ΦΥΣ 111 - Διαλ.31 1 Ενέργεια στην περιστροφική κίνηση q Ένα περιστρεφόµενο στερεό αποτελεί µια µάζα σε κίνηση. Εποµένως υπάρχει κινητική ενέργεια. v i θ i r i m i Θεωρείστε ένα στερεό σώµα περιστρεφόµενο γύρω από σταθερό άξονα. K i = 1 m iv i Αθροίζοντας ως προς όλα τα σωµάτια που απαρτίζουν το στερεό θα έχουµε: 1 K i = m 1 iv i = m ir i ω όλα έχουν το ίδιο ω i i i Η παραπάνω σχέση γράφεται: K i = 1 i i m i r i ω K tot = 1 Ιω Ορίζουµε σα ροπή αδράνειας: I = m i r i i Ανάλογο του K = 1 mv Ø Η ροπή αδράνειας, I, είναι το περιστροφικό ανάλογο της µάζας m. Δηλαδή, είναι πολύ πιο δύσκολο να προκαλέσεις περιστροφή σ ένα σώµα όταν η ροπή αδράνειας γίνεται µεγαλύτερη
ΦΥΣ 111 - Διαλ.31 Ροπή αδράνειας q Ας δούµε την ροπή αδράνειας ενός στερεού περιστροφέα: m (α) m (β) m r r r I = m i r i = mr 1 I = m(r) = 4mr Ø Είναι δυσκολότερο να προκαλέσεις περιστροφή στην (β) περίπτωση q Η ροπή αδράνειας εξαρτάται από τον άξονα περιστροφής. q Η ροπή αδράνειας ορίζεται ως προς κάποιο σταθερό άξονα Ø Η τιµή της εξαρτάται από την θέση και τον προσανατολισµό του άξονα περιστροφής
ΦΥΣ 111 - Διαλ.31 3 Ροπή αδράνειας για στερεά συνεχούς κατανοµής q Για στερεά σώµατα συνεχούς κατανοµής µάζας η ροπή αδράνειας υπολογίζεται αντικαθιστώντας το άθροισµα µε ολοκλήρωµα: (αντικαθιστούµε όλες τις µάζες m i µε dm) I = m i r i i lim Δm i 0 i r i Δm i I = r dm Ροπή αδράνειας Θυµίζει τον υπολογισµό του κέντρου µάζας ενός σώµατος r CM = q Για παράδειγµα: έστω ρ η πυκνότητα = m/v για ένα στερεό ρ = dm / dv dm = ρdv I = r ρdv Για οµοιογενή κατανοµή µάζας, η πυκνότητα είναι σταθερή και έχουµε: I = ρ r dv Περισσότερη µάζα πιο αποµακρυσµένη από τον άξονα περιστροφής, µεγαλύτερη η ροπή αδράνειας Ι, και εποµένως µεγαλύτερη η αντίσταση του σώµατος στο να αλλάξει την περιστροφική του κίνηση rdm
Παράδειγµα υπολογισµού ροπής αδράνειας q Οµοιογενής κύλινδρος µάζας m, ακτίνας R και µήκους L. ΦΥΣ 111 - Διαλ.31 4 dr y r R Θεωρήστε ένα κυλινδρικό φλοιό ακτίνας r και πάχους dr. Αυτό το κάνουµε για να έχουµε την ίδια ακτίνα για όλες τις στοιχειώδεις µάζες dm. Το εµβαδό του δακτυλίου του κυλινδρικού φλοιού είναι: L da = πrdr I y = dv = LdA r dm = r ρdv I y = πρl r 3 dr 0 R I y = πρl R4 4 I y = 1 πρlr4 z x Αλλά V κυλ. = πr L και ρ = Μ V = M π R L Εποµένως I y = 1 πρlr4 = 1 MR Αυτή είναι η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα συµµετρίας y. Ποια θα ναι η Ι ως προς ένα άξονα παράλληλο προς τον y?
ΦΥΣ 111 - Διαλ.31 5 Θεώρηµα παράλληλων αξόνων z y dm(x,y) D CM y' CM y I = r dm = ( x + y )dm x = x + x CM y = y + y CM I = x + x CM x [( ) + ( y + y ) ] CM y CM dm D xcm I = ( x + y )dm + x CM x dm + y CM y dm + ( x CM + y CM ) dm Επομένως: I = I CM + 0 + 0 + MD x x' I = I CM + MD Θεώρηµα παράλληλων αξόνων
ΦΥΣ 111 - Διαλ.31 6 Εφαρµογή του θεωρήµατος παράλληλων αξόνων q Κυκλικό στεφάνι ακτίνας R και µάζας Μ κρέµεται από ένα σηµείο στην περιφέρειά του Θέλουµε την ροπή αδράνειας γύρω από αυτό το σηµείο R I στεϕ. = Ι CM + MR MR + MR I στεϕ. = ΜR q Οµοιόµορφη λεπτή ράβδος µάζας Μ και µήκους L µε άξονα κάθετο στο µήκος της Έστω dm στοιχειώδης µάζα µήκους dx σε απόσταση x από τον άξονα περιστροφής Ο. I O = Από την εξίσωση της ροπής αδράνειας: x L h dm = ρ x dx = M h L x 3 L h 3 h I O = 1 3 M ( L 3Lh + 3h ) Για h = 0 και h = L I O,L = 1 3 ML Για L h = IC = 1 1 ML
ΦΥΣ 111 - Διαλ.31 7 Ροπή αδράνειας - Σηµεία προσοχής Ø Δεν έχει νόηµα να αναφέρεστε στη ροπή αδράνειας ενός σώµατος χωρίς να προσδιορίζετε την θέση και προσανατολισµό του άξονα ως προς τον οποίο υπολογίζετε την ροπή αδράνειας Ø Για συνεχείς κατανοµές µάζας χρειάζεται να υπολογίσουµε τα ολοκληρώµατα για την εύρεση της ροπής αδράνειας. q Μην προσπαθήσετε να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας θεωρώντας ότι όλη η µάζα βρίσκεται στο κέντρο µάζας του σώµατος και παίρνοντας την απόσταση του κέντρου µάζας από τον άξονα περιστροφής ΛΑΘΟΣ ü Η ροπή αδράνειας της ράβδου στο προηγούµενο παράδειγµα είναι Ι=ΜL 3 /3 ως προς άξονα που περνά από ένα άκρο της. Αν υποθέσω το κέντρο µάζας το οποίο βρίσκεται στο µέσο της η ροπή αδράνειας θα ήταν Μ(L/) =ML /4 που είναι λάθος.
ΦΥΣ 111 - Διαλ.31 8 Περισσότερες περιπτώσεις (α) ομοιογενής ράβδος άξονας στο κέντρο (β) ομοιογενής ράβδος άξονας στο άκρο της (γ) ομοιογενές φύλλο άξονας στο μέσο (δ) ομοιογενές φύλλο άξονας σε πλευρά (ε) συμπαγής κυλινδρικός δακτύλιος (στ) συμπαγής κύλινδρος (ζ) κοίλος κύλινδρος (λεπτά τοιχώματα) (η) ομοιογενής σφαίρα (η) κοίλη σφαίρα
Δυναµική στην περιστροφική κίνηση στερεού ΦΥΣ 111 - Διαλ.31 9 q Μέχρι τώρα είδαµε: ü Ροπή αδράνειας: I σ = r dm ü σε αντιστοιχία µε τη θέση του CM: q Θεώρηµα παράλληλων αξόνων I σ = Ι CM + MD r CM = 1 M rdm D CM q Κινητική ενέργεια ενός περιστρεφόµενου στερεού γύρω από σταθερό άξονα K = 1 Iω q Όλα τα σημεία του στερεού κινούνται με ίδια γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση
ΦΥΣ 111 - Διαλ.31 10 Ενέργεια περιστροφής - µεθοδολογία προβληµάτων Ότι έχουµε δει µέχρι τώρα σε προβλήµατα ενέργειας ισχύουν και για την περίπτωση ενός περιστρεφόµενου στερεού. Ø Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα έργου-ενέργειας και διατήρηση της µηχανικής ενέργειας µπορούν να βρεθούν εξισώσεις για τη θέση και κίνηση του στερεού. v Μόνη διαφορά ότι τη θέση της µάζας και ταχύτητας παίρνουν η ροπή αδράνειας και γωνιακή ταχύτητα. K = 1 mυ K = 1 Iω Ø Πολλά προβλήµατα περιέχουν σχοινιά γύρω από στερεά σώµατα που δρουν σα τροχαλίες: ü Το σηµείο της επαφής του σχοινιού στην τροχαλία έχει την ίδια γραµµική ταχύτητα µε αυτή του σχοινιού (το σχοινί δεν γλιστρά στην τροχαλία) ü Από τις σχέσεις µεταξύ εφαπτοµενικής και ακτινικής επιτάχυνσης βρίσκουµε τις γωνιακές ταχύτητες και επιταχύνσεις v = ω r a = d ω dt r + ω d r dt a = α r + ω v εφαπτοµενική ακτινική
Παράδειγµα ΦΥΣ 111 - Διαλ.31 11 Νήµα αµελητέας µάζας είναι τυλιγµένο γύρω από κύλινδρο µάζας 50kg και διαµέτρου 0.1m, ο οποίος µπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που στηρίζεται σε σηµεία χωρίς τριβές. Τραβούµε το ελεύθερο άκρο του νήµατος µε σταθερή δύναµη F=9.0N κατά απόσταση.0m. To νήµα ξετυλίγεται χωρίς να γλιστρά προκαλώντας περιστροφή στον κύλινδρο. Να βρεθεί η τελική γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου και τελική γραµµική ταχύτητα του νήµατος αν ο κύλινδρος αρχικά είναι ακίνητος. Ο κύλινδρος περιστρέφεται επειδή υπάρχει τριβή µεταξύ του νήµατος και κυλίνδρου Από το θεώρηµα έργου-ενέργειας: W F = F s = K f K i = 1 Iω f 1 Iω i Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου είναι: I = 1 MR W F = F s = 1 1 MR ω f ω f = Επειδή το νήµα δεν γλιστρά, δεν υπάρχει ολίσθηση του νήµατος ως προς το κύλινδρο Άρα δεν υπάρχει απώλεια ενέργειας λόγω τριβών R Fs M ω f = 0rad /s ενώ ω i = 0 και εποµένως έχουµε: Η υ f του νήµατος είναι η τελική εφαπτοµενική του κυλίνδρου: υ f = ω f r =1. m s
ΦΥΣ 111 - Διαλ.31 1 Quiz Ø Γράψτε σε μια σελίδα το όνομά σας και τον αριθμό ταυτότητάς σας Έτοιµοι;
ΦΥΣ 111 - Διαλ.31 13 Δυναµική στερεού σώµατος - Ροπή q Η ικανότητα µιας δύναµης να περιστρέφει ένα σώµα γύρω από ενα σηµείο ως προς το οποίο περιστρέφεται ένα σώµα περιγράφεται από ένα καινούριο µέγεθος που ονοµάζεται ροπή. Ορίζεται: F = ma = d p ροπή: τ = r F = Fr sinθ = Fd dt Μονάδες: Νm Ø Στην παραπάνω εξίσωση ορισµού F η δύναµη και d η απόσταση του σηµείου εφαρµογής της δύναµης από το σηµείο περιστροφής Ø Χρησιµοποιούµε τον κανόνα του δεξιού χεριού για να βρούµε τη διεύθυνση της ροπής. q Εµπειρικά έχει βρεθεί ότι είναι πιο εύκολα να περιστρέψουµε ένα σώµα αν εφαρµόσουµε µια δύναµη µακριά από το σηµείο περιστροφής και εποµένως d µεγάλη. Αν d=0 τότε η ροπή είναι µηδέν q Δυνάµεις που η διεύθυνσή τους περνά από τον άξονα ή σηµείο περιστροφής έχουν µηδενική ροπή
ΦΥΣ 111 - Διαλ.31 14 Παραδείγµατα ροπών q Για ένα µόνο σωµατίδιο που κινείται σε κύκλο κάτω από την επίδραση µιας δύναµης F είναι: r F = ma = ma εφ. = mαr F Ανάλογο του F=mα q Για ένα στερεό σώµα I = m i r i και για οµοιογενές στερεό: I = r dm Aπό τις δυνάµεις που ενεργούν σε κάθε στοιχειώδη µάζα έχουµε: df εφ = (dm)a εφ = (dm)αr = (rdm)α rdf dτ = αr εφ = r(rdm)α dm Όλα τα σηµεία όµως έχουν την ίδια γωνιακή επιτάχυνση α εποµένως ολοκληρώνουµε την τελευταία σχέση: τ συνισταµενη = i rf = mαr = (mr )α rf = Iα τ = Iα ( r dm)α = α r dm = Iα Οποιαδήποτε στιγµή το στερεό περιγράφεται από ω, α και τ συνισταµένη
Παράδειγµα q Εκκρεµές εξαρτάται από αβαρή ράβδο. Ποια είναι η ροπή στη µάζα m? θ l T Μ τ = r M g = lmgsinθ Προς το εσωτερικό του χαρτιού ΦΥΣ 111 - Διαλ.31 15 Μg q Θέλετε να ξεβιδώσετε µια βίδα και το κλειδί που χρησιµοποιείται είναι κοντό. Βάζετε ένα σωλήνα και πατάτε πάνω του µε όλο το βάρος σας (900kg). Η απόσταση του άκρου του σωλήνα από τη βίδα είναι 0.8m, ενώ η γωνία του κλειδιού µε οριζόντιο είναι 19. Ποια η ροπή l = r sin71 = 0.76 τ = lf = 900 0.76 = 680N m Διαφορετικά τ = r F = rf sinφ τ = 0.8 900sin(109 ) Η δύναµη προκαλεί περιστροφή προς τη φορά των δεικτών του ρολογιού και εποµένως η ροπή είναι κάθετη στη διαφάνεια και προς το εσωτερικό
ΦΥΣ 111 - Διαλ.31 16 Παράδειγµα F L F 3 F 1 = F = F 3 = F 4 F 1 L θ L L F 4 Ποια από τις δυνάµεις έχει την µεγαλύτερη ροπή ως προς το σηµείο θ? κλειδί βίδα κλειδί βίδα ράβδος κλειδί βίδα ράβδος κλειδί βίδα Θέλετε να ξεβιδώσετε µια σκουριασµένη βίδα. Ποια η καλύτερη διάταξη που µπορείτε να χρησιµοποιήσετε; -1-4-3 Επειδή η δύναµη είναι ίδια σε όλες τις περιπτώσεις χρειάζεται να συγκρίνουµε την απόσταση του σηµείου εφαρµογής της από το σηµείο περιστροφής (βίδα)
Παράδειγµα ΦΥΣ 111 - Διαλ.31 17 Ένα στεφάνι και ένας κύλινδρος και τα δυο µάζας Μ και ακτίνας R κυλούν κατά µήκος κεκλιµένου επιπέδου κλίσης θ από ύψος h. Ποιό από τα δυό σώµατα φθάνει στη βάση του κεκλιµένου επιπέδου µε την µεγαλύτερη κινητική ενέργεια; (Α) Στεφάνι (Β) Κύλινδρος (Γ) Ίδια ΚΕ h
Παράδειγµα ΦΥΣ 111 - Διαλ.31 18 Ένα στεφάνι και ένας κύλινδρος και τα δυο µάζας Μ και ακτίνας R κυλούν κατά µήκος κεκλιµένου επιπέδου κλίσης θ από ύψος h. Ποιo από τα δυό σώµατα φθάνει στη βάση του κεκλιµένου επιπέδου µε την µεγαλύτερη ταχύτητα (Α) Στεφάνι (Β) Κύλινδρος (Γ) Ίδια ΚΕ I = MR I = 1 MR h