Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν

Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς

Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Τ Ε Τ Α Ρ Τ Ο Θ Ε Μ Α Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 17834 17835 17839 0336 Μ η Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 17850 0335 0337 Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς 17833 033 Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς 1784 0334 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς 17844 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς 0331 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 17837 17840 17841 17846 17855 0338 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Δ ι π λ α σ ι ο υ Τ ο ξ ο υ 17838 Προτεινω στους φιλους μαθητες να ξεφυλλισουν το βιβλιο αυτο και να εχουν την ευκαιρια να προσπαθησουν πρωτα μονοι τους να λυσουν την ασκηση ( με τη μικρη βοηθεια που τους παρεχεται στην εκφωνηση ). Μονο στην αναγκη να γυρισουν σελιδα για να δουν τη λυση. Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

Α λ λ γ γ ε ε β β ρ ρ α α B Α Λ Λ υ υ κ κ ε ε ι ι ο ο υυ Με πολυ μερακι Για τους καλους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 014 maths58corfu@gmail.com H δικη http://drmaths58demo.blogspot.gr μου αποψη για την τραπεζα θεματων

Α λ γ ε β ρ α B Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : 4 ο Θ ε μ α 1. Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α

Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 5 Θ ε μ α 1 ο 17834 Για τις ηλικιες των μελων μιας τριμελους οικογενειας ισχυουν τα παρακατω: Η ηλικια της μητερας ειναι τριπλασια απο την ηλικια του παιδιου. Ο λογος της ηλικιας το πατερα προς την ηλικια του παιδιου ισουται με. Επιπλεον το αθροισμα των ηλικιων και των τριων ισουται με 115 χρονια. α) Να εκφρασετε τα δεδομενα με ενα συστημα τριων εξισωσεων με τρεις αγνωστους. (Μοναδες 13) β) Να βρειτε την ηλικια του καθενος. (Μοναδες 1) Συστημα 3x3. Τροπος Λυσης : Απαλειφουμε τον ιδιο αγνωστο και στις τρεις εξισωσεις. Επιλεγουμε δυο ζευγη εξισωσεων και εφαρμοζουμε μεθοδο αντιθετων συντελεστων. Λυνουμε το συστημα x που προκυπτει μετα την απαλειφη. Αντικαθιστουμε τους αγνωστους που βρηκαμε σε μια απ τις αρχικες εξισωσεις προκειμενου να βρουμε και τον τριτο αγνωστο.... χ ρ η σ ι μ ο

6 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η 17834 α) Eστω x, η ηλικια της μητερας y, η ηλικια του παιδιου z, η ηλικια του πατερα Απ τα δοσμενα η ηλικια της μητερας ειναι τριπλασια απο την ηλικια του παιδιου : x = 3y Ο λογος της ηλικιας το πατερα προς την ηλικια του παιδιου ισουται με 11 3 : z = 11 3z = 11y y 3 το αθροισμα των ηλικιων και των τριων ισουται με 115 χρονια : x + y + z = 115 Eτσι προκυπτει το συστημα x = 3y (Σ) : 3z = 11y x + y + z = 115 β) x = 3y x = 3y x = 3y x = 3 15 x = 3y 11 11 11 11 (Σ) : 3z = 11y z = y z = y z = y z = 15 3 3 3 3 x + y + z = 115 11 9y + 3y + 11y = 345 3y = 345 y = 15 3y + y + y = 115 3 x = 45 η μητερα ειναι 45 ετων z = 55 ο πατερας ειναι 55 ετων y = 15 το παιδι ειναι 15 ετων

Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 7 Θ ε μ α ο 17835 Δινονται οι ευθειες με εξισωσεις, αντιστοιχα και. α) Για τις διαφορες τιμες του, να βρειτε τη σχετικη θεση των δυο ευθειων. (Μοναδες 13) β) Στην περιπτωση που οι ευθειες τεμνονται, να βρειτε τις συντεταγμενες του σημειου τομης Α των δυο ευθειων. (Μοναδες 7) γ) Να βρειτε την τιμη του για την οποια το σημειο Α ανηκει στην ευθεια με εξισωση: (Μοναδες 5)... χ ρ η σ ι μ ο

8 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η 17835 x + (λ + )y = 3 Για το συστημα (Σ) : των εξισωσεων των ευθειων ε και ε, ειναι 1 (λ - )x + 5y = 3 1 λ + D = = 5 - (λ + )(λ - ) = 5 - (λ - 4) = 9 - λ = (3 + λ)(3 - λ) λ - 5 3 λ + D = = 15-3(λ + ) = 3(5 - λ - ) = 3(3 - λ) x 3 5 1 3 D = = 3-3(λ - ) = 3(1 - λ + ) = 3(3 - λ) y λ - 3 α) 3 + λ 0 λ - 3 D 0 και και (Σ) εχει μοναδικη λυση ε, ε τεμνονται 1 3 - λ 0 λ 3 x - y = 3 το (Σ) ειναι x - y = 3 λ = - 3 (Σ) : 3 ε, ε παραλληλες αδυνατο 1 3 + λ = 0-5x + 5y = 3 x - y = - 5 D = 0 η η 3 - λ = 0 το (Σ) εχει x + 5y = 3 λ = 3 (Σ) : ε, ε ταυτιζονται απειρες λυσεις 1 x + 5y = 3 β) D D 3(3 - λ) 3(3 - λ) 3 3,, =, D D (3 + λ) (3 - λ) (3 + λ) (3 - λ) 3 + λ 3 + λ 3 3 οι ευθειες ε και ε, τεμνονται στο σημειο A 1, 3 + λ 3 + λ x y (x, y) = = γ) P ( A B ) Εστω (ε) : x + y = 3. Toτε A (ε) λ - 3 3 3 x + y = 3 + = 3 1 + = 3 + λ λ = 0 3 + λ 3 + λ

Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 9 Θ ε μ α 3 ο 17839 Δινεται το συστημα:, με παραμετρο α) Να αποδειξετε οτι αν το συστημα εχει μοναδικη λυση την, τοτε (Μοναδες 10) β) Να βρειτε τις τιμες του για τις οποιες το συστημα: i. εχει απειρες σε πληθος λυσεις και να δωσετε τη μορφη τους. (Μοναδες 6) ii. δεν εχει λυση. (Μοναδες 4) γ) Να εξετασετε τις σχετικες θεσεις των δυο ευθειων που προκυπτουν απο τις εξισωσεις του παραπανω συστηματος για. (Μοναδες 5)... χ ρ η σ ι μ ο

10 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η 17839 α - 1 3 D = = (α + 1)(α - 1) - 3 = α - 1-3 = α - 4 = (α + )(α - ) 1 α + 1 3 3 D = = 3(α + 1) - 9 = 3(α + 1-3) = 3(α - ) x 3 α + 1 α - 1 3 D = = 3(α - 1) - 3 = 3(α - 1-1) = 3(α - ) y 1 3 α) Το συστημα εχει μοναδικη λυση την (x, y ), αν 0 0 α + 0 α - D 0 και και και α - 0 α β) i) D D x y (x, y ) = = 0 0, D D 3(α - ) 3(α - ), 3 3 =, x = y 0 0 (α + ) (α - ) (α + ) (α - ) α + + α = - D = 0 (α + )(α - ) = 0 η (Σ) εχει απειρες λυσεις και και α = α = δεκτη αφου D = D 0 3(α - ) = 0 = x y και α = x + 3y = 3 κ για α = τοτε (Σ) : x + 3y = 3, απειρες λυσεις μορφης: κ, 1 - x + 3y = 3 3 ii) α = - D = 0 (α + )(α - ) = 0 η (Σ) αδυνατο και και α = α = - D = D 0 3(α - ) 0 x y και α γ) Για α = 3 : D = 5 0 το (Σ) εχει μοναδικη λυση και οι 3 3 ευθειες τεμνονται στο σημειο Α,. 5 5 Για α = : (Σ) εχει απειρες λυσεις και οι ευθειες ταυτιζονται. Για α = - : (Σ) ειναι αδυνατο και οι ευθειες ειναι παραλληλες.

Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 11 Θ ε μ α 4 ο 0336 Δινεται το συστημα: α) Να αποδειξετε οτι το συστημα εχει λυση για οποιονδηποτε πραγματικο αριθμο λ. (Μοναδες 7) β) Να βρειτε τα x και y συναρτησει του λ. (Μοναδες 8) γ) Να προσδιορισετε την τιμη του λ, για την οποια οι ευθειες: x - 4y = 1 λ, x + 6y = λ + και 16x + 16y = 19 διερχονται απο το ιδιο σημειο. (Μοναδες 10)... χ ρ η σ ι μ ο

1 Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η 0336 α) Ειναι - 4 D = = 6-1 (- 4) = 1 + 4 = 16 0 1 6 oποτε το συστημα εχει λυση για καθε πραγματικο αριθμο λ. β) 1 - λ - 4 D = = 6( 1 - λ) + 4( λ + ) = 6-6λ + 4λ + 8 = - λ + 14 = (7 - λ) x λ + 6 1 - λ D = = ( λ + ) - ( 1 - λ) = λ + 4-1 + λ = 3λ + 3 = 3(λ + 1) y 1 λ + Ετσι D D (7 - λ) 3(λ + 1) 7 - λ 3(λ + 1),,, D D 16 16 8 16 x y (x, y) = = = γ) Για να διερχονται οι τρεις ευθειες απ το ιδιο σημειο πρεπει το σημειο τομης των ευθειων με εξι- σωσεις x - 4y = 1 - λ, x + 6y = λ +, που ειναι απ το ερωτημα (α) το Μ να ειναι σημειο της ευθειας με εξισωση 16x + 16y = 19. Δηλαδη οι συντεταγμενες του σημειου Μ να επαληθευουν την εξισωση της. Eτσι 16x + 16y = 19 16 7 - λ + 16 8 7 - λ 3(λ + 1), 8 16 3(λ + 1) = 19 14 - λ + 3λ + 3 = 19 λ = 16

A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : 4 ο Θ ε μ α. Μ η Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α

A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

Μ η Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 15 Θ ε μ α 5 ο 17850 Ο Κωστας εχει τρια παιδια. Δυο διδυμα κοριτσια και ενα αγορι. Στην ερωτηση ποσων χρονων ειναι τα παιδια του απαντησε ως εξης. 1. Το αθροισμα των ηλικιων και των τριων παιδιων ειναι 14. Το γινομενο της ηλικιας της κορης μου επι την ηλικια του γιου μου ειναι 4 3. Το αθροισμα των ηλικιων των κοριτσιων ειναι μικροτερο απο την ηλικια του αγοριου. α) Να γραψετε τις εξισωσεις που περιγραφουν τα στοιχεια 1. και. που εδωσε ο Κωστας. (Μοναδες 10) β) Να βρειτε τις ηλικιες των παιδιων του Κωστα. (Μοναδες 15) Αποτελουμενο απο αθροισμα και γινομενο αγνωστων ( x + y = a (1), x y = b () ). Οι x, y ειναι η ριζες της εξισωσης :... χ ρ η σ ι μ ο συμφωνα με Vieta η Λυνουμε την (1) ως προς τον ενα αγνωστο και τον αντικαθιστουμε στην (), απ την οποια προκυπτει ο αλλος αγνωστος. Αποτελουμενο απο πρωτοβαθμια και δευτεροβαθμια εξισωση. Λυνουμε τη πρωτοβαθμια εξισωσης ως προς τον ενα αγνωστο, τον οποιο αντικαθιστουμε στη δευτεροβαθμια. Λυνουμε την εξισωση που προκυπτει και προσδιοριζουμε τον αλλο αγνωστο. Αντικαθιστουμε τον αγνωστο που βρηκαμε στη πρωτοβαθμια. Αποτελουμενο απο δυο δευτεροβαθμιες εξισωσεις. Λυνουμε τη μια εξισωση ως προς εναν αγνωστου, που ειναι στο τετραγωνο, και τον αντικαθιστουμε στην αλλη εξισωση, που βρισκεται και εκει στο τετραγωνο. Λυνουμε τη δευτεροβαθμια εξισωση που προκυπτει και προσδιοριζουμε τον αλλο αγνωστο. Συνεχιζουμε κατα τα γνωστα.

16 Μ η Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η 17850 Eστω x, η ηλικια των διδυμων κοριτσιων y, η ηλικια του αγοριου α) Απ τα δοσμενα (1) : x + y = 14 () : x y = 4 β) απ το (α) προκυπτει (3) : x < y το συστημα x + y = 14 y = 14 - x y = 14 - x y = 14 - x x y = 4 x (14 - x) = 4 14x - x = 4 x - 7x + 1 = 0 αθροισμα ριζων : 7 γινομενο ριζων : 1 x = 3 x = 3 y = 14 - x δεκτη απο (3) : x < y 6 < 8 y = 14-3 y = 8 x = 3 x = 3 η η η y = 8 x = 4 x = 4 x = 4 απορριπτεται απο (3) : x < y 8 < 6 y = 14-4 y = 6 Ετσι τα κοριτσια ειναι 3 ετων και το αγορι ειναι 8 ετων.

Μ η Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 17 Θ ε μ α 6 ο 0335 Η Αλκηστη και η Ελενη αγαπουν την πεζοπορια και βρισκονται το καλοκαιρι στην Αμοργο. Αποφασιζουν να περπατησουν ενα μονοπατι περιπου 16 χιλιομετρων που συνδεει τη Χωρα με τον ορμο της Αιγιαλης. Η Αλκηστη ανηφοριζει το μονοπατι απο την Αιγιαλη για να συναντησει την Ελενη που μενει στη Χωρα. Υπολογιζει οτι η ταχυτητα της εχει σταθερο μετρο,4 χιλιομετρα την ωρα. Την ιδια στιγμη, ομως, ξεκινα η Ελενη να κατηφοριζει το ιδιο μονοπατι και υπολογιζει οτι η ταχυτητα της εχει σταθερο μετρο 4 χιλιομετρα την ωρα. Μια δεδομενη χρονικη στιγμη σε καποιο σημειο της διαδρομης συναντα την Αλκηστη. α) Αν t ειναι ο χρονος που περπατησαν μεχρι να συναντηθουν και s η αποσταση του σημειου συναντησης απο την Αιγιαλη, να κατασκευασετε ενα συστημα δυο εξισωσεων με αγνωστους το t και το s, το οποιο να περιγραφει την παραπανω κατασταση. (Μοναδες 10) β) Σε ποση αποσταση απο τη Χωρα και ποια χρονικη στιγμη θα συναντηθουν οι δυο κοπελες; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. (Μοναδες 15) Αποτελουμενο απο αθροισμα και γινομενο αγνωστων ( x + y = a (1), x y = b () ). Οι x, y ειναι η ριζες της εξισωσης :... χ ρ η σ ι μ ο συμφωνα με Vieta η Λυνουμε την (1) ως προς τον ενα αγνωστο και τον αντικαθιστουμε στην (), απ την οποια προκυπτει ο αλλος αγνωστος. Αποτελουμενο απο πρωτοβαθμια και δευτεροβαθμια εξισωση. Λυνουμε τη πρωτοβαθμια εξισωσης ως προς τον ενα αγνωστο, τον οποιο αντικαθιστουμε στη δευτεροβαθμια. Λυνουμε την εξισωση που προκυπτει και προσδιοριζουμε τον αλλο αγνωστο. Αντικαθιστουμε τον αγνωστο που βρηκαμε στη πρωτοβαθμια. Αποτελουμενο απο δυο δευτεροβαθμιες εξισωσεις. Λυνουμε τη μια εξισωση ως προς εναν αγνωστου, που ειναι στο τετραγωνο, και τον αντικαθιστουμε στην αλλη εξισωση, που βρισκεται και εκει στο τετραγωνο. Λυνουμε τη δευτεροβαθμια εξισωση που προκυπτει και προσδιοριζουμε τον αλλο αγνωστο. Συνεχιζουμε κατα τα γνωστα.

18 Μ η Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η 0335 α) Tα κοριτσια θα συναντηθουν μετα απο χρονο t και σε αποσταση s του σημειου συναντησης απ την Αιγιαλη. Τη χρονικη στιγμη t: Η Αλκηστη διανυσε s km με ταχυτητα υ1 =,4 km h. Η Eλενη διανυσε (16 s) km με ταχυτητα υ = 4 km h. Ετσι s =,4 = 4 t σταθερη υ =, 4 1 t s =,4 t s =, 4 t (Σ): υ = 4 ταχυτητα 16 - s 16 - s = 4t s = 16-4t β) Ειναι s =,4 t s t =,4 s =,4 t s =,4 t s =,4 t 16 16t - s t = 4 s = 16-4t,4 t = 16-4t 6,4 t = 16 t = 6,4 s =,4,5 s = 6 t =,5 t =,5 Δηλαδη τα κοριτσια θα συναντηθουν,5 ωρες μετα την στιγμη που ταυτοχρονα ξεκινησαν και σε αποσταση 16 s = 16 6 = 10 χιλιομετρα απο τη Χωρα.

Μ η Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α 19 Θ ε μ α 7 ο 0337 Ενα ορθογωνιο παραλληλογραμμο με περιμετρο ιση με 4cm εχει την ακολουθη ιδιοτητα: αν αυξησουμε το μηκος του κατα 3cm και ελαττωσουμε το πλατος του κατα cm, θα προκυψει ενα ορθογωνιο με εμβαδον διπλασιο του εμβαδου του αρχικου ορθογωνιου. α) Να εκφρασετε την παραπανω κατασταση με ενα συστημα δυο εξισωσεων με δυο αγνωστους. (Μοναδες 10) β) Να βρειτε τις διαστασεις του ορθογωνιου. (Μοναδες 15) Αποτελουμενο απο αθροισμα και γινομενο αγνωστων ( x + y = a (1), x y = b () ). Οι x, y ειναι η ριζες της εξισωσης :... χ ρ η σ ι μ ο συμφωνα με Vieta η Λυνουμε την (1) ως προς τον ενα αγνωστο και τον αντικαθιστουμε στην (), απ την οποια προκυπτει ο αλλος αγνωστος. Αποτελουμενο απο πρωτοβαθμια και δευτεροβαθμια εξισωση. Λυνουμε τη πρωτοβαθμια εξισωσης ως προς τον ενα αγνωστο, τον οποιο αντικαθιστουμε στη δευτεροβαθμια. Λυνουμε την εξισωση που προκυπτει και προσδιοριζουμε τον αλλο αγνωστο. Αντικαθιστουμε τον αγνωστο που βρηκαμε στη πρωτοβαθμια. Αποτελουμενο απο δυο δευτεροβαθμιες εξισωσεις. Λυνουμε τη μια εξισωση ως προς εναν αγνωστου, που ειναι στο τετραγωνο, και τον αντικαθιστουμε στην αλλη εξισωση, που βρισκεται και εκει στο τετραγωνο. Λυνουμε τη δευτεροβαθμια εξισωση που προκυπτει και προσδιοριζουμε τον αλλο αγνωστο. Συνεχιζουμε κατα τα γνωστα. Oρθογωνιο διαστασεων x, y : Π = (x + y) E = xy

0 Μ η Γ ρ α μ μ ι κ α Σ υ σ τ η μ α τ α Α π α ν τ η σ η 0337 α) Αν x cm το μηκος και y cm το πλατος του ορθογωνιου : Περιμετρος : Π = (x + y) Eμβαδον : E = xy Ετσι, απ τα δοσμενα Π = 4 (x + y) = 4 x + y = 1 Ε = Ε τελικο αρχικο (x + 3)(y - ) = xy xy - x + 3y - 6 = xy x + y = 1 (Σ): xy + x - 3y = - 6 Για να εχει νοημα το (Σ) πρεπει y > > 0 (αφου αφαιρεσαμε και ειναι πλατος) και 0 < x < 10 (αφου ειναι μηκος και πρεπει να ειναι δυνατη η x + y = 1). β) Ειναι x + y = 1 y = 1 - x xy + x - 3y = - 6 x(1 - x) + x - 3(1 - x) = - 6 y = 1 - x αθροισμα : 17, γινομενο 30 y = 1 - x y = 1 - x x = 1x - x + x - 36 + 3x = - 6 x - 17x + 30 = 0 ριζες και 15 η x = 15 x = x = δεκτη αφου y = 1 - y = 10 0 < x < 10, y > μηκος ορθογωνιου : cm η η πλατος ορθογωνιου : 10 cm x = 15 x = 15 απορριπτεται y = 1-15 y = - 3 < 0 x > 10, y <

Α λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : 4 ο Θ ε μ α 3. Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς

Α λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς 3 Θ ε μ α 8 ο 17833 Δινεται η συναρτηση α) Να βρειτε το πεδιο ορισμου της συναρτησης. (Μοναδες 5) β) Να εξετασετε αν η συναρτηση ειναι αρτια η περιττη. (Μοναδες 8) γ) Αν η συναρτησης ειναι γνησιως φθινουσα στο πεδιο ορισμου της, να επιλεξετε ποια απο τις παρακατω τρεις προτεινομενες, ειναι η γραφικη της παρασταση και στη συνεχεια να υπολογισετε τη μεγιστη και την ελαχιστη τιμη της. Ι ΙΙ ΙΙΙ -8 8-8 8-8 8 (Μοναδες 7) δ) Να αιτιολογησετε γραφικα η αλγεβρικα, γιατι οι συναρτησεις και δεν ειναι ουτε αρτιες ουτε περιττες.... χ ρ η σ ι μ ο Mια συναρτηση λεγεται α ρ τ ι α στο πεδιο ορισμου της Α αν: για καθε x Α, τοτε x Α και f ( - x ) = f ( x ). Η γραφικη της παρασταση ειναι συμμετρικη ως προς τον αξονα y y. Mια συναρτηση λεγεται π ε ρ ι τ τ η στο πεδιο ορισμου της Α αν: για καθε x Α, τοτε - x Α και f ( - x ) = - f ( x ). Η γραφικη της παρασταση ειναι συμμετρικη ως προς την αρχη των αξονων (0, 0). (Μοναδες 5)

4 Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η 17833 α) Πρεπει 8 - x 0 x 8 και και Α = [- 8, 8] f 8 + x 0 x - 8 β) Για καθε x [- 8, 8] τοτε και - x [- 8, 8] (το [- 8, 8] ειναι συμμετρικο ως προς το 0). f(- x) = 8 - (- x) - 8 - x = 8 + x - 8 - x = - ( 8 - x - 8 + x) = Ετσι η συναρτηση f ειναι περιττη για καθε x [- 8, 8]. γ) Η f ειναι γνησιως φθινουσα στη περιπτωση (ΙΙΙ) και εχει - f(x) μεγιστη τιμη στη θεση x = - 8, την f(- 8) = 8+ 8-8-8 = 16 = 4 ελαχιστη τιμη στη θεση x = 8, την f(8) = 8-8 - 8+8 = - 16 = - 4 δ) Εστω η g ειναι αρτια στο [- 8, 8], τοτε f περιττη g(- x) = g(x) f(- x) - 3 = f(x) - 3 - f( x) - 3 = f(x) - 3 f( x) = 0 f( x) = 0 ατοπο η g ειναι περιττη στο [- 8, 8], τοτε f περιττη g(- x) = - g(x) f(- x) - 3 = - f(x) + 3 - f( x) - 3 = - f(x) + 3-3 = 3 ατοπο Oποτε η συναρτηση g δεν ουτε αρτια ουτε περιττη. Ch Cf Η Ch δεν ειναι συμμετρικη ως προς τον αξονα y y, οποτε η h(x) = f(x + 3) δεν ειναι αρτια. Η Ch δεν ειναι συμμετρικη ως προς την αρχη των αξονων Ο(0, 0), οποτε η h(x) = f(x + 3) δεν ειναι περιττη.

Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς 5 Θ ε μ α 9 ο 033 Δινονται οι συναρτησεις και α) Να αποδειξετε οτι για καθε και στη συνεχεια, με τη βοηθεια της γραφικης παραστασης της συναρτησης φ να παραστησετε γραφικα τη συναρτηση f. (Μοναδες 10) y = - x β) Με τη βοηθεια της γραφικης παραστασης της f να βρειτε: i. Τα διαστηματα στα οποια η συναρτηση f ειναι γνησιως μονοτονη. ii. Το ολικο ακροτατο της f καθως και τη θεση του. iii. Το πληθος των ριζων της εξισωσης f ( x) = κ, κ <. Να αιτιολογησετε την απαντηση σας.... χ ρ η σ ι μ ο y 0 x (Μοναδες 5) (Μοναδες 5) (Μοναδες 5)

6 Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η 033 α) Ειναι για καθε x y f(x) = - x + x +1 f(x) = - x + x + -1 f(x) = - (x -x +1) + f(x) = - (x -1) + Δηλαδη f(x) = φ(x -1) + Προκειμενου να βρουμε τη γραφικη παρασταση της συναρτησης f με την βοηθεια της γραφικης παραστασης της συναρτησης φ(x) = - x : Μεταφερουμε τη Cφ κατα 1 μοναδα οριζοντια προς τα δεξια και κατα μοναδες κατακορυφα προς τα πανω. β) Με τη βοηθεια βοηθεια της γραφικης παραστασης της f : i) η συναρτηση f ειναι γνησιως αυξουσα στο διαστημα (-, 1] η συναρτηση f ειναι γνησιως φθινουσα στο διαστημα [1, + ) ii) παρουσιαζει (ολικο) μεγιστο στη θεση x = 1, το f(1) = iii) το πληθος των ριζων της εξισωσης f(x) = κ, κ < (οι τετμημενες των σημειων τομης της Cf με τη γραφικη παρασταση της εξισωσης f(x) = κ ) ειναι δυο, αφου με κ < η γραφικη της παρασταση τεμνει τη Cf σε δυο σημεια. Cφ Cf 1 f(x) = κ Ο 1 x

A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : 4 ο Θ ε μ α 4. Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς

A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς 9 Θ ε μ α 1 0 ο 1784 Δινεται η συναρτηση: με θετικες σταθερες, η γραφικη παρασταση της οποιας διερχεται απο τα σημεια α) Με βαση τα δεδομενα, να κατασκευασετε ενα συστημα δυο ε- ξισωσεων με αγνωστους τους και να υπολογισετε την τιμη τους. (Μοναδες 10) β) Θεωρωντας γνωστο οτι. i. να βρειτε τα σημεια τομης της γραφικης παραστασης της συναρτησης f με τους αξονες. (Μοναδες 3) ii. να μεταφερετε στην κολα σας το συστημα συντεταγμενων που ακολουθει, να σχεδιασετε τη γραφικη παρασταση της συναρτησης f και να εξηγησετε πως αυτη σχετιζεται με τη γραφικη παρασταση της συναρτησης (Μοναδες 6) iii. με βαση την παραπανω γραφικη παρασταση, να βρειτε το ακροτατο της συναρτησης f, τα διαστηματα στα οποια η f ειναι μονοτονη, καθως και το ειδος της μονοτονιας της σε καθενα απο αυτα τα διαστηματα. (Μοναδες 6)... χ ρ η σ ι μ ο 16 14 1 10 8 6 4 A = (0, 16) B = (4, 0) - Ο 4 6 8 10 1

30 Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς Α π α ν τ η σ η 1784 α) Ειναι 1 (-) (- c) - d = 16 A C f f(0) = 16 c - d = 3 c - d = 3 B C f(4) = 0 1 f 16-8c + c - d = 0 8c = 48 (4 - c) - d = 0 6 - d = 3 36 - d = 3 d = 4 d = c = 6 c = 6 c = 6 c = 6 β) Για c = 6, d = η συναρτηση γινεται 1 f(x) = (x - 6) -, x i) Η Cf τεμνει τον y y ( για x = 0) : 1 36 f(x) = (0-6) - = - = 16 στο σημειο Α(0, 16). Η Cf τεμνει τον x x ( για f(x) = 0) : ii) 1 0 = (x - 6) - (x - 6) - 4 = 0 (x - 6 + )(x - 6 - ) = 0 (x - 4)(x - 8) = 0 x = 4 x = 8 στa σημειa B(4, 0) και Γ(8, 0). H Cf προκυπτει απο μεταφορα της Cg κατα 6 μοναδες οριζοντια προς τα δεξια και κατα μοναδες κατακορυφα προς τα κατω. iii) Με τη βοηθεια βοηθεια της γραφικης παραστασης της f : η συναρτηση f ειναι γνησιως αυξουσα στο διαστημα [6, + ) η συναρτηση f ειναι γνησιως φθινουσα στο διαστημα (-, 6] παρουσιαζει (ολικο) ελαχιστο στη θεση x = 6, το f(6) = - Cg 16 14 1 10 8 6 4 Α = (0, 16) Cf B = (4, 0) - Ο 4 6 8 10 1 - Γ = (8, 0)

Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς 31 Θ ε μ α 1 1 ο 0334 Στο σχημα δινονται οι γραφικες παραστασεις y μιας παραβολης f(x) = αx + βx + γ και της 8 ευθειας g(x) = x +. α) Δεδομενου οτι η παραβολη διερχεται απο τα σημεια Α, Β, Γ, να βρειτε τα α, β, γ. (Μοναδες 8) Δ 6 4 β) Αν α =, β = 0 και γ =, να βρειτε αλγεβρικα τις συντεταγμενες των κοινων ση- μειων ευθειας και παραβολης. (Μοναδες 8) -5 B A 5 x γ) Αν μετατοπισουμε την παραβολη κατα 4,5 μοναδες προς τα πανω, να δειξετε οτι η - Γ ευθεια και η παραβολη θα εχουν ενα μονο κοινο σημειο. (Μοναδες 9)... χ ρ η σ ι μ ο

3 Μ ε τ α τ ο π ι σ η Κ α μ π υ λ η ς Α π α ν τ η σ η 0334 α) Ειναι Α C 0 = α + β + γ 4α + β = α + β = 1 (+) Β Γ f C 0 = α (- ) + β (- ) + γ 4α - β = f α - β = 1 C - = α 0 + β 0 + γ γ = - f γ = - 1 1 4α = α = α = α - β = 1 1 - β = 1 β = 0 γ = - γ = - γ = - β) 1 1 Για α =, β = 0 και γ = - : f(x) = x - Ετσι y = x - - x + = x - y = - x + y = - x + y = - x + y = - x + 1 1 - x + 4 = x - 4 x + x - 8 = 0 y = - x + y = - x + y = - x + x + 4x - x - 8 = 0 x(x + 4) - (x + 4) = 0 (x + 4)(x - ) = 0 x = - 4 x = - 4 y = - x + y = - x + y = 4 + y = 6 x + 4 = 0 x = - 4 (- 4, 6) η η κοινα σημεια η η x = x = (,0) x - = 0 x = y = - + y = 0 γ) Αν μετατοπισουμε την παραβολη κατα 4,5 μοναδες προς τα πανω : f(x) = x +,5 Ετσι y = - x + y = - x + y = - x + y = - x + 1 1 1 y = x +,5 y = x +,5 - x + = x +,5 - x + 4 = x + 5 y = - x + y = - x + y = 1 + y = 3 κοινο σημειο (- 1, 3) x + x + 1 = 0 (x + 1) = 0 x = - 1 x = - 1 1

A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : 4 ο Θ ε μ α 5. Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς

A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς 35 Θ ε μ α 1 ο 17844 α) Να λυσετε το συστημα: (Μοναδες 1) β) Με τη βοηθεια του ερωτηματος (α) και του τριγωνομετρικου κυκλου, να βρειτε ολες τις γωνιες ω με, που ικανοποιουν τη σχεση και να τις απεικονισετε πανω στον τριγωνομετρικο κυκλο. Π ι ν α κ α ς Τ ρ. Α ρ ι θ μ ω ν Β α σ ι κ ω ν Γ ω ν ι ω ν ω 0 0 90 0 180 0 70 0 360 0 ημω 0 1 0-1 0 συνω 1 0-1 0 1... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 13)

36 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Τ α υ τ ο τ η τ ε ς Α π α ν τ η σ η 17844 α) Ειναι x + y = - 1 x = - y - 1 x = - y - 1 x = - y - 1 x + y = 1 (- y - 1) + y = 1 y + y + 1 + y = 1 y + y = 0 x = 0-1 x = - 1 x = - y - 1 x = - y - 1 y = 0 x = - y - 1 y = 0 y = 0 y = 0 η η y(y + 1) = 0 η η y + 1 = 0 x = 1-1 x = 0 y = - 1 y = - 1 y = - 1 β) Απ'τη δοσμενη σχεση συνω + ημω = - 1 και την βασικη ταυτοτητα συν ω + ημ ω = 1 προκυπτει το συστημα συνω + ημω = - 1 συν ω + ημ ω = 1 συνω = - 1 ημω = 0 (α) η συνω = 0 ημω = - 1 0 < ω < π ω = π η 3π ω = π 3π

A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : 4 ο Θ ε μ α 6. Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς

A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς 39 Θ ε μ α 1 3 ο 0331 Η θερμοκρασια μιας περιοχης σε βαθμους Κελσιου ( o C) κατα τη διαρκεια ενος εικοσιτετραωρου δινεται κατα προσεγγιση απο τη συναρτηση: ( t ο χρονος σε ωρες) α) Να βρειτε τη μεγιστη και την ελαχιστη θερμοκρασια κατα τη διαρκεια του εικοσιτετραωρου. β) Να βρειτε τις χρονικες στιγμες που η θερμοκρασια ειναι ιση με 0 ο C. γ) Να παραστησετε γραφικα την f για t [0, 4]. δ) Να βρειτε, με τη βοηθεια της γραφικης παραστασης, ποτε η θερμοκρασια ειναι πανω απο 0 o C. Μορφη : f(x) = ρ ημ(ω x + φ) + μ (ρ, ω > 0) Μεγιστη τιμη : ρ + μ (- ρ + μ, αν ρ < 0) Ελαχιστη τιμη : - ρ + μ (ρ + μ, αν ρ < 0) Περιοδος :... χ ρ η σ ι μ ο Γραφικη παρασταση : Αρχικα κατασκευαζουμε τη γραφικη παρασταση της f(x) = ρ ημ(ω x) : ρ : Μεταβαλλει το συνολο τιμων [- 1, 1] σε [- ρ, ρ]. ω : Μεταβαλλει τη περιοδο π (διαιρει το π και προκυπτει νεα περιοδος). φ : Μετατοπιζει τη γραφικη παρασταση της f(x) = ρ ημ(ω x) : κατα φ μοναδες προς τα δεξια (οριζοντια) αν φ < 0. κατα φ μοναδες προς τα αριστερα (οριζοντια) αν φ > 0. μ : Μετατοπιζει τη γραφικη παρασταση της f(x) = ρ ημ(ω x) : κατα μ μοναδες προς τα κατω (κατακορυφα) αν μ < 0. κατα μ μοναδες προς τα πανω (κατακορυφα) αν μ > 0. (Μοναδες 7) (Μοναδες 6) (Μοναδες 7) (Μοναδες 5)

40 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Σ υ ν α ρ τ η σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η 0331 α) Μορφη : f(t) = ρ συν(ω t + φ) + μ με ρ = - 8, ω = π 1, φ = 0 και μ = 4 Μεγιστη τιμη της f : - ρ + μ = 8 + 4 = 1 πt πt 1-4 πt πt f (t) = 1-8συν + 4 = 1 συν = συν = - 1 συν = συνπ max 1 1-8 1 1 0 t 4 πt = κπ + π t = 4κ + 1 t = 1 0 4κ + 1 4 κ = 0 1 Ελαχιστη τιμη της f : ρ + μ = - 8 + 4 = - 4 β) πt πt - 4-4 πt πt f (t) = - 4-8συν + 4 = - 4 συν = συν = 1 συν = συν0 min 1 1-8 1 1 0 t 4 πt t = 0 = κπ t = 4κ 1 0 4κ 4 0 κ 1 κ = 0 η κ = 1 t = 4 πt πt - 4 πt 1 πt π πt π f(t) = 0-8συν + 4 = 0 συν = συν = συν = συν = κπ 1 1-8 1 1 3 1 3 0 t 4 t = 4κ + 4 t = 4 0 + 4 t = 4 1 5 0 4κ + 4 4 - κ κ = 0 6 6 η (κ ) 0 t 4 t = 4κ - 4 t = 4 1-4 t = 0 1 7 0 4κ - 4 4 κ κ = 1 6 6 γ) Θεωρουμε την : φ(t) = και πt - 8συν με ρ = - 8, ω = π 1 1 π φ (t) = 8, φ (t) = - 8 και Τ = = 4 max min π 1 H Cf προκυπτει απο μεταφορα της Cφ κατα 4 μοναδες κατακορυφα προς τα πανω. t 1 8 0 4 6 18 0-4 -8 Cφ Cf h δ) Η θερμοκρασια ειναι πανω απο 0 0 C, οταν η Cf ειναι πανω απ τον αξονα x x. Δηλαδη 0 < t < 0.

A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : 4 ο Θ ε μ α 7. Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς

A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 43 Θ ε μ α 1 4 ο 17837 Δινεται η συναρτηση με και, η οποια εχει μεγιστη τιμη 3 και περιοδο 4. α) Να δειξετε οτι και. β) Για i. να λυθει η εξισωση. (Μοναδες 7) (Μοναδες 10) ii. να σχεδιασετε τη γραφικη παρασταση της συναρτησης f στο διαστημα.... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 8)

44 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η 17837 α) Η συναρτηση f ειναι της μορφης f(x) = ρ ημ(ωx), με ρ = α + 1 και ω = βπ, β > 0. Ετσι η f παρουσιαζει μεγιστο το α + 1 και ελαχιστο το - α + 1 π π εχει περιοδο : Τ = = =, β > 0 βπ βπ β Οποτε α + 1 = 3 α = α + 1 = 3 η η α + 1 = - 3 α = - 4 1 Τ = 4 = 4 β = β = β 4 β) 1 πx Για α = και β = : f(x) = 3ημ ι) Eιναι πx π = κπ + πx πx πx π f(x) = 3 3ημ = 3 ημ = 1 ημ = ημ πx π = κπ + π - x = 4κ + 1, κ ii) Η f ειναι της μορφης : f(x) = ρ ημ(ωx) με ρ = - 8, ω = π και π f (t) = 3, f (t) = - 3 και Τ = = 4 max min π Η f ειναι ημιτονοειδης συναρτηση και η Cf στο διαστημα [0, 8] φαινεται στο διπλανο σχημα. 3 0 4 6 8-3

Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 45 Θ ε μ α 1 5 ο 17840 Δινεται το συστημα: με παραμετρο α) Να λυσετε το συστημα για τις διαφορες τιμες του (Μοναδες 10) β) Αν και ειναι η αντιστοιχη λυση του συστηματος, να βρειτε γωνια τετοια ωστε και. (Μοναδες 7) γ) Αν και ειναι η αντιστοιχη λυση του συστηματος, να δειξετε οτι δεν υπαρχει γωνια ω, τετοια ωστε και.... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 8) Π ι ν α κ α ς Τ ρ. Α ρ ι θ μ ω ν Β α σ ι κ ω ν Γ ω ν ι ω ν ω 0 0 90 0 180 0 70 0 360 0 ημω 0 1 0-1 0 συνω 1 0-1 0 1

46 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η 17840 α) Ειναι - 1 1-1 1 D = = - λ - D = = λ - λ = - λ D = = - λ - 1 x y 1 λ λ λ 1 λ 1) Αν D 0 - λ - 0 λ -, το συστημα εχει μοναδικη λυση, την D D x y - λ - λ - 1 λ λ + 1 (x, y) =, =, =, D D - λ - - λ - λ + λ + ) Αν D = 0 - λ - = 0 λ = - και β) D = - λ = - (- ) = 0 x οποτε το συστημα ειναι αδυνατο Α λ λ ι ω ς Για λ = - το συστημα γινεται - x + y = 1 x - y = - 1 το συστημα ειναι αδυνατο x - y = - x - y = - ν λ = - 1 θ = π και θ [0, π] - 1-1 + 1 (x, y ) = = (- 1, 0) (συνθ, ημθ) = (- 1, 0) θ = π 0 0, θ = 0-1 + - 1 + η θ = π γ) Αν λ = 1 1 1 + 1 1 1 (x, y ) = = (συνω, ημω) = 1,,, 1 + 1 + 3 3 3 3 ισχυει 1 1 4 5 συν ω + ημ ω = 1 + = 1 + = 1 = 1 ατοπο Αρα, 3 3 9 9 9 δεν υπαρχει γωνια ω, τετοια ωστε x = συνω 1 και y 1 = ημω.

Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 47 Θ ε μ α 1 6 ο 17841 Η Αλικη και η Αθηνα διασκεδαζουν στη ροδα του λουνα παρκ. Η αποσταση, σε μετρα, του καθισματος τους απο το εδαφος τη χρονικη στιγμη t sec δινεται απο τη συναρτηση και α) Να βρειτε το ελαχιστο και το μεγιστο υψος στο οποιο φτανει το καθισμα, καθως και τις στιγμες κατα τις οποιες το καθισμα βρισκεται στο ελαχιστο και στο μεγιστο υψος. (Μοναδες 8) β) Να υπολογισετε την ακτινα της ροδας. (Μοναδες 3) γ) Να βρειτε την περιοδο της κινησης, δηλαδη το χρονο στον οποιο η ροδα ολοκληρωνει μια περιστροφη. Ποσους γυρους εκαναν οι δυο φιλες στο διαστημα απο 0 εως 180 sec; (Μοναδες 4 + = 6) δ) Να μεταφερετε στην κολα σας τον πινακα τιμων και το συστημα συντεταγμενων που δινονται παρακατω και: i. να συμπληρωσετε τον πινακα τιμων της συναρτησης του υψους h(t) (Μοναδες 3) ii. να σχεδιασετε στο συστημα συντεταγμενων το τμημα της γραφικης παραστασης της συναρτησης h(t) με. (Μοναδες 5) h(t) 0 15 30 45 60 75 90... χ ρ η σ ι μ ο

48 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η 17841 α) Μορφη : h(t) = ρ ημ(ω t ) + μ με ρ = 6, ω = π 30 και μ = 8 Ελαχιστη τιμη της f : - ρ + μ = - 6 + 8 = πt πt - 8 πt πt 3π πt π h (t) = 6ημ + 8 = ημ = ημ = - 1 ημ = ημ = κπ - min 30 30 6 30 30 30 0 t 180 t = 60κ - 15 t = 45 η t = 105 η t = 165 1 13 0 60κ - 15 180 κ κ = 1,,3 4 4 Μεγιστη τιμη της f : ρ + μ = 6 + 8 = 14 β) πt πt 14-8 πt πt π πt π h (t) = 14 6ημ + 8 = 14 ημ = ημ = 1 ημ = ημ = κπ + max 30 30 6 30 30 30 0 t 180 t = 60κ + 15 t = 15 η t = 75 η t = 135 1 11 0 60κ + 15 180 - κ κ = 0,1, 4 4 Αν δ η διαμετρος και R η ακτινα της ροδας : δ h - h 14-1 max min R = = = = = 6 m γ) T = π = π 60 sec 30 O ι δυο φιλες, στο διαστημα απο 0 εως 180 sec, εκαναν 180 60 = 3 γυρους. δ) i) t 0 15 30 45 60 75 90 h(t) 8 14 8 8 14 8 h 14 8 0 15 45 60 75 90 t

Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 49 Θ ε μ α 1 7 ο 17846 Δινονται οι συναρτησεις α) Να μεταφερετε στην κολα σας και να συμπληρωσετε τον παρακατω πινακα τιμων των συναρτησεων f και g. Στη συνεχεια, να σχεδιασετε στο ιδιο συστημα αξονων τις γραφικες παραστασεις των συναρτησεων f(x) και g(x), για. f(x) g(x) 0 (Μοναδες 8) β) Με τη βοηθεια της γραφικης παραστασης, να προσδιορισετε το πληθος των λυσεων της εξισωσης (1) στο διαστημα (Μοναδες 4) γ) Να λυσετε αλγεβρικα την εξισωση (1) στο διαστημα και να σημειωσετε πανω στο σχημα του ερωτηματος (α) τις συντεταγμενες των κοινων σημειων των γραφικων παραστασεων των συναρτησεων f και g. (Μοναδες 13)... χ ρ η σ ι μ ο Π ι ν α κ α ς Τ ρ. Α ρ ι θ μ ω ν Β α σ ι κ ω ν Γ ω ν ι ω ν 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 180 0 70 0 360 0 ημ 0 1 0-1 0 συν 1 0-1 0 1 εφ 0 1-0 - 0 σφ - 1 0-0 -

50 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η 17846 α) x 0 π 4 f ( x ) 1 π 0-3π 4 π -1-5π 4 3π 7π 4 0 g( x) 1 0-1 0 1 0-1 0 1 π π π π 3π π π f(0) = συν0 = 1 f = συν = f = συν = 0 f = συν π- = - συν = - 4 4 4 4 4 5π π π 3π 3π f(π) = συνπ = -1 f = συν π + = - συν = - f = συν = 0 4 4 4 7π π π f = συν π - = συν = 4 4 4 f(π) = συνπ = 1 g(0) = συν0 = 1 π π π 3π π π g = συν = 0 g = συνπ = -1 g = συν π- = - συν = 0 4 4 g(π) = συνπ = 1 5π π π 3π g = συν π + = συν = 0 g = συν(π + π) = συνπ = -1 4 7π π π g = συν 8π - = συν = 0 g(π) = συν4π = 1 4 (0,1) (π,1) β) h Η C και η C τεμνονται σε 4 σημεια, οποτε 4 f g 1 ειναι και οι λυσεις της εξισωσης. γ) συνx = συνx 0 x π : x = κπ (1) x = κπ + x κ x = κπ - x κπ x = () 3 κοινο 0 κπ π κ = 0 x = 0 f(0) = 1 (0,1) σημειο κοινο 0 κ 1 κ = 1 x = π f(π) = 1 (π,1) σημειο κοινο κ = 0 x = 0 f(0) = 1 (0,1) σημειο κοινο π π 1 π 1 κπ κ = 1 x = f( ) = -,- 0 π 3 3 σημειο 3 3 κοινο 0 κ 3 4π 4π 1 4π 1 κ = x = f( ) = -,- 3 3 σημειο 3 κοινο κ = 3 x = π f(π) = 1 π, 1 σημειο π 1 0 π π -1 π 1, - 3 4π 1, - 3

Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 51 Θ ε μ α 1 8 ο 17855 Ενα σωμα ταλαντωνεται κατακορυφα στο ακρο ενος ελατηριου. Η αποσταση του σωματος απο το εδαφος (σε cm), δινεται απο την συναρτηση: οπου t ο χρονος σε ωρες. α) Να βρειτε την περιοδο της ταλαντωσης. (Μοναδες 7) β) Να βρειτε την αποσταση του σωματος απο το εδαφος τις χρονικες στιγμες και. (Μοναδες 8) γ) Να βρειτε κατα το χρονικο διαστημα απο εως, ποια χρονικη στιγμη η αποσταση του σωματος απο το εδαφος ειναι ελαχιστη. Ποια ειναι η αποσταση αυτη; (Μοναδες 10)... χ ρ η σ ι μ ο

5 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η 17855 α) Μορφη : h(t) = ρ ημ(ω t ) + μ με ρ = 1, ω = π 4 και μ = 13 Ελαχιστη τιμη της h : - ρ + μ = - 1 + 13 = 1 (1) Περιοδος της h : β) Ειναι π π T = = = 8 ωρες ω π 4 5π π π f(5) = 1ημ + 13 = 1ημ π + + 13 = 1(- ημ ) + 13 = - 1 + 13 = 13-6 4 4 4 8π f( 8) = 1ημ + 13 = 1ημπ + 13 = 1 0 + 13 = 13 4 Το σωμα απεχει απ το εδαφος : 13-6 cm τη χρονικη στιγμη t = 5 και 13 cm τη χρονικη στιγμη t = 8. γ) πt πt 1-13 πt πt 3π (1) : f(t) = 1 1ημ + 13 = 1 ημ = ημ = - 1 ημ = ημ 4 4 1 4 4 0 t 8 πt 3π t = 8κ + 6 t = 8 0 + 6 t = 6 = κπ + 3 1 0 8κ + 6 8 - κ κ = 0 4 4 4 η (κ ) η (κ ) πt 3π 0 t 8 = κπ + π - t = 8κ - t = 8 1 - t = 6 4 1 5 0 8κ - 8 κ κ = 1 4 4 Eτσι, η αποσταση του σωματος απο το εδαφος ειναι ελαχιστη τη χρονικη στιγμη t = 6 ωρες.

Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς 53 Θ ε μ α 1 9 ο 0338 Στο παρακατω σχημα, δινεται η γραφικη παρασταση μιας συναρτησης f, που ειναι της μορφης οπου α, β πραγματικοι αριθμοι. α) Mε βαση τη γραφικη παρασταση της f, να βρειτε τη μεγιστη και την ελαχιστη τιμη της. (Mοναδες 4) β) Ποια ειναι η περιοδος Τ της συναρτησης f ; Να αιτιολογησετε την απαντηση σας. (Μοναδες 4) γ) Mε βαση τα δεδομενα του σχηματος, να αποδειξετε οτι: α = και β = 6. (Μοναδες 8) δ) Να προσδιορισετε αλγεβρικα τα κοινα σημεια της γραφικης παραστασης της f με την ευθεια y = 1 στο διαστημα [0, π]. (Μοναδες 9)... χ ρ η σ ι μ ο

54 Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ε ς Ε ξ ι σ ω σ ε ι ς Α π α ν τ η σ η 0338 Μορφη : f(t) = ρ ημ(ω t ) + μ με ρ = β, ω = και μ = α Μεγιστη τιμη της f : β + α (1) Ελαχιστη τιμη της f : - β + α () Περιοδος της f : α) π T = ω (3) Απ τη γραφικη παρασταση προκυπτει Μεγιστη τιμη της f : 4 Ελαχιστη τιμη της f : - 8 β) Απ'τη (3) και απ'το οτι ω =, η περιοδος της συναρτησης ειναι π π T = = = π ω γ) Απ'το (β) και τις (1), () προκυπτει : β = 6 - β + α = - 8 α = - 4 α = - α = - (+) β + α = 4 β + α = 4 β - = 4 δ) Για α = - κα β = 6 η συναρτηση γινεται : f(x) = - + 6συνx. Προκειμενου να βρουμε τα κοινα σημεια της Cf με την ευθεια y = 1, λυνουμε την εξισωση : 1 + 1 π f(x) = 1 - + 6συνx = 1 συνx = συνx = συνx = συν 6 3 π π x =, 1 0 x π π 6 6 π x = κπ + x = κπ + 6 π 1 11 7π 7π 0 κπ + π - κ κ = 0,1 3 6 6 6 x = κοινα, 1 6 6 η (κ ) η (κ ) σημεια π 5π 5π 0 x π π x =, 1 x = κπ - x = κπ - 3 6 π 1 13 6 6 0 κπ - π κ κ = 1, 6 6 6 11π x = 11π, 1 6 6

A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Α λ γ ε β ρ α Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν Τ ρ α π ε ζ α Θ ε μ α τ ω ν ο Θ ε μ α Α λ γ ε β ρ α : 4 ο Θ ε μ α 8. Τ ρ ι γ κ o ι Α ρ ι θ μ ο ι Δ ι π λ α σ ι ο υ Τ ο ξ ο υ

A λ γ ε β ρ α Β Λ υ κ ε ι ο υ Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς H δ ι κ η μ ο υ α π ο ψ η γ ι α τ η ν τ ρ α π ε ζ α θ ε μ α τ ω ν

Τ ρ ι γ κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Δ ι π λ α σ ι ο υ Τ ο ξ ο υ 57 Θ ε μ α 0 ο 17838 Για τη γωνια ω ισχυει οτι α) Να δειξετε οτι β) Αν για τη γωνια ω επιπλεον ισχυει, τοτε: i. να δειξετε οτι και ii. να υπολογισετε την τιμη της παραστασης:... χ ρ η σ ι μ ο (Μοναδες 10) (Μοναδες 8) (Μοναδες 7)

58 Τ ρ ι γ κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Δ ι π λ α σ ι ο υ Τ ο ξ ο υ Α π α ν τ η σ η 17838 α) Ειναι 5συνω + 8συνω + 1 = 0 5(συν ω - 1) + 8συνω + 1 = 0 10συν ω - 5 + 8συνω + 1 = 0 10συν ω + 8συνω + 16 = 0 5συν ω + 14συνω + 8 = 0 5συν ω + 10συνω + 4συνω + 8 = 0 5συνω(συνω + ) + 4(συνω + ) = 0 συνω = - < -1 αδυνατη συνω + = 0 η η 4 5συνω + 4 = 0 συνω = - 5 β) i) Ειναι (συνω + )(5συνω + 4) = 0 4 συνω = - 5 4 16 9 ημ ω + συν ω = 1 ημ ω + - = 1 ημ ω = 1 - ημ ω = 5 5 5 π < ω < π 9 3 ημω = ± ημω = Ετσι 5 ημω > 0 5 4 συνω = συν ω - 1 = - 1 = - 1 = - = 16 3 5 7-5 5 5 5 5 3 4 4 ημω = ημωσυνω = - = - 5 5 5 ii) 13 [ ημ ω + συν ω] + 1 13 1 + 1 Π = = = 18 εφω σφω + 5 [ημω + συνω] 4 7 18 1 + 5 - + 5 5 5 5 5 = = = = 5 17 18-17 1 18 + 5-5

Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς h t t p :// d r m a t h s 5 8 d e m o.b l o g s p o t. g r Μετα απο καιρο, αποφασισα να ασχοληθω με την τραπεζα θεματων διαβαθμισμενης δυσκολιας και να παρουσιασω ενα βοηθημα, που το επιμεληθηκα με πολυ μερακι. Πιστευω, μια αξιοπρεπης προσπαθεια με σκοπο να βοηθησει τους μαθητες της Α Λυκειου να προσπαθησουν να λυσουν τις ασκησεις της τραπεζας η εστω να τις διαβασουν χωρις ιδιαιτερο κοπο. Ελπιζω το βοηθημα αυτο να ανταποκριθει στις προσδοκιες μου και στις προσδοκιες των μαθητων που θα το χρησιμοποιησουν. (με τον ιδιο τροπο, θα συνεχισω) Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 014