c) y = c) y = arctan(sin x) d) y = arctan(e x ).

Transcript

1 Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Toán ứng dụng và Tin học ĐỀ CƯƠNG BÀI TẬP GIẢI TÍCH I - TỪ K6 Nhóm ngành 3 Mã số : MI 3 ) Kiểm tra giữa kỳ hệ số.3: Tự luận, 6 phút. Nội dung: Chương, chương đến hết tích phân bất định của các hàm phân thức hữu tỉ. ) Thi cuối kỳ hệ số.7: Tự luận, 9 phút. Chương Phép tính vi phân hàm một biến số.-.4. Dãy số, hàm số. Tìm tập ác định của các hàm số a) y = arccot 5π b) y = arcsin + c) y = sin π d) y = arccos (sin ).. Tìm miền giá trị của hàm số a) y = lg ( cos ) ( b) y = arcsin lg ) c) y = arctan(sin ) d) y = arctan(e ). 3. Biểu tính thuế thu nhập cá nhân được ác định như sau. Dưới 5 triệu, không phải chịu thuế. Từ 5 triệu đến dưới triệu, chịu thuế 5%, từ triệu đến dưới triệu, %, từ triệu đến dưới 3 triệu, 5%, từ 3 triệu đến dưới 5 triệu, %, từ 5 triệu đến dưới 8 triệu, 5%. Từ 8 triệu, 3%. Tìm hàm biểu diễn tiền thuế phải nộp theo mức thu nhập. 4. Tìm f() biết

2 ( a) f + ) = + ( ) b) f = Tìm hàm ngược của hàm số a) y = arcsin b) y = + c) y = (e e ). 6. Tìm giới hạn của những dãy số (nếu hội tụ) với số hạng tổng quát n như sau a) n = n n n b) n = n cos nπ c) n = sin n cos 3 n n d) n = n n e) n = (n ).n f) n = n cos n n+ 7. Tìm giới hạn của những dãy số với số hạng tổng quát n như sau a) n = n + + n n +n b) n = n n n (n ) c) n = 3n + + 3n n 8. Xét sự hội tụ và tìm giới hạn (nếu có) của các dãy với số hạng tổng quát n như sau a) n = a + a + + a (n dấu căn) b) n = (n phép chia) ( ) c) n = n + n Giới hạn hàm số 9. Tìm giới hạn

3 ( a) lim ) + + b) lim 5 + c) lim + ( ) m + α n + β d) lim e) lim ( ) + f) lim +4 ln(+3). Tìm giới hạn ln( + arccos 3 ) ln a) lim + ( ) b) lim sin + sin + cos 3 cos c) lim sin cos cos cos 3 d) lim. cos. Tìm giới hạn a) lim ( ) + + b) lim + (cos ) ln(+4 sin ) c) lim 3 d) lim n n ( n n+ ), >. e) lim ( sin + cos ). cot π f) lim ( + sin π) g) lim [( + ) ln( + ) ( + ) ln( + ) + ln ].. So sánh các cặp VCB sau: a) α() = + và β() = e sin cos, khi +. b) α() = 3 và β() = cos, khi +. c) α() = 3 + sin và β() = cos, khi..7. Hàm số liên tục 3. Tìm a để hàm số liên tục tại = cos, nếu, a) f() = a, nếu =. 3

4 a + b +, nếu, b) g() = a cos + b sin, nếu <. 4. Hàm f() sau liên tục tại những giá trị nào?, nếu hữu tỉ, a) f() =, nếu vô tỉ., nếu hữu tỉ, b) g() =, nếu vô tỉ. 5. Điểm = là điểm gián đoạn loại gì của hàm số a) y = 8 cot b) y = arcsin c) y = sin e + d) y = ea e b, (a b) 6. Các hàm số sau đây có liên tục đều trên miền đã cho không? a) y = 4 ; b) y = ln ; < <.8. Đạo hàm và vi phân, nếu <, 7. Tìm đạo hàm của hàm số f(), biết f() = ( )( ), nếu, 8. Tính f () biết f (7) =., nếu >. 9. Với điều kiện nào thì hàm số n sin, nếu, f() =, nếu = (n Z) 4

5 a) Liên tục tại = c) Có đạo hàm liên tục tại =. b) Khả vi tại =. Trong năm 6, GDP (tổng thu nhập quốc dân) của Việt Nam theo đầu người là 6.4 USD, dân số (ước tính) , tốc độ tăng trưởng GDP 6,%, tốc độ tăng dân số,%. Xác định GDP và tốc độ tăng trưởng GDP của Việt Nam trong năm 6.. Chứng minh rằng hàm số f() = a ϕ(), trong đó ϕ() là một hàm số liên tục và ϕ(a), không khả vi tại điểm = a.. Tìm vi phân của hàm số a) y = a arctan, (a ) a b) y = arcsin, (a ) a c) y = a ln a + a, (a ) d) y = ln + + a. 3. Tìm a) d d( ) ( ) sin b) d(sin ) d(cos ) c) d ( 3 6 9). d( 3 ) 4. Cho hàm số f(), biết rằng đường tiếp tuyến với đồ thị của f() tại điểm (4,3) đi qua điểm (,), tính f(4) và f (4). 5. Nếu C() là chi phí sản uất của đơn vị một mặt hàng nào đó. Khi đó chi phí biên là C () cho biết chi phí phải bỏ ra khi muốn tăng sản lượng thêm một đơn vị. Cho hàm C() = + 3 +, +, 3. Tìm hàm chi phí biên, ác định chi phí biên tại =, giá trị đó nói lên điều gì? 6. Tìm đạo hàm cấp cao của hàm số 5

6 a) y =, tính y(8) b) y = +, tính y () c) y =, tính y(8) d) y = sin, tính y (5). 7. Tính đạo hàm cấp n của hàm số a) y = b) y = 3 + c) y = 3 + d) y = e a sin(b + c). e) y = sin 4 + cos 4 f) y = n e 8. Tính vi phân cấp cao của các hàm số a) y = ( + ) sin. Tính d y(). b) y = e cos. Tính d y() c) y = 9 ln. Tính d y(). d) y = e a. Tính Tính d y() 9. Trong một hồ nuôi cá, cá trong hồ liên tục được sinh ra và khai thác. Số lượng cá trong hồ P được mô tả bởi phương trình: ( P (t) = r P (t) ) P (t) βp (t) P c với r là tỉ lệ sinh sản, P c là số lượng cá lớn nhất hồ có thể duy trì, β là tỉ lệ khai thác. Cho P c =, tỉ lệ sinh sản và tỉ lệ khai thác tương ứng là 5% và 4%. Tìm số lượng cá ổn định..9. Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 3. Chứng minh rằng a, b, c R, phương trình có nghiệm trong khoảng (, π). a cos + b cos + c cos 3 = 3. Chứng minh rằng phương trình n + p + q = với n nguyên dương không thể có quá nghiệm thực nếu n chẵn, không có quá 3 nghiệm thực nếu n lẻ. 6

7 f(b) f(a) 3. Giải thích tại sao công thức Cauchy dạng g(b) g(a) = f (c) g (c) không áp dụng được đối với các hàm số f() =, g() = 3,. 33. Chứng minh bất đẳng thức a) sin sin y y b) a b a < ln a b < a b, < b < a b c) b a +b < arctan b arctan a < b a +a. 34. Tồn tại hay không hàm f sao cho f() =, f() = 4 và f () với mọi? 35. Tìm giới hạn a) lim + b) lim c) lim ( + + ) ( ln e cos ) d) lim e sin ( + ) 3 e) lim tan π ln( ) ( f) lim atan ) sin g) lim tan π ln( ) h) lim ( cos ) tan. 36. Xác định a, b sao cho biểu thức sau đây có giới hạn hữu hạn khi f() = sin 3 3 a b 37. Cho f là một hàm số thực khả vi trên [a, b] và có đạo hàm f () trên (a, b). Chứng minh rằng với mọi (a, b) có thể tìm được ít nhất một điểm c (a, b) sao cho f() f(a) f(b) f(a) ( a) = b a 38. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số ( a)( b) f (c). 7

8 a) y = b) y = arctan c) y = + sin 39. Chứng minh bất đẳng thức a) arctan ln ( + ) với mọi R b) ln( + ) với mọi. 4. Tìm cực trị của hàm số a) y = b) y = ln( + ) c) y = 3 ( )( ) d) y = 3 + ( ) Một nhà bán lẻ bán TV một tuần ở mức giá 35 triệu. Một nghiên cứu thị trường chỉ ra, cứ giảm giá triệu thì lượng bán sẽ tăng lên 8 chiếc một tuần. Giá thành sản uất trong tuần là chiếc TV là: C() = 35+ (triệu). a) Tìm hàm đơn giá và hàm doanh thu (theo lượng bán). b) Cửa hàng nên bán ở mức giá bao nhiêu để cực đại doanh thu? c) Tìm giá bán để cực đại lợi nhuận. 4. Cho f() là hàm lồi trên đoạn [a, b], chứng minh rằng c (a, b), ta có: f(c) f(a) c a f(b) f(a) b a f(b) f(c). b c 43. Cho, y >, chứng minh các bất đẳng thức sau: a) e +e y e +y b) ln + y ln y ( + y) ln +y.. Khảo sát hàm số, đường cong 44. Tìm tiệm cận của các đường cong sau 8

9 a) y = b) y = ln( + e ) c) y = 3 arccot Khảo sát hàm số d) e) = t t y = 6t t 3 = t y = t + arctan t a) y = + 4 b) y = c) y = d) y = + e) f) = t t y = t + t = t t y = 3t t 3 g) r = a + b cos ϕ, ( < a b) h) r = a cos 3ϕ, (a > ). 9

10 Chương Phép tính tích phân hàm một biến số. Tích phân bất định. Tính các tích phân a) ( ) d b) 3 + d c) d + d) d ( ) 3/ e) d ( + )( + 5) f) d ( + a) ( + b) g) sin sin( + y)d h) + sin sin d.. Tính các tích phân a) arctan d b) d c) d + + d) + 3 d e) d ( + + 5) f) sin n sin(n + )d g) e cos 3d h) arcsin d. 3. Lập công thức truy hồi tính I n a) I n = n e d b) I n = sin n d c) I n = d cos n... Tích phân ác định 4. Tính các đạo hàm a) d y e t dt d b) d y e t dt dy c) d d 3 dt + t 4.

11 5. Dùng định nghĩa và cách tính tích phân ác định, tìm các giới hạn [ ] a) lim n nα + nα + β + nα + β + +, (α, β > ) nα + (n )β b) lim ( + n n n + + n ) n. n 6. Tính các giới hạn a) lim + sin tan tan tdt sin tdt b) lim + (arctan t) dt + c) lim + ( ) e t dt e t dt 7. Tính các tích phân sau a) e /e ln ( + ) d c) 3π/ d + cos e) π 4 arcsin + d b) e ( ln ) d d) 3 sin cos ( + tan ) d f) π/ cos n cos nd. 8. Chứng minh rằng nếu f() liên tục trên [, ] thì a) π/ f(sin )d = π/ f(cos )d b) π f(sin )d = π π f(sin )d. Áp dụng tính các tích phân sau c) π sin d +cos d) π sin d sin + cos e) π d +(tan ) 9. Cho f(), g() là hai hàm số khả tích trên [a, b]. Giả sử, f (), g () và f().g() khả tích trên [a, b], chứng minh bất đẳng thức (với a < b): b f()g()d b f ()d b g ()d a a a

12 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz).3. Tích phân suy rộng. Xét sự hội tụ và tính (trong trường hợp hội tụ) các tích phân sau a) b) + e d cos d c) d) + d ( + ) d ( ).. Xét sự hội tụ của các tích phân sau a) b). Nếu d tan d e sin + Xét ví dụ c) d) + d 4 ln ( + ) d e) f) + + d + 3 d 4 +. f()d hội tụ thì có suy ra được f() khi + không? + sin ( ) d. 3. Cho hàm f() liên tục trên [a, + ) và lim + a f()d có hội tụ không..4. Ứng dụng của tích phân ác định 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi + a) Đường parabol y = + 4 và đường thẳng y + 4 = b) Parabol bậc ba y = 3 và các đường y =, y =, ( ) c) Đường tròn + y = và parabol y =, (y ) d) Đường y = 4. f() = A. Hỏi 5. Tính thể tích của vật thể là phần chung của hai hình trụ + y a và y + z a, (a > ).

13 6. Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi mặt paraboloit z = 4 y, các mặt phẳng tọa độ =, z = và mặt phẳng = a (a ). 7. Tính thể tích khối tròn oay tạo nên khi quay hình giới hạn bởi các đường y = và y = a) Quanh trục một vòng b) Quanh trục y một vòng. 8. Tính độ dài đường cong a) y = ln e + khi biến thiên từ đến. e ( = a cos t + ln tan t ) b) khi t biến thiên từ π 3 đến π y = a sin t (a > ). 9. Tính diện tích mặt tròn oay tạo nên khi quay các đường sau a) y = sin, π quay quanh trục b) y = 3 ( )3, quay quanh trục. 3

14 3.. Các khái niệm cơ bản Chương 3 Hàm số nhiều biến số. Tìm miền ác định của các hàm số sau a) z = + y b) z = ( + y ) (4 y ) c) z = arcsin y d) z = sin y. Tìm tập giá trị của hàm số a) z = 3y b) z = 4 y c) u = arcsin +arccos y +arctan z d) z = arccot( + y + z ) 3. Tìm các giới hạn nếu có của các hàm số sau y a) lim (,y) (,) + y b) lim sin π (,y) (, ) + y 3 y 3 c) lim (,y) (,) + y cos d) lim + y (,y) (,) + y e) lim ( + (,y) (,) 4y3 ) +y f) lim (,y) (, ) ( + y )e (+y) 3.. Đạo hàm riêng và vi phân 4. Tính các đạo hàm riêng của các hàm số sau a) z = ln ( + ) + y b) z = y sin y y c) z = arctan + y d) z = y3, ( > ) e) u = yz, (, y, z > ) f) u = e g) u = y z. +y +z 4

15 5. Khảo sát sự liên tục và sự tồn tại, liên tục của các đạo hàm riêng của hàm số f(, y) sau ( y ), arctan nếu, a) f(, y) =, nếu =. sin y y sin, nếu (, y) (, ), b) f(, y) = + y, nếu (, y) = (, ). 6. Giả sử z = yf( y ), ở đây f là hàm số khả vi. Chứng minh rằng đối với hàm số z hệ thức sau luôn thỏa mãn z + y z y = z y 7. Tìm đạo hàm riêng các hàm số hợp sau đây a) z = e u v, u = cos, v = + y b) z = ln ( u + v ), u = y, v = y c) z = arcsin ( y), = 3t, y = 4t Tìm vi phân toàn phần của các hàm số a) z = sin( + y ) b) z = ln tan y c) z = e sin y d) z = arctan + y y e) u = +y +z f) u = yz. 9. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số sau a) z = ( 3 + y ) 3 b) z = ln( + y) c) z = arctan y. sin y. Cho f(, y) = +y khi + y, tính f y(, ). khi + y =. Tính các vi phân cấp hai của các hàm số sau 5

16 a) z = y y b) z = ( + y ) c) z = y. Tính các vi phân cấp hai sau a) z = ln( y), tính d z(, ) b) z = y 3, tính d z(, ) Cực trị của hàm số nhiều biến số 3. Tìm cực trị của các hàm số sau a) z = + y + y + y + b) z = + y e y c) z = + y e ( +y ) d) z = 4 + y 4 y. 4. Tìm cực trị có điều kiện a) z = + y với điều kiện + y = a b) z = y với điều kiện + y =. 5. Tính giá trị lớn nhất và bé nhất của các hàm số a) z = y(4 y) trong hình tam giác giới hạn bởi các đường thẳng =, y =, + y = 6 b) z = sin +sin y +sin(+y) trong hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng =, = π, y =, y = π. 6. Chỉ số Shannon đo lường mức độ đa dạng của một hệ sinh thái. Trong trường hợp ba loài, được ác định theo công thức: H = p ln p p ln p p 3 ln p 3 với p i là tỉ lệ số lượng loài i trong quần thể (p + p + p 3 = ). Tìm giá trị lớn nhất của H Tích phân kép 7. Tính các tích phân sau 6

17 a) sin ( + y) ddy, D = { (, y) R : y π, } π. D b) I = D (y ) ddy, D giới hạn bởi y = và = y. 8. Đổi thứ tự lấy tích phân a) d f (, y) dy. b) dy + y y f (, y) d. c) d f (, y) d. d) dy y f (, y) d+ dy 4 y f (, y) d. 9. Tính các tích phân sau a) D b) D ddy ( +y ), trong đó D : 4y + y 8y, y 3. y + +y ddy trong đó D : + y. + y c) D y +y ddy trong đó D : + y + y 3y, y. 7