Μαθηματικά Β Γυμνασίου

Μαθηματικά Β Γυμνασίου

Περιεχόμενα KEΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ... 3 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ... 3 1.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ... 3 1.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ... 4 1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ... 4 1.5 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ... 4 ΚEΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 6 2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ... 6 2.2 ΆΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ... 7 3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 7 3.2 ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ-ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ... 7 3.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=ΑX... 8 3.4 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=ΑX+Β... 9 3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Y=Α/X Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ... 10 KEΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ... 12 4.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ: ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ-ΔΕΙΓΜΑ... 12 4.2 ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ... 12 4.3 ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΩΝ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ... 12 4.4 ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ... 12 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ -ΔΙΑΜΕΣΟΣ... 13 Μαθηματικα Β Γυμνασίου 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ... 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ... 14 1.1 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ... 14 1.2 ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΤΗΣΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ... 14 1.3 ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ... 14 1.4 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ... 14 KΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ... 16 2.1-2.2 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΗΜΙΤΟΝΟ ΣΥΝΙΜΗΤΟΝΟ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ... 16 2.3 ΜΕΤΑΒΟΛΕΣ ΗΜΙΤΟΝΟΥ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟΥ ΚΑΙ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ... 16 2.4 ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΩΝ ΓΩΝΙΩΝ 30 0 45 0 60 0... 16 2.5 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ... 17 2.6 ΆΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ... 18 2.7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ... 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ... 19 3.1 ΕΓΓΕΓΡΑΜΜΕΝΕΣ ΓΩΝΙΕΣ... 19 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ... 19 3.3ΜΗΚΟΣ ΚΥΚΛΟΥ... 19 3.4ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ... 20 3.5 ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ... 20 3.6 ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ... 20 Μαθηματικα Β Γυμνασίου 2

KEΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1.1 Η έννοια της μεταβλητής Αλγεβρικές παραστάσεις 1. Tί είναι μεταβλητή ; Μεταβλητή είναι ένα γράμμα του ελληνικού ή του λατινικού αλφαβήτου πίσω από το οποί κρύβεται ένας αριθμός. 2. Τι ονομάζω αριθμητική παράσταση; Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς. 3. Τι ονομάζω αλγεβρική παράσταση; Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές. 4. Ποια είναι η επιμεριστική ιδιότητα; α(β+γ)= αβ+αγ α(β-γ)= αβ-αγ 5. Ποια διαδικασία ονομάζεται αναγωγή ομοίων όρων; Η διαδικασία κατά την οποία γράφουμε μια αλγεβρική παράσταση με απλούστερο τρόπο. 1.2 Εξισώσεις α βαθμού 1. Πως μπορώ να επέμβω σε μια ισότητα; Αν α=β, τότε α+γ =β+γ, Αν α=β, τότε α-γ =β-γ, Αν α=β, τότε αγ =βγ, Αν α=β, τότε α/γ =β/γ, με γ 0 2. Τι είναι η εξίσωση; Ποιο είναι το πρώτο μέλος και ποιο δεύτερο; Εξίσωση είναι κάθε ισότητα που περιέχει μία μεταβλητή (ένα γράμμα) π.x x+5=8. To κομμάτι της ισότητας που είναι από το ίσον και αριστερά (x+5) το λέμε πρώτο μέλος. To κομμάτι της ισότητας που είναι από το ίσον και δεξιά (8) το λέμε δεύτερο μέλος. 3. Τι είναι λύση μιας εξίσωσης; Είναι ο αριθμός που την επαληθεύει. Μαθηματικα Β Γυμνασίου 3

4. Ποια εξίσωση λέγεται αδύνατη και ποια αόριστη; Αδύνατη λέμε την εξίσωση που δεν έχει καμίαλύση 0χ=β, β 0 Αόριστη (ή ταυτότητα) λέμε την εξίσωση που έχει άπειρεςλύσεις 0χ=0. 5. Τι κάνω όταν μεταφέρω έναν αριθμό από το ένα μέλος στο άλλο; Του αλλάζω πρόσημο. 6. Περίγραψε τα βήματα που ακολουθούμε για να λύσουμε μία εξίσωση. o Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. o Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. o Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. o Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. 1.3 Επίλυση τύπων 1. Τι εννοούμε όταν λέμε επίλυση τύπων; Είναι η διαδικασία κατά την όποια όταν έχουμε σχέσεις με πολλές μεταβλητές να λύνουμε τις σχέσεις αυτές ως προςμιαμεταβλητή χρησιμοποιώντας τις τεχνικές που μάθαμε στις εξισώσεις. 1.4 Επίλυση προβλημάτων με την χρήση εξισώσεων 1. Πως λύνουμε προβλήματα με εξισώσεις; o Διακρίνουμε τα δεδομένα από τα ζητούμενα. o Εκφράζουμε με x τον άγνωστο. o Εκφράζουμε όλα τα αλλά μεγέθη του προβλήματος με την βοήθεια του x. o Γράφουμε την εξίσωση. o Λύνουμε την εξίσωση. o Επαληθεύουμε. 1.5 Ανισώσεις α βαθμού 1. Τι ονομάζω ανίσωση; Ανίσωση λέμε κάθε ανισότητα που περιέχει έναν άγνωστο. 2. Πότε λέμε ότι μια ανίσωση είναι αδύνατη; Αδύνατη λέμε κάθε ανίσωση που δεν αληθεύει για καμία τιμή του χ. 3. Πως μπορώ να επέμβω σε μια ανίσωση; o Αν α>β, τότε α+γ>β+γ και α-γ>β-γ o Αν α>β και γ>0 τότε αγ>βγ και α/γ>β/γ o Αν α>β και γ<0 τότε αγ<βγ και α/γ<β/γ Μαθηματικα Β Γυμνασίου 4

o Αν α>β και β>γ τότε α>γ o Αν α>β >0 και γ>δ >0τότε αγ>βδ o Προσοχή : όταν πολλαπλασιάζω ή διαιρώ τα μελή μιας ανίσωσης με αρνητικό αριθμό τότε η ανισότητα αλλάζει φορά. 4. Πως λύνω μία ανίσωση; o Κάνουμε απαλοιφή παρονομαστών. o Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. o Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων. o Διαιρούμε με τον συντελεστή του αγνώστου. o Αν ο συντελεστής είναι θετικός η ανισότητα δεν αλλάζει φορά. o Αν ο συντελεστής είναι αρνητικός η ανισότητα αλλάζει φορά. Μαθηματικα Β Γυμνασίου 5

ΚEΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 2.1 Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού 1. Τι είναι τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού; o Τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού α, λέγεται ένας θετικός αριθμός χ ο οποίος, o όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Συμβολίζεται a =x τότε x 2 =α o ΙΔΙΟΤΗΤΑ ( a ) 2 = α, α>ο a o 0 =0 2.2 Άρρητοι αριθμοί Πραγματικοί αριθμοί 1. Ποιοι αριθμοί είναι άρρητοι; Άρρητοι είναι οι αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν με την μορφή κλάσματος. 2. Τι γνωρίζεις για τους πραγματικούς; Πραγματικοί ονομάζονται οι ρητοί και οι άρρητοι αριθμοί. o Ρητοί είναι οι αριθμοί που μπρορούν να γραφούν με τη μορφή κλάσματος π.χ 0,6, 7,9... o Άρρητοί είναι οι αριθμοί που δεν μπρορούν να γραφούν με τη μορφή κλάσματος π.χ 2 Μαθηματικα Β Γυμνασίου 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 3.1 Η έννοια της συνάρτησης 1. Τι είναι συνάρτηση ; Συνάρτηση είναι μια διαδικασία αντιστοίχησης τέτοια ώστε σε κάθε χ αντιστοιχεί ένα ψ. 2. Τι είναι πίνακας τιμών μιας συνάρτησης; Πίνακας τιμών μια συνάρτησης είναι ένας πίνακας στον οποίο τοποθετώ τις αντίστοιχες τιμές των τιμών μιας συνάρτησης. 3. Tι ονομάζεται πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης; Είναι το σύνολο από το οποίο παιρνει τιμές το χ. 4. Tι ονομάζεται σύνολο τιμών μιας συνάρτησης; Είναι το σύνολο όλων των τιμών του ψ. 5. Τι ονομάζουμε αριθμητική τιμή της σύνάρτησης ; Την τιμή του ψ που προκύπτει αν αντικαταστησουμε στη σχεση της συνάτησησς τον αριθμό χ με μια συγκεκριμένη τιμή. 3.2 Καρτεσιανές συντεταγμένες-γραφική παράσταση ΘΥΜΑΜΑΙ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ο :Αρχή των αξόνων Οx: Ημιάξονας τετμημένων Οy: Ημιάξονας τεταγμένων Το 3 τετμημένη του σημείου Μ Το 2 τεταγμένη του σημείου Μ Τετμημένη και τεταγμένη =συντεταγμένες Μαθηματικα Β Γυμνασίου 7

1. Γιατί το παραπάνω ζευγάρι(3,2) ονομάζεται διατεταγμένο ζεύγος; Διατεταγμένο σημαίνει με τη σειρά το 3 πρώτο και το 1 δεύτερο. 2. Πως ονομάζω τους αριθμούς του διατεταγμένου ζεύγους; Συντεταγμένες. 3. Τι αντιστοιχεί σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος θετικών αριθμών; Ένα σημείο. 4. Γιατί το σύστημα αξόνων που χρησιμοποιούμε λέγεται ορθοκανονικό; Ορθο- σημαίνει οι άξονες τέμνονται κάθετα. Κανονικό σημαίνει έχει οριστεί πάνω τους η ίδια μονάδα μέτρησης. 5. Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση μιας συνάρτησης; Είναι η αναπαράσταση όλων των ζευγών τιμών μιας γραφικής παράστασης σε ένα σύστημα αξόνων. 6. Τι γνωρίζεις για τα τεταρτημόρια; Το σύστημα των αξόνων χωρίζει το επίπεδο σε τέσσερα μέρη που λέγονται τεταρτημόρια. Στο διπλανό σχήμα σημειώνονται τα πρόσημα της τετμημένης και της τεταγμένης σε κάθε τεταρτημόριο. 3.3 Η συνάρτηση y=αx 1. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα; Δύο ποσά λέγονται ανάλογα όταν: Μαθηματικα Β Γυμνασίου 8

Πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός ποσού με ένας αριθμό τότε πολλαπλασιάζονται και οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού με τον ίδιο αριθμό. 2. Τι γνωρίζω για τα ανάλογα ποσά; o Οι αντίστοιχοι λόγοι ίσοι y/x σταθερό. o y = α x. o η γραφική παράσταση είναι μια ευθεία που περνάει από την αρχή των αξόνων. Παρατήρηση :ο λόγος y/x=α αυτός λέγεται κλίση της ευθείας y =αx. 3.4 Η συνάρτηση y=αx+β 1. Τι παριστάνει η συνάρτηση ψ=αχ+β; Τι είναι το α; Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ψ=αχ+β με α 0 και β 0 παριστάνει ευθεία παράλληλη της ψ=αχ που διέρχεται από τα ο σημείο (0,β) του ψψ. Το α είναι η κλίση της ευθείας. 2. Τι παριστάνει η συνάρτηση αχ+βψ=γ με α 0 και β 0 Παριστάνει ευθεία. Μαθηματικα Β Γυμνασίου 9

3.5 Η συνάρτηση y=α/x Η υπερβολή 1. Ποια ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα; o Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα όταν: o Πολλαπλασιάζοντας τις τιμές του ενός ποσού με ένας αριθμό τότε διαιρούνται οι αντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού με τον ίδιο αριθμό. 2. Ποια σχέση συνδέει 2 αντιστρόφως ανάλογα ποσά και τι είναι η γραφική παράσταση 2 αντιστρόφως ανάλογων ποσών; o Τα αντίστοιχα γινόμενα ίσα. o y =α/χ, α 0. o η γραφική παράσταση είναι μια υπερβολή. o αν α>0 βρίσκεται στο 1 ο και 3 ο τεταρτημόριο. o αν α<0 βρίσκεται στο 2 ο και 4 ο τεταρτημόριο. Μαθηματικα Β Γυμνασίου 10

3. Ποια είναι τα χαρακτηριστικά κάθε υπερβολής; o Η γραφική της παράσταση έχει : o Κέντροσυμμετρίας την αρχή των αξόνων. o Άξονεςσυμμετρίας τις διχοτόμους των γωνιών των αξόνων δηλαδή τις y = x και y = -x. Μαθηματικα Β Γυμνασίου 11

KEΦΑΛΑΙΟ 4 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 4.1 Βασικές έννοιες στατιστικής: Πληθυσμός-Δείγμα 1. Τι είναι πληθυσμός και τι μεταβλητή; Πληθυσμός είναι ένα σύνολο του οποίου μελετάμε τα στοιχεία ως προς ένα χαρακτηριστικό. Μεταβλητή είναιτο χαρακτηριστικό ως προς το οποίο μελετάμε ένα σύνολο. 2. Τι είναι η δειγματοληψία; Είναι η συλλογή στοιχείων από ένα μέρους του πληθυσμού το οποίο μελετάμε. 3. Τι είναι η απογραφή; Είναι η συλλογήστοιχείων από όλο τον πληθυσμό. 4.2 Γραφικές παραστάσεις 1. Πως γίνεται η παρουσίαση των στατιστικών δεδομένων; Με πίνακες και διαγράμματα. 2. Ποια είδη διαγραμμάτων γνωρίζετε; o Εικονόγραμμα. o Ραβδόγραμμα. o Κυκλικό διάγραμμα. o Χρονόγραμμα. 4.3 Κατανομή συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων 1. Τι είναι συχνότητα; Είναι ο αριθμός που εκφράζει πόσες φορές εμφανίζεται στο δείγμα η τιμή αυτή. 2. Τι είναι σχετική συχνότητα; Είναι το πηλίκο μιας συχνότητας προς το πλήθος των παρατηρήσεων (%) 4.4 Ομαδοποίηση παρατηρήσεων 1. Τι είναι η ομαδοποίηση; Η διαδικασία με την οποία χωρίζουμε τις παρατηρήσεις σε κλάσεις (ομάδες). 2. Τι είναι ιστόγραμμα συχνοτήτων; Μαθηματικα Β Γυμνασίου 12

Η γραφική παράσταση στην οποία παρουσιάζουμε την ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. 4.5 Μέση τιμή -Διάμεσος 1. Τι είναι μέση τιμή ; Για να υπολογίσουμε τη μέσητιμή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουμε όλες τις παρατηρήσεις και τις διαιρούμε δια το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών. 2. Τι είναι διάμεσος; o Για να την υπολογίσουμε γράφουμε τις παρατηρήσεις κατά αύξουσα σειρά και βρίσκουμε τη μεσαία παρατήρηση. o Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο,παίρνουμε ως διάμεσο το μέσο όρο των δυο μεσαίων παρατηρήσεων. 3. Πως βρίσκω μέση τιμή ομαδοποιημένης κατανομής; o Βρίσκουμε τα κέντρα των κλάσεων. o Πολλαπλασιάζουμε το κέντρο κάθε κλάσης με την συχνότητα της κλάσης αυτής. o Προσθέτουμε όλα τα γινόμενα. o Διαιρούμε το άθροισμα αυτό με το άθροισμα των συχνοτήτων. Μαθηματικα Β Γυμνασίου 13

Γεωμετρία ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 1.1 Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας 1. Τι ορίζω ως εμβαδό επίπεδης επιφάνειας; Είναι ο θετικός αριθμός που εκφράζει το πλήθος των μονάδων μέτρησης, το οποίο χρειάζεται να πάρουμε για να καλύψουμε την επιφάνεια πλήρως. 1.2 Μονάδες μέτρτησης επιφανειών 1. Ποια είναι η μονάδα μέτρησης επιφανειών και ποιες οι υποδιαιρέσεις και ποια τα πολλαπλάσια; Μονάδα μέτρησης των επιφανειών είναι το τετραγωνικό μέτρο (m 2 ). Δηλαδή το τετράγωνο με πλευρά 1 m. Υποδιαιρέσεις : o 1 m 2 = 100dm 2 =10.000 cm 2 =1.000.000mm 2 Πολλαπλάσια : o 1Κm 2 =1000000m 2 και 1 στρέμμα=1000m 2 1.3 Εμβαδά επίπεδων σχημάτων 1. Τυπολόγιο εμβαδών επίπεδων σχημάτων. o Τετραγώνου Ε= α 2. o Παραλληλογράμμου Ε= β υ. o Τριγώνου Ε= β υ/2 o Τραπεζίου Ε = 1/2(Β + β ) υ 1.4 Πυθαγόρειο θεώρημα 1. Τι γνωρίζετε για το Πυθαγόρειο θεώρημα; Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών. Μαθηματικα Β Γυμνασίου 14

2. Τι λέει το αντίστροφο του Π.Θ.; Αν σε ένα τρίγωνο το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, τότε η γωνία που βρίσκεται απέναντι από τη μεγαλύτερη πλευρά είναι ορθή. Μαθηματικα Β Γυμνασίου 15

KΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 2.1-2.2 Εφαπτομένη ημίτονο συνιμήτονο οξείας γωνίας 1. Ποιοι είναι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας; o εφαπτομένη = απέναντι κάθετη προσκέιμενη κάθετη o ημίτονο = απέναντι κάθετη υποτείνουσα o συνημίτονο = προσκέιμενη κάθετη υποτείνουσα 2. Γιατί ισχύουν οι σχέσεις 0<ημω<1 και 0<συνω<1; Από τον ορισμό του ημω και του συνω (εφόσον υποτείνουσα είναι μεγαλύτερη από κάθε κάθετη πλευρά). 2.3 Μεταβολές ημιτόνου συνημιτόνου και εφαπτομένης 1. Πως μεταβάλλονται οι τριγωνομετρικοί αριθμοί όταν αυξάνει η γωνία; Όταν η γωνία μεγαλώνει τότε: o ημω και εφω μεγαλώνουν o συνω μικραίνει 2.4 Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών 30 0 45 0 60 0 1. Τριγωνομετρικοί αριθμοί 300 450 60 0 Μαθηματικα Β Γυμνασίου 16

30 0 45 0 60 0 ημίτονο 1/2 2 /2 3 /2 συνημίτονο 3 /2 2 /2 1/2 εφαπτομένη 3 /3 1 3 2.5 Η έννοια του διανύσματος 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη που προσδιορίζονται πλήρως, αν δοθεί μόνο το μετρό τους και η μονάδα μέτρησης. 2. Ποια μεγέθη ονομάζονται διανυσματικά; Διανυσματικά ονομάζονται τα μεγέθη που προσδιορίζονται πλήρως, χρειάζεται εκτός από το μετρό τους και η μονάδα μέτρησης και η κατεύθυνση. 3. Πως παριστάνονται τα διανυσματικά μεγέθη; Με διανύσματα που συμβολίζονται με βέλη έχοντας σαν σημείο Α που είναι η αρχή και λέγεται σημείο εφαρμογής του διανύσματος και ένα σημείο Β που είναι το πέρας (το τέλος). Συμβ ΑΒ. 4. Ποια είναι τα στοιχεία ενός διανύσματος; o Τα στοιχεία ενός διανύσματος είναι: o Διεύθυνση είναι η ευθεία που ορίζουν τα άκρα ΑΒ και οποιαδήποτε ευθεία παράλληλη σε αυτή. o Φορά που καθορίζεται από το ποιο από τα Α και Β είναι αρχή και ποιο πέρας. o Μέτρο που είναι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. 5. Από ποια στοιχεία καθορίζεται η κατεύθυνση ενός διανύσματος; o Από τη διεύθυνση και την φορά. 6. Πότε δυο διανύσματα λέμε ότι είναι ίσα; o Δύο διανύσματα λέμε ότι είναι ίσα όταν έχουν την ίδια διεύθυνση το ίδιο μέτρο και την ίδια φορά. 7. Πότε δυο διανύσματα λέμε ότι είναι αντίθετα ; o Δύο διανύσματα λέμε ότι είναι αντίθετα όταν έχουν την ίδια διεύθυνση το ίδιο μέτρο και αντίθετη φορά. Μαθηματικα Β Γυμνασίου 17

2.6 Άθροισμα και διαφορά διανυσμάτων 1. Πως προσθέτουμε διανύσματα ; Α.Η Μέθοδος του πολυγώνου. o Μεταφέρουμε παράλληλα τα διανύσματα που θέλουμε να προσθέσουμε,ώστε να γίνουν όλα διαδοχικά. o Το άθροισμα θα είναι το διάνυσμα που θα έχει αρχή την αρχή του πρώτου και πέρας το πέρας του τελευταίου. Β.Η Μέθοδος του παραλληλογράμμου. o Μεταφέρουμε τα διανύσματα ώστε να έχουν κοινήαρχή και σχηματίζουμε παραλληλόγραμμο που έχει πλευρές τα διανύσματά μας. o Το άθροισμα θα είναι η διαγώνιος του παραλληλογράμμου. 2. Πως αφαιρούμε διανύσματα ; Η διαφορά των ΑΒ και ΓΔ συμβολίζεται ΑΒ ΓΔ και ορίζεται ως το άθροισμα ΑΒ+ΔΓ. 3. Πως αφαιρούμε διανύσματα με κοινή αρχή ; Η διαφορά των ΟΑ ΟΒ που έχουν κοινή αρχή ΟΑ-ΟΒ είναι το διάνυσμα ΒΑ. 4. Ποιο διάνυσμα είναι το μηδενικό; Μηδενικό είναι το διάνυσμα του οποίο η αρχή και πέρας συμπίπτουν. Δεν έχει ούτε διεύθυνση ούτε φορά και το μέτρο του είναι 0. 2.7 Ανάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες 1. Πως αναλύουμε μια δύναμη σε δύο κάθετες συνιστώσες; Μαθηματικα Β Γυμνασίου 18

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 3.1 Εγγεγραμμένες γωνίες 1. Ποια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη και ποια επίκεντρη; Ποια σχέση συνδέει επίκεντρη-εγγεγραμμένη που βαίνουν στο ίδιο τόξο; Επίκεντρη λέμε τη γωνία που έχει την κορυφή της στο κέντρο του κύκλου και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο. o Εγγεγραμμένη λέμε τη γωνία που έχει την κορυφή της στον κύκλο και οι πλευρές της τέμνουν τον κύκλο. o Επίκεντρη είναι διπλάσια της εγγεγραμμένης που βαίνουν στο ίδιο τόξο. 2. Ποιο είναι το μέτρο της γωνίας που βαίνει σε ημικύκλιο; Η γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή. 3. Τι σχέση έχουν οι εγγεγραμμένες γωνίες που βαίνουν στο ίδιο τόξο ή σε ίσα τόξα; Είναι ίσες. 3.2 Κανονικά πολύγωνα 1. Ποια πολύγωνα λέγονται κανονικά; Κανονικό λέγεται το πολύγωνο που έχει όλες τις πλευρές και όλες τις γωνίες ίσες. 2. Πως κατασκευάζω κανονικό ν-γωνο; 1 ο βημα : Υπολογίζω την γωνία ω=360 ο /ν 2 ο βημα : σχηματίζω διαδοχικά ν επίκεντρες, οι οποίες χωρίζουν τον κύκλο σε ν ίσα τόξα. 3 ο βημα : Ενώνω με διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα τα άκρα των τόξων. 3. Τι σχέση έχει η κεντρική γωνία ω ενός κανονικού ν γωνου με την γωνία του φ; Είναι παραπληρωματικές Δηλαδή ω+φ=180 ο 3.3Μήκος κύκλου 1. Ποιος είναι ο τύπος από τον οποίο παίρνω το μήκος L ενός κύκλου ακτίνας ρ; Μήκος κύκλου : L = 2πρ (π=3,14). Μαθηματικα Β Γυμνασίου 19

3.4Μήκος τόξου 1. Ποιος είναι ο τύπος από τον οποίο παίρνω το μήκος l τόξου ενός κύκλου ακτίνας ρ στο οποίο βαίνει γωνία μ 0 ; Μήκος τόξου l : l= πρμ/180 (π=3,14) 2. Τι είναι το ακτίνιο ή (rad)q; Ακτίνιο ή rad είναι το μήκος του τόξου που είναι ίσο με το μήκος της ακτίνας του κύκλου. Το μήκος ενός κύκλου α rad ισούται με : l =αρ 3. Ποια σχέση συνδέει τις μοίρες με τα ακτίνια; l = πρμ/180 l =αρ άρα πρμ/180 = αρ ή μ/180=α/π 3.5 Εμβαδό κυκλικού δίσκου 1. Ποιος είναι ο τύπος από τον οποίο παίρνω το εμβαδό Ε ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας ρ; Εμβαδό κυκλικού δίσκου : Ε = πρ 2 (π=3,14) 3.6 Εμβαδό κυκλικού τομέα 1. Ποιος είναι ο τύπος από τον οποίο παίρνω το εμβαδό Ε ενός κυκλικού τομέα κύκλου ακτίνας ρ και γωνίας μο; Εμβαδόν κυκλικού τομέα : Ε = πρ 2 μ / 360 ή Ε = ½ αρ 2 (π=3,14). Μαθηματικα Β Γυμνασίου 20