ΜΕΛΕΤΗ Σ.Α.Ε. µε χρήση του CONTROL SYSTEM TOOLBOX του MATLAB

Σ.Ν.. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑΣ ο Έτος ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΜΕΛΕΤΗ Σ.Α.Ε. µε χρήση του CONTROL SYSTEM TOOLBOX του MATLAB - Σύντοµη εισαγωγή στο Control System Toolbox - Παρουσίαση Εφαρµογών ( συνοδεύεται από CD µε κώδικες Matlab ) ρ. Φ.Κανέλλος, Ωρ. Μέλος ιδ. Προσ. ΣΝ ρ. Ι.Κ. Χατζηλάου, Καθηγητής ΣΝ Ιούνιος 8

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το εγχειρίδιο αυτό προορίζεται για τη συµπλήρωση της θεωρητικής και εργαστηριακής εκπαίδευσης των ετών Ν. οκίµων στα θέµατα ανάλυσης Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου (ΣΑΕ) στα πλαίσια του Μαθήµατος «ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ» και την παράλληλη εξοικείωση τους µε το περιβάλλον MATLAB. Μετά από µια σύντοµη εισαγωγή στο Control System Toolbox της Matlab γίνεται χρήση των δυνατοτήτων του και επιλύονται οι εφαρµογές του Ζ6 και Ζ15 του βιβλίου της ΣΝ "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΑΕ" (Ι.Κ. Χατζηλάου). Το εγχειρίδιο συνοδεύεται από CD, στο οποίο περιέχονται τα αντίστοιχα αρχεία κώδικα Matlab, ώστε ο χρήστης να µπορεί να τα επεκτείνει ή να εξετάσει και άλλες περιπτώσεις, που δεν περιέχονται στις παρουσιαζόµενες εδώ εφαρµογές. Πρέπει να τονιστεί ότι στο παρόν επιδεικνύεται µόνο ένα µικρό µέρος των δυνατοτήτων του Control System Toolbox. Η εκµάθηση σε βάθος του συγκεκριµένου εργαλείου απαιτεί περαιτέρω προσωπική ενασχόληση. ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ.... Σύντοµη αναφορά στο εργαλείο Control Toolbox του MatLab... 3.1 Περιγραφή διαδικασιών δηµιουργίας, πρόσβασης και εκτέλεσης αρχείων κώδικα Matlab... 3. Αναζήτηση πληροφορίας στο Help.... 6 3. Κώδικας Matlab για επίλυση της εφαρµογής Ζ.6 του βιβλίου "Εισαγωγή στα ΣΑΕ" (Ι.Κ. Χατζηλάου), [1]... 7 3.1 Κώδικας Matlab για την εφαρµογή Ζ6.... 7 3. Αποτελέσµατα εκτέλεσης του κώδικα... 11 4. Κώδικας Matlab για την µελέτη συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς δευτέρας τάξης (Εφαρµογή Ζ15 του βιβλίου "Εισαγωγή στα ΣΑΕ" (Ι.Κ. Χατζηλάου), [1] )... 13 4.1 Κώδικας Matlab για την εφαρµογή Ζ15.... 13 4. Αποτελέσµατα εκτέλεσης του κώδικα... 15 5. Συνοπτικές οδηγίες για την εκτέλεση των προγραµµάτων που περιέχονται στο CD... 16 6. Περαιτέρω εργασία... 16 1. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] I. K. Χατζηλάου, Εισαγωγή στα Σ.Α.Ε. ΣΝ, 1988. [] Lennart Ljung, System Identification: Theory for the User, nd Edition Prentice Hall, 1999. [3] Άλλες σηµειώσεις θεωρίας ή εργαστηριακών ασκήσεων ΣΝ

ΜΕΛΕΤΗ Σ.Α.Ε. ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ CONTROL SYSTEM TOOLBOX ΤΟΥ MATLAB. Σύντοµη αναφορά στο εργαλείο Control Toolbox του MatLab Τα µοντέλα που περιγράφονται στη συνέχεια αναπτύχθηκαν σε περιβάλλον MatLab και συγκεκριµένα µε χρήση του εργαλείου του Matlab, Control System Toolbox. To Control System Toolbox είναι ένα σύνολο εξειδικευµένων εντολών της γλώσσας προγραµµατισµού Matlab, που χρησιµεύει στην ανάλυση Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου (ΣΑΕ). Ο χρήστης πρέπει µόνο να ανοίξει το Matlab και να χρησιµοποιήσει τις κατάλληλες εντολές. Αρχικά πρέπει να χρησιµοποιηθεί το µπουτόν NewMfile, όπως φαίνεται στο Σχήµα 1, ώστε να δηµιουργηθεί ένα καινούριο αρχείο κώδικα σε Matlab (αρχείο.m), όπου θα καταγραφεί το σύνολο των εντολών. Πληροφορίες για την χρήση των εντολών µπορεί να αναζητήσει ο χρήστης στη βοήθεια (Help) του Matlab όπως δείχνεται στο Σχήµα 1. Σχήµα 1 Κεντρική οθόνη του Matlab..1 Περιγραφή διαδικασιών δηµιουργίας, πρόσβασης και εκτέλεσης αρχείων κώδικα Matlab Ο κώδικας Matlab αποθηκεύεται σε αρχεία.m µε σκοπό ο χρήστης να µπορεί να έχει µελλοντική πρόσβαση στον κώδικα χωρίς να χρειάζεται να τον ξαναγράψει. Επίσης µε αυτό τον τρόπο µπορεί να κάνει διάφορες αλλαγές που µπορούν να αποθηκευτούν ως ξεχωριστά αρχεία ή να εκτελέσει τον κώδικα επαναληπτικά χωρίς να χρειάζεται να τον δηµιουργεί κάθε φορά. 3

ηµιουργία αρχείου.m Η διαδικασία δηµιουργίας ενός αρχείου.m συνίσταται στα παρακάτω βήµατα 1. Χρησιµοποίηση του µενού File και συγκεκριµένα της επιλογής NewMfile όπως φαίνεται στο σχήµα 1, για τη δηµιουργία ενός αρχείου.m.. Αφού εµφανιστεί το αρχείο.m (σχήµα ) ο χρήστης γράφει τον κώδικα Matlab. 3. Πριν την εκτέλεση του κώδικα το αρχείο πρέπει να αποθηκευτεί. Στο µενού File επιλέγεται Save ή Save as. 4. Στην φόρµα που εµφανίζεται ο χρήστης συµπληρώνει το επιθυµητό όνοµα του αρχείου και επιλέγει το directory στο οποίο θέλει να το αποθηκεύσει. Σχήµα Παράθυρο δηµιουργίας αρχείου.m. Ανάκτηση αρχείου.m Η διαδικασία ανάκτησης ενός υπάρχοντος αρχείου.m συνίσταται στα παρακάτω βήµατα 1. Χρησιµοποίηση της επιλογής Open στο µενού File της κεντρικής οθόνης του Matlab (σχήµα 1).. Στην φόρµα που εµφανίζεται ο χρήστης οδηγείται στο directory που είναι αποθηκευµένο το αρχείο και µε διπλό κλίκ το ανοίγει. 4

Εκτέλεση αρχείου.m Για την εκτέλεση ενός αρχείου.m απαιτείται µόνο (αφού έχει γίνει η ανάκτηση του) να χρησιµοποιηθεί το πλήκτρο F5 ή να χρησιµοποιηθεί η επιλογή Run στο µενού Debug. (βλέπε σχήµα ). Περιγραφή βασικών εντολών του Control System Toolbox που χρησιµοποιούνται στη συνέχεια Στον πίνακα 1 περιγράφονται εν συντοµία κάποιες βασικές εντολές του Control Toolbox του Matlab οι οποίες χρησιµοποιήθηκαν για την ανάλυση συστηµάτων ελέγχου που εξετάζονται στη συνέχεια. Πίνακας 1 Συνάρτηση Τρόπος κλήσης της συνάρτησης Περιγραφή της λειτουργίας της tf zpk bode nyquist sys = tf([n1, n, nn], [d1, d, dn],ts) Το όρισµα [n1, n, nn] αντιστοιχεί στον αριθµητή της συνάρτησης µεταφοράς και το όρισµα den στον παρονοµαστή. sys = zpk([z1, z,..zn], [p1, p,..pn], k) Τα ορίσµατα [z1, z, zn], [p1, p, pn], k αντιστοιχούν στα µηδενικά, τους πόλους και την σταθερά ενίσχυσης, της συνάρτησης µεταφοράς, αντίστοιχα. bode(sys) Το όρισµα sys αντιστοιχεί στη συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος του οποίου θα παραχθεί το διάγραµµα BODE. nyquist(sys) Το όρισµα sys αντιστοιχεί στη συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος του οποίου θα παραχθεί το διάγραµµα NYQUIST. Παράγει τη συνάρτηση µεταφοράς ενός συστήµατος. π.χ. η F=tf([1 ], [1-3 ],.1) δηµιουργεί τη συνάρτηση µεταφοράς F = και χρόνο s - 3 s + δειγµατοληψίας.1sec. Παράγει τη συνάρτηση µεταφοράς σε µορφή πόλων µηδενικών. π.χ. η F=zpk([-], [1,], 1) δηµιουργεί τη συνάρτηση µεταφοράς F= 1* που είναι ισοδύναµη (s - 1) (s - ) µε την F = s - 3 s + Υπολογίζει και δηµιουργεί τα διαγράµµατα BODE ενός συστήµατος. π.χ. οι εντολές F=zpk([-], [1,], 1); bode(f) δηµιουργούν τα διαγράµµατα BODE για το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς F = s - 3 s + ηµιουργεί το διάγραµµα NYQUIST ενός συστήµατος. π.χ. οι εντολές F=zpk([-], [1,], 1); nyquist(f) δηµιουργούν τo διάγραµµα NYQUIST για το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς F = s - 3 s + margin [Gm,Pm,Wcg,Wcp]= margin(sys) Το όρισµα sys αντιστοιχεί στη συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος του οποίου θα υπολογιστούν τα περιθώρια κέρδους και φάσης. Υπολογίζει τα περιθώρια κέρδους, φάσης και τις αντίστοιχες συχνότητες για ένα σύστηµα π.χ. οι εντολές F=zpk([-], [1,], 1); [Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(f) υπολογίζούν τα περιθώρια κέρδους Gm, φάσης Pm και τις αντίστοιχες συχνότητες Wcg, Wcp για το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς F = s - 3 s + 5

. Αναζήτηση πληροφορίας στο Help. Η πρόσβαση στο Help γίνεται από το µενού Help της κεντρικής οθόνης του Matlab (σχήµα 1). Συγκεκριµένα για τη λήψη βοήθειας σχετικά µε Control Toolbox ο χρήστης πρέπει να επιλέξει το στοιχείο Control System Toolbox από την διαθέσιµη λίστα όπως φαίνεται στο σχήµα 3. Εκεί µπορεί να έχει πρόσβαση σε διάφορά πεδία όπως η εισαγωγή στο Control System Toolbox, ο χειρισµός µοντέλων, η σχεδίαση µελετών, η αναφορά λίστας συναρτήσεων, το γραφικό περιβάλλον ανάλυσης ΣΑΕ κτλ. Επίσης, ο χρήστης µπορεί να έχει πρόσβαση στην επιλογή Search όπου µπορεί να εισάγει κάποιο όρο προς αναζήτηση σχετικής πληροφορίας, στη επιλογή Index όπου παρέχεται πληροφορία για θέµατα ταξινοµηµένα κατά αλφαβητική σειρά κ.α. Σχήµα 3 Παράθυρο Help του Matlab. Ακολούθως δίνονται παραδείγµατα αρχείων.m µε κώδικα Matlab εξειδικευµένο στην ανάλυση ΣΑΕ. Συγκεκριµένα εξετάζονται οι εφαρµογές του Ζ6 και Ζ15 του βιβλίου "Εισαγωγή στα ΣΑΕ" (Ι.Κ. Χατζηλάου) [1]. Σχόλια για την χρήση των εντολών δίνονται στις περισσότερες των περιπτώσεων δίπλα από τις εντολές. Ο κώδικας που περιέχεται στο παρόν εγχειρίδιο δηµιουργήθηκε µε την έκδοση 6.1 του Matlab. 6

3. Κώδικας Matlab για επίλυση της εφαρµογής Ζ.6 του βιβλίου "Εισαγωγή στα ΣΑΕ" (Ι.Κ. Χατζηλάου), [1] Με χρήση του παρακάτω κώδικα εκτελούνται τα ζητούµενα της εφαρµογής Ζ6 που περιέχεται στο βιβλίο [1]. Σκοπός του παραδείγµατος είναι να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης µεταφοράς ανοικτού βρόχου a K F a(s) = F 1(s) F (s) µε F 1(s) =, F (s) =, να αναπαραχθεί το διάγραµµα BODE, να 1+ st s ( ) εφαρµοστεί το κριτήριο NYQUIST και να προσδιοριστούν τα περιθώρια φάσεως και κέρδους για διάφορες τιµές της σταθεράς ενισχύσεως Κ. 3.1 Κώδικας Matlab για την εφαρµογή Ζ6. Ο κώδικας που περιγράφεται στη συνέχεια περιέχεται στο CD που παρέχεται µαζί µε το εγχειρίδιο. Ο χρήστης πρέπει αρχικά να ακολουθήσει τα βήµατα της διαδικασίας ανάκτησης ενός αρχείου.m. Συγκεκριµένα θα πρέπει να χρησιµοποιήσει την επιλογή Open στο µενού File της κεντρικής οθόνης του Matlab και να οδηγηθεί στη διαδροµή της µονάδας CD του Η/Υ όπου θα επιλέξει το αρχείου Ζ6.m. Αφού ανοίξει το αρχείο Ζ.6 τότε πρέπει είτε να πιεσθεί το πλήκτρο F5 ή από το µενού Debug να γίνει χρήση της επιλογής Run. Κωδικοποιηµένα η ακολουθία ενεργειών είναι: File Open Εύρεση του directory του CD επιλογή του αρχείου Ζ.6. Debug Run Η λειτουργία κάθε γραµµής κώδικα περιγράφεται στα σχόλια που ακολουθούν το σύµβολο %. αρχή κώδικα clc % Katharismos tis othonis clear % Katharismos ths spothikis dedomenwn % ================================== % Orismos timwn twn parametrwn T=.5; a=.5; K=.5; %================================== %================================== % Orismos twn synartisewn metaforas F1=zpk([ ],[-1/T -1/T], a/t^) % Orismos tis synartisis metaforas F1 gia K=.5 F=zpk([ ],[],K) % Orismos tis synartisis metaforas F gia K=.5 Fa=F1*F; % Orismos tis synartisis metaforas anoiktou broxou %================================== 7

%================================== % Dimiourgia diagrammatos BODE subplot(,,1) hold bode(fa) %Dimiourgia sximatos me dyo ypodiagrammata. Ektypwsi %apoteglesmatos sto prwto ypodiagramma %Ekelesi tis entolis BODE gia tin sinartisi metaforas anoiktou broxou grid on % dimiourgia plegmatos %================================== % ================================== % Dimiourgia diagrammatos NYQUIST subplot(,,) nyquist(fa) axis([-1-1 1]) grid on % Ektypwsi apoteglesmatos sto deftero ypodiagramma % Ekelesi tis entolis NYQUIST gia tin sinartisi metaforas anoiktou broxou % Oria orizontiou kai katakorifou axona tou diagrammatos NYQUIST % dimiourgia plegmatos % ================================== % Epanalipsi tis diadikasias gia kainouria timi tou K K=1.6; % Nea timi gia to kerdow enisxysis K F1=zpk([ ],[-1/T -1/T], a/t^) F=zpk([ ],[],K) Fa=F1*F; subplot(,,3) bode(fa) grid on % Orismos tis synartisis metaforas F1 gia K=1.6 % Orismos tis synartisis metaforas F gia K=1.6 % Orismos tis synartisis metaforas anoiktou broxou %Ektypwsi tou apoteglesmatos sto trito ypodiagramma %Ekelesi tis entolis BODE gia tin sinartisi metaforas anoiktou broxou % dimiourgia plegmatos %================================== % ================================== % Dimiourgia diagrammatos NYQUIST subplot(,,4) nyquist(fa) axis([- -1 1]) grid on % Ektypwsi apoteglesmatos sto tetarto ypodiagramma % Ekelesi tis entolis NYQUIST gia tin sinartisi metaforas anoiktou broxou % Oria orizontiou kai katakorifou axona tou diagrammatos NYQUIST % dimiourgia plegmatos % Ypologismos twn perithwriwn Kerdous kai Phasis gia diafores times tis statheras enisxisis K % ===================================== T=.5; 8

a=.5; K=.4 F1=zpk([ ],[-1/T -1/T], a/t^); F=zpk([ ],[],K); Fa=F1*F; [Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(fa) % Orismos tis synartisis metaforas F1 gia K=.5 % Orismos tis synartisis metaforas F gia K=.5 % Orismos tis synartisis metaforas anoiktou broxou % ypologismos tou periothoriou Kerdous Gm, tou periothoriou Phasis Pm, % kai twn antistoixwn syxnothtwn Wcg, Wcp. Oi times twn % Gm,Pm,Wcg,Wcp typwnontai sthn kentriki othoni tou Matlab % ===================================== % ===================================== T=.5; a=.5; K=1 F1=zpk([ ],[-1/T -1/T], a/t^); % Orismos tis synartisis metaforas F1 gia K=1 F=zpk([ ],[],K); % Orismos tis synartisis metaforas F gia K=1 Fa=F1*F; % Orismos tis synartisis metaforas anoiktou broxou [Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(fa) % ypologismos tou periothoriou Kerdous Gm, tou periothoriou Phasis Pm, % kai twn antistoixwn syxnothtwn Wcg, Wcp. Oi times twn % Gm,Pm,Wcg,Wcp typwnontai sthn kentriki othoni tou Matlab % ===================================== % ===================================== T=.5; a=.5; K=1.6 F1=zpk([ ],[-1/T -1/T], a/t^); F=zpk([ ],[],K); Fa=F1*F; % Orismos tis synartisis metaforas F1 gia K=1.6 % Orismos tis synartisis metaforas F gia K=1.6 % Orismos tis synartisis metaforas anoiktou broxou gia K=1.6 [Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(fa) % ypologismos tou periothoriou Kerdous Gm, tou periothoriou Phasis Pm, % kai twn antistoixwn syxnothtwn Wcg, Wcp. Oi times twn % Gm,Pm,Wcg,Wcp typwnontai sthn kentriki othoni tou Matlab % ===================================== % Anaparagwgh tou sximatos Z6.5.1 figure T=.5; a=.5; K=.4; F1=zpk([ ],[-1/T -1/T], a/t^); F=zpk([ ],[],K); Fa1=F1*F; % Orismos tis synartisis metaforas F1 gia K=.4 % Orismos tis synartisis metaforas F gia K=.4 % Orismos tis synartisis metaforas anoiktou broxou gia K=.4 9

K=.5; F1=zpk([ ],[-1/T -1/T], a/t^); F=zpk([ ],[],K); Fa=F1*F; % Orismos tis synartisis metaforas F1 gia K=.5 % Orismos tis synartisis metaforas F gia K=.5 % Orismos tis synartisis metaforas anoiktou broxou gia K=.5 K=1; F1=zpk([ ],[-1/T -1/T], a/t^); % Orismos tis synartisis metaforas F1 F=zpk([ ],[],K); % Orismos tis synartisis metaforas F gia K=1 Fa3=F1*F; % Orismos tis synartisis metaforas anoiktou broxou gia K=1 K=1.6; F1=zpk([ ],[-1/T -1/T], a/t^); F=zpk([ ],[],K); % Orismos tis synartisis metaforas F1 gia K=1.6 % Orismos tis synartisis metaforas F gia K=1.6 Fa4=F1*F; % Orismos tis synartisis metaforas anoiktou broxou gia K=1 Bode(Fa1,Fa,Fa3,Fa4); grid on τέλος κώδικα 1

3. Αποτελέσµατα εκτέλεσης του κώδικα Phase (deg) Magnitude (db) 5-5 -18 Bode Diagram -36 1-1 1 1 1 Frequency (rad/sec) Imaginary Axis 1.5 -.5 db 64 db 1 db db Nyquist Diagram db -1-1 -.8 -.6 -.4 -. Real Axis - db -6-4 db -1 db - db Phase (deg) Magnitude (db) 5-5 -18 Bode Diagram -36 1-1 1 1 1 Frequency (rad/sec) Imaginary Axis 1.5 -.5 Nyquist Diagram 4 db db 6 db 1 db db -1 - -1.5-1 -.5 Real Axis - db db -6-4 db -1 db - db Σχήµα 4 ιαγράµµατα Bode και Nyquist (Τα δυο πρώτα διαγράµµατα παρήχθησαν για T=.5, a=.5, K=.5, τα επόµενα δυο για T=.5, a=.5, K=1.6)

4 Bode Diagram Phase (deg) Magnitude (db) - -4-9 -135-18 -5 K=.4 K=.5 K=1 K=1.6-7 1-1 1 1 1 Frequency (rad/sec) Σχήµα 5 ιαγράµµατα BODE της συνάρτησης ανοικτού βρόχου Fα για διάφορες τιµές του Κ

4. Κώδικας Matlab για την µελέτη συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς δευτέρας τάξης (Εφαρµογή Ζ15 του βιβλίου "Εισαγωγή στα ΣΑΕ" (Ι.Κ. Χατζηλάου), [1] ) Με χρήση του παρακάτω κώδικα εκτελούνται τα ζητούµενα της εφαρµογής Ζ15 που περιέχεται στο βιβλίο [1]. Συγκεκριµένα, µελετάται ένα σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς δευτέρας τάξης. 1 Η συνάρτηση µεταφοράς που µελετάται είναι της µορφής F(s) =. 1 + ( ζ / ω )s + s / ω Με την χρήση κώδικα Matlab θα αναπαραχθούν τα διαγράµµατα BODE και NYQUIST για ω=1 και ζ=.1,.,.3,.4,.5,.6,.7,.8,.9, 1,, 3, 5, 1,. 4.1 Κώδικας Matlab για την εφαρµογή Ζ15. Όπως και στο προηγούµενο παράδειγµα η λειτουργία κάθε γραµµής κώδικα περιγράφεται στα σχόλια που ακολουθούν το σύµβολο %. αρχή κώδικα clc clear w=1; % katharismos othonis % katharismos workspase % orismos tou w z=.1; % orismos tou z isou me.1 F1=tf([1], [1/w^ *z/w 1]) % orismos tis synartisis metaforas F gia z iso me.1 z=.; % orismos tou z isou me. F=tf([1], [1/w^ *z/w 1]) % orismos tis synartisis metaforas F gia z iso me. z=.3; % orismos tou z isou me.3 F3=tf([1], [1/w^ *z/w 1]) % orismos tis synartisis metaforas F gia z iso me.3 z=.4; % orismos tou z isou me.4 F4=tf([1], [1/w^ *z/w 1]) % orismos tis synartisis metaforas F gia z iso me.4 z=.5; % orismos tou z isou me.5 F5=tf([1], [1/w^ *z/w 1]) % orismos tis synartisis metaforas F gia z iso me.5 z=.6; % orismos tou z isou me.6 F6=tf([1], [1/w^ *z/w 1]) % orismos tis synartisis metaforas F gia z iso me.6 z=.7; % orismos tou z isou me.7 F7=tf([1], [1/w^ *z/w 1]) % orismos tis synartisis metaforas F gia z iso me.7 z=.8; % orismos tou z isou me.8 F8=tf([1], [1/w^ *z/w 1]) % orismos tis synartisis metaforas F gia z iso me.8 13

z=.9; % orismos tou z isou me.9 F9=tf([1], [1/w^ *z/w 1]) % orismos tis synartisis metaforas F gia z iso me.9 z=1; % orismos tou z isou me 1 F1=tf([1], [1/w^ *z/w 1]) % orismos tis synartisis metaforas F gia z iso me 1 z=; % orismos tou z isou me F11=tf([1], [1/w^ *z/w 1]) % orismos tis synartisis metaforas F gia z iso me z=3; % orismos tou z isou me 3 F1=tf([1], [1/w^ *z/w 1]) % orismos tis synartisis metaforas F gia z iso me 3 z=5; % orismos tou z isou me 5 F13=tf([1], [1/w^ *z/w 1]) % orismos tis synartisis metaforas F gia z iso me 5 z=1; % orismos tou z isou me 1 F14=tf([1], [1/w^ *z/w 1]) % orismos tis synartisis metaforas F gia z iso me 1 z=; % orismos tou z isou me F15=tf([1], [1/w^ *z/w 1]) % orismos tis synartisis metaforas F gia z iso me bode(f1,f,f3,f4,f5,f6,f7,f8,f9,f1,f11,f1,f13,f14,f15) %dimiourgia diagrammatos BODE ths F gia tis %prohgoumenes times tou z grid on % eisagwgh plegmatos sta diagrammata figure % dimiourgia kainouriou sximatos nyquist(f1,f,f3,f4,f5,f6,f7,f8,f9,f1,f11,f1,f13,f14,f15) %dimiourgia diagrammatos Nyquist ths F gia tis %prohgoumenes times tou z grid on % eisagwgh plegmatos sta diagrammata τέλος κώδικα 14

4. Αποτελέσµατα εκτέλεσης του κώδικα 5 Bode Diagram Phase (deg) Magnitude (db) -5-1 -15-45 -9 z=.1 z=. z=.3 z=.4 z=.5 z=.6 z=.7 z=.8 z=.9 z=1 z= z=3 z=5 z=1 z= -135-18 1-3 1-1 -1 1 1 1 1 1 3 Frequency (rad/sec) Σχήµα 6 ιαγράµµατα BODE της F για διάφορες τιµές του ζ. 5 db Nyquist Diagram 4 3 db - db Imaginary Axis 1-1 4 db 6 db 1 db db -6 db-4-1 db - -3-4 -5 - -1.5-1 -.5.5 1 1.5.5 Real Axis Σχήµα 7 ιαγράµµατα NYQUIST της F για διάφορες τιµές του ζ. 15

5. Συνοπτικές οδηγίες για την εκτέλεση των προγραµµάτων που περιέχονται στο CD Για την εκτέλεση των προγραµµάτων που βρίσκονται στο διανεµόµενο CD απαιτούνται τα παρακάτω βήµατα : 1) Εκκίνηση του Matalab ) Ανάκτηση αρχείου.m.1. Χρησιµοποίηση της επιλογής Open στο µενού File της κεντρικής οθόνης του Matlab (σχήµα 1).. Στην φόρµα που εµφανίζεται ο χρήστης οδηγείται στο directory του CD όπου είναι αποθηκευµένο το αρχείο. Με διπλό κλίκ το ανοίγει. 3) Εκτέλεση αρχείου.m Για την εκτέλεση ενός αρχείου.m απαιτείται µόνο (αφού έχει γίνει η ανάκτηση του) να χρησιµοποιηθεί το πλήκτρο F5 ή να χρησιµοποιηθεί η επιλογή Run στο µενού Debug. (βλέπε σχήµα ). Επίσης, στο CD περιέχονται στο φάκελο Figures αρχεία σχηµάτων του Matlab (.fig) τα οποία περιέχουν τα σχήµατα µε τα αποτελέσµατα της εκτέλεσης των εφαρµογών Ζ15, Ζ6. Για την ανάκτηση αυτών των αρχείων ο χρήστης εκτελεί την προηγούµενη ενέργεια (Ανάκτηση αρχείου). Π.χ. Κωδικοποιηµένα η ακολουθία ενεργειών για την ανάκτηση του z15bode.fig είναι: File Open Εύρεση του directory του CD (.\Matlab_code_figures\Figures\Figures)) επιλογή του αρχείου z15bode.fig. 6. Περαιτέρω εργασία 1. Να παραχθούν τα διαγράµµατα Bode και να εξεταστεί το κριτήριο Nyquist για τα συστήµατα µε s συναρτήσεις µεταφοράς ανοικτού βρόχου F a1(s) =, F a(s) =, F a3(s) =, s F (s) = s ( s ) a4 ( ) ( ) και να προσδιοριστούν τα περιθώρια φάσεως και κέρδους. Τι παρατηρείτε; ( ). Έστω ένα σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς F και ανάδραση µε κέρδος Κ. Η εντολή rlocus(f) παράγει των γεωµετρικό τόπο των πόλων του συστήµατος κλειστού βρόχου για διάφορα Κ. Να παραχθεί ο συγκεκριµένος 1 s 1 τόπος για τα συστήµατα F a1(s) =, F a(s) =. Τι παρατηρείτε; s.1 s s 3 s.1 s s 3 ( + )( + )( + ) ( )( )( ) Πως τοποθετούνται οι γεωµετρικοί τόποι ως προς το αριστερό και δεξιό ηµιεπίπεδο ανάλογα µε την ευστάθεια του συστήµατος. 16

3. Η εντολή step(sys) υπολογίζει την απόκριση ενός συστήµατος σε µοναδιαία βηµατική είσοδο. Να παραχθούν οι αποκρίσεις των συστηµάτων των προηγουµένων συστηµάτων. Τι παρατηρείτε; 4. H εντολή sys=feedback(sys1,k) παράγει το σύστηµα sys που αποτελείται από το sys1 µε ανάδραση Κ. Να υπολογιστεί η βηµατική απόκριση των F a1(s) =, F a(s) = χωρίς την χρήση ανάδρασης s ( ) ( ) και µε την χρήση ανάδρασης µε Κ=1. Τι παρατηρείτε σχετικά µε την απόκριση και την ευστάθεια των τελικών συστηµάτων; Από ποια τιµή του Κ και πάνω αρχίζει να γίνεται ευσταθής η απόκριση της F a. 17