ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

Transcript

1 Πρόβλημα 1 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Η εταιρεία GALAXY INDUSTRIES διαθέτει στην αγορά 2 είδη πλάκες πεζοδρομίου: τη Space Ray και τη Galaxy Ray. Τα 2 είδη κατασκευάζονται σε δωδεκάδες από την ίδια βασική πρώτη ύλη (μίγμα τσιμέντου). Το εργοτάξιο διαθέτει 1000 τόνους πρώτης ύλης και λειτουργεί για 40 ώρες εβδομαδιαίως. Οι απαιτήσεις σε πόρους (πρώτη ύλη, χρόνος παραγωγής) και τα κέρδη ανά είδος πλάκας παρατίθενται στον κατωτέρω πίνακα: Κέρδος (χρημ. μονάδες ανά δωδεκάδα) Πρώτη ύλη (σε κιλά) Χρόνος παραγωγής (σε λεπτά) Space Ray Galaxy Ray Ο διευθυντής παραγωγής πρέπει να προσδιορίσει το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής που μεγιστοποιεί τα συνολικά κέρδη της GALAXY INDUSTRIES λαμβάνοντας επιπλέον υπόψη ότι η εβδομαδιαία παραγωγή και για τα δύο είδη δεν μπορεί να υπερβεί τις 700 πλάκες ενώ η εβδομαδιαία παραγωγή της Space Ray δεν μπορεί να υπερβεί την αντίστοιχη του Galaxy Ray περισσότερο από 350. Η διαμόρφωση του προβλήματος σε μορφή Γραμμικού Προγραμματισμού και η Γραφική απεικόνιση της περιοχής των εφικτών λύσεων δίνεται παρακάτω: (1) 2Χ 1 + 1Χ (1) 3Χ 1 + 4Χ (2) (3) Α (2) (4) Χ 1 + Χ (3) Χ 1 - Χ (4) Β Γ Δ (4) (1) (3) (2) a) Ποιες ποσότητες από κάθε είδος πρέπει να κατασκευασθούν ώστε να επιτευχθεί μεγιστοποίηση του κέρδους και ποιο θα είναι το μέγιστο κέρδος. Εξηγείστε την απάντηση σας αναλυτικά. H μεγιστοποίηση του κέρδους θα συμβεί σε ένα από τα ακραία σημεία της περιοχής των εφικτών λύσεων Α, Β, Γ, Δ. Το σημείο Α ορίζεται από Χ1=0, 3Χ1 + 4Χ2 = 2400 (0, 600) Το σημείο Β ορίζεται από 2Χ1 + 1Χ2 = 1000, 3Χ1 + 4Χ2 = 2400 (320, 360) Το σημείο Γ ορίζεται από Χ1 - Χ2 = 350, 2Χ1 + 1Χ2 = 1000, (450, 150) Το σημείο Δ ορίζεται από Χ1 - Χ2 = 350, Χ2 = 0 (350, 0) Λύνοντας και αντικαθιστώντας στη συνάρτηση κέρδους βρίσκουμε ότι το σημείο Β (320, 360) δίνει το μεγαλύτερο κέρδος b) Ποιοι περιορισμοί είναι δεσμευτικοί. Η λύση στο σημείο Β ορίζεται από τους περιορισμούς (2), (1) c) Υπάρχουν κάποιοι περιορισμοί που μπορεί να πλεονάζουν? Ο περιορισμός (3) είναι εκτός της περιοχής εφικτών λύσεων. Επομένως ακόμα και αν δεν υπήρχε τίποτε δεν θα άλλαζε

2 Με βάση τον παρακάτω πίνακα Solver απαντήστε στα εξής ερωτήματα Μεταβλητά κελιά Τελικό Μειωμένο Στόχος Επιτρεπτό Επιτρεπτό Κελί Όνομα Τιμή Κόστος Συντελεστής Αύξηση Μείωση $C$4 Space Ray ,25 $D$4 Galaxy Ray ,67 1 Περιορισμοί Τελικό Σκιώδης Περιορισμός Επιτρεπτό Επιτρεπτό Κελί Όνομα Τιμή Τιμή Δεξιά πλευρά Αύξηση Μείωση $E$7 Πρώτη Ύλη Σύνολο , $E$8 Χρόνος παραγωγής , $E$9 Συνολική παραγωγή E $E$10 Μίγμα παραγωγής E d) Αν η Galaxy μπορούσε να λειτουργήσει το εργοτάξιο και το Σάββατο με ένα άτομο και με επιπλέον κόστος 100 ν.μ., θα το προτείνατε? Δικαιολογείστε την απάντηση σας. Εργασία το Σάββατο 8 ώρες χ 60 λεπτά = 480 λεπτά. Από την ανάλυση ευαισθησίας η σκιώδης τιμή για το χρόνο παραγωγής είναι 0,4 αν α λεπτό. Η αύξηση του χρόνου παραγωγής δεν μπορεί να υπερβεί τα 100 λεπτά. Επομένως μέγιστο όφελος 100 Χ 0,4 = 40. Κόστος = 100. Δεν συμφέρει e) Αν η τιμή των Galaxy και Space αυξάνονταν σε 7 και 13 ν.μ. αντίστοιχα, θα υπήρχε λόγος αναθεώρησης του προγράμματος παραγωγής? Εξηγείστε το σκεπτικό σας. Για συντελεστή κέρδους 5 στο Galaxy οι συντελεστές κέρδους του Space κυμαίνονται από ελάχιστο 8-4,25=3,75 έως 8+2=10 μέγιστο. Αν το κέρδος στο Galaxy αυξηθεί από 5 σε 7 αυτό είναι αύξηση 40%. Επομένως με 40% αύξηση το αντίστοιχο ανώτερο όριο διακύμανσης στους συντελεστές του Space θα ήταν 14. Η τιμή 13 είναι μέσα σε αυτό το όριο και επομένως δεν θα άλλαζε τίποτα στη λύση (ποσότητες παραγωγής). f) Αν υπήρχε περιορισμός στην παραγωγή της Space Ray με ανώτερο όριο τις 300 πλάκες, μπορείτε να προσδιορίσετε τη νέα βέλτιστη λύση. Αν όχι, είναι δυνατόν να δοθεί απάντηση στο αν το κέρδος θα αυξηθεί, θα μειωθεί ή δεν θα μεταβληθεί. Δεν μπορεί να προσδιορισθεί η λύση. Αλλά το κέρδος εφόσον τίθεται ένας νέος περιορισμός ο οποίος περιορίζει την λύση που βρήκαμε δεν είναι δυνατόν να αυξηθεί. Κάθε νέος περιορισμός αφήνει τη λύση αμετάβλητη (αν είναι πλεονάζων) ή δίνει μία λύση με χειρότερο αποτέλεσμα. g) Διατυπώστε το πρόβλημα σε μορφή γραμμικού προγραμματισμού αν υπήρχαν επιπλέον ώρες εργασίας με κόστος 18 ν.μ. την ώρα και επιπλέον πρώτες ύλες με κόστος 3 ν.μ. που θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν. Έστω Υ οι επι πλέον ώρες εργασίας και Ζ οι επιπλέον πρώτες ύλες Τότε θα είχαμε: Αντικειμενική συνάρτηση : 8Χ1 + 5Χ2 18Υ 3Ζ Περιορισμός (1) : 2Χ1 + 1Χ Υ Περιορισμός (2) : 3Χ1 + 4Χ Ζ

3 Πρόβλημα 2 Η Επενδυτικά Έργα Α.Ε., θέλει να επενδύσει τα διαθέσιμα κεφάλαια της που ανέρχονται σε 2 δις για να συμμετάσχει σε κοινοπραξίες που θα εκτελέσουν διάφορα έργα που αναμένεται να ξεκινήσουν σύντομα. Ο παρακάτω πίνακας δίνει την απόδοση των κεφαλαίων που θα επενδυθούν σε κάθε έργο, το ποσοστό κινδύνου για απώλεια κεφαλαίων, το ελάχιστο και μέγιστο ποσό που μπορεί να επενδυθεί σε κάθε έργο, καθώς και το πλήθος των ατόμων της εταιρεία που θα απασχοληθούν. Έργο Απόδοση (%) Κίνδυνος απώλειας κεφαλαίων Ελάχιστο συμμετοχής Μέγιστο Συμμετοχής Αριθμός ατόμων που θα συμμετάσχουν Α 10% 10% 100 εκ. 500 εκ. 4 Β 12% 15% 150 εκ. 500 εκ. 8 Γ 9% 8% 800εκ. - 2 Δ 11% 12% 120 εκ. 500 εκ. 7 Ε 10% 9% 180 εκ 500 εκ. 6 Η εταιρεία διαθέτει 20 άτομα που μπορούν να απασχοληθούν στα έργα στα οποία θα συμμετάσχει, ενώ έχει προσδιορίσει ότι το συνολικό ανεκτό επίπεδο κινδύνου απώλειας κεφαλαίων για όλα τα έργα δεν μπορεί να ξεπεράσει το 5% του συνολικού κεφαλαίου που θα επενδυθεί ή τα 100 εκ. a) Αφού ορίσετε τις μεταβλητές του προβλήματος διαμορφώστε ένα μοντέλο μικτού ακέραιου προγραμματισμού το οποίο θα δίνει απάντηση στο ποίο ποσό θα επενδυθεί σε κάθε έργο (η εταιρεία δεν είναι απαραίτητο να συμμετάσχει σε όλα τα έργα. ΧΑ, ΧΒ, ΧΓ, ΧΔ, ΧΕ μεταβλητές 0/1 που δηλώνουν την επιλογή του αντίστοιχου έργου ΥΑ, ΥΒ, ΥΓ, ΥΔ, ΥΕ το ποσό που θα επενδυθεί σε κάθε έργο. Αντικειμενική συνάρτηση : Μεγιστοποίηση Απόδοσης: 0,1ΥΑ + 0,12ΥΒ + 0,09ΥΓ + 0,11ΥΔ + 0,1ΥΕ Περιορισμοί 1. Σύνδεση Χ και Υ με ελάχιστο και μέγιστο ποσό συμμετοχής ΥΑ <= 500ΧΑ και ΥΑ >= 100ΧΑ Αντίστοιχα και για τα υπόλοιπα Στο Γ που δεν υπάρχει μέγιστο όριο βάζουμε το μέγιστο διαθέσιμο ποσό 2 δις 2. Άτομα 4ΧΑ + 8ΧΒ + 2ΧΓ + 7ΧΔ + 6ΧΕ <= Κίνδυνος 0,1ΥΑ + 0,18ΥΒ + 0,08ΥΓ + 0,12ΥΔ + 0,09ΥΕ <= 100 b) Αν η εταιρεία θέσει ως στόχο την πραγματοποίηση κέρδους 240 εκ. με ανεκτό ρίσκο τα 100 εκ. διαμορφώστε το παραπάνω μοντέλο Γ.Π. σε μοντέλο προγραμματισμού στόχων (goal programming) με ιεράρχηση προτεραιοτήτων την όσο πιο μικρή απόκλιση του στόχου του κέρδους και την πιο μικρή υπέρβαση του στόχου του κινδύνου. Το κέρδος (απόδοση) γίνεται περιορισμός: 0,1ΥΑ + 0,12ΥΒ + 0,09ΥΓ + 0,11ΥΔ + 0,1ΥΕ + d 1 - d 1 + =240 O περιορισμός κινδύνου είναι: 0,1ΥΑ + 0,18ΥΒ + 0,08ΥΓ + 0,12ΥΔ + 0,09ΥΕ + d 2 - d 2 + = 100 Η αντικειμενική συνάρτηση: Ελαχιστοποίηση P1 d Ρ2 d 2 + Οι άλλοι περιορισμοί παραμένουν ως έχουν

4 Πρόβλημα 3 Η Επενδυτικά Έργα Α.Ε., θέλει να επενδύσει τα διαθέσιμα κεφάλαια της που ανέρχονται σε 2 δις για να συμμετάσχει σε κοινοπραξίες που θα εκτελέσουν διάφορα έργα που αναμένεται να ξεκινήσουν σύντομα. Ο παρακάτω πίνακας δίνει την απόδοση των κεφαλαίων που θα επενδυθούν σε κάθε έργο, το ποσοστό κινδύνου για απώλεια κεφαλαίων, το ελάχιστο και μέγιστο ποσό που μπορεί να επενδυθεί σε κάθε έργο, καθώς και το πλήθος των ατόμων της εταιρεία που θα απασχοληθούν. Έργο Απόδοση (%) Κίνδυνος απώλειας κεφαλαίων Ελάχιστο συμμετοχής Μέγιστο Συμμετοχής Αριθμός ατόμων που θα συμμετάσχουν Α 10% 10% 100 εκ. 500 εκ. 4 Β 12% 15% 150 εκ. 500 εκ. 8 Γ 9% 8% 800εκ. - 2 Δ 11% 12% 120 εκ. 500 εκ. 7 Ε 10% 9% 180 εκ 500 εκ. 6 Η εταιρεία διαθέτει 20 άτομα που μπορούν να απασχοληθούν στα έργα στα οποία θα συμμετάσχει, ενώ έχει προσδιορίσει ότι το συνολικό ανεκτό επίπεδο κινδύνου απώλειας κεφαλαίων για όλα τα έργα δεν μπορεί να ξεπεράσει το 5% του συνολικού κεφαλαίου που θα επενδυθεί ή τα 100 εκ. Το μοντέλο μικτού ακέραιου προγραμματισμού το οποίο θα δίνει απάντηση στο ποίο ποσό θα επενδυθεί σε κάθε έργο έχει ως εξής: ΧΑ, ΧΒ, ΧΓ, ΧΔ, ΧΕ μεταβλητές 0/1 που δηλώνουν την επιλογή του αντίστοιχου έργου ΥΑ, ΥΒ, ΥΓ, ΥΔ, ΥΕ το ποσό που θα επενδυθεί σε κάθε έργο. Αντικειμενική συνάρτηση : Μεγιστοποίηση Απόδοσης: 0,1ΥΑ + 0,12ΥΒ + 0,09ΥΓ + 0,11ΥΔ + 0,1ΥΕ Περιορισμοί 4. Σύνδεση Χ και Υ με ελάχιστο και μέγιστο ποσό συμμετοχής ΥΑ <= 500ΧΑ και ΥΑ >= 100ΧΑ, Αντίστοιχα και για τα υπόλοιπα. 5. Άτομα 4ΧΑ + 8ΧΒ + 2ΧΓ + 7ΧΔ + 6ΧΕ <= Κίνδυνος 0,1ΥΑ + 0,18ΥΒ + 0,08ΥΓ + 0,12ΥΔ + 0,09ΥΕ <= 100 Αν η εταιρεία θέσει ως στόχο την πραγματοποίηση κέρδους 240 εκ. με ανεκτό ρίσκο τα 100 εκ. διαμορφώστε το παραπάνω μοντέλο Γ.Π. σε μοντέλο προγραμματισμού στόχων (goal programming) με ιεράρχηση προτεραιοτήτων την όσο πιο μικρή απόκλιση του στόχου του κέρδους και την πιο μικρή υπέρβαση του στόχου του κινδύνου. Ορίζουμε τις αποκλίσεις Δ + 1 και Δ - 1 ως την υπέρβαση ή το έλλειμμα από το στόχο των κερδών και Δ + 2 και Δ - 2 ως την υπέρβαση ή το έλλειμμα από το στόχο του ανεκτού ρίσκου. Προφανώς ενδιαφέρει η ελαχιστοποίηση των αποκλίσεων Δ - 1 και Δ + 2 Επομένως το πρόβλημα διατυπώνεται ως εξής: Αντικειμενική Συνάρτηση Στόχων: Ελαχιστοποίηση Αποκλίσεων Δ Δ + 2 (μπορεί να είναι και με διαφορετική σειρά ανάλογα με την προτεραιότητα κάθε στόχου. Περιορισμοί: Απόδοσης: 0,1ΥΑ + 0,12ΥΒ + 0,09ΥΓ + 0,11ΥΔ + 0,1ΥΕ - Δ Δ - 1 = 240 Ρίσκο: 0,1ΥΑ + 0,18ΥΒ + 0,08ΥΓ + 0,12ΥΔ + 0,09ΥΕ - Δ Δ - 2 = 100 Άτομα: 4ΧΑ + 8ΧΒ + 2ΧΓ + 7ΧΔ + 6ΧΕ <= 20 ΥΑ <= 500ΧΑ και ΥΑ >= 100ΧΑ ΥΒ <= 500Χβ και ΥΒ >= 150ΧΒ ΥΓ >= 800ΧΓ ΥΔ <= 500ΧΔ και ΥΔ >= 120ΧΔ

5 ΥΕ <= 500ΧΕ και ΥΕ >= 180ΧΕ Πρόβλημα 4 Μια οικογένεια διαθέτει 410 στρέμματα καλλιεργήσιμης γης στην περιοχή της Μακεδονίας στην οποία καλλιεργεί καπνό και ρύζι, αλλά ο τοπικός Αγροτικός Συνεταιρισμός περιορίζει το πλήθος των στρεμμάτων που μπορούν να καλλιεργηθούν με ρύζι το πολύ στα 100. Κάθε στρέμμα που καλλιεργείται με καπνό κοστίζει (σπορά, καλλιέργεια, συγκομιδή, κ.λ.π.) κατά μέσο όρο 105 χρηματικές μονάδες, και κάθε στρέμμα ρυζιού 210 χρηματικές μονάδες. Για την τρέχουσα χρονιά, υπάρχει διαθέσιμο ένα κεφάλαιο της τάξης των ευρώ, και η εκτίμηση ότι το κάθε στρέμμα καπνού θα αφήσει κατά μέσο όρο καθαρό κέρδος 300 ευρώ, ενώ, το κάθε στρέμμα ρυζιού 520 ευρώ. a) Διαμορφώστε ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού το οποίο να οδηγεί στην εύρεση του βέλτιστου σχεδίου καλλιέργειας. Εξηγήστε με σαφήνεια τα στοιχεία του. Μεταβλητές. ο αριθμός των στρεμμάτων x1 που θα καλλιεργηθούν με καπνό, x2 που θα καλλιεργηθούν με ρύζι. Στόχος (αντικειμενική συνάρτηση). To καθαρό κέρδος, δηλαδή: maximize Z = 300x x2 Περιορισμοί. Οι περιορισμοί προκύπτουν από την υπάρχουσα συνολική έκταση προς καλλιέργεια: x1 + x2 410 από τον διαθέσιμο προϋπολογισμό: 105x x από την επιτρεπόμενη καλλιεργήσιμη έκταση για ρύζι: x2 100 της μη αρνητικότητας των μεταβλητών: x1, x2 0 Μετά την επίλυση του μοντέλου από τον λύτη του Excel, δημιουργήθηκε η αναφορά ευαισθησίας (sensitivity) που φαίνεται στην κατωτέρω εικόνα. Με βάση τα στοιχεία που περιέχει, απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν. b) Πόση έκταση πρέπει να καλλιεργηθεί από κάθε είδος και πόσο είναι το συνολικό καθαρό κέρδος; Θα μείνει έκταση ακαλλιέργητη και πόση; Θα καλλιεργηθούν όλα τα επιτρεπόμενα εκτάρια ρυζιού; 320 στρέμματα με καπνό και 90 στρέμματα με ρύζι. Το γεγονός αυτό θα έχει ως αποτέλεσμα συνολικά καθαρά κέρδη ύψους = χρηματικών μονάδων. Δεν

6 πρόκειται να μείνει καθόλου ακαλλιέργητη από τη διαθέσιμη γη, ενώ θα μπορούσαν να καλλιεργηθούν ακόμη = 10 στρέμματα ρυζιού c) Ένας γείτονας προσπαθεί να πείσει την οικογένεια του προβλήματος να νοικιάσει τη δική του γη, έκτασης 10 στρεμμάτων, προς 100 χρηματικές μονάδες το στρέμμα. Πιστεύετε ότι πρέπει να δεχθούν; Όπως βλέπουμε στην ανάλυση ευαισθησίας των περιορισμών, η αύξηση της καλλιεργήσιμης γης κατά δέκα στρέμματα βρίσκεται μέσα στο επιτρεπόμενο εύρος αύξησης (Επιτρεπόμενη αύξηση = 90 -δεύτερος περιορισμός-). Η αύξηση αυτή εξασφαλίζει στην οικογένεια του παραδείγματος 80 επιπλέον ευρώ ανά στρέμμα (Σκιώδης τιμή του δεύτερου περιορισμού). Μια και το ενοίκιο ανέρχεται στις 100 το στρέμμα, ΟΧΙ δεν πρέπει να δεχθούν την πρόταση του γείτονα. d) Υποθέστε ότι η οικογένεια του προβλήματος σκέφτεται να πάρει ένα δάνειο 1000 ευρώ ώστε να αυξηθεί το διαθέσιμο κεφάλαιο για τις ανωτέρω καλλιέργειες. Το επιτόκιο ανέρχεται στο 8%. Τι τους συμβουλεύετε; Όπως βλέπουμε στην ανάλυση ευαισθησίας των περιορισμών, η αύξηση του κεφαλαίου κατά 1000 χρηματικές μονάδες βρίσκεται μέσα στο επιτρεπόμενο εύρος αύξησης (Επιτρεπόμενη αύξηση = πρώτος περιορισμός-).σύμφωνα με την ανάλυση ευαισθησίας του πρώτου περιορισμού, κάθε επιπλέον ευρώ στο διαθέσιμο κεφάλαιο, αυξάνει το συνολικό καθαρό κέρδος κατά 2,095. Κάθε ευρώ που δανείζεται κοστίζει μόλις 0,08 ευρώ (8%), άρα η οικογένεια του παραδείγματος ΠΡΕΠΕΙ να προχωρήσει στην προτεινόμενη δανειοδότηση. Πρόβλημα 5 Κατασκευαστική εταιρεία με ένα εκτενή φάκελο έργων πρέπει να αντλήσει κεφάλαια με δανεισμό για τη συνέχιση των έργων και των λειτουργιών της. Δεδομένου ότι οι τράπεζες έχουν περιορίσει το δανεισμό μπορεί να βρεθεί στην ανάγκη να χρησιμοποιήσει περισσότερες από μία τράπεζες για να δανεισθεί. Από την άλλη πλευρά η διαδικασία ανοίγματος φακέλου δανείου κοστίζει και το κόστος είναι σταθερά ανεξάρτητα του ύψους του δανείου. Κατά μέσο όρο τα έξοδα του φακέλου του δανείου ανέρχονται σε περίπου 5,000 ευρώ. Μετά από έρευνα της αγοράς έχουν προσδιορισθεί τα επιτόκια των τραπεζών ανά τύπο έργου και τα ποσά δανείου που είναι διαθέσιμες να χορηγήσουν : Τύπος Έργου ΔΕΛΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΑ ΘΕΣΣΑΛΙΚΗ ΝΕΑ Απαιτούμενα Ποσά Εθνικής Οδοποιίας 12% 9% 10% 11% 1,400,000 Περιφερειακά Οδοποιίας 7% 9% 8% 9% 800,000 Εμπορικό Κέντρο 13% 14% 12% 13% 1,000,000 Λειτουργικά Κεφάλαια 14% 15% 16% 11% 300,000 Ανώτατο Ύψος Δανείου 1,300,000 1,000,000 1,200, ,000 a) Ορίστε και περιγράψτε με σαφήνεια τις μεταβλητές που χρησιμοποιείτε. Έστω i=α,β,γ,δ οι τέσσερεις διαφορετικοί τύποι δανείων και j=1,2,3,4 οι τέσσερες τράπεζες Χ1, Χ2, Χ3, Χ4 μεταβλητές τύπου 0/1 για κάθε τράπεζα. Τιμή 1 αν επιλεγεί η συγκεκριμένη τράπεζα, ή 0 αν όχι. Υij = το ποσό δανεισμού για δάνειο κατηγορίας i από την j τράπεζα. Π.χ. Υ Α2 το ποσό δανεισμού για έργα εθνικής οδοποιίας από την Πανελλήνια τράπεζα. b) Αναπτύξετε ένα γραμμικό μοντέλο που να στοχεύει στη μείωση του συνολικού κόστους δανεισμού για ένα χρόνο συμπεριλαμβανομένου και των εξόδων του φακέλου δανείου. Αντικειμενική συνάρτηση: Μείωση Συνολικού Κόστος (Τόκων και εξόδων φακέλου). Ελαχιστοποίηση 0,12Υ Α1 + 0,09Y A2 + 0,10Y A3 + 0,11Y A4 + 0,07Υ Β1 + 0,09Y Β2 + 0,08Y Β3 + 0,09Y Β4 + 0,13Υ Γ1 + 0,14Y Γ2 + 0,12Y Γ3 + 0,13Y Γ4 + 0,14Υ Δ1 + 0,15Y Δ2 + 0,16Y Δ3 + 0,11Y Δ4 + 50X X X X 4 Τόκοι Κόστος Φακέλων Δανείου

7 Περιορισμοί: Συνολικός δανεισμός ανά τράπεζα: Υ Α1 + Υ Β1 + Υ Γ1 + Υ Δ1 <= Χ 1 Υ Α2 + Υ Β2 + Υ Γ2 + Υ Δ2 <= Χ 2 Υ Α3 + Υ Β3 + Υ Γ3 + Υ Δ3 <= Χ 3 Υ Α4 + Υ Β4 + Υ Γ4 + Υ Δ4 <= Χ 4 Συνολικός ποσό ανά τύπο δανείου: Υ Α1 + Y A2 + Y A3 + Y A4 >= Υ Β1 + Y Β2 + Y Β3 + Y Β4 >= Υ Γ1 + Y Γ2 + Y Γ3 + Y Γ4 >= Υ Δ1 + Y Δ2 + Y Δ3 + Y Δ4 >= c) Στην περίπτωση που οι τράπεζες δεν χορηγούν δάνειο για Λειτουργικά Κεφάλαια εκτός και αν υπάρξει και αντίστοιχο δάνειο έστω και για ένα τύπο έργου, πως θα διαμορφώνατε το μοντέλο που αναπτύξατε στο προηγούμενο βήμα. Επιπλέον περιορισμοί: Υ Δ1 <= Υ Α1 + Υ Β1 + Υ Γ1 Υ Δ2 <= Υ Α2 + Υ Β2 + Υ Γ2 Υ Δ3 <= Υ Α3 + Υ Β3 + Υ Γ3 Υ Δ4 <= Υ Α4 + Υ Β4 + Υ Γ4