Υποστήριξη αποφάσεων για την επιλογή έργων και προγραμμάτων

Transcript

1 Γεωπονικό Πανεπιστήμιο ΜΠΣ Ολοκληρωμένη Ανάπτυξη & Διαχείριση του Αγροτικού Χώρου Υποστήριξη αποφάσεων για την επιλογή έργων και προγραμμάτων Γιώργος Μαυρωτάς, Δανάη Διακουλάκη Εργαστήριο Βιομηχανικής & Ενεργειακής Οικονομίας Σχολή Χημικών Μηχανικών, EΜΠ

2 Περιεχόμενα Πολυκριτηριακή υποστήριξη αποφάσεων Δόμηση προβλημάτων Τυπολογία προβλημάτων Κατηγορίες μεθόδων Πολυκριτηριακή αξιολόγηση έργων υπό περιορισμούς Μεθοδολογικά εργαλεία Παράδειγμα

3 Χαρακτηριστικά στρατηγικών αποφάσεων Χαμηλός βαθμός δόμησης του προβλήματος Δεν είναι πάντοτε γνωστή η φύση του προβλήματος, οι τρόποι αντιμετώπισης και οι επιπτώσεις τους. Πολλές εναλλακτικές επιλογές Δεδομένες εκ των προτέρων ή αναγκαίο να προσδιορισθούν Πολλές συνέπειες και διαστάσεις αξιολόγησης Δεδομένες εκ των προτέρων ή αναγκαίο να προσδιορισθούν Βραχυπρόθεσμες & μακροπρόθεσμες Πολλοί εμπλεκόμενοι ή ενδιαφερόμενοι για την απόφαση Αντιτιθέμενες επιδιώξεις, σύγκρουση συμφερόντων Υψηλός βαθμός αβεβαιότητας

4 Η πολυκριτηριακή ανάλυση στην υποστήριξη αποφάσεων Παρέχει το θεωρητικό υπόβαθρο και το μεθοδολογικό πλαίσιο για τη συστηματική αντιμετώπιση διλημμάτων μεταξύ εναλλακτικών επιλογών: Συμβιβασμός μεταξύ περισσότερων αντιτιθέμενων στόχων Συγκερασμός επιδιώξεων διαφορετικών κέντρων απόφασης Στηρίζεται στη χρήση μοντέλων για τον προσδιορισμό και τη μαθηματική απεικόνιση Των συνθηκών στις οποίες λαμβάνεται η απόφαση Των προτιμήσεων του αποφασίζοντα Της αβεβαιότητας σε σχέση με τις εξωτερικές συνθήκες και τη στάση του αποφασίζοντα

5 Στόχοι πολυκριτηριακής υποστήριξης αποφάσεων Η πολυκριτηριακή υποστήριξη αποφάσεων δεν εστιάζει την προσοχή μόνο στη διαδικασία επίλυσης. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται: Στο στάδιο δόμησης του προβλήματος (pre-decision stage): Στό στάδιο ανάλυσης των αποτελεσμάτων (post-decision stage) Τόσο η απεικόνιση του προβλήματος όσο και η πορεία επίλυσης εξαρτώνται από τον αποφασίζοντα. Το μοντέλο αποτελεί εργαλείο υποστήριξης της απόφασης και όχι μέσο παραγωγής της λύσης Η συνολική διαδικασία υποβοηθά τον αποφασίζοντα στην καλύτερη κατανόηση της φύσης του προβλήματος, των δικών του επιδιώξεων και των συνεπειών της απόφασης του.

6 Δόμηση προβλημάτων Το πλαίσιο δόμησης CAUSE Criteria: Ποιες είναι οι διαστάσεις αξιολόγησης των επιλογών Alternatives: Ποιες είναι οι διαθέσιμες επιλογές Uncertainties: Ποιες αβεβαιότητες υπεισέρχονται στο πρόβλημα Stakeholders: Ποιοι είναι οι εμπλεκόμενοι στην απόφαση Environment: Ποιες συνθήκες χαρακτηρίζουν το πλαίσιο της απόφασης

7 Στόχοι και κριτήρια Στόχοι: οι γενικότερες επιδιώξεις του αποφασίζοντα Κριτήρια: οι επιμέρους διαστάσεις αξιολόγησης του βαθμού επίτευξης του στόχου Ο προσδιορισμός στόχων και κριτηρίων ακολουθεί μία δενδροειδή ανάλυση (value tree) Προσδιορίζεται κατ αρχήν η γενικότερη επιδίωξη του αποφασίζοντα Η επιδίωξη αυτή αναλύεται σε επιμέρους στόχους. Κάθε στόχος μπορεί να αναλυθεί σε δύο ή περισσότερους υποστόχους ή κριτήρια. Τα κριτήρια αποτελούν το κατώτατο επίπεδο του δένδρου και επιτρέπουν την αξιολόγηση κάθε επιλογής στη βάση μίας ποσοτικής ή ποιοτικής κλίμακας.

8 Παράδειγμα δενδροειδούς ανάλυσης Κάλυψη αρδευτικών αναγκών περιοχής Τεχνική επάρκεια Οικονομική ελκυστικότητα Προστασία Περιβάλλοντος Τεχνική αξιοπιστία Τεχνική απόδοση Κεφαλ. απαιτήσεις Οικ. απόδοση Αισθητική Φυσικά οικοσυστήματα Κόστος επένδυσης Ατμόσφαιρα Αξιοπιστία επενδυτή Νερά Καλλιέργειες

9 Σύγκρουση στόχων και συμβιβασμός Τοστοιχείοτηςσύγκρουσηςστόχων(conflict) είναι η ουσία των προβλημάτων λήψης απόφασης. Η προσέγγιση ενός στόχου συνεπάγεται την απομάκρυνση από έναν ή περισσότερους άλλους στόχους. Δεν είναι δυνατή η ταυτόχρονη ικανοποίηση όλων των στόχων. Δεν υπάρχει μία και μοναδική άριστη λύση του προβλήματος Η λήψη απόφασης για την επιλογή μίας από τις διαθέσιμες λύσεις προϋποθέτει συμβιβασμό (compromise) των επιδιώξεων του αποφασίζοντα. Πρέπει να απομακρυνθεί από την ικανοποίηση ενός στόχου για να επιτύχει καλύτερη επίδοση σε έναν άλλον (trade-offs). Η λύση που επιλέγεται αντικατοπτρίζει το σύστημα αξιών του αποφασίζοντα. Kάθε αποφασίζων μπορεί να καταλήξει σε διαφορετική λύση. Αναγκαίος και ο συμβιβασμός (consensus) μεταξύ πολλών αποφασιζόντων

10 ΠΚA διακριτών λύσεων (evaluation matrix) ΕΠΙΛΟΓΕΣ ΚΡΙΤΗΡΙΑ Κ 1 Κ 2... Κ N E 1 g 11 g g 1N E 2 g 21 g g 2N E M g M1 g M2... g MN Σε κάθε κριτήριο διαφορετική λύση εμφανίζει βέλτιστη επίδοση: Στο κριτήριο Κ 1 ηλύσηε Μ, Στο κριτήριο Κ 2 ηλύσηε 1, κ.ο.κ.

11 Πολυκριτηριακή Ανάλυση

12 Τυπολογία προβλημάτων πολυκριτηριακής ανάλυσης Διακριτό σύνολο επιλογών Επιλογή μίας από το σύνολο (choice problematique) Ιεράρχηση του συνόλου (ranking problematique) Ταξινόμηση του συνόλου σε ιεραρχικά κατατασσόμενες ομάδες (classification problematique) Προσδιορισμός χαρτοφυλακίου (portfolio problematique) Συνεχές σύνολο επιλογών Προσδιορισμός ενός ή περισσοτέρων συνδυασμών μεταβλητών απόφασης με βάση: Ένα σύνολο περιορισμών Περισσότερους αλληλοσυγκρουόμενους στόχους (Αντ. Συναρτήσεις)

13 Το πρόβλημα της επιλογής Το σύνολο των επιλογών, π.χ. υποψήφιες θέσεις για χωροθέτηση μονάδας Ηβέλτιστηθέση

14 Το πρόβλημα της ιεράρχησης Το σύνολο των επιλογών, π.χ. υποψήφιοι στο ΜΠΣ 1ος 2ος 3ος 4ος ν-στος

15 Το πρόβλημα της ταξινόμησης Το σύνολο των επιλογών, π.χ. υποψήφια έργα ΧΩΡΙΣ χρηματοδοτικό περιορισμό Εγκρίνονται Αναπληρωματικά Απορρίπτονται

16 Το πρόβλημα του χαρτοφυλακίου Το σύνολο των επιλογών, π.χ. υποψήφια έργα ΜΕ χρηματοδοτικό περιορισμό 1ος 2ος 3ος 4ος budget ν-στος

17 Συνεχές σύνολο επιλογών Μαθηματικός Προγραμματισμός με περισσότερες από μία αντικειμενικές συναρτήσεις (Πολυκριτηριακός προγραμματισμός) max Χ2 max 3X1 X2 s.t X1 + X X X X X2 6.5 X1 - X X1 + X2 2 x O A (α) Χώρος μεταβλητών απόφασης B C x 1 F f 1 D E f 2

18 Κατά Pareto άριστες λύεσεις Κάθε λύση για την οποία η βελτίωση μιας αντικειμενικής συνάρτησης συνεπάγεται τη χειροτέρευση μιας τουλάχιστον από τις υπόλοιπες αντικειμενικές συναρτήσεις Δύο φάσεις Εύρεση των κατά Pareto άριστων λύσεων Επιλογή από αυτές της προτιμότερης

19 Κατηγορίες μεθόδων ΠΚΑ Ανάλυση διακριτών επιλογών Ο αποφασίζων καλείται να αξιολογήσει δεδομένες εναλλακτικές επιλογέςκαιναεπιλέξειμεταξύτους, να τις ιεραρχήσει ή να τις ταξινομήσει με βάση τις επιδόσεις τους στα κριτήρια και σύμφωνα με τις προτιμήσεις του. Μέθοδοι πολυκριτηριακής θεωρίας χρησιμότητας (Multi-Attribute Utility Theory): στηρίζονται στη σύνθεση των επιδόσεων στη βάση της θεωρία της χρησιμότητας. Mέθοδοι σχέσεων υπεροχής (outranking approaches): στηρίζονται σε δυαδικές συγκρίσεις των επιλογών και στη διατύπωση σχέσεων υπεροχής.

20 ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΕΠΙΔΟΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Οι μέθοδοι σύνθεσης στηρίζονται στη θεωρία της χρησιμότητας Η χρησιμότητα του πιο επιθυμητού αποτελέσματος: 1 Η χρησιμότητα του λιγότερο επιθυμητού αποτελέσματος: 0 Σε κάθε κριτήριο οι επιδόσεις των επιλογών ανάγονται στην κλίμακα [0,1] ανάλογα με τον τύπο της συνάρτησης χρησιμότητας που επιλέγεται: Αποστροφή στον κίνδυνο Ροπή προς τον κίνδυνο Ουδετερότητα uj(ai) uj(ai) 0 fj(ai) uj(ai) 0 fj(ai) 0 fj(ai) Οι μη γραμμικές συναρτήσεις χρησιμότητας επιτρέπουν τη διασπορά ή συγκέντρωση των επιδόσεων ανάλογα με τις προτιμήσεις του αποφασίζοντα.

21 ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ Η απλούστερη συνάρτηση χρησιμότητας είναι η γραμμική: fjmax: η μέγιστη των επιδόσεων στο κριτήριο fj fjmin: η ελάχιστη των επιδόσεων στο κριτήριο fj fj(ai): ηεπίδοσητηςεπιλογήςαi στο κριτήριο fj Αν η επιθυμητή κατεύθυνση είναι η μεγιστοποίηση: fj(ai) -fjmin uj(αi) = fjmax -fjmin Αν η επιθυμητή κατεύθυνση είναι η ελαχιστοποίηση: fjmax - fj(ai) uj(αi) = fjmax -fjmin Στην περίπτωση ενός κριτηρίου fj ο αποφασίζων επιλέγει τη λύση Ai με τη μεγαλύτερη χρησιμότητα uj. Στην περίπτωση περισσότερων αλληλοσυγκρουόμενων κριτηρίων ο αποφασίζων επιλέγει τη λύση με τη μεγαλύτερη συνολική χρησιμότητα.

22 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ y i Μεγιστοποίηση: cxi max min 1 e f f = j j 1 c e Ελαχιστοποίηση: x i x i = = f j f (A max j f i max j ) f - f j f min j (A i min j ) c > 0 c < 0 c = y 1 1 y 0 x y x 1 x 1

23 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΧΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑΣ (2) c = 5 c = c = -2 c = y i 1 e = 1 e cx c i

24 ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΠΙΔΟΣΕΩΝ Η συνολική χρησιμότητα U(Ai) κάθε επιλογής i υπολογίζεται λαμβάνοντας υπόψη τις επιδόσεις της σε όλα τα κριτήρια και το σύστημα αξιών του αποφασίζοντα που εκφράζεται μέσω των συντελεστών βαρύτητας. Η συνηθέστερη προσέγγιση σύνθεσης είναι το αθροιστικό μοντέλο: U(Α i ) = Σ w j [u j (A i )] j=1, 2,... M, w j =συντελεστές βαρύτητας Oι μέθοδοι σύνθεσης επιδόσεων δέχονται ένα κλασσικό μοντέλο έκφρασης προτιμήσεων που αναγνωρίζει δύο μόνο δυνατές καταστάσεις: Κατάσταση αδιαφορίας (I): A i Ι A k αν U(A i )= U(A k ) Κατάσταση προτίμησης (P): A i Ρ A k αν U(A i ) >U(A k ) Προκύπτει μία πλήρης κατάταξη των εναλλακτικών επιλογών

25 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Επιλογή εξοπλισμού ΕΠΙΛΟΓΕΣ C1: κόστος επένδυσης (χιλ. ) C2: χρόνος επεξεργασίας (min) C3: κόστος λειτουργίας (χιλ. ) C4: απόδοση προΐόντος (%) Α Β C D Ε ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΡΟΤΙΜΗΣΕΩΝ w c

26 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Επίλυση με σταθμισμένο άθροισμα Πίνακας με γραμμικές επιδόσεις (l ij ) Συνολική επίδοση Α Β C D Ε Πίνακας με τελικές επιδόσεις (u ij ) Συνολική επίδοση Α Β C D Ε

27 ΒΑΣΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΘΟΔΩΝ ΣΧΕΣΕΩΝ ΥΠΕΡΟΧΗΣ Στηρίζονται στη δυαδική σύγκριση των επιλογών σε κάθε μεμονωμένο κριτήριο. Διευρύνουν την κλασσική σχέση προτίμησης με την εισαγωγή ψευδοκριτηρίων που δέχονται κατώφλια αδιαφορίας και προτίμησης (και veto). Διευρύνουν την κλασσική σχέση επικράτησης αναγνωρίζοντας καταστάσεις ασυγκρισιμότητας. Τα αποτελέσματα παρέχουν αρχικά μία μερική κατάταξη των επιλογών (που περιλαμβάνει και καταστάσεις ασυγκρισιμότητας) η οποία μπορεί να αναχθεί και σε πλήρη κατάταξη. Οι πιο γνωστές μέθοδοι πολυκριτηριακής ιεράρχησης είναι: Η μέθοδος PROMETHEE (Ι καιιι) H οικογένεια των μεθόδων ELECTRE

28 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΨΕΥΔΟΚΡΙΤΗΡΙΩΝ Κριτήριο με κατώφλι αδιαφορίας p j (α,b) Κριτήριο με κατώφλι αδιαφορίας και προτίμησης p j (α,b) f j (b) q f j (α) H διαφορά μεταξύ των δύο επιλογών a, b στον οριζόντιο άξονα Η ένταση της προτίμησης στον κάθετο άξονα 0 f j (b) q p f j (α)

29 MΕΘΟΔΟΣ PROMETHEE 6 Τύποι ψευδοκριτηρίων q 0 p Tύπος 1 Tύπος 2 Tύπος q p 0 q p 0 Tύπος 4 Tύπος 5 Tύπος 6

30 ΤΑ ΣΤΑΔΙΑ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ PROMETHEE (1) Δυαδική σύγκριση επιλογών Κάθε κριτήριο χαρακτηρίζεται ως προς τον τύπο του ψευδοκριτηρίου που προσεγγίζει περισσότερο το μοντέλο προτιμήσεων του αποφασίζοντα και ορίζονται τα όρια αδιαφορίας (q) ή/και προτίμησης (p) Υπολογίζεται η διαφορά d τωνεπιδόσεωντωνδύοεπιλογώνστοσυγκεκριμένο κριτήριο. d j = f j (a) - f j (b) Προσδιορίζεται η τιμή της συνάρτησης προτίμησης p j (a,b) ανάλογα με την τιμή του d και τον τύπο του ψευδοκριτηρίου j. Η συνάρτηση p j (a,b) παίρνει τιμές στο διάστημα [0,1] και ειδικότερα: p j (a,b) =0 αν d j <0 ----> (f j (a) < f j (b)) Mη προτίμηση, αδιαφορία p j (a,b) ~ 0 αν d j >0 ----> (f j (a) > f j (b)) Ασθενής προτίμηση p j (a,b) ~1 αν d j >>0 ----> (f j (a) >> f j (b)) Ισχυρή προτίμηση p j (a,b) =1 αν d j >>>0 ----> (f j (a) >>> f j (b)) Σαφής προτίμηση

31 ΤΑ ΣΤΑΔΙΑ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ PROMETHEE (2) Διατύπωση σχέσεων συνολικής προτίμησης Για κάθε ζεύγος επιλογών a και b υπολογίζεται μία συνολική σχέση προτίμησης P(a,b) ως άθροισμα των δεικτών προτίμησης σε κάθε κριτήριο p j (a,b), σταθμισμένο ανάλογα με τους συντελεστές βαρύτητας των κριτηρίων. M P(a,b) = Σ w j p j (a,b) j=1 Oι δείκτες συνολικής προτίμησης P(a,b) παίρνουν τιμές επίσης στο διάστημα [0,1] και υποδηλώνουν αν και σε τι βαθμό η επιλογή a προτιμάται από την επιλογή b λαμβάνοντας υπόψη όλα τα κριτήρια.

32 ΤΑ ΣΤΑΔΙΑ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ PROMETHEE (3) Yπολογισμός δεικτών κυριαρχίας Για κάθε επιλογή a υπολογίζονται δύο δείκτες: Η θετικήροήφ + (a) = Σ P(a,x) που δείχνει σε τι βαθμό η επιλογή a κυριαρχεί όλων των υπολοίπων (x εα) Οσο μεγαλύτερη η τιμή της θετικής ροής, τόσο καλύτερη η επιλογη a. Η αρνητικήροήφ - (a) = Σ P(x,a) που δείχνει σε τι βαθμό η επιλογή a κυριαρχείται απ όλες τις υπόλοιπες (x εα) Οσομικρότερηητιμήτηςαρνητικήςροής, τόσο καλύτερη η επιλογη a.

33 ΤΑ ΣΤΑΔΙΑ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ PROMETHEE (4) Mερική κατάταξη των επιλογών (PROMETHEE I) Κατασκευάζονται δύο αρχικές πλήρεις κατατάξεις με βάση τις τιμές των θετικών και αρνητικών ροών. Η μερική κατάταξη PROMETHEE I προκύπτει ως τομή των δύο αυτών κατατάξεων (θετικής και αρνητικής) Προτίμηση: ap I b αν φ + (a) > φ + (b) και φ - (a) < φ - (b) Αδιαφορία: aι I b αν φ + (a) = φ + (b) και φ - (a) = φ - (b) Ασυγκρισιμότητα: ar I b σε όλες τις άλλες περιπτώσεις

34 ΤΑ ΣΤΑΔΙΑ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ PROMETHEE (5) Πλήρης κατάταξη των επιλογών (PROMETHEE ΙI) Για κάθε επιλογή a υπολογίζεται η τιμή της καθαρής ροής φ(a) φ(a) = φ + (a) - φ - (a) Οσο μεγαλύτερη η τιμή της καθαρής ροής φ(a) τόσο καλύτερη η επιλογή Η πλήρης κατάταξη PROMETHEE II προκύπτει από τη σύγκριση των καθαρών ροών των επιλογών: Προτίμηση: ap IΙ b αν φ(a) > φ(b) Αδιαφορία: aι IΙ b αν φ(a) = φ(b) Η πλήρης κατάταξη PROMETHEE II αναγνωρίζει μόνο καταστάσεις προτίμησης και αδιαφορίας, είναι καθαρότερα αντιληπτή στον αποφασίζοντα περιέχει όμως μικρότερη ποσότητα πληροφορίας από την PROMETHEE I.

35 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Επιλογή εξοπλισμού ΕΠΙΛΟΓΕΣ C1: κόστος επένδυσης (χιλ. ) C2: χρόνος επεξεργασίας (min) C3: κόστος λειτουργίας (χιλ. ) C4: απόδοση προΐόντος (%) Α Β C D Ε ΜΟΝΤΕΛΟ ΠΡΟΤΙΜΗΣΕΩΝ w q p

36 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Δυαδική σύγκριση επιλογών ανά κριτήριο Κριτήριο 1 Κριτήριο Κριτήριο 3 Κριτήριο

37 ΠΙΝΑΚΑΣΣΥΝΘΕΣΗΣΕΠΙΔΟΣΕΩΝ Συνολικός πίνακας δυαδικών συγκρίσεων φ+ φ Α Β C D Ε φ

38 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Μερική και πλήρης κατάταξη (PROMETHEE I και ΙΙ) C Μερική κατάταξη (PROMETHEE I) A B D E Πλήρης κατάταξη (PROMETHEE IΙ) A B C D E

39 Εφαρμογή στην επιλογή επενδυτικών σχεδίων

40 Επιλογή έργων με χρηματοδοτικό περιορισμό Πολυκριτηριακή ανάλυση Κατάταξη 1 η Κόστος (k ) η 165 Ιεράρχηση προτάσεων 3 η 4 η Επιλογή των πρώτων που καλύπτονται από τον υπάρχοντα προϋπολογισμό 5 η 6 η 7 η 8 η

41 Εαν υπάρχουν όμως και άλλοι περιορισμοί... Παραδείγματα Ποσοστώσεις στην επιλογή των σχεδίων (γεωγραφικές, κλαδικές, ανά τομέα κλπ) Αλληλοαποκλειόμενα ή προαπαιτούμενα σχέδια Οι επιλογές δεν είναι πλέον ανεξάρτητες μεταξύ τους Οι n πρώτες στην κατάταξη μόνο κατά τύχη μπορεί να ικανοποιούν και τους άλλους περιορισμούς

42 Συνέπειες Όταν έχουμε μη ανεξάρτητες επιλογές το πρόβλημα αποκτά συνδυαστικό χαρακτήρα. Επιδιώκεται η επιλογή του καταλληλότερου συνδυασμού λαμβανομένων υπόψη των επιδόσεων των επιλογών Κατάλληλο εργαλείο: Ακέραιος Προγραμματισμός

43 Ακέραιος Προγραμματισμός Γραμμικός προγραμματισμός max 5 x1 + 8 x2 st 2 x1 + 8 x x1 + 2 X2 12 x1, x2 0 Aκέραιος Προγραμματισμός max 5 x1 + 8 x2 st x1 + x2 1 4 x1 + 2 X2 5 x1, x2 {0,1} Mέθοδος Simplex Συνήθως οι ακέραιες μεταβλητές παίρνουν τιμή 0 ή 1 Αλγόριθμος Branch & Bound Πολύ πιο δύσκολο στην επίλυση

44 0-1 Μεταβλητές Στο 90% των περιπτώσεων οι ακέραιες μεταβλητές είναι δυαδικές (0,1) Λογικές μεταβλητές που παίρνουν τιμή 0 ή 1. Συνήθως δεν έχουν φυσική σημασία αλλά λογικό νόημα. Διευρύνουν σημαντικά το πεδίο εφαρμογής του ΓΠ. Προβλήματα που δεν θα μπορούσαν να λυθούν με συμβατικό ΓΠ, με τη χρήση 0-1 μεταβλητών και την κατάλληλη μοντελοποίηση μπορούν να λυθούν. Π.χ λογικές συνθήκες, σταθερά κόστη, οικονομίες κλίμακας, μη γραμμικά μοντέλα, διαζευκτικοί περιορισμοί κ.ά. Εξάσκηση και φαντασία στη μοντελοποίηση Μπορεί να συμμετέχουν στο μοντέλο σε συνδυασμό με συνεχείς μεταβλητές (Μικτός Ακέραιος ΓΠ).

45 Συνδυασμός ΠΚΑ και ακέραιου Προγραμματισμού 1 ο στάδιο Πολυκριτηριακή Ανάλυση (ΠΚΑ) Βαθμολόγηση και ιεράρχηση σχεδίων 2 ο στάδιο Ακέραιος Προγραμματισμός (ΑΠ) Κάθε σχέδιο εκφράζεται με μια 0-1 μεταβλητή x i =0 το i-σχέδιο δεν επιλέγεται x i =1 το i-σχέδιο επιλέγεται Κλασσικό παράδειγμα: Promethee V

46 Μοντέλο Ακέραιου Προγραμματισμού Αντικειμενική συνάρτηση = Μεγιστοποίηση αθροιστικής επίδοσης Οι επιδόσεις προέρχονται από την ΠΚΑ Οι συνθήκες που πρέπει να τηρούνται είναι οι περιορισμοί του προβλήματος ΑΠ max Σ sc i x i st Σcost i x i budget (άλλοι περιορισμοί) x i {0,1} Πρόβλημα knapsack

47 Παράδειγμα Ακέραιου Προγραμματισμού για πορτφόλιο επενδύσεων Επιλογή επενδυτικού σχεδίου. Διαθέσιμο euro Eπενδ. Α (ξενοδ. Β (ξενοδ. Γ (ξενοδ. Δ (αεροδρ. Ε (εργοσ. Ζ (κατοικ. Σχέδιο Κέρκυρα) Ευβοια) Ρόδο) Κέρκυρα) Ευβοια) Ευβοια) Κόστος (keuro) Οφελος Max Z= 4 x A +5 x B +7 x Γ +3x Δ x Ε + 2x Z ST 300x A x B +500x Γ +460 x Δ x Ε x Z <=1500 x i =0/1

48 Παράδειγμα (συνέχεια) Οχι πάνω από μία τουριστικές επενδύσεις x A +x B +x Γ <= 1 Οχι βιομηχανική και τουριστική στην ίδια περιοχή x B +x Ε <= 1 Αν ξενοδοχείο στην Κέρκυρα τότε και αεροδρόμιο στην Κέρκυρα x A -x Δ <= 0 Οι εργατικές κατοικίες απαραίτητες αν και μόνο αν γίνει το εργοστάσιο στην Ευβοια x Ε -x Ζ = 0

49 Επιπτώσεις αθροιστικής αντικειμενικής συνάρτησης Ουσιαστικά συγκρίνονται συνδυασμοί σχεδίων και όχι μεμονωμένα μεταξύ τους Μπορεί να συμβεί ανατροπή της ιεράρχησης λόγω budget constraint Λόγω χαμηλού κόστους μπορεί να επιλεγούν σχέδια με χαμηλή αξιολόγηση και να μείνουν έξω άλλα καλύτερα

50 Παράδειγμα project A B C επίδοση κόστος Ενώ το Α έχει την καλύτερη επίδοση, προτιμώνται τα Β+C γιατί έχουν αθροιστικά καλύτερη επίδοση (0.70 > 0.65) και συγχρόνως μικρότερο προϋπολογισμό (35 < 50). Τι γίνεται αν θέλουμε να τηρήσουμε την ιεράρχηση στην τελική επιλογή;

51 Πότε απαιτείται τήρηση της ιεράρχησης στην τελική επιλογή; Όταν δεν επιδιώκεται η επιλογή του καλύτερου συνδυασμού των projects αλλά η επιλογή των καλύτερων μεμονωμένα projects (σύμφωνα με την πολυκριτηριακή αξιολόγηση) Κάθε project συγκρίνεται με τα υπόλοιπα και όχι με συνδυασμούς τους Παράδειγμα: Η υποβολή προτάσεων για χρηματοδότηση όπου εκτός από την αξιολόγηση πρέπει να ληφθούν υπόψη και περιορισμοί ποσόστωσης Τα αποτελέσματα της αξιολόγησης συνήθως δημοσιεύονται κι έτσι η τελική επιλογή πρέπει να συμφωνεί με την αρχική αξιολόγηση Στο προηγούμενο παράδειγμα εάν η πρόταση Α δεν επιλεγεί θα εγείρει δικαιολογημένα ένσταση.

52 Τήρηση της ιεράρχησης στην τελική επιλογή (2) Η αρχική ιεράρχηση δεν πρέπει να παραβιαστεί λόγω του περιορισμού του προϋπολογισμού Υποτίθεται ότι συνήθως η οικονομική αποδοτικότητα (μέσω του κόστους) έχει συμπεριληφθεί ως κριτήριο στην αξιολόγηση Αν παίξει ρόλο και στην επιλογή τότε θα είναι σαν να διπλομετράται Μια τέτοια τακτική θα οδηγήσει σε κατακερματισμό των έργων όπου είναι δυνατό (χαμηλότερο κόστος χωρίς ανάλογη μείωση του βαθμού στην αξιολόγηση)

53 1 η Προσέγγιση: Παραμετρική επίλυση Αντικαθιστούμε τον περιορισμό του προϋπολογισμού με μια σχέση που περιορίζει τον αριθμό των επιλεγομένων projects σε P (παράμετρος) Επιλέγονται τα καλύτερα P projects με βάση και τους υπόλοιπους περιορισμούς (ποσοστώσεις κλπ) Το κόστος των σχεδίων δεν επιδρά γιατί δεν υπάρχει πλέον ο περιορισμός του προϋπολογισμού Επιλύοντας το πρόβλημα k φορές για διάφορα P(k) μπορούμε να προσδιορίσουμε τη λύση που δεν υπερβαίνει τον δεδομένο προϋπολογισμό

54 Αλλαγή στο μοντέλο Περιορισμός των επιλεγομένων projects (παράμετρος του μοντέλου) n x i = 1 i P ( k ) Περιορισμός που καταγράφει το σχετικό συνολικό κόστος n budget i = 1 i x i totbudg ( k ) = 0

55 Γραφική απεικόνιση available budget t Total Budget Επιλύοντας το πρόβλημα 7 φορές προσδιορίζουμε τη λύση που είναι πλησιέστερη στον διαθέσιμο προϋπολογισμό P(1) P(2) P(3) P(4) P(5) P(6) P(7) Number of projects P(k)

56 2 η Προσέγγιση: Επέμβαση στους συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης Αντικατάσταση των επιδόσεων στην αντικειμενική συνάρτηση με άλλες τέτοιους ώστε: Η επίδοση της k-καλύτερης επιλογής να είναι μεγαλύτερη από το άθροισμα των χειρότερών της: sc > k sc i i= 1 π.χ. για 20 επενδυτικά σχέδια: H τελευταία θα έχει επίδοση 1 ή 2 0 = 1 Η 19 η θα έχει επίδοση 1+1=2 ή 2 1 = 2 Η 18 η θα έχει επίδοση 1+2+1=4 ή 2 2 = Η 1 η θα έχει επίδοση 2 19 = Πρόβλημα: Γρήγορα θα φτάσουμε σε απαγορευτικά νούμερα και μεγάλες διαφορές στην τάξη μεγέθους των συντελεστών (σε 40 σχέδια η πρώτη θα έχει επίδοση 1,099,511,628,000). k 1

57 Επαυξημένεςεπιδόσειςστην αντικειμενική συνάρτηση Παρατήρηση: Κάθε επιλογή κινδυνεύει από τις χειρότερές της που έχουν όμως και αθροιστικά χαμηλότερο κόστος. Πρόταση: Επαυξημένες επιδόσεις στην αντικειμενική συνάρτηση λαμβάνοντας υπόψη το κόστος κάθε σχεδίου. Πως θα υπολογιστεί η επαυξημένη επίδοση; Επίλυση πολλαπλών knapsack προβλημάτων

58 Knapsack προβλήματα Πρόβλημα knapsack max Σ c i x i st Σ b i x i B Για κάθε επιλογή Α ψάχνουμε τους συνδυασμούς των χειρότερων από αυτήν που έχουν αθροιστικά κόστος μικρότερο από της Α. Ο συνδυασμός αυτός με τη μεγαλύτερη αθροιστικά επίδοση (έστω max sc infa ) μας υποδεικνύει την επίδοση και για την επιλογή Α. Θα πρέπει η νέα επίδοση της Α να είναι μεγαλύτερη του max sc infa ώστε να εξασφαλίζεται ότι η Α δεν υπολείπεται από συνδυασμούς χειρότερών της επιλογών.

59 Διάγραμμα ροής Κατάταξη με βάση το score (αύξουσα, sc i+1 > sc i, i=1 n) ΟΧΙ sc k =sc k-1 +1 z k > sc k-1? ΝΑΙ sc k =z k +1 Θέτω sc 1 =1 k=2 z k st Λύσε το πρόβλημα: = max k 1 i= 1 sc i x i k=n? ΟΧΙ ΝΑΙ ΤΕΛΟΣ k 1 i= 1 b x i i b k, x i {0,1} k=k+1

60 Ισοπαλίες στην ιεράρχηση και αντιμετώπιση της ταξινόμησης Μπορεί στην ιεράρχηση δύο ή περισσότερες επιλογές να μοιράζονται την ίδια θέση. Υπολογίζεται για κάθε μία ξεχωριστά η επαυξημένη επίδοση και στη συνέχεια ως αντιπροσωπευτική της κλάσης τους λαμβάνεται η μεγαλύτερη. Με τον τρόπο αυτό μπορούμε να χειριστούμε καταστάσεις ταξινόμησης των επιλογών σε κατηγορίες αντί να έχουμε την πιο αυστηρή ιεράρχησή τους.

61 Υλοποίηση Σε Microsoft Εxcel με τη βοήθεια κώδικα σε Visual Basic για τη δημιουργία του βρόγχου. Η επίλυση των προβλημάτων ΑΠ γίνεται με τον Solver του Excel. Παρατήρηση Όσο μεγαλύτερη είναι η διασπορά στα κόστη των επενδυτικών σχεδίωντόσομεγαλύτερηείναιημέγιστηνέαεπίδοσηστην τροποποιημένη αντικειμενική συνάρτηση και τόσο περισσότερο χρόνο διαρκεί ο υπολογισμός των νέων επιδόσεων.

62 Συνολική διαδικασία 1 ο στάδιο: Χρησιμοποίηση της ΠΚΑ για ιεράρχηση σχεδίων 2 ο στάδιο: Υπολογισμός των επαυξημένων επιδόσεων 3 ο στάδιο: Χρησιμοποίηση του ΑΠ για την επιλογή του καταλληλότερου συνδυασμού των επενδυτικών σχεδίων Η μόνη διαφορά στον ΑΠ είναι ότι η αντικειμενική συνάρτηση περιέχει τις επαυξημένες επιδόσεις αντί για αυτές της ΠΚΑ

63 Διάγραμμα ροής μεθόδου Χαρακτηριστικά προτάσεων Παράμετροι ΠΚΑ Ανάπτυξη Μέθοδος ΠΚΑ Ιεράρχηση (ή ταξινόμηση) Υπολογισμός επαυξημένων επιδόσεων Microsoft Εxcel με κώδικα σε Visual Basic Excel s Solver Add-In για τον Ακέραιο προγραμματισμό επιλογή Μοντέλο ΑΠ Διάφοροι περιορισμοί

64 Εφαρμογή 1: Βιομηχανικά επενδυτικά σχέδια 37 επενδυτικά σχέδια στην χαλυβουργία. Κάθε σχέδιο έχει κάποιο κόστος και κρίνεται σε 5 τομείς: άμεση και έμμεση οικονομική συμβολή, τεχνολογική, κοινωνική και επιστημονική συμβολή.

65 Περιορισμοί 1) Διαθέσιμος προϋπολογισμός 1.2 εκ. $. Σ c i x i <= 1,200,000 2) τα σχέδια είναι χωρισμένα σε 4 ομάδες. Στην τελική επιλογή σχέδια ίδιας ομάδας πρέπει να καλύπτουν από το 17% μέχρι το 33% του συνόλου. 3) από τα σχέδια 30, 33 και 36 επιλέγεται τουλάχιστον ένα x 30 + x 33 + x 36 >= 1 4) από τα σχέδια 10, 12 και 17 επιλέγεται τουλάχιστον ένα 5) από τα σχέδια 20, 22 και 23 μπορεί να επιλεγεί το πολύ ένα x 20 + x 22 + x 23 <= 1 6) από τα σχέδια 3, 5 και 6 μπορεί να επιλεγούν το πολύ δυο x 3 + x 5 + x 6 <= 2

66 Δεδομένα 66,40 31,32 16,14 43,83 72,10 57, ,10 49,33 19,53 58,26 70,22 61, ,10 48,82 59,59 51,18 28,65 38, ,40 33,06 15,79 38,01 34,54 39, ,50 46,31 23,36 55,13 55,54 55, ,50 46,57 19,52 53,45 55,09 52, ,90 29,47 47,71 38,93 61,09 55, ,80 36,35 24,54 46,89 49,54 47, ,40 18,90 32,46 36,12 58,20 50, ,00 26,08 29,11 35,42 77,16 58, ,40 26,21 32,73 34,90 48,48 48, ,50 19,64 20,82 21,75 47,05 47, ,20 5,92 10,99 6,73 9,68 22, ,00 45,64 42,84 57,47 62,86 58, ,20 46,28 44,91 62,64 70,82 67,53 1 κόστος σχεδίων επιστημονική συμβολή κοινωνική συμβολή τεχνολογική συμβολή άμεση οικονομική συμβολή έμμεση οικονομική συμβολή επενδυτικά σχέδια

67 1 ο στάδιο: ΠΚΑ (MAVT) project id score ms i 5 * ij j * i j ) + ( w * c * j= 1 x j x j * c c* = ( w x x c c ) ,84 0,76 0,02 0,38 0,49 6 0,64 w j = 0.15 for j=1 5 w c = ,51 0,55 0,62 0,65 0,67 0,41 0,57 0,77 0,64

68 2 ο στάδιο: Υπολογισμός επαυξημένων επιδόσεων (Excel) Κατάταξη σε αύξουσα σειρά ως προς την επίδοση Υπάρχουν αρκετοί συνδυασμοί 2 projects που έχουν κόστος < 88,8. Από αυτούς διαλέγουμε αυτόν με το μεγαλύτερο αθροιστικό score (35 και18). Προσθέτουμε μια μονάδα κι έχουμε τη νέα (επαυξημένη) επίδοση για το project 8.

69 3 ο στάδιο: Επίλυση προβλήματος ΑΠ (Excel)

70 Σύγκριση Πολυκριτηριακή ταξινόμηση σε 10 classes: Score class 1 Score class 2. Score class multicriteria scores ranking augmented scores classes project id augmented scores from ranking augmented scores from sorting in classes cost (k ) multicriteria scores number of projects total cost

71 Εφαρμογή 2: Παράδειγμα αξιολόγησης ερευνητικών προτάσεων Πρόβλημα επιλογής μεταξύ 20 ερευνητικών προτάσεων από 2 τμήματα Οι προτάσεις κατηγοριοποιούνται ανάλογα με τη σχολή στην οποία απευθύνονται και ανάλογα το είδος της έρευνάς τους (Βασική ή Εφαρμοσμένη). Βαθμολογούνται σε 3 κριτήρια (τα ίδια με το πρόγραμμα «Πυθαγόρας») Κάθε πρόταση έχει κάποιο κόστος (από 50, ,000 ). Διαθέσιμος προϋπολογισμός 1,200,000 (Σύνολικό κόστος προτάσεων 1,710,000 ) Υπάρχουν περιορισμοί πολιτικής Το πολύ το 60% των προτάσεων από το τμήμα Α Τουλάχιστον το 1/3 των προτάσεων θα αφορά βασική έρευνα

72 Δεδομένα και αποτέλεσμα ΠΚΑ ,000 Applied B ,000 Applied B ,000 Applied B ,000 Applied B ,000 Basic B ,000 Basic B ,000 Basic B ,000 Applied A ,000 Applied A ,000 Applied A ,000 Applied A ,000 Applied A ,000 Applied A ,000 Applied A ,000 Applied A ,000 Applied A ,000 Basic A ,000 Basic A ,000 Basic A ,000 Basic A 1 Επίδοση Επάρκεια Χρησιμότητα Καινοτομία Κόστος Ερευνα Τμήμα i t i fs i us i in i t t w fs w us w in w MS cos cos min cos =

73 Επαυξημένες επιδόσεις Case 1 Case 2 Case 3 κόστος Επίδοση Επαυξημένη επίδοσηαπό ιεράρχηση Επαυξημένη επίδοση από ταξινόμηση πρόταση (k ) (s) (as ranking ) Class (as sorting ) , class , class , class , class , class , class , class , class , class , class , class , class , class , class , class , class , class , class , class , class 1 1

74 Μοντέλο Ακέραιου Προγραμματισμού max st z = 20 i= 1 s i x i Αντικειμενική συνάρτηση 20 i= 1 c i x i 1200 Περιορισμός προϋπολογισμού i A j Basic 20 x i 0.6 x i= 1 i 20 x j 0.33 x i= 1 i Περιορισμός για το τμήμα Α Περιορισμός για τη βασική έρευνα

75 Τελική επιλογή πρόταση case 1 case 2 case 3 κόστος (k ) επίδοση επιλογή as ranking επιλογή class as sorting επιλογή , class , class , class , class , class , class , Class , Class , Class , Class , Class , Class , Class , Class , Class , Class , Class , Class , Class , Class Number of proposals Total cost 1,200,000 1,170,000 1,200,000

76 Σύγκριση 6 number of selected proposals Ranking original scores augmented scores from ranking augmented scores from sorting

77 Εφαρμογή 3: Αξιολόγηση ερευνητικών προτάσεων (μεγαλύτερη κλίμακα) Πρόβλημα επιλογής μεταξύ 150 ερευνητικών προτάσεων από τις 9 σχολές του ΕΜΠ (υποθετικό παράδειγμα) Οι προτάσεις κατηγοριοποιούνται ανάλογα με τη σχολή στην οποία απευθύνονται και ανάλογα το είδος της έρευνάς τους (Βασική ή Εφαρμοσμένη). Βαθμολογούνται σε 3 κριτήρια (τα ίδια με το πρόγραμμα «Πυθαγόρας») Κάθε πρόταση έχει κάποιο κόστος (από 50, ,000 ). Διαθέσιμος προϋπολογισμός 6,000,000 Υπάρχουν οικονομικοί και πολιτικοί περιορισμοί (στηρίζονται στον αριθμό του διδακτικού προσωπικού και των φοιτητών κάθε σχολής).

78 Δεδομένα και ΠΚΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ Κόστος ( ) Σχολή Ερευνα Πληρότητα Ωριμότητα Σκοπιμότητα Επίδοση 1 159,856 A E ,649 A E ,938 A E ,228 A E ,968 A B ,139 A B ,002 A B ,482 A E ,081 A E ,463 A Β ,192 A E ,204 A Ε ,878 A Ε ,288 A Ε ,963 A Ε ,424 H Ε ,926 H Ε ,680 H Ε ,966 H Β ,354 X Β ,547 X Β ,106 X Β ,681 X Β ,303 X Β ,403 X Ε Σύνολο 13,181,131 σ.β. 29% 55% 16%

79 Αναλογίες σχολών Σχολή ΔΕΠ Αριθμός Φοιτητές ΔΕΠ Ποσοστό Φοιτητές M.O. ( A ) % 14% 18% ( H ) % 17% 15% ( Mετ ) % 4% 5% ( Μηχ ) % 14% 10% ( Ν ) % 5% 4% ( Π ) % 16% 14% ( Σ ) % 13% 13% ( T ) % 7% 7% ( Χ ) % 10% 13%

80 Περιορισμοί Ο διαθέσιμος προϋπολογισμός είναι Οι προτάσεις βασικής έρευνας πρέπει να καλύπτουν από το 30% μέχρι το 50% των προτάσεων που εγκρίθηκαν. Το κόστος των προτάσεων που εγκρίνονται από κάθε σχολή πρέπει να είναι ανάλογο της δύναμής της ± 4%. Αρχιτέκτονες [14% - 22%] Ηλεκτρολόγοι [11% - 19%] Μεταλλειολόγοι [1% - 9%] Μηχανολόγοι [6% - 14%] Ναυπηγοί [0% - 8%] Πολιτικοί [10% - 18%] ΣΕΜΦΕ [9% - 17%] Τοπογράφοι [3% - 11%] Χημικοί [9% - 17%]

81 1 ο στάδιο: Πολυκριτηριακή ταξινόμηση MS i = w in in i 10 + w us us i 10 + w fs fsi 10 + w cos t cost cost min i w in, w us, w fs, w cost = 0.25 Η ταξινόμηση είναι πιο κατάλληλη από την ιεράρχηση όταν έχουμε πολλές επιλογές class 1: score [0.00, 0.05] 1 class 2: score [0.06, 0.10] 2 class 3: score [0.11, 0.15] 3 class 18: score [0.86, 0.90] 18 class 19: score [0.91, 0.95] 19 class 20: score [0.96, 1.00] 20

82 2 ο στάδιο: Υπολογισμός επαυξημένων επιδόσεων Μέγιστη επαυξημένη επίδοση = 1777

83 3 ο στάδιο: Λύση προβλήματος ΑΠ

84 Αποτελέσματα και σύγκριση 100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% percentage of each class in the final selection 10% 0% Classes augmented scores from multicriteria sorting multicriteria scores

85 Συμπεράσματα Ο συνδυασμός Ακέραιου Προγραμματισμού και Πολυκριτηριακής Ανάλυσης αποτελεί μια ενδεδειγμένη επιλογή για προβλήματα επιλογής επενδυτικών σχεδίων υπό περιορισμούς πολιτικής. Οι μέθοδοι που εξετάστηκαν ενδείκνυνται όταν επιδιώκεται η μέγιστη συμφωνία μεταξύ πολυκριτηριακής αξιολόγησης και τελικής επιλογής Παραμετρική επίλυση Μέθοδος με τις επαυξημένες επιδόσεις Μπορούν να χειριστούν αποτελέσματα της ΠΚΑ υπό μορφή ταξινόμησης σε κατηγορίες και όχι μόνο ιεράρχησης επιλογών. Αποφεύγεται η περίπτωση απόρριψης καλών προτάσεων λόγω κόστους.

86 Βιβλιογραφία M. Abu-Taleb and B. Mareschal. Water resources planning in the Middle East: application of the PROMETHEE V multicriterion method. European Journal of Operational Research 81; (1995); S.C. Albright. Allocation of research grants to university research proposals Socio Economic Planning Sciences 9(5); (1975); M.A.Badri, D.Davis and D. Davis. A comprehensive 0-1 goal programming model for project selection. International Journal of Project Management 19; (2001); W.D.Cook and R.H. Green. Project prioritisation: a resource-constrained data envelopment analysis approach. Socio-Economic Planning Sciences 34; (2000); G.Mavrotas, D. Diakoulaki, P. Capros. Combined MCDA IP Approach for Project Selection in the Electricity Market. Annals of Operations Research 120; (2003); G.Mavrotas, D.Diakoulaki and Y.Caloghirou Project prioritization under policy restrictions. A combination of MCDA with 0 1 programming, European Journal of Operational Research 171; (2006); S.H. Zanakis, T. Mandakovic, S.K. Gupta, S. Sahay and S. Hong A Review of Program Evaluation and Fund Allocation Methods Within the Service and Government Sectors Socio Economic Planning Sciences 29(1); 1995;