ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο 7. ΕΚΤΑΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ (XTNSIONAL FLOWS) Ο απλούστερος ορισµός µιας εκτατικής ροής είναι η ροή που περιλαµβάνει τάνυση/τέντωµα (stretching) κατά µήκος των ροικών γραµµών (streamlines). Για παράδειγµα, εάν x είναι η πρωτεύουσα/κύρια κατεύθυνση τάνυσης (principal stretching direction), τότε δύο σωµατίδια του ρευστού στην ίδια ροϊκή γραµµή αποµακρύνονται όλο και περισσότερο όσο η παραµόρφωση συνεχίζεται. Βλέπε Σχήµα 7.. Σχήµα 7.. Αποµάκρυνση των σωµατιδίων ρευστού σε απλή εκτατική ροή (simple extension) Σε αντίθεση µε την απλή τάνυση, τέτοια αποµάκρυνση δεν συµβαίνει σε απλή διάτµηση (βλέπε Σχήµα 7.). Σχήµα 7.. Μετατόπιση δύο σωµατιδίων σε απλή διάτµηση. Σε απλή διάτµηση, τάνυση (stretching) µπορεί να συµβεί µόνο για σωµατίδια που δεν βρίσκονται στην ίδια ροϊκή γραµµή. Βλέπε Σχήµα 7.3. Figure 7.3. Τάνυση δύο σωµατιδίων που βρίσκονται σε διαφορετικές ροϊκές γραµµές.
ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ Κ07 Για απλή διάτµηση στην κατεύθυνση x, τα στοιχεία του τανυστή ρυθµού παραµόρφωσης είναι: 0 & γ 0 & γ = ij & γ 0 0 (7.) 0 0 0 Υποσηµαίνεται ότι τα διαγώνια στοιχεία είναι όλα µηδενικά. Οµως έαν το σύστηµα συντεταγµένων περιστραφεί, διαγώνια στοιχεία µπορούν να εµφανισθούν. Για εκτατικές ροές (shear-free flow) στην κατεύθυνση x, ο τανυστής ρυθµού παραµόρφωσης έχει την εξής γενική µορφή: α 0 0 & = 0 α 0 (7.) 0 0 α 3 γ ij όπου α, α, και α3 έχουν µονάδες αντιστροφου χρόνου και α α α3 = 0 για ασυµπίεστο υλικό. Υποσηµαίνουµε ότι δεν υπάρχουν µη-διαγώνια στοιχεία του τανυστή σε τέτοιες ροές. Η εκτατική ροή που έχει χρησιµοποιηθεί πιο πολύ στη ρεολογία είναι η µονοαξονική τάνυση ή µονοαξονικός εφελκυσµός (uniaxial extension), η οποία είναι µία αξονοσυµµετρική ροή (axisymmetric flow) µε την τάνυση στην κατεύθυνση του άξονα συµµετρίας. Αυτή η ροή απεικονίζεται στο Σχήµα 7.4. Figure 7.4. Απλή µονοαξονική τάνυση (uniaxial extension) Υπάρχει µία άλλη αξονοσυµµετρική εκτατική ροή (axisymmetric extensional flow) η οποία είναι γνωστή σαν διαξονική εκτατική ροή ή διαξονική ροή εφελκυσµού (biaxial extension). Βλέπε Σχήµα 7.5. Εδώ υπάρχει συµπίεση στην κατεύθυνση του άξονα συµµετρίας και επέκταση στην ακτινική κατεύθυνση (radial direction).
ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ Κ07 3 Σχήµα 7.5. ιαξονική τάνυση ή διαξονική εκτατική ροή ή διαξονικός εφελκυσµός (biaxial extension). Μία άλλη µη-αξονοσυµµετρική εκτατική ροή που χρησιµοποιείται στο εργαστήριο είναι η επίπεδη τάνυση ή επίπεδη εκτατική ροή (planar extension). Βλέπε Σχήµα 7.6 για επεξήγηση της ροής. Σχήµα 7.6. Επίπεδη τάνυση ή εκτατική ροή (planar extension). Η µοριακή προσαρµογή και οργάνωση (molecular conformation and organization) σε τέτοιες ροές έχει ως ακολούθως. Σε απλή τάνυση, τα µόρια έχουν την τάση ευθυγράµµισης στην κατεύθυνση του άξονα συµµετρίας. Στη διαξονική τάνυση, η ευθυγράµµιση είναι στην ακτινική κατεύθυνση. Οµως στην επίπεδη τάνυση, η ευθυγράµµιση είναι στο x -x 3 επίπεδο, και σε κάποιο βαθµό στην κατεύθυνση x. Ενα σχετικά σηµαντικό φαινόµενο στις εκτατικές ροές είναι η ερώτηση της εκτατικής πάχυνσης (strain hardening or extensional thickening). Η ιδέα βασίζεται στην σύγκριση της τάσης στην εκκίνηση ροής µε αυτή που προβλέπεται από την θεωρία της γραµµικής ιξωδοελαστικότητας. Εάν η τάση αυξηθεί πιο γρήγορα τότε η συνµπεριφορά λέγεται ότι είναι εκτατική πάχυνση (strain hardening or extension thickening). Αυτό επεξηγείται στο Σχήµα 7.7.
ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ Κ07 4 Σχήµα 7.7. Η καµπύλη δείχνει την ανταπόκριση (response) του υλικού που προβλέπεται από την γραµµική ιξωδοελαστικότητα. Η καµπύλη δείχνει συµπεριφορά εκτατικής πάχυνσης ( extension thickening ) και η καµπύλη 3 δείχνει συµπεριφορά εκτατικής λέπτυνσης ( extension thinning ). Σχεδόν όλες οι διεργασίες πολυµερών περιλαµβάνουν εκτατικές ροές ή στοιχεία εκτατικής ροής σε κάποιο βαθµό. Για παράδειγµα, συγκλίνουσα ροή (conerging flow) (επιτάχυνση - acceleration) ή αποκλίνουσα ροή (dierging) (επιβράδυνση - deceleration) υποννοούν κάποιο βαθµό εκτατικής ροής. Οµως σε τέτοιες ροές η διάτµηση είναι η επικρατέστερη/κυρίαρχη συνιστώσα της ροής. Οι διεργασίες melt spinning, film stretching and casting, film blowing, blow molding περιλαµβάνουν ροές µε σηµαντικά στοιχεία εκτατικής ροής. Η απαρχή ασταθειών σε τέτοιες ροές (συντονισµός τραβήγµατος ή έλξης - draw resonance) πιστεύεται ότι εξαρτάται από τις εκτατικές ρεολογικές ιδιότητες. 7.. ΑΠΛΗ ΤΑΝΥΣΗ (SIMPL XTNSION) Η κατανοµή ταχύτητας είναι: 3 = & ε x = & ε x = & ε x Επειδή η ροή είναι αξονοσυµµετρική, µπορεί να περιγραφεί ως: 3 (7.3)
ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ Κ07 5 z r = & ε z (7.4) = & ε r όπου ε& είναι ο ρυθµός παραµόρφωσης Hencky (Hencky strain rate). Οι συνιστώσες του τανυστή ρυθµού παραµόρφωσης είναι: & ε 0 0 & γ = & ij 0 ε 0 (7.5) 0 0 & ε Σ αυτή τη ροή οι κύριες τάσεις (principal stresses) για την εκτατική ροή είναι στην ίδια κατεύθυνση µε αυτές του ρυθµού παραµόρφωσης (αυτό δεν είναι το ίδιο µε την διάτµηση). Οι συνιστώσες του τανυστή τάσης είναι: σ 0 0 σ ij = 0 σ 0 (7.6) 0 0 σ 33 Η τάση εφελκυσµού ορίζεται ως: σ = σ (7.7) σ = σ σ 33 Ετσι, σε ένα πείραµα εφελκυσµού µετράµε την τάση εφελκυσµού (tensile stress) σαν συνάρτηση του χρόνου. Αυτή είναι η ροή που έχει χρησιµοποιειθεί κατά κόρον στη µέτρηση των εκτατικών ρεολογικών ιδιοτήτων των πολυµερών. 7.. Συναρτήσεις υλικών σε απλή τάνυση (material functions for simple extension) Κλιµακωτή παραµόρφωση σε τάνυση µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον καθορισµό του µη γραµµικού µέτρου χαλάρωσης (nonlinear relaxation modulus), ( t, ε). Μπορεί επίσης να χρησιµοποιηθεί για το καθορισµό της συνάρτησης απόσβεσης (damping function), h (ε ). Μπορεί να αποδειχθεί ότι: ε ε e e ( t, ε) = h( ε ) G( t) (7.8) ε Στη εκκίνηση ροής (περισσότερο συνηθισµένη), το δείγµα υποβάλλεται σε σταθερή απλή τάνυση (steady simple extension). Ο συντελεστής ανάπτυξης της εφελκυστικής τάσης ορίζεται ως:
ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ Κ07 6 σ & ( t, ε) η & ( t, ε ) (7.9) & ε Σε µεγάλους χρόνους η σταθερή/µόνιµη τιµή της εφελκυστικής τάσης ορίζει το εκτατικό ιξώδες ως: lim t [ η ( t, & ε )] = η ( & ε) (7.0) Στην γραµµική ιξωδοελαστικότητα, ο συντελεστής ανάπτυξης της εφελκυστικής τάσης (the tensile stress growth coefficient) γίνεται ίσος µε τρείς φορές τον συντελστή ανάπτυξης της διατµητικής τάσης (shear stress growth coefficient), και το εκτατικό ιξώδες γίνεται ισο µε τρεις φορές το ιξωδες µηδενικού ρυθµού διάτµησης. Ετσι, lim & ε 0 η ( t, & ε = η ( t) = 3η ( t) = 3 t 0 G( s) ds (7.) Σε σταθερή απλή τάνυση (steady simple extension), εάν η ροή τερµατισθεί, αφού η τάση πάρει την µόνιµη τιµή της, ο συντελεστής χαλάρωσης της εφελκυστικής τάσης (tensile stress decay coefficient) µπορεί να ορισθεί ως: σ & ( t, ε) η & ( t, ε) & ε Αντίστοιχη µε την ενδοτικότητα εκτατικής έρπισης (tensile creep compliance) της γραµµικής ιξωδοελαστικότητας είναι η µη-γραµµική ενδοτικότητα εκτατικής έρπισης (nonlinear tensile creep compliance), D t, σ ), ( ε( t) D( t, σ ) (7.) σ Σε αρκετά µεγάλους χρόνους όπου ο ρυθµός παραµόρφωσης γίνεται σταθερός, η εξής σχέση ισχύει όπου D S είναι η µόνιµη εκτατική ενδοτικότητα. t D( t, σ ) = DS ( σ ) (7.3) η ( σ ) Σε καποιο χρόνο, t o, κατά την διάρκεια του πειράµατος εκκίνησης ροής ή έρπισης, η τάση µπορεί να αποσυρθεί (eliminated) και σ αυτή την περίπτωση η ανάκτηση παραµόρφωσης (recoil strain) ε t t, t ) µετρείται σαν συνάρτηση του r ( o o χρόνου (t-t o ) που παρέρχεται από την στιγµή της απόσυρσης της τάσης. Η τελική
ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ Κ07 7 εκτατική ανάκτηση (ultimate tensile recoil) ή παραµόρφωση ανάκτησης (recoerable strain) είναι ε όπου: [ ε ( t t, t )] ε ( to ) = r o o (7.4) ( tlim) to Αυτή η ποσότητα είναι επίσης συνάρτηση του ε&. 7.3. Πειραµατικοί µέθοδοι στην εκτατική ρεολογία (experimental methods for extensional rheology) 7.3.. Ακριβείς µέθοδοι (exact methods) Η µέτρηση εκτατικών ρεολογικών ιδιοτήτων είναι πολύ πιο δύσκολη από την µέτρηση τςν αντίστοιχων ρεολογικών ιδιοτήτων σε διάτµηση (Dealy and Wissbrun, 990). Ενα από τα πρώτα εκτατικά ρεόµετρα απεικονίζεται στο Σχήµα 7.8, όπου το δείγµα αιωρείται µέσα σε λάδι (oil bath) για αντιστάθµιση της επίδρασης της βαρύτητας. Σ αυτό το ρεόµετρο, ένα σταθερό φορτίο (δύναµη) ασκείται αλλά η εφελκυστική τάση και η τάνυση κοντρολάρονται ηλεκτρονικά για να πάρουµε σταθερό ρυθµό παραµόρφωσης. Σχήµα 7.8: Το εκτατικό ρεόµετρο (extensional creep-meter) του Munstedt
ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ Κ07 8 Το Σχήµα 7.9 δείχνει ένα εκτατικό ρεόµετρο που παρακάµπτει την δυσκολία στο ρεόµετρο του Munstedt όπου η µέγιστη παραµόρφωση που µπορεί να ασκηθεί στο υλικό είιναι περιορισµένη λόγω του περιορισµένου µήκους του λουτρού του λαδιού (oil bath). Σχήµα 7.9: Εκτατικό ρεόµετρο (extensional creep-meter) που αναπτύχθηκε από τον Meissner. Z και Z είναι περιστρεφόµενοι σφιγκτήρες (rotary clamps). Τα τόξα δείχνουν την θέση ψαλιδιών για µετρήσεος ελαστικής ανάκτησης. Ενα άλλο ρεόµετρο που έχει χρησιµοποιειθεί πολύ είναι αυτό που φαίνεται στο Σχήµα 7.0 όπου το δείγµα στηρίζεται κάθετα µέσα σε µπάνιο λαδιού (oil bath). Σχήµα 7.0: Το εκτατικό ρεόµετρο (xtensional creep-meter) που αναπτύχθηκε από τον Munstedt
ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ Κ07 9 Ενα άλλο ρεόµετρο που αναπτύχθηκε πρόσφατα, εύκολο στην χρήση του που δίνει αξιόπιστα αποτε λεσµατα είναι το εκατατικό ρεόµετρο SR rheometer. Ενα πλό σχήµα αυτού του ρεοµέτρου απεικονίζεται στο Σχήµα 7.. Το SR αποτελείται από δύο κυλίνδρους οι οποίοι περιστρέφονται για την τάνυση πολυµερικών δειγµάτων όπως φαίνεται στο Σχήµα 7.. Ειναι σχεδιασµένο σαν προσάρτηµε (fixture) για χρήση σε περιστροφικά ρεόµετρα του εµπορίου (commercial rotational rheometers). Το SR µπορεί να φτάσει ρυθµούς τάνυσης (Hencky strain rates) µέχρι 0s - κάτω από σταθερή θερµοκρασία µέχρι 50 C. Για πιο πολλές λεπτοµέρειες βλέπε Sentamanat (003). Σχήµα 7-: Το SR εκτατικό ρεόµετρο.
ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ Κ07 0 Σχήµα 7-: Πραγµατική εικόνα του εκτατικού ρεόµετρου SR, φορτωµένο µε ένα πραγµατικό δείγµα. Το Σχήµα 7- είναι µία πραγµατική φωτογραφία του ρεοµέτρου SR φορτωµένο µε ένα πραγµατικό δείγµα. Τα Σχήµατα 7-3 και 7-4 δείχνουν τυπικές εκτατικές ρεολογικές µετρήσεις για ένα LDP και δύο διαφορετικά δείγµατα ζυµαριού αντίστοιχα µε το ρεόµετερο SR. Και στις δύο περιπτώσεις, τα υλικά επιδεικνύουν σηµαντική εκτατική σκλήρυνση (strain hardening).
ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ Κ07 Σχήµα 7.3: Ο συντελεστής ανάπτυξης εφελκυστικής τάσης ενός LLDP (Lupolen 84OH). Figure 7-4: Ο συντελεστής ανάπτυξης εφελκυστικής τάσης για διάφορους εκτατικούς ρυθµούς για δύο διαφορετικά δείγµατα ζυµαριών.
ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ Κ07 7.3.. Προσεγγιστικές µέθοδοι (approximate methods) Ξέχωρα από τις µεθόδους που περιγράφηκαν πριν για την µέτρηση των εκτατικών ρεολογικών ιδιοτήτων, υπάρχουν και προσεγγιστικές µέθοδοι. Οι τεχνικές αυτές βασίζονται στην ανάλυση Cogswell που χρησιµοποιεί µετρήσεις διαφοράς πίεσης για ροή υλικών σε απότοµα ή σταδιακά στενέµατα (sudden or gradual contraction) σε ρεόµετρο τριχοειδούς σωλήνα (capillary rheometer). P P nt P xit P Cap Reseroir Capillary z=0 z=l P xit Σχήµα 7-5: Η αξονική µεταβολή πίεσης σε ένα ρεόµετρο τριχοειδούς σωλήνα που περιλαµβάνει την είσοδο και έξοδο του σωλήνα Το Σχήµα 7-5 δείχνει την µεταβολή τηε αξονικής πίεσης σε ένα τριχοειδές σωλήνα που περιλαµβάνει και την είσοδο και την έξοδο του. Μπορούµε να δούµε ότι η ολική πτώση πίεσης (total pressure drop), P, αποτελείται από δύο συνιστώσες (components) και ότι µπορεί να γραφεί ως: P = P P = P P P (7-5) Cap nd όπου P είναι η ολική πτώση πίεσης από το ρεζερβουάρ (reseroir) µέχρι την έξοδο του τριχοειδούς σωλήνα, P Cap είναι η πτώση πίεσης κατά µήκος του τριχοειδούς σωλήνα όπου η ροή είναι πλήρως ανεπτυγµένη (fully deeloped), και P nd = P nt P xit είναι Cap nt xit
ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ Κ07 3 η πρόσθετη πτώση πίεσης λόγω της εισόδου και εξόδου του σωλήνα. Η πτώση πίεσης εξόδου συνήθως είναι πολύ µικρή συγκρινόµενη µε την αντίστοιχη της εισόδου (abrupt entrance) και ως εκ τούτου, µπορούµε να υποθέσουµε ότι P nd P nt D=9.55 mm L C φ d=0.76 mm L C =(D-d)/[tan(φ/)] D/d=.5 Σχήµα 7-6: Τυπικός τριχοειδής σωλήνας (orifice die) που χρησιµοποιείται για την µέτρηση πτώσης πίεσης στην είσοδο (entrance pressure). Το Σχήµα 7-6 δείχνει ένα τυπικό σχέδιο για τριχοειδή σωλήνα (orifice die) που χρησιµοποιείται στην µέτρηση P nd. Οι συνθήκες ροής είναι µικτές διάτµησης και τάνυσης. Ο Cogswell (97) έχει αναπτύξει µία µέθοδο για τον υπολογισµό εκτατικών ρεολογικών ιδιοτήτων από µετρήσεις P nd. Ετσι, το εκτατικό ιξώδες των πολυµερών µπορεί να υπολογισθεί από P end, χρησιµοποιώντας τις εξισώσεις Cogswell (97). Ο µέσος ρυθµός τάνυσης,. ε, και το µέσο εκτατικό ιξώδες, η. (ε ), σαν συναρτήσεις της πτώσης πίεσης, P nd, του ιξώδους, η S και του τοπικού εκθέτη (power-law exponent), n, είναι:
ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ Κ07 4.. 4γ 9( ) ( ) ε = n Pnd, η ( ε ) = 3( n ) P. (7-6) nd 3η γ όπου ο τοπικός εκθέτης (power law exponent), n, υπολογίζεται από απεικόνιση της διατµητικής τάσης σαν συνάρτηση του φαινοµενικού ρυθµού διάτµησης σε λογαριθµική κλίµακα (shear stress s. apparent shear rate log-log plot). Πρέπει να τονισθεί ότι το εκτατικό µέρος της ροής είναι µεταβατικό (transient), και πρέπει πρώτα να υπολογίσουµε την ολική παραµόρφωση πριν αποκτήσουµε την δυνατότητα για τον υπολογισµό του εκτατικού ιξώδους. Επίσης δεν είναι γνωστό εάν πράγµατι υπάρχει µόνιµη εκτατική ροή (όπως πολλά µοντέλα προβλέπουν) ή εάν η εκτατική ροή προσεγγίζει ποτέ µόνιµη κατάσταση (Padmanabhan and Macosco, 997). Αυτοί οι ερευνητές σύγκριναν πολλές µεθόδους και βρήκαν µεγάλες διαφορές, οπότε η µέθοδος του Cogswell πρέπει να χρησιµοποιείται µε σκεπτικισµό. Υπάρχουν και άλλες προσεγγιστικές µέθοδοι όπως αυτή του inding (988, 99), η οποία είναι µία καλύτερη παραλλαγή της µεθόδου Cogswell. Για παράδειγµα, οι Gotsis και Odriozola (998) έχουν δείξει ότι η µέθοδος inding δίνει πολύ καλά αποτελέσµατα για διακλαδωτά πολυµερή όπως το LDP και PP, ειδικά σε πολύ µεγάλους ρυθµούς παραµόρφωσης.. S 7.4. Πειραµατικές παρατηρήσεις (experimental obserations) Πολλές πειραµατικές µετρήσεις έχουν δηµοσιευθεί για το LDP για την µελέτη της επίδρασης των µεγάλων διακλαδώσεων (long chain branching) στις ρεολογικές ιδιότητες. Το Σχήµα 7-7 δείχνει πειραµατικές µετρήσεις για την ανάκτηση παραµόρφωσης ή τάνυσης (recoerable strain), ε ( ε, & ε ) σε διαφορετικά στάδια πειραµάτων που πραγµατιποιήθηκαν σε διαφορετικούς ρυθµούς τάνυσης. Για µεγάλους ρυθµούς όλη η παραµόρφωση είναι πλήρως ανακτήσιµη µόνο σε µικρούς χρόνους, ακριβώς όπως στην περιπτωση ελαστοµερών (crosslinked rubber), ενώ σε µεγάλους χρόνους η ανάκτηση τάνυσης προσεγγίζει µία σταθερή τιµή. Σε µικρούς ρυθµούς, η συµπεριφορά είναι πιο πολύ ιξώδης και έτσι η ανάκτηση είναι πιο κοντά στο µηδέν.
ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ Κ07 5 Σχήµα 7.7: Τελική εκτατική ανάκτηση (ultimate extensional recoil) µετά από εκκίνηση τάνυσης για LDP σε διάφορους ρυθµούς τάνυσης. Το Σχήµα 7-8 δείχνει την συνάρτηση ανάπτυξης εκτατικής τάσης σε εκκίνηση (start-up tensile stress growth function) για ένα LDP στούς 50 o C για διάφορους ρυθµούς παραµόρφωσης. Για πολύ µικρούς ρυθµούς, η συµπεριφορά προσεγγίζει αυτή που προβλέπει η γραµµική ιξωδοελαστικότητα, που είναι 3η ( t, & ε ). Η απόκλιση από αυτή την συµπεριφορά δείχνει εκτατική πάχυνση (extension thickening) που είναι χαρακτηριστικό µεγάλων διακλαδώσεων (long branches) στην µοριακή αρχιτεκτονική (molecular architecture). Από τα πειραµατικά δεδοµένα, δεν είναι δυνατόν να δούµε το κατά πόσον η τιµή του η ( t, & ε) έχει προσεγγίσει σταθερή τιµή (µόνιµη κατάσταση). Φαινοµενικά υπάρχει µία ζώνη που µερικοί ερευνητές έχουν ερµηνεύσει σαν µόνιµη κατάσταση (tensile stress is almost constant). Από αυτές τις τιµές το εκτατικό ιξώδες µπορεί να υπολογισθεί και να απεικονισθεί σαν συνάρτηση του ρυθµού παραµόρφωσης. Αυτό γίνεται στο Σχήµα 7-9. Η συµπεριφορά εκτατικής πάχυνσης (extensional thickening) γίνεται εµφανής όταν το εκτατικό ιξώδες αυξάνει και γίνεται µεγαλύτερο από 3 ηo.αυτή η συµπεριφορά
ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ Κ07 6 είναι διαφορετική απ ότι στην περίπτωση γραµµικών πολυµερών. Στην περίπτωση των περισσότερων γραµµικών πολυµερών η συµπεριφορά είναι εκτατική λέπτυνση (extension thinning). Σχήµα 7-8: Ανάπτυξη συνάρτησης εκτατικής τάσης (tensile stress growth function) για ένα LDP. Σχήµα 7.9: Εκτατικό ιξώδες σαν συνάρτηση του ρυθµού παραµόρφωσης για ένα LDP.
ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ Κ07 7 7.5. ΙΑΞΟΝΙΚΗ ΤΑΝΥΣΗ (IAXIAL XTNSION) Η κινηµατική (κατανοµή ταχύτητας) µιας τέτοιας ροής είναι: 3 = & ε = & ε x x = & ε x 3 (7.7) όπου ε& είναι ο διαξονικός ρυθµός τάνυσης (biaxial strain rate) που είναι θετικός. Η εξίσωση 7.7 µπορεί να αντιπροσωπευθεί σε κυλινδρικές συντεταγµένες ως: r z = & ε r = & ε z (7.8) Η ρεολογική ανταπόκριση ενός υλικού που υπόκειται σε διαξονική εκτατική ροή καταδεικνύεται από την εκτατική τάση, σ. σ σ σ 33 = σ σ 33 = σ rr σ zz (7.9) Ο συντελεστής ανάπτυξης της διαξονικής τάσης (biaxial stress growth coefficient) για µία εκκίνηση διαξονικής ροής είναι: η & σ ( t, ε ) (7.0) & ε και το διαξονικό εκτατικό ιξώδες (biaxial extensional iscosity) είναι: η & ε ) = [ η ( t, &)] (7.) ( lim ε t Στο όριο πολύ µικρών ρυθµών, η γραµµική ιξωδοελαστική συµπεριφορά παρατηρείται: και lim0 & ε [ η ( t, & ε )] = η ( t) = 6η ( t) (7.) lim0 & ε [ η ( & ε)] = 6η o (7.3) ιάφορες τεχνικές έχουν χρησιµοποιηθεί για την µέτρηση εκτατικών ρεολογικών ιδιότήτων των πολυµερών σε αξονική τάνυση. Αυτές περιλαµβάνουν εµφύσηση φύλλου πολυµερούς (sheet inflation), λιπαντισµένη ροή συµπίεσης (lubricated squeeze flow), ροή απόκλισης (dierging pressure flow) και η χρήση περιστρεφόµενων σφιγκτήρων (rotary clamps). Βλέπε Dealy και Wissbrun (990) για πιο πολλές λεπτοµέρειες αυτών των τεχνικών.
ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ Κ07 8 7.5. ΕΠΙΠΕ Η ΤΑΝΥΣΗ (ΡLANAR XTNSION) Η κινηµατική (kinematics) ή η κατανοµή ταχύτητας για µια τέτοια ροή είναι: 3 = & ε x = 0 (7.4) = & ε x 3 όπου ε& είναι ο ρυθµός παραµόρφωσης Hencky στην κύρια κατεύθυνση της παραµόρφωσης (principal strain direction). Ετσι, υπάρχει τάνυση στην διεύθυνση x, συµπίεση στην κατεύθυνση x 3 και καµµία µετατόπιση στην κατεύθυνση x. Αυτός ο τύπος παραµόρφωσης µιµείται µερικώς τις διεργασίες film blowing και sheet extrusion. Ο τανυστής του ρυθµού παραµόρφωσης έχει τις εξής συνιστώσες: & ε 0 0 & γ ij = 0 0 0 (7.5) 0 0 & ε Για ένα Νευτώνειο υγρό και γραµµική ιξωδοελαστική συµπεριφορά αυτό υποννοεί ότι τ = 0. Αυτό όµως δεν ισχύει στην µη-γραµµική ιξωδοελαστικότητα όπου τ > 0. Αυτό σηµαίνει ότι για να παράγουµε επίπεδη τάνυση είναι απαραίτητο να ασκήσουµε διαφορετικές εκτατικές τάσεις στις κατευθύνσεις x και x 3. Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχουν τρεις διαφορές κάθετων τάσεων: σ σ = τ τ N (7.6a) N (7.6b) σ σ 33 = τ τ 33 N (7.6c) 3 σ σ 33 = τ τ 33 Προφανώς µόνο δύο από τις τρεις είναι ανεξάρτητες. Για εκκίνηση ροής, δύο συναρτήσεις ανάπτυξης τάσεων µπορούν να ορισθούν ως: σ σ 33 η p (7.7) & ε σ σ 33 η p (7.8) & ε Στο όριο µικρών ρυθµών παραµόρφωσης, γραµµική ιξωδοελαστικότητα παρατηρείται: and η = 4 η ( ) (7.9) p t
ΕΦΕΛΚΥΣΤΙΚΕΣ ΡΟΕΣ Κ07 9 η = η ( ) (7.30) p t Η αναπαραγωγή επίπεδης τάνυσης στο εργαστήριο και η µέτρηση σχετικών συναρτήσεων είναι πολύ δύσκολη. Η τεχνική εµφύσησης υµένα (sheet inflation) και η τεχνική λιπαντισµένης επίπεδης στάσιµης ροής (lubricated planar stagnation flow) έχουν χρησιµοποιηθεί γι αυτό το σκοπό. Βλέπε Dealy και Wissbrun (990) για πιό πολλές λεπτοµέρειες. Βιβλιογραφικές αναφορές Cogswell FN (97) Measuring the xtensional Rheology of Polymer Melts. Trans Soc Rheol 6:383-403. Laun HM, and Schuch H (989) Transient longational Viscosities and Drawability of Polymer Melts. J Rheol 33:9-75. inding DM (988) An Approximate Analysis for Contraction and Conerging Flows. J Non-Newtonian Fluid Mech 7:73-89. inding DM (99) Further Considerations of Axisymmetric Contraction Flows. J Non- Newtonian Fluid Mech 4:7-4. Gotsis AD, Odriozola A (998) The Releance of ntry Flow Measurements for the stimation of xtensional Viscosity of Polymer Melts. Rheol Acta 37:430-437. Padmanabhan M, Macosco CW (997) xtensional Viscosity from ntrance Pressure Drop Measurements. Rheol Acta 36:44-5. Sentmanat M. L., A noel deice for characterizing polymer flows in uniaxial extension, ANTC 03, Soc. Plastics ng rs, Tech. Papers, 49, CD-ROM, New York, (003a). Sentmanat M. L., Dual windup extensional rheometer, US Patent No. 6,578,43 (003b).