3η Συνάντηση Πολυκριτήριας Ανάλυσης Αποφάσεων Χανιά, 29-30 Σεπτεμβρίου 2005 Συνδυασμένη εφαρμογή Πολυκριτηριακής Ανάλυσης & Ακέραιου Προγραμματισμού στην επιλογή χρηματοδοτικών προτάσεων υπό περιορισμούς Γιώργος Μαυρωτάς, Δανάη Διακουλάκη, Θανάσης Κουρεντζής Εργαστήριο Βιομηχανικής & Ενεργειακής Οικονομίας Σχολή Χημικών Μηχανικών, EΜΠ
Περιεχόμενα Περιγραφή προβλήματος Συχνότερες αστοχίες Προτεινόμενη μεθοδολογία Εφαρμογές Συμπεράσματα
Χρήση ΠΚΑ κατά Roy 4 περιπτώσεις (προβληματικές) Κατανόηση-Περιγραφή του προβλήματος ΠΚΑ Επιλογή της προτιμότερης λύσης ή ενός υποσυνόλου προτιμητέων λύσεων Πλήρης ιεράρχηση των επιλογών Ταξινόμηση των επιλογών σε κατηγορίες
Περιγραφή προβλήματος στην απλούστερη μορφή Επιλογή n προτάσεων από ένα ευρύτερο σύνολο προτάσεων ανεξαρτήτων μεταξύ τους Πρόβλημα Πολυκριτηριακής Αξιολόγησης Επιλογή ενός υποσυνόλου n επιλογών με βάση την ΠΚΑ.
Περιγραφή προβλήματος στην απλούστερη μορφή Πολυκριτηριακή ανάλυση Ιεράρχηση προτάσεων Επιλογή των πρώτων που καλύπτονται από τον υπάρχοντα προϋπολογισμό Κατάταξη Κόστος (k ) 1 η 210 2 η 3 η 165 4 η 60 220 5 η 430 6 η 215 7 η 180 8 η 345 700
Εαν υπάρχουν όμως περιορισμοί... Παραδείγματα Ποσοστώσεις στην επιλογή των σχεδίων (γεωγραφικές, κλαδικές, ανά τομέα κλπ) Αλληλοαποκλειόμενα ή προαπαιτούμενα σχέδια................... Οι επιλογές δεν είναι πλέον ανεξάρτητες μεταξύ τους Οι n πρώτες στην κατάταξη μόνο κατά τύχη μπορεί να ικανοποιούν και τους περιορισμούς
Συνέπειες Όταν έχουμε μη ανεξάρτητες επιλογές το πρόβλημα αποκτά συνδυαστικό χαρακτήρα. Επιδιώκεται η επιλογή του καταλληλότερου συνδυασμού λαμβανομένων υπόψιν των επιδόσεων των επιλογών Κατάλληλο εργαλείο: Ακέραιος Προγραμματισμός
Συνδυασμός ΠΚΑ και ακέραιου Προγραμματισμού 1 ο στάδιο Πολυκριτηριακή Ανάλυση (ΠΚΑ) Βαθμολόγηση και ιεράρχηση σχεδίων 2 ο στάδιο Ακέραιος Προγραμματισμός (ΑΠ) Κάθε σχέδιο εκφράζεται με μια 0-1 μεταβλητή x i =0 το i-σχέδιο δεν επιλέγεται x i =1 το i-σχέδιο επιλέγεται Κλασσικό παράδειγμα: Promethee V
Μοντέλο Ακέραιου Προγραμματισμού Αντικειμενική συνάρτηση = Αθροιστική επίδοση Οι επιδόσεις προέρχονται από την ΠΚΑ Οι συνθήκες που πρέπει να τηρούνται είναι οι περιορισμοί του προβλήματος ΑΠ max Σ sc i x i st Σcost i x i budget (άλλοι περιορισμοί) x i {0,1} Πρόβλημα knapsack
Επιπτώσεις αθροιστικής αντικειμενικής συνάρτησης Μπορεί να συμβεί ανατροπή της ιεράρχησης λόγω budget constraint Λόγω χαμηλού προϋπολογισμού μπορεί να επιλεγούν σχέδια με χαμηλή αξιολόγηση και να μείνουν έξω άλλα καλύτερα
Παράδειγμα σχέδια A B C επίδοση 65 30 40 κόστος 50 20 15 Ενώ το Α έχει την καλύτερη επίδοση, προτιμώνται τα Β+C γιατί έχουν αθροιστικά καλύτερη επίδοση (70 > 65) και συγχρόνως μικρότερο προϋπολογισμό (35 < 50). Τι γίνεται αν θέλουμε να τηρήσουμε την ιεράρχηση;
Πρώτης λύση: εκθετικοί συντελεστές Αντικατάσταση των επιδόσεων στην αντικειμενική συνάρτηση με άλλους τέτοιους ώστε: Ηεπίδοσητηςk-καλύτερης επιλογής να είναι μεγαλύτερη από το άθροισμα των χειρότερών της: k 1 sc > k sc i i= 1 π.χ. για 20 επενδυτικά σχέδια: H τελευταία θα έχει επίδοση 1 ή 2 0 = 1 Η 19 η θα έχει επίδοση 1+1=2 ή 2 1 = 2 Η 18 η θα έχει επίδοση 1+2+1=4 ή 2 2 = 4.......... Η 1 η θα έχει επίδοση 2 19 = 524288 Πρόβλημα: Γρήγοραθαφτάσουμεσεαπαγορευτικάνούμερακαι μεγάλες διαφορές στην τάξη μεγέθους των συντελεστών (σε 40 σχέδια η πρώτη θα έχει επίδοση 1,099,511,628,000).
Προτεινόμενη προσέγγιση Παρατήρηση: Κάθε επιλογή κινδυνεύει από τις χειρότερές της που έχουν όμως και αθροιστικά χαμηλότερο κόστος. Πρόταση: Επαυξημένες επιδόσεις στην αντικειμενική συνάρτηση λαμβάνοντας υπόψιν το κόστος κάθε σχεδίου. Πως θα υπολογιστεί η επαυξημένη επίδοση; Επίλυση πολλαπλών knapsack προβλημάτων
Knapsack προβλήματα Για κάθε επιλογή Α ψάχνουμε τους συνδυασμούς των χειρότερων από αυτήν που έχουν αθροιστικά κόστος μικρότερο από της Α. Ο συνδυασμός αυτός με τη μεγαλύτερη αθροιστικά επίδοση (έστω max sc infa ) μας υποδεικνύει την επίδοση και για την επιλογή Α. Θα πρέπει η νέα επίδοση της Α να είναι μεγαλύτερη του max sc infa ώστε να εξασφαλίζεται ότι η Α δεν υπολείπεται από συνδυασμούς χειρότερών της επιλογών.
Διάγραμμα ροής Κατάταξη με βάση το score (αύξουσα, sc i+1 > sc i, i=1 n) ΟΧΙ sc k =sc k +1 z k > sc k-1? ΝΑΙ sc k =z k Θέτω sc 1 =1 k=2 z k st Λύσε το πρόβλημα: = max k 1 i= 1 sc i x i k=n? ΟΧΙ ΝΑΙ ΤΕΛΟΣ k 1 i= 1 b x i i b k, x i {0,1} k=k+1
Διάγραμμα ροής Multicriteria ranking (increasing order ms i+1 > ms i, i=1 n) NO z k >?s αs k-1?? αs k =αs k-1 +1 YES αs k =z k +1 Set αs 1 =1 k=2 z k st Solve knapsack: = max k 1 i = 1 as x i i k=n? NO YES END k 1 i = 1 c x i i c k, x i {0,1} k=k+1
Ισοπαλίες στην ιεράρχηση και αντιμετώπιση της ταξινόμησης Μπορεί στην ιεράρχηση δύο ή περισσότερες επιλογές να μοιράζονται την ίδια θέση. Υπολογίζεται για κάθε μία ξεχωριστά η επαυξημένη επίδοση και στη συνέχεια ως αντιπροσωπευτική της κλάσης τους λαμβάνεται η μεγαλύτερη. Με τον τρόπο αυτό μπορούμε να χειριστούμε καταστάσεις ταξινόμησης των επιλογών σε κατηγορίες αντί να έχουμε την πιο αυστηρή ιεράρχησή τους.
Υλοποίηση Σε Microsoft Εxcel με τη βοήθεια κώδικα σε Visual Basic για τη δημιουργία του βρόγχου. Η επίλυση των προβλημάτων ΑΠ γίνεται με τον Solver του Excel. Παρατήρηση Όσο μεγαλύτερη είναι η διασπορά στα κόστη των επενδυτικών σχεδίων τόσο μεγαλύτερη είναι η μέγιστη νέα επίδοση στην τροποποιημένη αντικειμενική συνάρτηση και τόσο περισσότερο χρόνο διαρκεί ο υπολογισμός των νέων επιδόσεων.
Συνολική διαδικασία 1 ο στάδιο: Χρησιμοποίηση της ΠΚΑ για ιεράρχηση σχεδίων 2 ο στάδιο: Υπολογισμός των επαυξημένων επιδόσεων 3 ο στάδιο: Χρησιμοποίηση του ΑΠ για την επιλογή του καταλληλότερου συνδυασμού των επενδυτικών σχεδίων Η μόνη διαφορά στον ΑΠ είναι ότι η αντικειμενική συνάρτηση περιέχει τις επαυξημένες επιδόσεις αντί για αυτές της ΠΚΑ
Εφαρμογή 1: Βιομηχανικά επενδυτικά σχέδια Oral Kettani 1991 37 επενδυτικά σχέδια στην τουρκική χαλυβουργία. Κάθε σχέδιο έχει κάποιο κόστος και κρίνεται σε 5 τομείς: άμεση και έμμεση οικονομική συμβολή, τεχνολογική, κοινωνική και επιστημονική συμβολή.
Περιορισμοί 1) Διαθέσιμος προϋπολογισμός 1.2 εκ. $. 2) τα σχέδια είναι χωρισμένα σε 4 ομάδες. Στην τελική επιλογή σχέδια ίδιας ομάδας πρέπει να καλύπτουν από το 17% μέχρι το 33% του συνόλου. 3) από τα σχέδια 30, 33 και 36 επιλέγεται τουλάχιστον ένα 4) από τα σχέδια 10, 12 και 17 επιλέγεται τουλάχιστον ένα 5) από τα σχέδια 20, 22 και 23 μπορεί να επιλεγεί το πολύ ένα 6) από τα σχέδια 3, 5 και 6 μπορεί να επιλεγούν το πολύ δυο
Δεδομένα 66,40 31,32 16,14 43,83 72,10 57,78 37 64,10 49,33 19,53 58,26 70,22 61,45 36.. 32,10 48,82 59,59 51,18 28,65 38,50 13 35,40 33,06 15,79 38,01 34,54 39,74 12 76,50 46,31 23,36 55,13 55,54 55,13 11 77,50 46,57 19,52 53,45 55,09 52,40 10 95,90 29,47 47,71 38,93 61,09 55,26 9 88,80 36,35 24,54 46,89 49,54 47,46 8 87,40 18,90 32,46 36,12 58,20 50,10 7 90,00 26,08 29,11 35,42 77,16 58,88 6 75,40 26,21 32,73 34,90 48,48 48,96 5 67,50 19,64 20,82 21,75 47,05 47,32 4 50,20 5,92 10,99 6,73 9,68 22,27 3 90,00 45,64 42,84 57,47 62,86 58,94 2 84,20 46,28 44,91 62,64 70,82 67,53 1 κόστος σχεδίων επιστημονική συμβολή κοινωνική συμβολή τεχνολογική συμβολή άμεση οικονομική συμβολή έμμεση οικονομική συμβολή επενδυτικά σχέδια
1 ο στάδιο: ΠΚΑ (MAVT) 0,64 0,50 0,22 0,64 0,85 0,66 37 0,2 0,1 0,2 0,3 0,2 W j 0,77 0,86 0,28 0,89 0,82 0,73 36.. 0,57 0,85 1,00 0,77 0,26 0,32 13 0,41 0,54 0,21 0,54 0,34 0,35 12 0,67 0,80 0,35 0,84 0,62 0,62 11 0,65 0,80 0,28 0,81 0,62 0,57 10 0,62 0,47 0,79 0,56 0,70 0,62 9 0,55 0,60 0,37 0,69 0,54 0,48 8 0,51 0,26 0,51 0,51 0,66 0,53 7 0,64 0,40 0,45 0,50 0,92 0,68 6 0,49 0,40 0,52 0,49 0,53 0,51 5 0,38 0,27 0,30 0,26 0,51 0,48 4 0,02 0,00 0,13 0,00 0,00 0,04 3 0,76 0,79 0,70 0,88 0,72 0,68 2 0,84 0,80 0,74 0,97 0,83 0,83 1 επίδοση επιστημονική συμβολή κοινωνική συμβολή τεχνολογική συμβολή άμεση οικονομική συμβολή έμμεση οικονομική συμβολή επενδυτικά σχέδια
2 ο στάδιο: Υπολογισμός επαυξημένων επιδόσεων (Excel) Κατάταξη σε αύξουσα σειρά ως προς την επίδοση Υπάρχουν αρκετοί συνδυασμοί 2 projects που έχουν κόστος < 88,8. Από αυτούς διαλέγουμε αυτόν με το μεγαλύτερο αθροιστικό score. Προσθέτουμε μια μονάδα κι έχουμε τη νέα (επαυξημένη) επίδοση για το project 8.
3 ο στάδιο: Επίλυση προβλήματος ΑΠ (Excel)
Αν είχαμε λύσει με τις αρχικές επιδόσεις της ΠΚΑ επιδόσεις ΠΚΑ επαυξημένες επιδόσεις a/a κόστος score xi score xi 3 50.20 0.02 0 1 0 34 28.00 0.16 0 2 1 20 54.10 0.19 0 3 0 33 52.70 0.25 0 4 0 12 47.50 0.34 0 5 0 25 68.50 0.35 0 6 0 13 58.50 0.35 0 7 0 4 67.50 0.38 0 8 0 28 80.00 0.39 0 9 0 16 35.40 0.41 1 10 0 32 54.50 0.43 0 11 0 18 46.70 0.48 1 12 0 5 75.40 0.49 1 15 0 7 87.40 0.51 0 23 0 35 36.00 0.52 1 24 0 8 88.80 0.55 0 37 0 17 32.10 0.57 1 38 1 31 44.60 0.58 1 39 1 19 78.60 0.59 0 78 0 9 95.90 0.62 0 79 0 15 83.80 0.62 0 80 0 29 72.00 0.63 0 81 0 6 90.00 0.64 1 82 1 37 66.40 0.64 1 83 1 10 77.50 0.65 0 84 1 22 82.10 0.65 0 85 0 27 57.10 0.66 1 86 1 11 76.50 0.67 1 87 1 21 74.40 0.70 1 88 1 30 82.90 0.70 1 89 1 26 69.30 0.71 1 90 1 24 92.30 0.74 0 125 1 2 90.00 0.76 1 126 1 36 64.10 0.77 1 127 1 23 75.60 0.82 1 128 1 1 84.20 0.84 1 129 1 14 95.00 0.93 1 130 1 Σύνολο 2515.60 18 17 Με τη συμβατική μέθοδο τα projects 10, 24 δεν επιλέγονται Γιατί αν και είχαν σχετικά καλές επιδόσεις είχαν παράλληλα και υψηλά κόστη.
Εφαρμογή 2: Αξιολόγηση ερευνητικών προτάσεων Πρόβλημα επιλογής μεταξύ 150 ερευνητικών προτάσεων από τις 9 σχολές του ΕΜΠ (υποθετικό παράδειγμα) Οι προτάσεις κατηγοριοποιούνται ανάλογα με τη σχολή στην οποία απευθύνονται και ανάλογα το είδος της έρευνάς τους (Βασική ή Εφαρμοσμένη). Βαθμολογούνται σε 3 κριτήρια (τα ίδια με το πρόγραμμα «Πυθαγόρας») Κάθε πρόταση έχει κάποιο κόστος (από 50,000 200,000 ). Υπάρχουν οικονομικοί και πολιτικοί περιορισμοί (στηρίζονται στον αριθμό του διδακτικού προσωπικού και των φοιτητών κάθε σχολής).
Δεδομένα και ΠΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ Κόστος ( ) Σχολή Ερευνα Πληρότητα Ωριμότητα Σκοπιμότητα Επίδοση 1 159,856 A E 10 6 1 6.354 2 79,649 A E 1 2 2 1.942 3 91,938 A E 5 3 6 4.038 4 163,228 A E 9 6 2 6.126 5 52,968 A B 3 3 8 3.899 6 50,139 A B 2 5 0 3.501 7 54,002 A B 9 1 7 4.241 8 75,482 A E 0 7 10 5.443 9 104,081 A E 4 5 8 5.356 10 64,463 A Β 5 6 0 4.763 11 93,192 A E 6 5 9 5.933 12 118,204 A Ε 4 1 0 1.552 13 118,878 A Ε 5 1 2 2.291 14 95,288 A Ε 1 6 2 4.128 15 87,963 A Ε 5 7 0 5.153 16 84,424 H Ε 5 3 10 4.375 17 90,926 H Ε 6 6 4 5.605 18 106,680 H Ε 4 7 6 5.910 19 51,966 H Β 6 3 8 4.388 145 69,354 X Β 5 0 1 1.811 146 83,547 X Β 4 1 5 2.778 147 72,106 X Β 0 3 5 2.254 148 52,681 X Β 9 5 9 7.156 149 57,303 X Β 8 7 7 7.130 150 107,403 X Ε 7 5 3 5.395 Σύνολο 13,181,131 σ.β. 29% 55% 16%
Αναλογίες σχολών Σχολή ΔΕΠ Αριθμός Φοιτητές ΔΕΠ Ποσοστό Φοιτητές M.O. ( A ) 134 1700 21% 14% 18% ( H ) 84 2035 13% 17% 15% ( Mετ ) 35 465 6% 4% 5% ( Μηχ ) 44 1620 7% 14% 10% ( Ν ) 25 598 4% 5% 4% ( Π ) 73 1953 12% 16% 14% ( Σ ) 91 1494 14% 13% 13% ( T ) 49 838 8% 7% 7% ( Χ ) 95 1207 15% 10% 13%
Περιορισμοί Ο διαθέσιμος προϋπολογισμός είναι 6.000.000. Οι προτάσεις βασικής έρευνας πρέπει να καλύπτουν από το 30% μέχρι το 50% των προτάσεων που εγκρίθηκαν. Το κόστος των προτάσεων που εγκρίνονται από κάθε σχολή πρέπει να είναι ανάλογο της δύναμής της ± 4%. Αρχιτέκτονες [14% - 22%] Ηλεκτρολόγοι [11% - 19%] Μεταλλειολόγοι [1% - 9%] Μηχανολόγοι [6% - 14%] Ναυπηγοί [0% - 8%] Πολιτικοί [10% - 18%] ΣΕΜΦΕ [9% - 17%] Τοπογράφοι [3% - 11%] Χημικοί [9% - 17%]
2 ο στάδιο: Υπολογισμός επαυξημένων επιδόσεων
3 ο στάδιο: Λύση προβλήματος ΑΠ
Συμπεράσματα Ο συνδυασμός Ακέραιου Προγραμματισμού και Πολυκριτηριακής Ανάλυσης αποτελεί μια ενδεδειγμένη επιλογή για προβλήματα επιλογής επενδυτικών σχεδίων υπό περιορισμούς πολιτικής. Η μέθοδος χειρίζεται και αποτελέσματα της ΠΚΑ υπό μορφή ταξινόμησης σε κατηγορίες και όχι μόνο ιεράρχησης επιλογών. Με τις επαυξημένες επιδόσεις αποφεύγεται η περίπτωση απόρριψης καλών προτάσεων λόγω κόστους. Όσο μεγαλύτερη είναι η διασπορά στα κόστη των επενδυτικών σχεδίων τόσο μεγαλύτερη είναι η μέγιστη νέα επίδοση στην τροποποιημένη αντικειμενική συνάρτηση και τόσο περισσότερο χρόνο διαρκεί ο υπολογισμός των νέων επιδόσεων.
ευχαριστώ πολύ!