ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Αθήνα, 12 Απριλίου 2016.

Αλγεβρική Γεωμετρία

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Κεφάλαιο 1. Αλγεβρικές ποικιλότητες 1 1. Αλγεβρικά Σύνολα 1 2. Το Θεώρημα Ριζών του Hilbert 7 3. Συγγενείς Αλγεβρικές Ποικιλότητες 14 4. Πολλαπλότητα και Πολλαπλότητα Τοπικής Τομής 27 5. Προβολικές Ποικιλότητες 31 6. Τί λείπει; 38 Περίληψη 40 Ασκήσεις 41 Κεφάλαιο Αʹ. Μεταθετική Άλγεβρα 45 1. ακτύλιοι και ιδεώδη 45 ακτύλιοι και ομομορφισμοί δακτυλίων 45 Ιδεώδη και δακτύλιοι πηλίκα 46 ιαιρέτες του μηδενός. Μηδενοδύναμα στοιχεία. Μονάδες 46 Πρώτα ιδεώδη και μεγιστικά ιδεώδη 47 Μηδενοριζικά στοιχεία και το Ριζικό του Jacobson 49 Πράξεις σε ιδεώδη 50 Επεκτάσεις και Συστολές 54 iv iii

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν αποτελεί αποσπασματική μετάφραση από βιβλία Αλγεβρικής Γεωμετρίας που καλύπτουν την ύλη του μαθήματος ΘΜ20. Αλγεβρική Γεωμετρία που διδάχθηκε στο Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Θεωρητικών Μαθηματικών του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών, κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2015 2016. Αθήνα, 12 Απριλίου 2016. v

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΕΣ Απόδοση στα ελληνικά από το βιβλίο Kenji Ueno, Algebraic Geometry 1: From Algebraic Varieties to Schemes, English translation by Goro Kato, American Mathematical Society, 1997. του Κεφαλαίου 1: Algebraic Varieties. Ως προετοιμασία για την Θεωρία Σχημάτων, θα περιγραφεί η κλασσική αντιμετώπιση της Αλγεβρικής Γεωμετρίας υπεράνω ενός αλγεβρικά κλειστού σώματος. Ηταν μόλις μετά τη δεκαετία του 1930 όταν τέθηκαν αυστηρά θεμέλια γι αυτή την κλασσική θεωρία. Εξ αιτίας της φύσης της προετοιμασίας, δεν παρουσιάζονται όλες οι λεπτομέριες στο παρών Κεφάλαιο. Συγκεκριμένα, η Θεωρία του Serre, η οποία είναι η συντομότερη διαδρομή για την Θεωρία Σχημάτων, απαιτεί την Θεωρία εσμίδων (Sheaf theory), θεωρώντας μία αλγεβρική ποικιλότητα υπεράνω ενός αλγεβρικά κλειστού σώματος ως ένα τοπικό δακτυλιοειδεί (ringed) χώρο. Εφόσον η Θεωρία εσμίδων αναπτύσσεται στο επόμενο Κεφάλαιο, η Θεωρία του Serre θα παραληφθεί από το παρόν Κεφάλαιο. Προκύπτει μία πιο κομψή θεωρία αν η αρχή γίνει με την Θεωρία εσμίδων ώστε να αναπτυχθεί την θεωρία μας. Παρ όλα ταύτα, λαμβάνοντας υπ όψιν την εισαγωγική φύση της παρούσας πραγματείας, θεωρείται πως είναι καλύτερο να περιγραφεί η κλασσική Αλγεβρική Γεωμετρία με χρήση όσο το δυνατον λιγότερων προαπαιτουμένων. Ακόμη και τότε μπορεί να είναι φυσικό ώστε κάποιος να χρειάζεται να μελετήσει πρωτίστως τις προβολικές ποικιλότητες, λόγω της έμφασης στην σύνδεση με ένα σχήμα (scheme), θα επικεντρωθούμε στις συγγενείς ποικιλότητες. Θα σταχυολογηθούν οι προβολικές ποικιλότητες κατά την συζήτηση για την κλασσική Γεωμετρία. 1. Αλγεβρικά Σύνολα Η Αλγεβρική Γεωμετρία είναι η γεωμετρία των μορφών που καθορίζονται από αλγεβρικές εξισώσεις. Στην πιο συνήθη περίπτωση, δεν είναι κάτι παρά η γεωμετρική μελέτη όλων των λύσεων των εξισώσεων f α (x 1,..., x 2 ) = 0, α = 1,..., ` (1.1) με συντελεστές τα στοιχεία ενός σώματος k. Ωστόσο, αυτή δεν είναι παρά μία ασαφής κατάσταση, αφού ενδεχομένως να μην υπάρχουν ταυτόχρονες λύσεις για 1

2 1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΕΣ το σύστημα εξισώσεων (1.1). Στην πραγματικότητα, αν το k είναι το σώμα R των πραγματικών αριθμών, η εξίσωση x 2 1 +... + x2 n + 1 = 0 (1.2) δεν έχει λύσεις στους πραγματικούς αριθμούς. Ωστόσο στους μιγαδικούς αριθμούς, οι οποίοι αποτελούν επέκταση των πραγματικών, η εξίσωση (1.2) πράγματι έχει πολλές λύσεις. Γενικότερα, για κάθε αλγεβρικά κλειστό σώμα k, μπορεί να επαληθευθεί ότι η εξίσωση (1.2) έχει πολλές λύσεις. Αυτό προκύπτει από τον ορισμό του αλγεβρικά κλειστού σώματος: κάθε (εκ ταυτότητας) μη-μηδενικό πολυώνυμο μίας μεταβλητής με συντελεστές στο k έχει λύση στο k. Στην πραγματικότητα, στην περίπτωση όπου το k είναι ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα, η ολότητα των λύσεων του συστήματος (1.1) μπορεί να συλληφθεί γεωμετρικά [από το Θεώρημα Ριζών του Hilbert ( Θεώρημα 1.10)]. Προτού μελετηθεί το Θεώρημα Ριζών του Hilbert (Hilbert Nullstellensatz), πρέπει να εισαχθεί κάποια ορολογία. Εστω k ένα αλγεβρικά κλειστό σώμα. Η ολότητα των n-άδων (a 1,..., a n ) με στοιχεία από το k συμβολίζεται με k n, η οποία καλείται συγγενής n-χώρος (affine n-space) υπεράνω του k. Όπως θα δούμε, οι συγγενείς n-χώροι k n δεν είναι μόνον n-διάσταστοι διανυσματικοί χώροι, αλλά επίσης και συγγενείς ποικιλότητες. Όποτε το k n θεωρείται ως συγγενής ποικιλότητα, θα αναγράφεται A n ή A n k αντί του k n. Το σύνολο των λύσεων στο σώμα k του συστήματος εξισώσεων (1.1) θα συμβολίζεται με V(f 1,..., f`), το οποίο καλείται αλγεβρικό σύνολο (algebraic set) ή το συγγενές αλγεβρικό σύνολο (affine algebraic set) του συστήματος εξισώσεων (1.1), δηλαδή V(f 1,..., f`) = { (a 1,..., a n ) k n ( α = 1,..., `) [ f α (a 1,..., a n ) = 0 ]} Στην άλλη πλευρά, για κάποιο αυθαίρετο στοιχείο του ιδεώδους * I που παράγεται από τις εξισώσεις f 1,..., f` ως στοιχεία του δακτυλίου πολυωνύμων k[x 1,..., x n ] με n μεταβλητές, προκύπτει ότι f(a 1,..., a n ) = 0, (a 1,..., a n ) V(f 1,..., f`) Γεγονός που προκύπτει καθ ότι η f μπορεί να γραφεί ως f(x 1,..., x n ) = ` α=1 [γραμμικός συνδυασμός των f 1,..., f`.] * g α (x 1,..., x n )f α (x 1,..., x n ) Ο. Εστω (R,, ) ένας δακτύλιος. Αν για το I R ισχύει ότι Η δομή (I, I ) είναι υποομάδα της (R, ) καθώς επίσης και ( r R)( α I)[r α I] τότε καλείται αριστερό ιδεώδες του δακτυλίου R. ( r R)( α I)[α r I] τότε καλείται δεξιό ιδεώδες του δακτυλίου R. ( r R)( α I)[r α, α r I] τότε καλείται αμφίπλευρο ιδεώδες του δακτυλίου R. Ο. Εστω { k ένα σώμα. Ο δακτύλιος πολυωνύμων υπεράνω του σώματος k ορίζεται ως k[x] := α j X j : n N, α 0,..., α n k. Συμβατικά, X 0 1 και X 1 X. Επαγωγικά, nj=0 } k[x 1..., X n, X n+1 ] := ( k[x 1,..., X n ] ) [X n+1 ].

1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ 3 Γενικώς, για ένα ιδεώδες J του δακτυλίου πολυωνύμων k[x 1,..., x n ], ορίζεται V(J) = { (b 1,..., b n ) k n : ( g J)[g(b 1,..., b n ) = 0] } Στην προκείμενη περίπτωση λέγεται πως το V(J) είναι το (συγγενές) αλγεβρικό σύνολο, καθοριζόμενο από το ιδεώδες J. Προκύπτει το εξής Λ 1.1. Εστω k ένα σώμα και I = (f 1,..., f`) k[x 1,..., x n ]. Ισχύει ότι V(I) = V(f 1,..., f`) Α. [V(I) V(f 1,..., f`)]: Προκύπτει από την ανάλυση που προηγήθηκε. [V(I) V(f 1,..., f`)]: Εστω (b 1,..., b n ) V(I), τότε, όντας f α I, προκύπτει ότι f α (b 1,..., b n ) = 0, α = 1,..., ` Από το Λήμμα 1.1, το αλγεβρικό σύνολο V(f 1,..., f`) που καθορίζεται από το σύστημα εξισώσεων (1.1) είναι ακριβώς το αλγεβρικό σύνολο που καθορίζεται από το ιδεώδες I = (f 1,..., f n ) του δακτυλίου πολυωνύμων k[x 1,..., x n ] το οποίο παράγεται από τα f 1,... f` k[x 1,..., x n ]. Επομένως, κατά μείζονα λόγο εξετάζονται τα αλγεβρικά σύνολα V(I) που καθορίζονται από το ιδεώδες I, παρά από το σύστημα εξισώσεων. Για το μηδενικό ιδεώδες (0), προκύπτει ότι V ( (0) ) = k n, το οποίο είναι επομένως ένα αλγεβρικό σύνολο. Συχνά θα αναγράφεται αυτός ο n-διάστατος συγγενής χώρος υπεράνω του k ως A n k. Ακολούθως διατυπώνεται το Θεώρημα 1.2 (βάσης του Hilbert), το οποίο εξασφαλίζει ότι το αλγεβρικό σύνολο που καθορίζεται εξ ενός ιδεώδους είναι πράγματι το αλγεβρικό σύνολο ενός συστήματος εξισώσεων. Θ 1.2 (βάσης του Hilbert, Hilbert Basis Theorem). Κάθε ιδεώδες του δακτυλίου πολυωνύμων k[x 1,..., x n ], ενός αλγεβρικά κλειστού σώματος k είναι πεπερασμένα παραγόμενο, δηλαδή κάθε ιδεώδες J μπορεί να γραφεί ως J = (g 1,..., g`), ( α = 1,..., `) [ g α k[x 1,..., x n ] ] για κάποιο ` N. Το Θεώρημα 1.2 (βάσης του Hilbert) μπορεί να γενικευθεί στην περίπτωση όπου αντί σώματος υπάρχει ένας δακτύλιος της Noether R, ήτοι ο δακτύλιος πολυωνύμων R[x 1,..., x n ] είναι ένας δακτύλιος της Noether. Π 1.3. Εστω k ένα αλγεβρικά κλειστόν σώμα. Θεωρείται το ακόλουθο αλγεβρικό σύνολο στον 2-διάστατο συγγενή χώρο A 2 k : V(x 2 + y 2 + 1) ιακρίνονται οι ακόλουθες περιπτώσεις [Αν char k 2]: τότε ( i k)[i 2 = 1]. Εστω X = ix και Y = iy. Η εξίσωση x 2 + y 2 + 1 = 0 μετασχηματίζεται στην X 2 + Y 2 1 = 0. Ορίζεται μία απεικόνιση ' : A 2 k A2 k, (a 1, a 2 ) ' (ia 1, ia 2 ) Επεται πως το V(x 2 + y 2 + 1) απεικονίζεται στο V(x 2 + y 2 1) μέσῳ της '. Ο. Ενας δακτύλιος καλείται δακτύλιος της Noether αν κάθε αύξουσα ακολουθία ιδεωδών του είναι τελικώς σταθερή.

4 1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΕΣ [Αν char k = 2]: τότε προκύπτει ότι x 2 + y 2 + 1 = (x + y + 1) 2 Τελικώς, έπεται πως V(x 2 + y 2 + 1) = V(x + y + 1) Π 1. Κάθε αλγεβρικό σύνολο στον 1-διάστατο συγγενή χώρο A 1 k, εκτός του ιδίου του A 1 k, αποτελείται από πεπερασμένο πλήθος σημείων. Λ. Ενα αυθαίρετο ιδεώδες I του δακτυλίου πολυωνύμων k[x] παράγεται από ένα στοιχείο. Επομένως, για I = ( f(z) ) 0, το σύνολο είναι πεπερασμένο. V(I) = {a k f(a) = 0} Σημειώνεται πως αν το ιδεώδες I = (f 1,..., f`) που σχετίζεται με το σύστημα (1.1) περιέχει το 1, ήτοι I = k[x 1,..., x n ], τότε V(I) =, δηλαδή, το σύστημα (1.1) δεν έχει λύσεις. Από την άλλη πλευρά, αν I k[x 1,..., x n ], τότε προκύπτει ότι V(I) ήτοι, το σύστημα (1.1) έχει λύση. Ο τελευταίος ισχυρισμός είναι ακριβώς το Ασθενές Θεώρημα Ριζών του Hilbert ( Θεώρημα 1.7). Θα συζητηθεί το Θεώρημα 1.10 (ριζών του Hilbert) λεπτομερώς στην ακόλουθη ενότητα. Σ ο,τι έπεται, συζητόνται θεμελιώδη αποτελέσματα επάνω στην αντιστοιχία ανάμεσα στα ιδεώδη και στα αλγεβρικά σύνολα. Π 1.4. Εστω τα ιδεώδη I, J και η ακολουθία ιδεωδών (I λ ) λ Λ του δακτυλίου πολυωνύμων k[x 1,..., x n ], υπεράνω ενός σώματος k, με το Λ ενδεχομένως άπειρον σύνολο. Ισχύει ότι (αʹ) V(I) V(J) = V(I J). (βʹ) λ Λ V(I λ ) = V ( λ Λ I λ ), όπου ως λ Λ I λ συμβολίζεται το ιδεώδες του δακτυλίου πολυωνύμων k[x 1,..., x n ] που παράγεται από τα {I λ } λ Λ. (γʹ) V(I) V(J) για I J, όπου I := { f k[x 1,..., x n ] ( m N)[f m I] } εδώ το I καλείται το ριζικό (radical) του ιδεώδους I. Α. Κατ αρχάς παρατηρείται ότι Ι Αʹ. Εστω I, J δύο ιδεώδη του δακτυλίου πολυωνύμων k[x 1,..., x n ], για κάποιο σώμα k. Αν I J, τότε V(I) V(J). Α (Ι ) Εστω (a 1,..., a n ) V(J), ήτοι η εν λόγῳ n-άδα μηδενίζει κάθε πολυώνυμο του J. Κατά μείζονα λόγο η n-άδα (a 1,..., a n ) θα μηδενίζει και κάθε πολυώνυμο του I J. (αʹ) Αποδεικύονται οι ακόλουθοι εγκλεισμοί: [V(I) V(J) V(I J)]: Όντας I J I και I J J, από τον Ισχυρισμό Αʹ έπεται ότι V(I J) V(I) Επομένως, V(I) V(J) V(I J). V(I J) V(J)

1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΑ ΣΥΝΟΛΑ 5 [V(I) V(J) V(I J)]: Εστω η n-άδα με (a 1,... a n ) V(I J). Αν υποτεθεί ότι (a 1,..., a n ) / V(I), τότε ( f I)[f(a 1,..., a n ) 0] Άρα, για το τυχαίο στοιχείο g(x 1,..., x n ) J, ισχύει h = f g I J. Επομένως, h(a 1,..., a n ) = f(a 1,..., a n )g(a 1,..., a n ) = 0 όντας (a 1,..., a n ) V(I J) και h I J. Συνεπώς, g(a 1,..., a n ) = 0 (αφού (a 1,..., a n ) / V(I) και f I), δηλαδή (a 1,..., a n ) V(J)). Αν (a 1,..., a n ) / V(J) κατά παρόμοιο τρόπο προκύπτει πως (a 1,..., a n ) V(I). (βʹ) Αποδεικύονται οι ακόλουθοι εγκλεισμοί: [ μ Λ V(I μ ) V ( ) λ Λ I λ ]: Όντας ( μ Λ) [ I μ ] λ Λ I λ, από τον Ισχυρισμό Αʹ, έπεται ότι [ V(I μ ) V ( ) I λ λ Λ μ Λ και κατά μείζονα λόγο μ Λ V(I μ ) V ( ) λ Λ I λ. μ Λ V(I μ ) V ( ) λ Λ I λ ]: Για κάθε λ Λ, το I λ γράφεται σε μορφή γεννητόρων ως I λ = (h λ1,..., h λmλ ) Για (a 1,..., a n ) λ Λ V(I λ ), έπεται ότι h λj (a 1,..., a n ) = 0, j = 1,..., m λ. Επίσης, το σύνολο {h λj } 1 j mλ, παράγει το ιδεώδες λ Λ I λ. Επομένως, (a 1,..., a n ) V ( ) λ Λ I λ. (γʹ) Αρκεί να δειχθεί ότι V( I ) = V(I). [V( I ) V(I)]: Επεται από το γεγονός ότι I I και τον Ισχυρισμό Αʹ. [V( I ) V(I)]: Εστω f I, τότε (εξ ορισμού) ( m N)[f m I]. Για (a 1,..., a n ) V(I), έπεται ότι f(a 1,..., a n ) m = 0 Επομένως, f(a 1,..., a n ) = 0, δηλαδή (a 1,..., a n ) V( I ). Π 1.5. Εστω πεπερασμένα στο πλήθος, ιδεώδη I 1,..., I s πολυωνύμων k[x 1,..., x n ], για κάποιο σώμα k. Ισχύει ότι s j=1 V(I j ) = V s I j j=1 του δακτυλίου Α. Με επαγωγή στο πλήθος s των στοιχείων της τομής. [Επαγωγική Βάση]: Για s = 1 προφανές. Για s = 2 ισχύει από την Πρόταση 1.4-(αʹ). [Επαγωγική Υπόθεση]: Εστω ότι ισχύει ότι sj=1 V(I j ) = V ( ) sj=1 I j για κάποιο s N {1, 2}.

6 1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΕΣ [Επαγωγικό Βήμα]: Για το s + 1 N, έπεται πως s+1 j=1 V(I j ) = s j=1 V(I j ) V(I j+1 ) όπου εφαρμόζοντας την Επαγωγική Υπόθεση στο s j=1 V(I j ), προκύπτει s = V I j j=1 V(I j+1 ) και εφαρμόζοντας την Πρόταση 1.4-(αʹ) στα V ( ) sj=1 I j και V(Ij+1 ), έπεται πως s = V s+1 = V I j j=1 I j j=1 I j+1 Στην Πρόταση 1.4-(βʹ), το σύνολο δεικτών Λ μπορεί να μην είναι πεπερασμένο, αλλά εν γένει το Πόρισμα 1.5 ισχύει μόνον για πεπερασμένο πλήθος ιδεωδών. Ακολούθως, παρατίθεται ένα αντιπαράδειγμα. Α Π 1.6. Εστω c 1, c 2,..., c n,... μία άπειρα αριθμήσιμη συλλογή διακεκριμένων στοιχείων ενός (αλγεβρικά κλειστού) σώματος k. Υποτίθεται πως το k είναι άπειρο σώμα. Θεωρούνται τα ιδεώδη I j = (x c j ), j = 1, 2,..., στον δακτύλιο πολυωνύμων k[x]. Εύκολα επαληθεύεται ότι Επομένως, η ισότητα I j1 I js = + j=1 s i=1 I j = (0) (x c ji ), θα πρέπει να ισχύει. Από την άλλη πλευρά, ισχύει ότι + j=1 V(I j ) = {c 1, c 2,...} καθώς και V ( (0) ) = A 1 k. Μπορεί να επιλεγούν τα c 1, c 2,..., ώστε A 1 k {c 1, c 2,...}, τότε + j=1 V(I j ) V + I j j=1

2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΡΙΖΩΝ ΤΟΥ HILBERT 7 2. Το Θεώρημα Ριζών του Hilbert Θα πρέπει να είναι V(I) ώστε ένα αλγεβρικό σύνολο V(I) εντός του A n k να έχει μια γεωμετρική ερμηνεία. Το ακόλουθο Θεώρημα εξασφαλίζει την μηκενότητα. Το παρακάτω Θεώρημα είναι γνωστό ως το Ασθενές Θεώρημα Ριζών του Hilbert. Θ 1.7 (Ασθενές Θεώρημα Ριζών του Hilbert, Weak Hilbert Nullstellensatz). Αν ένα ιδεώδες I στον δακτύλιο πολυωνύμων k[x 1,..., x n ] υπεράνω ενός αλγεβρικά κλειστού σώματος k δεν περιέχει το ταυτοτικό στοιχείο (δηλαδή, I k[x 1,..., x n ]), τότε V(I). Α. Για ένας ιδεώδες I k[x 1,..., x n ], υπάρχει ένα μεγιστικόν ιδεώδες m που περιέχει το I. Από τον Ισχυρισμό Αʹ στην απόδειξη της Πρότασης 1.4 έπεται πως V(I) V(m). Επομένως, αρκεί να δειχθεί ότι V(m). Μπορεί να υποτεθεί ότι το I είναι μεγιστικό, ;;;. Για ένα μεγιστικό ιδεώδες m, η δακτύλιος της υπολειματικής κλάσης του k[x 1,..., x n ] / m είναι ένα σώμα που περιέχει το k. Όντας το k αλγεβρικά κλειστό σώμα, το Λήμμα 1.9 επάγει ότι k[x 1,..., x n ] = k. Επομένως, η κλάση υπολοίπων (residue class) x j (mod m) του x j στο m καθορίζει ένα στοιχείο a j k. ηλαδή, είναι x j a j m, αφού x j a j 0 (mod m). Επομένως, (x 1 a 1,..., x n a n ) m. Όμως το (x 1 a 1,..., x n a n ) είναι μεγιστικό ιδεώδες. Επεται ότι Τελικά, m = (x 1 a 1,..., x n a n ) V(m) = { (a 1,..., a n ) } Προτού αποδειχθεί το Λήμμα 1.9 που αναφέρθηκε στην απόδειξη του Θεωρήματος 1.7, παρατίθεται ένα Πόρισμα για τα μεγιστικά ιδεώδη. Π 1.8. Ενα μεγιστικό ιδεώδες του δακτυλίου πολυωνύμων k[x 1,..., x n ] υπεράνω ενός αλγεβρικά κλειστού σώματος k έχει την ακόλουθη μορφή: (x 1 a 1,..., x n a n ), ( j = 1,..., n)[a j k] Το Πόρισμα 1.8 συχνά καλείται και Ασθενές Θεώρημα Βάσης του Hilbert. Είναι σημαντική η υπόθεση το σώμα k να είναι αλγεβρικά κλειστό στο Θεώρημα 1.7 (Ασθενές Θεώρημα Ριζών του Hilbert) και στο Πόρισμα 1.8. Όπως αναφέρθηκε προτύτερα, αν k = R, τότε το Θεώρημα 1.7 (Ασθενές Θεώρημα Ριζών του Hilbert) δεν αληθεύει. Π 2. Ενα μεγιστικό ιδεώδες του δακτυλίου πολυωνύμων R[x] μίας μεταβλητής υπεράνω του σώματος R των πραγματικών αριθμών μπορεί να εκφρασθεί (αʹ) είτε ως (x a), για a R, (βʹ) είτε ως (x 2 + ax + b), για a, b R με a 2 4b <0. Ο. Εστω R ένας δακτύλιος. Το I R καλείται μεγιστικό ιδεώδες του R αν ισχύει ότι ( J R)[I J = J = I] (δηλαδή το I R είναι μέγιστο ως προς την σχέση μερικής διάταξης ).

8 1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΕΣ Λ. Ο δακτύλιος πολυωνύμων R[x] είναι μία περιοχή κυρίων ιδεωδών. Το πολυώνυμο f(x) είναι ανάγωγο πολυώνυμο στον R[x] εάν και μόνον εάν το ιδεώδες I = ( f(x) ) είναι μεγιστικό. Ενα ανάγωγο πολυώνυμο στον R[x] (αʹ) είτε είναι πρωτοβάθμιο, (βʹ) είτε είναι δευτεροβάθμιο. Στην απόδειξη του Θεωρήματος 1.7 (Ασθενές Θεώρημα Ριζών του Hilbert) χρησιμοποιήθηκε το εξής Λ 1.9. Αν μία πεπερασμένα παραγόμενη ακέραια περιοχή R υπεράνω ενός σώματος k (αναγκαστικά το k θα πρέπει να είναι αλγεβρικά κλειστό) είναι σώμα, τότε κάθε στοιχείο της R είναι αλγεβρικό * υπεράνω του k. Α. Από την υπόθεση, υπάρχουν στοιχεία z 1,..., z m R τέτοια ώστε R = k[z 1,..., z m ] (1.3) Πρέπει να δειχθεί ότι τα z 1,..., z m είναι αλγεβρικά στο k. Με επαγωγή στο πλήθος m N των γεννητόρων: [Επαγωγική Βάση]: Για m = 1, αν το z 1 δεν είναι αλγεβρικό στο σώμα k, τότε είναι υπερβατικό * στο k. Άρα, η ακέραια περιοχή R είναι ισόμορφη με ένα δακτύλιο πολυωνύμων. Το γεγονός αυτό αντιφάσκει στην υπόθεση πως η ακέραια περιοχή R είναι σώμα. Επομένως, το z 1 είναι αλγεβρικό στοιχείο του k. [Επαγωγικό Βήμα]: Εστω m 2. Για z 1 R, το σώμα επέκτασης k(z 1 ) είναι υπόσωμα του R. Επομένως, είναι R = k(z 1 )[z 2,..., z m ] ηλαδή, το R παράγεται από τα m 1 το πλήθος στοιχεία z 1,..., z n υπεράνω του k(z 1 ). Από την Επαγωγική Υπόθεση, τα z 2,..., z m είναι αλγεβρικά στοιχεία του k(z 1 ). Επομένως, για κάθε z j, j = 2,..., m, υπάρχει ένα πολυώνυμο f j (x) k(z 1 )[x] με συντελεστές από το k(z 1 ) που έχει το z j ως ρίζα. Πολλαπλασιάζοντας με ένα στοιχείο του k(z 1 ) αν είναι απαραίτητο, μπορεί να υποτεθεί πως το f j (x) έχει την μορφή f j (x) = A j (z 1 )x n j + B (1) j (z 1 )x n j 1 + B (2) j (z 1 )x n j 2 +... + B (n j) j (z 1 ), (1.4) όπου A j (z 1 ), B (`) j (z 1 ) k[z 1 ], για j = 2,..., m και ` = 1,..., n j. Εστω A(z 1 ) = m j=2 A j (z 1 ) k[z 1 ] Ο. Εστω R ένας δακτύλιος. (αʹ) Αν ο R είναι μεταθετικός δίχως διαιρέτες του μηδενός, τότε καλείται ακέραια περιοχή. (βʹ) Ενα αριστερό κύριο (principal) ιδεώδες του R έχει μορφή Ra = {ra : r R}. Ενα δεξιό κύριο ιδεώδες του R έχει μορφή ar = {ar : r R}. Ενα αμφίπλευρο κύριο ιδεώδες του R έχει μορφή RaR = {r 1 as 1 +... + r n as n : n N, r 1,..., r n, s 1,..., s n R} (γʹ) Περιοχή κύριων ιδεωδών είναι μία ακέραια περιοχή της οποίας κάθε ιδεώδες είναι κύριο. * Ο. Εστω k ένα σώμα. Ενας αριθμός α k καλείται αλγεβρικός αν ( f k[x])[f(α) = 0 k ]. Ενας αριθμός καλείται υπερβατικός αν δεν είναι αλγεβρικός.

2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΡΙΖΩΝ ΤΟΥ HILBERT 9 και ορίζεται ο υποδακτύλιος S του R ως [ ] 1 S = k z 1, A(z 1 ) (Όντας η ακέραια περιοχή R σώμα, έπεται ότι 1 /A(z 1 ) R, και ο S είναι ο υποδακτύλιος του R που παράγεται από το z 1 και το 1 /A(z 1 ) υπεράνω του σώματος k.) Επομένως, από την εξίσωση (1.3) έπεται ότι R = S[z 2,..., z m ] (1.5) Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση (1.4) με A(z 1 )/A j (z 1 ) και διαιρώντας το αποτέλεσμα με A(z 1 ), τότε παρατηρείται ότι το z j είναι ρίζα του μονικού πολυωνύμου g j (x) = x n j + b (1) j x n j 1 + b (2) j x n j 2 +... + b (n j) j, j = 2,..., m, με συντελεστές από τον υποδακτύλιο S. (Στην Μεταθετική Άλγεβρα, το z j καλείται ακέραιος στον S. Ενα τυχόν στοιχείο του R είναι ρίζα ενός μονικού πολυωνύμου με συντελεστές από το S.) Όντας η ακέραια περιοχή R σώμα, ο υποδακτύλιος S είναι επίσης σώμα, όπως θα δειχθεί στην συνέχεια: Ι Αʹ. Εστω μία ακέραια περιοχή R υπεράνω ενός (αλγεβρικά κλειστού) σώματος k και S ένας υποδακτύλιος της R. Αν η R είναι σώμα, τότε και ο S είναι σώμα. Α (Ι ). Εστω a ένα μη-μηδενικόν στοιχείον του S. Τότε a 1 R και το a 1 είναι ρίζα ενός μονικού πολυωνύμου με συντελεστές από τον S. Επομένως, προκύπτει ότι a l + b 1 a l+1 + b 2 a l+2 +... + b l = 0, b 1,..., b l S δηλαδή 1 + b 1 a + b 2 a 2 +... + b l a l = 0. Συνεπώς, a 1 = (b 1 + b 2 a +... + b l a l 1 ) S, δηλαδή, ο αντίστροφος a 1 ενός τυχαίου μη-μηδενικού στοιχείου a S ανήκει στο S. Αν το z 1 είναι υπερβατικό στοιχείο του σώματος k, τότε μπορεί να θεωρηθεί ο δακτύλιος πολυωνύμων k[z 1 ] υπεράνω του σώματος k. Τότε ένα αυθαίρετο στοιχείο a k [ z 1, 1/A(z 1 ) ] μπορεί να γραφεί ως a = F(z 1) A(z 1 ) m, F(z 1) k[z 1 ] Αν τα F(z 1 ) και A(z 1 ) είναι σχετικώς πρώτα, τότε το a 1 = A(z 1) m /F(z 1 ) δεν μπορεί να γραφεί στη μορφή G(z 1 ) A(z 1 ) s, με G(z 1) k[z 1 ] ηλαδή, ο S = k [ z 1, 1/A(z 1 ) ] δεν μπορεί να είναι σώμα. Όμως, από τον Ισχυρισμό Αʹ ο S είναι σώμα, και άρα το z 1 πρέπει να είναι αλγεβρικό στοιχείο του k.

10 1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΕΣ Π 3. Να δειχθεί ο ακόλουθος ισχυρισμός που χρησιμοποιήθηκε στην απόδειξη του Λήμματος 1.9: Ενα αυθαίρετο στοιχείο της ακέραιας περιοχής R = S[w 1,..., w l ], η οποία παράγεται από τα στοιχεία w 1,..., w l είναι ακέραιος στο S. Λ. Σημειώνεται πως Ενα στοιχείο x R είναι ακέραιος στο S εάν και μόνον εάν ο υποδακτύλιος S[x] που παράγεται από το x στον S είναι πεπερασμένο R-πρότυπο. Αποδεικνύεται ο ισχυρισμός ως εξής: Αν το x είναι ακέραιος στο S, τότε ισχύει ότι x n + a 1 x n 1 +... + a n = 0, με a 1,..., a n S. Όντας x n+r = a 1 x n+r 1... a n x n, το τυχαίο στοιχείο του S[x] μπορεί να εκφρασθεί ως a 0 + a 1 x +... + a n x n, για a 1,..., a n S. ηλαδή, ο S[x] είναι ένα πεπερασμένο S-πρότυπον. Αντίστροφα, αν ο S[x] είναι ένα πεπερασμένο S-πρότυπο, κάθε στοιχείο του S μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδυασμός των z 1,..., z l S[x] με συντελεστές από τον S, δηλαδή z j = b j0 + b j1 x +... + b jkj x k j, j = 1,..., l. Εστω n = 1 + max j k j, τότε το x n μπορεί να εκφρασθεί ως ένας γραμμικός συνδυασμός των 1, x, x 2,..., x n 1. Επομένως ο R είναι ακέραιος υπεράνω του S. Επομένως, ο S[w 1 ] είναι ένα πεπερασμενο S-πρότυπον και ο S[w 1, w 2 ] είναι ένα πεπερασμένο S[w 1 ]-πρότυπον. Συνεπώς, ο R = S[w 1,..., w l ] είναι ένα πεπερασμένο S-πρότυπο. Τελικά, αποδεικνύεται ότι κάθε x R = S[w 1,..., w l ] είναι ακέραιος υπεράνω του S. Υποτίθεται ότι ως ένα S-πρότυπον, ο R παράγεται από τα στοιχεία s 1,..., s n, τότε προκύπτει ότι xs i = απ όπου έπεται πως n j=1 a ij s j, a 1j,..., a nj S. det(xδ ij a ij ) = 0, δ ij = Επομένως, το x είναι ακέραιος υπεράνω του S. { 0, αν i j 1, αν i = j Ακολούθως εισάγονται μερικοί ακόμη συμβολισμοί. Για ένα υποσύνολο V του n-διάστατου συγγενούς χώρου A n k υπεράνω ενός αλγεβρικά κλειστού σώματος k, ορίζεται ένα ιδεώδες I(V) που καθορίζεται από το V ως ακολούθως: I(V) = { f k[x 1,..., x n ] ( (a 1,..., a n ) V)[f(a 1,..., a n ) = 0] } (1.6) Ο. Εστω (R,, ) ένας δακτύλιος και (M, +) μία αβελιανή ομάδα. Αν υπάρχει απεικόνιση : R M M, με r 1 (r 2 m) = (r 1 r 2 ) m, (r 1 m) (r 2 m) = (r 1 r 2 ) m, r (m 1 m 2 ) = (r m 1 ) (r m 2 ), 1 R m = m για κάθε r, r 1, r 2 R και m, m 1, m 2 M, τότε η δομή (M, +, ) καλείται R-πρότυπο.

2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΡΙΖΩΝ ΤΟΥ HILBERT 11 Από την άλλη πλευρά, για το V που καθορίζεται από ένα ιδεώδες J, ήτοι V(J), προκύπτει ότι J I(V(J)) (1.7) εξ ορισμού. Παρ όλα ταύτα, ( f k[x 1,..., x n ] )[ V(f 2 ) = V(f) ]. Επομένως, η ισότητα I(V(J)) = J δεν ισχύει γενικά. Το Θεώρημα 1.10 (ριζών του Hilbert) ξεκαθαρίζει τη σχέση ανάμεσα στα J και I(V(J)). Θ 1.10 (ριζών του Hilbert, Hilbert nullstellensatz). Εστω ένα ιδεώδες J του δακτυλίου πολυωνύμων k[x 1,..., x n ] υπεράνω ενός αλγεβρικά κλειστού σώματος k, τότε ισχύει ότι I(V(J)) = J Α. Αποδεικύονται οι εξής εγκλεισμοί: [I ( V(J) ) J ]: Από τον ορισμό του συνόλου I(V) (εξίσωση (1.6)). [I ( V(J) ) J ]: Αρκεί να δειχθεί ότι αν f I ( V(J) ), τότε f J, δηλαδή ότι, ( m N)[f m J]. Εστω x 0 μία καινούργια μεταβλητή και J το ιδεώδες που παράγεται από τα 1 x 0 f(x 1,..., x n ) και J στον δακτύλιο πολυωνύμων k[x 0,..., x n ] με n + 1 μεταβλητές. Αν V( J), για (a 0,..., a n ) V( J) k n+1, έπεται ότι (a 1,..., a n ) V(J) όντας J J. Άρα, d(a 1,..., a n ) = 0. Από την άλλη πλευρά, όντας 1 x 0 f J, προκύπτει η εξής αντίφαση 0 = 1 a 0 f(a 1,..., a n ) = 1. Επομένως, θα πρέπει να είναι V( J) =. Συνεπώς, από το Θεώρημα 1.7 (ασθενές θεώρημα ριζών του Hilbert), έπεται πως J = k[x 0,..., x n ] και τότε το J περιέχει το ταυτοτικό στοιχείο 1. Συνεπώς, είναι 1 = h(x 0,..., x n ) ( 1 x 0 f(x 1,..., x n ) ) + j=1 g j (x 0,..., x n )f j (x 1,..., x n ) για h, g j k[x 0,..., x n ] και f j J. Αντικαθιστώντας το x 0 με 1 /f στην παραπάνω εξίσωση και πολλαπλασιάζοντας αμφότερα τα μέλη της εξίσωσης με συγκεκριμένη δύναμη του f, έπεται ότι f ρ = j=1 g j (x 1,..., x n )f j (x 1,..., x n ), g j k[x 1,..., x n ] Τελικώς, f ρ J. Χάρη στο Θέωρημα 1.10 (ριζών του Hilbert), για την μελέτη των αλγεβρικών συνόλων V(J) μπορεί η μελέτη να εστιασθεί μόνον στα ιδεώδη που ικανοποιούν τη σχέση J = J. Τα ιδεώδη με την ιδιότητα J = J καλούνται ανηγμένα ιδεώδη (reduced ideals). Α 1.11. Εστω V, W υποσύνολα του A n k I(V) I(W) και, επιπλέον, ότι J1 J 2 ώστε V W. Να δειχθεί ότι για V = V(J 1 ) W = V(J 2 ).

12 1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΕΣ Λ. Από την εξίσωση (1.6) που ορίζει το σύνολο V(I), είναι σαφές ότι f V(I) για f I(W). Επομένως, αν V(J 1 ) = V W = V(J 2 ), τότε το Θεώρημα 1.10 (ριζών του Hilbert) επάγει ότι J1 = I(V(J 1 )) I(V(J 2 )) = J 2 Υποτίθεται ότι J1 J 2. J1 = J 2 τότε V = W. Επομένως, για V W έπεται πως Α 1.12. Για το αλγεβρικό σύνολο V(I), για το οποίο είναι V(I) A n k, να δειχθεί ότι το συμπλήρωμά του V(I) c = A n k δεν είναι αλγεβρικό σύνολο. V(I) = { (a 1,..., a n ) A n k ( f I)[f(a 1,..., a n ) 0] } Λ. Υποτίθεται ότι υπάρχει ιδεώδες J του δακτυλίου πολυωνύμων k[x 1,..., x n ] που ικανοποιεί ότι V(I) c = V(J). Όντας V(1) V(J) = A n k, από την Πρόταση 1.4-(αʹ) θα πρέπει να ισχύει ότι V(I J) = V(I) V(J) = A n k Από το Θεώρημα 1.10 (ριζών του Hilbert), προκύπτει ότι I J = (0). Εξ ορισμού του ριζικού ιδεώδους [ Πρόταση 1.4-(γʹ)] επάγεται ότι I J = (0). [Αν I (0) και J (0)]: τότε υπάρχουν πολυώνυμα f και g τέτοια ώστε f I και g J, με f, g 0. Επεται ότι f g 0 και f g I J, άτοπο αφού I J = (0). Επομένως, είτε I = (0), είτε J = (0), απ όπου επάγεται ότι είτε V(I) = A n k, είτε V(I) =, άτοπο ως προς την αρχική υπόθεση. Επομένως, δεν υπάρχει κάποιο ιδεώδες J που να ικανοποιεί ότι V(I) c = V(J). Α 1.13. Να δειχθεί ότι η ολότητα των συμπληρωμάτων των αλγεβρικών συνόλων σε έναν n-διάστατο συγγενή χώρο A n k, O = { V(I) c A n k το I είναι ιδεώδες του δακτυλίου πολυωνύμων k[x 1,..., x n ] } έχει τις ακόλουθες ιδιότητες: (αʹ) O και A n k O. (βʹ) O 1 O 2 O, δεδομένου ότι O 1 O και O 2 O. (γʹ) λ Λ O λ O, όπου ( λ Λ)[O λ O]. Λ. (αʹ) Όντας V(0) = A n k και V ( k[x 1,..., x n ] ) =, έπεται ότι = V(0) c O και A n k = V( k[x 1,..., x n ] ) c O. (βʹ) Αν O 1 = V(J 1 ) c και O 2 = V(J 2 ) c, τότε De Morgan O 1 O 2 = ( V(J1 ) V(J 2 ) ) c Πρόταση 1.4-(αʹ) = (γʹ) Αν ( λ Λ) [ O λ = V(J λ ) c], έπεται ότι λ Λ O λ = λ Λ c De Morgan V(J λ ) = ( λ Λ V(J λ ) ) c Πρόταση 1.4-(βʹ) ( V(J1 J 2 ) ) c O ( ) c = V J λ O λ Λ

2. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΡΙΖΩΝ ΤΟΥ HILBERT 13 Από την Άσκηση 1.13, ορίζοντας ως το O A n k να είναι ανοικτό αν O O, τότε επάγεται μία τοπολογία στο A n k. Η εν λόγω τοπολογία καλείται τοπολογία Zariski του A n k. Επομένως, ένα κλειστό σύνολο είναι απλά ένα αλγεβρικό σύνολο. Η τοπολογία Zariski στο αλγεβρικό σύνολο V(I) θεωρείται ως η τοπολογία που επάγεται από την τοπολογία Zariski στον χώρο A n k. Συγκεκριμένα, ορίζεται ένα U V(I) να είναι ανοικτό αν υπάρχει ανοικτό σύνολο O A n k, ώστε O V(I) = U. Η τοπολογία Zariski δεν είναι Hausdorff, αλλά είναι μία σημαντική τοπολογία.

14 1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΕΣ Π 4. Να δειχθεί ότι (αʹ) Ενα αυθαίρετο κλειστό σύνολο σε έναν μονοδιάστατο συγγενή χώρο A 1 k με την τοπολογία Zariski αποτελείται από πεπερασμένα το πλήθος σημεία, εκτός από το κενό σύνολο και τον χώρο A 1 k. Επομένως, ένα ανοικτό σύνολο είναι το συμπλήρωμα πεπερασμένου πλήθους σημείων. (βʹ) Για κάθε δύο σημεία a, b k, τα αυθαίρετα ανοικτά σύνολα O 1 και O 2 με a O 1 και b O 2 πρέπει να τέμνονται, δηλαδή O 1 O 2. [Συγκεκριμένα, η τοπλογία Zariski στο k δεν ικανοποιεί το αξίωμα διαχωρισμού Hausdorff. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχουν αρκετά ανοικτά σύνολα στην τοπολογία Zariski. Για παράδειγμα, όταν k = C, ένα Zariski ανοικτό σύνολο είναι ένα ανοικτό σύνολο για τη συνήθη τοπολογία που επάγεται από τον μετρικό χώρο, αλλά ένα ανοικτό σύνολο, όπως ο ανοικτός δίσκος {z C : z < 1}, στη συνήθη τοπολογία δεν είναι ανοικτό σύνολο στη τοπολογία Zariski.] Λ. Προφανές από το Πρόβλημα 1. 3. Συγγενείς Αλγεβρικές Ποικιλότητες Ενα αλγεβρικό σύνολο σε έναν n-διάτατο συγγενή χώρο A n k υπεράνω ενός αλγεβρικά κλειστού σώματος k λέγεται αναγώγιμο (reducible) αν το V είναι ένωση αλγεβρικών συνόλων V 1 και V 2, V = V 1 V 2, V V 1 και V V 2 Όταν ένα αλγεβρικό σύνολο δεν είναι αναγώγιμο, τότε καλείται ανάγωγο (irreducible). Ενα ανάγωγο αλγεβρικό σύνολο καλείται συγγενής αλγεβρική ποικιλότητα (affine algebraic variety). Ας βρεθεί μία συνθήκη ώστε ένα αλγεβρικό σύνολο να είναι ανάγωγο. Αν ένα αλγεβρικό σύνολο V(J) είναι αναγώγιμο, τότε μπορεί να εκφρασθεί ως V(J) = V(J 1 ) V(J 2 ), V(J) V(J 1 ) και V(J) V(J 2 ) (1.8) Επομένως, έπεται ότι V(J) V(J j ), για j = 1, 2. Από την Άσκηση 1.11, προκύπτει πως ( ) ( J = I V(J) I V(Jj ) ) = Jj, j = 1, 2 (1.9) Συνεπώς, ( fj k[x 1,..., x n ] )[ f j Jj f j / J ], j = 1, 2 Από τον εγκλεισμό (1.9) θα πρέπει να ισχύει ότι f 1 f 2 J. Συγκεκριμένα, το J δεν είναι κύριο ιδεώδες. Ως πόρισμα, η ακόλουθη Πρόταση καθίσταται σαφής. Π 1.14. Ενα αλγεβρικό σύνολο V είναι ανάγωγο εάν και μόνον εάν το ιδεώδες I(V) που σχετίζεται με το V είναι κύριο ιδεώδες. Α. ( =): Από τον συνειρμό που προηγήθηκε, αποδείχθηκε ότι το I(V) δεν είναι κύριο ιδεώδες για ένα αναγώγιμο αλγεβρικό σύνολο V. Με χρήση αντιθετοαντιστροφής προκύπτει ότι το V είναι ανάγωγο αν το I(V) είναι κύριο ιδεώδες.

3. ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΕΣ 15 (= ): Εστω V ένα ανάγωγο ιδεώδες. Υποτίθεται ότι το I(V) δεν είναι κύριο ιδεώδες. Άρα, θα πρέπει ( f1, f 2 k[x 1,..., x n ] )[ f 1, f 2 / I(V) f 1 f 2 I(V) ] Εστω J 1 να είναι το ιδεώδες που παράγεται από τα I(V) και f 1 και J 2 να είναι το ιδεώδες που παράγεται από τα I(V) και f 2. Αφού είναι f 1, f 2 / I(V), τότε V(J 1 ) V και V(J 2 ) V. Όμως το γεγονός ότι f 1 f 2 I(V) σημαίνει ότι σε κάθε σημείο (a 1,..., a n ) V είτε f 1 (a 1,..., a n ) = 0, είτε f 2 (a 1,..., a n ) = 0. Επομένως προκύπτει ότι V = V(J 1 ) V(J 2 ) το οποίο αντιφάσκει με την υπόθεση πως το V είναι ανάγωγο. Συνεπώς, το I(V) θα πρέπει να είναι κύριο ιδεώδες αν το V είναι ανάγωγο. Συμβατικά, το μηδενικό ιδεώδες (0) είναι ένα πρώτο ιδεώδες του δακτυλίου πολυωνύμων k[x 1,..., x n ]. Επομένως, ο συγγενής χώρος A n k είναι μία συγγενής αλγεβρική ποικιλότητα. Συχνά θα συμβολίζεται ο συγγενής χώρος A n k = kn απλώς ως A n. Ο μονοδιάστατος συγγενής χώρος A 1 καλείται συγγενής γραμμή, ο δισδιάστατος συγγενής χώρος A 2 καλείται συγγενές επίπεδο. Π 1.15. Το κύριο ιδεώδες I = (F) του k[x 1,..., x n ] είναι πρώτο ιδεώδες μόνο όταν το πολυώνυμο F k[x 1,..., x n ] είναι ανάγωγο. Σ αύτη την περίπτωση το V(F) καλείται συγγενής υπερεπιφάνεια στον A n. Αν deg k F = m, τότε το V(F) καλείται m-διάστατη υπερεπιφάνεια. Για τις περιπτώσεις n = 2 και n = 3, το V(F) καλείται συγγενής καμπύλη επιπέδου και συγγενής επιφάνεια αντιστοίχως. Μία συγγενής υπερεπιφάνεια V(F) είναι ανάγωγη εάν και μόνον εάν το πολυώνυμο F(x 1,..., x n ) είναι ανάγωγο στον δακτύλιο πολυωνύμων k[x 1,..., x n ]. Για ένα αλγεβρικό σύνολο V σε έναν n-διάστατο συγγενή χώρο A n k, το σύνολο k[v] := k[x 1,..., x n ] / I(V) καλείται δακτύλιος συντεταγμένων του V. Η Πρόταση 1.14 μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως ακολούθως. Π 1.16. Ενα αλγεβρικό σύνολο V είναι ανάγωγο εάν και μόνον εάν ο δακτύλιος συντεταγμένων του k[v] είναι ακέραια περιοχή. Π 1.17. Ο δακτύλιος πολυωνύμων της τετραγωνικής καμπύλης C = V(x 2 + y 2 1) σε ένα συγγενές επίπεδον A 2 k δίνεται ως k[c] = k[x, y] / (x 2 + y 2 1) όπου char k 2. Εστω i να είναι ένα στοιχείο του k τέτοιο ώστε i 2 = 1 και τίθενται u = x + iy v = x iy Σ αυτή την περίπτωση ο δακτύλιος συντεταγμένων k[c] γίνεται k[c] = k[u, v] / (uv 1) Να σημειωθεί πως ο συγκεκριμένος δακτύλιος συντεταγμένων είναι ισομορφικός με τον k[u, 1 /u].

16 1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΕΣ Η παραπάνω αλλαγή μεταβλητών μπορεί να εκφρασθεί σε όρους της Μεταθετικής Θεωρίας ακτυλίων ως ένας ισομορφισμός ' : k[x, y] / (x 2 + y 2 1) k[u, 1 /u] με x 1 ( 1) ' u + y 1 ( 1) ' u 2 u 2i u Κανείς μπορεί να παρατηρήσει πως ο αντίστροφος ισομορφισμός δίνεται ως ' 1 : k[u, 1 /u] k[x, y] / (x 2 + y 2 1) u ' 1 x + iy Συμβατικά, αν char k = 2, τότε ο δακτύλιος συντεταγμένων k[c] του συνόλου C = V(x 2 + y 2 1) δίνεται ως k[c] = k[x, y] / (x + y 1) k[x] κι αυτό επειδή, στην περίπτωση όπου char k = 2, έπεται ότι x 2 + y 2 1 = (x + y 1) 2 Π 5. Να δειχθεί ότι ο δακτύλιος συντεταγμένων k[c] μιας τετραγωνικής καμπύλης C = V(y x 2 ) είναι ισομορφικός με τον δακτύλιο πολυωνύμων k[x] μιας μεταβλητής υπεράνω του σώματος k. Λ. Η απεικόνιση k[x, y] / (y x 2 ) k[x], f(x, y) f(x, x 2 ) είναι ισομορφισμός δακτυλίων. Γενικεύοντας την παραπάνω ιδέα της αλλαγής μεταβλητών όπως στο Παράδειγμα 1.17, κανείς μπορεί να ορίσει έναν μορφισμό ανάμεσα στα αλγεβρικά σύνολα V και W. Ο τεχνικός όρος μορφισμός χρησιμοποιείται ως ορολογία για την απεικόνιση στην Αλγεβρική Γεωμετρία. Αν μία συνολο-θεωρητική απεικόνιση από ένα αλγεβρικό σύνολο V A n k σε ένα αλγεβρικό σύνολο W A m k μπορεί να εκφρασθεί σε όρους πολυωνύμων, τότε η απεικόνιση λέγεται πως είναι ένας μορφισμός από το V στο W. Συγκεκριμένα, για τους δακτυλίους συντεταγμένων k[v] = k[x 1,..., x m ] / I(V) k[v] = k[y 1,..., y n ] / I(W) των V και W, αντίστοιχα, μια απεικόνιση ' από το V στο W λέγεται πως είναι ένας μορφισμός από το αλγεβρικό σύνολο V στο αλγεβρικό σύνολο W αν η ' μπορεί να εκφραστεί ως y j = f j (x 1,..., x m ) k[x 1,..., x m ] j = 1,..., n (1.10) Αυτό σημαίνει, πως για ένα σημείο P = (a 1,..., a m ) V, οι συντεταγμένες της εικόνας του P υπό το πρίσμα της ' εκφράζονται ως ( (a1,..., a m ) ) = ( f 1 (a 1,..., a m ),..., f n (a 1,..., a m ) ) ' σε όρους πολυωνύμων. Παρ όλα ταύτα, υπάρχουν αλγεβρικές σχέσεις ανάμεσα στα a 1,..., a m. Επομένως η έκφραση σε όρους πολυωνύμων δεν είναι μοναδικά καθορισμένη. Για παράδειγμα, αν υπάρχει μία συσχέτιση της μορφής (a 1 ) 2 = a 2,

για f(x, y) = xy και g(x, y) = x 3 προκύπτει ότι 3. ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΕΣ 17 f(a 1, a 2 ) = a 1 a 2 = a1 3 = g(a 1, a 2 ) Επομένως, ο ορισμός στην εξίσωση (1.10) δεν είναι αρκετά ακριβής. ένας ακριβής ορισμός αργότερα. Θεωρείται το ακόλουθο απλό Π 1.18. Θεωρείται μία καμπύλη βαθμού τρία ως εξής: C = V(y 2 x 3 ) A 2 k Θα συμβολίζεται ο δακτύλιος συντεταγμένων της συγγενούς ευθείας A 1 k k[a 1 k] = k[t] Ο δακτύλιος συντεταγμένων του συγγενούς επιπέδου A 2 k Τότε, οι k[a 2 k] = k[x, y] δίνεται ως Θα δοθεί x = t 2 y = t 3 (1.11) καθορίζουν μία απεικόνιση από την συγγενή ευθεία A 1 στην καμπύλη C. Συγκεκριμένα, για ένα σημείο a A 1 k, θεωρείται το σημείο (a 2, a 3 ) A 2 k, το οποίο ανήκει στην C. Επομένως, υπάρχει η απεικόνιση ' : A 1 k C, a ' (a 2, a 3 ) Τότε η ' είναι ένας μορφισμός από την συγγενή ευθεία A 1 k στην καμπύλη C. Η απεικόνιση (1.11) καθορίζει μία απεικόνιση ' από την συγγενή ευθεία A 1 k στο συγγενές επίπεδο A 2 k ως εξής ' : A 1 k A 2 k, a ' (a 2, a 3 ) Τότε η απεικόνιση ' είναι ένας μορφισμός από την A 1 k στον A n, και η εικόνα '[A 1 k της ] ' περιέχεται στην καμπύλη C. Σημειώνεται πως ένας μορφισμός ' : A 1 k C που ορίζεται από την εξίσωση (1.11) επάγει έναν ομομορφισμό δακτυλίων ' # από τον δακτύλιο συντεταγμένων k[c] της καμπύλης C στον δακτύλιο συντεταγμένων k[a 1 k ] της συγγενούς ευθείας ως εξής: A 1 k ' # : k[c] = k[x, y] / (y 2 x 3 ) k[a 1 k] = k[t] f(x, y) = f(x, y) (mod (y 2 x 3 )) '# f(t 2, t 3 ). Επιπλέον, ο ακόλουθος ομομορφισμός δακτυλίων επίσης επάγεται από την εξίσωση (1.11): ' # : k[a 2 k] = k[x, y] k[a 1 k] = k[t] f(x, y) '# f(t 2, t 3 ). Παρατηρείται ότι ' #( f(x, y) ) = f(t 2, t 3 ), και ker ' # = (y 2 x 3 ). Για την κανονική επί συνάρτηση ι # : k[x, y] k[x, y] / (y 2 x 3 ) έπεται ότι ' # = ' # ι #. με

18 1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΕΣ Π 6. Όσον αφορά το Παράδειγμα 1.18, να δειχθεί ότι η απεικόνιση ' : A 1 k C, a ' (a 2, a 3 ) είναι μία συνολο-θεωρητική αμφιμονοσήμαντη (1-1 και επί) απεικόνιση, και ότι ο ομομορφισμός ' # : k[c] k[a 1 k], f(x, y) = f(x, y) (mod (y 2 x 3 )) '# f(t 2, t 3 ) είναι 1-1, αλλά όχι επί. Λ. Για k[a 1 k ] = k[t], τότε ('# ) 1 (t) =. Ορίστε ένα ακόμη Π 1.19. Για τα αλγεβρικά σύνολα E = V(y 2 x 3 + 1) A 2 k, D = V ( (x 3 2 x3 1 + 1, x 3 x 2 1 )) A 3 k, η απεικόνιση που δίνεται ως x 1 = x, x 2 = y, x 3 = x 2 (1.12) ορίζει έναν μορφισμό ψ : E D. Εστω I = (x 3 2 x3 1 + 1, x 3 x 2 1 ) J = (y2 x 3 + 1) Τότε η απεικόνιση (1.12) επάγει έναν ομομορφισμό ανάμεσα στους δακτυλίους συντεταγμένων ψ # : k[d] = k[x 1, x 2, x 3 ] / I k[e] = k[x, y] / J, g(x 1, x 2, x 3 ) ψ# g(x, y, x 2 ) Τότε η απεικόνιση ψ : E D είναι μία συνολο-θεωρητική αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση, και η ψ # : k[d] k[e] είναι ένας δακτυλιο-θεωρητικός ισομορφισμός. Επιπλέον, η απεικόνιση (1.12) επίσης ορίζει έναν μορφισμό από τον A n στον A n ως: ψ : A 2 k A 3 k, (a, b) ψ (a, b, a 2 ) και ο αντίστοιχος k-ομομορφισμός ανάμεσα στους δακτυλίους συντεταγμένων δίνεται ως ψ # : k[a 3 k] = k[x 1, x 2, x 3 ] k[x, y] = k[a 2 k] g(x 1, x 2, x 3 ) ψ# g(x, y, x 2 ) Ενα στοιχείο του δακτυλίου συντεταγμένων k[v] ενός αλγεβρικού συνόλου V μπορεί να θεωρηθεί ως μία κανονική συνάρτηση στο V. Για μία απεικόνιση ψ : V W ανάμεσα στα αλγεβρικά σύνολα V και W και μία κανονική συνάρτηση f στο W, αν θεωρηθεί μια κανονική συνάρτηση f ψ στο V που επάγεται από την ψ, τότε η ψ λέγεται πως είναι ένας μορφισμός. Για μια απεικόνιση ψ ώστε να είναι μορφισμός, το οποίο είναι κρίσιμο ζήτημα στην Αλγεβρική Γεωμετρία, θα πρέπει να ικανοποιεί την συνθήκη (1.10). Τότε, η f k[[w] σ αυτή την περίπτωση αντιστοιχεί στην f ψ k[v], η οποία είναι ο k-ομομορφισμός ψ # : k[w] k[v] που καθορίζεται από την συνθήκη (1.10).

3. ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΕΣ 19 Παρατηρείται επίσης πως η συνθήκη (1.10) επάγει ένα μορφισμό ψ : A m k A n k ψ (a 1,..., a m ) ( f 1 (a 1,..., a m ),..., f n (a 1,..., a m ) ) και έναν k-ομομορφισμό στους δακτυλίους συντεταγμένων ψ # : k[a n k] = k[y 1,..., y n ] k[x 1,..., x m ] = k[a m k ] g(y 1,..., y n ) ψ# g ( f 1 (x 1,..., x m ),..., f n (x 1,..., x m ) ) Άρα, ο μορφισμός ψ από την αλγεβρική ποικιλότητα V στην αλγεβρική ποικιλότητα W μπορεί να θεωρηθεί ως ο περιορισμός του μορφισμού ψ : A m k An στην V, όπου ένας μορφισμός ανάμεσα σε συγγενείς χώρους δίνεται όπως υπαγορεύει η συνθήκη (1.10) σε όρους πολυωνύμων. Ακόμη και τότε έχει καθορισθεί ο ορισμός του μορφισμού ανάμεσα σε αλγεβρικά σύνολα, ωστόσο υπάρχει ακόμη κάτι το αφύσικο όσον αφορά τον ορισμό. Από την μια πλευρά, ήταν αναγκαίο να θεωρηθούν μορφισμοί ανάμεσα σε συγγενείς χώρους που περιέχουν τα αλγεβρικά σύνολα. Αν ένας μορφισμός ψ από ένα αλγεβρικό σύνολο V σε ένα αλγεβρικό σύνολο W είναι μία συνολο-θεωρητική αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία, και η συνάρτηση ψ # : k[w] k[v] είναι ένας ισομορφισμός k-αλγεβρών, τότε ο μορφισμός ψ : V W λέγεται ισομορφισμός. Σ αυτή την περίπτωση λέγεται πως τα αλγεβρικά σύνολα V και W είναι ισομορφικά. Ισομορφικά αλγεβρικά σύνολα μπορούν να θεωρηθούν υπό το πρίσμα της Αλγεβρικής Γεωμετρίας ως ταυτόσημα. Υπό την συγκεκριμένη σκοπιά, είναι επιθυμητό να προκύψει ένας ορισμός για έναν μορφισμό σε όρους μόνο αλγεβρικών συνόλων και δακτυλίων συντεταγμένων. Για τον σκοπό αυτόν, πρέπει να μελετηθεί η συσχέτιση ανάμεσα στα σημεία ενός αλγεβρικού συνόλου V και των μεγιστικών ιδεωδών του δακτυλίου συντεταγμένων k[v] του V. Σε ένα σημείο (a 1,..., a n ) του αλγεβρικού συνόλου V A n, αντιστοιχεί ένα μεγστικό ιδεώδες (x 1 a 1,..., x n a n ) του δακτυλίου πολυωνύμων k[x 1,..., x n ]. Θα συμβολίζεται ως x j η υπολειμματική κλάση του x j, j = 1,..., n, στον δακτύλιο συντεταγμένων k[v] = k[x 1,..., x n ] / I(V). Τότε το (x 1 a 1,..., x n a n ) είναι ένα μεγιστικό ιδεώδες του δακτυλίου συντεταγμένων k[v]. Αντίστροφα, για ένα μεγιστικό ιδεώδες m του δακτυλίου συντεταγμένων k[v], η αντίστροφη εικόνα ψ 1 (m) του m υπό το πρίσμα του κανονικού επιμορφισμού ψ : k[x 1,..., x n ] k[x 1,..., x n ] / I(V) είναι ένα μεγιστικό ιδεώδες του δακτυλίου πολυωνύμων k[x 1,..., x n ]. Πόρισμα 1.8, μπορεί να γραφεί ως ψ 1 (m) = (x 1 b 1,..., x n b n ) Θα δειχθεί ότι (b 1,..., b n ) V. Για τον σκοπό αυτόν, αρκεί να δειχθεί ότι (x 1 b 1,..., x n b n ) I(V) Από το Όντας 0 m και ψ 1( 0 ) = I(V), προκύπτει ότι ψ 1 (m) ψ 1( 0 ) = I(V). Για έναν μεταθετικό δακτύλιο R, θα συμβολίζεται η ολότητα των μεγιστικών ιδεωδών του R ως Spm R, το οποίο θα καλείται μεγστικό φάσμα του (μεταθετικού) δακτυλίου R. Από την προηγούμενη παράγραφο προκύπτει το ακόλουθο γεγονός.

20 1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΕΣ Π 1.20. Για ένα αλγεβρικό σύνολο V, υπάρχει μία 1-1 αντιστοιχία α- νάμεσα στα σημεία του V και το μεγιστικό φάσμα Spm k[v]. Για τον δακτύλιο συντεταγμένων k[v] = k[x 1,..., x n ] / I(V) ένα σημείο (a 1,..., a n ) V αντιστοιχεί στο μεγιστικό ιδεώδες του k[v] το οποίο καθορίζεται ως (x 1 a 1,..., x n a n ). Τίθεται το εξής ερώτημα: εδομένου ενός μορφισμού ' : V W ανάμεσα στα αλγεβρικά σύνολα V και W, πώς μοιάζει ένας ομομορφισμός δακτυλίων που επάγεται από τον '; Όταν ο μορφισμός ' : V W παρέχεται από την συνθήκη (1.10), δηλαδή, ( (a1,..., a m ) ) = ( f 1 (a 1,..., a m ),..., f n (a 1,..., a m ) ) ' ( j = 1,..., n) [ f j (a 1,..., a m ) k[x 1,..., x m ] ] ένας k-ομομορφισμός ανάμεσα στους δακτυλίους συνεταγμένων δίνεται ως ' # : k[w] = k[y 1,..., y n ] / I(W) k[x 1,..., x m ] / I(V) = k[v] g(y 1,..., y n ) '# g ( f 1 (x 1,..., x m ),..., f n (x 1,..., x m ) ) (mod I(V)) (1.13) Εστω m a να είναι το μεγιστικό ιδεώδες του δακτυλίου συντεταγμένων k[v] που καθορίζεται από το (x 1 a 1,..., x m a m ). Τότε το (' # ) 1 (m a ) είναι ένα μεγιστικό ιδεώδες του δακτυλίου συντεταγμένων k[w]. Αυτό επειδή k[v] / m a = k, και ο επαγόμενος ομομορφισμός k-αλγεβρών k[w] / (' # ) 1 (m a ) k[v] / m a = k ικανοποιεί ότι k[w] / (' # ) 1 (m a ) = k. Χάρη στον k-ομομορφισμό (1.13), το (' # ) 1 (m a ) είναι ένα μεγιστικό ιδεώδες του δακτυλίου συντεταγμένων k[w] που παράγεται από το (y 1 b 1,..., y n b n ), όπου b j = f j (a 1,..., a m ), δια j = 1,..., n, αφού f j (x 1,..., x m ) f j (a 1,..., a m ) (x 1 a 1,..., x m a m ) Π 7. Για f(x 1,..., x m ) k[x 1,..., x m ] και a j k, για j = 1,..., m, να δειχθεί ότι f(x 1,..., x m ) f(a 1,..., a m ) (x 1 a 1,..., x m a m ) καθώς επίσης και ότι εάν και μόνον εάν g(a 1,..., a m ) = 0. καθώς και Λ. Εστω g(x 1,..., x m ) (x 1 a 1,..., x m a m ) z j := x j a j, j = 1,..., m, h(z 1,..., z m ) = f(a 1 + z 1,..., a m + z m )

3. ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΕΣ 21 τότε h(0,..., 0) = f(a 1,..., a m ) και η διαφορά h(z 1,..., z m ) h(0,..., 0) ανήκει στο ιδεώδες (z 1,..., z m ) που α- ποτελείται από όρους βαθμού μεγαλύτερου του ένα στα z 1,..., z m. Συγκεκριμένα, είναι f(x 1,..., x m ) f(z 1,..., z m ) (x 1 a 1,..., x m a m ) Απ ο,τι περιγράφηκε παραπάνω, φυσιολογικά αναμένεται η επόμενη Π 1.21. Για έναν μορφισμό ' από ένα αλγεβρικό σύνολο V σε ένα αλγεβρικό σύνολο W, δηλαδή, ' : V W, επάγεται ένας k-ομομορφισμός ανάμεσα στους δακτυλίους συντεταγμένων ' # : k[w] k[v], και η αντίστροφη εικόνα (' # ) 1 (m a ) του μεγιστικού ιδεώδους m a που καθορίζεται από το σημείο (a 1,..., a m ) V είναι το μεγιστικό ιδεώδες του k[w] που αντιστοιχεί στο σημείο '( (a1,..., a m ) ) W. Αντίστροφα, αν δίνονται μία συνολο-θεωρητική απεικόνιση ' : V W και ένας k-ομομορφισμός ' # : k[w] k[v], και αν, για ένα τυχαίο σημείο (a 1,..., a m ) V, το (' # ) 1 (m a ) είναι ένα μεγιστικό ιδεώδες που αντιστοιχεί στο σημείο '( (a1,..., a m ) ), τότε η απεικόνιση ' : V W είναι ένας μορφισμός ανάμεσα σε αλγεβρικά σύνολα. Α. Ηδη έχει δειχθεί ότι ένας μορφισμός αλγεβρικών συνόλων έχει την ιδιότητα που απαιτεί η Πρόταση. Οπότε έστω ' να είναι μία απεικόνιση από το αλγεβρικό σύνολο V στο αλγεβρικό σύνολο W και έστω ' # : k[w] k[v] να είναι ένας k-ομομορφισμός που ικανοποιεί την ιδιότητα που απαιτεί η Πρόταση. Οι δακτύλιοι συντεταγμένων εκφράζονται ως υπολειμματικοί δακτύλιοι δακτυλίων πολυωνύμων ως εξής: k[w] = k[y 1,..., y n ] / I(W), k[v] = k[x 1,..., x m ] / I(V) Ο k-ομομορφισμός ' # είναι μοναδικά καθορισμένος από την εικόνα ' #( ) y j όπου είναι y j = h j (mod I(W)). Τότε έστω ' #( y j ) = fj (x 1,..., x m ) (mod I(V)) j = 1,..., n όπου f 1,..., f n k[x 1,..., x m ]. Θα δειχθεί ότι η απεικόνιση ' δίνεται ως ' ' : V W, (a 1,..., a m ) ( f 1 (a 1,..., a m ),..., f n (a 1,..., a m ) ) Το μεγιστικό ιδεώδες m a του k[v] που αντιστοιχεί στο σημείο (a 1,..., a m ) συμπίπτει με το ιδεώδες (x 1 a 1,..., x m a m ), όπου x j = x j (mod I(V)), για j = 1,..., m. Επομένως, ' #( y j f j (a 1,..., a m ) ) = f j (x 1,..., x m ) f j (a 1,..., a m ) m a, j = 1,..., m και συνεπάγεται ότι (' # ) 1 (m a ) = ( y 1 f 1 (a 1,..., a m ), y 2 f 2 (a 1,..., a m ),..., y n f n (a 1,..., a m ) ) Από υπόθεση, το μεγιστικό ιδεώδες (' # ) 1 (m a ) του k[w] αντιστοιχεί στο σημείο '( (a1,..., a m ) ) W. Συνεπώς, '( (a1,..., a m ) ) = ( f 1 (a 1,..., a m ),..., f n (a 1,..., a m ) ) Βασιζόμενοι στην παραπάνω Πρόταση, επαναορίζεται η έννοια μιας συγγενούς αλγεβρικής ποικιλότητας και ενός μορφισμού.

22 1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΕΣ Ο 1.22. Ενα ζεύγος ( V, k[v] ) αποτελούμενο από ένα αλγεβρικό σύνολο V και τον δακτύλιο συντεταγμένων του k[v] καλείται συγγενής αλγεβρική ποικιλότητα, ή απλώς συγγενής ποικιλότητα. Στην περίπτηση όπου το αλγεβρικό σύνολο V είναι ανάγωγο, τότε το ζεύγος ( V, k[v] ) καλείται ανάγωγη συγγενής ποικιλότητα. Επιπρόσθετα, δεδομένων μίας συνολο-θεωρητικής απεικόνισης ' : V W αλγεβρικών συνόλων και του k-ομομορφισμού ' # : k[w] k[v] των δακτυλίων συντεταγμένων ο οποίος ικανοποιεί το γεγονός ότι (' # ) 1 (m a ) = m b (όπου b = '(a), για a V, και τα m a και m b είναι τα μεγιστικά ιδεώδη των a και b στους δακτυλίους συντεταγμένων k[v] και k[w] αντιστοίχως), τότε το ζεύγος (', ' # ) καλείται μορφισμός από την συγγενή ποικιλότητα ( V, k[v] ) ( ) στην συγγενή ποικιλότητα W, k[w]. Ενας μορφισμός θα αναγράφεται ως (', ' # ) : ( V, k[v] ) ( W, k[w] ). Στην περίπτωση όπου η απεικόνιση ' : V W είναι αμφιμονοσήματη αντιστοιχία και η ' # : k[w] k[v] είναι k-ισομορφισμός, τότε ο μορφισμός (', ' # ) λέγεται ισομορφισμός. Να σημειωθεί πως στον ορισμό του μορφισμού (', ' # ) : ( V, k[v] ) ( W, k[w] ) των συγγενών αλγεβρικών ποικιλοτήτων η απεικόνιση ' : V W και ο k- ομομορφισμός ' # : k[w] k[v] είναι σε αντεστραμένες κατευθύνσεις. Το γεγονός οφείλεται στο ότι ο ' # θεωρείται ως η ανάδραση (pull-back) μίας συνάρτησης στο W σε μια συνάρτηση στο V μέσω της απεικόνισης ' : V W. Κανείς μπορεί να διερωτηθεί τι το καινούργιο παρέχει ο Ορισμός 1.22, και τι είναι απαραίτητο γι αυτόν τον εμπλεκόμενο ορισμό. Πρωτίστως υπενθυμίζεται πως ένα αλγεβρικό σύνολο ορίσθηκε ως το υποσύνολο του συγγενούς χώρου A n k των κοινών λύσεων των στοιχείων ενός ιδεώδους. Ως προς αυτήν την θεώρηση, ο ορισμός του V απαιτεί συγγενείς χώρους, ή ισοδύναμα ένα ιδεώδες J που να ορίζει το V, με J k[x 1,..., x n ]. Παρ όλα αυτά, ως ζεύγος, αρκεί να θεωρηθεί το V ως ένα σύνολο σημείων, και ο k[v] ως μία μεταθετική άλγεβρα, θεωρούμενη ως k-άλγεβρα. Ακριβολογώντας, οι συγγενείς αλγεβρικές ποικιλότητες ( V, k[v] ) ( ) και W, k[w] θεωρούνται ταυτόσημες αν ο αντίστοιχος μορφισμός τους είναι ισομορφισμός. Κανείς μπορεί να εξελίξει την παραπάνω ιδέα περαιτέρω και να θεωρήσει μία k-άλγεβρα R και την ολότητα Spm R των μεγιστικών ιδεωδών της R. Μπορεί το ζεύγος (R, Spm R) να θεωρηθεί συγγενής αλγεβρική ποικιλότητα (κατά τον Ορισμό 1.22); Το ερώτημα είναι ένας κάπως αφηρημένος ορισμός, επειδή δεν υπάρχουν εξισώσεις, ούτε γεωμετρικές μορφές. Ο αναγνώστης μπορεί να διερωτάται αν η αρχική πρόθεση ήταν η μελέτη γεωμετρικών μορφών που ορίζονται από εξισώσεις. Αυτός ο πιο αφηρημένος ορισμός ακόμη εμπεριέχει εξισώσεις αν η άλγεβρα R είναι πεπερασμένα παραγόμενη υπεράνω του σώματος k. Όταν η R είναι πεπερασμένα παραγόμενη υπεράνω του k, τότε υπάρχει ένα ισομορφισμός R k[x 1,..., x n ] / J ανάμεσα στην R και τον υπολειμματικό δακτύλιο του δακτυλίου πολυωνύμων. Ταυτίζοντας την R με τον υπολειμματικό δακτύλιο, σύμφωνα με την Πρόταση 1.20 έπεται ότι Spm R = V(J) (1.14)

3. ΣΥΓΓΕΝΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΕΣ 23 Για την ακρίβεια των λεγομένων, το J είναι ένα ανάγωγο ιδεώδες (δηλαδή J = J). Η Πρόταση 1.20 αποδείχθηκε υπό την προϋπόθεση ότι J = J. Ωστόσο η ισότητα (1.14) εξακολουθεί να ισχύει ακόμη κι αν το J δεν είναι ανάγωγο ιδεώδες. Υπάρχουν πράγματι απείρως πολλοί τρόποι να εκφρασθεί ένας δακτύλιος R ως ένας υπολειματικός δακτύλιος. Για παράδειγμα, η ισότητα (1.14) υπαγορεύει πως το μεγιστικό φάσμα Spm R του R μπορεί να εκφρασθεί ως ένα συγγενές αλγεβρικό σύνολο εντός ενός n-διάστατου συγγενούς χώρου A n k. Θεωρώντας το Spm R δεν σημαίνει ότι θεωρείται ως ένα αλγεβρικό σύνολο εμβαπτισμένο εντός ενός n-διάστατου συγγενούς χώρου, αλλά υποδεικνύει πως κανείς μπορεί ρητά να μελετήσει τις ιδιότητες της γεωμετρικής μορφής του Spm R. Μία ρητή παράσταση ενός δακτυλίου R ως υπολειμματικού δακτυλίου ενός δακτυλίου πολυωνύμων αντιστοιχεί σε μία εμβάπτισή του Spm R εντός ενός συγγενούς χώρου. Π 8. Να δειχθεί ότι η ισότητα (1.14) ισχύει για ένα τυχαίο ιδεώδες J τέτοιο ώστε R = k[x 1,..., x n ] / J. Λ. Ισχύει ότι a = (a 1,..., a n ) V(J) m a = (x 1 a 1,..., x n a n ) J Θεωρείται μία γενικευμένη έννοια (Spm R, R) μιας συγγενούς αλγεβρικής ποικιλότητας. Σε ο,τι έπεται θεωρείται ότι η k-άλγεβρα R είναι πεπερασμένα παραγόμενη υπεράνω του σώματος k. Το ακόλουθο Λήμμα θα υποδείξει τον τρόπο ορισμού ένας μορφισμού στις γενικευμένες συγγενείς αλγεβρικές ποικιλότητες. Λ 1.23. Εστω k ένα σώμα. Για έναν k-ομομορφισμό ψ : S R ανάμεσα σε k-άλγεβρες, η αντίστροφη εικόνα ψ 1 (m) ενός μεγιστικού ιδεώδους του R είναι ένα μεγιστικό ιδεώδες του S. Α. Ο k-ομομορφισμός ψ : S R επάγει έναν ισομορφισμό σε k-άλγεβρες έστω ψ : S / ψ 1 (m) R / m = k Όντας k S / ψ 1 (m), η απεικόνιση ψ είναι επί. S / ψ 1 (m) είναι σώμα. Συγκεκριμένα, το πηλίκο Από το Λήμμα 1.23, ένας k-ομομορφισμός ψ : S R σε k-άλγεβρες επάγει μία απεικόνιση ψ α : Spm R Spm S, Επομένως, προκύπτει ο ακόλουθος m ψα ψ 1 (m) Ο 1.24. Για μία πεπερασμένα παραγόμενη άλγεβρα υπεράνω ενός αλγεβρικά κλειστού σώματος k, το ζεύγος (Spm R, R) καλείται συγγενής αλγεβρική ποικιλότητα. Για τις συγγενείς αλγεβρικές ποικιλότητες (Spm R, R) και (Spm S, S), ένα ζεύγος (ψ α, ψ) αποτελούμενο από έναν k-ομομορφισμό ψ : S R και την επαγόμενη απεικόνισή του ψ α : Spm R Spm S

24 1. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΟΙΚΙΛΟΤΗΤΕΣ λέγεται μορφισμός από την συγγενή αλγεβρική ποικιλότητα (Spm R, R) στην (Spm S, S), γεγονός που αναγράφεται ως (ψ α, ψ) : (Spm R, R) (Spm S, S) Για μία συγγενή αλγεβρική ποικιλότητα (Spm R, R), ένα στοιχείο της R καλείται κανονική (regular) συνάρτηση στην συγγενή αλγεβρική ποικιλότητα. Ακόμη και τότε, ο Ορισμός 1.24 δεν φαίνεται να διαφέρει από τον Ορισμό 1.22, το ακόλουθο Παράδειγμα ωστόσο θα αναδείξει μία σημαίνουσα διαφορά: ο μεταθετικός δακτύλιος R επιτρέπεται να έχει μηδενοδύναμα (nilpotent) στοιχεία. Π 1.25. Θεωρούνται οι δακτύλιοι R n := k[x] / (x n+1 ), n = 0, 1,... Αφού ο δακτύλιος R n έχει ένα μοναδικό μεγιστικό ιδεώδες, το μεγιστικό του φάσμα Spm R n θα αποτελείται από ένα μόνο σημείο. Ενα στοιχείο του R n μπορεί να θεωρηθεί ως ένα πολυώνυμο αποτελούμενο από όρους βαθμού το πολύ n, ή ως ένα ανάπτυγμα Taylor βαθμού n γύρω από την αρχή των αξόνων. Αφού το Spm R n είναι ένα σημείο, μία συνάρτηση επί ενός σημείου υπό τη συνήθη έννοια είναι σταθερή. Παρ όλα αυτά, το ζεύγος (Spm R n, R n ) θα πρέπει να θεωρηθεί ως συναρτήσεις ορισμένες σε μία γειτονιά της αρχής των αξόνων βαθμού n. Για n 1 <n 2, έπεται ένας κανονικός k-ομομορφισμός και ένας μορφισμός ψ n1,n 2 : R n2 = k[x] / (x n 2+1 ) k[x] / (x n 1+1 ) = R n1 (ψ α n 1,n 2, ψ n1,n 2 ) : (Spm R n1, R n1 ) (Spm R n1, R n1 ) Όπως σημειώθηκε επί της παραγράφου που έπεται του Ορισμού 1.22, οι κατευθύνσεις των απεικονίσεων ψ α και ψ είναι αντίθετες η μία της άλλης. Κανείς μπορεί να ερμηνεύσει μια συνάρτηση στο Spm R ως μία ανάδραση μιας συνάρτησης στο Spm S υπό το πρίσμα της ψ α. Ο Ορισμός 1.24 διαφέρει από τον Ορισμό 1.22 ως προς την ακόλουθη έννοια. Στον Ορισμό 1.24, ορίσθηκε το μεγιστικό φάσμα Spm R από ένα δεδομένο μεταθετικό δακτύλιο R. Κατόπιν ορίσθηκε η συγγενής αλγεβρική ποικιλότητα. Συνεπώς, η έμφαση αποδίδεται στις συναρτήσεις παρά στον χώρο. Η υποκρύπτουσα φιλοσοφία είναι ότι κανείς μπορεί να γνωρίζει τον χώρο αν είναι σε θέση να γνωρίζει τις συναρτήσεις. Η παρούσα ιδέα οδηγεί στην έννοια ενός δακτυλιοειδούς χώρου (ringed space), έννοια που θα πραγματευθεί αργότερα. Ο αναγνώστης μπορεί να σκέφτεται πως η μελέτη μεταθετικών δακτυλίων είναι επαρκής για την Αλγεβρική Γεωμετρία, και αυτό λόγω του Ορισμού 1.24 όπου εκκινώντας με ένα μεταθετικό δακτύλιο ορίσθηκε ένας μορφισμός ανάμεσα στα μεγιστικά φάσματα κάνοντας χρήση ενός ομομορφισμού δακτυλίων. Καθόσον θεωρούνται συγγενείς αλγεβρικές ποικιλότητες, υπό κάποια έννοια οι μεταθετικοί δακτύλιοι περιγράφουν τα πάντα. Παρ όλα αυτά οι γεωμετρικές θεωρήσεις συχνά ξεκαθαρίζουν έννοιες της Μεταθετικής Θεωρίας ακτυλίων. Συγκεκριμένα, η Μεταθετική Θεωρία ακτυλίων είναι μία σημαντική συσκευή για την μελέτη της Αλγεβρικής Γεωμετρίας. Κάποιος μπορεί να ορίσει αλγεβρικές ποικιλότητες κολλώντας συγγενείς αλγεβρικές ποικιλότητες. Στο επόμενο Κεφάλαιο, η έννοια μιας συγγενούς αλγεβρικής ποικιλότητας πρόκειται να γενικευθεί ώστε να προκύψει η έννοια του συγγενούς σχήματος (affine scheme). Εκεί μια αλγεβρική ποικιλότητα θα γενικευθεί ώστε να