ΝΟΕΡΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ- ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ Ε.Κολέζα

ΝΟΕΡΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ- ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ Ε.Κολέζα Οι νοεροί υπολογισμοί απαιτούν ικανότητα οπτικοποίησης: να μπορείς να φανταστείς κάτι και να δουλέψεις με το νου.. Είναι ένα είδος νοητικού πειράματος, η νοερή διερεύνηση ιδεών. Τα παιδιά δεν μπορούν να επιτύχουν σε τέτοιου είδους νοητικές διαδικασίες αν δεν έχουν πρακτική εμπειρία για να στηριχθούν και κάποιες αρχικές στρατηγικές για να «χτίσουν» επάνω τους. Σε ένα πρώτο στάδιο η χρήση χειραπτικού υλικού βοηθά στο να κατανοήσουν γιατί μια στρατηγική είναι αποτελεσματική. Στη συνέχεια η αποτελεσματικότητα κάθε στρατηγικής επιδεικνύεται μέσα απο τη χρήση διαφόρων τύπων αριθμών. Οι νοεροί υπολογισμοί ενισχύουν την κρίση και τη δημιουργικότητα των μαθητών περισσότερο απο τους τυποποιημένους γραπτούς αλγορίθμους. Οι τυποποιημένοι αλγόριθμοι εφαρμόζονται σε όλες τις περιπτώσεις και καταλήγουν σε μια μηχανιστική εφαρμογή κάποιων κανόνων. Αντίθετα για τους νοερούς υπολογισμούς, κάθε περίπτωση είναι ξεχωριστή, ενισχύοντας έτσι την αίσθηση του αριθμού στα παιδιά. Η αναπαράσταση σε αριθμογραμμή της στρατηγικής που εφαρμόζεται στο νοερό υπολογισμό, βοηθά στην οπτικοποίηση και εμπέδωση της διαδικασίας. Ο υπολογισμός ενός αθροίσματος ή μιας διαφοράς μπορεί να συνδιάζει περισσότερες απο μια στρατηγικές. Επίσης, μια στρατηγική μπορεί να εφαρμόζεται σε περισσότερες απο μια διαφορετικές επιφανειακά- περιπτώσεις. Για παράδειγμα: Ένας μαθητής της πρώτης δημοτικού που ξέρει τα διπλά π.χ. 9 + 9 = 18 μπορεί να εφαρμόσει αυτή τη γνώση σε πολλές άλλες περιπτώσεις. Ενδεικτικά: 9 + 8 = 9 + 9 1 = 17 9 + 18 = 9 + 8 + 10 = 17 + 10 = 27 19 + 9 = 10 + 9 + 9 = 10 + 18 = 28 19 + 19 = 10 + 9 + 10 + 9 = 20 + 18 = 38 Ένας μαθητής της τρίτης δημοτικού που ξέρει ότι 6 4 = 24 μπορεί να το χρησιμοποιήσει για να υπολογίσει το 12 4 με διπλασιασμό. 1

Το να ξέρει ένας μαθητής ότι π.χ. 6 7 = 42 είναι σαν να ξέρει επίσης ότι: 7 6 = 42, 42 7 = 6 και 42 6 = 7, και με βάση αυτά μπορεί να υπολογίσει τα: 60 7, 70 6, 420 7 και420 6. Ο υπολογισμός του 26 7, με την ανάλυση 20Χ7+ 6Χ7, στηρίζεται σε δυο απλούστερα γινόμενα : 2 7 = 14 άρα 20Χ7=140 και 6 7 = 42. can Τελικό αποτέλεσμα 140 + 42 = 182. Ένας μαθητής που ξέρει ότι 42 6 = 7 μπορεί να το χρησιμοποιήσει για να υπολογίσει το 84 6 σπάζοντας το 84 σε 42 + 42 Όλα τα προηγούμενα παραδείγματα θέλουν να υπογραμμίσουν το ότι: Η ικανότητα για νοερούς υπολογισμούς προυποθέτει μια καλά οργανωμένη διδασκαλία, όπου μέσα απο κατάλληλα επιλεγμένα παραδείγμα θα αναδεικνύονται οι διάφοροι τρόποι χειρισμού/χρήσης ενός αριθμητικού δεδομένου. Ο δάσκαλος πρέπει να είναι γνώστης των διαφόρων στρατηγικών νοερού υπολογισμού και να κινητοποιεί τη δημιοργικότητα των παιδιών μέσα απο κατάλληλα ερωτήματα. Παράδειγμα Τρεις μαθητές της πρώτης δημοτικού σκέφτονται τρόπους υπολογισμού του αθροίσματος 36+35. Ο ένας εξηγεί ότι 36 + 35, είναι σχεδόν διπλό, οπότε το αποτέλεσμα είναι 36+35=(1+35)+35=1+(35+35)=1+ 7ο 1 =71. Ο δεύτερος εξηγεί ότι για να υπολογίσουμε το 36 + 35 προσθέτουμε πρώτα 36+ 30, που κάνει 66, συν 4 για να γίνει 70, συν 1 ακόμα, και παιρνουμε 71. Η στρατηγική που χρησιμοποιεί αυτός ο μαθητής συνοψίζεται σε μια προσπάθεια να πατήσουμε σε κάποιο πολλαπλάσιο του 10. 36+35=36+30+4+1=66+4+1=(66+4)+1=71 Ο τρίτος μαθητής σκέφτεται: 36+35=30+6+30+5=(30+30)+6+5=60+11=71. Η στατρατηγική του βασίζεται στην ανάλυση κάθε αριθμού σε πολλαπλάσια του δέκα και μονάδες. 2

ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΝΟΕΡΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ με παραδείγματα αυξανόμενης αριθμητικής δυσκολίας, ώστε να μπορούν να προσαρμοσθούν σε κάθε τάξη. 1) Κατάλληλα βήματα μπρος και πίσω 10 + 7 Βήματα εμπρός ανά ένα ή χρήση της αξίας θέσης (διαβάζουμε: δέκα- επτά) 13 + 5 Βήματα εμπρός ανά ένα απο το 13 (ή με χρήση της αξίας θέσης 10+ 3+5=10+8) 17 3 Βήματα πίσω ανα ένα ή ανά δυο 18 6 Βήματα πίσω ανά δυο 60 + 5 Βήματα εμπρός ανά ένα ή ανά πέντε απο το 60, ή χρήση αξίας θέσης 80 7 Βήματα πίσω ανά ένα ή ανά δυο ή χρήση αξίας θέσης 27 + 60 Βήματα εμπρός ανά δέκα απο το 27 ή ανά είκοσι απο το 60 72 50 Βήματα πίσω ανά δέκα ή ανα πενήντα (με χρήση αξίας θέσης) απο το 72 90 27 Βήματα πίσω ανά δέκα ή ανά είκοσι και μετά ανά πέντε και δυο 34 + 65 Βήματα εμπρός ανά δέκα ή ανά είκοσι και μετά ανά πέντε ή ανά δυο αν ξεκινήσουμε απο το 65 35 + 15 Βήματα εμπρός ανά πέντε ή ανά δέκα και πέντε 73 68 Από το 68 στο 70 και μετά στο 73 47 + 58 47 +50, και μετά 3 βήματα στο 100, και πέντε βήματα στο 105 124 47 124-40=84, 84-4=80 80-3=77 570 + 300 Βήματα εμπρός ανά 100 960 500 Βήματα πίσω ανά 100 Αυτή η στρατηγική υποστηρίζεται και ενισχύεται με τη χρήση αριθμογραμμής 36+47 3

63+28=91 75-48=27 4

2) Αλλαγή της σειράς των αριθμών Βασικός στόχος: η δημιουργία της δεκάδας ή πολλαπλασίων του δέκα. Αρχικός υπολογισµός 2 + 7 7 + 2 5 + 13 13 + 5 Επαναδιάταξη 10 + 2 + 10 10 + 10 + 2 5 + 34 34 + 5 5 + 7 + 5 5 + 5 + 7 23 + 54 54 + 23 12 7 2 12 2 7 13 + 21 + 13 13 + 13 + 21 6 + 13 + 4 + 3 (6 + 4) + (13 + 3) 17 + 9 7 17 7 + 9 28 + 75 75 + 28=(75+25)+ 3 12 + 17 + 8 + 3 (12 + 8) + (17 + 3) 25 + 36 + 75 25 + 75 + 36 58 + 47 38 58 38 + 47 200 + 567 567 + 200 1.7 + 2.8 + 0.3 1.7 + 0.3 + 2.8 3 + 8 + 7 + 6 + 2 (3 + 7) + (8 + 2) + 6 34 + 27 + 46 34 + 46 + 27 180 + 650 650 + 180=(650+150)+30 1.7 + 2.8 + 0.3 1.7 + 0.3 + 2.8 4.7 + 5.6 0.7 4.7 0.7 + 5.6 = 4 + 5.6 2) Αθροίζοντας τα πολλαπλάσια του 10 Αρχικός Υπολογισµός Πιθανός διαχωρισµός 30 + 47 30 + 40 + 7 78 40 70 + 8 40 = 70 40 + 8 17 + 14 10 + 7 + 10 + 4 = 10 + 10 + 7 + 4 23 + 45 40 + 5 + 20 + 3 = 40 + 20 + 5 + 3 68 32 60 + 8 30 2 = 60 30 + 8 2 5

55 + 37 50 + 30 + 5+7 = 80 + 12 365 40 300 + 60 + 5 40 = 300 + 60 40 + 5 43 + 28 + 51 40 + 3 + 20 + 8 + 50 + 1 = 40 + 20 + 50 + 3 + 8 + 1 540 + 280 540 + 200 + 80 276 153 276 100 50 3 3) Σπάζοντας τον αριθμό για τη δημιουργία ακέραιων μονάδων ή πολλαπλασίων του δέκα Παραδείγματα 6 + 7 = 6 + 4 + 3 23 9 = 23 3 6 85-37=85-30- 5-2 15 + 7 = 15 + 5 + 2 49 + 32 = 49 + 1 + 31 57 + 14 = 57 + 3 + 11 ή 57 + 13 + 1 3.8 + 2.6 = 3.8 + 0.2 + 2.4 5.6 + 3.5 = 5.6 + 0.4 + 3.1 296 + 134 = 296 + 4 + 130 584 176 = 584 184 + 8 0.8 + 0.35 = 0.8 + 0.2 + 0.15 5.6+3.7=5.6+0.4+3.3=6+3.3 4.7-3.5=4.7-3.7+0.2=1+0.2 Η χρήση διαγραμμάτων και εδώ προσφέρει οπτική υποστήριξη 85-37 Πριν απο αυτή τη στρατηγική θα ήταν καλό να προηγηθούν δραστηριότητες όπως οι παρακάτω: 6

Δραστηριότητα 1 Γράφετε στον πίνακα τους παρακάτω δεκαδικούς και ζητάτε απο τους μαθητές να σχηματίσουν ζευγάρια με άθροισμα 1 3.6, 1.7, 2.4, 6.5, 2.3, 1.1, 1.5, 1.8, 2.2, 3.9 π.χ. 3.6 +2.4= 6 Στη συνέχεια τους ζητάτε ζευγάρια που κάνουν ολόκληρα δέκατα. 0.07, 0.06, 0.03, 0.05, 0.04, 0.05, 0.09, 0.01 π.χ. 0.06 +0.04=0.1. Ιδιαίτερη περίπτωση της προηγούμενης στρατηγικής είναι η ακόλουθη, που εφαρμόζεται στην περίπτωση που αθροίζονται αριθμοί που βρίσκονται πολύ κοντά σε πολλαπλάσιο του δέκα ή σε ακέραια μονάδα. Δηλαδή, αριθμοί που λήγουν σε 1 ή 2, ή 8 ή 9. Παραδείγματα 5 + 9 = 5 + 10 1 34 + 9 = 34 + 10 1 52 + 21 = 52 + 20 + 1 70 9 = 70 10 + 1 53 + 11 = 53 + 10 + 1 58 + 71 = 58 + 70 + 1 84 19 = 84 20 + 1 38 + 69 = 38 + 70 1 53 + 29 = 53 + 30 1 64 19 = 64 20 + 1 138 + 69 = 138 + 70 1 405 399 = 405 400 + 1 21/2 + 13/4 = 21/2 + 2 1/4 5.7 + 3.9 = 5.7 + 4.0 0.1 2.4 + 3.9 = 2.4 + 4 0.1. 4) Χρησιμοποιώντας τα διπλά Παραδείγματα 5 + 6=5+5+1 ή 6+6-1 13 + 14 =13+13 +1 ή 14+14-1 60 + 70=60+60+10 38 + 35=35+35+3 160 + 170=150+150+10+20 380 + 380=400+400-20- 20 1.5 + 1.6=1.5+1.5+0.1 421 + 387=400+400+21-13 7

Υποστηρικτικές δραστηριότητες 1) Γράψτε στον πίνακα τη σειρά 3 6 12 24.. και ζητείστε: Συνεχίστε τη σειρά. Στη συνέχεια φτιάξτε μια δική σας σειρά, ξεκινώντας απο οποιονδήποτε αριθμό, διπλασιάζοντάς τον και προσθέτοντας ένα κάθε φορά. (ο κανόνας μπορεί να ποικίλει. Π.χ διπλασίάστε και αφαιρέστε δυο κλπ) Π.χ Ξεκινώντας απο το 3, προκύπτει η σειρά 3 7 15 31 63 2) Σκέφτομαι έναν αριθμό. Τον διπλασιάζω και προσθέτω τρία. Βρίσκω 43. Ποιός ήταν ο αριθμός που σκέφτηκα; ΕΚΤΙΜΩΝΤΑΣ ΤΟ ΧΡΟΝΟ: Πατώντας σε πολλαπλάσια του 10 Παραδείγµατα Έφτασα στο σταθµό στος 10:36. Το τραίνο φεύγει στις 11:15. Πόσο χρόνο έχω ακόµα; 10:36+0:4=10:40 10:40+0:20=11 11+0:15=11:15 Σηκώθηκα 4ο λεπτά μετά τις 6:30. Πότε σηκώθηκα; 6:30+0:30+0:10 Τι ώρα ήταν 33 λεπτά πριν τις 2:15; 2:15-0:15-0:15-0:03 8

3) Παράδειγμα: Σχετιζόμενοι υπολογισμοί Δίνεται ο πολλαπλασιασμός 6 3 =18 Ζητάμε απο τους μαθητές να χρησιμοποιήσουν τον παραπάνω υπολογισμό για να υπολογίσουν νοερά τα παρακάτω γινόμενα: 6 30 = 12 3 = 6 1.5 = 12 6 = 12 0.3 = Στη συνέχεια, τους ζητάμε να φτιάξουν ένα δικό τους που θα απαντιέται με στήριγμα τον αρχικό πολλαπλασιασμό π.χ 60Χ0.3= Τι πρόβλημα μπορεί να συναντήσουμε ως προς τη διαχείριση της τάξης σε ασκήσεις νοερού υπολογισμού; Επειδή στους νοερούς υπολογισμούς δίνεται έμφαση στην ταχύτητα, κάποιοι μαθητές θα απαντήσουν άμεσα σε βάρος εκείνων που είναι ικανοί, αλλά χρειάζονται λίγο περισσότερο χρόνο. Γι αυτό: Ζητάμε να μην σηκώσει κανεις το χέρι ώσπου να δώσουμε σήμα Έχουμε δώσει κάρτες (με αριθμούς απο 0-9) σε κάθε παιδί και ζητάμε να δείξουν συγχρόνως τις απαντήσεις τους Ζητάμε να γράψουν την απάντησή τους στο τετράδιο. Το σημαντικό είναι να μην αρκεστούμε στην αριθμητική απάντηση, αλλά να ζητήσουμε απο τους μαθητές να εξηγούν τις στρατηγικές τους, να αναγνωρίζουν την πιο αποτελεσματική στρατηγική και να εντάσσουμε αυτή τη στρατηγική στη θεσμοθετημένη γνώση της τάξης (: οι μαθητές κατασκευάζουν μαθηματικά). Οι νοεροί υπολογισμοί δεν είναι γρήγοροι υπολογισμοί στη βάση της ανάκλησης πληροφοριών, αλλά μια σημαντική δεξιότητα που επιτρέπει στους μαθητές να συσχετίσουν και να συνδιάσουν αριθμητικές γνώσεις. Για να γίνει αυτό ο δάσκαλος πρέπει να απευθύνει κατάλληλα επιλεγμένα ερωτήματα που θα παρακινήσουν τα παιδιά να σκεφτούν. Αυτά τα ερωτήματα μπορούν να ενταχθούν σε διάφορες κατηγορίες. Ερωτήματα απλής εφαρμογής γνώσεων Πες μου δυο αριθμούς που διαφέρουν κατά 12 12. Πόσο είναι το 20% των 30 ευρώ; Ποιοί είναι οι παράγοντες του 42; Ποιό είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του 31 με το 4; 9

Ερωτήματα διατύπωσης υπόθεσης ή πρόβλεψης Ο αριθμός 6 είναι 1 + 2 + 3, ο αριθμός 13 είναι 6 + 7. Ποιοί αριθμοί μέχρι το 20 είναι άθροισμα διαδοχικών αριθμών; πχ ο 2+3+4=9, 3+4+5=13, 4+5+6=15, 5+6+7=18, κλπ Πόσο κάνει περίπου 51 φορές47; 100Χ47=4700, 4700:2=2350 2350+47=2397 Πόσα παραλληλόγραμμα θα έχει ο επόμενος σχηματισμός; Ο μεθεπόμενος; 3,6,10, 15,21 Φαντάσου το πληκτρολόγιο ενός κινητού. Τι ιδιαίτερο έχουν τα αθροίσματα κάθε σειράς, κάθε στήλης και κάθε διαγωνίου; Ερωτήματα επινόησης στρατηγικών (Χρήσιμα ως εισαγωγικά στην αντίστοιχη ενότητα) Πως μπορούμε να μετρήσουμε ένα σωρό απο βόλους; Πως μπορείς να αφαιρέσεις 37 απο 82; Εάν 3 x 8 = 24, πόσο κάνει 6 x 0.8; Πως το ότι 12 3 = 4 μπορεί να σε βοηθήσει για να βρεις το 24 3; Φτιάξε και ένα δικό σου παράδειγμα. (Εάν τα παιδιά αναγνωρίσουν ότι 12 3 = 4 σημαίνει ότι το 12 χωρίζεται σε 3 ομάδες των τεσσάρων, θα συμπεράνουν ότι διπλασιάζοντας το 12, διπλασιάζεται και το μέγεθος των ομάδων, οπότε η απάντηση είναι 8). Πως μπορούμε να ξέρουμε αν ένας αριθμός διαιρείται με το 6; Πως μπορούμε να βρούμε το 20% μιας ποσότητας; Κάποιος είπε ότι οι παρακάτω πράξεις δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα.συμφωνείς; Απάντησε χωρίς να κάνεις τις πράξεις. 34 19, 24 9, 45 30, 33 20, 30 15 Ερωτήματα ερμηνείας αποτελεσμάτων Διπλασίασε το 15 και διπλασίασε πάλι. Διαίρεσε την απάντησή σου με το 4. Τι βρήκες; Αυτό ισχύει με κάθε αριθμό; Γιατί; Εάν 6 x 7 = 42 ισχύει ότι 60 x 0.7 = 42; Γιατί; Ξέρω ότι το 5% ενός μήκους είναι 2 cm. Τι άλλα ποσοστά μπορώ να βρω γρήγορα; 10%, 100%, 1%, 20% κλπ 10

Οι ερωτήσεις που απαιτούν νοερό υπολογισμό μπορεί να είναι ανοικτές ή κλειστές. ΚΛΕΙΣΤΕΣ Πόσο κάνει 6-4; Πόσο κάνει 2+6-3; Ο αριθμός 16 είναι άρτιος; Γράψε έναν αριθμό σε κάθε τεράγωνο που θα είναι το άθροισματων δυο ΑΝΟΙΧΤΕΣ Πες μου δυο αριθμούς που η διαφορά τους είναι 2 Πόσους αριθμούς μπορείς να φτιάξεις μς το 2.3 και 6; Πως θα πείσεις κάποιον ότι ο αριθμός 16 είναι άρτιος; Βάλε αριθμούς στους κύκλους ώστε το άθροισμά τους να είναι ο αριθμός στο κύκλων εκατέρωθεν. Συμπλήρωσε το τετράγωνο. μεσαίο τετράγωνο. Βρες διαφορετικούς τρόπους να συμπληρώσεις το τετράγωνο. Πόσο κάνει 4Χ3; Πόσο κάνει 7Χ6; Πόσα εκατοστά έχει το μέτρο; Συνέχισε τη σειρά 1,2,4, Πόσο κάνεο 1/5+4/5; Πόσο είναι το 10% του 300; Βρες αριθμούς που το γινόμενό τους είναι 12. Αν 7Χ6=42, τι άλλο μπορείς να βρεις; Πες μου δυο μήκη που το άθροισμά τους είναι ένα μέτρο Βρες διάφορους τρόπους για να συνεχόσεις τη σειρά των αριθμών 1,2,4 Βρες οκτώ διαφορετικά παραδείγματα που προσθέτοντας δυο αριθμούς βρίσκεις 1. Βρες διάφορους τρόπους να συμπληρώσεις την ισότητα %Χ =30 11