ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

Transcript

1 ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος χρειάζεται κατά μέσο όρο 2 λεπτά για την εξυπηρέτηση ενός δέματος (δηλαδή για την ταξινόμηση του δέματος και την κατάλληλη προώθησή του) ενώ ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί εκθετική κατανομή. Κάθε υπάλληλος αμείβεται με 6 ευρώ ανά ώρα. Η εταιρεία εκτιμά ότι η παραμονή ενός δέματος στην αναμονή ή στην εξυπηρέτηση κοστίζει ευρώ ανά λεπτό. Ερώτημα Α Η διοίκηση της επιχείρησης επιθυμεί να προσδιορίσει τον αριθμό των υπαλλήλων που πρέπει να διαθέτει έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται το συνολικό λειτουργικό κόστος (μισθολογικό + αναμονής και εξυπηρέτησης δέματος) της αποθήκης ανά λεπτό. Ερώτημα Β Αφού καταλήξει στον βέλτιστο αριθμό υπαλλήλων θέλει να προσδιορίσει τα παρακάτω μέτρα απόδοσης για την αποθήκη: 1. Βαθμός απασχόλησης του συστήματος εξυπηρέτησης. 2. Μέσος αριθμός δεμάτων σε αναμονή. 3. Μέσος αριθμός δεμάτων σε αναμονή και σε εξυπηρέτηση. 4. Μέσος χρόνος παραμονής ενός δέματος στην ουρά. 5. Μέσος χρόνος παραμονής ενός δέματος μέχρι και την ολοκλήρωση της ταξινόμησής του. 6. Την πιθανότητα ένα δέμα που φθάνει να ταξινομηθεί άμεσα; Υπόδειξη: Για να απαντήσετε στα ερωτήματα είναι απολύτως απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε ως στοιχειώδη μονάδα μέτρησης του χρόνου το ένα λεπτό. Στους υπολογισμούς σας, είτε να διατηρείτε κλασματικούς αριθμούς, είτε να διατηρείτε τουλάχιστον τέσσερα (4) δεκαδικά ψηφία. Κάθε τύπο που χρησιμοποιείτε να τον παραθέσετε με σαφήνεια και στη συνέχεια να αντικαθιστάτε στους τύπους τις αριθμητικές τιμές ώστε να κάνετε τους υπολογισμούς. 1

2 ΛΥΣΗ Ερώτημα A Για σύστημα Μ/Μ/1. Ο μέσος αριθμός άφιξης των δεμάτων είναι λ=0,6667 δέματα /λεπτό Ο μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης των δεμάτων είναι. C 0,1 και Cw Βαθμός απασχόλησης υπαλλήλου 0, 6667 Ισχύει p 1, δηλαδή και δεν ικανοποιείται το απαραίτητο κριτήριο έτσι ώστε το συγκεκριμένο σύστημα να εξυπηρετεί. Άρα μπορούμε να προχωρήσουμε στους παρακάτω υπολογισμούς. Βρίσκουμε το συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήματος για =2 υπαλλήλους P0 P0 0,20 2 0, , , ! 2! 2 0, 6667 και ,6667 L P L q 0 q 1! 2 1! 2 0, =1,066 Άρα TC C L C S 1,4002 /λεπτό. W S Βρίσκουμε το συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήματος για =3υπαλλήλους. 2

3 1 1 P0 P , , , ! 3! 3 2! 3! 3 0, 6667 P 0, / P ! 30, Lq TC C L C 1,0280 w 3 0, ,6667 0, ,1225 Βρίσκουμε το συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήματος για =4υπαλλήλους. 1 P ! 3! 4! 4 1 P , , , , ! 3! 4! 4 0, , , ,6667 Lq 0, ,1186 / P ! 40, TC C L C 1,1260 w Από την θεωρία όμως η καμπύλη του συνολικού κόστους λειτουργίας είναι κυρτή, και επομένως έχει ένα ακρότατο σημείο στο οποίο παρουσιάζει ελάχιστο Στην περίπτωση μας το ελάχιστο ΤC παρουσιάζεται για =3 Άρα θα προτιμήσει το σύστημα με =3 υπαλλήλους. Ερώτημα Β Βαθμός απασχόλησης υπαλλήλου 3

4 0, , , ,6667 / 2. Lq P 2 0 0, , ! 40,6667 0, L L Q 0,1225 1, Lq 0,1225 Wq 0,1778 0, W 6. L 1, , , PW P0 PW 0, , 284! 3! 3 0, P W 1 0,284=0,716 4

5 ΑΣΚΗΣΗ 2 Η Εύα κάθε μεσημέρι γευματίζει σ ένα συγκεκριμένο εστιατόριο (γρήγορης εξυπηρέτησης). Λόγω βάρους κι επιπέδων χοληστερόλης πρέπει να ελέγχει τη διατροφή της (όπως και ο καθένας μας) και την τρέχουσα περίοδο είναι σε αυστηρή δίαιτα. Υπάρχουν δύο εναλλακτικές προτάσεις γεύματος (όχι αποκλειόμενες μεταξύ τους), ας τις ονομάσουμε γεύμα τύπου Α (π.χ. πιάτο με λευκό κρέας) και γεύμα τύπου Β (π.χ. πιάτο με ζυμαρικά), και πρέπει να διαλέξει τον κατάλληλο συνδυασμό από αυτές τις προτάσεις. Διαβάζοντας, πληροφορείται ότι μια μερίδα Α ζυγίζει 37 γραμμάρια, δίνει 120 θερμίδες και 5 γραμμάρια λιπαρά. Μία μερίδα Β ζυγίζει 65 γραμμάρια, δίνει 160 θερμίδες και 10 γραμμάρια λιπαρά. Επίσης, κάθε γεύμα έχει έναν δείκτη γευστικότητας από για κάθε γραμμάριο φαγητού. Η Εύα, βαθμολογεί με 85 μονάδες γευστικότητας κάθε γραμμάριο γεύματος τύπου Α και με 95 μονάδες κάθε γραμμάριο γεύματος τύπου Β. Η συνολική γευστικότητα που απολαμβάνει προκύπτει από το άθροισμα των επιμέρους. Η Εύα, σε ημερήσια βάση, έχει περιθώριο να καταναλώσει το πολύ 450 θερμίδες και μέχρι 25 γραμμάρια λίπους ενώ πρέπει να πάρει τουλάχιστον 120 γραμμάρια φαγητού. Ερώτημα 1. Υποθέτοντας ότι μπορεί να καταναλώνει και κλασματικές μερίδες γεύματος (οι μεταβλητές απόφασης είναι μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί), να διαμορφώσετε το κατάλληλο μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού για να απαντήσετε στο ερώτημα «πόσες μερίδες κάθε τύπου πρέπει να τρώει η Εύα σε ημερήσια βάση έτσι ώστε να ικανοποιεί τους διατροφικούς περιορισμούς και να μεγιστοποιεί τις συνολικές μονάδες του δείκτη γευστικότητας». Να εξηγήσετε με σαφήνεια τις μεταβλητές απόφασης που χρησιμοποιείτε, την αντικειμενική συνάρτηση και το φυσικό νόημα των περιορισμών του μοντέλου που θα κατασκευάσετε. Ερώτημα 2. Χρησιμοποιείστε τη γραφική μέθοδο για να σκιαγραφήσετε την εφικτή περιοχή και να βρείτε τη βέλτιστη λύση και την άριστη τιμή του μοντέλου που διαμορφώσατε. Να εξηγήσετε με πληρότητα και σαφήνεια πώς προκύπτει ο χώρος των εφικτών λύσεων και πώς υπολογίζεται η άριστη τιμή του μοντέλου που διαμορφώσατε. Να διατυπώσετε με σαφήνεια τα αποτελέσματα της επίλυσης και να δώσετε τις ημερήσιες τιμές των γραμμαρίων συνολικής τροφής που θα καταναλώσει, των συνολικών θερμίδων καθώς και των γραμμαρίων συνολικού λίπους που προσλαμβάνει η Εύα στην άριστη λύση ΛΥΣΗ Ερώτημα 1 ΜΟΝΤΕΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ α) Προϊόντα Α τύπος γεύματος Κατανάλωση μερίδες Χ1 Β τύπος γεύματος Χ2 κέρδος ανά προϊόν 8537 X X 2 Συνολικό κέρδος Z X X 2 (μονάδες γεευστικότητας) αντικειμενική συνάρτηση Σκοπός είναι η μεγιστοποίηση του κέρδους 5

6 ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΙ ΘΕΡΜΙΔΕΣ 5 3,75 2,81 120X 160X 450(1) 1 2 ΛΙΠΑΡΑ 5X 10X ,24 1,84 ΤΡΟΦΗ 37X 65X 120 gr(3) 1 2 Για να βρω τις ευθείες των ανισώσεων στο σχήμα, διαιρώ τους συντελεστές των Χ 1, Χ 2 με την ανίσωση ; 2,85 3, 75 και μηδενίζω το Χ 1, Χ 2 και βάζω στο διάγραμμα τις αντίστοιχες τιμές Ερώτημα 2 Χ 2 3,14 2,81 2,5 1,84 Β Α (3) Γ Ε 0 3,24 (2) Δ 3,75 5 6,1 Χ 1 Ζ 6

7 Γραμμοσκιάζω την περιοχή λύσεων ΑΒΓΔΕ και σχεδιάζω την αντικειμενική ευθεία Ζ την οποία μετακινώ παράλληλα. Το σημείο Γ που συναντά (της περιοχής λύσεων) είναι το ζητούμενο Λύνω: 5x 10x 25 x 2,5 x x 160 2,5 x x x x1 1,25 40 x 2,5 x x 1, Με μέγιστο Z 15509,38 ΘΕΜΑ 3 Ο Σε μια βιομηχανία χάρτου, η παραγόμενη μονάδα προϊόντος είναι χαρτί διαστάσεων μέτρων (δηλαδή 100 τετραγωνικών μέτρων) το οποίο συσκευάζεται σε μορφή κυλίνδρου. Η μονάδα ποιοτικού ελέγχου του εργοστασίου διαπίστωσε ότι ο αριθμός των ελαττωμάτων (στίγματα) στο χαρτί περιγράφονται από την κατανομή Poion με μέσο όρο εμφάνισης 0,035 στίγματα ανά τετραγωνικό μέτρο. A. Σε έναν τυχαία επιλεγμένο κύλινδρο: i. Ποια η πιθανότητα να υπάρχουν τουλάχιστον 3 στίγματα; ii. Ποια είναι η πιθανότητα, ο αριθμός των στιγμάτων να βρίσκεται εντός του διαστήματος [μ σ, μ+σ] (όπου μ είναι αναμενόμενος αριθμός και σ η τυπική απόκλιση των στιγμάτων); B. Κάθε κύλινδρος χαρτιού (ανεξάρτητα από τους άλλους) ο οποίος έχει 6 ή περισσότερα στίγματα χαρακτηρίζεται ως μη αποδεκτής ποιότητας. Οι κύλινδροι χαρτιού συσκευάζονται σε παλέτες των 10 (κυλίνδρων) και κατόπιν προωθούνται στην αγορά προς πώληση. Μια παλέτα (ανεξάρτητη από κάθε άλλη παλέτα) χαρακτηρίζεται ως μη αποδεκτή από έναν πελάτη, αν έχει τουλάχιστον τρεις (από τους δέκα) κυλίνδρους να είναι μη αποδεκτής ποιότητας. i. Ποιος είναι ο αναμενόμενος αριθμός των μη αποδεκτών κυλίνδρων σε μια παλέτα; 7

8 ii. Ποια η πιθανότητα, μια τυχαία επιλεγμένη παλέτα να είναι μη αποδεκτή από τον πελάτη; Γ. Αν το καθαρό βάρος των παλετών ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή 60,2 Kgr με τυπική απόκλιση 0,6 Kgr, να υπολογιστεί η πιθανότητα μια τυχαία επιλεγμένη παλέτα να ζυγίζει: i. περισσότερο από 59 Kgr και λιγότερο από 61,4 Kgr. ii. το πολύ 61,4 Kgr. iii. τουλάχιστον 59 Kgr. Α).1. Πρόκειται για κατανομή Poion με τυχαία μεταβλητή Χ= ο αριθμός των στιγμάτων. Ισχύει ότι υπάρχουν 0,035 στίγματα στο 1τμ x; στα 100τμ x 0, ,5 ί Άρα λ=3,5 στίγματα στον κύλινδρο. P( X 3) 1 P( X 3) Βρίσκω το P( X 3) P( X 0) P( X 1) P( X 2) 3,5 0 e 3,5 PX ( 0) 0, 03 0! 3,5 1 e 3,5 PX ( 1) 0,1056 1! 3,5 2 e 3,5 PX ( 2) 0,1849 2! Άρα PX ( 3) 0,3205 Άρα PX ( 3) 10,3205 0,6794 2). Η τυπική απόκλιση είναι 3,5 1,87 Άρα ζητάμε το P(3,5 1,87 X 3,5 1,87) P (1,63 X 5,37) Δηλαδή πρέπει να υπάρχουν Χ=2 ή Χ=3, Χ=4 ή Χ=5 στίγματα. Άρα PX ( 2) 0,1849 3,5 3 e 3,5 PX ( 3) 0, ! 8

9 3,5 4 e 3,5 PX ( 4) 0,1888 4! 3,5 5 e 3,5 PX ( 5) 0,1321 5! Ά P(2 X 5) 0, 7215 Β). Πρόκειται για διωνυμική κατανομή με τυχαία μεταβλητή Χ= ο αριθμός των μη αποδεκτών παλετών. i. Ο αναμενόμενος αριθμός είναι E( X ) np Το p = πιθανότητα ο κύλινδρος να είναι μη αποδεκτός δηλαδή p P X 6 προηγούμενη κατανομή Poion. Άρα p X 6 1 p X 6 Βρίσκω: PX ( 0) 0, 03 PX ( 1) 0,1056 PX ( 2) 0,1849 PX ( 3) 0, 2157 PX ( 4) 0,1888 PX ( 5) 0,1321 στην i. Άρα PX ( 6) 10,8571 0,1428 0,143 και ο αναμενόμενος αριθμός είναι E( X ) np =10*0,143=1,43 κύλινδροι ii) Άρα στην διωνυμική κατανομή: P( X 3) n 10, p 0,143, q 0,857 Άρα P( X 3) 1 P( X 3). Υπολογίζω PX 10! 0!(10 0)! 0 10 ( 0) 0,143 0,857 0, 2137 PX 10! 1!(10 1)! ( 1) 0,143 0, ,1430,857 0,3565 PX 10! 910 2! 10 2! ( 2) 0,143 0,857 0,143 0,857 0, 2677 Ά P( X 3) 1 0,8380 0,1619 9

10 Γ). i ,2 61,4 60,2 P(59 X 61, 4) P Z 0,6 0,6 P( 2 Z 2) (2) ( 2) 0,9772 0, ,9544 ii. 61,4 60,2 P( X 61, 4) PZ PZ 2 (2) 0,9772 0,6 iii , 2 P( X 59) PZ PZ , ,9772 0,6 ΘΕΜΑ 4 Ο Σε ένα εργοστάσιο οι μηχανές Α, Β και Γ παράγουν το 25%, το 35% και το 40% της συνολικής παραγωγής αντίστοιχα. Μετά από έλεγχο διαπιστώθηκε ότι το 5% των παραγόμενων τεμαχίων από τη μηχανή Α, το 4% των παραγόμενων τεμαχίων από τη μηχανή Β και το 2% των παραγόμενων τεμαχίων από τη μηχανή Γ είναι ελαττωματικά. α. Ένα από τα τεμάχια που έχουν παραχθεί λαμβάνεται τυχαία. Ποια η πιθανότητα να μην είναι ελαττωματικό; β. Ένα από τα τεμάχια που έχουν παραχθεί λαμβάνεται τυχαία και βρίσκεται ελαττωματικό. Ποια η πιθανότητα να έχει παραχθεί από την μηχανή Β; ΛΥΣΗ Οριζω τά ενδεχόμενα Ε: ελαττωματικό τεμάχιο Τα γεγονότα Α, Β, Γ είναι ασυμβίβαστα γιατί ένα τεμάχιο προέρχεται από μια εκ των Α, Β, Γ μηχανών. Το γεγονός Ε μπορεί να συμβαίνει συγχρόνως με καθένα από τα ασυμβίβαστα γεγονότα. Δίνονται PA ( ) 0, 25 PB ( ) 0,35 P( ) 0, 40 P E / A 0,05 P E / B 0,04 P E/ 0,02 10

11 Οι πληροφορίες παριστάνονται στο εξής δέντρο πιθανοτήτων P(E/A)=0,05 P(A)=0,25 P(Β)=0,35 P(E /A)=0,95 P(E/Β)=0,04 P(E /Β)=0,96 P(Γ)=0,40 P(E/Γ)=0,02 P(E /Γ)=0,98 α) Ζητείται το PE 1 Τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ αποτελούν διαμέριση του δειγματικού χώρου Ω του πειράματος τύχης (επιλογή ενός τεμαχίου). Εφαρμόζοντας το θεώρημα ολικής πιθανότητας βρίσκουμε E PE / AP( A) PE / BPB P E / P PE 0,05 0,25 0,04 0,35 0,02 0,40 PE 0, , 014 0, 008 0, 0345 Άρα PE 1 0,0345 0,9655 β) Ζητείται PB / E. Από τον τύπο Baye ισχύει: PE / B PB 0,04 0,35 0,014 PB / E 0, 405 P E 0, , 0345 : 11

12 12