ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 IAΣTOΛH KAI ΣYΣTOΛH

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 IAΣTOΛH KAI ΣYΣTOΛH 8.1 Γραµµική διαστολή των στερεών Ένα στερεό σώµα θεωρείται µονοδιάστατο, όταν οι δύο διαστάσεις του είναι αµελητέες σε σχέση µε την τρίτη, το µήκος, όπως συµβαίνει στην περίπτωση ενός σύρµατος ή µιας ράβδου. Aν η θερµοκρασία ενός τέτοιου σώµατος µεταβληθεί κατά dt, το µήκος του l µεταβάλλεται κατά dl. Tο φαινόµενο αυτό ονοµάζεται γραµµική διαστολή και το πείραµα αποδεικνύει ότι η µεταβολή του µήκους είναι: dl = βldt (8.1) όπου β σταθερά, µε µονάδες grad -1, που εξαρτάται από το υλικό αλλά και τη θερµοκρασία και ονοµάζεται συντελεστής γραµµικής διαστολής. O συντελεστής γραµµικής διαστολής είναι θετικός για την πλειονότητα των υλικών, δηλαδή το µήκος των περισσότερων µονοδιάστατων σωµάτων αυξάνει µε τη θερµοκρασία. Yπάρχουν όµως και ορισµένα υλικά, όπως το καουτσούκ, µε αρνητικό συντελεστή. Tον µικρότερο συντελεστή γραµµικής διαστολής έχει το κράµα invar, το οποίο χρησιµοποιείται όταν απαιτείται να παραµείνουν σταθερές οι διαστάσεις του σώµατος παρά τη µεταβολή της θερµοκρασίας. Oι διαφορές αυτές των συντελεστών οφείλονται στη δοµή των υλικών. Aύξηση της θερµοκρασίας προκαλεί αύξηση της µέσης ενέργειας των δοµικών λίθων του στερεού, οι οποίοι χρειάζονται µεγαλύτερο χώρο για να µπορέσουν να ταλαντωθούν, µε αποτέλεσµα τη διαστολή του στερεού. Στα πολυµερή όµως υλικά αύξηση της θερµοκρασίας προκαλεί αύξηση της αποστάσεως µεταξύ των ατόµων του µορίου µε ταυτόχρονη ελάττωση της γωνίας µεταξύ δύο διαδοχικών δεσµών και έτσι το συνολικό µήκος του µακροµορίου µικραίνει. Τα υλικά αυτά έχουν αρνητικό συντελεστή διαστολής. Στον Πίνακα 8.1 δίνονται οι συντελεστές γραµµικής διαστολής ορισµένων υλικών. Aπό τη σχέση 8.1 προκύπτει, µε ολοκλήρωση, η εξίσωση που δίνει τη µεταβολή του µήκους του µονοδιάστατου σώµατος για πεπερασµένη µεταβολή της θερµοκρασίας Τ: l = l o exp{β T}

102 όπου l o το αρχικό µήκος. εδοµένου ότι ο συντελεστής γραµµικής διαστολής έχει πολύ µικρή τιµή, της τάξεως του 10-5 grad -1, η σχέση αυτή παίρνει τη γραµµική µορφή l = l o (1+β T) (8.2) η οποία είναι εκείνη που χρησιµοποιείται στις πρακτικές εφαρµογές. Πίνακας 8.1 Συντελεστής γραµµικής διαστολής β ορισµένων υλικών υλικό β υλικό β 10-6 grad -1 10-6 grad -1 αλουµίνιο 23.9 καουτσούκ 88.2 χαλκός 16.8 γυαλί 8.5 χρυσός 19.6 χάλυβας 10.5 σίδηρος 12.2 invar 0.9 γύψος 2.5 ξύλο 2.5-6.6 πάγος (-10-0 C) 50.7 8.2 Kυβική διαστολή H µεταβολή της θερµοκρασίας στερεού σώµατος κατά dt προκαλεί µεταβολή του όγκου V κατά dv: dv = γvdt (8.3) όπου γ σταθερά, ο συντελεστης κυβικής διαστολής, ο οποίος αποδεικνύεται ότι είναι: γ = 3β Όπως και στην περίπτωση της γραµµικής διαστολής ο τελικός όγκος V του στερεού µετά από πεπερασµένη µεταβολή της θερµοκρασίας T θα δίνεται από τη σχέση: V = V o exp{γ T} ή κατά προσέγγιση: V = V o (1+γ T) (8.4) Mεταβολή του όγκου µε τη θερµοκρασία έχει ως αποτέλεσµα αντίστοιχη µεταβολή της πυκνότητας, η οποία µε τη βοήθεια της σχέσεως 8.4 υπολογίζεται:

103 m m ρ ο ρ = = ή ρ = ρ ο (1 γ Τ) (8.5) V V (1 γ Τ) 1 + γ Τ o + Tα ίδια ακριβώς ισχύουν και κατά τη µεταβολή της θερµοκρασίας των υγρών, για τα οποία δεν έχει φυσικά νόηµα η αναφορά σε συντελεστή γραµµικής διαστολής. Στον Πίνακα 8.2 δίνεται ο συντελεστής διαστολής ορισµένων υγρών. 1,0001 0,9997 0,9993 0,9989 0,9985 0 2 4 6 8 10 12 14 Oι συντελεστές διαστολής είναι για τη συντριπτική πλειοψηφία των υλικών θετικοί, δηλαδή ο όγκος αυξάνει µε τη θερµοκρασία. E- λάχιστα υλικά Σχήµα 8.1 δεν ακολουθούν αυτό τον κανόνα το γνωστότερο από τα οποία είναι το 1440 νερό. Στην περιοχή µεταξύ 0 και 4 C 1420 το νερό παρουσιάζει αρνητικό συντελεστή διαστολής, µε αποτέλεσµα να 1400 µικραίνει ο όγκος και να αυξάνεται η 1380 πυκνότητα, ενώ αυξάνεται η θερµοκρασία. 0 5 10 15 20 Πέρα από την περιοχή αυτή η Σχήµα 8.2 συµπεριφορά του είναι φυσιολογική. Στα Σχήµατα 8.1 και 8.2 δίνεται η µεταβολή της πυκνότητας του νερού και του freon, αντίστοιχα, για την περιοχή από 0 µέχρι 15 C και 20 C. 8.3 ιαστολή των αερίων

104 H διαστολή των τελείων αερίων, δηλαδή των αερίων των οποίων η θερµοκρασία T βρίσκεται µακριά από το σηµείο υγροποιήσεως, δίνεται από τη γνωστή καταστατική εξίσωση των τελείων αερίων: pv = nrt (8.6) στην οποία υπεισέρχονται η πίεση του αερίου p, ο όγκος V, ο αριθµός των γραµµοµορίων n και η παγκόσµια σταθερά των αερίων R. H σχέση 8.6 παίρνει τη µορφή: pv mol = RT (8.7) στην οποία V mol =V/n είναι ο όγκος ενός γραµµοµορίου που ονοµάζεται γραµµοµοριακός όγκος. Πίνακας 8.2 Συντελεστής διαστολής υγρών υγρό νερό υδράργυρος γλυκερίνη βρώµιο αιθανόλη γ 10-6 grad -1 207 181.9 505 1132 1120 Όταν το αέριο είναι πραγµατικό, πρέπει να ληφθούν υπόψη ορισµένοι παράγοντες που τροποποιούν τη σχέση 8.7 και την καθιστούν πολυπλοκότερη. H πίεση p που υπεισέρχεται σ' αυτήν είναι η πίεση που θα µετρήσει ένα µανόµετρο του οποίου η µεµβράνη είναι τοποθετηµένη κάπου µέσα στο αέριο. Όταν το αέριο βρίσκεται µακριά από το σηµείο υγροποιήσεως, οι µέσες αποστάσεις µεταξύ των µορίων είναι σηµαντικές και γι αυτό και οι δυνάµεις που ασκούν το ένα στο άλλο είναι αµελητέες, αφού εκδηλώνονται µόνο κατά τη στιγµή της κρούσης. Aλλά όταν αυτή η συνθήκη δεν ικανοποιείται, τότε σε ένα µόριο που βρίσκεται στο εσωτερικό του αερίου ασκούνται από παντού δυνάµεις, µε αποτέλεσµα η µέση τιµή της συνισταµένης τους να είναι µηδενική. Aντίθετα σε ένα µόριο, που πλησιάζει την επιφάνεια του δοχείου ή της κάψας του µανόµετρου, ασκούνται µονόπλευρα δυνάµεις, έτσι που η πίεση την οποία δείχνει το µανόµετρο να εµφανίζεται

105 µικρότερη από εκείνη που επικρατεί µέσα στο αέριο. Γι αυτό η πίεση p αντικαθίσταται από τον όρο: p + a 2 V moll όπου a σταθερά που εξαρτάται από το αέριο. Aκόµα θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι ο όγκος του χώρου µέσα στον οποίο κινούνται τα µόρια είναι µικρότερος του V mol, γιατί από αυτόν πρέπει να αφαιρεθεί ο όγκος των ίδιων των µορίων. Έτσι ο όρος V mol αντικαθίσταται από τον V mol -b και τελικώς η εξίσωση 8.7 παίρνει τη µορφή: a + )(V b) = RT (8.8) 2 V (p mol mol Πίνακας 8.3 Σταθερές Van der Waals ορισµένων αερίων αέριο a b 10 5 atm.m 6 /mol 2 10-5 m 3 /mol He H 2 N 2 O 2 NO CO CO 2 Cl 2 νερό 0.3412 2.444 13.91 13.61 13.40 18.87 35.96 68.38 58.64 2.371 2.662 3.915 3.188 2.790 3.987 8.269 5.625 3.052 H εξίσωση 8.8 ονοµάζεται καταστατική εξίσωση των πραγµατικών αερίων ή εξίσωση Van der Waals και η γραφική της παράσταση για το CO 2 για διάφορες θερµοκρασίες δίνεται στο Σχ. 8.3. Στον Πίνακα 8.3 δίνονται οι τιµές των σταθερών a και b για ορισµένα αέρια. H εξίσωση Van der Waals είναι η πρώτη η οποία διατυπώθηκε και από τότε έγιναν επανειληµµένες προσπάθειες για διατύπωση άλλων, που θα έδιναν καλύτερη

106 προσέγγιση αλλά οι οποίες απέτυχαν. Kαµία από τις περίπου πενήντα εξισώσεις οι οποίες έχουν προταθεί δεν είναι ιδιαίτερα επιτυχής. Για το λόγο αυτό η εξίσωση 8.8 είναι η ευρύτερα χρησιµοποιούµενη δεδοµένου ότι είναι η απλούστερη και δίνει ικανοποιητική ερµηνεία των φαινο- µένων που σχετίζονται µε τα πραγµατικά αέρια. Σχήµα 8.3