Αναβατόριο με διπλή τροχαλία.

Αναβατόριο με διπλή τροχαλία. Η διπλή τροχαλία Σ 1 (δύο κολλημένοι δίσκοι) του σχήματος έχει εξωτερική ακτίνα R =, m και εσωτερική x = R / =,1 m και μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα Ο (κατά τη φορά του ρολογιού ή αντίθετα) με τη βοήθεια ηλεκτρικού κινητήρα που της ασκεί κατάλληλη ροπή τ. Στα δύο αυλάκια της είναι στερεωμένα και τυλιγμένα με αντίθετες φορές τα δύο άκρα μη εκτατού συρματόσκοινου. Το ενδιάμεσο τμήμα του συρματόσκοινου είναι περασμένο γύρω από την περιφέρεια δεύτερης τροχαλίας Σ ακτίνας R, την οποία στηρίζει και μπορεί να τη στρέφει γύρω από τον κινητό της άξονα Κ χωρίς να ολισθαίνει στην περιφέρειά της. Τα τμήματα ΑΓ και ΔΖ του συρματόσκοινου είναι κατακόρυφα. Από τον άξονα της τροχαλίας Σ είναι κρεμασμένο σώμα Σ 3 βάρους Β = Ν, το οποίο ανυψώνεται αν τεθεί σε λειτουργία ο κινητήρας της τροχαλίας Σ 1. Υποθέτουμε ότι οι τροχαλίες και το συρματόσκοινο έχουν ασήμαντη μάζα σε σχέση με τη μάζα του Σ 3 και ότι η ανύψωση γίνεται με μικρή σταθερή ταχύτητα. α) Με ποιά φορά πρέπει να στρέφεται η τροχαλία Σ 1 ώστε το σώμα Σ 3 να ανυψώνεται; β) Αν ο κινητήρας στρέφει την τροχαλία Σ 1 με γωνιακή ταχύτητα ω = r/s, να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα ω της τροχαλίας Σ καθώς και την ταχύτητα ανύψωσης του σώματος Σ 3. Να απεικονίσετε γραφικά τη σχέση (x) για < x < R. γ) Αν το επιδιωκόμενο ύψος ανύψωσης είναι Η, να υπολογίσετε το ελάχιστο απαιτούμενο μήκος S συρματόσκοινου που πρέπει να είναι αρχικά τυλιγμένο στον μικρό δίσκο της τροχαλίας Σ 1. δ) Να βρείτε τη ροπή τ που πρέπει να ασκεί ο κινητήρας στην τροχαλία Σ 1 και την ισχύ του P σε συνάρτηση με την ακτίνα x του μικρού δίσκου, καθώς επίσης και τον χρόνο ανύψωσης t σε ύψος Η. Να απεικονίσετε γραφικά τις σχέσεις τ(x), P(x) και t(x) για < x < R. Εφαρμογή για x = R / =,1 m και H = 1 m. Θεωρούμε ότι δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας. Δίνεται g = 1 m/s². ΑΠΑΝΤΗΣΗ www.ylikonet.gr 1

α) Ανάλογα με τη φορά περιστροφής της Σ 1, το συρματόσκοινο τυλίγεται στον ένα από τους δύο δίσκους και ξετυλίγεται από τον άλλο, στα σημεία Α και Δ. Αν η Σ 1 στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω, τότε τα μέτρα των αντίστοιχων ταχυτήτων είναι: υ Α = ω x και υ Δ = ω R οπότε υ Α < υ Δ (1) Για να ανέρχεται το Σ 3, θα πρέπει να μικραίνουν τα κατακόρυφα τμήματα ΑΓ και ΔΖ, να είναι δηλαδή το τύλιγμα πιο γρήγορο από το ξετύλιγμα. Λόγω της (1), το συρματόσκοινο πρέπει να τυλίγεται στον εξωτερικό δίσκο και η υ Δ να έχει φορά προς τα επάνω. Άρα η τροχαλία Σ 1 πρέπει να στρέφεται αντίθετα από το ρολόι. β) Έστω ω και ω οι γωνιακές ταχύτητες των Σ 1 και Σ αντίστοιχα (προφανώς ομόρροπες). Επειδή το συρματόσκοινο είναι μη εκτατό, τα σημεία Α, Γ καθώς και τα Δ, Ζ έχουν ταχύτητες ίσων μέτρων, οπότε: υ Γ = υ Α = ω x και υ Ζ = υ Δ = ω R () Η τροχαλία Σ κάνει σύνθετη κίνηση. Αν είναι η ταχύτητα του κέντρου μάζας της, τότε: υ Γ = ω R και υ Ζ = υ K + ω R (3) Αντικαθιστώντας τις () στις (3) παίρνουμε: ω x = ω R και ω R = υ K + ω R (4) Θέτοντας στις (4) R = R + x (βλέπε διπλανό σχήμα) και επιλύοντας, βρίσκουμε τελικά: ω =ω και = ω (5) και με αντικατάσταση: ω = r/s και =,1 m/s Τέλος, η σε συνάρτηση με την ακτίνα x του μικρού δίσκου της Σ 1 είναι: Από (5) =, x (S.I.) με < x <, m γ) Όταν η Σ βρίσκεται στην κατώτερη θέση, ένα τμήμα του συρματόσκοινου μήκους S πρέπει να είναι αρχικά τυλιγμένο στο μικρό δίσκο της Σ 1 ώστε να μπορεί να ξετυλιχθεί καθώς η τροχαλία ανεβαίνει, ενώ το υπόλοιπο, μήκους (R+R +H) + π R κρέμεται συγκρατώντας τη Σ. www.ylikonet.gr

Όταν η τροχαλία Σ ανέλθει κατά Η, θα έχει ξετυλιχτεί όλο το συρματόσκοινο από τον μικρό δίσκο, ενώ στον μεγάλο θα έχει τυλιχτεί αντίστοιχα μήκος S + H, διότι το κρεμασμένο μήκος έχει μειωθεί κατά Η. Το αρχικά τυλιγμένο τμήμα πρέπει να είναι τουλάχιστον S = υ Α Δt = ω x Δt, όπου Δt = H / υκ ο χρόνος ανόδου. Οπότε: ω H x S= και μέσω της (5): S H x = (6) Για x = R / =,1 m προκύπτει τελικά ότι: S = H. δ) Οι τροχαλίες και το συρματόσκοινο έχουν ασήμαντη μάζα, οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε την τάση ίδια σε όλο το μήκος του. Για τη Σ ισχύει: Τ = Β Τ = Β / για τη Σ 1 : Στ (Ο) = τ + T x T R = τ = T (R x) και τελικά: τ ( ) Β = τ 1 x = (S.I.) με < x <, m (7) Ο κινητήρας προσφέρει ενέργεια με ρυθμό ίσο με το ρυθμό αύξησης της δυναμικής ενέργειας του Σ 3 : P = dw / dt = τ ω = du / dt = B υ K οπότε: ( ) Β ω P= P 4 x = (S.I.) με < x <, m (8) Ο χρόνος ανόδου σε Η είναι: t = H / υk H t= ω ( ) H t= (S.I.) με < x <, m (9), x www.ylikonet.gr 3

τ (Ν m) P (W) t (s) 4 H=1m 1, x (m), x (m),1, x (m) Τέλος, για x = R / =,1 m και Η = 1 m προκύπτουν τιμές: (7) τ = 1 Ν m, (8) τ = Watt και (9) t = 1 s Και για το τέλος, ένα... bonus ερώτημα: ε) Με τη βοήθεια του προηγούμενου συστήματος που αποτελείται από (i) ένα ηλεκτρικό κινητήρα ισχύος P(x), (ii) μια διπλή σταθερή τροχαλία με ακτίνες R, x που ο κινητήρας τη στρέφει με γωνιακή ταχύτητα ω και (iii) μια κινητή τροχαλία με ακτίνα R = R + x, ανυψώσαμε ένα βάρος Β σε ύψος Η σε χρόνο t(x). Θέλουμε τώρα να αντικαταστήσουμε το σύστημα αυτό με ένα δεύτερο που να αποτελείται από (i) τον ίδιο κινητήρα που να στρέφει με την ίδια ω μια απλή σταθερή τροχαλία ακτίνας R (στη θέση της προηγούμενης διπλής) και (ii) ένα λείο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ, πάνω στο οποίο το βάρος Β ολισθαίνοντας, να ανέρχεται στο ίδιο ύψος Η στον ίδιο χρόνο t (αντί να ανυψώνεται μέσω της προηγούμενης κινητής τροχαλίας). Ποια πρέπει να είναι η σχέση ημφ = f(x) που συνδέει το ημίτονο της γωνίας φ του κεκλιμένου με την εσωτερική ακτίνα x της διπλής τροχαλίας του πρώτου συστήματος (με < x < R); ΑΠΑΝΤΗΣΗ Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το νέο σύστημα, όπου το σώμα Σ3 ανέρχεται με μικρή σταθερή ταχύτητα υ στο κεκλιμένο, συρόμενο από το συρματόσκοινο. Τα κοινά στοιχεία που συνδέουν τα συστήματα (1) και () είναι τα εξής: 1 ος τρόπος: Η κοινή ισχύς του κινητήρα. www.ylikonet.gr 4

Από (8) είχαμε βρει: P (1) Β ω = ( ) Από το σχήμα: P () = τ ω = Τ R ω = Β ημφ R ω οπότε: P (1) = P () ημφ= R ος τρόπος: Το κοινό μήκος L του συρματόσκοινου που τυλίγεται και στις δύο περιπτώσεις στην περιφέρεια του εξωτερικού δίσκου που στρέφει ο κινητήρας. Τούτο συμβαίνει διότι έχουμε ίδια επιτρόχια ταχύτητα υ Δ = υ = ω R και ίδιο χρόνο ανόδου t(x). Στο (γ) ερώτημα είχαμε δει ότι στον εξωτερικό δίσκο τυλίγεται συρματόσκοινο L = S + H. Από τη σχέση (6): H x L= + H L= H R οπότε από το σχήμα: H ημφ= L ημφ= R Αξίζει να παρατηρηθεί ότι η κινητή τροχαλία στο 1 ο σύστημα περιορίζει το ελάχιστο απαιτούμενο μήκος συρματόσκοινου για τύλιγμα σε L min = H (για x = ), επομένως και την μέγιστη γωνία κλίσης του κεκλιμένου στο ο σύστημα σε φ max = 3º. Φυσικής-Χημείας Γιατί το να µοιράζεσαι ράγµατα, είναι καλό για όλους Επιμέλεια: Διονύσης Μητρόπουλος www.ylikonet.gr 5