Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx) προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα (Δ) που

Κεφάλαιο 1ο 5 χρειάστηκε για τη μετατόπιση αυτή. υ = Δ x. Δ Η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος (υ ). Η κατεύθυνση του διανύσματος της ταχύτητας συμπίπτει με την κατεύθυνση της κίνησης. Ερωτήσεις σύνδεσης με τα προηγούμενα Σε μία ευθύγραμμη κίνηση η οποία γίνεται με σταθερή ταχύτητα: α) Ποια είναι η σχέση που μας δίνει τη μετατόπιση του κινητού σε σχέση με το χρόνο; β) Τι μορφή έχει η γραφική παράσταση Χ της θέσης του κινητού σε σχέση με το χρόνο; ΑΠΑΝΤΗΣΗ - ΣΧΟΛΙΟ α) Η σχέση αυτή είναι η Δx = υ όπου Δx: η μετατόπιση του κινητού υ: η σταθερή του ταχύτητα : ο χρόνος β) Η γραφική παράσταση θέση χρόνος σε μία τέτοια κίνηση (με σταθερή ταχύτητα) είναι ευθεία γραμμή. Εάν περνάει από την αρχή των αξόνων σημαίνει ότι τη στιγμή που αρχίζει να μετράει ο χρόνος, το κινητό βρίσκεται στο σημείο αναφοράς, δηλαδή στη θέση που αντιστοιχεί στην ένδειξη μηδέν του χάρακα ή της μετροταινίας με την οποία μετράμε τις θέσεις. Θέση Χ Χρόνος

Κεφάλαιο 1ο 6 Επιτάχυνση Σε μία ευθύγραμμη κίνηση, η ταχύτητα συνήθως δεν παραμένει σταθερή αλλά η τιμή της αλλάζει καθώς περνάει ο χρόνος. Επιτάχυνση, είναι το φυσικό μέγεθος που μας δείχνει πόσο γρήγορα ή αργά μεταβάλλεται η ταχύτητά του. Όταν ένα κινητό έχει σε μία χρονική στιγμή ( 1 ) ταχύτητα (υ 1 ) και σε επόμενη υ υ1 χρονική στιγμή ( ) έχει ταχύτητα (υ ) η επιτάχυνσή του είναι α = (α = συμ- βολισμός της επιτάχυνσης, από το αρχικό του αγγλικού όρου: επιτάχυνση = acceleraion). Η επιτάχυνση εκφράζει το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας. 1

Κεφάλαιο 1ο 7 Όταν ένα οποιοδήποτε φυσικό μέγεθος (Α), μεταβάλλεται καθώς περνάει ο χρόνος, το πηλίκο ΧΡΟΝΟΣ Α ΜΕΤΑΒΟΛΗ Α 1 1 ΠΟΥ ΤΟΥ (Α ) ΑΠΑΙΤΕΙΤΑΙ (τελική μείον αρχική τιμή τουα ) (τελική μείον αρχική χρονική στιγμή) ονομάζεται χρονικός ρυθμός ή απλά ρυθμός μεταβολής του φυσικού μεγέθους Α. Άλλωστε η ίδια η λέξη "ρυθμός" σημαίνει ακριβώς "μεταβολή στο χρόνο". = Ταχύτητα είναι ο ρυθμός μεταβολής της θέσης: ταχ ύτητα = αλλαγή θέσης χρόνος που απαιτείται : Επιτάχυνση ονομάζουμε το πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα. Δυ α = ή μέτρο α = Δυ Δ Δ (Η επιτάχυνση είναι διανυσματικό μέγεθος γιατί ορίζεται μέσω της ταχύτητας που είναι διανυσματικό μέγεθος).

Κεφάλαιο 1ο 8 Μονάδες επιτάχυνσης Δυ Με βάση τη σχέση α =, υπολογίζοντας από τις αντίστοιχες μονάδες για την Δ ταχύτητα (m/s) και το χρόνο (s) στο S.I. προκύπτει για την επιτάχυνση η μονάδα m/s ως εξής: m m μονάδες (υ) Μονάδες (α) = = s m = s = = μονάδες () s s s s 1 m s και λέμε μέτρα ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο. Έτσι όταν η ταχύτητα ενός κινητού αυξάνεται κατά m/s σε ένα δευτερόλεπτο (1s) η επιτάχυνσή του είναι α = m/s. km / h Χρησιμοποιούμε ακόμα για την επιτάχυνση τη μονάδα, που δηλώνει κατά s πόσα km/h αλλάζει η ταχύτητα σε ένα δευτερόλεπτο. Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση : Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση ονομάζουμε μια ευθύγραμμη κίνηση κατά την οποία η ταχύτητα του κινητού μεταβάλλεται κατά ίσες ποσότητες σε ίσα χρονικά διαστήματα. Στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση η επιτάχυνση διατηρείται σταθερή. Για απλότητα θα μελετήσουμε ευθύγραμμες ομαλά μεταβαλλόμενες κινήσεις στις οποίες, ο χρόνος αρχίζει και μετράει τη στιγμή που το σώμα αρχίζει να κινείται. Δηλαδή το σώμα είναι αρχικά ακίνητο (υ = 0) και η ταχύτητά του αρχίζει και μεταβάλλεται από την αρχική αυτή τιμή μηδέν.

Κεφάλαιο 1ο 9 Έτσι λοιπόν σε μια τέτοια κίνηση, το κινητό τη χρονική στιγμή 1 = 0, έχει αρχική ταχύτητα υ 1 = 0 και κινούμενο με επιτάχυνση α, μια επόμενη χρονική στιγμή, έχει αποκτήσει ταχύτητα υ. Η επιτάχυνση του σώματος τότε είναι: Δυ α = Δ ή υ υ1 α= 1 Eίπαμε όμως ότι 1 = 0, υ 1 = 0, οπότε γράφουμε α = υ ή α = υ Έτσι παίρνουμε την απλή αυτή σχέση που συνδέει την επιτάχυνση (α) με την ταχύτητα (υ) που έχει το κινητό τη χρονική στιγμή () σε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. Προσέξτε όμως: Τη σχέση αυτή για να τη χρησιμοποιήσουμε πρέπει το κινητό να είναι αρχικά ακίνητο, δηλαδή τη χρονική στιγμή = 0 να έχει υ = 0 και τότε να ξεκινάει. Σε όλες σχεδόν τις περιπτώσεις που θα ασχοληθούμε φέτος κάτι τέτοιο θα ισχύει, όμως θα πρέπει να είμαστε προσεκτικοί μήπως σε κάποιο πρόβλημα το σώμα δεν είναι αρχικά ακίνητο. Νόμοι της ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης α. Νόμος της επιτάχυνσης: «Στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση η επιτάχυνση διατηρείται σταθερή». Το διάγραμμα της επιτάχυνσης σε σχέση με το χρόνο είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη στον άξονα του χρόνου. α Η σταθερή τιμή της επιτάχυνσης 1 3

Κεφάλαιο 1ο 10 Η γραφική παράσταση α προκύπτει έτσι, διότι για κάθε χρονική στιγή ( 1,, 3, ) έχουμε την ίδια επιτάχυνση (τη σταθερή επιτάχυνση της κίνησης). β. Νόμος της ταχύτητας: Σε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση παίρνουμε από τη σχέση α = υ, τη σχέση για την ταχύτητα υ = α. Το κινητό είναι αρχικά ακίνητο Αφού η επιτάχυνση είναι σταθερή (α = σταθερό), η ταχύτητα προκύπτει ανάλογη του χρόνου. Για παράδειγμα, εάν η επιτάχυνση είναι α = m/s βλέπουμε ότι: τη χρονική στιγμή = 1s υ = m/s τη χρονική στιγμή = s υ = 4m/s τη χρονική στιγμή = 3s υ = 6m/s Παρατηρούμε την αναλογία: Σε διπλάσιο χρόνο η ταχύτητα είναι διπλάσια και σε τριπλάσιο χρόνο η ταχύτητα είναι τριπλάσια. Έτσι ο νόμος της ταχύτητας στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση, είναι: «Σε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα, η ταχύτητα είναι ανάλογη με το χρόνο στον οποίο αποκτήθηκε». Το διάγραμμα της ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση είναι μια ευθεία γραμμή. Πράγματι εάν κατασκευάζουμε το διάγραμμα υ με βάση τις τιμές του προηγούμενου παραδείγματος:

Κεφάλαιο 1ο 11 (s) υ(m/s) υ(m/s) 1 4 3 6 6 4 1 3 (s) Προσέξτε ότι η γραφική παράσταση περνάει από το σημείο τομής των αξόνων. Αυτό σημαίνει ότι ανήκει στη γραφική παράσταση υ το σημείο (0, 0). Δηλαδή για = 0 είναι υ = 0. Αυτό δηλώνει ότι το σώμα είναι αρχικά ακίνητο, κάτι που είχαμε παραδεχτεί από την αρχή. Ταχύτητα και διάγραμμα επιτάχυνσης - χρόνου Στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση, στο διάγραμμα επιτάχυνσης χρόνου (α ), το εμβαδόν της επιφάνειας μεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα του χρόνου, ανάμεσα σε δύο χρονικές στιγμές 1 και είναι αριθμητικά ίσο με τη μεταβολή της ταχύτητας στο αντίστοιχο αυτό χρονικό διάστημα (Δ = 1 ). α α E = Δυ 1

Κεφάλαιο 1ο 1 Όμοια στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση (υ = σταθερή), υπολογίζουμε από το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου (υ ) τη μετατόπιση (μεταβολή της θέσης): υ υ = σταθερή E = Δx 1 Επιτάχυνση και διάγραμμα ταχύτητας χρόνου Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση, από το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου (υ ) υπολογίζουμε την επιτάχυνση. υ A υ Α 0 φ B Η επιτάχυνση ισούται με την κλίση της ευθείας της γραφικής παράστασης. Για να υπολογίσουμε την κλίση παίρνουμε στο διάγραμμα ένα ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου η υποτείνουσα να είναι η ευθεία του διαγράμματος και έτσι οι κάθετες πλευρές ορίζονται από τις τιμές της ταχύτητας και του χρόνου αντίστοιχα. Τέτοιο είναι το τρίγωνο ΟΑΒ στο σχήμα. Τότε η κλίση της ευθείας, δηλαδή η επιτάχυνση, ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει το διάγραμμα με τον άξονα του χρόνου, δηλαδή της γωνίας φ του τριγώνου. Κλίση = εφφ. A

Κεφάλαιο 1ο 13 Την εφφ την υπολογίζουμε με βάση το ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ και είναι απέναντι κάθετη AB υ εφφ = = = Α προσκείμενη κάθετη OB Έτσι έχουμε: AB Επιτάχυνση (α) = κλίση = εφφ = OB A Όμοια στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση υπολογίζαμε από την κλίση του διαγράμματος θέσης χρόνου (x ) τη σταθερή ταχύτητα της κίνησης. x εφφ = κλίση = ταχύτητα (υ) φ γ. Νόμος της μετατόπισης. Ερώτηση: Πώς μεταβάλλεται η μετατόπιση του σώματος σε σχέση με το χρόνο στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση; Ας παρατηρήσουμε την κίνηση που κάνει ένα αεροπλάνο στο διάδρομο απογείωσης. Είναι μια κίνηση με σταθερή επιτάχυνση, δηλαδή ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη: = 0 = 5 = 10 = 15 = 0 0 50 00 450 800 x(m) Καταγράφουμε τα αποτελέσματα των μετρήσεων του χρόνου () και των αντίστοιχων θέσεων (x) σε έναν πίνακα:

Κεφάλαιο 1ο 14 Χρόνος (s) Θέση x (m) 0 0 5 50 10 00 15 450 0 800 Παρατηρούμε ότι η θέση (x) του κινητού συμπίπτει με τη μετατόπιση (Δx) από την αρχική θέση, όταν η αρχική αυτή θέση έχει επιλεγεί να είναι το σημείο αναφοράς. (Αρχική θέση εννοούμε τη θέση του σώματος την αρχική χρονική στιγμή, = 0) Θέση σημείου αναφοράς: x = 0 = 0 Σημ. αναφ. 0 Δx Δx = x τελ x αρχ = x 0 = x Ανάλυση των αποτελεσμάτων του πίνακα: Σε χρόνο = 5s: Μετατόπιση Δx = x = 50 m Σε χρόνο = 10s: Μετατόπιση Δx = x = 00 m Συμπέρασμ α: Σε διπλάσιο χρόνο () έχουμε τετραπλάσια μετατόπιση (4) (4 = ) Σε χρόνο = 15s: Μετατόπιση Δx = x = 450 m

Κεφάλαιο 1ο 15 Συμπέρασμα: Σε τριπλάσιο χρόνο (3) έχουμε εννιαπλάσια μετατόπιση (9) (9 = 3 ) Σε χρόνο = 0s: Μετατόπιση Δx = x = 800 m Συμπέρασμα: Σε τετραπλάσιο χρόνο (4) έχουμε δεκαεξαπλάσια μετατόπιση (16) (16 = 4 ) Με βάση τα παραπάνω διατυπώνουμε τώρα το νόμο της μετατόπισης στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση: "Στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα, η μετατόπιση από την αρχική θέση είναι ανάλογη του τετραγώνου του χρόνου κίνησης". Με τη βοήθεια των τιμών του παραπάνω πίνακα φτιάχνουμε τη γραφική παράσταση θέσης - χρόνου (x ): 750 x(m) 600 450 300 150 0 (s) 0 5 10 15 0 Η μορφή της είναι καμπύλη, η οποία ονομάζεται παραβολή. Σχέση της μετατόπισης (Δx) και χρόνου () στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση: Όταν ένα κινητό κάνει ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα, τότε η μετατόπισή του σε χρόνο είναι Δx = 1/ α

Κεφάλαιο 1ο 16 Στη σχέση αυτή καταλήγουμε ως εξής: Χρησιμοποιούμε το διάγραμμα ταχύτητας χρόνου (υ ) το οποίο είναι μια ευθεία γραμμή που περνάει από την αρχή των αξόνων: υ υ = α υ E = Δx 0 Ισχύει γενικά ότι σε διάγραμμα ταχύτητας χρόνου (υ ) το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα του χρόνου ισούται με τη μετατόπιση. Στην παραπάνω γραφική παράσταση έχουμε σημειώσει μια τυχαία χρονική στιγμή για την οποία η ταχύτητα είναι υ. Oι δύο αυτές τιμές συνδέονται με την (σταθερή) επιτάχυνση με τη σχέση υ = α. Η μετατόπιση Δx από την αρχή ( = 0) έως τη χρονική στιγμή, ισούται με το εμβαδόν του γραμμοσκιασμένου τριγώνου στο παραπάνω διάγραμμα: Έτσι: Δx = ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ = 1/ (βάση ύψος) = 1/ υ, όπου υ = α. Άρα Δx = 1/ α ή Δx = 1/ α. Η σχέση αυτή λοιπόν μας δίνει τη μετατόπιση ενός κινητού από τη θέση x = 0, οπότε ισοδύναμα μας δίνει τη θέση του κινητού τη χρονική στιγμή : x = 1/ α

Κεφάλαιο 1ο 17 Προσοχή όμως: Για να καταλήξουμε σ' αυτή έχουμε παραδεχτεί ότι: τη χρονική στιγμή = 0, είναι x = 0 και υ = 0. Δηλαδή: Το κινητό είναι αρχικά ( = 0) ακίνητο (υ = 0) και ξεκινάει από το σημείο αναφοράς (x = 0). Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Έστω δύο κινητά Α και Β. Σε μία χρονική στιγμή η ταχύτητα του Α είναι U Α1 = 0m/s και του Β είναι U Β1 = 30m/s. Σε μία επόμενη χρονική στιγμή, η ταχύτητα του Α έχει αλλάξει σε U Α = 40m/s και η ταχύτητα του Β έχει αλλάξει και έχει γίνει και αυτή U Β = 40m/s. Λέμε, ότι το κινητό Α κινήθηκε με μεγαλύτερη επιτάχυνση από ότι το κινητό Β, γιατί στο ίδιο χρονικό διάστημα, η ταχύτητά του αυξήθηκε περισσότερο (κατά 0m/s) από ότι του Β (κατά 10m/s). Βλέπουμε ότι η επιτάχυνση δεν έχει να κάνει με το πόση είναι η ταχύτητα του κινητού αλλά με το πόσο γρήγορα αλλάζει η ταχύτητα του κινητού. Σε μία ευθύγραμμη κίνηση, στην οποία η ταχύτητα μεταβάλλεται κατά ίσα ποσά σε ίσα χρονικά διαστήματα, δηλαδή μεταβάλλεται ανάλογα με το χρόνο η γραφική παράσταση U είναι ευθεία γραμμή: ταχύτητα Α 1. χρόνος Όσο πιο "απότομα" ανεβαίνει η ευθεία στο διάγραμμα, τόσο γρηγορότερα αυξάνει η ταχύτητα, δηλαδή, τόσο μεγαλύτερη είναι η επιτάχυνση του κινητού. Έτσι, στη γραφική παράσταση η ευθεία Α εκφράζει μεγαλύτερη επιτάχυνση από την ευθεία Β.

Κεφάλαιο 1ο 18 Επιβραδυνόμενη κίνηση Ασχολούμαστε με την ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. «Ομαλά μεταβαλλόμενη» σημαίνει πώς κατά την κίνηση η ταχύτητα του κινητού δεν παραμένει σταθερή αλλά μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό. Μεταβολή στην ταχύτητα μπορεί να σημαίνει αύξηση ή μείωση του μέτρου της. Όταν το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται, τότε η κίνηση γίνεται όλο και γρηγορότερα και ονομάζεται επιταχυνόμενη. Όταν το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται, τότε η κίνηση γίνεται όλο και ποιο αργή και ονομάζεται επιβραδυνόμενη. Ο ρυθμός της ταχύτητας, δηλαδή το πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η ταχύτητα Δυ υ υ1 (αυξάνεται ή μειώνεται) είναι το πηλίκο = που το έχουμε ονομάσει Δ επιτάχυνση. (α = Δ υ ) Δ Για την ακρίβεια, λέμε ότι έχουμε «επιτάχυνση» στην επιταχυνόμενη κίνηση (το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται), ενώ στην επιβραδυνόμενη κίνηση την επιτάχυνση την ονομάζουμε «επιβράδυνση». Δυ υ υ Ο ρυθμός α = Δ 1 αρνητικός. Η επιτάχυνση είναι διανυσματικό μέγεθος όπως η θέση, η μετατόπιση και η ταχύτητα. Οπότε το πρόσημο στην τιμή της θα πρέπει να δηλώνει την κατεύθυνσή της σε σχέση με τον άξονα αναφοράς της κίνησης: 1 = (επιτάχυνση ή επιβράδυνση) μπορεί να είναι θετικός ή i) Όταν η κίνηση γίνεται κατά τη θετική φορά του άξονα: τότε η ταχύτητα είναι θετική και: α) Όταν το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται: υ > υ 1 ή υ υ 1 > 0. 1 Ακόμα: > 1 (η επόμενη χρονική στιγμή είναι πάντα μεγαλύτερη από την προηγούμενη). Άρα 1 > 0 Τότε υ υ 1 1 > 0 (το πηλίκο δύο θετικών αριθμών είναι θετικός)

Κεφάλαιο 1ο 19 Δηλαδή α = Δ υ > 0. Δ Συμπέρασμα: Όταν το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται, η μεταβολή της είναι θετική, το ίδιο και η επιτάχυνση. Η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη. α υ 1 υ 1 Κίνηση: Ταχύτητα: Επιτάχυνση: Κατά τη θετική φορά του άξονα. Το μέτρο της αυξάνεται (θετικές τιμές). Θετική α > 0, οπότε το διάνυσμά της έχει τη θετική κατεύθυνση, όπως και η ταχύτητα. Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση. β) Όταν το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται: υ < υ 1 ή υ υ 1 < 0. Όπως πάντα: > 1 ή 1 > 0. Και τότε: υ υ 1 1 < 0 (το πηλίκο δύο ετερόσημων είναι αρνητικό). Οπότε α = Συμπέρασμα: Δ υ < 0. Δ Όταν το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται, η μεταβολή της είναι αρνητική, το ίδιο και η επιτάχυνση. Η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη.

Κεφάλαιο 1ο 0 α υ 1 υ 1 Κίνηση: Ταχύτητα: Επιτάχυνση: Κατά τη θετική φορά του άξονα. Το μέτρο της μειώνεται (θετικές τιμές). Αρνητική α < 0, οπότε το διάνυσμά της έχει την αρνητική κατεύθυνση, αντίθετα από την ταχύτητα. (επιβράδυνση) Ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. ii) Όταν η κίνηση γίνεται κατά την αρνητική φορά του άξονα. Ας μελετήσουμε την περίπτωση αυτή με τη βοήθεια ενός παραδείγματος. Π α ρ ά δ ε ι γ μ α: Κίνηση προς τα πίσω και επιτάχυνση. Ένα αυτοκίνητο καθώς κινείται σε στενό δρόμο βρίσκεται μπροστά σε αδιέξοδο. Ο οδηγός του σταματάει, βάζει την όπισθεν και αρχίζει να κινείται προς τα πίσω με ταχύτητα που το μέτρο της διαρκώς αυξάνεται. Θεώρησε θετική την κατεύθυνση προς τα εμπρός, τότε η ταχύτητα του αυτοκινήτου που κινείται προς τα πίσω είναι αρνητική. Σε χρονικό διάστημα s, η ταχύτητα του αυτοκινήτου μεταβάλλεται από m/s σε 9m/s. Υπολόγισε την επιτάχυνση του αυτοκινήτου. υ =-9m/s υ 1 =-m/s 1 + x(m) Δεδομένα υ 1 = -m/s υ = -9m/s Δ = 1 = s α = ; Ζητούμενα

Κεφάλαιο 1ο 1 Απάντηση: Για να βρούμε την (μέση) επιτάχυνση Δ υ α = : Δ Δ υ α = = υ Δ Δ υ 1 θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση Αντικαθιστώντας έχουμε: ( 9)m / s ( )m / s α = s ή 9 + m α = s 7 m ή α = s ή α = - 3,5m/s Ανάλυση του αποτελέσματος: Εδώ βλέπουμε ότι η ταχύτητα είναι συνεχώς αρνητική (λόγω της φοράς κίνησης προς την αρνητική φορά του άξονα). α) Στην περίπτωση του παραδείγματος, το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται και η μεταβολή της είναι αρνητική. (Δυ = υ υ 1 = -9 (-) = -9 + = -7m/s). Αρνητική είναι και η επιτάχυνση. Η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη. υ =-9m/s α=3,5 m/s υ 1 =- m/s + 1 Κίνηση: Ταχύτητα: Επιτάχυνση: Κατά την αρνητική φορά του άξονα. Το μέτρο της αυξάνεται (αρνητικές τιμές). Αρνητική α < 0, οπότε το διάνυσμά της έχει την αρνητική κατεύθυνση, όπως και η ταχύτητα. Ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση.

Κεφάλαιο 1ο β) Εάν στο προηγούμενο παράδειγμα η ταχύτητα μεταβάλλεται από υ 1 = -9m/s σε υ = -m/s στο ίδιο χρονικό διάστημα Δ = s. υ υ 1 Η κίνηση όπως φαίνεται είναι επιβραδυνόμενη. Η ταχύτητα παίρνοντας συνεχώς αρνητικές τιμές, μικραίνει κατά μέτρο. Η μεταβολή της: Δυ = υ υ 1 = (-) (-9) = - + 9 = 7m/s είναι θετική. Όμοια είναι θετική και η επιτάχυνση: α = Δ υ 7 m = Δ s = 3,5m/s α=3,5 m/s υ = -m/s υ 1 =-9 m/s + 1 x Κίνηση: Ταχύτητα: Επιτάχυνση: Κατά την αρνητική φορά του άξονα. Το μέτρο της μειώνεται (αρνητικές τιμές) Θετική α > 0, οπότε το διάνυσμά της έχει τη θετική κατεύθυνση, αντίθετα από την ταχύτητα (επιβράδυνση). Ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη κίνηση. Όταν λέμε λοιπόν μεταβαλλόμενη κίνηση μπορεί να είναι επιταχυνόμενη ή επιβραδυνόμενη. Προσοχή όμως: Από το πρόσημο και μόνο της επιτάχυνσης, δηλαδή από τη φορά του διανύσματός της δεν μπορούμε να γνωρίζουμε εάν έχουμε επιτάχυνση ή επιβράδυνση. (Δηλαδή α > 0 δεν σημαίνει πάντα επιτάχυνση, όπως και α < 0 δεν σημαίνει πάντα επιβράδυνση. Για να γνωρίζουμε εάν η μεταβαλλόμενη κίνηση είναι επιταχυνόμενη ή επιβραδυνόμενη πρέπει να γνωρίζουμε το διάνυσμα της επιτάχυνσης και το διάνυσμα της ταχύτητας. Γενικά ισχύει:

Κεφάλαιο 1ο 3 Στην επιταχυνόμενη κίνηση: Η επιτάχυνση και η ταχύτητα έχουν την ίδια φορά. (α > 0 και υ > 0 ή α< 0 και υ < 0). Στην επιβραδυνόμενη κίνηση: Η επιτάχυνση και η ταχύτητα έχουν αντίθετη φορά. (α > 0 και υ < 0 ή α< 0 και υ > 0) και τότε η επιτάχυνση ονομάζεται επιβράδυνση. Όταν ένα κινητό κινείται με σταθερή επιβράδυνση, η ταχύτητά του μειώνεται με σταθερό ρυθμό και κάποια στιγμή σταματάει. Η ταχύτητά του πέφτει, ανάλογα με το χρόνο, από μία αρχική τιμή στην τιμή μηδέν. Αυτό φαίνεται και στη γραφική παράσταση ταχύτητας χρόνου: U (σταθερή επιβράδυνση α < 0) υ = 0 = 0

Κεφάλαιο 1ο 4 ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΧΕΣΕΙΣ Έχουμε πλέον κατανοήσει ότι σε μια κίνηση, το χρόνο το συμβολίζουμε με (), τη μετατόπιση (αλλαγή θέσης) με Δx, την ταχύτητα με (υ) και την επιτάχυνση με (α). Έχουμε δει δύο είδη ευθύγραμμης κίνησης: α) με σταθερή ταχύτητα β) με σταθερή επιτάχυνση (ή επιβράδυνση). Σε μια κίνηση, μας ενδιαφέρει πώς μεταβάλλονται τα μεγέθη Δx, υ, α καθώς περνάει ο χρόνος, ή, σε σχέση με το χρόνο όπως λέμε. Όταν η κίνηση ξεκινάει τη χρονική στιγμή = 0 και τότε το κινητό έχει θέση x = 0 χρησιμοποιούμε τις σχέσεις που μας δίνουν τα: x η θέση που βρίσκεται το κινητό στη τυχαία χρονική στιγμή (συμπίπτει με τη μετατόπιση από τη θέση 0). υ η ταχύτητα που έχει το κινητό τη χρονική στιγμή (όταν αυτή αλλάζει). Για κάθε σχέση προκύπτει και η αντίστοιχη γραφική παράσταση: α) Ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή ταχύτητα (ευθύγραμμη ομαλή) x x = υ (θέση ή μετατόπιση α- πό τη θέση 0) υ = σταθερή = κλίση Στο διάγραμμα αυτό, η κλίση της ευθείας ισούται με την ταχύτητα της υ x υ = = σταθερή υ σταθερή τιμή της ταχύτητας Ε = Δx 1 κίνησης.

Κεφάλαιο 1ο 5 * Από το διάγραμμα αυτό υπολογίζουμε μέσω του εμβαδού, τη μετατόπιση του κινητού από τη χρονική στιγμή 1 έως.

Κεφάλαιο 1ο 6 α α = 0 α = 0 β) Ευθύγραμμη κίνηση με σταθερή επιτάχυνση (ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη) x 1 x = α (θέση ή μετατόπιση από τη θέση 0) υ = α υ α = σταθερή = κλίση Ε = Δx 1 * Από το διάγραμμα αυτό υπολογίζουμε: i) τη μετατόπιση (Δx) μέσω του εμβαδού και ii) τη (σταθερή) επιτάχυνση της κίνησης η οποία ισούται με την κλίση της ευθείας. α σταθερή τιμή της επιτάχυνσης α = σταθερή α Ε = Δυ 1 * Στο διάγραμμα αυτό, το εμβαδόν μας δίνει τη μεταβολή της ταχύτητας από τη χρονική στιγμή 1 έως (χρονικό διάστημα Δ = 1 ).

Κεφάλαιο 1ο 7 Π α ρ ά δ ε ι γ μ α Περιγραφή της κίνησης με βάση το διάγραμμα ταχύτητας (υ) χρόνου (). υ(m/s) 40 30 Α Γ 0 10 Ο Β Δ Ε 1 3 4 5 6 7 8 (s) Παρατηρούμε τη γραφική παράσταση: Η ταχύτητα παίρνει συνεχώς θετικές τιμές που σημαίνει ότι το κινητό κινείται συνεχώς προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα. α) Από 1 = 0s έως = s η ταχύτητα αυξάνεται ανάλογα με το χρόνο αφού το διάγραμμα είναι ευθεία γραμμή, άρα έχουμε κίνηση με σταθερή επιτάχυνση. Σε χρονικό διάστημα Δ = 1 = s 0s = s η ταχύτητα έχει αυξηθεί από υ 1 = 0m/s σε υ = 30m/s, δηλαδή έχουμε μεταβολή : Δυ = υ υ 1 = 30m/s 0m/s = 30m/s. Η σταθερή λοιπόν επιτάχυνση του κινητού είναι α = Δ υ 30m / s = = 15m/s. Δ s Η μετατόπιση του κινητού από την αρχική του θέση είναι τη χρονική στιγμή = s: α τρόπος: Δx = 1 α (χρησιμοποιούμε τη σχέση για τη μετατόπιση στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση) ή Δx = 1 15m/s (s) = ( 1 15 4)m = 30m

Κεφάλαιο 1ο 8 β τρόπος: Βρίσκουμε τη μετατόπιση μέσω του εμβαδού μεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα του χρόνου από τη χρονική στιγμή 1 = 0 έως τη χρονική στιγμή = s, Είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ: Δx = 1 1 E = OÂB (βάση) (ύψος) = (s / ) (30m/s) = 30m. / β) Από = s έως 3 = 5s, δηλαδή στη χρονική διάρκεια των επόμενων τριών δευτερολέπτων: Δ = 3 = 5s s = 3s, κινείται με ταχύτητα σταθερή υ = 30m/s. Βρίσκουμε τη μετατόπιση για το χρονικό αυτό διάστημα: α τρόπος: Χρησιμοποιώντας τη σχέση για τη μετατόπιση στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση: Δx = υ Δ ή Δx = 30m/s 3s = 90m. β τρόπος: Μέσω του εμβαδού της γραφικής παράστασης. Είναι το εμβαδόν του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ: Δx = E ABΓΔ = (βάση) (ύψος) = 3s 30m/s = 90m. γ) Από 3 = 5s έως 4 = 8s, δηλαδή για τα επόμενα 3s η ταχύτητα μειώνεται με σταθερό ρυθμό (ευθεία γραμμή) από υ = 30m/s σε υ = 0m/s. Που σημαίνει ότι τη χρονική στιγμή 4 = 8s το κινητό σταματάει: κατά το χρονικό διάστημα Δ = 4 3 = 8s 5s = 3s η κίνηση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιβραδυνόμενη. Μεταβολή ταχύτητας: Δυ = 0m/s 30m/s = -30m/s οπότε η (σταθερή) Δυ 30m / s επιβράδυνση είναι: α = = = -10m/s. Δ 3s Για να βρούμε τη μετατόπιση Δx κατά το χρονικό αυτό διάστημα ( 3 = 5s έως 4 = 8s) καλύτερα είναι να χρησιμοποιήσουμε το εμβαδόν της γραφικής παράστασης (είναι το εμβαδόν του τριγώνου ΓΔΕ). Δx = 1 1 E = ΓΔˆ Ε (βάση) (ύψος) = (3s) (30m/s) = 45m. Παρατηρήστε ότι: Η συνολική μετατόπιση από = 0s έως = 8s ισούται με 30m + 90m + 45m = 165m. Τόσο είναι το εμβαδόν που περικλείεται από τη γραφική παράσταση (υ ) και τον άξονα του χρόνου, δηλαδή το εμβαδόν του τραπεζίου ΟΑΓΕ. Υπολογίστε το.

Κεφάλαιο 1ο 9 Εμβ. τραπεζίου = ( βάση μικρή + βάση μεγάλη) (ύψος) ή E τραπ = ( β + Β) υ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Ονομάζουμε διανυσματικά μεγέθη, τα φυσικά μεγέθη εκείνα που για να καθοριστούν πλήρως μας χρειάζεται εκτός από την τιμή τους και η κατεύθυνσή τους. Τέτοια είναι τα μεγέθη μετατόπιση, ταχύτητα και επιτάχυνση. Έτσι ένα αυτοκίνητο που κινείται βόρεια με ταχύτητα 80km/h και ένα άλλο που κινείται ανατολικά με ταχύτητα 80km/h αυτά λέμε ότι δεν έχουν ίδια ταχύτητα αλλά έχουν ίδιο, μόνο το μέτρο της ταχύτητας. (Μέτρο = Τιμή + Μονάδα μέτρησης) Δύο διανυσματικά μεγέθη είναι ίδια -ίσα - όταν έχουν ίδιο μέτρο και ίδια κατεύθυνση.

Κεφάλαιο 1ο 30 1. Ποια κίνηση ονομάζουμε μεταβαλλόμενη;. α) Δώστε τον ορισμό του φυσικού μεγέθους «επιτάχυνση». Είναι μονόμετρο ή διανυσματικό φυσικό μέγεθος; β) Τι εκφράζει η επιτάχυνση ώστε την ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας; γ) Ποια είναι η μονάδα μέτρησής της στο S.I.; 3. Δύο οδηγοί συζητούν: Α: Χτες οδηγούσα με 160Km/h για 60 λεπτά. Β: Εγώ έπιασα τα 160km/h σε 10 δευτερόλεπτα. Ποιος από τους δύο μιλάει για επιτάχυνση; 4. Επιτάχυνση m/s δηλώνει ότι: α) Σε χρόνο 1s το κινητό μετατοπίζεται κατά m. β) Το κινητό διατηρεί ταχύτητα m/s για χρόνο 1s. γ) Η ταχύτητα του κινητού μεταβάλλεται κατά m/s σε κάθε 1s. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. 5. Ποια κίνηση ονομάζουμε ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη; 6. α) Ποιος είναι ο νόμος της επιτάχυνσης στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση;

Κεφάλαιο 1ο 31 β) Τι είναι η γραφική παράσταση της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση; γ) Πώς παίρνουμε πληροφορίες για τη μεταβολή της ταχύτητας από το διάγραμμα επιτάχυνσης χρόνου; Μία κίνηση στην οποία η ταχύτητα μεταβάλλεται ονομάζεται μεταβαλλόμενη. Ονομάζουμε επιτάχυνση το φυσικό μέγεθος που ορίζεται από το πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα στο οποίο έγινε η μεταβολή αυτή: επιτάχυνση = μεταβολή ταχύτητας χρονικό διάστημα. Η επιτάχυνση εκφράζει το πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η ταχύτητα. Αποτελεί το ρυθμό μεταβολής της ταχύτητας. Εφόσον η ταχύτητα είναι διανυσματικό μέγεθος τότε και η επιτάχυνση είναι διανυ-σματικό μέγεθος: α = Δυ Δ υ και μέτρο α =. Δ Δ Σε μια ευθύγραμμη κίνηση που γίνεται χωρίς αλλαγή κατεύθυνσης έχουμε: α Δυ = και θεωρώντας την κατεύθυνση της κίνησης θετική: Δ Αν α > 0, τότε η ταχύτητα αυξάνεται.

Κεφάλαιο 1ο 3 Αν α < 0, τότε η ταχύτητα μειώνεται καθώς το σώμα κινείται προς την καθορισμένη αυτή κατεύθυνση. Ονομάζουμε ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη την ευθύγραμμη κίνηση, στην οποία η ταχύτητα μεταβάλλεται κατά ίσες ποσότητες σε ίσα χρονικά διαστήματα. Σε μια τέτοια κίνηση, η επιτάχυνση διατηρείται σταθερή. Σε μία ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση, όπου το σώμα είναι αρχικά ακίνητο, δηλαδή τη χρονική στιγμή = 0 έχει ταχύτητα υ = 0 (αρχική ταχύτητα ίση με μηδέν), τότε η ταχύτητα (υ) που έχει το σώμα σε κάθε χρονική στιγμή () συνδέονται με την επιτάχυνση μέσω της σχέσης : α = υ. Νόμος της επιτάχυνσης: «Στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση, η επιτάχυνση διατηρείται σταθερή». Η γραφική παράσταση της επιτάχυνσης (α) σε σχέση με το χρόνο () είναι ευθεία παράλληλη στον άξονα του χρόνου. α = σταθ. Νόμος της ταχύτητας: «Σε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση (α = σταθερή), χωρίς αρχική ταχύτητα (για = 0, υ = 0), η ταχύτητα του σώματος είναι ανάλογη του χρόνου στον οποίο αποκτήθηκε». υ = α. Η γραφική παράσταση της ταχύτητας (υ) σε σχέση με το χρόνο () είναι ευθεία γραμμή.

Κεφάλαιο 1ο 33 υ υ = α (α = σταθ.) Σε ένα διάγραμμα επιτάχυνσης - χρόνου, το εμβαδόν της επιφάνειας μεταξύ της γραμμής που παριστάνει την επιτάχυνση και τον άξονα του χρόνου, ανάμεσα σε δύο χρονικές στιγμές 1 και, είναι αριθμητικά ίσο με τη μεταβολή της ταχύτητας στο αντίστοιχο χρονικό διάστημα. (από 1 σε ). α α Ε = Δυ 1 Στο διάγραμμα ταχύτητας - χρόνου, η κλίση της ευθείας ισούται με την επιτάχυνση. υ υ Γ υ 1 Κλίση ευθείας = εφ φ (εφαπτομένη της γωνίας φ) Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ: ΒΓ Κλίση ευθείας = ή κλίση της ευθείας = ΑΒ Α φ Δ Β Δυ 1 Δ υ = α. Δ

Κεφάλαιο 1ο 34 Νόμος της μετατόπισης: «Όταν ένα σώμα κάνει ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση χωρίς αρχική ταχύτητα, η μετατόπισή του από την αρχική θέση είναι ανάλογη του τετραγώνου του χρόνου κίνησης». Το διάγραμμα θέσης - χρόνου (x - ), όταν τη χρονική στιγμή = 0 το κινητό ξεκινάει από τη θέση του σημείου αναφοράς (x = 0), έχει τη μορφή: x 0 Η μετατόπιση που έχει το σώμα κατά τη χρονική διάρκεια από τη χρονική στιγμή = 0 έως τη χρονική στιγμή είναι: Δx = 1 α. Καθώς δεχτήκαμε ότι το κινητό την αρχική χρονική στιγμή = 0 ξεκινάει από το σημείο αναφοράς (x = 0), τότε η μετατόπισή του τη χρονική στιγμή συμπίπτει με τη θέση του κινητού τη χρονική στιγμή αυτή. Οπότε, στην περίπτωση αυτή (όταν τη χρονική στιγμή = 0 έχουμε x = 0 και υ = 0) μπορούμε ισοδύναμα να γράφουμε: x = 1 α και να υπολογίζουμε με τη σχέση αυτή τη θέση x του κινητού πάνω στον άξονα, μια οποιαδήποτε χρονική στιγμή κατά την κίνησή του. Επιβράδυνση ονομάζουμε την επιτάχυνση που έχει ένα κινητό του οποίου το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται. Ονομάζουμε τότε την κίνησή του επιβραδυνόμενη. Η επιτάχυνση είναι διανυσματικό μέγεθος, όπως και η ταχύτητα. Το διάνυσμά της δηλώνει το εξής: παίρνουμε άξονα για σύστημα αναφοράς και θεωρούμε ότι η κίνηση γίνεται κατά τη θετική φορά του άξονα.

Κεφάλαιο 1ο 35 Τότε: i) Εάν το μέτρο της ταχύτητας αυξάνεται, έχουμε επιτάχυνση: α υ 1 υ x 1 Επιτάχυνση: Διάνυσμα κατά τη θετική φορά του άξονα οπότε α > 0. ii) Εάν το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται, έχουμε επιβράδυνση: α υ 1 υ x 1 Επιτάχυνση: Διάνυσμα κατά την αρνητική φορά του άξονα οπότε: α < 0 (επιβράδυνση) Γενικά: στην επιταχυνόμενη κίνηση, η επιτάχυνση και η ταχύτητα, ως διανύσματα, έχουν την ίδια φορά, στην επιβραδυνόμενη κίνηση η επιτάχυνση και η ταχύτητα έχουν αντίθετη φορά (και τότε η επιτάχυνση λέγεται επιβράδυνση). 1. Μεταβαλλόμενη ονομάζεται μία κίνηση στην οποία η ταχύτητα δεν παραμένει σταθερή αλλά μεταβάλλεται.

Κεφάλαιο 1ο 36. α) Η επιτάχυνση ορίζεται από το πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας (Δυ) προς τον αντίστοιχο χρόνο στον οποίο έγινε η μεταβολή. Επιτάχυνση = μεταβολή ταχύτητας χρονικό διάστημα ή α = Δ υ. Δ β) Η επιτάχυνση εκφράζει το πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η ταχύτητα ενός κινητού και λέμε ότι είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας. γ) Μονάδα μέτρησης στο S.I. είναι το 1m/s. 3. Για επιτάχυνση μιλάει ο οδηγός Β. Αυτός σχολιάζει πόσο γρήγορα η ταχύτητά του μεταβλήθηκε από 0km/h σε 160Km/h. Ο οδηγός Α λέει πως κινήθηκε για 60 λεπτά με σταθερή ταχύτητα 160km/h, δε μιλάει για επιτάχυνση. 4. Η σωστή απάντηση είναι η (γ). 5. Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη ονομάζουμε την ευθύγραμμη κίνηση κατά την οποία η ταχύτητα μεταβάλλεται κατά ίσες τιμές σε ίσα χρονικά διαστήματα. Σε μια τέτοια κίνηση η επιτάχυνση διατηρείται σταθερή. α = σταθερή. 6. α) Ο νόμος της επιτάχυνσης στην ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση λέει πως η επιτάχυνση διατηρείται σταθερή. β) Ευθεία γραμμή παράλληλη στον άξονα του χρόνου. α γ) Στο διάγραμμα α, το εμβαδόν που περικλείεται μεταξύ της γραφικής παράστασης και του άξονα του χρόνου μεταξύ δύο

Κεφάλαιο 1ο 37 χρονικών στιγμών 1 και ισούται με τη μεταβολή της ταχύτητας κατά το χρονικό διάστημα από 1 έως. α Ε = Δυ 1 Συμπλήρωσε το παρακάτω κείμενο: Η επιτάχυνση ορίζεται ως το πηλίκο της μεταβολής της. προς το αντίστοιχο. Μια κίνηση στην οποία η επιτάχυνση διατηρείται σταθερή ονομάζεται ευθύγραμμη..... Όταν το μέτρο της ταχύτητας η κίνηση λέγεται επιβραδυνόμενη. Η επιτάχυνση ορίζεται ως το πηλίκο της μεταβολής της ταχύτητας προς το αντίστοιχο χρονικό διάστημα. Μια κίνηση στην οποία η επιτάχυνση διατηρείται σταθερή ονομάζεται ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη. Όταν το μέτρο της ταχύτητας μειώνεται η κίνηση λέγεται επιβραδυνόμενη.

Κεφάλαιο 1ο 38 Διάλεξε τη σωστή απάντηση. Α. Η μονάδα της επιτάχυνσης είναι: α) m/s, β) m /s, γ) m/s, δ) m /s Β. Σε μια ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση η σχέση μεταξύ των μεγεθών ταχύτητα (υ), επιτάχυνση (α) και χρόνος () είναι: α α) υ = α, β) υ =, γ) υ = δ) α = υ. α Α. Σωστή είναι η απάντηση (γ) m/s. Δυ Αυτό προκύπτει από τη σχέση α = όπου εάν θέσουμε μονάδες m/s για Δ το Δυ, και μονάδες s για το χρονικό διάστημα Δ προκύπτει για την επιτάχυνση: m Μονάδες α: s m =. s s Β. Σωστή είναι η απάντηση (α) υ = α. Αυτό προκύπτει από τη σχέση α = Δυ Δ ή α = υ. Σε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση να αντιστοιχίσεις τα διαγράμματα σε σχέση με το χρόνο των μεγεθών που δείχνονται στην αριστερή στήλη με τις γεωμετρικές μορφές της δεξιάς στήλης. ΜΕΓΕΘΗ Γραφική παράσταση σε σχέση με το χρόνο α) επιτάχυνση β) Ταχύτητα β) Παραβολή α) Ευθεία που περνάει από την αρχή των αξόνων. γ) Θέση γ) Ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των χρόνων. Σε μια ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση: Η γραφική παράσταση της επιτάχυνσης σε σχέση με το χρόνο είναι ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των χρόνων:

Κεφάλαιο 1ο 39 α α = σταθερά Η γραφική παράσταση της ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο είναι ευθεία που περνάει από την αρχή των αξόνων: υ υ = α Η γραφική παράσταση της θέσης σε σχέση με το χρόνο είναι μια παραβολή. x x = 1 α

Κεφάλαιο 1ο 40 ÁóêÞóåéò Ένα αυτοκίνητο αγώνων, που τρέχει ευθύγραμμα με ταχύτητα μέτρου 10m/s προς βορρά, αυξάνει την ταχύτητα του σε 16m/s πάντα προς βορρά, μέσα σε χρόνο 3s. Ποια είναι η μέση επιτάχυνσή του σ αυτό το χρονικό διάστημα; Ποια είναι η κατεύθυνση της επιτάχυνσης; Διαβάζοντας πολλές φορές και προσεκτικά το πρόβλημα φτιάχνουμε πίνακα με τα δεδομένα και τα ζητούμενα της άσκησης: Δεδομένα υ 1 = 10m/s υ = 16m/s Δ = 3s Ζητούμενα i) α = ; ii) α = ; (κατεύθυνση) Απάντηση: i) Βλέπουμε ότι έχουμε αύξηση της ταχύτητας οπότε έχουμε επιτάχυνση. Δ υ υ Θα την υπολογίσουμε μέσω της σχέσης α = : α = υ1 ή Δ Δ 16 10 m α = ή 3 s 6 m α = ή 3 s α = m/s

Κεφάλαιο 1ο 41 ii) Αφού έχουμε αύξηση του μέτρου της ταχύτητας, η κατεύθυνση της επιτάχυνσης είναι ίδια με της ταχύτητας, δηλαδή προς βορρά. Μετά τον ήχο του πιστολιού του αφέτη ένας δρομέας των 100m χρειάζεται 0,8s για να αποκτήσει ταχύτητα 10m/s. Να υπολογίσεις τη μέση επιτάχυνση του δρομέα. Η άσκηση μας περιγράφει μια κίνηση κατά την οποία το κινητό (δρομέας) μέσα στο χρόνο Δ = 0,8s, αυξάνει την ταχύτητά του από υ 1 = 0m/s σε υ = 10m/s. Δηλαδή έχει μεταβολή Δυ = υ υ 1 = (10 0)m/s = 10m/s. Οπότε η μέση επιτάχυνσή του είναι α = Δ υ 10m / s = Δ 0,8s = 1,5m/s. Ένα αυτοκίνητο ξεκινάει από την ηρεμία και κινείται με σταθερή επιτάχυνση 1m/s. Μετά από 5s από τη στιγμή που ξεκίνησε να βρεθούν: α) η ταχύτητά του τη χρονική στιγμή = 5s. β) η μετατόπισή του από την αφετηρία. Δεδομένα Αρχικά ηρεμία (για = 0 υ = 0) Ζητούμενα i) υ = ; α = 1m/s = 5s ii) Δx = ; για = 5s Απάντηση: Το κινητό ξεκινάει από την ηρεμία, δηλαδή για = 0 έχει ταχύτητα υ = 0. Αν θεωρήσουμε (μπορούμε να επιλέξουμε ελεύθερα) ότι η αρχική του θέση είναι το σημείο αναφοράς (x = 0) τότε μπορούμε να υπολογίζουμε την ταχύτητά του και τη μετατόπισή του από την αφετηρία σημείο αναφοράς σε κάθε 1 χρονική στιγμή, μέσω των σχέσεων υ = α και Δx = α αντίστοιχα. i) υ = α. Αντικαθιστούμε α = 1m/s και = 5s οπότε: υ = 1m / s / 5 s/ ή υ = 5m/s

Κεφάλαιο 1ο 4 ii) Δx = 1 α. Αντικαθιστούμε πάλι α = 1m/s και = 5s οπότε: 1 Δx = 1m/s (5s) 5 ή Δx = m ή Δx = 1,5m Ένα αυτοκίνητο ξεκινάει από την ηρεμία και κινείται με σταθερή επιτάχυνση 3m/s μέχρι να αποκτήσει ταχύτητα 18m/s. Να υπολογίσεις το χρονικό διάστημα που απαιτείται για να αποκτήσει την παραπάνω ταχύτητα. Η άσκηση περιγράφει μια κίνηση κατά την οποία με σταθερή επιτάχυνση α = 3m/s η ταχύτητα μεταβάλλεται από υ 1 = 0m/s (ηρεμία) σε υ = 18m/s. Οπότε έχουμε μεταβολή Δυ = υ υ 1 = 18m/s. H σχέση που ισχύει για την Δ υ επιτάχυνση είναι α =. Δ Γνωρίζοντας: Δυ = 18m/s και α = 3m/s λύνουμε και βρίσκουμε το ζητούμενο χρονικό διάστημα: α = Δ = Δυ Δ m/ 18 s/ m/ 3 / s ή Δ = = 6s Δυ α οπότε: Ένα αμαξίδιο, που ήταν αρχικά ακίνητο, αρχίζει να κατεβαίνει κατά μήκος ενός κεκλιμένου επιπέδου. Στο πρώτο δευτερόλεπτο της κίνησής του διανύει 3m. Πόση είναι η επιτάχυνσή του; Αναζητώντας τα δεδομένα ζητούμενα της άσκησης: Το αμαξίδιο είναι αρχικά ακίνητο. Θεωρώντας ότι ο χρόνος αρχίζει να μετράει στην αρχή της κίνησης έχουμε: Για = 0 : υ = 0 Παίρνουμε ακόμα ως σημείο αναφοράς των θέσεων την αρχική θέση του σώματος οπότε για = 0 έχουμε και x = 0. Δεδομένα Για = 0s : x = 0 και υ = 0 Για = 1s : Δx = 3m α = ; Ζητούμενα

Κεφάλαιο 1ο 43 1ο βήμα: Στην κίνηση αυτή, η μετατόπιση του κινητού από την αρχική του θέση σε κάθε χρονική στιγμή δίνεται από τη σχέση: Δx = 1 α. ο βήμα: Λύνουμε την παραπάνω σχέση ως προς α: Δx = 1 α ή (πολλαπλασιάζουμε χιαστί) Δx = α ή (διαιρούμε και τα δύο μέλη με ) Δx α/ = / Δx α = / / ή (τα στο ο μέλος διαγράφονται) 3ο βήμα: Αντικαθιστούμε Δx = 3m και = 1s και βρίσκουμε την επιτάχυνση: 3m 6m α = = = 6m/s (1s) 1s