ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Προκαταρκτικά Σώµα = Αντιµεταθετικό σώµα, χαρακτηριστικής µηδενός Τα σώµατα αυτά καλούνται και αριθµητικά σώµατα Θα τα συµβολίζουµε µε τα γράµµατα F, F, L κλπ Έστω ότι κάποια ανάγκη µας επιβάλει την χρησιµοποίηση νέων συµβόλων σε συνάρτηση µε τα στοιχεία ενός σώµατος Παράδειγµα: Το σώµα των ρητών, νέο σύµβολο το, επιβαλοµένη ανάγκη, αυτή που περιγράφεται στην ενότητα Γεωµετρικές Κατασκευές Η αντιµετώπιση της ανάγκης αυτής, γίνεται µε την επέκταση του αρχικού σώµατος F, (πχ του ), επέκταση, που οδηγεί στην κατασκευή του σώµατος L = F() [ το νέο στοιχείο, πχ του ( ) ] Το σώµα αυτό L περιέχει ως υπόσωµα το F, και, επίσης, περιέχει όποιο άλλο στοιχείο απαιτείται για να λητουργεί ως σώµα µε πράξεις τις πράξεις του F, κατάλληλα τροποποιηµένες, ώστε να ισχύουν και για τα πρόσθετα στοιχεία που έχει το L ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ξεκινάµε από το σώµα F Επιλέγουµε τυχόν στοιχείο k F, k > 0, εισάγουµε το νέο σύµβολο k που να έχει την επιθυµητή ιδιότητα ( k ) = k, εφ όσον βέβαια στοιχείο του F µε την ιδιότητα αυτή δεν υπάρχει, και στην συνέχεια θεωρούµε και όλα τα στοιχεία της µορφής + b k,, b F και στην συνέχεια σχηµατίζουµε το σύνολο { b k} L = F + Είναι, F, άρα και L Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε αυτές να ισχύουν και εν L, και µάλιστα να καθιστούν το σύνολο L σώµα Τούτο γίνεται αν ορίσουµε την πρόσθεση: ( + b k ) ± (c + d k ) = ( ± b) + (b ± d) k, και τον πολλαπλασιασµό: ( + b k )(c + d k ) = (c + bdk) + (d + bc) k Για την διαίρεση έχουµε, + b k + b k c d k c bdk bc d = = k + στοιχείο και αυτό της προβλεπόµενης µορφής Βέβαια, θα πρέπει c + d k 0 Το αντίστροφο, λοιπόν, του c + d k c + d k c d k c d k c d k στοιχείου 0 + b k L, είναι το στοιχείο b k του L b k Επεκτάσεις σώµατος Ένα σώµα L καλείται επέκταση του σώµατος F, ανν το F είναι υπόσωµα του L Γράφουµε, F L Το L είναι δυνατόν να θεωρηθεί και ως ανυσµατικός χώρος επί του F µε πρόσθεση την πρόσθεση του L και µονόµετρο πολλαπλασιασµό F L L τον περιορισµό του πολλαπλασιασµού του L στο F Λέµε ότι το L είναι µία πεπερασµένη επέκταση του F, αν και µόνον αν, υπάρχουν,, K, L τέτοια ώστε κάθε b, b L να γράφεται ως µία γραµµική έκφρασις b = β + β + K + β, β F των, που καλούνται και βάση της επέκτασης L, πάνω στο σώµα F Το πλήθος των καλείται βαθµός [ L : F] της επέκτασης L του F (Σηµείωση Ο βαθµός [ L : F] δεν είναι τίποτα άλλο, από την διάσταση του διανυσµατικού χώρου L) Παρατηρούµε ότι, [ L : F] = ανν L = F Έστω = [L : F] Επειδή σε έναν ανυσµατικό χώρο µε διάσταση τα + διανύσµατα είναι γραµµικά εξαρτηµένα, αν,, K, L, υπάρχουν τότε β0, β, β, K,β F, τέτοια ώστε να ισχύει η β0 + β + β + K + β = 0 Αντίστοιχες έννοιες προκύπτουν αν αντικαταστήσουµε την έννοια σώµα F, µε την έννοια δακτύλιος F
Απλή αλγεβρική επέκταση του σώµατος F, καλείται το σώµα L = F(), F Ο όρος απλή είναι φανερό γιατί τίθεται Ο όρος αλγεβρική δικαιολογείται από το Θεώρηµα του FroecFer (βλέπε ενότητα Πολυωνυµικός δακτύλιος 0 Θεώρηµα Το f είναι ελάχιστο πολυώνυµο του επί το F, ανν το f είναι ανάγωγο εν F [x] (Βλέπε ενότητα Πολυωνυµικός δακτύλιος 0) Απόδειξη Αν το f ελάχιστο, τότε είναι και ανάγωγο, µια και αν f = gh, g, h F[x ], το θα είναι ρίζα είτε του f είτε του g, και ο βαθµός αυτών είναι µικρότερος του ελαχίστου βαθµού του f, πράγµα άτοπον Αντίθετα, έστω το f ανάγωγο εν F [x], και g το ελάχιστο πολυώνυµο του επί το F ιαιρούµε το f µε το g και έχουµε, f = qg + r Είναι, f () = g() = 0, οπότε και r () = 0 Όµως ο βαθµός του r είναι µικρότερος του βαθµού του g Το r είναι, λοιπόν, αναγκαστικά το µηδενικό πολυώνυµο, και έτσι οδηγούµεθα εις το άτοπον f = qg ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ) Το σώµα ( k ) = { β + β k}, β, β, k είναι µία πεπερασµένη επέκταση του σώµατος των ρητών Tα στοιχεία, k ( k ), αποτελούν βάση του διανυσµατικού χώρου ( k ) Άρα [ ( k ): ] = είναι ο βαθµός της επέκτασης Στην περίπτωση, που k, ( k ) = και ο βαθµός του είναι Η ( k ), k καλείται τετραγωνική επέκτασις του σώµατος των ρητών ) Το σώµα ( ) { β + β k}, β β =, Συµβολισµός Με L = F(,, ) συµβολίζουµε την ελαχίστη πεπερασµένη επέκταση, που περιέχει τα στοιχεία,, K, L Με τον όρο ελαχίστη επέκταση, νοούµε ότι, κάθε άλλη επέκταση του F, η οποία περιέχει τα στοιχεία, περιέχει και το L Μπορούµε συνεπώς να λέµε ότι, το L είναι η τοµή όλων των επεκτάσεων του F, που περιέχουν τα στοιχεία Με L = F(,, ) συµβολίζουµε την ελαχίστη πεπερασµένη επέκταση L του δακτυλίου F ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Είναι, (, ) : 4 αποτελούν βάση του (, ) =, µια και τα στοιχεία,, και 6, Πρόταση Αν L = F(,, ) µία πεπερασµένη επέκταση του σώµατος F, τότε µπορούµε να βρούµε ένα στοιχείο L, τέτοιο ώστε, L = F(), ώστε το L να είναι απλή επέκταση του σώµατος F Απόδειξη Θεωρούµε την περίπτωση L = F(, ) Έστω τα ελάχιστα πολυώνυµα f F() και f F( ) Τα πολυώνυµα αυτά, είναι (βλέπε ενότητα Πολυωνυµικός δακτύλιος 0) ανάγωγα, και έχουν απλές ρίζες, µία των οποίων είναι η (αντ ) Έστω, αντιστοίχως οι ρίζες τους, = b, b, b και = c, c, cm Θεωρούµε τα b στοιχεία,, m Το πλήθος των στοιχείων αυτών είναι (m ) c και, συνεπώς, µέσα στο σώµα F, υπάρχουν στοιχεία c διαφορετικά απ αυτά Θέτουµε = + c Είναι, b + cc για όλα τα και m Επειδή F, ο
είναι αλγεβρικός αριθµός Η απλή αλγεβρική επέκταση F () που παράγεται απ αυτόν είναι, λοιπόν, F() L Θεωρούµε, τώρα, το πολυώνυµο g(x) = f( cx) F() Όµως, και το f F() Το πολυώνυµο αυτό, έχει κοινή ρίζα µε το f την Από την b + cc, έπεται ότι τα πολυώνυµα g και f δεν έχουν άλλη κοινή ρίζα, µια και αν είχαµε ότι g (c ) = 0, ο cc θα ήταν ρίζα του f, δηλαδή, για κάποιον δείκτη, θα είχαµε b = cc, πράγµα αδύνατον, εκτός της τιµής = Συνεπώς ο µκδ των πολύωνύµων αυτών, είναι το x Άρα, αφού ο µκδ δύο πολυωνύµων επί ενός σώµατος ανήκει και αυτός στο σώµα (µιά και ισχύει η ταυτότης του Bezout, βλέπε ενότητα Πολυωνυµικός ακτύλιος ) ισχύει ότι F(), και άρα, = c F() Η επέκταση F(, ), λόγω του ότι είναι ελαχίστη, περιέχεται στην F () Είναι, λοιπόν, L F() οπότε και L = F() Πρόταση Αν F, L, M πεπερασµένες επεκτάσεις, F L M, τότε και [ M : F] = [M : L] [L : F] Απόδειξη Εξ ορισµού, το στοιχείο c M γράφεται στην µορφή m c + γc + + γmcm = γc = c = γ K, όπου m = [M : F], c M και γ L Κάθε γ L γράφεται γ = β, όπου = [L : F], β F και L Είναι, συνεπώς, και m = = = c = β c Άρα, το τυχόν στοιχείο c M είναι γραµµική έκφραση των m στοιχείων c του Μ, µε συντελεστές από το σώµα F Θα δείξουµε ότι τα στοιχεία αυτά είναι γραµµικά ανεξάρτητα, οπότε θα αποτελούν βάση του Μ επί το F Πράγµατι, µια σχέση m m της µορφής β c = 0 δίδει τις σχέσεις β c = 0 µια και τα βάση του L = = Όµως, και τα Όµως, και τα c βάση του Μ Άρα,,, β = 0 Πόρισµα Αν F F K F F0, τότε και F : F = F : F F : F = [ ] [ ][ ] L[ F : F ] 0 Ερχόµαστε, τώρα, στην περίπτωση του F (), όπου είναι αλγεβρικός αριθµός επί του σώµατος F Υπάρχει, τότε, πολυώνυµο µε συντελεστές από το σώµα F, το οποίον έχει ρίζα τον, (Βλέπε Ενότητα Πολυωνυµικός ακτύλιος) Ανάµεσα σε όλα αυτά τα πολυώνυµα που έχουν ρίζα το, υπάρχει και κάποιο ελαχίστου βαθµού Το πολυώνυµο αυτό f, καλείται ελάχιστο πολυώνυµο του επί το F, και ο βαθµός του, ορίζει τον βαθµό του επί το F, και συµβολίζεται µε το deg K Για παράδειγµα, είναι deg =, µια και το είναι ρίζα του f = x +, που είναι το ελάχιστο πολυώνυµο του επί το R 5 ΕΦΑΡΜΟΓΗ Είναι deg = 5, µια και το πολυώνυµο x 5 είναι ανάγωγο Θεώρηµα Στην περίπτωση που το είναι αλγεβρικό επί το F, R 0 F() : F = deg F
4 p Απόδειξη Παρατηρούµε ότι, τα στοιχεία του F () είναι όλες οι ρητές εκφράσεις όπου q p, q 0 πολυώνυµα εν F [x] Επιπλέον, το σώµα F () περιέχεται σε κάθε σώµα που περιέχει το F και το στοιχείο Υποθέτουµε, τώρα, ότι deg F = Θα δείξουµε ότι τα στοιχεία,,, K, () αποτελούν βάση για το F () Προς τούτο, αρκεί να p() δείξουµε ότι το στοιχείο b = F() ισούται µε κάποιο r (), όπου r(x), µε q() βαθµό 0 deg r(x) Έστω, λοιπόν, f το ελάχιστο πολυώνυµο του Αν deg q, το q δεν είναι δυνατόν να διαιρεί το f Άρα, ( f,q) =, οπότε και (ταυτότης του Bezout) p() sf + tq = Άρα και, t ()q() =, και συνεπώς, = p()t() = r() Για τον βαθµό q() του r(x), παρατηρούµε ότι αν διαιρέσουµε το pt µε το f θα λάβουµε pt = fq + r, απ όπου είναι και p ()t() = r(), µε 0 deg r(x) Το γεγονός ότι τα στοιχεία () είναι γραµµικά ανεξάρτητα, έπεται από το ότι δεν είναι δυνατόν κανένα απ αυτά να είναι ρίζα πολυωνύµου βαθµού Πόρισµα Ο είναι αλγεβρικός αριθµός ανν F () / F = τυχών φυσικός αριθµός Ορισµός Έστω ένα πολυώνυµο f Σώµα διασπάσεως (spltg feld) του πολυωνύ- µου f επί του σώµατος F, καλούν το ελάχιστο σώµα Ε που περιέχει το F και όλες τις ρίζες του f Ένα σώµα Ε καλείται ριζική επέκταση (rdcl exteso) του σώµατος F, αν το Ε είναι απλή αλγεβρική επέκταση του F, E = F(), F, µε F, για κάποιον > 0 Λέµε ότι το πολυώνυµο f λύεται µε ριζικά (solvble by rdcls) επί του F, ανν υπάρχουν οι διαδοχικές επεκτάσεις F F K F F0, F 0 = F, έτσι ώστε, το σώµα διασπάσεως Ε του f, να είναι, E F ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έστω το f (x) = x [x] Με το σύµβολο, που το ορίζουµε έτσι ώστε ( ) =, επεκτείνουµε το σώµα στο ( ) Το ( ) την ρίζα Το σώµα διασπάσεως του f (x) είναι το ( ) παραγοντοποίηση του f (x) είναι η x ( x )( x ) = + αποτελούν βάση της επέκτασης ( ) Είναι, λοιπόν, ( ): = περιέχει και, µέσα στο οποίο η Τα στοιχεία, ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έστω το f (x) = x + x + [x] Στο Μιγαδικοί αριθµοί Αρχικές ρίζες της µονάδος, έχουµε την εξής παραγοντοποίηση του f (x) = x + x +, την x + x + = x + x + + Αν, λοιπόν, θέσουµε ω =, και µε το στοιχείο αυτό επεκτείνουµε το σώµα στο (ω), τότε, µέσα στο σώµα αυτό το f (x) έχει την παραγοντοποίηση x + ω x + + ω Το (ω) είναι το σώµα διασπάσεως
5 του f (x) Τα στοιχεία, ω αποτελούν βάση της επέκτασης (ω) Είναι, λοιπόν, ( ω) : = ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Να βρείτε τον βαθµό του σώµατος διασπάσεως του πολυωνύµου f (x) = x [x] σαν επέκταση του Βρίσκουµε πρώτα τις ρίζες του f (x) Αυτές είναι οι:, ω, ω Το σώµα διασπάσεως του f (x) θα είναι το L = (, ω, ω ) Μπορούµε να κατασκευάσουµε το L, κάνοντας δύο απλές επεκτάσεις του Ξεκινάµε µε την επέκταση F = (ω), που είναι µία επέκταση του βαθµού, µε βάση {, ω} Το ανάγωγο εν πολυώνυµο f (x) δεν έχει όλες τις ρίζες του εν F (είναι ανάγωγο επί του F = F του F διασπά το f (x) σε γινόµενο πρωτοβαθµίων παραγόντων Είναι συνεπώς αυτή που ζητάµε Μία βάσις της F επί την F είναι η {,, 4} Φανερά, F = L Για να βρούµε την βάση της L επί του, πολλαπλασιάζουµε τα στοιχεία της βάσεως F επί τα στοιχεία της βάσεως F Έχουµε συνεπώς βάση της L την {,, 4, ω, ω, 4ω} Άρα και L : = 6 F ) Η επέκταση ( ) Ορισµός Έστω ένα πολυώνυµο f Θα ονοµάζουµε το f(x) χωρισµένο πολυώνυµο (seprble polyoml) επί του F αν όλες οι ρίζες του µέσα στο σώµα διασπάσεως του πολυωνύµου, έχουν πολλαπλότητα Αν Ε επέκτασις του F και E αλγεβρικός αριθµός, θα λέγεται και ο χωρισµένος επί του F, ανν το ελάχιστο πολυώνυµό του, είναι χωρισµένο επί του F Η επέκταση Ε του F θα καλείται χωρισµένη επέκταση, ανν κάθε στοιχείο της είναι χωρισµένο επί του F Ένα σώµα F θα ονοµάζεται τέλειο (perfect feld) ανν κάθε επέκταση Ε του F είναι χωρισµένη Πρόταση Έστω το ανάγωγο επί το F πολυώνυµο f(x) και έστω f (x) η παράγωγός του Το f(x) είναι τότε χωρισµένο επί του σώµατος F, ανν η παράγωγός του f (x) δεν είναι το µηδενικό πολυώνυµο Απόδειξη Έστω Ε το σώµα διασπάσεως του f(x) επί του σώµατος F Τότε, ως γνωστόν, κάθε ρίζα του f(x) είναι απλή, ανν δεν υπάρχει ρίζα του παραγώγου πολυωνύµου f (x) που να είναι και ρίζα του f(x) (βλέπε Πολυωνυµικός ακτύλιος 4) α) Έστω ότι f (x) = 0, x F Τότε, κάθε ρίζα του f(x) είναι και ρίζα του f (x), και, συνεπώς, το f(x) δεν είναι χωρισµένο επί του σώµατος F β) Έστω f (x) 0 και E ρίζα αµφοτέρων των f(x) και f (x) Τότε, το x διαιρεί και τα δύο πολυώνυµα f(x) και f (x) Όµως, deg f (x) < deg f (x) και άρα το f(x) δεν διαιρεί το f (x) Από υπόθεση, το f(x) είναι ανάγωγο Άρα τα πολυώνυµα f(x) και f (x) είναι πρώτα µεταξύ τους Ισχύει λοιπόν, η ταυτότης του Bezout (βλέπε Πολυωνυµικός ακτύλιος ), u (x)f (x) + v(x)f (x) = και κατά συνέπεια το x να πρέπει να διαιρεί την σταθερά, πράγµα άτοπον εν υπάρχει, λοιπόν, ρίζα του f(x) που να είναι και ρίζα του f (x), και άρα, το f(x) είναι χωρισµένο επί του σώµατος F Πρόταση Το (αριθµητικό) σώµα F είναι τέλειο
6 Απόδειξη Έστω το πολυώνυµο f (x) ανάγωγο επί του F, βαθµού Αν =, τότε το f (x) έχει ακριβώς µία απλή ρίζα Αν >, τότε και deg f =, οπότε και f (x) 0 και σύµφωνα µε την προηγούµενη πρόταση, το f (x) είναι χωρισµένο επί του F Αυτοµορφισµοί σώµατος Μία απεικόνιση φ : F F του σώµατος F επί το F, που είναι ένα προς ένα και διατηρεί τις πράξεις, δηλαδή,,b F, φ ( + b) = φ() + φ(b), και, φ ( b) = φ() φ(b), καλείται αυτοµορφισµός του F (βλέπε και ενότητα Οµάδες ) Ισχύει ότι, φ ( ) = Πράγµατι, είναι, φ ( b) = φ(b) = φ() φ(b) Το φ () δρα, συνεπώς, σαν µοναδιαίο στοιχείο Όµως, εδώ, στο σώµα F, το µοναδιαίο στοιχείο είναι µοναδικό Άρα είναι, αναγκαστικά, φ ( ) = Όµοια και για την φ ( 0) = 0 Για κάθε φυσικό αριθµό, ισχύει ότι φ ( ) =, µια και = + K + -φορές Άρα και γιά κάθε ρητό αριθµό q, ισχύει ότι φ ( q) = q Το σώµα παραµένει συνεπώς αναλλοίωτο ως προς την οµάδα των αυτοµορφισµών του F ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Έστω, ότι ζητάµε να βρούµε όλους τους αυτοµορφισµούς του σώµατος ( = ) Το τυχόν στοιχείο του σώµατος αυτού, έχει την µορφή b( ) + c( ) F, b,c Αν φ αυτοµορφισµός του F, τότε και ( ) ( ) ( ) ( ) c = + bφ cφ φ + b + + () Επειδή ( ) = 0, είναι και φ ( ) = 0 στοιχείο ( ) ( ) + µε, απ όπου συµπεραίνουµε ότι και το φ είναι και αυτό µία κυβική ρίζα του Όµως, εν F, το πολυώνυµο f (x) = x, έχει µία και µοναδική ρίζα, την Άρα, φ ( ) = Ο αυτοµορφισµός φ : F F είναι, λοιπόν, λόγω της (), ο ταυτοτικός αυτοµορφισµός του F ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Το ίδιο πρόβληµα µε F ( ) έχει την µορφή + b, και είναι, φ ( b ) = + bφ( ) = Το τυχόν στοιχείο του σώµατος F +, Το πολυώνυµο f (x) = x έχει τις ρίζες ± εν F, Η σχέση, συνεπώς φ (x) = 0 ισχύει για τις περιπτώσεις φ (x) = και φ (x) =, Μπορούµε, λοιπόν, να ορίσουµε δύο αυτό- µορφισµούς φ : F F,, τον ταυτοτικό, για τον οποίο είναι φ ( ) =, και τον φ, για τον οποίο έχουµε φ ( ) =, οπότε και, φ( + b ) = b Παρατηρήσεις ) Αν L µία επέκταση του σώµατος F, το σύνολο των αυτοµορφισµών φ : L L που έχουν την ιδιότητα να απεικονίζουν τα στοιχεία του σώµατος F στον εαυτό τους, αποτελούν, φανερά, υποοµάδα της οµάδας αυτοµορφισµών του L Την οµάδα αυτή την συµβολίζουµε µε το G (L / F) (οµάδα του Glos του L επί του F) ) Σύµφωνα µε το παράδειγµα, o( G( ( ) / ) = παράδειγµα είναι, o ( G( ( ) / ) =, ενώ από το ) Αν αλγεβρικός αριθµός επί του σώµατος F, τότε ο είναι ρίζα ενός αναγώγου πολυωνύµου (βλέπε ενότητα Πολυωνυµικός ακτύλιος 0) το οποίον αν είναι moc, είναι και µοναδικό Έστω οι ρίζες του Η επέκταση είναι δυνατόν να περιέχει ή όχι κάποιες απ τις ρίζες αυτές
7 4) Αν f (x) = c0 + cx + K + cx, τότε και φ (f (x)) = f (φ(x)) Άρα, το F είναι ρίζα του f, ανν το φ () είναι ρίζα του f 5) Επίσης είναι o(g(f() / F)) [F() : F] 6) Στο πρώτο παράδειγµα, ολόκληρος ο χώρος ( )) / παραµένει αναλλοίωτος από τον αυτοµορφισµό φ Στο δεύτερο παράδειγµα, µόνον το σώµα των ρητών παραµένει αναλλοίωτο και από τους δύο αυτοµορφισµούς φ, φ 7) Ως γνωστόν, (βλέπε Γραµµικές απεικονίσεις, Θεώρηµα ), µία γραµµική απεικόνισις ορίζεται πλήρως από τις εικόνες των στοιχείων της βάσεως ενός γραµµικού χώρου Εδώ, η επέκτασις F(, ) είναι γραµµικός χώρος επί του σώµατος F, και ένας αυτοµορφισµός φ : A A όπου A = {, } επεκτεινόµενος επί της επεκτάσεως F(, K, ) θέτοντας x F, x, φ(x) x =, είναι γραµµική απεικόνιση φ : F(, ) F(,, ) K Παρατήρηση Το σύνολο K φ { L φ() = } =, είναι σώµα Το σώµα αυτό, καλείται σταθερό σώµα (fxed feld) του αυτοµορφισµού φ Αν G σύνολο αυτοµορφισµών του L, η τοµή K = I K φ, καλείται σταθερό σώµα του F φ Στο παράδειγµα το σταθερό σώµα του G( ( ) / ) παράδειγµα, το σταθερό σώµα του ( ( ) / ) είναι το ( ), ενώ, στο G είναι το Αν Κ το σταθερό σώµα της οµάδος G (L / F), ισχύει τότε, φανερά, ότι L K F Θεώρηµα Έστω η επέκταση L = F() του σώµατος F, αλγεβρικός αριθµός επί του F, και =, ρίζες του f (x) = c0 + cx + K + cx Τότε, φ G(L / F), ισχύει ότι φ () = Και αντίστροφα, L, υπάρχει µοναδικός αυτοµορφισµός φ G(L / F), τέτοιος ώστε φ( ) = (Βλέπε και προηγούµενη παρατήρηση 7) Απόδειξη Η παρατήρηση 4) για x = και = φ( ) αποδεικνύει το πρώτο µέρος του θεωρήµατος Για το αντίστροφο: Το θεώρηµα, µας επιτρέπει να γράφουµε τον τυχόντα b L στην µορφή b = r(c) όπου r(x) µε deg r(x) Οι ισότητες φ (b) = φ(r(c)) = r(φ(c)) προσδιορίζουν µονοσήµαντα τον φ G(L / F) Υπάρχει συνεπώς το πολύ ένας αυτοµορφισµός φ, τέτοιος ώστε φ () = Για να κατασκευάσουµε αυτόν τον αυτοµορφισµό, εργαζόµαστε ως εξής: b L, γράφουµε την έκφρασή του b = r(c) για το κατάλληλο πολυώνυµο r(x), και µετά ορίζουµε την φ (b) = r(c) Ο φ, έτσι όπως ορίσθηκε, απεικονίζει τα στοιχεία του F στον εαυτό τους, και την ρίζα του r, σε ρίζα του r ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Ας υπολογίσουµε την οµάδα Glos του σώµατος διασπάσεως του πολυωνύµου f (x) = x [x] Λόγω της προηγούµενης προτάσεως, ο οιοσδήποτε αυτοµορφισµός φ της οµάδος Glos G(L / ) προσδιορίζεται από τις εικόνες των στοιχείων της βάσης του L Εξ άλλου, επειδή η εικόνα µιάς ρίζας είναι και αυτή ρίζα, έχουµε τις επιλογές: φ =, είτε φ( ) = ω, είτε φ ( ) = ω ( ) είτε φ (ω) = ω, είτε φ (ω) = ω