קיץ 6 AB, B A א. וקטור שינוי המהירות (בקטע מ A ל B), עפ"י ההגדרה, הוא: (עפ"י הסימונים שבתרשים המהירות בנקודה A, למשל, היא ). נמצא וקטור זה, באופן גרפי, ונזכור כי אין משמעות למיקום הוקטורים:. (הערה עבור תרשים א' בלבד, לא שרטטתי את הוקטורים ראש אל זנב (כנדרש), כיון שהם נמצאים על אותו הציר ומבחינה ויזואלית היה קשה להבחין בהם. לכן, רק שם, שרטטתי אותם אחד מתחת לשני). A, B עבור תרשים א' A, B עבור תרשים ב' A, B עבור תרשים ג' ב. ג. a כיוון שהתאוצה הממוצעת מוגדרת כ t, והחלוקה בפרק הזמן היא רק סקלר, מדובר אך ורק בשינוי גודל הוקטור. ז"א אלו יהיו וקטורים באותו הכיוון כמו קודם (שינוי המהירות), רק בגודל שונה (למרות שפרק הזמן בין שתי הנקודות נתון כ- שניות, לא מדובר דווקא בוקטורים שאורכם יהיה חצי מאלו המשורטטים למעלה, כיוון שניתן כמובן לבחור קנה מידה שונה כרצוננו זהו רק שרטוט). כמו כל תנועה במישור, בה ניתן לחלק את וקטור התאוצה לרכיב משיקי (משיק למסלול, בכיוון וקטור המהירות) ולרכיב רדיאלי (הקרוי גם רכיב נורמלי) אשר ניצב למשיק, נתאר את התרשימים הנ"ל באמצעות רכיבים אלו. בתיאורינו נזכור כי רכיב התאוצה המשיקית יכול לשנות אך ורק את גודל וקטור המהירות, בעוד הרכיב הרדיאלי יכול לשנות אך ורק את כיוון המהירות. תרשים א': אנו רואים שהגוף נע בקו ישר (המסלול בין הנקודות B A, ו- C ), תוך כדי תאוצה משיקית חיובית (כיוון שהכיוון המשיקי מוגדר בכיוון וקטור המהירות, באומרנו שהתאוצה המשיקית חיובית אנו מתכוונים לכך שכיוון רכיב התאוצה המשיקית הוא ככיוון וקטור המהירות. כתוצאה מכך, וקטור המהירות הולך וגדל). תרשים ב': קל להבחין שהמסלול עצמו פונה שמאלה, ז"א ישנה תאוצה רדיאלית שמאלה (את הכיוון ימינה-שמאלה אנו מגדירים ביחס לכיוון המשיקי בכל רגע, ז"א כיוון / 6
קיץ 6 ההתקדמות במסלול). כדי למצוא את התאוצה המשיקית עלינו לבחון את השינוי בגודלי וקטורי המהירות בין הנקודות השונות נבחין כי, > ז"א בקטע AB ישנה תאוצה משיקית חיובית, ואילו שלילית)., ז"א בקטע BC ישנה תאוטה משיקית (תאוטה תאוצה < 3 תרשים ג': המסלול דומה לזה שבתרשים הקודם, רק שכעת הוא פונה ימינה, ז"א ישנה תאוצה רדיאלית בכיוון ימין. גודל וקטורי המהירות הולכים וקטנים, ולכן התאוצה המשיקית היא שלילית תאוטה. א. נגדיר מערכת צירים באופן נוח לנו כיוון אופקי x וכיוון כלפי מעלה, כאשר את ראשית הצירים נבחר בנקודה בה נזרק הכדור (מסלול הכדור משורטט באופן איכותי בלבד):. x. הפירוק הוא למעשה מיידי, נחשב מפורשות את וקטור המהירות ההתחלתית, לו נקרא כיוון שנתון לנו שהכדור נזרק בכיוון אופקי (ז"א רכיב x בלבד): 8, כעת עלינו לבחון את משוואות התנועה בכל אחד מהצירים. בציר x לא פועל שום כוח, לכן אין תאוצה והמהירות היא קבועה (בפרט המהירות ההתחלתית): x(), x 8 t בציר אנו יודעים כי פועל כוח הכובד שגורם לתאוצת הנפילה החופשית. כיוון שהתאוצה היא בכיוון מטה, בעוד כיוון ציר שבחרנו הוא כלפי מעלה, סימן התאוצה יהיה שלילי: a משוואת המהירות עבור גוף בתאוצה קבועה: () t, + at t t נוכל, לצורך הצגה פשוטה יותר, לרשום גם את וקטור המהירות: t t t וכל שנותר לנו לעשות כעת הוא להציב את הזמנים המבוקשים: ( x ) ( 8, t) () (), () / / 6
קיץ 6 t ( 8, ) / ( 8, ) t ( 8, ) / ( 8, ) ב. הגודל המבוקש ( ( הוא השינוי במהירות, שכזכור הוא חלק מהגדרת התאוצה הלא היא השינוי במהירות חלקי פרק הזמן: a. אם נכפיל את המשוואה בפרק t. ז"א השינוי הזמן, נקבל את הביטוי המבוקש כתלות בתאוצה: a t במהירות כלל אינו תלוי במהירות ההתחלתית, אלא רק בתאוצה. מכיוון שאותה אנו, a, ואנו יודעים את פרק יודעים ישנה רק תאוצה הנפילה החופשית בציר : (, ) (, ) הזמן ) t t t,( אנו מקבלים מיד את שנתבקשנו למצוא: אם נשתמש במהירויות שחישבנו, ובאופן ישיר נחסר ביניהן, נגיע כמובן לאותה תוצאה. x 5, ומהירותו ההתחלתית (שהיא אופקית א. נתון לנו ההעתק האופקי של הכדור: בלבד): 945,,. מכאן, זמן המעוף: 5 x, xt t.53 945, x ב. בכיוון האופקי הקלי נופל בתאוצה הנפילה החופשית. נזכור שמהירותו ההתחלתית האנכית היא אפס, לכן:.53.4 4, t.3 945, x, x t.53.53 θ,,.53, arctan arctan.3, x 945 ג. הרכיב האופקי של המהירות אינו משתנה: והרכיב האנכי מאיץ ב : מכאן, זווית המהירות ברגע הפגיעה: כאשר הזווית נמדדת ביחס לציר x, ז"א.3 מתחת לאופק. θ (שם נשתמש בביטוי שפיתחנו עבור טווח הקפיצה, אשר הינו מירבי עבור זווית 45 : מתקבל 9.( in 45 in את גודל מהירות הזינוק נסמן כ in ( θ ) R 8 R 8.94 in θ.4 3 / 6
קיץ 6 9 / 5. גודל המהירות ההתחלתית:, R שוב בעזרת הביטוי לטווח הזריקה: ( θ ) x R ( θ ) ( 9 ) 7 א. נחפש את הזווית שעבורה in 7 R in.333 θ arcin.333 9.47 θ 9.74 מכאן, אחת הזווית היא: ' θ 9 θ 9 9.74 8.6 הזווית השנייה היא המשלימה ל- 9 : ב. נזכור כי את שיא המסלול אנו מאפיינים ע"י התאפסות המהירות האנכית: in ( θ) ( t), t in ( θ) t t ואנו יודעים כי זמן המעוף הינו כפול מזמן שיא המסלול, כיוון שמדובר בפרבולה: in( θ) t t בעזרת זמן שיא המסלול נמצא את גובהו: t t t in θ t t, כעת נוכל להציב את שתי הזוויות השונות שמצאנו בסעיף א'; 9 in 9.74 t 3.4 3.4 3.4 9 in ( 9.74 ).58 9 in 8.6 t 7.74 :θ 9.74 ' :θ 8.6 עבור עבור 7.74 7.74 9 in ( 8.6 ) 393.4 3, אם נבחר את ציר כלפי מעלה) קודם כל, מתוך גובה הגשר מעל פני המים ) נמצא את זמן נפילת האבן: t t t, 3 t.6.775.6 x, ותוך זאת פרק הזמן הנ"ל. נזכור כי בכיוון א. על האבן לעבור מרחק אופקי האופקי המהירות קבועה, וכיוון שזו זריקה אופקית היא גם גודל המהירות ).( מכאן: x t t.9, x t.775 ( x ),, ב. קודם כל נמצא את מיקומה של הקופסה ברגע פגיעת האבן במים. ידוע לנו מיקומה ההתחלתי x וכן מהירותה. על כאן, מיקומה: box, x /, box 5 4 / 6
קיץ 6 x, box xbox t x, box + box, xt 5 + /.775 5.775 מרחקה האופקי של האבן צריך להיות זהה כדי שתפגע בקופסה: x t x t box x מתוך בחירתנו את מיקומה של האבן ב t כראשית הצירים, אז ומכאן 5.775 7.45 t.775 x( t ) t x. מכאן, מהירות האבן: ג. נוכל לפתור בעיה זו גם ללא חישוב, אם נבחין כי מדובר למעשה באותו מקרה שראינו בשיעור של המטוס המטיל פצצה. שני הגופים (המטוס הטס והפצצה) נעים באותה מהירות אופקית, ולכן תמיד נמצאים אחד מעל השני. אותו הדבר גם כאן כדי שהאבן תפגע בקופסה הנעה מתחתיה, עליה לנוע כל הזמן מעליה. מכאן שמהירויות הגופים שוות: box, x / 7. נביט מה יקרה לאופנוע עבור מהירויות נמוכות מדי או גבוהות מדי: ז"א אנו רוצים למצוא את המהירות שבה הוא ינחת בקצת המדרגה. מהירות קטנה מדי והוא לא יגיע לקצה, או במהירות גדולה הוא יעבור אותו ואנו הרי נתבקשנו למהירות המינימלית. קודם כל נרשום את רכיבי מהירותו ההתחלתית, שאת גודלה נסמן ב : ( co3, in 3 ) (.866,.5 ) אם נסמן זמן השהייה באוויר כ- t, נראה שיש לנו למעשה שתי דרישות על תנועתו: בפרק זמן זה הוא יעבור אופקית (ציר x), וגם.5 אנכית (ציר ). נרשום דרישות אלו: x, xt, t t.5 t,x נחלץ מהמשוואה הראשונה ביטוי עבור פרק הזמן: 5 / 6
קיץ 6 ונציב אותו במשוואה השניה:,, x, x co ( in ( θ) ) co( θ ) co( θ ) ( ) tan ( θ ) co ( θ) ( ) tan ( θ ) ( θ) ( ) co ( θ ) tan ( θ ) θ), ונקבל: 3 x ( והזווית הנתונה ),.5 / ( ) ( ) ( ( ) ) co 3 tan 3.5 3 / 3 5.77.5 56.3 3 /.5 4.7.49 / / נציב את ההעתקים הדרושים ) ומכאן, המהירות ההתחלתית הדרושה: 6 / 6