Κύλιση με ολίσθηση δακτυλίου-σφαίρας Ο δακτύλιος του σχήματος ακτίνας r=0,1m έχει όλη τη μάζα του συγκεντρμένη στην περιφέρεια του και κυλίεται χρίς να ολισθαίνει πάν στο τραχύ οριζόντιο επίπεδο του σχήματος. Τη χρονική στιγμή t=0 φτάνει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου γνίας φ με το κέντρο μάζας του να έχει ταχύτητα =7m/s και στη συνέχεια ανέρχεται το κεκλιμένο. t=0 φ Α. Να αποδείξετε σε ποια περίπτση ο δακτύλιος θα φτάσει σε μεγαλύτερο ύψος από το έδαφος: i) όταν το κεκλιμένο επίπεδο είναι λείο, ii) ή όταν το κεκλιμένο επίπεδο είναι τραχύ και ο δακτύλιος συνεχίσει την κύλιση του χρίς ολίσθηση στο κεκλιμένο επίπεδο; Β. Στην περίπτση που το κεκλιμένο είναι λείο να υπολογίστε το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του κυλίνδρου καθώς και το μέτρο τη γνιακής του ταχύτητας, τη στιγμή που ο δακτύλιος επιστρέφει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Γ. Να βρείτε την απόσταση που διανύει ο κύλινδρος στο τραχύ οριζόντιο επίπεδο σε χρονικό διάστημα Δt=3,5s μετά την επιστροφή του στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Δ. Υπολογίστε την απόσταση που θα διένυε στο τραχύ οριζόντιο επίπεδο για το ίδιο χρονικό διάστημα Δt=3,5s, αν αντί για τον κύλινδρο είχαμε μια σφαίρα ακτίνας r με Ι cm =mr /5. Θερήστε ότι όλα τα στοιχεία για την κίνηση της σφαίρας είναι ίδια με αυτά του κυλίνδρου δηλ =7 m/s, καθώς και οι ακτίνες τν δύο στερεών είναι ίδιες. Δίνεται ότι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης είναι ίσος με το συντελεστή οριακής στατικής τριβής και για τα δύο στερεά μ=0,1 και g=10m/s. 1
Απάντηση: α) Αν το κεκλιμένο επίπεδο είναι λείο τότε οι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα είναι, το βάρος W και η κάθετη δύναμη αντίδρασης Ν. Καμία από αυτές τις δυνάμεις δεν δημιουργεί ροπή, με αποτέλεσμα η γνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου να παραμένει σταθερή σε όλη την διάρκεια της κίνησης του δακτυλίου πάν στο κεκλιμένο επίπεδο. Εφαρμόζοντας ΘΜΚΕ από τη στιγμή της άφιξης στο κεκλιμένο επίπεδο μέχρι το μέγιστο ύψος στο οποίο θα φτάσει το σώμα έχουμε: I I mυ I I mυ W ΔΚ W W Κ Κ mgh ( ) mgh Ολ. W N Τελ. αρχ. 1 1 gh υ υ h g 1 1 Όταν το κεκλιμένο επίπεδο δεν είναι λείο, τότε η δύναμη δαπέδου δεν είναι κάθετη στο επίπεδο αλλά πλάγια, με αποτέλεσμα να αναλύεται στην κάθετη δύναμη Ν και την στατική τριβή Τ s. Η ροπή της στατικής τριβής μειώνει το μέτρο της γνιακής ταχύτητας με αποτέλεσμα στο ανώτερο ύψος τόσο η ταχύτητα του κέντρου μάζας όσο και η γνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου να είναι μηδέν. Εφαρμόζοντας ΘΜΚΕ όπς και παραπάν έχουμε: I mυ I mυ W ΔΚ W W W ΔΚ mgh K ( ) mgh Ολ. W N Ts Τελ. m gh I m υ I υ h m g g Από τα παραπάν συμπεραίνουμε ότι h >h 1. Δηλαδή το ύψος στο οποίο θα φτάσει το σώμα είναι μεγαλύτερο όταν το επίπεδο είναι τραχύ. Στο ίδιο ακριβώς συμπέρασμα θα καταλήγαμε αν λέγαμε ότι στην περίπτση που τα δάπεδο είναι τραχύ και ο κύλινδρος κυλίεται χρίς να ολισθαίνει, ότι όλη η κινητική ενέργεια του κυλίνδρου μετατρέπεται σε βαρυτική δυναμική ενέργεια. Ενώ στην περίπτση που το δάπεδο είναι λείο (Στ Εξ. =0) ένα μέρος αυτής της ενέργειας θα μετατρεπόταν σε βαρυτική δυναμική ενέργεια ενώ το υπόλοιπο θα παρέμενε σε στροφική κινητική ενέργεια του κυλίνδρου. Αν η τριβή μεταξύ του σώματος και του κεκλιμένου επιπέδου είναι πολύ μικρή τότε ο κύλινδρος θα ανέβαινε ολισθαίνοντας με αποτέλεσμα να έφτανε σε ύψος h 3 για το οποίο θα ίσχυε: h 1 <h 3 <h
Β) Στην περίπτση που ο δακτύλιος ανέρχεται στο λείο κεκλιμένο επίπεδο και επιστρέψει στην βάση του τη χρονική, η γνιακή του ταχύτητα θα είναι ίδια με αυτή της χρονικής στιγμής t=0 αφού Στ Εξ. =0 κατά την κίνηση στο κεκλιμένο επίπεδο, ενώ η ταχύτητα του κέντρου μάζας του θα είναι αντίθετη. Τη χρονική στιγμή κατώτερο σημείο του δακτυλίου έχει δύο ταχύτητες μια μεταφορική και μια γραμμική με φορά προς τα αριστερά, με αποτέλεσμα να ολισθαίνει προς τα αριστερά και να εμφανιστεί μια τριβή ολίσθησης με φορά προς τα δεξιά. Η δύναμη της τριβής θα μειώνει την και ταυτόχρονα η ροπή της τριβής θα μειώνει και το μέτρο της γνιακής ταχύτητας. Η τριβή ολίσθησης θα εξαφανιστεί τη στιγμή που ο δακτύλιος θα σταματήσει την ολίσθηση. Για να σταματήσει η ολίσθηση θα πρέπει η γραμμική ταχύτητα του σημείου επαφής να γίνει αντίθετη με τη ( υ υ ). Για να συμβεί αυτό θα πρέπει η τριβή ολίσθησης: cm Γρ. α) ή να αλλάξει τη φορά της β) ή να αλλάξει τη φορά του γ) ή στην ιδανική περίπτση να μηδενίσει ταυτόχρονα τη γνιακή ταχύτητα και τη. φ r r (o) (o) (o) Το ποιο από τα τρία θα συμβεί εξαρτάται από τη ροπή αδράνειας του στερεού. 3
Εφαρμόζοντας το ο Νόμο του Νεύτνα στην μεταφορική έχουμε: ΣF mα T mα μν mα μmg mα α μg α m / s Για τη στροφική έχουμε: cm Ολ. cm cm cm cm cm μg Σ τ Ια T r m r α μm g m r α α α 0rad / s r Ιcm m r γ γ γ γ γ Δ =0, =0 T ολ. Η μεταφορική ταχύτητα δίνεται από τη σχέση: ενώ η γνιακή ταχύτητα: υ υ α Δt υ 7 Δt cm cm ( o ) cm cm ο γ ( o ) ο 70 rad / s r α Δt 70 0Δt Όταν σταματήσει η ολίσθηση ισχύει υ υ αντικαθιστώντας τις δύο παραπάν σχέσεις cm Γρ. έχουμε: 7 Δt (70 0Δt)0,1 7 Δt 7 Δt 4Δ4 Δt 3, 5s Η ταχύτητα του κέντρου μάζας την ίδια χρονική στιγμή ισούται με: Δt 3,5s υ 7 Δt υ 7 3, 5 υ 0 cm cm cm την ίδια χρονική στιγμή επίσης και η γνιακή ταχύτητα είναι μηδέν. Η απόσταση που διανύει ο δακτύλιος στο παραπάν χρονικό διάστημα υπολογίζεται: α Δt 3, 5 cm Δx υ Δt Δx 7 3, 5 Δx 4, 5 1, 5 Δx 1, 5m cm ( o ) 4
Δ) Στην περίπτση της σφαίρας έχουμε: ΣF mα T mα μν mα μmg mα α μg α m / s και cm Ολ. cm cm cm cm cm Ιcm mr 5 5μg γ γ γ γ γ Στ Ια Tr mr α μmg mr α α α 50rad / s 5 5 r υ r 7 Δt (70 50Δt)0,1 7 Δt 7 5Δt 7Δ4 Δt s cm 1 1 1 1 1 την ίδια χρονική στιγμή η και η γνιακή ταχύτητα ισούται με: υ 7 Δt υ 7 υ 3m / s cm 1 cm cm α Δt 70 50 30rad / s ο γ 1 άρα η τριβή ολίσθηση θα έχει αλλάξει τη φορά της γνιακής ταχύτητας του στερεού. Δt Δ =3m/s =-30 rad/s =3m/s =-30 rad/s =7m/s =70 rad/s Δx Δx 1 T ολ. Η απόσταση που έχει διανύσει στο χρονικό διάστημα Δ =s είναι: α Δt cm 1 cm ( o ) 1 1 1 1 Δx υ Δt Δx 7 Δx 14 4 Δx 10m στο υπόλοιπο χρονικό διάστημα της κίνησης Δt =Δt-Δ =3,5-=1,5s η σφαίρα εκτελεί ομαλή κίνηση (ΕΟΚ και ΟΚΚ) άρα Δx υ Δt Δx 3 1, 5 Δx 4, 5m cm Άρα το συνολικό διάστημα που διανύει η σφαίρα στο οριζόντιο επίπεδο για το χρονικό διάστημα Δt=3,5s ισούται: Δx Δx Δx Δx 10 4 Δx 14m Ολ. 1 1 Ολ. Ολ. 5