ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА, са додатком теорије

ГРАЂЕВИНСКА ШКОЛА Светог Николе 9 Београд ЗБИРКА ЗАДАТАКА ИЗ МАТЕМАТИКЕ СА РЕШЕНИМ ПРИМЕРИМА са додатком теорије - за II разред IV степен - Драгана Радовановић проф математике Београд

СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ СТЕПЕН ЧИЈИ ЈЕ ИЗЛОЖИЛАЦ ЦЕО БРОЈ Степеновање целим бројем дефинише се на следећи начин: N Особине операција са степеном чији је изложилац цео број: \ N R ЗАДАЦИ 9 9 9

9 КОРЕНОВАЊЕ Свако решење ј-не N R по х (ако постоји) назива се ен -ти корен броја а и означава се под условом да постоји R R N Особине операција са коренима: : : N p R p p ЗАДАЦИ 9 9

КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ Изразе облика z=+i R (а је реални имагинарни део а i је имагинарна јединица) зовемо комплексни бројеви Скуп комплексних бројева означавамо са С Два комплексна броја +i и c+di зовемо једнаким акко: =c =d Сабирање и множење комплексних бр уводимо правилима: (+i)+( c+di)=(+c)+(+d)i (+i) ( c+di)= (c-d)+(d+c)i Специјално је i =- Сви закони за сабирање и множење који су важили у скупу реалних бр важе и у скупу С Број z i зовемо конјуговано комплексним бројем броја z=+i ЗАДАЦИ Одредити вредност реалних параметара и тако да комплексни бројеви z i и z i буду једнаки Одредити вредност реалног параметра м тако да комплексан број z i буде а) реалан б) имагинаран а) б) Збир бројева z i и z i подели њиховом разликом z z i i i i i i i i z z i i i i i i i i i i 9 i Збир бројева z i и z i подели њиховом разликом

КВАДРАТНА ЈЕДНАЧИНА Једначина облика c c R зове се квадратна једначина Њена решења дата су формулама ДИСКУСИЈА РЕШЕЊА КВ Ј-НЕ c Решења кв ј-не зависе од израза D= c (дискриминанта) Ако је D ј-на има два различита реална решења Ако је D ј-на има два међусобно конјугована комплексна решења Ако је D= ј-на има једно (двоструко) решење ЗАДАЦИ Реши једначину х +-(х+)(х-) = (х-)+ +-( -+-) = -+ +- +-+ = + - --+- = - --= c 9 9 Реши квадратну једначину 9 Реши квадратну једначину Реши једначину х(х+9)-х -=(х-9)-(х+9) Реши квадратну једначину Реши квадратну једначину

ВИЕТОВА ПРАВИЛА Веза између решења кв ј-не и њених коефицијената дата је формулама: c ЗАДАЦИ Напиши кв једначину ако су њена решења х =-i и х =+i i i c c c i i i c i i c 9 Напиши кв једначину ако су њена решења х =-i и х =+i БИКВАДРАТНА ЈЕДНАЧИНА Реши биквадратну ј-ну х +х -= 9 9 t t t t t t t i i t 9 9 Реши биквадратну ј-ну х -х -=

КВАДРАТНА ФУНКЦИЈА Ф-ја облика f ( ) c зове се квадратна ф-ја Својства кв ф-је: Дефинисана је за све реалне бројеве х за а конвексна је (савијена на горе) и достиже минималну вредност за за а конкавна је (савијена на доле) и достиже максималну вредност за график је непрекидна линија симетрична у односу на вертикалну праву Нека је D= c Ако је D график сече х осу у тачке Ако је D график не сече х осу Ако је D= график додирује х осу ЗАДАЦИ *Испитај функције: f () = домен ф је f () деф за х(- + ) нула ф је f () = = екстрем c 9 А() В(-) нуле ф је а ф ја има минимум у т ки М c

график у - / х -/ М знак f () х - - f () х - ток f () х/ f () х- / f () = 9 f f f f f f f

9 КВАДРАТНА НЕЈЕДНАЧИНА Неједначина облика R c c зове се квадратна неједначина Решава се скицирањем графика ф-је ) ( c f и «читањем» њеног знака ЗАДАЦИ Одреди скуп решења неједначине - - Одреди скуп решења неједначине + + + - - - - - - -- + - - - + - + - - + - - - + - + - + +

Одреди скуп решења неједначине х х + < 9 Одреди скуп решења неједначине Одреди скуп решења неједначине х х + < Одреди скуп решења неједначине > СИСТЕМ КВАДРАТНИХ ЈЕДНАЧИНА Одреди решења система једначина: / R : () (--) Одреди решења система једначина: Одреди решења система једначина: Одреди решења система једначина:

ИРАЦИОНАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ Ј-на код које се непозната величина налази под кореном назива се ирационална ј-на Теорема: p q p q q ( p p( ) q q( ) ) ЗАДАЦИ Реши ирационалну једначину Израз у једначини дефинисан је за: / х= јесте решењје јер испуњава услов х- Реши ирационалну једначину Изрази у једначини дефинисани су за: / х=/ јесте решење јер испуњава услов х/

Реши ирационалну једначину изрази у једначини дефинисани су за : / / / х= јесте решењје јер испуњава услов х 9 Реши ирационалну једначину Реши ирационалну једначину ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА И ЛОГАРИТАМСКА ФУНКЦИЈА ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА Ф-ЈА Деф Ф-ја ) ( f назива се експоненцијална ф-ја Домен експ ф-је је скуп R а кодомен R + Деф Ј-на код које се непозната налази у експоненту назива се експоненцијална ј-на ЗАДАЦИ *Реши једначине: 9 9 9

9 - - - ЛОГАРИТАМСКА Ф-ЈА Деф Ф-ја инверзна експоненцијалној ф-ји ) ( f назива се логаритамска ф-ја и означава се f log ) ( Позитиван број х назива се нумерус а позитиван број а база логаритма Домен лог ф-је log ) ( def f Нула лог ф-је log ) ( log ) ( f f

Особине логаритма: log log log log log log R log log ЗАДАЦИ log log log R R R R R R Израчунај вредност израза: log 9 log log log log log 9 log log log log log log Реши једначину log log log log Изрази у једначини дефинисани су за +х и х- х и х х log log log log log log log log х= јесте решење јер испуњава услов х log log

Реши једначину log log log log log9 log Изрази у једначини дефинисани су за х х х х() log log log log log9 log х=/ јесте решење јер испуњава услов х 9 log log log log Израчунај вредност израза log log log log Реши једначину log log log log Реши једначину log log log Одреди домен и нулу функције f log домен f ( ) def -/ - f ( ) def нула ф-је ( ) log log f + + log Дакле ф-ја има нуле у тачкама А(/) и В(-)

Одреди домен и нулу функције f log f log f log Одреди домен и нулу функције 9 Одреди домен и нулу функције ТРИГОНОМЕТРИЈСКЕ ФУНКЦИЈЕ ОСНОВНИ ТРИГОНОМЕТРИЈСКИ ИДЕНТИТЕТИ tg tg СВОЂЕЊЕ ТРИГОНОМЕТРИЈСКИХ Ф-ЈА НА ОШТАР УГАО - / /- -/ /- (-)= (+)=- (-)=- (-)=- (+)=- (-)= tg tg(-)=-tg tg(+)=tg tg(-)=-tg (-)=- (+)= (-)=- НЕКЕ КАРАКТЕРИСТИЧНЕ ВРЕДНОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЈСКИХ Ф-ЈА ф уг 9 / / / / / / tg - / - -

ВЕЗА ИЗМЕЂУ ТРИГОНОМЕТРИЈСКИХ Ф-ЈА ИСТОГ УГЛА tg tg tg tg tg tg tg ЗАДАЦИ Ако је израчунати tg α α tgα α α tgα Ако је α 9 израчунати tg tg tg Ако је tg израчунати

Ако је Ако је Ако је израчунати tg израчунати tg израчунати tg *Израчунати: π π π - π tg π π π α α π α π α π 9 9 = tg 9 9 tg o tg 9 o o o o π π π tg tg π - tg tg - tg o o o o o tg tg ( ) ( tg ( ) ( ) )

9 АДИЦИОНЕ ТЕОРЕМЕ tg tg tg tg tg tg ТРИГОНОМЕТРИЈСКЕ Ф-ЈЕ ДВОСТРУКОГ УГЛА tg tg tg *Доказати идентичности:

tg tg 9 СИНУСНА И КОСИНУСНА ТЕОРЕМА Синусна теорема: Дужине страница сваког троугла пропорционалне су синусима наспрамних углова Симболички: c Косинусна теорема: Квадрат једне странице троугла једнак је збиру квадрата друге две странице умањен за двоструки производ тих страница и косинуса њима захваћеног угла Симболички: c c c c c

ЗАДАЦИ o 9 Реши троугао АВС ако је c 9 c c 9 9 o o 9 Реши троугао АВС ако је c 9 9 c 9 c 9 o 9 Реши троугао АВС ако је c 9 o 9 Реши троугао АВС ако је o o 9 Реши троугао АВС ако је 9

ТРИГОНОМЕТРИЈСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ 9 Реши једначину 9 Реши једначину ) ( 9 Реши једначину 9 Реши једначину

ПАРНОСТ ТРИГОНОМЕТРИЈСКИХ Ф-ЈА Деф Ф-ја је парна ако је f f а непарна ако је f f непарна ф ја парна ф ја tg tg непарна ф ја непарна ф ја ЗАДАЦИ 99 Испитај парност функције f ( ) tg f tg tg tg f f дакле ф-ја је непарна Испитај парност функције f ( ) ПЕРИОДИЧНОСТ ТРИГОНОМЕТРИЈСКИХ Ф-ЈА Деф Функција је периодична ако важи f f t где је t период tg пероид пероид tg пероид пероид

РЕЗУЛТАТИ Степеновање и кореновање / / / Комплексни бројеви i Квадратна једначина i х =/ х =- 9 9 х = х =-/ х = х =/ i Квадратна функција Ф-ја нема реалних нула МАХ ( -/-/) 9 Нуле А() В(/) MIN(/ -/) Ф-ја нема реалних нула МАХ (-/-/) Нуле А() В(/) MIN(/-9/) Ф-ја нема реалних нула МАХ (-/-/) Нуле А() В(/) MIN(/-/) Ф-ја нема реалних нула МАХ (-/-/) Нуле А(/) В() MIN(/-9/) Квадратна неједначина 9 Системи једначина () (/ /) (-) () () () Ирационалне једначине 9 х =- х = Једначина нема решења јер Експоненцијална и логаритамска функција х=-/ х= - х= х=- 9 х=- log једначина нема решења јер х=/ ) ) A B ) ) A 9 ) ) A

Тригонометријске функције tg tg tg / Синусна и косинусна теорема 9 9 9 c 9 c Тригонометријске једначине 9 Парност тригонометријских функција Функција је парна

Садржај СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ СТЕПЕН ЧИЈИ ЈЕ ИЗЛОЖИЛАЦ ЦЕО БРОЈ КОРЕНОВАЊЕ КОМПЛЕКСНИ БРОЈЕВИ КВАДРАТНА ЈЕДНАЧИНА ДИСКУСИЈА РЕШЕЊА КВ Ј-НЕ ВИЕТОВА ПРАВИЛА ИРАЦИОНАЛНЕ ЈЕДНАЧИНЕ ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА И ЛОГАРИТАМСКА ФУНКЦИЈА ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА Ф-ЈА ЛОГАРИТАМСКА Ф-ЈА ТРИГОНОМЕТРИЈСКЕ ФУНКЦИЈЕ СВОЂЕЊЕ ТРИГОНОМЕТРИЈСКИХ Ф-ЈА НА ОШТАР УГАО НЕКЕ КАРАКТЕРИСТИЧНЕ ВРЕДНОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЈСКИХ Ф- ЈА АДИЦИОНЕ ТЕОРЕМЕ 9 ТРИГОНОМЕТРИЈСКЕ Ф-ЈЕ ДВОСТРУКОГ УГЛА 9 СИНУСНА И КОСИНУСНА ТЕОРЕМА ТРИГОНОМЕТРИЈСКЕ ЈЕДНАЧИНЕ ПАРНОСТ ТРИГОНОМЕТРИЈСКИХ Ф-ЈА ПЕРИОДИЧНОСТ ТРИГОНОМЕТРИЈСКИХ Ф-ЈА РЕЗУЛТАТИ