ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός
Βασικές Έννοιες Στη προηγούμενη παράγραφο μάθαμε πως κάνουμε μελέτη των κυμάτων. Τώρα θα μελετήσουμε τι συμβαίνει όταν σ ένα υλικό σημείο συμβάλλουν δύο διαφορετικά κύματα. Για την μελέτη αυτού του φαινομένου θα χρειαστεί να θυμηθούμε την αρχή της επαλληλίας, ή υπέρθεσης, που μάθαμε στη σύνθεση ταλαντώσεων. Επομένως θα ισχύει ότι όταν σε ένα ελαστικό μέσο διαδίδονται δύο ή περισσότερα κύματα, η απομάκρυνση ενός σημείου του μέσου είναι ίση με τη συνισταμένη των απομακρύνσεων που οφείλονται στα επί μέρους κύματα, ή πιο απλά στα μαθηματικά y y y (). Το φαινόμενο αυτό το λέμε συμβολή. Εξίσωση συμβολής δύο κυμάτων Έστω μία πηγή κυμάτων Π η οποία παράγει ένα αρμονικό μηχανικό κύμα εξίσωσης y A. Επιπλέον υπάρχει και μία πηγή Π η οποία παράγει κι αυτή ένα κύμα εξίσωσης y A. Τα δύο κύματα συμβάλλουν στο σημείο Σ το οποίο απέχει απόσταση από το την πηγή Π και απόσταση από την Π. Άρα για το σημείο Σ η εξίσωση του πρώτου κύματος θα είναι y A και για το δεύτερο κύμα y A. Κάποια χρονική στιγμή θα έχουν φτάσει και τα δύο κύματα στο Σ επομένως το σημείο θα κάνει μία σύνθετη κίνηση, την οποία μπορούμε να την μελετήσουμε όμως εύκολα βάση της αρχής της επαλληλίας. Θα έχουμε δηλαδή y y y A A A A B A B κάνοντας χρήση του τύπου A B θα έχουμε: y A ()
Παρατηρούμε πάλι πως έχουμε δύο τριγωνομετρικούς αριθμούς όπως και στη σύνθεση ταλαντώσεων. Αυτή τη φορά όμως το συνημίτονο δεν επηρεάζεται από τον χρόνο αλλά μόνο από την θέση που βρίσκεται το σημείο που μελετάμε, σε σχέση με τις δύο πηγές. Άρα μπορούμε να θεωρήσουμε το ολικό πλάτος: ' A A (3) Όπως είναι ευκόλως κατανοητό παίζει ρόλο πλέον πιο σημείο μελετάμε γιατί το συνημίτονο παίρνει τιμές από 0 έως (αφού μελετάμε την απόλυτη τιμή). Τα σημεία που ταλαντώνονται με πλάτος A' A τα ονομάζουμε σημεία ενισχυτικής συμβολής, ενώ τα σημεία που δεν ταλαντώνονται, δηλαδή το πλάτος είναι A' 0 τα λέμε σημεία ακυρωτικής συμβολής. Παρακάτω θα δούμε πως μπορούμε να βρούμε εύκολα αν στο σημείο συμβαίνει ενισχυτική ή ακυρωτική συμβολή. Ενισχυτική Συμβολή Η εξίσωση του πλάτους είναι η το πλάτος έχει τιμή ' A A A' A. Επομένως θα ισχύει:. Όπως ήδη είπαμε στα σημεία αυτά A A Δηλαδή αν η διαφορά των αποστάσεων είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος, (4), τότε η συμβολή θα είναι υποχρεωτικά ενισχυτική.
Ακυρωτική Συμβολή Σ αυτή την περίπτωση το πλάτος είναι A ' 0. Επομένως θα ισχύει: 0 A 0 N N Δηλαδή αν η διαφορά των αποστάσεων είναι περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους N (5), τότε η συμβολή θα είναι υποχρεωτικά ακυρωτική. κύματος, Γεωμετρικός Τόπος Ενισχυτικής και Ακυρωτικής Συμβολής Η εξίσωση καθώς και η N περιγράφουν μία υπερβολή. Δηλαδή όλα τα σημεία που ικανοποιούν τις σχέσεις αυτές ανήκουν σε υπερβολές. 3
Μεθοδολογία Εύρεση Εξίσωσης Η συμβολή των κυμάτων σε ένα σημείο (Σ) συμβαίνει όταν έχουν φτάσει και τα δύο κύματα στο σημείο. Δηλαδή αν το κύμα από την πρώτη πηγή φτάνει τη χρονική στιγμή και από τη δεύτερη πηγή της χρονική στιγμή και ισχύει ότι τότε η εξίσωση του κύματος για το σημείο (Σ) θα είναι η παρακάτω: y 0,0 A, (6) A, Παράδειγμα Δύο σύγχρονες πηγές Π και Π βρίσκονται στην επιφάνεια ενός ελαστικού μέσου και y 0 4. Να βρείτε την δημιουργούν εγκάρσια αρμονικά κύματα με εξίσωση χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης για σημείο Κ το οποίο απέχει απόσταση 4m από την πρώτη πηγή και απόσταση m από την δεύτερη πηγή. Αρχικά πρέπει να βρούμε ποια χρονική στιγμή φτάνει το κύμα από κάθε πηγή στο σημείο Κ, επομένως πρέπει να υπολογίσουμε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. Από την εξίσωση που μας δίνεται έχουμε: f 4Hz και 0.5m. Άρα η ταχύτητα διάδοσης θα είναι u f 0.5 4 u m / s 4
4 Επομένως το κύμα φτάνεις το Κ από την πηγή τη χρονική στιγμή: s και u από την πηγή τη χρονική στιγμή: s. Οπότε καταλαβαίνουμε ότι η συμβολή θα u συμβεί τη χρονική στιγμή s. Στη συνέχεια πρέπει να βρούμε το πλάτος της συμβολής. Αυτό θα είναι: 4 A' A 0 0 0 4 0m Άρα η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του Κ θα είναι: y K 0,0 0 4 0 6,, 5
6 Διαφορά Φάσης Το σημείο στο οποίο συμβάλουν τα κύματα είπαμε ότι εκτελεί δύο ταλαντώσεις. Οι ταλαντώσεις αυτές αν και προέρχονται από συμφασικές πηγές, επειδή φθάνουν όμως διαφορετικές χρονικές στιγμές τα κύματα στο σημείο τελικά υπάρχει μία διαφορά φάσης. Ο υπολογισμός της είναι σχετικά απλός. Στον παρακάτω υπολογισμό θα θεωρήσουμε ότι. Στο σημείο τα κύματα θα έχουν εξισώσεις A y και A y. Επομένως η φάση του πρώτου κύματος θα είναι και του δεύτερου. Άρα αν τις αφαιρέσουμε κατά μέλη θα έχουμε: Ή γενικά: (7) Θα μπορούσαμε να καταλήξουμε στο ίδιο αποτέλεσμα κάνοντας χρήση της σχέσης. Προσπαθήστε το μόνοι σας.
Εύρεση πλήθους σημείων ακυρωτικής ή ενισχυτικής συμβολής Τέλος σε μία άσκηση μπορεί να μας ζητήσουν να υπολογίσουμε το πλήθος των σημείων που συμβαίνει ακυρωτική ή ενισχυτική συμβολή και τα οποία βρίσκονται πάνω σε ένα ευθύγραμμο τμήμα. Όπως έχουμε ήδη αναφέρει και στη θεωρία για να συμβεί ενισχυτική συμβολή θα πρέπει να ισχύει:. Επιπλέον θα ισχύει ότι l, όπου l το μήκος της ευθύγραμμου τμήματος που εξετάζουμε. Θα ισχύει λοιπόν: l N l l N (8) Το μπορεί να πάρει τιμές στο διάστημα [ 0. l ], δηλαδή ισχύει 0 l l N 0 l l l N l l Οπότε πλέον μπορούμε να βρούμε τις τιμές που μπορεί να πάρει το Ν και να αντικαταστήσουμε στην και να βρούμε τις τιμές που θα έχει το. Όταν βρούμε τις τιμές του κάνοντας χρήση της σχέσης l θα μπορέσουμε να υπολογίσουμε το. Αντίστοιχα για να συμβεί ακυρωτική συμβολή θα πρέπει να ισχύει: Επιπλέον θα ισχύει ότι Θα ισχύει λοιπόν: l, όπου l το μήκος της ευθύγραμμου τμήματος που εξετάζουμε. l l l (9) 7
Το μπορεί να πάρει τιμές στο διάστημα [ 0. l ], δηλαδή ισχύει 0 l l 0 l 0 l l l l l l l l N l l N Οπότε πλέον μπορούμε να βρούμε τις τιμές που μπορεί να πάρει το Ν και να αντικαταστήσουμε στην και να βρούμε τις τιμές που θα έχει το. Όταν βρούμε τις τιμές του κάνοντας χρήση της σχέσης l θα μπορέσουμε να υπολογίσουμε το Παράδειγμα Δύο σύγχρονες πηγές Π και Π βρίσκονται στην επιφάνεια ενός ελαστικού μέσου και y 0 4. Η μεταξύ τους δημιουργούν εγκάρσια αρμονικά κύματα με εξίσωση απόσταση είναι 5m. Να βρείτε το πλήθος των σημείων που συμβαίνει ενισχυτική ή ακυρωτική συμβολή και βρίσκονται στην ευθεία που ενώνει τις δύο πηγές. Για την ενισχυτική συμβολή θα έχουμε: 0. 5 και 5 άρα θα έχουμε: 5 0.5N 5 0.5N 8
Για το θα ισχύει: 5 0.5N 0 5 0 5 5 0.5N 5 5 0.5N 5 5 0.5N 5 0 N 0 5 Άρα το Ν παίρνει τις τιμές 0,,..., 0, επομένως το και το θα είναι: Ν -0-9 -8-7 0 0,5 0,5 0,75 5 4,75 4,5 4,5 Ν -6-5 -4-3,5,5,75 4 3,75 3,5 3,5 Ν - - 0,5,5,75 3,75,5,5 Ν 3 4 5 3 3,5 3,5 3,75,75,5,5 Ν 6 7 8 9 4 4,5 4,5 4,75 0,75 0,5 0,5 Ν 0 5 0 Με παρόμοιο τρόπο βρίσκουμε και τα σημεία ακυρωτικής συμβολής. Για εξάσκηση κάντε το μόνοι σας. 9