f f x f x = x x x f x f x0 x

Transcript

1 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό 3. η f και η παράγωγος της δεν έχουν απαραίτητα το ίδιο πεδίο ορισµού 4. για να βρω τα α και β ώστε φ παραγωγισιµη σε σηµείο a. παραδέχοµαι ότι είναι συνεχής και παίρνω σχέση για τα α και β b. επιστρέφω στον τύπο της φ χρησιµοποιώ τη σχέση που βρήκα και κερδίζω άγνωστο και παίρνω την συνθήκη για να είναι φ παραγωγίσιµη 1 5. για την παράγωγο της αντίστροφης χρησιµοποιώ τη σχεση f ( f ) = οπότε 1 1 ( ( ))( ) ( ) = 1. f f f 6. αν δίνεται συναρτησιακή σχέση ΙΣΟΤΗΤΑ και a. f παραγωγίσιµη τότε παραγωγίζω b. αν f δεν γνωρίζω ότι είναι παραγωγίσιµη δουλεύω µε ορισµό και προσπαθώ να εκµεταλλευτώ τη σχέση που δίνεται και τον ορισµό lim R= 7. Έτσι αν δίνεται f ( + h) a. f ( + y) =... χρησιµοποιώ lim h h b. f ( y ) =... i. Θέλω να κάνω το = f ( h) οποτε για να ειναι = h θέτω h = h = µε h 1 οταν ii. Σπανιότερα a= h = h µε h aοταν a 8. να θυµάµαι όταν f παραγωγίσιµη στο είναι f ( + ah) lim = a, a h h 9. Αν δίνεται ανισότητα και συναρτησιακή σχέση εµφανίζουµε τον ορισµό και δουλευουµε µε αυτόν π.χ δείξετε ότι f παραγωγίσιµη και µάλιστα σταθερή a., y Rισχυει f ( y) y να, y Rισχυει f ( y) y (1) ετσι y= f f φανερά για (1) ( ) ( ) = ισχύει σαν 1

2 ισότητα. αν (1) < παρεµβολής = = c f ( ) lim = = f ( ) αρα και απο κριτήριο 1. η εξίσωση εφαπτοµένης a. µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης f σε σηµείο της γραφικής της παράστασης M (, f ( )) είναι y = ( ) b. Αν δεν λέει που φέρνω την εφαπτοµένη θεωρώ σηµείο επαφής M (, f ( )) και εκµεταλλεύοµαι τα υπόλοιπα δεδοµένα. c. η ευθεία y= a+ β εφάπτεται της c f στο M (, f ( )) αν και µόνο αν = a και = a+ β d. οι c f,c g δέχονται κοινή εφαπτοµένη στο κοινό τους σηµείο M (, f ( )) αν και µόνο αν = g ' και = g e. για να βρω την κοινή εφαπτοµένη των c f,c g.θεωρώ A( 1, f ( 1 )), B(, g( )) τα σηµεία επαφής της κοινής εφαπτοµένης (ε) των c f,c g. Βρίσκω την εφαπτοµένη της µιας π.χ της c f στο Α και την αναγκάζω να περνά από το άλλο σηµείο Β. 11. Ρυθµός µεταβολής =παράγωγος a. οριακό κόστος, οριακό κέρδος =παράγωγος b. ΠΡΟΣΕΧΩ τι παραγωγίζω και πως c. Αν τα µεγέθη,y συνδέονται µε τη σχέση y=f() απλά παργωγίζω ως προς χ d. Ενώ αν τα µεγέθη,y µεταβάλλονται συναρτήσει µιας άλλης µεταβλητής t,τότε παραγωγίζουµε την σχέση y( t) = f ( ( t)) 1. Θ.Rolle-ΘΜΤ a. Όταν στην εξίσωση που θέλω να δείξω ότι έχει ρίζα στο (α,β) υπάρχει παράγωγος είναι µεγάλες οι πιθανότητες να χρειάζεται Rolle. b. Για να ανακαλύψω τη συνάρτηση για την οποία θα εφαρµόσω Θ.Rolle.Βγάζω το και στη θέση του βάζω το και προσπαθώ να ανακαλύψω την αρχική της f. π.χ i. ( g) g ' = ( f ( g)' ii. = (ln ) ',, iii. = (ln( ))',οταν >

3 3 1 iv. = ( )', v. = ( )' οταν > vi. e = ( e ) ' ν+ 1 ν vii. = ( ) ', ν 1 ν + 1 viii. + κ = e + κe = ( e )' πολλαπλασιαζω µε e i. κ κ κ κ g f e e g f e f g g g ( ) + '( ) ( ) = ( ) + '( ) ( ) = ( ( ))' πολλαπλασιαζω µε e g. g + g ' = ( g)' i. g g ' = ( )' = g c. Άλλες φορές πάλι εκµεταλλεύοµαι δοσµένη σχέση f ( a) = f ( β ) οπότε παίρνω Θ.Rolle για f d. Να µη ξεχνώ να ελέγχω µήπως είναι κρυµµένο Bolzano παρά την ύπαρξη παραγώγου 13. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ a. Το πολύ ν ρίζες i. Υποθέτω ότι υπάρχει µια παραπάνω δηλαδή ν+1 ρίζες και παίρνω Θ.Rolle στa [ ρ1, ρ],[ ρ, ρ3 ],...[ ρv, ρ v + 1] και καταλήγω σε άτοπο b. Τουλάχιστον µια λύση. i. είχνω ότι υπάρχει προφανής λύση,ή Bolzano για κατάλληλη συνάρτηση,ή Rolle για κατάλληλη αρχική, ή βρίσκω το σύνολο τιµών c. Μοναδική λυση i. είχνω ότι η ρίζα υπάρχει και µετά µε τη βοήθεια της µονοτονίας η Rolle δείχνω ότι είναι µία d. Τουλάχιστον δυο ρίζες i. Σπάω ανάλογα µε το πλήθος των ριζών, δοσµένα διαστήµατα µε κατάλληλα επιλεγµένους πραγµατικούς e. Πλήθος ριζών i. Της f ( ) = 1. βρίσκω το σύνολο τιµών της f και βλέπω σε ποια από τα επιµέρους σύνολα τιµών βρίσκεται το. 3

4 4 ii. Της = α, α R 1. βρίσκω το σύνολο τιµών της f και βλέπω σε ποια από τα επιµέρους σύνολα τιµών βρίσκεται το α διακρίνοντας περιπτώσεις για τον α. 14. ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ a. αν σε προηγούµενο ερώτηµα υπάρχει ερώτηµα για τη µονοτονία και µετά ζητάµε να λυθεί εξίσωση να σκέπτοµαι ότι κάθε γνήσια µονότονη συνάρτηση είναι και 1-1 b. η ρίζα που ψάχνω, πολλές φορές είναι και ρίζα της παραγώγου της. c. Αν έχω στον έκθετη ή γνωρίζω f ( ) > ή έχω µε να σκέφτοµαι να λογαριθµω, d. Πολλές φορές πίσω από την ερώτηση να λυθεί µια εξίσωση κρύβεται πρόβληµα µοναδικότητας ρίζας. e. Όταν κολλήσω και υπάρχει παραγωγος µηπως χρειάζεται καποιο ΘΜΤ 15. Ανισώσεις a. Αν ζητηθεί να δείξουµε διπλή ανισοισότητα µε δυο µεταβλητές i. Μελετώ χωριστά το α=β ii. πιθανό ΘΜΤ στο [α,β] για κατάλληλαa επιλεγµένη f b. αν ζητηθεί να δείξω ότι < g < h πιθανό ΘΜΤ αλλά πρέπει να βρούµε για ποια συνάρτηση.αλλιώς έχω δυο ανισώσεις µιας µεταβλητής < g και g < h 16. να δειξετε ότι < g, a. < g g < θετω h()= g και δείχνω ότι h()< b. Να θυµάµαι ότι δεν πάει µε αφαίρεση ίσως πάει µε διαίρεση < g < 1 µε g( ) >.οποτε θετω h()= g g ( και ) δειχνω ότι h()<1 c. µήπως πρέπει να λογαριθµησω όταν έχω στον έκθετη η γνωρίζω f ( ) > η έχω, µε f < g f < g k f <ϕ g k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ k ϕ ln ( ) ln ( ) ( ) ln( ( )) ( )ln( ( )) µε g >, > και συνεχίζω όπως προηγούµενα. 17. να δείξετε ότι g, 4

5 5 a. g g. αν h = g θα δείξω ότι h, και µελετάµε την h ως προς τη µονοτονία και τα ακρότατα b. Να θυµάµαι όταν δεν ξέρω το πρόσηµο της f παραγωγίζω. 18. Για να δείξω µια απλή ανισότητα δύο µεταβλητών a. Εκµεταλλεύοµαι την µονοτονία συνάρτησης από προηγούµενο ερώτηµα και τον αντίστοιχο ορισµό b. Προσπαθώ να αποµονώσω τα α από τα β και επιλέγω κατάλληλη συνάρτηση (βγάζω το α και στη θέση του βάζω ) και µελετώ την f ως προς τη µονοτονία c. Από την αρχή βάζω οπου α το η όπου β το και δουλεύω όπως στην ανισότητα µιας µεταβλητής 19. ΒΑΣΙΚΟ: εν παραγωγίζω ανισώσεις!!!. Σταθερή συνάρτηση a. Συνήθως προσπαθω να δείξω ότι η παραγωγος της είναι σε διάστηµα εκτός αν προκύπτει άµεσα ότι f σταθερή. b. Για να δείξω ότι = g i. Θετω h = g και δείχνω ότι h =, ii. Η θέτω h =, g, και δείχνω ότι g h = 1, iii. Αν = g, τότε = g + c, iv. ΠΡΟΣΟΧΗ αν έχω ένωση διαστηµάτων έχω διαφορετικές σταθερές c. = = ce, c R 1. Μονοτονία συνάρτησης i. Εξετάζω το προσηµο της f ii. Σε περίπτωση πολλαπλού τύπου εξετάζω αν φ συνεχής στα σηµεία αλλαγής τυπου iii. Αν δεν µπορώ να παραγωγίσω δουλεύω µε ορισµό. Ακρότατα a. Βρίσκω πεδίο ορισµού και την παράγωγο της f b. Βρίσκω τις ρίζες της f ()= c. Κάνω πίνακα µεταβολών d. Χρησιµοποιώ το κριτήριο πρώτης παραγώγου e. Σε περίπτωση πολλαπλού τύπου εξετάζω αν f συνεχής στα σηµεία αλλαγής τύπου f. Να θυµαµαι 5

6 6 i. Στο µε = έχω ακρότατο µόνο αν έχω εναλλαγή πρόσηµου εκατέρωθεν του ii. Αν δεν υπάρχει η παράγωγος της f στο όµως η f αλλάζει πρόσηµο εκατέρωθεν του θα εχω ακρότατο αν f είναι συνεχής στο. iii. Να µην ξεχνώ τα άκρα διαστήµατος 3. θ.fermat a. αν γνωριζω µια ανισοισότητα και θελω να καταλήξω σε ισότητα b. όταν θέλω να δείξω ότι η παραγωγίσιµη f δεν εχει ακρότατα υποθέτω ότι εχει ακρότατο στο οπότε από θ.fermat ( ) = και µέσα από δοσµένη σχέση καταλήγω σε άτοπο c. δίνεται συνεχής f σε κλειστό [α,β] και το f([a,β])=[γ,δ] και f ( α) γ, δ και f ( β ) γ, δ και επειδή από θεωρηµα µεγιστης ελάχιστης τιµής η f θα εχει σίγουρα µέγιστη και ελάχιστη τιµή στο [α,β] αυτή δεν θα την εχει στα α,β αρα σε εσωτερικά σηµεία του (α,β) και ετσι από θ.fermat θα υπάρχουν 1 ( a, β ) : ( 1 ) = και ( a, β ) : ( ) = και συνθηκες για Rolle για την f. 4. Κυρτότητα a. Εξεταζω το προσηµο της f b. Για τα σηµεια καµπής θελω ( ) = και εναλλαγή πρόσηµου c. Επίσης η c f πρέπει να δέχεται εφαπτοµένη σε αυτό(βασικά για τις ασκήσεις µας αρκεί να είναι f παραγωγισιµη στο ) d. Αν f κυρτή στο και ε εφαπτοµένη της, τότε ε, e. Αν f κοίλη στο και ε εφαπτοµένη της, τότε ε, 5. Ασύµπτωτες a. κατακόρυφες,=a i. ψάχνω στα σηµεία όπου δεν ορίζεται η f,η στα άκρα διαστήµατος όπου f δεν είναι συνεχής ii. έχω την χ=α κατακόρυφη ασύµπτωτη όταν κάποιο από τα όρια lim η lim η lim είναι + η -. α α+ α b. Οριζόντια η y=β στο + lim = β + c. Οριζόντια η y=β στο lim = β d. Ψάχνω στο + και στο 6

7 7 e. Πλάγια ασύµπτωτη στο + η y=λ+κ lim ( ( λ+ κ)) = + f. Πλάγια ασύµπτωτη στο η y=λ+κ lim ( ( λ+ κ)) = g. Για να βρω την πλάγια ασύµπτωτη στο + βρίσκω lim = λ + και τότε η y=λ+κ είναι πλάγια ασύµπτωτη lim ( λ)) = κ + στο +. h. Αντίστοιχα η y=λ+κ είναι πλάγια ασύµπτωτη στο lim = λ lim ( λ)) = κ 6. κανόνας de L Hospital a. εφαρµόζεται µόνο στις µορφές ± η ± b. όταν δεν έχω αυτές τις µορφές µετατρέπω την µορφή µου σε αυτήν f g i. ( + ) fig = η fi g = 1 1 g f g f g= f (1 ) f ii. ( + ) -(+ ) f f g= g( 1) g iii. g g ln f g ln f f = e = e c. προσοχή στις προϋποθέσεις του θεωρήµατος i. εχω τη µορφή ± η ±? ii. µπορώ να παραγωγίσω? iii. Υπάρχει το όριο lim? g ( ) 7