Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Transcript

1 Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων διαφορών και κάνουµε µια εισαγωγή στις στοχαστικές διαδικασίες. Τόσο οι εξισώσεις διαφορών όσο και οι στοχαστικές διαδικασίες είναι εξαιρετικά χρήσιµες για τη µελέτη των οικονοµικών κύκλων και 3. Τελεστές Χρονικής Υστέρησης Οι εξισώσεις διαφορών είναι ένα εξαιρετικά χρήσιµο εργαλείο στη δυναµική οικονοµική. Για να τις αναλύσουµε πιο εύκολα, ορίζουµε τους τελεστές χρονικής υστέρησης. Ο τελεστής χρονικής υστέρησης L για µία µεταβλητή x t ορίζεται από, Lx t x t L n x t x t n for n..., -, -, 0,,,... () Ο πολλαπλασιασµός της x t µε το L n δίνει την τιµή της x πριν από n περιόδους. Παρατηρούµε ότι αν το n είναι αρνητικό ( n < 0 ) o τελεστής χρονικής υστέρησης µετακινεί την x t στο µέλλον, δηλαδή µετά από n περιόδους. Ο ορισµός αυτός είναι µαθηµατικά κάπως χαλαρός. Πιο αυστηρά, υποθέτουµε µία ακολουθία, { x η οποία συνδέει ένα πραγµατικό αριθµό x t µε κάθε ακέραιο αριθµό t. Εφαρµόζοντας στην t } t ακολουθία αυτή τον τελεστή L n, λαµβάνουµε µία νέα ακολουθία { } t τελεστής L n προβάλλει την µία ακολουθία σε µία άλλη. Ας εξετάσουµε τώρα ένα πολυώνυµο στον τελεστή χρονικής υστέρησης. { x t n } t. Ο A(L) 0 + L + L +... j 0 j L j () Εφαρµόζοντας στη µεταβλητή x t το πολυώνυµο A(L) λαµβάνουµε ένα κινητό άθροισµα των x σε διαφορετικές χρονικές περιόδους. A(L) x t ( 0 + L + L +... ) x t j x t j (3) j 0 Θα περιοριστούµε σε ρητές συναρτήσεις, δηλαδή σε πολυώνυµα που µπορούν να εκφραστούν ως ο λόγος δύο πεπερασµένων πολυωνύµων στο L. Υποθέτουµε ότι,

2 A(L) B(L)/C(L) (4) όπου, m B(L) b j L j, C(L) j 0 n c j 0 j L j (5) όπου τα b j και c j είναι σταθερές. Ο συνδυασµός των (4) και (5) επιβάλλει µια πιο οικονοµική και περιοριστική µορφή στα j, χωρίς ωστόσο να υπάρχει µεγάλη απώλεια γενικότητας. Μια ειδική περίπτωση της (4) και (5) είναι το λεγόµενο γεωµετρικό πολυώνυµο το οποίο λαµβάνει τη µορφή, A(L) λl (6) Από τις ιδιότητες των γεωµετρικών προόδων, το γεωµετρικό πολυώνυµο µπορεί να αναπτυχθεί µε δύο τρόπους. A(L) λl + λl + λ L +... (7) A(L) λl - λl [ + λ L + ( λ ) L +... ] (8) Όπως θα δούµε παρακάτω, η ανάπτυξη (7) χρησιµοποιείται όταν λ <, και η ανάπτυξη (8) όταν το λ >. Αν πολλαπλασιάσουµε το γεωµετρικό πολυώνυµο (6) µε κάποια µεταβλητή x t, έχουµε, A(L) x t λl x t (9) Με την ανάπτυξη (7) για το A(L) έχουµε, λl x t [ + λl + λ L +... ] x t x t + λ x t + λ x t +... λ i x t i (0) i 0 Εάν το λ <, και το { x t } t είναι µία πεπερασµένη ακολουθία πραγµατικών αριθµών, τότε και η (0) ορίζει µία πεπερασµένη ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

3 Από την άλλη υπάρχει και η εναλλακτική ανάπτυξη της (9). Χρησιµοποιώντας την (8), έχουµε, λl x t - λl [ + λ L + ( λ ) L +... ]x t - λ x t + - ( λ ) x t ( λ )i x t +i () i Εάν το λ >, και το { x t } t είναι µία πεπερασµένη ακολουθία πραγµατικών αριθµών, τότε η () ορίζει µία πεπερασµένη ακολουθία πραγµατικών αριθµών, καθώς έχουµε ότι το /λ <. Επειδή σε πολλές περιπτώσεις στα οικονοµικά επιθυµούµε τη σύγκλιση σε κάποια ισορροπία, επιδιώκουµε την ανάλυση πεπερασµένων ακολουθιών. Με αυτή την έννοια επιλέγουµε την επέκταση «προς τα πίσω», όταν το λ <, και την επέκταση «προς τα εµπρός», όταν το λ >. 3. Πρωτοβάθµιες Εξισώσεις Διαφορών Ας θεωρήσουµε τώρα την πρωτοβάθµια γραµµική εξίσωση διαφορών, +λ () Η () µπορεί να γραφεί ως, (-λl) (3) Διαιρώντας και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης µε (-λl) έχουµε, λl + cλ t λ + cλ t (4) όπου c είναι µία οποιαδήποτε σταθερά. Ο λόγος που περιλαµβάνουµε τον όρο cλ t είναι ότι για οποιοδήποτε c, (-λl) cλ t cλ t -λcλ t 0. Άρα, αν πολλαπλασιάσουµε την (4) µε (-λl), επανερχόµαστε στην (3). Η (4) προσδιορίζει τη γενική λύση της πρωτοβάθµιας εξίσωσης διαφορών (). Για να βρούµε µία «συγκεκριµένη λύση», πρέπει να µπορούµε να προσδιορίσουµε το c. Ας υποθέσουµε ότι στο χρόνο t0, η y είχε την τιµή y 0. Από την (4) προκύπτει ότι, c y 0 - λ (5) Η λύση της () δίνεται συνεπώς από, 3

4 λ + λ t ( y 0 - λ ) (6) Εάν η αρχική τιµή y 0 /(-λ), τότε η (6) συνεπάγεται ότι y 0 t 0. Συνεπώς το /(-λ) είναι σηµείο ισορροπίας. Εάν επιπλέον λ <, η (6) συνεπάγεται ότι, lim t λ (7) H (7) συνεπάγεται ότι το σύστηµα είναι σταθερό, καθώς τείνει να προσεγγίσει τη µακροχρόνια ισορροπία µε την πάροδο του χρόνου. Εάν λ >, η µόνη λύση είναι η άµεση προσαρµογή του στο µακροχρόνιο σηµείο ισορροπίας / (-λ). Η λύση αυτή συνεπάγεται c 0, /(-λ) t. 3.3 Στοχαστικές Διαδικασίες Ερχόµαστε τώρα σε εξισώσεις διαφορών που επηρεάζονται από τυχαίες διαταραχές. Οι εξισώσεις διαφορών αυτού του είδους λέγονται στοχαστικές εξισώσεις διαφορών και είναι εξαιρετικά χρήσιµες για τη µελέτη των οικονοµικών κύκλων. Για να τις αναλύσουµε χρειάζεται µία εισαγωγή στις στοχαστικές διαδικασίες. Μία στοχαστική διαδικασία ορίζεται ως µία συλλογή τυχαίων µεταβλητών που εξαρτώνται από το δείκτη του χρόνου. Σε κάθε χρονική στιγµή t T, αντιστοιχεί µία τυχαία µεταβλητή. Ο νόµος των πιθανοτήτων που αντιστοιχεί σε κάθε στοχαστική διαδικασία χαρακτηρίζεται από τη συλλογή των µαθηµατικών προσδοκιών (µέσων) της στοχαστικής διαδικασίας, και από τη συλλογή των συνδιακυµάνσεων των διαφόρων y σε διαφορετικές χρονικές στιγµές. Ο µέσος της διαδικασίας δίνεται από, E µ t, t T (8) όπου E είναι ο τελεστής των µαθηµατικών προσκοκιών. Οι συνδιακυµάνσεις δίδονται από, Ε[ ( - µ t )( y s - µ s ) ] σ t,s (9) Μία στοχαστική διαδικασία θεωρείται στάσιµη µε την ευρεία έννοια όταν ο µέσος µ t είναι ανεξάρτητος από το t, και η συνδιακύµανση σ t,s εξαρτάται µόνο από το t-s. 4

5 Η βασική στοχαστική διαδικασία που αποτελεί το θεµέλιο όλων των διαδικασιών που θα αναλύσουµε, είναι η διαδικασία που ονοµάζεται «λευκός θόρυβος» (white noise). Στη διαδικασία αυτή ο µέσος ισούται µε το µηδέν, η διακύµανση είναι σταθερή, και η συνδιακύµανση ισούται µε το µηδέν για t s. Η στοχαστική διαδικασία του «λευκού θορύβου» ε t ικανοποιεί κατά συνέπεια τις ακόλουθες συνθήκες. Ε ( ε t ) 0 t E ( ε t ) σ ε t (0) Ε (ε t ε s ) 0 s t Βλέπουµε ότι στη διαδικασία του «λευκού θορύβου» δεν υπάρχει καµµία χρονική συσχέτιση. Η συνδιακύµανση ισούται µε το µηδέν σε διαφορετικές χρονικές περιόδους. Μία άλλη χρήσιµη κατηγορία γραµµικών στοχαστικών διαδικασιών είναι οι «αυτοπαλίνδροµες στοχαστικές διαδικασίες» ( utoregressive ή AR ). Θα περιοριστούµε στην αυτοπαλίνδροµη διαδικασία πρώτου βαθµού ( AR() ), η οποία ορίζεται από, λ () όπου η ε t είναι µία διαδικασία «λευκού θορύβου». Από την () προκύπτει ότι, λl ε t λ i ε i 0 t i () Βλέπουµε από την () ότι η αυτοπαλίνδροµη αυτή διαδικασία έχει ως θεµέλιο το λευκό θόρυβο ε t. Από την () έχουµε, Ε ( ) E ( ) E ( s ) λ E( ε t ) 0, λ σ ε λ s λ σ ε t t (3) t, s Βλέπουµε από την (3) ότι η στοχαστική διαδικασία αυτή είναι στάσιµη, εάν λ <. Εάν λ, η αυτοπαλίνδροµη διαδικασία πρώτου βαθµού είναι µη στάσιµη και παίρνει τη µορφή, 5

6 (4) Η µη στάσιµη αυτή διαδικασία ονοµάζεται τυχαίος περίπατος (rndom wlk). Η πρώτη διαφορά του είναι µία τυχαία µεταβλητή (λευκός θόρυβος). Από την (4) προκύπτει, Δ - ε t (5) Δ είναι ο τελεστής των πρώτων διαφορών. Ο τυχαίος περίπατος είναι µία ειδική περίπτωση οµογενών µη στάσιµων στοχαστικών διαδικασίων, οι οποίες καθίστανται στάσιµες όταν µετασχηµατιστούν λαµβάνοντας τις πρώτες διαφορές τους µία ή περισσότερες φορές. Μία άλλη κατηγορία στοχαστικών διαδικασιών είναι οι κινητοί µέσοι (moving verge ή MA). Ο κινητός µέσος πρώτου βαθµού (MA()) ορίζεται από, ε t - θ ε t ( - θl) ε t (6) Από την (6) προκύπτει ότι, Ε ( ) ( -θ ) E( ε t ) 0, t E ( ) ( +θ ) σ ε t (7) E ( s ) -θ σ ε t, s 0 t, s > Από την (7) προκύπτει ότι η στοχαστική αυτή διαδικασία είναι στάσιµη. Οι αυτοπαλίνδροµες στοχαστικές διαδικασίες και οι κινητοί µέσοι µπορούν να συνδυαστούν. Για παράδειγµα, η συνδυασµένη αυτοπαλίνδροµη-κινητός µέσος πρώτου βαθµού διαδικασία (ARMA(,)) ορίζεται από, λ - θ ε t θl λl ε t (8) Η στοχαστική διαδικασία αυτή είναι στάσιµη εάν λ <. 3.4 Δευτεροβάθµιες Εξισώσεις Διαφορών Ερχόµαστε τέλος εν συντοµία στη δευτεροβάθµια εξίσωση διαφορών + b + c (9) H (9) µπορεί να γραφεί ως, 6

7 ( bl cl ) (30) Η (30) µπορεί να µετασχηµατιστεί σε, ( λ L)( λ L) (3) όπου, λ + λ b (3) λ λ c (33) Από την (3), η γενική λύση της (9) παίρνει τη µορφή, ( λ L)( λ L) + d t t λ + d λ (34) Οι λ και λ είναι οι δύο ρίζες της δευτεροβάθµιας εξίσωσης διαφορών, και οι d και d είναι δύο απροσδιόριστες σταθερές. Για να προσδιοριστούν χρειάζονται δύο αρχικές συνθήκες, ή µία αρχική και µία τελική συνθήκη, ανάλογα µε τις τιµές των δύο ριζών. Θα έχουµε σύγκλιση εάν λ <, και λ <. Η αυτοπαλίνδροµη στοχαστική διαδικασία δευτέρου βαθµού ( AR() ) έχει µορφή ανάλογη της (9). Μπορούµε να την γράψουµε ως, + b + c (35) όπου η ε t είναι µία στοχαστική διαδικασία λευκού θορύβου. Οι συνθήκες για να είναι στάσιµη η στοχαστική διαδικασία AR() είναι ανάλογες µε τις συνθήκες για να υπάρχει σύγκλιση στην απλή δευτεροβάθµια εξίσωση διαφορών. 7