GIÁO TRÌNH PHƯƠNG PHÁP TÍNH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÔNG Á ThS.PHẠM THỊ NGỌC MINH GIÁO TRÌNH PHƯƠNG PHÁP TÍNH LƯU HÀNH NỘI BỘ Đà Nẵg, 3

Mô: Phươg pháp tíh CHƯƠNG.. SAI SỐ.. NHẬP MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH... Gớ thệu mô phươg pháp tíh Phươg pháp tíh là bộ mô toá học có hệm vụ gả đế kết quả bằg số cho các bà toá, ó cug cấp các phươg pháp gả cho hữg bà toá trog thực tế mà khôg có lờ gả chíh ác. Mô học ày là cầu ố gữa toá học lý thuyết và các ứg dụg của ó trog thực tế. Trog thờ đạ t học hệ ay thì vệc áp dụg các phươg pháp tíh càg trở ê phổ bế hằm tăg tốc độ tíh toá.... Nhệm vụ mô học - Tìm ra các phươg pháp gả cho các bà toá gồm: phươg pháp (PP) đúg và phươg pháp gầ đúg. + Phươg pháp: chỉ ra kết quả dướ dạg một bểu thức gả tích cụ thể. + Phươg pháp gầ đúg: thườg cho kết quả sau một quá trìh tíh lặp theo một quy luật ào đó, ó được áp dụg trog trườg hợp bà toá khôg có lờ gả đúg hoặc ếu có thì quá phức tạp. - Xác địh tíh chất ghệm - Gả các bà toá về cực trị - Xấp ỉ hàm: kh khảo sát, tíh toá trê một hàm f() khá phức tạp, ta có thể thay hàm f() bở hàm g() đơ gả hơ sao cho g() f(). Vệc lựa chọ g() được gọ là phép ấp ỉ hàm. - Đáh gá sa số: kh gả bà toá bằg phươg pháp gầ đúg thì sa số uất hệ do sự sa lệch gữa gá trị hậ được vớ ghệm thực của bà toá. Vì vậy ta phả đáh gá sa số để từ đó chọ ra được phươg pháp tố ưu hất...3. Trìh tự gả bà toá trog phươg pháp tíh tốt). - Khảo sát, phâ tích bà toá - Lựa chọ phươg pháp dựa vào các têu chí sau: + Khố lượg tíh toá ít + Đơ gả kh ây dựg thuật toá + Sa số bé + Khả th - Xây dựg thuật toá: sử dụg gô gữ gả hoặc sơ đồ khố (càg mị càg - Vết chươg trìh: sử dụg gô gữ lập trìh (C, C++, Pascal, Matlab, )

.. SAI SỐ - Thực hệ chươg trìh, thử ghệm, sửa đổ và hoà chỉh.... Khá ệm Mô: Phươg pháp tíh Gả sử là số gầ đúg của * (* : số đúg), kh đó = * gọ là sa số thực sự của. Vì khôg ác địh được ê ta ét đế loạ sa số sau: gọ là sa số tuyệt đố.... Các loạ sa số - Sa số tuyệt đố : Gả sử > đủ bé sao cho *. Kh đó - Sa số tươg đố : δ =. Dựa vào guyê hâ gây sa số, ta có các loạ sau: - Sa số gả thết: uất hệ do vệc gả thết bà toá đạt được một số đều kệ lý tưởg hằm làm gảm độ phức tạp của bà toá. - Sa số do số lệu ba đầu: uất hệ do vệc đo đạc và cug cấp gá trị đầu vào khôg chíh ác. đúg. - Sa số phươg pháp : uất hệ do vệc gả bà toá bằg phươg pháp gầ - Sa số tíh toá : uất hệ do làm trò số trog quá trìh tíh toá, quá trìh tíh càg hều thì sa số tích luỹ càg lớ...3. Sa số tíh toá Gả sử dùg số gầ đúg = ( =, ) để tíh đạ lượg y, vớ y = f ( ) = f (,,..., ). Trog đó : - f là hàm khả v lê tục theo các đố số. Kh đó sa số của y được ác địh theo côg thức sau : - Sa số tuyệt đố : - Sa số tươg đố : y = = = f l f δ y = - Trườg hợp f có dạg tổg : y = f ( ) = ± ± ±... ±

Mô: Phươg pháp tíh f = suy ra y = = - Trườg hợp f có dạg tích : y = f ( ) = * *...* l f = l(... ) = (l + l +... + l ) l f = Vậy δ y = = suy ra δ y = = δ - Trườg hợp dạg thươg: y = f ( ) = y = y ; = δ. = = + y =. +. = y δ y = = + = δ + δ y - Trườg hợp dạg lũy thừa : y = f ( ) = α ( α > ) ly = lf = αl l f α = Suy ra δ y = α = αδ Ví dụ.: Gả : Cho a,5 ; b,34 ; c,3 Tíh sa số của : y 3 a = ; b c 3 y = a b c 3

Mô: Phươg pháp tíh 4

Mô: Phươg pháp tíh BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG. Nêu khá ệm sa số tuyệt đố.. Nêu khá ệm sa số tươg đố. 3. Dựa vào guyê hâ gây sa số, trìh bày các loạ sa số. 4. Trìh bày sa số tuyệt đố kh f là hàm có dạg tổg. 5. Trìh bày sa số tươg đố kh f là hàm có dạg tích. 6. Cho a.5, b.34, c.3. Tíh sa số của 7. Cho a.5, b.34, c.3. Tíh sa số của a y=. b c 4 y= a b c. 8. Tíh thể tích khố cầu có đườg kíh d = 3.7cm và π = 3.4 ±.6. 9. Một hìh trụ có bá kíh R = m, chều cao h = 3m. Hỏ R và h bằg bao hêu để thể tích V có độ chíh ác là V=.m?. Một hìh cầu có bá kíh đáy R = 5.87cm. Tíh thể tích hìh cầu vớ độ chíh ác là.cm 3?. Xác địh sa số tuyệt đố của các số gầ đúg sau ếu bết sa số tươg đố của chúg: a = 35,7; δ a = % b =,896; δ b = % c = 3,44; δ c = %. Kh đo một số góc, ta hậ được kết quả sau: a = 45 ; b = 75 44 Hãy ác địh sa số tươg đố của các số gầ đúg đó, ếu sa số tuyệt đố của phép đo là. 3. Xác địh số các chữ số đág t trog các số gầ đúg sau kh bết sa số tuyệt đố của chúg: a =,3; =,. a 3 b =,35; b =,. c = 93,48; c =, 4. Hãy ác địh số các chữ số đág t trog các số gầ đúg sau kh bết sa số tươg đố của chúg là: a =,8; δ a =,. b =,45; δ b =,5. c =,35; δ c =,5 5. Quy trò các số gầ đúg dướ đây vớ 3 chữ số có ghĩa đág t và ác địh sa số tuyệt đố, sa số tươg đố của chúg: a),55 b) -39,85 3 5

Mô: Phươg pháp tíh c),545 d) 65,55 6. Đườg kíh của một đườg trò được đo chíh ác tớ mm là d =,84m. Tìm dệ tích hìh trò đó. 7. Tìm gá trị hàm u = y z 3 ếu: = 37, và =,3 y = 9,87 và y =, 8. Hãy ác địh sa số tuyệt đố của số ấp ỉ sau đây, cho bết sa số tươg đố của ó: b = 67; δ b =,% 9. Tíh sa số tuyệt đố gớ hạ và sa số tươg đố gớ hạ của thể tích hìh cầu: 3 V = π d 6 ếu cho đườg kíh d = 3,5 ±,3cm và π = 3,4 ±,6. 6

.. GIỚI THIỆU CHƯƠNG.. GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH Mô: Phươg pháp tíh Để tìm ghệm gầ đúg của phươg trìh f() = cầ tế hàh qua bước: - Tách ghệm: ét tíh chất ghệm của phươg trìh, phươg trìh có ghệm hay khôg, có bao hêu ghệm, các khoảg chứa ghệm ếu có. Đố vớ bước ày, ta có thể dùg phươg pháp đồ thị, kết hợp vớ các địh lý mà toá học hỗ trợ. - Chíh ác hoá ghệm: thu hẹp dầ khoảg chứa ghệm để hộ tụ được đế gá trị ghệm gầ đúg vớ độ chíh ác cho phép. Trog bước ày ta có thể áp dụg một trog các phươg pháp: + Phươg pháp cha đô + Phươg pháp lặp.. TÁCH NGHIỆM + Phươg pháp tếp tuyế + Phươg pháp dây cug * Phươg pháp đồ thị: Trườg hợp hàm f() đơ gả - Vẽ đồ thị f() - Nghệm phươg trìh là hoàh độ gao đểm của f() vớ trục, từ đó suy ra số ghệm, khoảg ghệm. Trườg hợp f() phức tạp - Bế đổ tươg đươg f()= <=> g() = h() - Vẽ đồ thị của g(), h() - Hoàh độ gao đểm của g() và h() là ghệm phươg trìh, từ đó suy ra số ghệm, khoảg ghệm. * Địh lý : Gả sử f() lê tục trê (a,b) và có f(a)*f(b) <. Kh đó trê (a,b) tồ tạ một số lẻ ghệm thực (a,b) của phươg trìh f() =. Nghệm là duy hất ếu f () tồ tạ và khôg đổ dấu trê (a,b). Ví dụ.: Gả : Tách ghệm cho phươg trìh : 3 - + 5 = f() = 3 - + 5 = f () = 3 -, f '( ) = <=> = ± / 3 Bảg bế thê : 7

Mô: Phươg pháp tíh - / 3 / 3 + f () + - + f() Ví dụ.: Gả : y CĐ > + - CT Từ bảg bế thê, phươg trìh có ghệm < / 3 f(-)*f(-) <, vậy phươg trìh trê có ghệm (, ). Tách ghệm cho phươg trìh : + - 4 = + - 4 = = - + 4 Áp dụg phươg pháp đồ thị : * Địh lý : Từ đồ thị suy ra phươg trìh trê có ghệm (,). Gả sử α là ghệm đúg và là ghệm gầ đúg của phươg trìh f() =, cùg ằm trog khoảg ghệm [a, b] và f () m kh a b. Kh đó f ( ) α. m Ví dụ.3: Gả : Cho ghệm gầ đúg của phươg trìh 4 - - = là,. Hãy ước lượg sa số tuyệt đố là bao hêu? f() = f(,) =, 4 -, - = -,47 < f(,3) =,588 > ghệm phươg trìh (,;,3) 8

f () = 4 3-4*, 3 - = 6,64 = m (,;,3) Mô: Phươg pháp tíh Theo địh lý : =,47/6,64 =,8 (vì α,8 )..3. TÁCH NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Xét phươg trìh đạ số : * Địh lý 3: Cho phươg trìh () có m ma{ a } f ( ) = a + a +... + a + a = () = =, { a } m = ma =, Kh đó mọ ghệm của phươg trìh đều thỏa mã : * Địh lý 4: a m = + = m + a a Cho phươg trìh () có a >, a m là hệ số âm đầu tê. Kh đó mọ ghệm dươg của phươg trìh đều N = + m a / a, vớ a = ma{ a } =, sao cho a <. Ví dụ.4: Gả : * Địh lý 5: Cho phươg trìh : 5 5-8 3 + - + 6 = Tìm cậ trê ghệm dươg của phươg trìh trê. Ta có a = -8 là hệ số âm đầu tê, ê m =, a = ma(8,) = 8 Vậy cậ trê ghệm dươg : N = + 8 / 5 Cho phươg trìh (), ét các đa thức : ϕ ϕ ( ) = f (/ ) = a + a +... + a ( ) = f ( ) = ( ) ( a a + a... + ( ) a ) 3 = f = a a + a + a ϕ ( ) ( / ) ( ) (... ( ) ) Gả sử N, N, N, N 3 là cậ trê các ghệm dươg của đa thức f(), φ (), φ (), φ 3 (). Kh đó mọ ghệm dươg của phươg trìh () đều ằm trog khoảg [/N, N ] và mọ ghệm âm ằm trog khoảg [-N,-/ N 3 ] Ví dụ.5: Xét phươg trìh : 3 + - 5 = N = + 5 / 3 (địh lý 4) 9

Mô: Phươg pháp tíh φ () = 3 + - 5 N khôg tồ tạ (a < ) φ () = 3 - - 5 N = + 5/3(địh lý 4) φ 3 () = 3 - - 5 N 3 khôg tồ tạ (a < ) Vậy : mọ ghệm dươg < + 5 / 3.4. CHÍNH XÁC HÓA NGHIỆM.4.. Phươg pháp cha đô a. Ý tưởg mọ ghệm âm > ( + 5 / 3) = 8 / 3 Cho phươg trìh f() =, f() lê tục và trá dấu tạ đầu [a,b]. Gả sử f(a) <, f(b) > (ếu gược lạ thì ét f()= ). Theo địh lý, trê [a,b] phươg trìh có ít hất ghệm µ. Cách tìm ghệm µ: Như vậy: Đặt [a, b ] = [a, b] và lập các khoảg lồg hau [a,b ] (=,, 3, ) [ a, b ] [ a,( a b ) / ] [( a + b ) /, b ] + = ếu f (( a + b ) / ) > f (( a + b ) / ) < - Hoặc hậ được ghệm đúg ở một bước ào đó: µ = (a - + b - )/ ếu f((a - + b - )/) = - Hoặc hậ được dãy {a } và {b }, trog đó: {a }: là dãy đơ đệu tăg và bị chặ trê {b }: là dãy đơ đệu gảm và bị chặ dướ Nê lm a = lm b = µ là ghệm phươg trìh. α Ví dụ.6: Gả: α Tìm ghệm phươg trìh: + - 4 = bằg phươg pháp cha đô - Tách ghệm: phươg trìh có ghệm (,) - Chíh ác hoá ghệm: áp dụg phươg pháp cha đô ( f() < ) Bảg kết quả: a b a f +.5 - + b

Mô: Phươg pháp tíh.5.5 -.375.5 +.375.438 +.375.46 +.375.39 -.383.39 +.383.387 -.385.387 -.386.387 lm a = lm b =.386 α Kết luậ: Nghệm của phươg trìh:.386 b. Thuật toá - Kha báo hàm f() (hàm đa thức, hàm sêu vệt) - Nhập a, b sao cho f(a)< và f(b)> - Lặp c = (a+b)/ ếu f(c) > b = c gược lạ a = c trog kh ( ε ) - Xuất ghệm: c..4.. Phươg pháp lặp a. Ý tưởg f ( c) > / * a b > ε và f(c)!= */ Bế đổ tươg đươg: f() = <=> = g() Chọ gá trị ba đầu khoảg ghệm (a,b), tíh = g( ), = g( ),, k = g( k- ). Như vậy ta hậ được dãy { }, ếu dãy ày hộ tụ thì tồ tạ gớ hạ lm = η (là ghệm phươg trìh). b. Ý ghĩa hìh học Hoàh độ gao đểm của đồ thị y= và y=g() là ghệm phươg trìh

Mô: Phươg pháp tíh Hìh a Trườg hợp hìh a: hộ tụ đế ghệm µ Hìh b Trườg hợp hìh b: khôg hộ tụ đế ghệm µ (phâ ly ghệm) Sau đây ta ét địh lý về đều kệ hộ tụ đế ghệm sau một quá trìh lặp Địh lý (đều kệ đủ) Gả sử hàm g() ác địh, khả v trê khoảg ghệm [a,b] và mọ gá trị g() đều thuộc [a,b]. Kh đó ếu q > sao cho g () q < (a,b) thì: Lưu ý: + Quá trìh lặp hộ tụ đế ghệm khôg phụ thuộc vào [a,b] + Gớ hạ lm = η là ghệm duy hất trê (a,b). - Địh lý đúg ếu hàm g() ác địh và khả v trog (-,+ ), trog kh đó đều kệ địh lý thoả mã. - Trog trườg hợp tổg quát, để hậ được ấp ỉ vớ độ chíh ác ε cho trước, ta tế hàh phép lặp cho đế kh ấp ỉ lê tếp thoả mã: Ví dụ.7: Gả: + q q ε Tìm ghệm: 3 - - = bằg phươg pháp lặp. - Tách ghệm: phươg trìh có một ghệm (,) - Chíh ác hoá ghệm: Chọ 3 - - = = 3 - ; 3 g( ) = + + 3 = ; = +

g '( ) = 3 <, 3 ( + ) ( ) => áp dụg phươg pháp lặp (chọ = ) 3 g( ) = + Mô: Phươg pháp tíh.6.6.3.3.3.3.34.34.35.35.35 4-5 < ε = -3 Nghệm phươg trìh.35 c. Thuật toá - Kha báo hàm g() - Nhập - Lặp: y = = g() trog kh - y > ε - Xuất ghệm: (hoặc y).4.3. Phươg pháp tếp tuyế a. Ý tưởg Chọ khoảg ghệm (a, b). Tếp tuyế tạ A (, f( )) cắt trục tạ đểm có hoàh độ, Tếp tuyế tạ A (, f( )) cắt trục tạ đểm có hoàh độ,, Tếp tuyế tạ A k ( k, f( k )) cắt trục tạ đểm có hoàh độ k, Cứ tếp tục quá trìh trê ta có thể tế dầ đế ghệm µ của phươg trìh. * Xây dựg côg thức lặp: Phươg trìh tếp tuyế tạ A k ( k, f( k )) y - f( k ) = f ( k )*( - k ) Tếp tuyế cắt trục tạ đểm có toạ độ ( k+, ) Do vậy: f( k ) = f ( k )*( k+ - k ) 3

Mô: Phươg pháp tíh k+ = k b. Ý ghĩa hìh học f ( k ) f ' ( ) k Địh lý (đều kệ hộ tụ theo Furer - đều kệ đủ) Gả sử [a,b] là khoảg ghệm của phươg trìh f() =. Đạo hàm f (), f () lê tục, khôg đổ dấu, khôg têu dệt trê [a,b]. Kh đó ta chọ ấp ỉ ghệm ba đầu [a,b] sao cho f( )*f ( ) > thì quá trìh lặp sẽ hộ tụ đế ghệm. Ví dụ.8: Gả: Gả phươg trìh: 3 + - 5 = bằg phươg pháp tếp tuyế - Tách ghệm: f() = 3 + - 5 f () = 3 + > lm f ( ) = ; lm f ( ) = + + Phươg trìh trê có ghệm duy hất. f()* f() = (-3)*5 < Vậy phươg trìh có ghệm duy hất (, ) - Chíh ác hoá ghệm: f () = 6 > (, ) f () > Thoả mã đều kệ hộ tụ Furer, áp dụg phươg pháp tếp tuyế. Chọ vớ = ( vì f(). f () > ) f()/f ().385 4

c. Thuật toá.65.94.5.5.56..56 Vậy ghệm.56 - Kha báo hàm f(), fdh() - Nhập - Lặp y= = y f(y)/fdh(y) trog kh - y > ε - Xuất ghệm: (hoặc y).4.4. Phươg pháp dây cug a. Ý tưởg Mô: Phươg pháp tíh Gả sử [a, b] là khoảg ghệm phươg trìh f() =. Gọ A, B là đểm trê đồ thị f() có hoàh độ tươg ứg là a, b. Phươg trìh đườg thẳg qua đểm A(a,f(a)), B(b, f(b)) có dạg: y f ( a) a = f ( b) f ( a) b a Dây cug AB cắt trục tạ đểm có toạ độ (, ) Do đó: f ( a) a = f ( b) f ( a) b a ( b a) f ( a) = a f ( b) f ( a) Nếu f(a)*f( ) <, thay b = ta có khoảg ghệm mớ là (a, ) Nếu f(b)*f( ) <, thay a = ta có khoảg ghệm mớ là (, b) Tếp tục áp dụg phươg pháp dây cug vào khoảg ghệm mớ ta được gá trị. Lạ tếp tục hư thế ta hậ được các gá trị 3, 4, càg tế gầ vớ gá trị ghệm phươg trìh. b. Ý ghĩa hìh học 5

Mô: Phươg pháp tíh Ví dụ.9: Gả: c. Thuật toá Gả phươg trìh 3 + - 5 = bằg phươg pháp dây cug. - Tách ghệm: Phươg trìh có ghệm (, ) - Chíh ác hoá ghệm: f() = - 3 < ; f() = 5 > Bảg kết quả: a b f().333 -.447.333.379 -..379.385 -.3.385.386 -..386.386 Vậy ghệm phươg trìh:.386 - Kha báo hàm f() - Nhập a, b - Tíh = a (b - a)f(a) / (f(b) - f(a)) - Nếu f()*f(a) <. Lặp Ngược lạ b = = a (b - a)f(a) / (f(b) - f(a)) trog kh - b > ε Lặp a = 6

Mô: Phươg pháp tíh = a (b - a)f(a) / (f(b) - f(a)) trog kh - a > ε - Xuất ghệm: 7

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG Mô: Phươg pháp tíh. Trìh bày các bước tìm ghệm gầ đúg của phươg trìh.. Trìh bày cách tách ghệm bằg phươg pháp đồ thị. 3. Trìh bày cách tách ghệm cho phươg trìh đạ số. 4. Có bao hêu phươg pháp chíh ác hóa ghệm? Lệt kê các phươg pháp đó? 5. Trìh bày ý tưởg của phươg pháp cha đô để chíh ác hóa ghệm. 6. Trìh bày thuật toá phươg pháp cha đô để chíh ác hóa ghệm. 7. Trìh bày ý tưởg phươg pháp lặp để chíh ác hóa ghệm. 8. Trìh bày thuật toá phươg pháp lặp để chíh ác hóa ghệm. 9. Trìh bày ý tưởg phươg pháp tếp tuyế để chíh ác hóa ghệm.. Trìh bày thuật toá phươg pháp tếp tuyế để chíh ác hóa ghệm.. Trìh bày ý tưởg phươg pháp dây cug để chíh ác hóa ghệm.. Trìh bày thuật toá phươg pháp dây cug để chíh ác hóa ghệm. 3. Tìm ghệm gầ đúg các phươg trìh: a. 3 + 5 = b. 3 = c. s + /4 = d. 4 4 = bằg phươg pháp cha đô vớ sa số khôg quá - 3 4. Tìm ghệm gầ đúg các phươg trìh: a. 3 + 5 = b. 4 4 = bằg phươg pháp dây cug vớ sa số khôg quá - 5. Tìm ghệm gầ đúg các phươg trìh: a. e + 7 = b. 3 + 5 = bằg phươg pháp tếp tuyế vớ sa số khôg quá -3 6. Dùg phươg pháp lặp tìm ghệm dươg cho phươg trìh 3 = vớ sa số khôg quá -3 7. Tìm ghệm dươg cho phươg trìh: 3 + =. 8. Tìm ghệm âm cho phươg trìh: 4-3 + 75 =. 9. Dùg các phươg pháp có thể để tìm ghệm gầ đúg cho phươg trìh sau: cos + 5 =. Vết chươg trìh tìm ghệm cho có dạg tổg quát: f() = a + a - + + a - + a = a. Áp dụg phươg pháp cha đô 8

b. Áp dụg phươg pháp dây cug Mô: Phươg pháp tíh. Vết chươg trìh tìm ghệm cho phươg trìh e + 7 = bằg phươg pháp tếp tuyế.. Vết chươg trìh ác địh gá trị, theo địh lý 3. 3. Vết chươg trìh tìm cậ trê của ghệm dươg phươg trìh đạ số theo địh lý 4. 9

Mô: Phươg pháp tíh CHƯƠNG.3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 3.. GIỚI THIỆU Cho hệ phươg trìh tuyế tíh: a + a +... + a = a a + a +... + a = a... a + a +... + a = a + + + Hệ phươg trìh trê có thể được cho bở ma trậ: A a a a a...... a a a a...... a a... a a =,,..., + + + = + Vấ đề: Tìm vectơ ghệm ( ) * Phươg pháp: - Phươg pháp đúg (Krame, Gauss, kha că): Đặc đểm của các phươg pháp ày là sau một số hữu hạ các bước tíh, ta hậ được ghệm đúg ếu trog quá trìh tíh toá khôg làm trò số. - Phươg pháp gầ đúg (Gauss Sedel, gảm dư): Thôg thườg ta cho ẩ số một gá trị ba đầu, từ gá trị ày tíh gá trị ghệm gầ đúg tốt hơ theo một qu tắc ào đó. Quá trìh ày được lặp lạ hều lầ và vớ một số đều kệ hất địh, ta hậ được ghệm gầ đúg. 3.. PHƯƠNG PHÁP KRAME - Kha báo hàm Dt tíh địh thức ma trậ vuôg cấp - Nhập, a j ( =, ; j =, + ) - d = Dt (A) - Xét: + d = + d {d = Dt(A ); = d /d} 3.3. PHƯƠNG PHÁP GAUSS 3.3.. Nộ dug phươg pháp - Bế đổ Ma trậ A về ma trậ tam gác trê

Ví dụ 3.: A a a a a...... a a a a...... a a... a a + + = + a a... a a a '... a ' a' A' =......... a ' a ' + + + Cách bế đổ A A : Thực hệ - lầ bế đổ Lầ bế đổ (làm cho a j = ; j = + ) bằg cách: dòg j = dòg j + dòg * m (m = -a j / a j ) - Tìm ghệm theo quá trìh gược: -.... Gả hệ phươg trìh: + 4 + 3 3 = 4 3 + 3 = 4 + + 7 3 = 7 4 3 4 A = 3 4 7 7 Mô: Phươg pháp tíh Nhâ hàg vớ -3 và hâ hàg vớ rồ cộg vớ hau, hâ hàg vớ - rồ cộg vớ hàg 3 của ma trậ A ta được: 4 3 4 3 6 3 Nhâ hàg vớ 3 và hâ hàg 3 vớ rồ cộg vớ hau ta được: 3.3.. Thuật toá 4 3 4 3 6 9 58 3 = ; = -; =. - Nhập, a j ( =,, j =, + ) (hập trực tếp hoặc từ fle)

- Bế đổ A A (ma trậ tam gác trê) + Lặp = - + Xét a j = Tìm j sao cho a j. + Lặp j = + m = -a j /a + Lặp k = +; a jk = a k * m. - Tìm ghệm = a+ aj j / a = j= + Lặp = s = Lặp j = + ; S = S + a j * j. = (a + - s)/a - Xuất ( = ). Hoá đổ dòg và j cho hau. ( ) 3.4. PHƯƠNG PHÁP LẶP GAUSS - SIEDEL (TỰ SỬA SAI) 3.4.. Nộ dug phươg pháp Bế đổ hệ phươg trìh về dạg: = B + g = (,,..., ) trog đó: g = g, g,..., g Cách bế đổ: B = ( ) { bj } a + a +... + a = a a + a +... + a = a... a + a +... + a = a + + + Mô: Phươg pháp tíh = a+ a j j / a ( j ) j=... = a+ aj j / a( j ) j=

Tổg quát: = a+ aj j / a ( j ) (*) j= =,,..., =,,..., Cho hệ phươg trìh ấp ỉ ghệm ba đầu: ( ) vào (*) để tíh: ( ) Thay = a+ aj j / a ( j ) j= Tươg tự, tíh, 3 Tổg quát: k+ k = a+ aj j / a ( j ) j= Quá trìh lặp sẽ dừg kh thoả mã têu chuẩ hộ tụ tuyệt đố: k k k Kh đó k (,,..., ) Đều kệ hộ tụ: k k + < ε ( =, ) = là ghệm của hệ phươg trìh. Hệ phươg trìh có ma trậ lặp B thoả mã: r = ma b < j= hoặc r = ma bj < hoặc r 3 j = bj = j= j = < thì quá trìh sẽ hộ tụ đế ghệm. Ví dụ 3.: Gả hệ phươg trìh 8 =,,3 + =,,3 +, 3 =,, +,8 Mô: Phươg pháp tíh 3

Mô: Phươg pháp tíh Do g = 3 j= ( ;, ;,8),, B =,,,, r = ma bj =,3 < thỏa mã đều kệ hộ tụ ê áp dụg phươg pháp Gauss - Sedel: Chọ = ( ;;) Tươg tự tíh, 3... Bảg kết quả: ;, ;,8 thay vào có = ( ) 3.68.754.733.738.737..94.6.997...8.58.638.63.67.66.737..66 =, 737;,;, 66 Nghệm hệ phươg trìh là ( ) vì < ( =,3) 7 6 3 3.4.. Thuật toá - Nhập, a j ( =, j = +) - Nhập = ( = ) - Lặp t= lap = {S = lap j = do f (j ) S = S + a j * j y = (a + - S ) / a f ( [] - [] > = ε) t = 4

Mô: Phươg pháp tíh = y } trog kh (t) - Xuất ( = ) 3.5. PHƯƠNG PHÁP GIẢM DƯ 3.5.. Nộ dug phươg pháp Bế đổ hệ phươg trìh về dạg: a + a a... a = a+ a a... a =... a+ a a... a = Cha dòg cho a b + b b3 3... = b + b b33... =... b + b b... = =,,..., Cho vectơ ghệm ba đầu ( ) () () Vì khôg phả là ghệm ê: b + b b3 3... = R b + b b33... = R... b + b b... = R R, R,..., R là các số dư do sự sa khác gữa vớ ghệm thực của hệ phươg trìh. Tìm Rs ma { R, R,..., R } s = và làm trệt têu phâ tử đó bằg cách cho s s s s s một số ga δ = R ghĩa là = + R. Tíh lạ các số dư: R s = s δ s s s ( ) R = R b * = R b * R = 5

k Mô: Phươg pháp tíh k Cứ tếp tục quá trìh lặp trê cho đế kh: R ε (, ) k (, k,..., k ) X = là ghệm của hệ phươg trìh. Ví dụ 3.3: Gả hệ phươg trìh: 6 7 8 Bế đổ về hệ phươg trìh tươg đươg,6 +, +,3 =,3 +, +,3 =,8 +, +, 3 = =,, R =, 6;, 7;,8 Cho ( ) ( ) { } R3 = ma R =,3 3 = 3 + 3 =,8 R 3 3 3 3 R = R + b. R =,7 +,.,8 =.78 R = R + b. R =,6 +,.,8 =,76 R = (, 76;,78; ) Tươg tự ta có bảg kết quả: 3 R R R 3.9.99.78.96.99.8.99.6.76.9.4.7...7.78.8..3..8.8.7.9.. < = thì 6

Mô: Phươg pháp tíh Vậy ghệm của hệ phươg trìh là = (; ; ) 3.5.. Thuật toá - Nhập, a j, - Bế đổ hệ phươg trìh () về dạg () for (=, <=, ++) { for (j=, j<=+; j ++) } a[,] = f (! = j) - Tíh r[] ba đầu ( = ) - Lap for = do { r[] =a [, +] a[,j] = a [,j]/a[,] for j = do r[] = r [] - a[,j] * [j] } t = /* cho thoat*/ /* Tìm r s = ma { r[] } ( = ) & tíh lạ s */ ma = r[] ; k = for = do f (ma < r[] ) { ma = r[]; k= } [k] = [k] + r[k] /* Tíh lạ R[] kểm tra khả ăg lặp tếp theo */ d = r[k] trog kh ( t ) for = { r[] = r[] - a[, k] * d - Xuất ghệm: [] ( = ) Lưu ý: f ( r[] >=ε) th t = /* cho lap*/ - Phươg pháp chỉ thực hệ được kh a, ếu khôg phả đổ dòg. - Quá trìh hộ tụ khôg phụ thuộc vào mà chỉ phụ thuộc vào bả chất của hệ phươg trìh. - Mọ hệ phươg trìh có gá trị rêg λ đều hộ tụ đế ghệm một cách hah chóg. 7

Mô: Phươg pháp tíh - Nếu các phầ tử a càg lớ hơ các phầ tử trê dòg bao hêu thì quá trìh hộ tụ càg hah. 8

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 3. Trìh bày thuật toá phươg pháp Krame gả hệ.. Trìh bày ộ dug phươg pháp Gauss gả hệ. 3. Trìh bày thuật toá phươg pháp Gauss gả hệ. 4. Trìh bày ộ dug phươg pháp Gauss - Sedel gả hệ. 5. Trìh bày thuật toá phươg pháp Gauss - Sedel gả hệ. 6. Trìh bày ộ dug phươg pháp gảm dư gả hệ. 7. Trìh bày thuật toá phươg pháp gảm dư gả hệ. 8. Gả hệ phươg trìh sau bằg phươg pháp Gauss Jorda:,,8y =,,5, 5y =, 9. Gả hệ phươg trìh sau bằg phươg pháp Gauss Jorda: + y + z = + y + 3z = 3 + 4y + 5z =. Gả hệ phươg trìh sau bằg phươg pháp Gauss Jorda: y + z = y + z = 5 + y + z =. Gả hệ phươg trìh sau bằg phươg pháp Gauss Jorda: y + z = y + z = 5 + y z =. Gả hệ phươg trìh sau bằg phươg pháp Gauss Jorda: 3y 4z = 6 + 4y + 5z = 9 + 4y + z = 3 3. Gả hệ phươg trìh sau bằg phươg pháp Gauss Jorda: + y 3z = 3 y + z = 7 5 + 3y + 4z = 4. Gả hệ phươg trìh sau bằg phươg pháp Gauss Jorda: y + 3z = 6 + y z = 5 3y + z = 5. Gả hệ phươg trìh sau bằg phươg pháp Gauss Jorda: Mô: Phươg pháp tíh 9

3 + 4y z + t = 3 y z = 5 6y + t = 9 + y + z = Mô: Phươg pháp tíh 6. Gả hệ phươg trìh sau bằg phươg pháp Gauss Jorda: 3y 4z = 6 + 4y + 5z = 9 + 4y + z = 3 7. Gả hệ phươg trìh sau bằg phươg pháp Gauss Jorda: + y 3z = 3 y + z = 7 5 + 3y + 4z = 8. Gả hệ phươg trìh sau bằg phươg pháp Gauss (các phép tíh lấy đế 5 số lẻ thập phâ):, 4,5,3 = 9,7 3, +,5 + 4,33 = 3, 6, + 3,5 +,53 = 8, 5 9. Gả hệ phươg trìh sau bằg phươg pháp Gauss (các phép tíh lấy đế 5 số lẻ thập phâ): 3,,5 +,53 =,8 8 +,5 5,3 = 5,5, + 4,,,5 3 = 4,6. Gả hệ phươg trìh sau bằg phươg pháp Gauss (các phép tíh lấy đế 5 số lẻ thập phâ): 8,64 +,7 + 5,43 =, 6,39 + 4, 5 +,84 3 = 3, 4 4, + 7,9 3, 43 =, 9. Gả hệ phươg trìh sau bằg phươg pháp Gauss (các phép tíh lấy đế 5 số lẻ thập phâ): 5,5 + 7, + 6, 3 = 3 7, +,5 + 8, 3 = 3 6, + 8, +,53 = 33. Gả hệ phươg trìh sau bằg phươg pháp Gauss (các phép tíh lấy đế 5 số lẻ thập phâ): 3

,5 +, 4 +,33 +, 4 = 5,8,4 +,6 +, 3 +,3 4 = 5,9,3 +, +,7 3 +, 44 = 6,6, +,3 +, 43 +,5 4 = 5,8 3. Gả hệ phươg trìh sau bằg phươg pháp Gauss Jorda: + 3 = + 3 = 5 + 33 = Mô: Phươg pháp tíh 4. Có 3 loạ thực phẩm: - Loạ chứa đơ vị vtam A, đơ vị vtam B, 3 đơ vị vtam C - Loạ chứa đơ vị vtam A, đơ vị vtam B, 3 đơ vị vtam C - Loạ 3 chứa 3 đơ vị vtam A, đơ vị vtam B, đơ vị vtam C. Ngườ ta muố chọ một khẩu phầ cug cấp đơ vị vtam A, 9 đơ vị vtam B, đơ vị vtam C. a. Tìm tất cả số lượg thực phẩm của mỗ loạ có thể có đảm bảo đầy đủ hu cầu về vtam hư trê. b. Nếu gá đơ vị của các loạ thực phẩm lầ lượt là 6 đồg, 55 đồg, 5 đồg thì có khẩu phầ ào trị gá đồg? 5. Một í ghệp đệ tử sả uất loạ Board cho máy. Cả loạ đều được ử lý trog phâ ưởg A và B. Thờ gacầ thết cho mỗ loạ trog mỗ phâ ưởg cho bở bảg sau (đơ vị: phút) Loạ Loạ Phâ ưởg A 4 3 Phâ ưởg B Có 3 côg hâ trog phâ ưởg A và chỉ có côg hâ ở trog phâ ưởg B. Tìm sả lượg của mỗ loạ trog gờ., + =,999 6. Cho hệ phươg trìh 5 =, a) Gả bằg cách cộg ha phươg trìh. b) Gả hệ bằg Gauss. Có đều gì bất thườg khôg? 3

Mô: Phươg pháp tíh CHƯƠNG.4. NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT 4.. GIỚI THIỆU Trog toá học ta thườg gặp các bà toá lê qua đế khảo sát và tíh gá trị các hàm y = f() ào đó. Tuy hê trog thực tế có trườg hợp ta khôg ác địh được bểu thức của hàm f() mà chỉ hậ được các gá trị rờ rạc: y, y,..., y tạ các đểm tươg ứg,,...,. Vấ đề đặt ra là làm sao để ác địh gá trị của hàm tạ các đểm cò lạ. Ta phả ây dựg hàm φ() sao cho: φ( ) = y = f( ) vớ =, φ() f() thuộc [a, b] và - Bà toá ây dựg hàm φ() gọ là bà toá ộ suy. - Hàm φ() gọ là hàm ộ suy của f() trê [a, b]. - Các đểm ( =, ) gọ là các mốc ộ suy. Hàm ộ suy cũg được áp dụg trog trườg hợp đã ác địh được bểu thức của f() hưg ó quá phức tạp trog vệc khảo sát, tíh toá. Kh đó ta tìm hàm ộ suy ấp ỉ vớ ó để đơ gả phâ tích và khảo sát hơ. Trog trườg hợp đó ta chọ + đểm bất kỳ làm mốc ộ suy và tíh gá trị tạ các đểm đó, từ đó ây dựg được hàm ộ suy (bằg côg thức Lagrage, côg thức Newto, ). Trườg hợp tổg quát: hàm ộ suy φ() khôg chỉ thoả mã gá trị hàm tạ mốc ộ suy mà cò thoả mã gá trị đạo hàm các cấp tạ mốc đó. φ ( ) = f ( ); φ ( ) = f ( ); φ ( ) = f ( ); φ ( ) = f ( ); Nghĩa là ta tìm hàm ộ suy của f() thỏa mã hữg gá trị sau: y = f( ) y y y y = f( ) y y y y = f( ) y y y 3

4.. ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE Gả sử f() hậ gá trị y tạ các đểm tươg ứg (, ) Mô: Phươg pháp tíh =, kh đó đa thức ộ suy Lagrage của f() là đa thức bậc và được ác địh theo côg thức sau: L ( ) y p ( ) = = ( )( )...( )( )...( ) TS( ) p ( ) = = (*) ( )( )...( )( )...( ) MS + + (*) là đa thức bậc đố vớ và thỏa mã: kh j = p( ) = kh j Đặt W() = ( - )( - )... ( - ) W ( ) Suy ra: TS( ) = ; MS = W ( ) L ( ) = W ( ) = y ( ) W '( ) 4... Nộ suy bậc hất (ộ suy tuyế tíh) Kh = ta có bảg số lệu hư sau: y = f() y y Đa thức ộ suy bậc hất có dạg: L () = y.p () + y.p () Trog đó: p ( ) = Suy ra: p ( ) = ( ). L y y. = + = A + B 4... Nộ suy bậc ha Kh = ta có bảg số lệu hư sau: 33

Mô: Phươg pháp tíh y = f() y y y Đa thức ộ suy bậc ha có dạg: L () = y.p () + y.p () + y.p () Trog đó: Suy ra: p ( ) = p ( ) = p ( ) = L ( ) = A + B + C ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) vớ A, B, C là hằg số. 4..3. Nộ suy bậc ba Kh = 3 ta có bảg số lệu hư sau: 3 y = f() y y y y 3 Đa thức ộ suy bậc ba có dạg: L 3 () = y.p () + y.p () + y.p () + y 3.p 3 () Trog đó: Suy ra: p ( ) = p ( ) = p ( ) = p ( ) = 3 3 L3 ( ) = A + B + C + D vớ A, B, C, D là hằg số. Ví dụ 4.: ( )( )( 3 ) ( )( )( ) 3 ( )( )( 3 ) ( )( )( ) 3 ( )( )( 3 ) ( )( )( ) 3 ( )( )( ) ( )( )( ) 3 3 3 34

Mô: Phươg pháp tíh Cho hàm f() thoả mã: 4 f( ) 3 - Tìm hàm ộ suy của f(), tíh f(5) Gả: Vì = 3 ê đa thức ộ suy bậc ba có dạg: L 3 () = y.p () + y.p () + y.p () + y 3.p 3 () Trog đó: Suy ra: ( )( )( ) ( )( )( ) 3 4 7 + 4 8 p ( ) = = 3 6 ( )( )( ) ( )( )( ) 3 4 6 + 8 p( ) = = 4 3 ( )( )( ) ( )( )( ) 3 4 5 + 4 p( ) = = 4 4 ( )( )( ) ( )( )( ) 3 3 + p3( ) = = 4 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L ( ) = y. p + y. p + y. p + y. p 3 3 3 =. p + 3. p. p +. p 3 Thay vào ta được một đa thức bậc 3. Từ đó, thay = 5 vào ta có được gá trị hàm f(5). 4.3. ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE VỚI CÁC MỐI CÁCH ĐỀU Gả sử hàm f() hậ gá trị y tạ các đểm tươg ứg ( = ) cách đều một khoảg h. Đặt kh đó: t = h - = h.t - = h. - = h.(t - ) - = h.( - ) 35

Mô: Phươg pháp tíh - - = h.(t - + ) - - = h - + = h.(t - - ) - + = -h - = h.(t - ) - = -h.( - ) t( t )...( t + )( t )...( t ) p( + ht) = ( )...( )...( ) t( t )...( t ) = ( t ).!.( )!.( ) L ( + ht) = t( t )...( t ) = = y ( ) ( t )!( )! t( t )...( t ) y ( ). C L ( + ht) =! ( t ) vớ C là tổ hợp của phầ tử. Ví dụ 4.: Tìm hàm ộ suy của f() thoả mã: 4 f( ) 5 - Gả: t( t )( t ) 5C C C L ( t) = +! t t t t( t )( t ) 5 4 = + + t t t 5( t )( t ) 4 t ( t ) t ( t ) = + + 4 5 t t t t 5 = + = + Vậy hàm ộ suy của f() là: 5 L ( ) = 6 + 5 4 36

Mô: Phươg pháp tíh 4.4. NỘI SUY NEWTON 4.4.. Sa phâ Cho hàm f() và h là hằg số, kh đó: f() = f ( + h) - f() :được gọ là sa phâ cấp đố vớ bước h. f() = [f()] :sa phâ cấp Tổg quát: k f() = [ k- f()] :sa phâ cấp k Cách lập bảg sa phâ: f( ) f( ) f( ) 3 f( )... f( ) y y f( ) y f( ) f( ) 3 y 3 f( ) f( ) 3 f( ).................. y f( )......... f( ) 4.4.. Côg thức ộ suy Newto Gả sử hàm f() hậ gá trị y tạ các mốc cách đều một khoảg h. Kh đó hàm ộ suy Newto là một đa thức bậc được ác địh hư sau: L ( ) = C ϕ ( ) + C ϕ ( ) +... + C ϕ ( ) ϕ ( ) = ; ( )( ) Trog đó: ϕ( ) = ; ϕ( ) = ; h h! ( )( )...( ) ϕ( ) = ; h! Lớp các hàm φ () có tíh chất sau: ϕ ( ) = =, ϕ ( ) = ( ) k ϕk * Xác địh các hệ số C ( =, ) Sa phâ cấp của L (): () L ( ) = C ϕ ( ) + C ϕ ( ) + C ϕ ( ) +... + C ϕ ( ) = C ϕ ( ) + C ϕ ( ) +... + C ϕ ( ) (*) 37

Mô: Phươg pháp tíh Sa phâ cấp của L (): () L ( ) = C ϕ ( ) + C ϕ ( ) +... + C ϕ ( )......... Sa phâ cấp của L (): () L ( ) = C ϕ( ) = C = C ϕ ( ) + C ϕ ( ) +... + C ϕ ( ) 3 Thay = vào (*), (), (),..., () ta được: = = = = C L ( ); C L ( ); C L ( );...; C L ( ) Vì L () f() ê: L ( ) f( ); L ( ) f( ); L ( ) f( );...; L ( ) f( ) Vậy: L ( ) ( )( ) f ( ) + f ( ) + f ( ) h h! ( )( )...( ) +... + f ( ) h! Ví dụ 4.3: Xây dựg hàm ộ suy thỏa mã: 3 4 5 y 4 5 7 8 Gả: Lập bảg sa phâ: f( ) f( ) f( ) 3 f( ) 4 f( ) 4 3 5-4 7 5 8 - - -4 Hàm ộ suy Newto: 38

Mô: Phươg pháp tíh L ( ) = ( )( ) ( )( )( ) + +.! 3! ( )( )( )( 3) 4 4! 4.5. NỘI SUY TỔNG QUÁT Xây dựg hàm ộ suy của f() thỏa mã gá trị hàm và gá trị đạo hàm các cấp theo bảg gá trị sau:... y =f( ) y y... y y =f ( ) y y... y y =f ( ) y y... y............... y k =f k ( ) (k) (k) y y Gả sử hàm ộ suy cầ tìm là đa thức bậc m: H m () k =... y (k) m = + S (S : Số gả thết được cho ở đạo hàm cấp ) H m () = L () + W()H p () (Vì H m ( )=L ( )+W( )H p ( )=y ) Vớ W() = (- ).(- ).(- ) p = m - (+) Đạo hàm cấp : H m () = L () + W()H p () + W ()H p () Xét tạ các đểm : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H' = L + W H' + W H = y m p p H p ( ) Đạo hàm cấp : H m () = L () + W ()H p () + W ()H p () + W()H p () Xét tạ các đểm : ( ) = ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) H" m L" W' H' p W" Hp W H" p = y" H' p ( ) 39

Mô: Phươg pháp tíh Tươg tự: Đạo hàm đế cấp k suy ra H (k-) p ( ) Ta ác địh hàm H p () thỏa mã:... H p ( ) h h... h H p ( ) h h... h............... H p (k-) ( ) (k-) (k-) h h... h (k-) Về bả chất, bà toá tìm hàm H p () hoà toà gốg bà toá tìm hàm H m (). Tuy hê ở đây bậc của ó gảm đ (+) và gả thết về đạo hàm gảm đ một cấp. Tếp tục gả tươg tự hư trê, cuố cùg đưa về bà toá tìm hàm ộ suy Lagrage (khôg cò đạo hàm). Sau đó thay gược kết quả ta được hàm ộ suy Hecmt cầ tìm H m (). Ví dụ 4.4: Tìm hàm ộ suy của hàm f() thoả mã: 3 f( ) 4 f ( ) 5-3 Gả: Hàm ộ suy cầ tìm là đa thức H 4 (). H 4 () = L () + W()H () W() = (-).(-).(-3) = 3-4 + 3 ( ) 4( )( 3) ( 3) L ( ) = + = 7 + 3 3 ( ) 7 H ' 4( ) = + 3 8 + 3 H( ) + W ( ) H ' ( ) 3 3 7 H ' 4() = + 3 H() = 5 H() = 3 9 5 H ' 4() = H() = 3 H() = 3 3 Tìm hàm H () thỏa mã 4

Mô: Phươg pháp tíh H ( ) /9 /3 ( ) ( ) 6 + H( ) =. +. = H() = 9 ( ) 3 ( ) 9 3 Vậy H 4 7 + ( )( 3)( 6 + ) ( ) = + 3 9 4.6. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT Gả sử có đạ lượg (vật lý, hoá học, ) và y có lê hệ phụ thuộc hau theo một trog các dạg đã bết sau: y = f(a + b) y = a + b + c y = a + bcos + cs y = a.e b y = a. b Tuyế tíh Ph tuyế tíh hưg chưa ác địh được gá trị của các tham số a, b, c. Để ác địh được các tham số ày, ta tìm cách tíh một số cặp gá trị tươg ứg (, y ), =,,, bằg thực ghệm, sau đó áp dụg phươg pháp bìh phươg bé hất. * Trườg hợp: y = a + b Gọ ε sa số tạ các đểm ε = y - a - b Kh đó tổg bìh phươg các sa số: S = Mục đích của phươg pháp ày là ác địh a, b sao cho S là bé hất. Như vậy a, b là ghệm hệ phươg trìh: Ta có: S = a S = b () = ε 4

( ) S = y + a + b ay b y + ab S = + a = = ( a y b ) ( b y a ) S = + b Mô: Phươg pháp tíh a + b = y () a + b = y = = = = = Gả hệ phươg trìh ta được: a, b. * Trườg hợp y = a + b + c Gọ ε là sa số tạ các đểm. ε = y - a - b - c Kh đó tổg bìh phươg các sa số: S = Các hệ số a, b ác địh sao cho S là bé hất. Như vậy a, b, c là ghệm của hệ phươg trìh: = S a b c y + + = = a S = a + b + c = y b S = c a + b + c = y ε = = = 3 = = = = 3 4 = = = = Gả hệ phươg trìh ta được a, b, c. * Trườg hợp: y = ae b. Lấy Logart cơ số e ha vế: ly = la +b Đặt Y = ly; A = la; B = b; X =. Ta đưa về dạg: Y = A + BX Gả hệ phươg trìh ta được A, B => a = e A, b = B * Trườg hợp y = a b. Lấy Logart cơ số ha vế: logy = loga + blog Đặt Y = logy; A = loga; B = b; X = log 4

Mô: Phươg pháp tíh Ta đưa về dạg: Y = A + BX Gả hệ phươg trìh ta được A, B => a = A, b = B. Ví dụ 4.5: Cho bết các cặp gá trị của và y theo bảg sau:,65,75,85,95,5 y,96,6,7,9,58 Lập côg thức thực ghệm của y dạg ae b. Gả Ta có: y = ae b Lấy Logart cơ số e ha vế: ly = la + b Đặt Y = ly; A = la; B = b; X =. Ta đưa về dạg: Y = A + BX X =,65,75,85,95,5 Y = ly -,4,6,8,5,46 ƩX ƩX ƩX Y ƩY 4,35 3,93,9,89 Phươg pháp bìh phươg bé hất: A, B là ghệm hệ phươg trìh: A + B X = Y = = A X + B X = XY = = = 5A + 4.35B =.89 4.35A + 3.93B =.9 Gả hệ phươg trìh ta được: A = -.69, B =. Suy ra: a = e A = /, b = B =. Vậy f() = / e. 43

Mô: Phươg pháp tíh. Nêu côg thức ộ suy Lagrage. BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 4. Nêu côg thức ộ suy Lagrage vớ các mố cách đều. 3. Nêu côg thức ộ suy Newto. 4. Nêu côg thức ộ suy tổg quát. 5. Trìh bày phươg pháp bìh phươg bé hất vớ trườg hợp f là hàm tuyế tíh bậc hất f() = a + b. 6. Trìh bày phươg pháp bìh phươg bé hất vớ trườg hợp f là hàm tuyế tíh bậc ha f() = a + b + c. 7. Trìh bày phươg pháp bìh phươg bé hất vớ trườg hợp f là hàm ph tuyế tíh dạg f() = ae b. 8. Trìh bày phươg pháp bìh phươg bé hất vớ trườg hợp f là hàm ph tuyế tíh dạg f() = a b. 9. Cho bảg gá trị hàm,5,54,56,6,63,7 y 3,873 3,94 3,95 4, 4,37 4,3 Sử dụg côg thức ộ suy Lagrăg tìm gá trị hàm tạ các đểm: a),5. b),55. c),58. d),6.. Cho bảg gá trị hàm,,,,3,4,5,6,7,8,9, y,565,6375,747,7973,886,987,848,964,37,448,596 Sử dụg côg thức ộ suy Newto ác địh gá trị hàm tạ các đểm: a),3. b),48. c),959. d),978.. Cho gá trị của ha đạ lượg, y trog bảg sau: 3 4 5,56,84,4,44 3,6 y -,8 -.97 -,98,7 3,66 Tìm ấp ỉ hàm dướ dạg bậc : y = a + b + c. 44

Mô: Phươg pháp tíh. Cho bảg gá trị hàm 9 5 8 3 35 y,66,367,3,4,84,6 Tìm hàm ấp ỉ bằg phươg pháp bìh phươg bé hất sau đó đáh gá sa số của hàm ấp ỉ ếu: 3. Qua hệ gữa y và là tuyế tíh: y = a + b; 4. Qua hệ gữa y và là tam thức bậc ha: y = a + b + c; 5. Qua hệ gữa y và là hàm mũ: y = ae b. 6. Cho bảg số lệu: 3 4 y 6 6,5,5 Hãy lập đa thức ộ suy Lagrăg tươg ứg. 7. Ha đạ lượg và y phụ thuộc theo quy luật y = a + b. Hãy ác địh a, b bằg phươg pháp bìh phươg bé hất, bết: - 3 y,5,5,5 8. Cho hàm số f() thỏa mã: 4 y 5 - Xây dựg hàm ộ suy Newto. 9. Cho hàm số f() thỏa mã: - y 3-4 Xây dựg hàm ộ suy Newto.. Cho hàm số f() thỏa mã: 3 4 y 7 7,5 76,5 45

Mô: Phươg pháp tíh Xây dựg hàm ộ suy Newto.. Cho hàm số f() thỏa mã: 3 4 5 y 3 7 - Xây dựg hàm ộ suy Lagrăg của f(), tíh f(3,5).. Cho hàm số f() thỏa mã: 3 4 7 y 7, 7,5 76,5 97 Xây dựg hàm ộ suy Lagrăg của f(), tíh f(5). 46

Mô: Phươg pháp tíh CHƯƠNG.5. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 5.. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM Ngườ ta thườg dùg một số phươg pháp để tíh gầ đúg đạo hàm của hàm f() tạ trog đó phươg pháp áp dụg đa thức ộ suy thườg được dùg hất. Gả sử gườ ta phả tíh ấp ỉ đạo hàm của hàm số f() trê đoạ (a,b). Trước hết gườ ta thay hàm f() bằg đa thức ộ suy P(), sau đó lấy đạo hàm P'() và co là ấp ỉ của đạo hàm f'(). Ví dụ 5.: Gả sử ta ác địh được đa thức ộ suy là: P 3 () = 8 3-9 + 5 Kh đó, đạo hàm P 3 () = 4-9 được em là ấp ỉ của f (). 5.. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Xét hàm số f() lê tục trê [a,b], ếu ác địh được guyê hàm F() ta có côg thức tíh tích phâ: b f ( ) d = F ( b ) F ( a ) a Nhưg trog đa số các trườg hợp ta khôg ác địh được guyê hàm hoặc khôg ác địh được bểu thức của f() mà chỉ hậ được các gá trị của ó tạ hữg đểm rờ rạc. Trog trườg hợp hư vậy ta có thể sử dụg các côg thức gầ đúg sau để tíh tích phâ: - Côg thức hìh thag. - Côg thức Parabol. - Côg thức Newto - Cotet. 5... Côg thức hìh thag Cha [a, b] thàh đoạ bằg hau vớ khoảg cách h = (b - a)/ theo các đểm cha: = a, = a + h,..., = b. b f d = f d + f d + + f d = S ( ) ( ) ( )... ( ) = a a S là dệ tích gớ hạ bở đườg cog f(), = a, = b, và trục. 47

Mô: Phươg pháp tíh Xét trê [, ], ta em đườg cog f() là đườg thẳg: Tươg tự: Vậy: S S = h y + y ( ) h. thag S h y + y ( ) S h y + y ( ) b f ( ) d h y + y + y +... + y a + y 5... Côg thức Parabol ( ) Cha [a, b] thàh đoạ bằg hau vớ khoảg cách h = (b - a)/ theo các đểm cha: = a, = a + h,..., = b. b f d f d f d f d 4 ( ) = ( ) + ( ) +... + ( ) a Xét trê [, ] em đườg cog f() là Parabol (ộ suy bậc của 3 đểm,, ): ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) f ( ) L ( ) = y + y + y f ( ) d L ( ) d Thay = a, = a + h, = a + h vào ta có: h f ( ) d y + 4y + y 3 ( ) 48

Tươg tự: 4 Vậy: b a h f ( ) d y + 4y + y 3 ( ) 3 4 h f ( ) d y + 4y + y 3 ( ) h f ( ) d y + 4y + y +... + y + 4y + y 3 Ví dụ 5.: Gả: Cách : ( ) Tíh tích phâ sau theo 3 cách: I = 5 d + 5 d 5 π I = = arcta = arcta 5.588 + 4 Mô: Phươg pháp tíh Cách : Cha [,5] thàh 4 đoạ thẳg bằg hau (h = ) vớ các đểm cha: 3 4 5 y / /5 / /7 /6 Theo côg thức hìh thag: Cách 3: Côg thức Parabol: 5..3. Côg thức Newto-Cotet I (/ + /5 +/ + /7 +/6)/.68 I (/ + 4/5 +/ + 4/7 +/6)/3.59 Cha [a, b] thàh đoạ bằg hau vớ khoảg cách h = (b - a)/ theo các đểm cha: = a, = a + h,..., = b. Đặt = a + (b - a)t => d = (b - a) dt Kh đó: b a a a + h a + h b y / / ( ) f ( ) d = b a f ( a + ( b a) t) dt = ( b a) φ ( t) dt vớ Ф(t) = f(a + (b - a)t) Xem Ф(t) là hàm ộ suy Lagrage của + đểm: t, t,..., t. 49

Mô: Phươg pháp tíh t t... ( t ) ( t ) t... ( t ) φ( t) L ( t) = y + y +......( )... ( t ) t... t + y ( )... Kh đó: Đặt P = b φ( t) dt L ( t) dt + ( t ) t... t t... ( t ) dt +...... Vậy; ( ) ( ) a f d b a y p Xét = (h = b - a) P P t = dt = t = dt = = y y h b f ( ) d = ( b a) + = ( y y ) a (Côg thức hìh thag) Gá trị P được tra trog bảg sau: P / / /6 4/6 /6 3 /8 3/8 3/8 /8 4 9/7 6/45 /5 6/45 9/7 5 9/88 5/95 5/44 5/44 5/95 9/88 5

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG 5. Nêu côg thức tíh gầ đúg đạo hàm trog trườg hợp bà toá mốc cách đều.. Trìh bày côg thức hìh thag tíh gầ đúg tích phâ ác địh. 3. Trìh bày côg thức Parabol tíh gầ đúg tích phâ ác địh. 4. Trìh bày côg thức Newto-Cotet tíh gầ đúg tích phâ ác địh. 5. Tíh gá trị đạo hàm cấp, cấp, ếu gá trị của hàm được cho trog bảg sau: Mô: Phươg pháp tíh,4,6,8,,,4 y = f( ),4,4848,683 3,9975 5,3456 6,465 6. Tíh gầ đúg y (5) của hàm số y = log dựa vào bảg gá trị đã cho sau: 5 55 6 y = log( ),699,744,778 7. Cho hàm f() bở bảg sau: 5 55 6 65 y = log( ),699,744,778,89 Áp dụg đa thức ộ suy tíh gầ đúg đạo hàm của hàm f() tạ = 5 và sso sáh vớ kết quả tíh trực tếp. 8. Cho hàm f() bở bảg sau:,98,, y = f( ),773933,765977,75633 Tíh gầ đúg đạo hàm của hàm f() tạ =. 9. Tíh gá trị đạo hàm cấp và cấp, ếu gá trị của hàm được cho trog bảg sau: 5

Mô: Phươg pháp tíh,,,,3,4,5 y = f( ),66,36,393,469,553,647. Cho hàm y = f() dướ dạg bảg sau: 3 4 5 6 7 8 y,3, 7, 4, 6,3 8,8 9,,8 3, Tíh tích phâ: I 8 = f ( ) d theo côg thức hìh thag.. Trog kĩ thuật ta thườg gặp tích phâ ác suất: ϕ( ) = e dt π Hãy tíh φ() theo côg thức hìh thag ếu cha khoảg tích phâ thàh phầ bằg hau. Cho bảg gá trị hàm dướ dấu tích phâ y =,,,3,4,5,6,7,8,9, y,995,98,956,93,88,8353,787,76,667,665 t e. t. Cho tích phâ I = + d Bằg cách phâ hoạch đoạ [, ] thàh 4 đoạ bằg hau, tíh gầ đúg tích phâ trê theo côg thức hìh thag. 3. Cho tích phâ I = s d a) Bằg cách phâ hoạch [, ] thàh 6 đoạ bằg hau. Tíh gầ đúg tích phâ đã cho bằg côg thức hìh thag và côg thức Smpso. Đáh gá sa số? b) Tíh gầ đúg tích phâ trê bằg côg thức hìh thag vớ sa số khôg quá 3. -4. 4. Cho hàm f() dướ dạg bảg sau: 5

Mô: Phươg pháp tíh,,4,6,8 y,,98,9,853,6967 Tíh tích phâ của hàm sau theo côg thức hìh thag.,8 I = f ( ) d 5. Cho hàm f() dướ dạg bảg sau:,,5,,5,,5 3, 3,5 4, y,5,75,5,75,5,75 4,5 6,75, Tíh tích phâ của hàm sau theo côg thức hìh thag. 4 I f ( ) d = 6. Cho hàm f() dướ dạg bảg sau:,,,,3,4,5,6,7,8,9, y,,99,96,97,86,8,735,67,69,555,5 Tíh tích phâ của hàm sau theo côg thức hìh thag. I f ( ) d = 7. Cho hàm f() dướ dạg bảg sau:,,,,3,4,5,6,7,8,9, y /, /, /,3 /,4 /,5 /,6 /,7 /,8 /,9 / 8. Cho tích phâ Tíh tích phâ của hàm sau theo côg thức hìh thag. I f ( ) d = 53

I = Mô: Phươg pháp tíh s d Hãy phâ hoạch đoạ [, ] thàh đoạ bằg hau rồ tíh gầ đúg tích phâ đã cho bằg côg thức hìh thag. 54

Mô: Phươg pháp tíh TÀI LIỆU THAM KHẢO [] Ralsto A, A frst course umbercal aalyss. McGraw Hll, NewYork,, 576 pages. [] Đỗ Thị Tuyết Hoa, Gáo trìh mô Phươg pháp tíh, Đạ học Đà Nẵg, 7, 68 trag. [3] Pha Vă Hạp, Hoàg Đức Nguyê, Lê Đìh Thịh, Phươg pháp tíh, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 996. [4] Pha Vă Hạp, Hoàg Đức Nguyê, Lê Đìh Thịh, Phươg pháp tíh (phầ bà tập), NXB Khoa học và Kỹ thuật, 996, 4 trag. [5] Tạ Vă Đĩh, Phươg pháp tíh, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 9, 8 trag. [6] Đặg Quốc Lươg, Phươg pháp tíh trog kỹ thuật, NXB Xây Dựg,, 33 trag. [7] Dươg Thủy Vỹ, Gáo trìh Phươg pháp tíh, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 7, 8 trag. [8] Trầ Vă Chíh, Phươg pháp tíh vớ C++, NXB Đạ học Quốc ga TPHCM, 8. [9] Nguyễ Hoà Sơ, Phươg pháp tíh ứg dụg trog tíh toá Kỹ thuật, NXB Đạ học Quốc ga TPHCM, 8, 6 trag. [] Nguyễ Trọg Khêm, Bà gảg Phươg pháp tíh, NXB Khoa học và Kỹ thuật, 9. 55

MỤC LỤC Mô: Phươg pháp tíh Trag CHƯƠNG.. SAI SỐ..... NHẬP MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH...... Gớ thệu mô phươg pháp tíh...... Nhệm vụ mô học.....3. Trìh tự gả bà toá trog phươg pháp tíh..... SAI SỐ...... Khá ệm...... Các loạ sa số.....3. Sa số tíh toá... CHƯƠNG.. GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH... 7.. GIỚI THIỆU... 7.. TÁCH NGHIỆM... 7.3. TÁCH NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ... 9.4. CHÍNH XÁC HÓA NGHIỆM....4.. Phươg pháp cha đô....4.. Phươg pháp lặp....4.3. Phươg pháp tếp tuyế... 3.4.4. Phươg pháp dây cug... 5 CHƯƠNG.3. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH... 3.. GIỚI THIỆU... 3.. PHƯƠNG PHÁP KRAME... 3.3. PHƯƠNG PHÁP GAUSS... 3.3.. Nộ dug phươg pháp... 3.3.. Thuật toá... 3.4. PHƯƠNG PHÁP LẶP GAUSS - SIEDEL (TỰ SỬA SAI)... 3.4.. Nộ dug phươg pháp... 3.4.. Thuật toá... 4 3.5. PHƯƠNG PHÁP GIẢM DƯ... 5 3.5.. Nộ dug phươg pháp... 5 3.5.. Thuật toá... 7 56

Mô: Phươg pháp tíh CHƯƠNG.4. NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT... 3 4.. GIỚI THIỆU... 3 4.. ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE... 33 4... Nộ suy bậc hất (ộ suy tuyế tíh)... 33 4... Nộ suy bậc ha... 33 4..3. Nộ suy bậc ba... 34 4.3. ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE VỚI CÁC MỐI CÁCH ĐỀU... 35 4.4. NỘI SUY NEWTON... 37 4.4.. Sa phâ... 37 4.4.. Côg thức ộ suy Newto... 37 4.5. NỘI SUY TỔNG QUÁT... 39 4.6. PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT... 4 CHƯƠNG.5. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH. 47 5.. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM... 47 5.. TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH... 47 5... Côg thức hìh thag... 47 5... Côg thức Parabol... 48 5..3. Côg thức Newto-Cotet... 49 PHÒNG KHOA HỌC GV bê soạ Nguyễ Vết Tuấ Phạm Thị Ngọc Mh 57