(Μονάδες 15) (Μονάδες 12)

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β Λυκε ί ου τ ράε ζ αθε μάτ ων( 1ηέ κδοση) θέ μαδε ύτ ε ροκαιτ έ τ αρτ ο Κόμβ οςατ σι οούλου01415 δης Ει μέ λε ι α:εμμανουήλκ.σκαλί Αντ ώνηςκ.αοστ όλου

2 Άσκηση 1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οοίο να είναι αδύνατο. β) Να αραστήσετε γραφικά στο είεδο τις δυο εξισώσεις του συστήματος ου ορίσατε στο α) ερώτημα και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο. (Μονάδες 15) Δίνεται η εξίσωση: 8x + y = 7 (1) α) Να γράψετε μια άλλη εξίσωση ου να μην έχει καμία κοινή λύση με την εξίσωση (1). β) Να αραστήσετε γραφικά στο είεδο τις δυο εξισώσεις και, με βάση το γράφημα, να εξηγήσετε γιατί το σύστημα είναι αδύνατο. (Μονάδες 15) Άσκηση Άσκηση 3 Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος αό το Βασίλη. α) Μορείτε να υολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες 13) β) Δίνεται ειλέον η ληροφορία ότι η διαφορά των ηλικιών τους είναι 5 χρόνια. Να υολογίσετε την ηλικία του καθενός. Άσκηση 4 (Μονάδες 1) Η γραφική αράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης f: R R διέρχεται αό τα σημεία Α(5,) και Β(4,9). α) Να ροσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f αιτιολογώντας την αάντησή σας. (Μονάδες 1) β) Να λύσετε την ανίσωση f(5-3x) <. (Μονάδες 13) Άσκηση 5 α) Είναι η τιμή x = λύση της εξίσωσης 3συν4x + 3 = 0; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. 4 β) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f(x) = συν4x με την ευθεία y = -1. (Μονάδες 15) 1

3 Άσκηση 6 α) Με βάση τα δεδομένα του σχήματος, να ροσδιορίσετε τις εξισώσεις των ευθειών (ε) και (η). (Μονάδες 1) β) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής τους. (Μονάδες 13) Άσκηση 7 Δίνονται οι ευθείες: ε 1 : x + y = 6 και ε : x - y = -3 α) Να ροσδιορίσετε αλγεβρικά το κοινό τους σημείο Μ. (Μονάδες 13) β) Να βρείτε για οια τιμή του α, η ευθεία 3x + αy = α + 5 διέρχεται αό το Μ. (Μονάδες 1) Άσκηση 8 Δίνονται οι γωνίες ω, θ για τις οοίες ισχύει: ω + θ = 135. Να αοδείξετε ότι: α) εφ(ω + θ) = 1 β) εφω + εφθ + 1= εφω εφθ (Μονάδες 15)

4 Άσκηση 9 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 4x + 5, x R α) Να αοδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x - ) + 1. (Μονάδες 1) β) Στο σύστημα συντεταγμένων ου ακολουθεί, να αραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση f, μετατοίζοντας κατάλληλα την y = x. (Μονάδες 13) Άσκηση 10 (Μονάδες 13) Στο δημοτικό parking μιας εαρχιακής όλης στις 10 το ρωί, το σύνολο των δίκυκλων και τετράτροχων οχημάτων ου έχουν αρκάρει είναι 830 και το λήθος των τροχών τους.700. α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. (Μονάδες 13) β) Να βρείτε τον αριθμό των δίκυκλων καθώς και τον αριθμό των τετράτροχων οχημάτων. (Μονάδες 1) 3

5 Άσκηση 11 Δίνεται το σύστημα: x y = 8 ax + βy = γ με αραμέτρους α, β, γ R. α) Να ειλέξετε τιμές για τις αραμέτρους α, β, γ ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (, -3). (Μονάδες 13) β) Να ειλέξετε τιμές για τις αραμέτρους α, β, γ ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο. Άσκηση 1 (Μονάδες 1) Δίνεται ένα ορθογώνιο αραλληλόγραμμο με μήκος x cm, λάτος y cm, ερίμετρο ίση με 38cm και με την ακόλουθη ιδιότητα: Αν αυξήσουμε το μήκος του κατά cm και μειώσουμε το λάτος του κατά 4cm, θα ροκύψει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του αρχικού. α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους. β) Να βρείτε τις τιμές των διαστάσεων x, y του ορθογωνίου. (Μονάδες 15) Άσκηση 13 Δίνεται γωνία ω ου ικανοοιεί τη σχέση: (ημω + συνω) = 1 α) Να αοδείξετε ότι είτε ημω = 0 είτε συνω = 0. (Μονάδες 13) β) Να βρείτε τις δυνατές τιμές της γωνίας ω. (Μονάδες 1) Άσκηση 14 x Δίνεται η συνάρτηση xf )( =, με x R. x + 1 α) Να δείξετε ότι η )( xf. 1 (Μονάδες 8) β) Είναι το 1 η μέγιστη τιμή της συνάρτησης; Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες 8) γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι άρτια ή εριττή. (Μονάδες 9) 4

6 Άσκηση 15 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = ημx+1, x R α) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f. β) Για οια τιμή του x [0, ] η συνάρτηση αρουσιάζει μέγιστη τιμή; (Μονάδες 15) Άσκηση 16 1 Δίνεται η συνάρτηση f(x)= συνx, x R α) Ποια είναι η μέγιστη και οια η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης; Ποια είναι η ερίοδος της f; (Μονάδες 9) β) Να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της f σε διάστημα λάτους μιας εριόδου. γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση μορεί να άρει την τιμή 1. Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. Άσκηση 17 (Μονάδες 6) y= x + 1 α) Να λύσετε αλγεβρικά το σύστημα. x y = 1 (Μονάδες 15) β) Να ερνηνεύσετε γεωμετρικά τις λύσεις του συστήματος ου βρήκατε στο ερώτημα α). Άσκηση 18 Αν 0< x< και (συνx + 1) (5συνx 4) = 0, τότε: α) 4 Να αοδείξετε ότι συνx =. 5 β) Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας x. (Μονάδες 15) Άσκηση 19 α) Να αοδείξετε ότι: η ( + x) + συν ( + x) = 0. β) Να βρείτε τις τιμές του x [0,) για τις οοίες ισχύει: συν x = η ( + x). (Μονάδες 15) 5

7 Δίνεται το σύστημα: Άσκηση 0 ( λ + )1 x + y = 3, με αράμετρο λ R. 4x + ( λ )1 y = 6 α) Αν λ = -3, να δείξετε ότι το σύστημα έχει άειρες λύσεις. Να βρείτε μια λύση. (Μονάδες 8) β) Αν λ = 3, να δείξετε ότι το σύστημα είναι αδύνατο. (Μονάδες 8) γ) Αν λ = 0, να δείξετε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση την οοία και να ροσδιορίσετε. Άσκηση 1 (Μονάδες 9) 3 Δίνεται ημφ, όου φ η οξεία γωνία ου σχηματίζεται με κορυφή το σημείο Α της ευθείας 5 (ε) του αρακάτω σχήματος. α) Να βρείτε το συνημίτονο της γωνίας φ. β) Να βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο των γωνιών θ και ω του σχήματος. Δίνονται οι ευθείες με εξισώσεις: ( ε1 ) :x y = 1 Άσκηση (Μονάδες 15) (ε ): (λ 1)x y = 6, με αράμετρο λ R α) Να βρείτε την τιμή του λ ώστε οι ευθείες ε 1 και ε να είναι αράλληλες. (Μονάδες 8) β) Να αραστήσετε γραφικά τις ε 1 και ε, για λ= 3. (Μονάδες 8) γ) Υάρχει τιμή του λ R, ώστε οι ευθείες ε 1 και ε να ταυτίζονται; Να δικαιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες 9) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) α) Να δείξετε ότι ( ) 3 Άσκηση 3 f x = η 3x + συν 3x, x R. f x = η x. β) Να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f. (Μονάδες 15) 6

8 Άσκηση 4 α) Να διατάξετε αό το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αρακάτω αριθμούς: 17 συν, συν, συν (Μονάδες 1) 3 β) Αν < x 1 < x <, να συγκρίνετε τους αριθμούς: η ( x1) και η ( x ). Άσκηση 5 (Μονάδες 13) Στο αρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση C f μιας συνάρτησης f με εδίο ορισμού το R. Nα ααντήσετε τα αρακάτω ερωτήματα: α) Να διατάξετε αό το μικρότερο στο μεγαλύτερο τους αριθμούς f x, f x και 1 f x. β) Είναι η συνάρτηση f γνησίως μονότονη στο R; Να αιτιολογήσετε την αάντηση σας. γ) Παρουσιάζει η f μέγιστο στο σημείο x ; Να αιτιολογήσετε την αάντηση σας. (Μονάδες 5) 3 7

9 Άσκηση 6 f x = συν x, x R. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 α) Να βρείτε την ερίοδο, τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της f. (Μονάδες 1) β) Να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα και να αραστήσετε γραφικά την f σε διάστημα μιας εριόδου. x 0 x συνx ( ) = 3 f x συν x Άσκηση 7 (Μονάδες 13) Δίνονται οι ευθείες ε :x+ y = 5, ε : x+ 3y = 9 και ε :3x+ y = α) i. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ε 1 και ε. ii. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ε 1 και ε 3. (Μονάδες 1) β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α), να δείξετε ότι το κοινό σημείο των ε και ε 3 είναι σημείο της ε 1. (Μονάδες 13) Άσκηση 8 Έστω γνησίως μονότονη συνάρτηση f: R R, η γραφική αράσταση της οοίας διέρχεται αό τα σημεία Α (,3) και ( 4,5) Β. α) Να ροσδιορίσετε το είδος της μονοτονίας της f. (Μονάδες 13) β) Αν η γραφική αράσταση της f τέμνει τον άξονα x x στο -, να δείξετε ότι f ( 0) > 0. (Μονάδες 1) 8

10 Άσκηση 9 Ένα θέατρο έχει 5 σειρές καθισμάτων χωρισμένες σε δύο διαζώματα. Η κάθε μια αό τις σειρές του κάτω διαζώματος έχει 14 καθίσματα και η κάθε μια αό τις σειρές του άνω διαζώματος έχει 16 καθίσματα, ενώ η συνολική χωρητικότητα του θεάτρου είναι 374 καθίσματα. α) Αν x ο αριθμός σειρών του κάτω και y o αριθμός σειρών του άνω διαζώματος, να εκφράσετε τα δεδομένα του ροβλήματος με ένα σύστημα δύο εξισώσεων. (Μονάδες 1) β) Πόσες σειρές έχει το άνω και όσες το κάτω διάζωμα; (Μονάδες 13) Άσκηση 30 Δίνεται η αράσταση: Α = η x, με x κ, κ Z. 1 συν x α) Να αοδείξετε ότι Α = 1+συνx (Μονάδες 1) β) Να λύσετε την εξίσωση η x 1 συν x = 1 στο διάστημα (0, ). (Μονάδες 13) Άσκηση 31 Δίνεται το σύστημα: x y = 9 ax + βy = γ με αραμέτρους α, β, γ R α) Να ειλέξετε τιμές για τις αραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1, -4). (Μονάδες 13) β) Να ειλέξετε τιμές για τις αραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να είναι αδύνατο και να εαληθεύσετε γραφικά την ειλογή σας. (Μονάδες 1) 9

11 Άσκηση 3 Έστω γωνία x για την οοία ισχύουν: x ημ x ημ + x =. < < και ( ) ( ) 1 α) Να αοδείξετε ότι 1 ημx =. (Μονάδες 1) β) Να βρείτε την γωνία x. (Μονάδες 13) Άσκηση 33 α) Να αοδείξετε ότι : η x η x + =, όου x κ, κ Z. (Μονάδες 13) 1- συνx +1 συνx η x β) Να λύσετε την εξίσωση: η x η x 4 + = (Μονάδες 1) 1- συνx +1 συνx 3 Άσκηση 34 Στο αρακάτω σχήμα δίνονται οι αραβολές C f και C g ου είναι γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f και g αντίστοιχα με εδίο ορισμού το R. Η γραφική αράσταση της g ροκύτει αό τη γραφική αράσταση της f με οριζόντια και κατακόρυφη μετατόιση. Παρατηρώντας το σχήμα: α) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας, το είδος του ακρότατου της f και την τιμή του. β) Να βρείτε μέσω οιων μετατοίσεων της C f ροκύτει η C g. (Μονάδες 15) 10

12 Άσκηση 35 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 1x α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f γράφεται στη μορφή: f(x)= (x 3) + 1. β) Παρακάτω δίνεται η γραφική αράσταση της συνάρτησης g(x) = x. Στο ίδιο σύστημα αξόνων, να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f και να εξηγήσετε ώς αυτή ροκύτει μετατοίζοντας κατάλληλα τη γραφική αράσταση της g. (Μονάδες 15) Άσκηση 36 Δίνεται το σύστημα: x + y = 3 ax + βy = γ με αραμέτρους α, β, γ R α) Να ειλέξετε τιμές για τις αραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (-1, 5). (Μονάδες 13) β) Να ειλέξετε τιμές για τις αραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει άειρες λύσεις και να εαληθεύσετε γραφικά την ειλογή σας. (Μονάδες 1) 11

13 Άσκηση 37 Δίνεται η συνάρτηση f( x) = 8 x 8+ x. α) Να βρείτε το εδίο ορισμού της συνάρτησης f. (Μονάδες 5) β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f είναι άρτια ή εριττή. (Μονάδες 8) γ) Αν η συνάρτησης f είναι γνησίως φθίνουσα στο εδίο ορισμού της, να ειλέξετε οια αό τις αρακάτω τρείς ροτεινόμενες, είναι η γραφική της αράσταση και στη συνέχεια να υολογίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της. (Μονάδες 7) δ) Να αιτιολογήσετε γραφικά ή αλγεβρικά, γιατί οι συναρτήσεις gx ( ) = f( x) 3και hx ( ) = f( x+ 3) δεν είναι ούτε άρτιες ούτε εριττές. (Μονάδες 5) Άσκηση 38 Δίνεται η συνάρτηση f( x ) = a + 1 η ( β x) με a R και β >0, η οοία έχει μέγιστη τιμή 3 και ερίοδο 4. α) Να δείξετε ότι a = ή a = 4 και β = 1. (Μονάδες 7) β) Για a = και β = 1, i. να λυθεί η εξίσωση f (x)=3. ii. να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f στο διάστημα [0, 8]. (Μονάδες 8) 1

14 Άσκηση 39 Για τις ηλικίες των μελών μιας τριμελούς οικογένειας ισχύουν τα αρακάτω: Η ηλικία της μητέρας είναι τριλάσια αό την ηλικία του αιδιού. Ο λόγος της ηλικίας το ατέρα ρος την ηλικία του αιδιού ισούται με Ειλέον το άθροισμα των ηλικιών και των τριών ισούται με 115 χρόνια. α) Να εκφράσετε τα δεδομένα με ένα σύστημα τριών εξισώσεων με τρείς αγνώστους. (Μονάδες 13) β) Να βρείτε την ηλικία του καθενός. (Μονάδες 1) Άσκηση 40 Δίνονται οι ευθείες ε 1 και ε με εξισώσεις x+ ( λ + ) y = 3, ( λ ) x+ 5y = 3 αντίστοιχα και λ R. α) Για τις διάφορες τιμές του λ R, να βρείτε τη σχετική θέση των δύο ευθειών. (Μονάδες 13) β) Στην ερίτωση ου οι ευθείες ε 1 και ε τέμνονται, να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α των δύο ευθειών. (Μονάδες 7) γ) Να βρείτε την τιμή του λ R για την οοία το σημείο Α ανήκει στην ευθεία με εξίσωση: x+ y = 3. (Μονάδες 5) Άσκηση 41 Δίνεται το σύστημα: x + y = 1, με αράμετρο λ R. x + λy = λ α) Να λύσετε το σύστημα για τις διάφορες τιμές του λ R. β) Αν λ = -1 και (x 0, y 0 ) είναι η αντίστοιχη λύση του συστήματος, να βρείτε γωνία θ [0, ) τέτοια ώστε x 0 = συνθ και y 0 = ημθ. (Μονάδες 7) γ) Αν λ = 1 και (x 1, y 1 ) είναι η αντίστοιχη λύση του συστήματος, να δείξετε ότι δεν υάρχει γωνία ω, τέτοια ώστε x 1 = συνω και y 1 = ημω. (Μονάδες 8) 13

15 Άσκηση 4 Για τη γωνία ω ισχύει ότι 5συνω + 8συνω + 1 = 0. α) Να δείξετε ότι συνω = β) Αν για τη γωνία ω ειλέον ισχύει i. να δείξετε ότι συνω = 7 5 < ω <, τότε: 4 και ημω = -. (Μονάδες 8) 5 ii. να υολογίσετε την τιμή της αράστασης: Π = 13 [η ω + συν ω] + 1. (Μονάδες 7) 18 εφω σφω + 5[η ω + συνω] Άσκηση 43 Δίνεται το σύστημα: ( a )1 x + 3y = 3 x + ( a + )1 y = 3, με αράμετρο α R. α) Να αοδείξετε ότι αν το σύστημα έχει μοναδική λύση την (x 0, y 0 ), τότε x 0 = y 0. β) Να βρείτε τις τιμές του α R για τις οοίες το σύστημα: i. έχει άειρες σε λήθος λύσεις και να δώσετε τη μορφή τους. (Μονάδες 6) ii. δεν έχει λύση. (Μονάδες 4) γ) Να εξετάσετε τις σχετικές θέσεις των δύο ευθειών ου ροκύτουν αό τις εξισώσεις του αραάνω συστήματος για α = 3, α =, α = -. (Μονάδες 5) 14

16 Άσκηση 44 Η Αλίκη και η Αθηνά διασκεδάζουν στη ρόδα του λούνα αρκ. Η αόσταση, σε μέτρα, του καθίσματός τους αό το έδαφος τη χρονική στιγμή t sec δίνεται αό τη συνάρτηση t h(t) = ημ, 0 t α) Να βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο ύψος στο οοίο φτάνει το κάθισμα, καθώς και τις στιγμές κατά τις οοίες το κάθισμα βρίσκεται στο ελάχιστο και στο μέγιστο ύψος. (Μονάδες 8) β) Να υολογίσετε την ακτίνα της ρόδας. (Μονάδες 3) γ) Να βρείτε την ερίοδο της κίνησης, δηλαδή το χρόνο στον οοίο η ρόδα ολοκληρώνει μια εριστροφή. Πόσους γύρους έκαναν οι δύο φίλες στο διάστημα αό 0 έως 180 sec; (Μονάδες 4+=6) δ) Να μεταφέρετε στην κόλα σας τον ίνακα τιμών και το σύστημα συντεταγμένων ου δίνονται αρακάτω και: i. να συμληρώσετε τον ίνακα τιμών της συνάρτησης του ύψους h(t). (Μονάδες 3) ii. να σχεδιάσετε στο σύστημα συντεταγμένων το τμήμα της γραφικής αράστασης της συνάρτησης h(t) με 0 t 90. (Μονάδες 5) t h(t) 15

17 Άσκηση 45 Δίνεται η συνάρτηση: f 1 x)( = x c) d, x R με c, d θετικές σταθερές, η γραφική αράσταση της οοίας διέρχεται αό τα σημεία A(0, 16) και B(4, 0). α) Με βάση τα δεδομένα, να κατασκευάσετε ένα σύστημα δύο εξισώσεων με αγνώστους τους c, d και να υολογίσετε την τιμή τους. β) Θεωρώντας γνωστό ότι c = 6 και d =, i. να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής αράστασης της συνάρτησης f με τους άξονες. (Μονάδες 3) ii. να μεταφέρετε στην κόλα σας το σύστημα συντεταγμένων ου ακολουθεί, να σχεδιάσετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης f και να εξηγήσετε ώς αυτή σχετίζεται με τη γραφική αράσταση της συνάρτησης 1 g x)(x = (Μονάδες 6) iii. με βάση την αραάνω γραφική αράσταση, να βρείτε το ακρότατο της συνάρτησης f, τα διαστήματα στα οοία η f είναι μονότονη, καθώς και το είδος της μονοτονίας της σε καθένα αό αυτά τα διαστήματα. (Μονάδες 6) 16

18 Άσκηση 46 Στο αρακάτω σχήμα δίνεται η γραφική αράσταση μιας συνάρτησης f η οοία είναι της μορφής f(x) = ρ ημ(ωx) + k, με ρ, ω, k ραγματικές σταθερές. α) Με βάση τη γραφική αράσταση, να βρείτε: i. τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f (Μονάδες 3) ii. την ερίοδο T της συνάρτησης f (Μονάδες 3) β) Να ροσδιορίσετε τις τιμές των σταθερών ρ, ω και k. Να αιτιολογήσετε την αάντησή σας. (Μονάδες 9) γ) Θεωρώντας γνωστό ότι ρ = 3, ω = 1 και k =, να ροσδιορίσετε αλγεβρικά την τετμημένη x0 του σημείου A της γραφικής αράστασης, ου δίνεται στο σχήμα. Άσκηση 47 α) Να λύσετε το σύστημα: x x + y + y = 1 (Μονάδες 1) = 1 β) Με τη βοήθεια του ερωτήματος (α) και του τριγωνομετρικού κύκλου, να βρείτε όλες τις γωνίες ω με 0 ω, ου ικανοοιούν τη σχέση συνω + ημω = -1 και να τις αεικονίσετε άνω στον τριγωνομετρικό κύκλο. (Μονάδες 13) 17

19 Άσκηση 48 Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) = συνx και g(x) = συνx. α) Να μεταφέρετε στην κόλα σας και να συμληρώσετε τον αρακάτω ίνακα τιμών των συναρτήσεων f και g. Στη συνέχεια, να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων f (x) και g (x), για x [0, ]. (Μονάδες 8) x f (x) g (x) β) Με τη βοήθεια της γραφικής αράστασης, να ροσδιορίσετε το λήθος των λύσεων της εξίσωσης συνx = συνx (1) στο διάστημα [0, ]. (Μονάδες 4) γ) Να λύσετε αλγεβρικά την εξίσωση (1) στο διάστημα [0, ] και να σημειώσετε άνω στο σχήμα του ερωτήματος (α) τις συντεταγμένες των κοινών σημείων των γραφικών αραστάσεων των συναρτήσεων f και g. (Μονάδες 13) Άσκηση 49 Ο Κώστας έχει τρία αιδιά. Δύο δίδυμα κορίτσια και ένα αγόρι. Στην ερώτηση όσων χρονών είναι τα αιδιά του αάντησε ως εξής. 1. Το άθροισμα των ηλικιών και των τριών αιδιών είναι 14. Το γινόμενο της ηλικίας της κόρης μου εί την ηλικία του γιου μου είναι 4 3. Το άθροισμα των ηλικιών των κοριτσιών είναι μικρότερο αό την ηλικία του αγοριού. α) Να γράψετε τις εξισώσεις ου εριγράφουν τα στοιχεία 1. και. ου έδωσε ο Κώστας. β) Να βρείτε τις ηλικίες των αιδιών του Κώστα. (Μονάδες 15) 18

20 Άσκηση 50 Ένα αιγνίδι κρέμεται με ένα ελατήριο αό το ταβάνι. Το ύψος του αό το άτωμα σε cm συναρτήσει του χρόνου t (sec) δίνεται αό τη σχέση: h(t)=α συν(ωt) +β, όου α, ω, β ραγματικές σταθερές. Όταν το ελατήριο ταλαντώνεται, το ελάχιστο ύψος του αιχνιδιού αό το άτωμα είναι 0cm και το μέγιστο 100cm. Τη χρονική στιγμή t=0 το ύψος αίρνει την ελάχιστη τιμή του και ο χρόνος μιας λήρους ταλάντωσης (θέσεις: ελάχιστο-ηρεμία-μέγιστο-ηρεμία-ελάχιστο) είναι 6 sec. α) Να δείξετε ότι ω=. (Μονάδες 5) 3 β) Να ροσδιορίσετε τις τιμές των α και β αιτιολογώντας την αάντησή σας. (Μονάδες 6) γ) Να υολογίσετε το ύψος του αιγνιδιού αό το άτωμα 14sec μετά την έναρξη της ταλάντωσης. (Μονάδες 8) δ) Να χαράξετε τη γραφική αράσταση της συνάρτησης h(t), για 0 t 1. (Μονάδες 6) Άσκηση 51 Ένα σώμα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώματος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση: t f )t( = 1η + 13, όου t ο χρόνος σε ώρες. 4 α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης. (Μονάδες 7) β) Να βρείτε την αόσταση του σώματος αό το έδαφος τις χρονικές στιγμές t = 5 και t = 8. (Μονάδες 8) γ) Να βρείτε κατά το χρονικό διάστημα αό t = 0 έως t = 8, οιά χρονική στιγμή η αόσταση του σώματος αό το έδαφος είναι ελάχιστη. Ποια είναι η αόσταση αυτή; (Μονάδες10) 19