Zenbaki errealak ZENBAKI ERREALAK ZENBAKI ARRAZIONALAK ORDENA- ERLAZIOAK ZENBAKI IRRAZIONALAK HURBILKETAK LABURTZEA BIRIBILTZEA GEHIAGOZ ERROREAK HURBILKETETAN
Lagun ezezaguna Mezua premiazkoa zirudien eta Sophie Germainen lagun mina zen Pernety jeneralak alde batera utzi zituen bere bulegoak eta laguntzaileari bere laguna sartzea esateko agindu zion. Biak eseri ondoren, jenerala hitz egiten hasi zen: Orain, Sophie, esaidazu zer den hain garrantzitsua. Emakumea asaldatu zen eta, urduri, hizketan hasi zen behin eta berriz trabatuz: Ez utzi Arkimedesi gertatu zitzaiona berari ere gertatzea! Gerrak ez du inor errespetatzen eta berak ez du gaitzik egin; hiltzen bada konponezina izango da. Zertaz ari zara? moztu zion. Ez dut ezer ulertzen. -Prusiako gerra! Armada inperialak Brunswickeko hiria inbadituko du, eta han gerrez ezer ez dakien jakituna bizi da: Gauss du izena. Babestu zure armada hirira sartzen denean! Lasai, zure laguna babestuko dut ezer txarrik ez gertatzeko. Beranduago, kanpainaren ondoren, Parisera itzultzean, Pernety jenerala Sophierekin bildu zen berriz: Pozik egongo zara, eskatutakoa bete dut; hala ere, zerbait arraroa gertatu zen; izan ere, bere ongilea nor zen adierazi nionean ez zintuela ezagutzen esan zidan. Matematikariak oso arraroak dira! Sophiek barre egin zuen, eskerrak eman eta Gauss eskutitzez bakarrik ezagutzen zuela azaldu zion. Gutunetan beste izen batekin sinatzen zuela esan zion: Le Blanc izenarekin. Gutun horietako batean ageri dira Germainen zenbaki lehenak. Zenbaki lehen horien bikoitza gehi bat, zenbaki lehena ere bada. Aurkitu Germainen 0 zenbaki lehen. Germainen lehen 0 zenbaki lehenak hauek dira:,,,,,,,, 8 y 8 + = + = 07
Zenbaki errealak ARIKETAK 00 Idatzi, eragiketarik egin gabe, zer motatako adierazpen hamartarra duten zenbaki hauek. a) c) e) 0 60 b) 0 d) f) 6 6 a) Hamartar zehatza d) Periodiko hutsa b) Periodiko hutsa e) Hamartar zehatza c) Periodiko mistoa f) Periodiko mistoa 00 Idatzi hau adierazten duten bina zatiki: a) Zenbaki hamartar zehatza. b) Zenbaki hamartar periodiko mistoa. a) eta b) 6 eta 00 Arrazionalak al dira zenbaki hamartar periodiko guztiak? Bai, zatiki moduan jar daitezkeelako. 00 Adierazi zatiki gisa zenbaki hamartar hauek. a),7 c),7 e),67 b) 0,6 d) 0,6 f) 0,6 Sinplifikatu ahal duzun beste zatiki sortzailera heltzeko lortutako zatikiak. 7 6 a),7 = = d) 06, = = 00 6. 67 b) 06, = = e), 67 = = 00 7 6 c) 7, = = f) 0, 6 = 6 7 00 Adierazi zatiki gisa. a), b), c) 0, Zeren baliokide da k sortutako periodoa? a), 6 = b), 8 = = = c) 0, = k sortutako periodoa unitate osoaren baliokidea da. =
ERANTZUNAK 006 Osatu. a) 6, = b) 6, = 8 a) 6, = b) 6, = 007 Kalkulatu zenbaki hamartar hauen zatiki sortzaileak. a),6 c) 0, e) 0, b), d),66 f) 0, a),6 =,6. = d),66 =,6. = 00 0 b),. 8. = e) 0, = = =. 000. 00 c) 0, = f) 0, 0 = 0 00 008 Eragiketarik egin gabe, ondorioztatu zein berdintza den zuzena.. a) 6,. = c) 6, = 0. b) 6,. = d) 6, = 0 Izendatzailean bi ageri dira eta haien ondoren 0 bat; beraz, c) atala da. 00 Eragiketarik egin gabe, adierazi zein berdintza den zuzena. 0 a) 000, = b) 000, = c) 000, = d) 000, = 8 b) eta d) ataleko berdintzak zuzenak dira. 00 Egin eragiketak, zatiki sortzailearen laguntzaz. a) (, ) c), 0,7 b),7 + 0,7 d), : 0, a) (, ) = = 8 b),7 + 0,7 8 7 7. 68 = + = =,7 00. 00 c), 0,7 = d), : 0, = 6 7 = 7 : =
Zenbaki errealak 0 Hartu etik 0ra arteko zenbakien erro koadroak, eta adierazi zein diren zenbaki arrazionalak eta zein zenbaki irrazionalak. Arrazionalak hauek dira: =, =, =, 6 =. Gainerakoak zenbaki irrazionalak dira, karratu perfektuak ez direlako. 0 Idatzi lau zenbaki irrazional eta azaldu zergatik diren irrazionalak., 7, eta 7 irrazionalak dira karratu perfektuak ez direlako. 0 Adierazi zer motatakoak diren zenbakiak. a), b) 0,680 c) a) Arrazional periodiko hutsa. b) Arrazional hamartar zehatza. c) Irrazionala. 0 0 Arrazoitu ea zuzenak diren esaldiak. a) Bi zenbaki arrazionalen batura zenbaki irrazionala da beti. b) Zatiki baten erro karratua zenbaki irrazionala da. a) Okerra da, esaterako: + eta + + = 8 b) Okerra da, zenbakitzailea eta izendatzailea karratu perfektuak direnean. = Alderatu zenbakien bikoteak. 7 a) eta c) eta 7 b) eta,7 d) eta,60 7 a) < c) < 7 b) <,7 d),60 < 06 Adierazi zenbakien zein multzotakoa den zenbaki bakoitza. a) 8,0 d) g) b) e) 6,6 8 h) 7 c), f),... i) π 6
ERANTZUNAK a) Arrazional periodiko mistoa. f) Irrazionala. b) Osoa. g) Irrazionala. c) Arrazional hamartar zehatza. h) Arrazional periodiko hutsa. d) Arrazional hamartar zehatza. i) Irrazionala. e) Arrazional periodiko mistoa. 07 Idatzi bi zenbaki arrazional eta bi zenbaki irrazional, eta artekoak. Arrazionalak:, eta, Irrazionalak:,000000 eta,678 zenbakien 08 Ohartu zer gertatzen den < desberdintzan, baldin: a) Bi zenbakiei kentzen badiegu. b) Bi zenbakiak z biderkatzen baditugu. a) Desberdintza egia da: < 0. b) Desberdintzaren zeinua aldatzen da: 6 > 0. 0 Aurki al daiteke zenbaki arrazional bat edozein bi zenbaki arrazionalen artean? Eta zenbaki irrazional bat? Arrazoitu erantzuna. Bi zenbaki arrazionalen artean beti dago zenbaki arrazional bat; esaterako, bi zenbakiren erdiko puntua. Bi zenbaki arrazionalen artean zenbaki irrazional bat aurki dezakegu beti; esaterako, bietatik txikienari bi zenbakiren arteko aldea baino txikiagoa den edozein zenbaki irrazional batzean lortzen dugun zenbakia. 00 Atera biderkagai komuna, egin eragiketak eta sinplifikatu lortutako adierazpena. a) b) c) 7 + 7 7 + 7 0 + + 0 7 7 a) + 7 = + 7 7 = = 7 77 7 7 b) + 7 = + 7 = 0 = 0 c) 0 0. 80 + + = ( 6 + + 0) = = 7
Zenbaki errealak 0 0 Kalkulatu zenbaki erreal bakoitzaren aurkakoa eta alderantzizkoa. a) c) 0, e) π b) d) f) 8 8 a) Aurkakoa: Alderantz.: d) Aurkakoa: Alderantz.: 8 b) Aurkakoa: Alderantz.: e) Aurkakoa: Alderantz.: 0 c) Aurkakoa: 0, Alderantz.:, f) Aurkakoa: π Alderantz.: = π Kalkulatu 0,07 -ren alderantzizkoa. 0 007, = = 0 007, 0 0 0 Adierazi zenbaki erreal hauek. a) b), c) 7 d), e) f),,, 7 π F F F F G G 0 6 7, 0 Kalkulatu, kalkulagailu erabiliz 6, 7 eta 0 zenbakiak, eta adierazi zuzenean, gutxi gorabehera. 6 0 F F 0 7 G 0 Begiratu zuzen erreal honi eta idatzi. A B C D 0 a) A eta C arteko bi zenbaki oso. b) Osoak ez diren hiru zenbaki arrazional, B eta C artean. c) C eta D arteko hiru zenbaki irrazional. a) 0 eta b) 0,; eta 0, c), eta 8
ERANTZUNAK 06 Adierazi tarteen bidez baldintza hauek betetzen dituzten zenbaki errealen multzoak: a) baino txikiagoak dira. c) 0 baino handiagoak dira. b) baino txikiagoak edo haren berdinak dira. d) baino handiagoak edo haren berdinak dira. a) b) c) (0, + ) d) +,,, 07 08 0 Adierazi zuzen errealean, idazkera matematikoa erabiliz. a) { x R, x } c) { x R, x < 7} b) { x R, x > } d) { x R, 6 < x < } a) (, ] b) (, + ) c) [, 7) d) (6, ) 0 6 7 8 6 7 8 0 Adierazi zenbakizko multzo hauek tarte gisa. a) x < b) x < c) x a) (, ) b) Ez du ebazpenik. c) (, + ) Kalkulatu,6 zenbakiaren hurbilketa ehunenetara eta milarenetara, gutxiagoz eta gehiagoz. Erabaki zein zein den biribiltzea. Ehunenak Milarenak Gutxiagoz,,6 (biribilduz) Gehiagoz, (biribilduz),7 00 Hurbildu ehunenera, etendura eta biribiltze bidez. a),87 c), e),67 b),07 d),8 f),67 Biribilduz Laburtuz a),87,6, b),07,, c),,, d),8,6, e),67,6,6 f),67,6,6
Zenbaki errealak 0 Irakasle batek 0 ikasleren nota biribiltzea pentsatu du. Zer nota jarriko dizkie?,8 6,,7,,8 8,,7,,8 6, Nota hauek jarriko dizkie:, 6, 0,, 6, 8, 0,, eta 6. 0 Kalkulatu laukizuzen baten diagonala, jakinik aldeak 8 cm eta 0 cm luze direla. Zer zenbaki mota lortu duzu? Biribildu milarenetara. Zenbaki irrazional bat da. d = 8 + 0 = 6, 806 0 Kalkulatu egindako errore absolutua eta erlatiboa: a) Biribiltzean, milarenetara. b) Laburtzean,6 hamar milarenetara. c) Biribiltzean ehunenetara. d) Laburtzean hamarrenetara. e) Gutxiagoz hurbiltzean,76 milarenetara. a) E a =,, = 0 E e = = 0 % 0 b) E a =,6,66 = 0,00006 E e =,,,, 6, 66 6, = 0, 00006 % 0,00 c) E a =,6 = 0,0087 E e =, 6 = 0, 008 % 0, d) E 0,006 a = 066, = 066, E 0,00 e = = % 0, e) E a =,76,7 = 0,0006 E e =, 76, 7, 76 = 0, 0007 % 0,0 0
ERANTZUNAK 0 0 Kapsula bateko antibiotiko kantitatea hau da:, g %± 0,. a) Zer esan nahi du horrek? b) Zer tartetan dago antibiotiko kantitatea kapsula bakoitzean? a) Esan nahi du kapsula batek, gramo dituela, % 0, errore erlatiboarekin. 0,, 0, b), en % 0, = = = 0, 00 00 00 Kantitatea hauen artean dago: (, 0,00;, + 0,00) = (,7;,0) Idatzi errore erlatibo bera duten, zenbakiaren bi hurbilketa. Esaterako,, eta,ren hurbiltzeak. ARIKETAK 06 Erabili zenbakizko adierazpen egokia, kasu bakoitzean. a) Zortzi haurren artean gozoki banatzea. b) eta 7 zentimo gastatu ditut. c) Denda honetan % eko beherapena egiten dute. d) Ordu laurden daramate autobusari itxaroten. e) Autoaren kuotetatik ordaindu ditut. f) Ikasleen % 0ak dio ez duela barazkirik jaten. g) Bidaiak ordu eta erdi iraun du. 0 a) b),7 c) d) ordua e) f) g), ordu 8 00 00 07 08 Zenbat zenbaki arrazional daude segida honetan? Ba al dago zenbaki osorik? Eta arruntik? 6 00 0,,,,,,,,, 8 8 00 0 00 00 Arrazionalak: guztiak. Osoak: = 6 eta =. Arruntak: =. Adierazi zatikiak zenbaki hamartar gisa eta adierazi zer motatako hamartarrak diren. a) 0, Hamartar zehatza f),7 8 Periodiko hutsa b), Periodiko mistoa g) 0, Periodiko hutsa c) 0,7 Hamartar zehatza h) 0,00 Hamartar zehatza d) 0,0 Periodiko mistoa i) 0,708 Periodiko mistoa e) 0,8 Periodiko mistoa
Zenbaki errealak 0 Idatzi bi zatiki, haien aderazpen hamartarra honelako zenbakia dela: a) Hamartar zehatza. b) Hamartar periodiko hutsa. c) Hamartar periodiko hutsa. 7 7 a) eta b) eta c) 6 eta 00 Idatzi ezaugarri hauek dituen zenbaki hamartar bana. a) Periodiko hutsa; periodoa,. b) Zehatza, hiru zifra hamartarrekin. c) Periodiko mistoa; aurreperiodoa, 8. d) Periodiko hutsa; zifrako periodoa. e) Periodiko mistoa; periodoa, 7. f) Zehatza; zati osoa,. a), c),8 e) 6,87 b), d),68 f),6 0 Kalkulatu zatiki sortzailea. a) 0, c),7 e) 0,0 g), b), d) 8,000 f) 7,87 h) 0,000000 a) 7 c) e) 0 00 g) b) 0. 00 0 d) f). 000 8 h) 8. 0. 000. 000 0 Kalkulatu zenbaki hamartar periodiko hauen zatiki sortzailea. a), e) 0,07 i),6 b),0 f),00 j) 0, c), g),78 k) 0,0007 d),7 h) 0,8 l),7 a) 6 e) =. 00. 0 i) b). 87. 6 0. 8 f) = 00 0 j) c) 7. 6. g) = k) 7 8 d) = h) l) 0 8. 0. 8. 0 = 0 7. 000. 0 =. 0.
ERANTZUNAK 0 Adierazi zer motatako hamartarra den eta kalkulatu zatiki sortzailea. a), c), e), b), d), f). 7 8 a) Periodiko mistoa d) Hamartar zehatza 0. 0 8 b) Periodiko hutsa = e) Periodiko hutsa = c) Irrazionala f) Hamartar zehatza 6 0 Idatzi zenbaki hamartar hauen zatiki sortzailea. a), c), e) 0,... b), d), f) 8,7... a) 0 c) e) b) 0 d) 0 f) 7. 7. 87 = 00 0 0 Beheko zenbaki hamartarren periodoa da. Kalkulatu zer zenbaki diren eta adierazi zatiki gisa. a), b), c) 0, 8 a) = b) = 6, c) 0 8 0 = 0, 06 Ordenatu zenbaki hamartar hauek, txikienetik handienera.,,,,,,, <, <, <, <, <, 07 Ordenatu zenbaki hamartar hauek, txikienetik handienera.,,,,,, <, =, <, <, 08 Ordenatu zenbaki hamartar hauek, handienetik txikienera.,7,7,7,77,77,77,77 >,77 =,7 >,77 >,7 >,7
Zenbaki errealak 0 Ordenatu zenbaki hamartar hauek, txikienetik handienera. a) 7, < 7, < 7, < 7, < 7, b),6 <,6 <,6 <,6 c) 8, < 8, < 8, < 8, d) 7, < 7, < 7, 00 Idatzi zenbaki arrazional bat, hauen artean dagoena: a), eta,00 b),6 eta,68 c), eta, a),00 b),6 c), 0 EGIN HONELA NOLA EGITEN DIRA ZENBAKI HAMARTAR PERIODIKOEN ARTEKO ERAGIKETAK? Egin eragiketa hau:,7 + 7, LEHENA. Zenbaki hamartar bakoitzaren zatiki sortzailea kalkulatu behar da. 7, 7 = 0 7, = 7 7 = 6 BIGARRENA. Adierazitako eragiketak egiten dira, hamartarren ordez haien zatiki sortzaileak idatziz.,7 + 7, 7 6 7 + 6 0 = + = = 0 0. + 60. 7 = = =, 0 0
ERANTZUNAK 0 Egin eragiketak, zatiki sortzaileak erabiliz. a), +, c),6 + 8, e),6 +, b) 0,,7 d), + 6,7 f), +, a), 7 7 +, = + = b) 0,,7 0 = = 0 0 c),6 + 8, 87 = + = d), + 6,7 6 0 = + = = e),6 +, = f), +, =. 7. 686. 6 + = = 0 0 0 8. 6 7.. 8 + = = 0 0 0 0 Egin eragiketak. a),, c),76,8 b) 0,0 :, d), :, a),, = c),76,8 86 = = =. 6 0 b) 0,0 :, 6 = d), :, : = = 0 0 6 0 : = 0 06 0 Zatiki sortzaileak erabiliz, aztertu zuzenak ala okerrak diren berdintza hauek. a), = c),8 + 0, = e) 0, + 0,6 = b), : = 0, d) 0, 0, = 0 a), 8 = = Zuzena. b), : = : = = 0, Zuzena. c),8 + 0, 7 0 8 = + = Okerra. 0 0 0 d) 0, 0, = = 0 Zuzena. e) 0, + 0,6 6 = + = Zuzena.
Zenbaki errealak 0 Idatzi 6,8 zenbakia bi zenbaki hamartar periodikoen arteko batuketa gisa. 7 67 68, = = + =, +,6 06 Zein da hogeita seigarren zifra hamartarra, hamartar gisa adierazten badugu 8 zenbakia? Arrazoitu zure erantzuna.. 8 = 0,08. Periodoak lau zifra dituenez, hogeita seigarren zifra. hamartarra periodoaren bigarrena da:. 07 Zer motatako zenbaki hamartarra lortuko dugu bada? a zatikitik, a zenbaki osoa Zenbaki oso edo hamartar zehatza lortuko dugu, zatidura, ko eta eko berreketen biderkadura delako. 08 Arrazoitu zenbaki hamartar hauetatik zein diren arrazionalak eta zein irrazionalak. a), e), b), f), c), g), d), h), a) Arrazional periodiko hutsa. e) Arrazional periodiko mistoa b) Arrazional hamartar zehatza. f) Arrazional periodiko hutsa. c) Irrazionala. g) Arrazional periodiko mistoa d) Irrazionala. h) Arrazional hamartar zehatza. 0 Adierazi zein zenbaki diren arrazionalak eta zein irrazionalak. a) d) 0 g) 6 b) e) h) 6 c) f) i) 7 Arrazionalak b) eta h) ataletako zenbakiak dira; gainerakoak, irrazionalak. 060 Adierazi zein zenbaki diren arrazionalak eta zein irrazionalak. a) + c) e) 6 6 b) d) 8 + 0 f) Arrazionalak c), e) eta f) ataletako zenbakiak dira. Irrazionalak a), b) eta d) ataletako zenbakiak dira. 6
ERANTZUNAK 06 Idatzi hiru zenbaki arrazional eta hiru irrazional. Azaldu nola egin duzun. Zenbaki arrazionalak zenbaki osoen zatikien emaitza dira.,;, eta 7,0 Zenbaki irrazionalak beren zati hamartarrak periodorik ez duen zenbakiak dira., ;, ;, 06 Idatzi zenbakien bikoteen arteko zenbaki irrazional bana: a) eta b) 0, eta 0, c) 0,7 eta 0,7 d), eta, a), b) 0, c) 0,70 d),0000000000 06 Triangelu aldeberdin batean, kalkulatu zer motatako zenbakia den: a) Altuera, aldea 0 cm luze bada. b) Azalera, aldea cm luze bada. c) Altuera eta azalera, aldea cm luze bada. h l a) h = 0 = 7 cm Irrazionala da. 7 b) h = A 7 7 = cm = = cm Irrazionala da. c) h = = = cm A = = cm Irrazionalak dira. 06 Ordenatu txikienetik handienera, kalkulagailuaren laguntzaz. + 7 + + 8 < < < + < 7 < 8 < + < + 7
Zenbaki errealak 06 EGIN HONELA NOLA FROGATZEN DA ZENBAKI BAT IRRAZIONALA DELA? Frogatu 7 zenbaki irrazionala da. LEHENA. Zenbaki irrazionala dela suposatu behar da. Horren arabera, zatiki laburtezin gisa adierazi behar da. 7 = a a, laburtezina delarik b b BIGARRENA. Bi atalak ber bi egin behar dira. a a 7 = 7 = b b Hau da, a zatigarria da b -z; hori ezinezkoa da, a eta b lehenak direlako elkarrekiko. Beraz, 7 ezin da zatiki gisa adierazi. 066 Frogatu 0 zenbaki irrazionala dela. a Baldin eta 0 = a, laburtezinarekin, karratura jasotzean b b 0 = a b badugu, a b -rekin zatigarria da, eta hori ezinezkoa da, a eta b zenbaki lehenak direlako elkarrekiko. 067 Adierazi zenbaki erreal hauetako zein diren arruntak, osoak, arrazionalak eta irrazionalak. Esan zer motatakoa den adierazpen hamartarra. a),7 e) π 6 7 b) f) 7 0 c) g) 6 d) h) a) Arrazional hamartar zehatza. b) Arrazional periodiko hutsa. c) Arrazional hamartar zehatza. d) Irrazionala. e) Irrazionala. f) Arrazional periodiko mistoa. g) Osoa. h) Osoa. 8
ERANTZUNAK 068 06 Alderatu zenbakien bikoteak. a), eta, b) eta ( ) c), eta d) a), >, b) = ( ) c), < d) Ordenatu zenbaki errealen multzoak txikienetik handienera. a) 7, 7, 7, 7,... b),6,667788,666777,67 c) 8, 8,666 8, 8, eta > a) 7, < 7, < 7, < 7, b),6 <,667788 <,666777 <,67 c) 8, < 8, < 8, < 8,666 070 Kalkulatu alderantzizkoa eta aurkakoa: a) d) g) b) e) π h), c) f), i) 0, a) Alderantzizkoa: = 0, Aurkakoa: b) Alderantzizkoa: = 0, Aurkakoa: c) Alderantzizkoa: = 07, Aurkakoa: =, d) Alderantzizkoa: = 0,6 Aurkakoa: e) Alderantzizkoa: 0 80886 Aurkakoa: π =,6 π =, f) Alderantzizkoa: = 0,7 8 Aurkakoa:, 7 g) Alderantzizkoa: = 0, 7706 Aurkakoa: h) Alderantzizkoa: = 0,6 07 Aurkakoa:, 0 i) Alderantzizkoa: = 8,8 Aurkakoa: 0, = 7, =, 700808
Zenbaki errealak 07 Arrazoitu zuzenak ala okerrak diren esaldiak. a) Arrazionalak ez diren zenbaki osoak daude. b) Zenbaki errealak ez diren zenbaki irrazionalak daude. c) Zenbaki erreala arrazionala edo irrazionala da. d) Edozein zenbaki hamartarra zenbaki erreala da. a) Okerra, edozein zenbaki oso zenbaki osoen zatiki gisa adieraz daitekeelako: zenbaki bera batekoaz zatituta. b) Okerra, zenbaki irrazionalak zenbaki errealen barnean daudelako. c) Zuzena. d) Zuzena, zenbaki hamartarrak arrazionalak edo irrazionalak direlako, eta guztiak zenbaki errealak dira. 07 Adierazi zuzenak ala okerrak diren esaldiak. Arrazoitu zure erantzuna. a) Zenbaki hamartar guztiak zatiki gisa idatz daitezke. b) Zenbaki erreal guztiak arrazionalak dira. c) Zenbaki irrazional bat erreala da. d) Irrazionalak diren zenbaki osoak daude. e) Arrazionalak diren zenbaki errealak daude. f) Edozein zenbaki hamartar arrazionala da. g) Zenbaki arrazional bat osoa da. h) Zenbaki irrazionalek infinitu zifra hamartar dituzte. i) Zenbaki arrazional guztiek errepikatzen diren infinitu zifra hamartar dituzte. j) Zenbaki arrazional guztiak zatikien bidez idatz daitezke. a) Okerra, zenbaki arrazionalak bakarrik idatz daitezkeelako zatiki gisa. b) Okerra, zenbaki irrazionalak ez direlako arrazionalak. c) Zuzena. d) Okerra. e) Zuzena. f) Okerra, zenbaki irrazionalak ez direlako arrazionalak. g) Okerra, bi zenbaki osoen zatidura delako. h) Zuzena. i) Okerra, bi zenbaki osoen zatidura delako. j) Zuzena. 0
ERANTZUNAK 07 Egin eragiketak, biderkagai komuna atereaz. a) + + + + + 66 + 77 + 88 b) + + + + c) + 7 d) + a) ( + + + + + 6 + 7 + 8) = 6 = 6 b) ( + + + + ) = =.66 c) + 7 = = 67 d) + = = 07 a eta b zenbaki errealak badira eta a < b betetzen bada, zer gertatzen da aurkakoekin? Eta alderantzizkoekin? Arrazoitu erantzuna. Alderantzizkoak: > a b Aurkakoak: a > b 07 Egin eragiketak eta adierazi zer motatako zenbaki erreala lortzen den. a),7 b),0,, c) a),7 = = Arrazionala b),0, 6 6 7 = = = 0 0 0 0 = 7, Arrazionala c) = = Arrazionala 076 Zer zenbakirena da adierazpen hau? + = = 0
Zenbaki errealak 077 Adierazi zenbaki irrazional hauek zehatz-mehatz zenbakizko zuzenean, Pitagorasen teorema erabiliz.. a) 8 b) c) d) a) 8 G 0 8 b) 0 G 0 c) d) G 0 0 6 G 078 Ordenatu zenbakiak txikienetik handienera eta adierazi. 0, 0, < < 0, < < < F F F G G 0
ERANTZUNAK 07 Ordenatu txikienetik handienera eta adierazi, zehatz-mehatz edo gutxi gorabehera, eta arrazoitu aukera. 6, +,67 < 6, < 67, < < +,6,67 F F G 0 G G + 080 Naturan, eraikuntzetan eta eguneroko bizitzan, zenbait erlazio metrikotan, urrezko zenbakia ageri da: Φ= + Adieraz al daiteke zehatz-mehatz zenbakizko zuzenean? Arrazoitu zure erantzuna. Bai, posible da. adierazten da ( laukizuzeneko diagonala), gero gehitzen zaio (konpasaz bateko bat gehitzen zaio segmentuari), eta ateratzen den zuzenkiaren erdiko puntua kalkulatzen da. 08 Deskribatu tarteak eta adierazi zuzen errealean. a) (0, 0) c) (, ) e) [, 0) b) (, 7] d) [, ] f) [, + ) a) 0 < x < 0 b) < x 7 c) x < d) x e) x < 0 f) x 0 0 6 7 8 0 6 6 7 8 0
Zenbaki errealak 08 Idatzi x-ren balioei dagozkien tarteak. a) < x < c) x e) x > g) x < b) 6 < x 7 d) x < f) x 7 h) 0 x a) (, ) c) (, ] e) (, + ) g) [, ) b) (6, 7] d) (, ) f) [7, + ) h) [0, ] 08 Adierazi egoera hauek tarteen bidez. a) Etxeen altuera 8 m baino txikiagoa da. b) Deskontua eta urte bitarteko haurrei aplikatzen zaie, biak barne. c) Txartela 6 urtetik beherakoentzat da. d) Sarrera doan da urtetik beherakoentzat edo 6 urtetik gorakoentzat. e) Tenperatura 7 C eta C artekoa izan zen. a) (0, 8) b) [, ] c) (0, 6) d) (0, ) (6, + ) e) [7, ] 08 Adierazi (0, ) eta (, ) tarteak zuzen berean, eta adierazi zein den ebakidura tartea. 0 Ebakidura-tartea (0, ) da. 08 Adierazi (, 8) eta [, + ) tarteak zuzen berean, eta adierazi tarte baten bidez bi tarteetakoak diren puntuak. 0 6 7 8 Ebakidura-tartea [, 8) da. 086 Idatzi bi tarte, haien arteko ebakidura [, ] tartea izan dadin. Esaterako: [, ) ( 8, ] = [, ] 087 Idatzi [0, ] tarteko bi zenbaki arrazional eta bi zenbaki irrazional. Arrazionalak:, y, Irrazionalak: eta
ERANTZUNAK 088 EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA ERAGIKETA BATEN EMAITZARI DAGOKION TARTEA? x, (, ) tartekoa bada eta y (, ) tartekoa, adierazi zer tarte diren eragiketa hauen emaitza. a) x + y b) x y LEHENA. Tarteen muturrak hartu eta eragiketak egiten behar dira, adierazitako moduan. Beheko muturrak Goiko muturrak a) x + y + = x + y + = 6 b) x y = x y = 0 BIGARRENA. Emaitzak tarte berrien mutur gisa hartu behar dira. a) x + y (, 6) tarteari dagokio. b) x y (, 0) tarteari dagokio. 08 Bi zenbaki erreal, x eta y, (, ) eta [0, ] tarteetakoak badira, hurrenez hurren, zer tarte dagozkie eragiketa hauen emaitzei? a) x + y b) x y c) y x d) x y a) (, ) b) (, ) c) (, ) d) (, 6) 00 Kalkulagailuaren laguntzaz, idatzi hamartar gisa eta gehiagozko eta gutxiagozko hurbilketak hamar milarenetara. =,70080768877760 Gehiagozko hurbilketa:,7 Gutxiagozko hurbilketa:,70 0 Biribildu milarenetara 7 zenbakia. Kalkulatu gehiagozko eta gutxiagozko hurbilketak. Zer hauteman duzu? Gehiagozko hurbilketa:,66 Gutxiagozko hurbilketa:,6 0 Hurbildu gehiagoz eta gutxiagoz bi zifra hamartarrekin. a) b) c) d),6 7 a) Gehiagozko hurbilketa: 0,7 c) Gehiagozko hurbilketa:, Gutxiagozko hurbilketa: 0,7 Gutxiagozko hurbilketa:, b) Gehiagozko hurbilketa:,0 d) Gehiagozko hurbilketa:,66 Gutxiagozko hurbilketa:,0 Gutxiagozko hurbilketa:,6 )
Zenbaki errealak 0 Zer agertuko da kalkulagailu zientifikoaren pantailan, zenbaki hauek sartzean, aurrez hamarreko finkatzeko teklen sekuentzia sakatu badugu? Eta hamarreko finkatuz gero? a),87677 d),6678 b) 0,66666 e) 8,000 c) 8,8766 f),0800 hamartar hamartar a),87677,877,8768 b) 0,66666 0,6666 0,66666 c) 8,8766 8,877 8,8766 d),6678,6,67 e) 8,000 8,00 8,00 f),0800,080,080 0 Idatzi honelako zenbaki bana: a) Hamartar periodiko hutsa, milarenetara biribildu eta gero,677 bada. b) Hamartar periodiko mistoa, ehunenetara laburtu eta gero 0,7 bada. c) Irrazionala, hamar milarenetara biribildu eta gero 0,00 bada. a),67 b) 0,7 c) 0,00678 0 Ba al dago gutxiagozko eta gehiagozko hurbilketak berdinak diren kasurik? Eta biribiltzea aintzat hartuz gero, izan al daiteke gehiagozko eta gutxiagozko hurbilketen berdina? Gehiagozko eta gutxiagozko hurbilketak bat datoz orden batera hurbiltzen baditugu eta zenbakian zero ez diren zifra guztiak goragoko ordena batekoak badira. Biribiltzea beti bat dator aurreko batekin; beraz, batekin edo biekin bat etor daiteke. 06 Kalkulatu zenbaki hauek biribiltzean eta etetean egindako errore absolutua eta erlatiboa: a) 7 ehunenetara. c) 0,6 hamarrenetara. b) 7,68 milarenetara. a) Biribiltzea Laburtzea Errore absolutua 0,00 0,008 Errore erlatiboa 0,00088 0,007088 6
ERANTZUNAK b) c) Biribiltzea Laburtzea Errore absolutua 0,000 0,0008 Errore erlatiboa 0,000078 0,000087 Biribiltzea Laburtzea Errore absolutua 0,0 0,06 Errore erlatiboa 0,00 0,00708 07 0,6 zenbakiaren hurbilketa 0, bada, zer errore egin da? Eta hurbilketa 0, bada? Zein hurbilketa da hobea? Zergatik? 0,era hurbiltzean; errore absolutua 0,0koa da. 0,ra hurbiltzean; errore absolutua 0,06koa da. 0,era egindako hurbilketa hobea da, errore txikiagoa egiten delako. 08 0 8,67ren gutxiagozko hurbilketa 8,6 da. Kalkulatu errore absolutua eta errore erlatiboa. Errore absolutua: 0,007 Errore erlatiboa: 0,00078 Idatzi zenbakia hamartar gisa, ahalik zifra gutxiena erabiliz eta egindako 7 errorea ehunen bat baino txikiagoa izan dadin. 0, 0, < 0, 00 7 7 00 Hurbildu,6 zenbakia, errore absolutua 0,00 baino txikiagoa izateko moduan. Hurbilketa hauetatik edozeinek balio du:, edo,6 0 Hona hemen urrezko zenbakia: Hurbildu biribiltze bidez ehunenetara, eta kalkulatu errore absolutua eta erlatiboa. Φ,6 Errore absolutua: + Φ= + =, 680 6, = 0,006600 Errore erlatiboa: + + 6, = 0,0006778 7
Zenbaki errealak 0 Egin eragiketak eta biribildu emaitzak hamarrenetara. Ondoren, biribildu zenbaki bakoitza hamarrenetara eta egin eragiketa. Zein modutan egiten da errore txikiena? a), + 8, b), 8, c),,7 d) 0, :, a), + 8, =,70,7, + 8, =,8 Errorerik handiena batugai bakoitza biribilduz egiten da. b), 8, =,,, 8, =, Errore bera egiten da. c),,7 = 6, 6,,,7 = 6, Errorerik handiena emaitza biribilduz egiten da. d) 0, :, = 7,707 7,7 0, :, = 7,768 Errorerik handiena emaitza biribilduz egiten da. 0 Aurreko ariketako urratsei jarraituz, egin gutxiagozko hurbilketa. a),7 +,87 b) 7,8, c) 6,, d) 00, : 8, a),7 +,87 = 8, 8,,7 +,8 = 8, Errore bera egiten da. b) 7,8, = 00,6 00,6 7,8, = 00,6 Errorerik handiena emaitza hurbilduz egiten da. c) 6,, = 7, 7, 6,, = 7, Errore bera egiten da. d) 00, : 8, =,0, 00, : 8, =,06 Errorerik handiena biderkagaiak hurbilduz egiten da. 8
ERANTZUNAK 0 Hurbildu hamar milarenetara, biribiltze bidez. 6 a) + b) + 7 c) d) 7 + 8 a) b) c) d) 6 7 + =, 666, 6 + 7 =, 08, 0 = 0, 007 0, 00 + 8 =, 007, 0 0 Zer errore egiten da 0, zenbakia hartzean,6 + 0,7 + 0,8 eragiketaren emaitza hurbiltzeko?,6 + 0,7 + 0,8 = 0,8 E a = 0,8 0, = 0,007 06 Zer zenbakiren milarenetarako gutxiagozko hurbilketa litzateke.,7? Bakarra al da erantzuna? Zenbat daude? Hurbilketa,.,7 zenbakiarena da. Emaitza ez da bakarra; infinitu emaitza dago,.,7 zenbakiaz hasten diren beste zenbaki hamartar. 07 Idatzi al daiteke π=? Arrazoitu erantzuna eta kalkulatu egindako errorearen maila. π=,6 =, Idatz daiteke, egindako errorea milioiren baino txikiagoa delako. E a = π =,6, = 0,000000667 08 Arrazoitu zuzenak ala okerrak diren esaldiak. a) Karratu baten aldea zenbaki arrazional bat bada, diagonala irrazionala da. b) Karratu baten aldea zenbaki irrazional bat bada, diagonala arrazionala da. c) Karratu baten diagonala arrazionala bada, azalera arrazionala da. a) Zuzena, esaterako: Aldea = a Diagonala = a b) Okerra, esaterako: Aldea = π Azalera = π c) Zuzena, esaterako: Diagonala = a Aldea = a a Azalera =
Zenbaki errealak 0 EGIN HONELA NOLA KALKULATZEN DA ERRORE ABSOLUTUAREN BORNE BAT? Idatzi π zenbakiaren gutxiagozko eta gehiagozko hurbilketa bana, milarenetara. Adierazi egindako errore absolutuaren borne bat, kasu bakoitzean. LEHENA. π=,... zenbaki irrazionalaren adierazpen hamartarra eta gehiagozko eta gutxiagozko hurbilketak kalkulatzen dira. Gehiagoz Gutxiagoz,, BIGARRENA. Errore absolutu zehatza ezin da kalkulatu, zenbakia irrazionala delako. Horregatik, hurbilketarena baino maila txikiagoko errore absolutuen gehiagozko hurbilketa egin behar da. Kasu honetan, hamar milarenetara hurbildu behar da, πzenbakiaren hurbilketak milarenetarakoak direlako.,..., = 0,00008... < 0,000 Errore-bornea hamar milaren baino txikaigoa da.,..., = 0,000... < 0,0006 Errore-bornea 6 hamar milaren baino txikaigoa da. 0 Idatzi e =,788... zenbakiaren gutxiagozko eta gehiagozko hurbilketa bana. Adierazi errore absolutuaren borne bat, kasu bakoitzean. Gutxiagoz:,78. Errorea: 0,0008 < 0,000 Milarenetara hurbildu dugunez, errore-bornea hamar milaren baino txikiagoa da. Gehiagoz:,7. Errorea: 0,0007 < 0,0008 Errore-bornea 8 hamar milaren baino txikiagoa da. Kalkulatu cm-ko erradioko zirkunferentzian inskribatutako karratuaren aldea. Lortutako zenbakia arrazionala ala irrazionala da? Karratuaren diagonala bat dator diametroarekin. Aldea = x Diagonala = x x = 0 x = Aldea cm luze da, eta zenbaki irrazionala da. Kalkulatu 8 cm-ko aldea duen karratuaren diagonala. Aldetzat diagonal horren luzera duen karratua eginez gero, zer azalera izango du bigarren karratuak? Diagonala = 8 cm Azalera = ( 8 ) = 8 cm 0
ERANTZUNAK Laukizuzen baten oinarria b = 8 cm da, eta altuera, a = b. Kalkulatu laukizuzen horretan zirkunskribatutako zirkunferentziaren luzera eta adierazi emaitza hiru zifra hamartarrekin. Zirkunferentziaren diametroa laukizuzenaren diagonala da. Diagonala = 8 + 6 = 0 cm, erradioa = cm Zirkunferentzia, cm luze da. Kalkulatu eraikinaren bolumena eta biribildu emaitza milarenetara. 0,6 m, m,7 m a) Biribildu neurriak hamarrenetara eta kalkulatu bolumena berriro. Zer lotura dute bolumen zaharrak eta berriak? b) Kalkulatu egindako errore absolutua eta errore erlatiboa. Bolumenaren balio zehatza hau da: Bolumena =,,7 0,6 = 8.7, m Emaitza milarenetara biribiltzen badugu: Bolumena = 8.7, m a) Bolumena =,6,8 0, = 8.8,67 m Emaitza, aurrekoa baino handiagoa da. b) Bolumena =,,7 0,6 = 8.7, m E a = 8.7, 8.7, = 0,000 E e = 8. 7, 8. 7, 8. 7, = 000, 000007 Bolumena =,6,8 0, = 8.8,67 m E a = 8.7, 8.8,67 = 7,8 E e = 8. 7, 8. 8, 67 8. 7, = 000, 6
Zenbaki errealak Kalkulatu tangramaren pieza bakoitzaren aldeen luzera eta azalera. Aintzat hartzen dugu karratuaren aldea l dela. l a karratuaren diagonalaren erdia da: a a 6 b c a = l + l = l l a b a b b 7 c a b, a-ren erdia da: b = = c, l-ren erdia da: c = l l c c Orain, irudi bakoitzaren perimetroa eta azalera kalkulatuko dugu. P = a + l = l + l = ( + ) l. irudia: a a A = l l = = P = a + l = l + l = ( + ) l. irudia: a a A = l l = = P = b + c = + = l l + l. irudia: l l A = c = 8 l + P = b + c = + = l l. irudia: b b A = l = 6 P = b = l. irudia: l A = b = 8
ERANTZUNAK + l P = b + c = + = l l 6. irudia: b b A = l = 6 P = b + c = + = l l + l 7. irudia: c c A = l = 8 6 A, B, C eta D lau herri dira. A eta B herrien arteko distantzia 8 km-koa da, eta errorea, 00 m-koa; C eta D herrien arteko distantzia 00 m-koa da, eta errorea,, m-koa. Zein neurri da egokiena? Zergatik? 00 Errore erlatiboak konparatzen baditugu: = 0,006, < = 0,008 8. 000 00 Egokiagoa da C eta D-ren arteko distantziaren neurria, errore erlatiboa txikiagoa delako. 7 a a + b a b laburtezina bada, arrazoitu eta laburtezinak ere badiren. b a b a b Aztertu zenbakien bidez, eta, gero, saiatu arau orokorra ematen. a + b Aintzat hartzen badugu laburtezina dela: a b a + b y =, x < a b delarik a b x (a + b) x = a b y : a b x + x = b y a a a, b, x eta y zenbaki osoak direnez eta laburtezina denez: b a + b y x = a z =, z < b delarik a b a z b x = a z x + x = b y a z + b z = b y a a y z a z = b (y z) =, z < b delarik b z a Hori ezinezkoa da laburtezina delako. b a + b Hortaz, laburtezina da. a b a b Era berean, laburtezina ere badela frogatzen da. a b
Zenbaki errealak 8 Aztertu berdintzak. a), =, b) 0, = 0, Zure ustez, zergatik betetzen dira berdintzak? Zure ustez, zuzena al da? a), 7 = =, 0 = = 0 7 Berdinak dira. b) 0, = Berdinak dira. 0,. 00 = =. 00 Berdinak dira aurreperiodoa periodoaren barnean sar daitekeelako. Idatzi 6,6 zenbakiaren hurbilketa hamartarrak, errore absolutuaren borne hauek hartuta. a) 0,00 b) 0,000 c) 0,0 d) 0, a) 6,7 b) 6, c) 6,6 d) 6,8 0 Arrazoitu zer mailatara biribildu behar den zenbaki irrazional bat, errore absolutuaren bornea milioiren bat baino txikiagoa izan dadin. Biribiltzearen ordena hamar milioirena izango litzateke. EGUNEROKOAN Kanpaleku batean, monitoreek esan diete neska-mutilei biltzeko, horma-irudi bat margotzeko, eta gero, markoan ipintzeko Jonen taldeak m -ko azalera duen horma-irudi bat egin du eta markoa ipini nahi dio. Aldearen luzera kalkulatu behar dute, baina ez dute ez erregelarik ez kalkulagailurik. -rekin erlazionatuko dugu, m Eta nola luze den aldea duen karratu baten neurtuko dugu diagonalaren luzera dena.?
ERANTZUNAK Luzera hiru zifra hamartarretara (milimetrotara) doitzeko esan die monitoreak; beraz, -ren lehen hamartarrak zehaztu behar dira. Neska-mutilek horma-irudiaren azalerarekin bat datorren azalera duten laukizuzenetan, eta elkarrekiko gero eta antzekoagoak diren dimentsiotan pentsatu dute. m-ko oinarria m altu den laukizuzen batekin hasiko gara Gero, oinarri gisa aurrekoaren oinarriaren eta altueraren batez bestekoa duen + laukizuzen bat hartu dute: = ; horrela, altuera : = izan behar da, eta hau izango dugu: < <. Prozesu horri jarraituz, laukizuzen haien basearen eta altueraren arteko aldea gero eta txikiagoa denez, eta beti haien artean dagoenez, Jonek laukizuzenaren basearen eta altueraren lehen hiru zifrak berdinak izan arte egin du horrela. Zenbat urrats egin behar ditu Jonek hori lortzeko? LEHEN URRATSA: < < Errore-bornea: 6 BIGARREN URRATSA: + 7 7 = : = 7 7 7 < < Errore-bornea: 0 HIRUGARREN URRATSA: 7 + 7 77 77 86 = : = 08 08 77 86 77 77 < < Errore-bornea: 08. 6 Bornea milimetro baino txikiagoa da dagoeneko. 77 =, 08
Zenbaki errealak DBHko. mailako ikasleek astronomia-behatoki bat bisitatu dute. Johannes Keplerek Unibertsoaren harmonia liburua argitaratu zuen 6an. Liburu horretan, bere aurkikuntza azaldu zuen, gaur egun Kepleren hirugarren legea deiturikoa. Lege horrek, planeta batek Eguzkiaren inguruan bira oso bat emateko behar duen denbora (T) eta harengandik dagoen distantzia (a) lotzen ditu. Gidariak Kleperren garaiko sei planeta ezagunei buruzko datuen taula bat eman die. Planeta a (milioi km) T (egunak) Merkurio 7, 87,6 Artizarra Lurra Marte Jupiter Saturno 08,,6 7, 778,.7,70 6,6 686,80., 0.7, T a 78. urtean Urano aurkitu zutela esan die, 8,0 urteko periodoa duena; eta 86. urtean, Neptuno, 6,7 urteko periodoa duena. Osatu taula. Idatzi periodoa (egunetan) eta kalkulatu Eguzkirainoko distantzia Uranotik eta Neptunotik. 6
ERANTZUNAK T Kontuan hartzen badugu Kepleren legeak hau adierazten duela: a = 00, : URANO Periodoa: 0.66 egun Eguzkirako distantzia: a = T 0. 66 = 00, 00, =.86,6 milioi kilometro NEPTUNO Periodoa: 60.8 egun Eguzkirako distantzia: a = T 60. 8 = 00, 00, =.88,77 milioi kilometro 7