7. Тетива је једнака полупречнику круга. Израчунај дужину мањег одговарајућег лука ако је полупречник 2,5 сm. 8. Географска ширина Београда је α = 44 47'57", а полупречник Земље 6 370 km. Израчунај удаљеност Београда од: 1) екватора; 2) Северног пола; 3) Јужног пола. 6.5 Површина круга и његових делова Дат је круг полупречника г (слика 16). Како да одредимо формулу којом се сваком кругу додељује број који представља његову површину (Р)? Приметио си да смо правилне многоутлове разлагали на троуглове и затим површину многоугла рачунали као збир површина тих троуглова. Применимо сличан поступак и за израчунавање датог круга. Круг је подељен на 6 једнаких делова и они су сложени као на слици 16. Слика 16 Ако се круг даље дели на: 12; 24; 48;... једнаких делова и они сложе као у претходном случају, добиће се фигура која све више личи на правоугаоник чије су странице половина обима круга и његов полупречник (слика 17). Слика 17 148
Ovај поступак нам омогућава да површину круга изразимо формулом: Р = 1 2 O r = 2rπ или Р = 1 2 2rπ r, тј. Р = r 2 π Површина круга једнака је производу квадрата полупречника и броја π. P = r 2 π. Пример 1 1) Полупречник круга је 4 cm. Израчунај његову површину. Решење: P = r 2 π, r = 4 cm, P = 16π cm 2. 2) Пречник круга је 6 cm; Израчунај његову површину. Решење: 2r = 6 cm; Р = r 2 π, Р = 9π cm 2. 3) Обим круга је 4π cm. Израчунај његову површину. Решење: О = 4π, 2rπ = 4π, r = 2 cm, Р = 4π cm 2. Део кружне површи (слика 18) ограничен полупречницима ОА, ОВ и луком АВ (l) назива се кружни исечак. Угао α је централни угао исечка, α = АОВ. Слика 18 за VII разред основне школе 149
1) Нацртај кружни исечак ако је полупречник 4 cm, а централни угао: 90 ; 60 и 180. Израчунај површину сваког од тих исечака. 2) Како израчунати површину кружног исечка чији је полупречник r и централни угао α? Површина кружног исечка полупречника r чији је централни угао 1 је 360-ти део 1 површине круга тј. Р 1 = 360 r2 π; површина кружног исечка за централни угао од 2 је: 1 Р 2 = 2 360 2 r π ; Површина кружног исечка за централни угао од α је: Р = α 1 360 r 2 π ; Р = r 2 360 $ r$ a. c 3) Израчунај површине кружних исечака из задатка под 1) по формули. 4) Полупречник круга је 6 cm, а централни углови: 30 ; 45 ; 120 ; 270. Израчунај површину сваког од тих кружних исечака. Пример 2 1) Полупречник једног круга је 2 cm а другог 4 cm. Израчунај разлику њихових површина. 2) Два концентрична круга који припадају истој равни и чији су полупречници r 1 и r 2 (r 1 = OA, r 2 = OB, где је r 1 < r 2 ) ограничавају део кружне површи која се назива кружни прстен (слика 19). Површина кружног прстена једнака је разлици површина његових кругова. Слика 19 Р = r 2 2 π r2 1 π тј. Р = (r2 2 r2 1 ) π. 3) Израчунај површину кружног прстена ако су полупречници кругова 5 cm и 4 cm. 150
Задаци 1. Нацртај два различита круга. Измери шта је потребно и израчунај њихове површине. 2. Попуни табелу: r (cm) 8 2,5 1 10 1 1 2 π 6,28 r 2 π (cm 2 ) 3. Израчунај полупречник и обим круга чија је површина: 1) 4 π cm 2 ; 2) 36 π cm 2 ; 3) 28,26 cm 2 ; 4) 3,14 cm 2. 4. 1) Дијагонала квадрата је 6 cm. Израчунај површину описаног круга. 2) Страница правилног шестоугла је 4 cm. Израчунај површину описаног круга. 3) Страница квадрата је 2,4 cm. Израчунај површину уписаног круга. 4) Висина једнакостраничног троугла је 6 cm. Израчунај површину описаног и површину уписаног круга троугла. 5) Прозор се састоји из правоугаоног дела и полукруга (слика 20). Израчунај површину тог прозора. 5. Кружнице полупречника 6 cm и 2 cm додирују се изнутра. Израчунај површину фигуре омеђене тим кружницама. 6. Катете правоуглог троугла су 12 cm и 16 cm. Израчунај површину и обим описаног круга троугла. 7. Нацртај три кружна исечка у два различита круга. Измери шта је потребно и израчунај површине тих исечака. 8. Полупречник круга је 1 cm. Попуни табелу: α 90 45 1 180 360 Р исечка 9. Полупречник круга је 6 cm. Израчунај на два начина површину кружног исечка Слика 20 који представља: 1 2 ; 1 4 ; 1 6 ; 1 8 ; 2 3 ; 3 4 кружне површи. 10. Полупречник круга је 3 cm, а дужина лука 3,14 cm. Израчунај централни угао и површину исечка. за VII разред основне школе 151
11. 1) Покажи да се површина кружног исечка може израчунати и овом формулом: Р = 1 2 r l. где је l дужина одговарајућег кружног лука. 2) Израчунај површину кружног исечка ако је: (1) r = 1 cm, (2) r = 2 cm, (3) r = 4 cm, l = 6,28 cm; l = π cm; l = π cm. 2 12. Нацртај кружни прстен, измери шта је потребно и израчунај његову површину. 13. Стаза има облик кружног прстена. Израчунај површину стазе ако су полупречници кругова 10 m и 8 m. 14. Водоводна цев има спољашњи пречник 18 cm а унутрашњи 15 cm. Колика је површина попречног пресека цеви? 15. Око травњака кружног облика пречника 20 m бетонирана је кружна стаза ширине 12 dm. Израчунај површину стазе. 16. Израчунај површину кружног прстена ако су обими кругова: 1) О 1 = 10π cm, О 2 = 12π cm; 2) О 1 = 25,12 cm, О 2 = 37,68 cm. 17. Израчунај површину кружног прстена ако је обим мањег круга 6 π cm, а обим већег круга је два пута већи. 18. 1) Страница квадрата је 4 cm. Израчунај површину прстена који чине описани и уписани круг квадрата. 2) Висина једнакостраничног троугла је 6 cm. Израчунај површину фигуре омеђену описаном и уписаном кружницом троугла. 3) Полупречник описане кружнице правилног шестоугла је 4 cm. Израчунај површину кружног прстена оређеног описаном и уписаном кружницом. 19. Правилан шестоугао и круг одређују осенчену површ (слика 21). Израчунај површину осенченог дела. Слика 21 152