i) Σε κάθε πλήρη περιστροφή το κινητό Α διαγράφει τόξο ίσου µήκους µε το τόξο που διαγράφει το κινητό Β

Φύλλο Εργασίας: ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΟΜΑΛΗΣ ΚΥΚΛΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Λίγη γεωµετρία πριν ξεκινήσουµε: Σε κύκλο ακτίνας, η επίκεντρη γωνία Δθ µετρηµένη σε ακτίνια (rad) και το µήκος του τόξου Δs στο οποίο βαίνει, συνδέονται µε τη σχέση: Δs=Δθ Εφόσον η επίκεντρη γωνία η οποία βαίνει σε πλήρη κύκλο είναι Δθ= rad, το µήκος κύκλου ακτίνας, η περίµετρος δηλαδή του κύκλου, είναι ίση µε s= Α) Θεωρούµε δύο οµόκεντρους κύκλους µε ακτίνες και =. Κινητό Α στρέφεται στην περιφέρεια του πρώτου κύκλου, ενώ κινητό Β στρέφεται στην περιφέρεια του δεύτερου. Να χαρακτηρίσετε τις επόµενες προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασµένες (Λ): i) Σε κάθε πλήρη περιστροφή το κινητό Α διαγράφει τόξο ίσου µήκους µε το τόξο που διαγράφει το κινητό Β ii) Σε κάθε πλήρη περιστροφή η επιβατική ακτίνα που ακολουθεί το κινητό Β διαγράφει διπλάσια επίκεντρη γωνία από την επιβατική ακτίνα που ακολουθεί το κινητό Α iii) Όταν το κινητό Β εκτελεί µισή περιστροφή, το µήκος τόξου που διαγράφει είναι ίσο µε το µήκος τόξου που διαγράφει το κινητό Α σε µία πλήρη περιστροφή iv) Όταν το κινητό Β διαγράψει τεταρτοκύκλιο, η επιβατική ακτίνα που το ακολουθεί, διαγράφει ίδια επίκεντρη γωνία µε την επιβατική ακτίνα που ακολουθεί το κινητό Α, όταν αυτό διαγράφει ηµικύκλιο Β) Έστω ότι η ακτίνα ενός κύκλου είναι =0,5m. Να χαρακτηρίσετε τις επόµενες προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασµένες (Λ): i) Σε τόξο µήκους 3,4m αντιστοιχεί επίκεντρη γωνία 6,8 rad ii) Σε τόξο µήκους 5π m αντιστοιχεί επίκεντρη γωνία 0π rad iii) Σε επίκεντρη γωνία 0,5π rad αντιστοιχεί τόξο µήκους π/ m iv) Σε επίκεντρη γωνία π/3 rad αντιστοιχεί τόξο µήκους π/6 m

Ένα υλικό σηµείο εκτελεί οµαλή κυκλική κίνηση, διαγράφοντας την οριζόντια κυκλική τροχιά του σχήµατος µε ταχύτητα σταθερού µέτρου και σε χρόνο dt µετακινείται από τη θέση Α στη θέση Β, διαγράφοντας τόξο µήκους ds. i) Το µέτρο της γραµµικής ταχύτητας ορίζεται από την σχέση υ=.. () ii) Σχεδιάστε την ταχύτητα στις θέσεις Α και Β. iii) Η γραµµική ταχύτητα υ : α) Παραµένει σταθερή β) Μεταβάλλεται. iv) Εφόσον µεταβάλλεται διαρκώς η διεύθυνση της γραµµικής ταχύτητας υ, στην οµαλή κυκλική κίνηση εµφανίζεται επιτάχυνση, η οποία εκφράζει το ρυθµό µεταβολής της διεύθυνσης της γραµµικής ταχύτητας. Η επιτάχυνση αυτή ονοµάζεται.. και το µέτρο της δίνεται από την εξίσωση α κ = ενώ η διεύθυνσή της είναι κάθετη στη διεύθυνση της ταχύτητας και έχει φορά προς το κέντρο Ο της τροχιάς. Σχεδιάστε την επιτάχυνση του υλικού σηµείου στις θέσεις Α και Β του σχήµατος. v) Αφού το µέτρο της γραµµικής ταχύτητας στη σχέση () παραµένει σταθερό ισχύει: υ= ds = s. Αν στη σχέση αυτή θέσουµε Δt=Τ, όπου Τ η περίοδος, το µέτρο της dt t γραµµικής ταχύτητας υπολογίζεται από τη σχέση υ= vi) Στην οµαλή κυκλική κίνηση ορίζεται και η γωνιακή ταχύτητα ω η οποία είναι διάνυσµα κάθετο στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς, µε σηµείο εφαρµογής το κέντρο του κύκλου και φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Τo µέτρο της γωνιακής ταχύτητας ορίζεται από την εξίσωση ω= Ο ω Α υ vii) Στην οµαλή κυκλική κίνηση η γωνιακή ταχύτητα: α) Παραµένει σταθερή β) Μεταβάλλεται. Αφού η γωνιακή ταχύτητα δεν µεταβάλλεται µπορούµε να γράψουµε: ω= d θ θ =. Αν στη σχέση αυτή θέσουµε Δt=Τ, όπου Τ η περίοδος, το µέτρο της dt t γωνιακής ταχύτητας υπολογίζεται από τη σχέση ω=.

viii) Ξεκινώντας από τις εξισώσεις υ= ds dt και ω= d θ, να βρεθεί µια σχέση που να dt συνδέει το µέτρο της γραµµικής ταχύτητας µε το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας... Η παραπάνω σχέση θα ισχύει αν οι παραπάνω ταχύτητες µεταβάλλονται; Τα διανύσµατα υ και ω είναι ασύµβατα κάθετα Γ) Ένα κινητό στρέφεται µε ταχύτητα σταθερού µέτρου στην περιφέρεια ενός κύκλου ακτίνας =0,5m, οπότε διαγράφει τόξο µήκους 8π m σε χρονικό διάστηµα 4sec. Σε πόσο χρονικό διάστηµα θα διαγράψει το µήκος τόξου που αντιστοιχεί σε τεταρτοκύκλιο; Σε πόσο χρονικό διάστηµα η επιβατική ακτίνα που το ακολουθεί θα διαγράψει επίκεντρη γωνία ίση µε π/3 rad; Δ) Από ορισµένο σηµείο Α της περιφέρειας ενός κύκλου ακτίνας, διέρχονται ταυτόχρονα δύο σώµατα, τα οποία στρέφονται κατά την ίδια φορά, εκτελώντας οµαλή κυκλική κίνηση µε ταχύτητας µέτρων υ, υ όπου υ < υ. Να χαρακτηρίσετε τις επόµενες προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασµένες (Λ): i) Τη στιγµή που συναντιούνται για πρώτη φορά, το «γρήγορο» κινητό έχει διαγράψει δύο περιστροφές και το «αργό» µία. ii) Τη στιγµή που συναντιούνται για πρώτη φορά, το «γρήγορο» κινητό έχει διαγράψει µία περιστροφή παραπάνω από το «αργό» iii)τα δύο κινητά θα συναντηθούν για πρώτη φορά µετά από χρονικό διάστηµα t= υ υ iv) Αν ισχύει ότι υ = υ τότε τα δύο κινητά θα συναντηθούν για πρώτη φορά ενώ διέρχονται από το σηµείο Α, τη στιγµή που το «αργό» κινητό ολοκληρώνει την πρώτη περιστροφή, ενώ το «γρήγορο» ολοκληρώνει τη δεύτερη v) Τα δύο κινητά θα συναντηθούν στο σηµείο Α για πρώτη φορά, τη χρονική στιγµή που είναι ίση µε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των περιόδων τους. Ε) Από ορισµένο σηµείο Α της περιφέρειας ενός κύκλου ακτίνας, διέρχονται ταυτόχρονα δύο σώµατα, τα οποία στρέφονται κατά αντίθετη φορά, εκτελώντας οµαλή κυκλική κίνηση µε ταχύτητας µέτρων υ, υ όπου υ < υ. Να χαρακτηρίσετε τις επόµενες προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασµένες (Λ): 3

i) Τη στιγµή που συναντιούνται για πρώτη φορά, το «γρήγορο» κινητό έχει διαγράψει µία περιστροφή παραπάνω από το «αργό» ii) Τη στιγµή που συναντιούνται για πρώτη φορά, τα µήκη τόξων που έχουν διαγράψει συνδέονται µε τη σχέση: s = s+ iii) Τα δύο κινητά θα συναντηθούν για πρώτη φορά µετά από χρονικό διάστηµα t= υ + υ Στ) Δυο σώµατα Α και Β κινούνται οµαλά σε κυκλικές τροχιές µε ακτίνες =(ΟΑ) και =(ΟΒ). Οι τροχιές έχουν το ίδιο κέντρο Ο ενώ τα σώµατα κινούνται µε ταχύτητες ίσων µέτρων υ =υ =υ. Κάποια στιγµή οι επιβατικές ακτίνες που τα ακολουθούν βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία, όπως στο σχήµα. Να χαρακτηρίσετε τις επόµενες προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασµένες (Λ): i) Οι επιβατικές ακτίνες που τα ακολουθούν θα βρίσκονται κάθε στιγµή πάνω στην ίδια ευθεία ii) Η επιβατική ακτίνα ΟΑ διαγράφει στο ίδιο χρονικό διάστηµα µεγαλύτερη γωνία από την επιβατική ακτίνα ΟΒ iii) Τη στιγµή που οι επιβατικές ακτίνες θα ξαναβρεθούν πάνω στην ίδια ευθεία για πρώτη φορά, το κινητό Α θα έχει διαγράψει µία περιστροφή περισσότερη από το Β iv) Τη στιγµή που οι επιβατικές ακτίνες θα ξαναβρεθούν πάνω στην ίδια ευθεία για πρώτη φορά, το κινητό Α θα έχει διαγράψει µισή περιστροφή περισσότερη από το Β v) Οι επιβατικές ακτίνες θα ξαναβρεθούν πάνω στην ίδια ευθεία για πρώτη φορά, µετά από π χρονικό διάστηµα: t= υ υ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α) i) Λ (s =s ) ii) Λ (Δφ =Δφ = rad) iii) Σ (s =s = ) iv) Λ (Δφ = π Δφ =π) Β) i) Σ ii) Σ iii) Λ iv) Σ 4

Γ) m υ = π, t = s t = s 8 s Δ) i) Λ ii) Σ iii) Σ iv) Σ v) Σ E) i) Λ ii) Λ iii) Σ Στ) Λ- Σ- Λ-Σ-Σ papasgou@gmail.com 5