους που είναι κυρίως δύο κατηγοριών. Στην πρώτη κατηγορία καταγράφεται/περιγράφεται το περιεχόµενο του όρου (descriptive definition) ενώ στην δεύτερη κατηγορία µε κάποιο τρόπο καταδεικνύεται το οριζόµενο ( ostensive definition). (2). Ο µη ορισµός ενός µεγέθους δεν συνεπάγεται και αδυναµία µέτρησης του. Τούτο επιτυγχάνεται γιατί πολλές φορές µπορούµε να συγκρίνουµε ποσότητες ενός µεγέθους έστω και µη σαφώς ορισµέ νου. Μέτρηση σηµαίνει σύγκριση. Πολλές φορές ο προσδιορισµός του λόγου δύο ποσοτήτων γίνεται µε αναφορά σε άλλα θεµελιώδη µεγέθη. Για τον λόγο µαζών π.χ. χρειαζόµαστε λόγο µηκών και λόγο χρονικών διαστηµάτων, για τον λόγο θερµοκρασιών χρειαζόµαστε τους προηγούµενους αλλά επιπλέον και τον λόγο των ποσοτήτων ύλης (λόγο των moles). (3). Θεωρούµε οτι αυτό συµβαίνει όταν ο παρατηρητής κινείται µε την ταχύτητα του φωτός ως προς το παρατηρούµενο αντικείµενο ή όταν π.χ. αυτό βρίσκεται στον ορίζοντα µιας µαύρης τρύπας. (4). Στο κείµενο αυτό γίνεται συχνά αναφορά στην νοήµονα ζωή, στον ανθρώπινο νου ή εγκέφαλο. Οι όροι όµως αυτοί είτε δεν είναι σαφώς ορισµένοι, ή άγνωστοι στην λειτουργία τους, ή µεταβλητοί. Αν αναφερθούµε π.χ. στον άνθρωπο, δεν γνωρίζουµε ακόµα πλήρως την λειτουργία του εγκεφάλου του, πλέον του γεγονότος ότι ο εγκέφαλος εξελίσεται. Πως λειτουργούσε στην πρώιµη φάση της εξέλιξης του ανθρώπινου είδους; Είναι λοιπόν επικίνδυνο µε την γνώση του σηµερινού ανθρώπου να αναγό µαστε σε πρώιµες φάσεις της εξέλιξής του, γι αυτό πρέπει να αναφερόµαστε στην λειτουργία ενός πρώιµου νού σε όσο το δυνατόν απλούστερα θέµατα. (5). Και σήµερα τα ρολόγια υψηλής ακρίβειας βασίζονται στην συχνότητα της ακτινοβολίας Cs που προκύπτει κατά την µετάπτωση ηλεκτρονίου µεταξύ σταθµών ενέργειας διαφορετικού spin. (6). Πώς µπορούµε να θεωρούµε σταθερή την περίοδο ενός φαινοµένου αν δεν έχουµε χρονόµετρα και µονάδες µέτρησης. Μόνο οι εσωτερικοί ρυθµοί µπορούν να δώσουν µία βάση σύγκρισης. (7). Θα µπορούσε κάποιος να αντιτείνει ότι άλλο ο χρόνος ως φυσική οντότητα και άλλο το πεδίο τιµών του, που είναι µαθηµατικό κατασκεύασµα. Η φυσική όµως οντότητα δεν νοείται ως αφηρηµένη, αλλά ως µετρούµενη έννοια και απαιτεί πεδίο τιµών. Αν οδηγηθούµε πάλι στο ότι εκτός από τον µετρούµενο χρόνο υπάρχει άλλος ως αφηρηµένη µη µετρούµενη οντότητα, τότε θα πρέπει να το εντάξουµε σε χώρο πέρα των φυσικών επιστηµών. Το ότι επιλέγεται το σύνολο των πραγµατικών αριθµών για την απεικόνιση του χρόνου είναι προφανώς εµπειρική επιλογή που σχετίζεται µε τα χαρακτηριστικά του. (8). Η περιοδικότητα ορισµένων φαινοµένων είναι µέχρι τώρα απαραίτητη προϋπόθεση για την µέτρηση του χρόνου. Το αξιοσηµείωτο έγκειται στο ότι δεν έχει προταθεί µέτρηση του χρόνου χωρίς γεγονότα. Άσχετα λοιπόν από διάφορες φιλοσοφικές ή θεολογικές θεωρήσεις για κυκλικό ή γραµµικό χρόνο δεν φαίνεται να µπορούµε να τον µετρήσουµε χωρίς την εµφάνιση γεγονότων. (9). Στο κείµενο διαχωρίζουµε την έννοια συµβάν, όπως την χρησιµοποιούµε στην συνήθη γλώσσα (που είναι πεπερασµένη µεταβολή µε αρχή καί τέλος), από το απειροστό συµβάν (ΔΕ στο ΔV 0) που µπορεί, και συνήθως είναι, µέρος της συνολικής µεταβολής. (10). Δύο αναπαραγωγήσιµα γεγονότα πάντοτε µπορεί να αποδειχθεί αν είναι συσχετισµένα ή όχι. ( Reinhenbach: Space and Time). (11). Παράδειγµα : Ο Αισχύλος γεννήθηκε, συµβάν ε 1 παίρνει την ετικέτα που λέµε χρονική στιγµή τ 1. Ο Αισχύλος πολέµησε στον Μαραθώνα, συµβάν ε 2 µε ετικέτα τ 2 και πέθανε, συµβάν ε 3 µε ετικέτα τ 3. Τα τρία συµβάντα ε 1 ε 2 ε 3 είναι µη αναστρέψιµα συνεπώς καθορίζουν την σειρά τ 1 < τ 2 < τ 3. Και ο Κυναίγειρος µεγαλύτερος αδελφός του Αισχύλου, γεννήθηκε ε 4, πολέµησε στον Μαραθώνα ε 5, και