Ένα δύστροπο ποδήλατο + () () Το εικονιζόµενο ποδήλατο συγκρατείται όρθιο σε οριζόντιο δρόµο, χωρίς να εµποδίζεται η ελεύθερη κίνησή του µπρος πίσω. Χωρίς να ανέβουµε πάνω σ αυτό µπορούµε να ασκούµε µε το χέρι µας, ή µε τη βοήθεια ενός νήµατος, οριζόντια δύναµη σε οποιοδήποτε από τα πεντάλ, που έχουµε φροντίσει να βρίσκονται στη ανώτερη και κατώτερη θέση της τροχιάς τους αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο σχήµα. (Η δύναµη που ασκούµε δεν είναι τόσο µεγάλη ώστε να προκαλέσει ολίσθηση του τροχού). Αν ασκούσαµε τη δύναµη στο επάνω πεντάλ και προς τα δεξιά, προφανώς το ποδήλατο θα κινείτο προς τα εµπρός λόγω και της επίδρασης της, αλλά και της επίδρασης της στατικής τριβής Τ που ασκείται από το δρόµο αντιτιθέµενη στην περιστροφή του τροχού. Τι θα γίνει όµως αν ασκήσουµε τη δύναµη στο κάτω πεντάλ και µε φορά προς τα πίσω (όπως φαίνεται στο σχήµα); Η δύναµη τείνει να κινήσει τώρα το ποδήλατο προς τα πίσω, σε αντίθεση µε τη στατική τριβή που τείνει πάλι να το κινήσει προς τα εµπρός. Προς ποια κατεύθυνση θα κινηθεί τώρα το ποδήλατο; Εµπρός, πίσω ή µήπως καθόλου; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ας ονοµάσουµε το µήκος του βραχίονα του πεντάλ, την ακτίνα του πίσω τροχού, και, οι ακτίνες του µπροστινού () και του πίσω () γραναζιού αντίστοιχα, της αλυσίδας που µεταφέρει την κίνηση στον τροχό. Ο βραχίονας του πεντάλ είναι σταθερά συνδεδεµένος µε το γρανάζι () ώστε να στρέφονται µαζί σαν ένα σώµα. Ο πίσω τροχός είναι σε σύζευξη µε το γρανάζι () ώστε να στρέφονται κι εδώ µαζί. Καθώς ασκούµε τη δύναµη στο κάτω πεντάλ, το γρανάζι ένα πάει να περιστραφεί κατά τη φορά του ρολογιού, τεντώνοντας την αλυσίδα. Η αλυσίδα ασκεί έτσι Σελίδα από 5
δυνάµεις και αντίστοιχα στα δύο γρανάζια που, αν θεωρήσουµε ασήµαντη τη µάζα της, έχουν ίσα µέτρα:. Έτσι, το γρανάζι () πάει κι αυτό να στραφεί µε τη φορά του ρολογιού, και µαζί του και η πίσω ρόδα, σπρώχνοντας προς τα πίσω το έδαφος, µε αποτέλεσµα να δέχεται από αυτό (στατική) τριβή προς τα εµπρός. Θεωρούµε ως θετική τη φορά του ρολογιού για την περιστροφή και την προς τα δεξιά για τη µεταφορά, και γράφουµε τον ο νόµο του Νεύτωνα (Τα σύµβολα παριστάνουν µέτρα µεγεθών, εκτός από τις επιταχύνσεις που παριστάνουν αλγεβρικές τιµές): Για το σύστηµα πεντάλ µπροστινού γραναζιού: Για το σύστηµα πίσω ρόδας γραναζιού: Για ολόκληρο το ποδήλατο: Για τις επιταχύνσεις τώρα έχουµε: α γων α Με αντικατάσταση: I α γων (i) Τ I α γων (ii) Τ M α (iii) και α γων α γων α γων α I α α Τ I α γων α γων Τ M α και απαλείφοντας τις,, ( ) και παίρνουµε: α Ι ( ) (M ² + I + λ λ ) όπου θέσαµε λ (λόγος µετάδοσης του επιλεγµένου ζευγαριού γραναζιών). ηλαδή το πρόσηµο της επιτάχυνσης α που θα αποκτήσει το ποδήλατο (εποµένως και της κατεύθυνσης προς την οποία θα κινηθεί) εξαρτάται από το πρόσηµο της παράστασης ( λ ): < λ > > τότε α < 0 (προς τα πίσω) (iv) Σελίδα από 5
τότε α 0 (ακίνητο) (v) > λ < Ας δούµε τι σηµαίνει αυτό στην πράξη: < τότε α > 0 (προς τα εµπρός!) (vi) Η ακτίνα του τροχού ενός τυπικού ποδηλάτου είναι 30 35cm, και ο βραχίονας του πεντάλ έχει µήκος περίπου 7-7,5cm, τιµή που καθιστά άνετη τη χρήση των πεντάλ. ηλαδή ισχύει:. Έτσι, οι προηγούµενες σχέσεις γίνονται: λ (> < ή ) 0,5. Ή, τελικά: > 0,5 α < 0 (προς τα πίσω) (iv ) 0,5 α 0 (ακίνητο) (v ) < 0,5 α > 0 (προς τα εµπρός) (vi ) Στα περισσότερα ποδήλατα το µπροστινό γρανάζι () είναι αρκετά πιο µεγάλο από το πίσω (). Συνηθισµένες τιµές π.χ. για το λ είναι από 3,9 έως,4 (αναλογία δοντιών στα δύο γρανάζια 5/3 έως 40/8). Ικανοποιείται δηλαδή η πρώτη συνθήκη. Στα mountain bikes συναντάµε χαµηλότερους λόγους µετάδοσης λ που φτάνουν πολλές φορές και κάτω από 0,6 (π.χ. 0/38 0,5). Κι εδώ δηλαδή ικανοποιείται πάλι η πρώτη συνθήκη. Σε ακραίες µόνο περιπτώσεις µπορεί να συναντήσουµε τις δύο τελευταίες περιπτώσεις, αλλά πάντως είναι κι αυτές εφικτές. Για παράδειγµα, σε ποδήλατα µε χαµηλούς λόγους µετάδοσης (mountain, tial) αλλά και µε µικρότερη πίσω ρόδα (π.χ. 5cm,5). Ένα απλοποιηµένο µηχανικό µοντέλο για να γίνει καλύτερα κατανοητό το φαινόµενο, είναι το εξής: Αν υποθέσουµε ότι το πεντάλ στραφεί κατά µικρή γωνία θ, τότε θα διαγράψει µήκος τόξου x θ. Έστω τώρα s η µετατόπιση της αλυσίδας, θ η γωνία στροφής της πίσω ρόδας, και x το διάστηµα που προχωρά η ρόδα, άρα και το ποδήλατο. Ισχύουν: θ θ s x s x s x x s Ο τελικός λόγος των διαστηµάτων πεντάλ / ποδηλάτου είναι: Σελίδα 3 από 5
x x Αν αναπαραστήσουµε τη δύναµη στο πεντάλ µε τη τάση ενός τεντωµένου νήµατος, τυλιγµένου γύρω από δίσκο οµόκεντρο προς τη ρόδα και κολληµένο πάνω της, τότε ο νοητός αυτός δίσκος θα έπρεπε να έχει ακτίνα, τέτοια ώστε:. λ λ (vii) Έτσι, στην περίπτωση (iv ) για λ > 0,5 θα ήταν < (αριστερό σχήµα), ενώ στην περίπτωση (vi ) για λ > 0,5 θα ήταν > (δεξιό σχήµα). (>Τ) (<Τ) Ο L Εύκολα φαίνεται, εφαρµόζοντας π.χ. στο σύστηµα το νόµο Σ τ (Ο) ως προς t τυχαίο σηµείο Ο του εδάφους, ότι στο αριστερό σχήµα ο τροχός αποκτά στροφορµή που τον κινεί αριστερά, ενώ στο δεξιό σχήµα συµβαίνει το αντίθετο. Και βέβαια, στην περίπτωση (v ) ο νοητός δίσκος θα είχε ίδια ακτίνα µε τον τροχό του ποδηλάτου και οι και θα ήταν συγγραµµικές κι αντίθετες. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ) Στην ίδια λύση όπου το πρόσηµο της επιτάχυνσης α καθορίζεται από της παράσταση ( λ ) θα µπορούσαµε να καταλήξουµε λίγο πιο απλά, σκεπτόµενοι ως εξής. Στις σχέσεις (i) και (ii) που εκφράζουν τα ο νόµο του Νεύτωνα για τη στροφική κίνηση του µπροστινού συστήµατος γρανάζι/πεντάλ και του πίσω συστήµατος γρανάζι/τροχός αντίστοιχα, µπορούµε να θεωρήσουµε τις ροπές αδράνειας Ι και Ι αµελητέες, για δύο λόγους. (α) ιότι τα αντίστοιχα εξαρτήµατα είναι συνήθως κατασκευασµένα από ελαφρά κράµατα µετάλλου ακριβώς γι αυτό το λόγο, για να µειώνεται δηλαδή ή αδράνειά τους στην περιστροφή (αλλά και για τη µείωση του συνολικού βάρους του ποδηλάτου). (β) εν µας ενδιαφέρει στην ουσία ποσοτικά η επιτάχυνση των διαφόρων εξαρτηµάτων, αλλά το πώς µεταφέρεται οριακά η ροπή στην πίσω ρόδα. Έτσι οι νόµοι του Νεύτωνα µπορούν να γραφούν: Σελίδα 4 από 5
Οπότε: 0 (i ) Τ 0 (ii ) Τ M α (iii ) 0 Τ 0 ( ) + και µε αντικατάσταση στην τελευταία: M α λ 0 λ λ M α λ ) Βρήκαµε πιο πάνω (µέτρα) στην (vii) ότι η µετατόπιση x του ποδηλάτου ως προς το έδαφος είναι x λ x όπου x η µετατόπιση το πεντάλ ως προς το ποδήλατο (µικρό µήκος τόξου που µπορεί να θεωρηθεί πρακτικά ευθύγραµµο και οριζόντιο). Το πεντάλ σε σχέση µε το ποδήλατο µετατοπίζεται βέβαια προς τα πίσω. Ακόµα στις (iv ), (v ), (vi ) βρήκαµε ότι το ποδήλατο µετατοπίζεται: Προς τα πίσω (α < 0) αν λ > 0,5 x > x Καθόλου (α 0) αν 0,5 x x 0 Προς τα εµπρός (α > 0) αν λ < 0,5 x < x Η µετατόπιση του πεντάλ ως προς το έδαφος είναι: x o x x < 0 x o 0 0 0 x o3 x x < 0 ηλαδή σε όλες τις περιπτώσεις είναι οµόρροπη µε την (ή µηδέν). Προς όποια κατεύθυνση εποµένως κι αν κινηθεί το ποδήλατο, η δύναµη παράγει έργο, προσφέροντας ενέργεια στο ποδήλατο. ιονύσης Μητρόπουλος Σελίδα 5 από 5