Ημερομηνία: Παρασκευή 28 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή 8 Οκτωβρίου 016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α Α1. Να δώσετε τους ορισμούς των: α) Γνησίως φθίνουσα συνάρτηση β) Ολικό ελάχιστο συνάρτησης γ) Άρτια συνάρτηση. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν ως Σωστές ή Λάθος. Μονάδες 15 α. Η συνάρτηση έχει μέγιστο στο x0 A, όταν: ( x) ( x0 ) για κάθε x A β. Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α λέγεται περιττή, αν για κάθε x A Aκαι ( ) ( x) ισχύει γ. Η συνάρτηση ( x) 7x έχει πεδίο ορισμού το R και για οποιουσδήποτε x x1, x R με x ισχύει ( x1) ( x). Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα στο R. 1 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση x, x R. ( ) x 5 Μονάδες 10 Β1. Να δείξετε ότι η παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0. Β. Είναι η άρτια συνάρτηση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 3

2 Β3. Με ποια μετατόπιση της g( x) ; x προκύπτει η ΘΕΜΑ Γ Γ1. Να λυθεί το σύστημα y y 7 9 Μονάδες 9 Γ. Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία οι συναρτήσεις: Μονάδες 9 α) ( x) 8 β) ( x) 7 1 x Γ3. Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες η περιττές. α) 5 3 ( x) 6x x x β) x x x ( ) ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση ( x) 8 x 8 x Δ1. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Δ. Να εξετάσετε αν η είναι άρτια ή περιττή. Μονάδες 5 Δ3. Αν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο πεδίο ορισμού της, να επιλέξετε ποια από τις παρακάτω τρείς προτεινόμενες, είναι η γραφική της παράσταση και στη συνέχεια να υπολογίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της Μονάδες 7 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 3

3 Δ. Να αιτιολογήσετε γραφικά ή αλγεβρικά, γιατί οι συναρτήσεις g( x) ( x) 3 και h( x) x 3 δεν είναι ούτε άρτιες ούτε περιττές. Μονάδες 5 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 3

4 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή 8 Οκτωβρίου 016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Θεωρία Α. α Σωστό β Λάθος γ Σωστό ΘΕΜΑ Β Β1. Για να παρουσιάζει η ελάχιστο στο x 0 πρέπει να ισχύει ( x) (0) για κάθε x R, δηλαδή ( x) (0) x 5 5 x 0 που ισχύει για κάθε x R. Β. Για κάθε x R ισχύει R και ( ) ( ) 5 x 5 ( x). Άρα η είναι άρτια. Β3. Η προκύπτει αν μετατοπίσουμε την g( x) x κατακόρυφα κατά 5 μονάδες προς τα κάτω. ΘΕΜΑ Γ y 9 (1) Γ1. y 7 () Έχουμε: () y 7 x. Οπότε (1) x (7 x) 9 x 9 1x x 9 x 1x 0 0 x 7x 10 0 x ήx 5. Για x, y 7 5 και για x 5, y 75. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 1 ΑΠΟ 3

5 Γ. α) A R. Για κάθε x1, x R με x1 x έχουμε x x 8 8 ( x ) ( x ) Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα. β) A (,1]. Για κάθε x1, x A με x1 x έχουμε x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x x 7 1 x ( x ) ( x ). 1 1 Άρα η είναι γνησίως αύξουσα. Γ3. α) A R. Για κάθε x A ισχύει A και x x x x x x x x x x x ( ) 6( ) ( ) ( ) 6 (6 ) ( ) Άρα η είναι περιττή. β) A R. Για κάθε x A ισχύει A και x x x x x x ( ) 3( ) ( ) Άρα η είναι άρτια. ΘΕΜΑ Δ Δ1. Πρέπει και αρκεί (8 x 0 και 8 x 0) ( x 8 και x 8) 8 x 8. Άρα A [ 8,8]. Δ. Για κάθε x A ισχύει A και ( ) 8 ( ) 8 ( ) 8 x 8 x 8 x 8 x ( x ). Άρα η είναι περιττή Δ3. Η μοναδική γνησίως φθίνουσα συνάρτηση είναι η τρίτη. Έχει μέγιστη τιμή την ( 8) και ελάχιστη τιμή την (8) Δ. Η γραφική παράσταση της g( x) ( x) 3 προκύπτει από την γραφική παράσταση της αν την μετατοπίσουμε κατά 3 μονάδες προς τα κάτω όπως φαίνεται στο παρακάτω ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 3

6 σχήμα. Η g δεν είναι ούτε συμμετρική ως προς τον άξονα yy, ούτε ως προς την αρχή των αξόνων. Άρα δεν είναι άρτια ούτε περιττή Η γραφική παράσταση της h( x) 3 προκύπτει από την γραφική παράσταση της αν την μετατοπίσουμε κατά 3 μονάδες προς τα αριστερά όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Η h δεν είναι ούτε συμμετρική ως προς τον άξονα yy, ούτε ως προς την αρχή των αξόνων. Άρα δεν είναι άρτια ούτε περιττή ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 3